2020届 二轮(理科数学) 三角函数的周期性 专题卷(全国通用)
2020届二轮(理科数学) 数列 三角函数 平面向量 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学）数列 三角函数 平面向量 专题卷（全国通用）(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．在△ABC 中，已知a ＝40，b ＝202，A ＝45°，则角B 等于( ) A ．60° B ．60°或120° C ．30° D ．30°或150°[答案] C[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝202×2240＝12，又b <a ，∴B 为锐角，B ＝30°.2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 [答案] C[解析] S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11×(a 2＋a 10)2＝11×42＝22.选C.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝30°，c ＝5，a ＝8，则cos A 等于( )A.35 B ．±35C ．－35D.45 [答案] B[解析] 由正弦定理得5sin30°＝8sin A ，∴sin A ＝45，又a ＝8>c ＝5，∴A >30°，∴cos A ＝±35，故选B.4．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3] [答案] D[解析] ∵x >1，∴x －1>0.又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3(当且仅当x ＝2时取“＝”)，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，只需a ≤3.故选D.5．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝(12)x 2－2(x ∈R )，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p >qC ．p <qD ．p ≤q[答案] A[解析] p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4，当且仅当a ＝3时等号成立；q ＝(12)x 2－2≤(12)－2＝4，当且仅当x ＝0时等号成立．显然，p ≥q .6．(2018·新课标Ⅱ文，5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11[答案] A[解析] 考查等差数列的性质及求和公式．a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.故选A.7．已知数列{log 2x n }是公差为1的等差数列，数列{x n }的前100项的和等于100，则数列{x n }的前200项的和等于( )A ．100×(1＋2100)B ．100×2100C ．1＋2100D ．200 [答案] A[解析] 由已知，得log 2x n ＋1－log 2x n ＝1， ∴x n ＋1x n＝2， ∴数列{x n }是以2为公比的等比数列．∵数列{x n }的前100项的和等于100，由定义得，数列{x n }的前200项的和等于100×(1＋2100)．8．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2[答案] A[解析] 本题考查线性规划与最优解． 由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，可知z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7.9．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.32或3 D.34或32[答案] D[解析] c ＝AB ＝3，b ＝AC ＝1，B ＝30°. 由于c sin B ＝3×12＝32，c sin B ＜b ＜c ，∴符合条件的三角形有两个． ∵b sin B ＝c sin C ，即112＝3sin C .∴sin C ＝32. ∴C ＝60°或120°，∵A ＝90°或30°，∴S △ABC ＝32或34. 10．等差数列{a n }中，若3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为前n 项和，则S n 中最大的是( ) A ．S 21 B ．S 20 C ．S 11 D ．S 10[答案] B[解析] 设数列{a n }的公差为d ，因为3a 8＝5a 13，所以2a 1＋39d ＝0，即a 1＋a 40＝0， 所以a 20＋a 21＝0，又a 1>0，d <0，故a 20>0，a 21<0，所以S n 中最大的是S 20.11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝60°，△ABC 的面积为33，那么b 等于( )A ．22B ．2 3 C.3 D. 2 [答案] B[解析] ∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，平方得a 2＋c 2＝4b 2－2ac . 又S △ABC ＝33且B ＝60°.∴12ac sin B ＝12ac sin60°＝34ac ＝3 3. 解得ac ＝12，∴a 2＋c 2＝4b 2－24.由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4b 2－24－b 22×12＝b 2－88＝12.解得b 2＝12.∴b ＝2 3.12．(2018·安徽理，5)x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 [答案] D[解析] 本题考查线性规划问题．如图，z ＝y －ax 的最大值的最优解不唯一，即直线与直线2x －y ＋2＝0，x ＋y －2＝0重合，∴a ＝2或－1.画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在R 上定义运算⊙；a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为________．[答案] (－2,1)[解析] 由定义得x (x －2)＋2x ＋x －2<0， 即x 2＋x －2<0，∴－2<x <1.即x ∈(－2,1)．14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.[答案] 63[解析] 因为a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2，所以S 6＝1－261－2＝63.15．(2018·湖北理，13)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.[答案] 100 6[解析] 由题意可知，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝45°.故由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即有60022＝BC 12，解得BC ＝300 2.又由题意可知，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，∠CBD ＝30°，所以由tan ∠CBD ＝CD BC 可得33＝CD3002，解得CD ＝100 6.16．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y 的最小值为________． [答案] 18[解析] ∵P (x ，y )在y ＝4－2x 上运动， ∴2x ＋y ＝4.9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ·3y ＝232x ＋y ＝234＝18. 当且仅当2x ＝y ，即x ＝1，y ＝2时取等号． ∴当x ＝1，y ＝2时，9x ＋3y 取得最小值18.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2018·重庆文，16)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2,3a 1＋3×22d ＝92，化简得a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故通项公式a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2.故{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.18．(本小题满分12分)(2018·江西文)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)．T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．[解析] (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0. 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0. 又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3. 又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3(a －12)2＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.20．(本小题满分12分)已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．[解析] x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by )＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y 即yx＝ba时等号成立，∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.21．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)，此切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列{a nb n}的前n 项和T n . [解析] (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有 2a 8＝4×2a 7＝2a 1＋2， 解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln2.由题意，a 2－1ln2＝2－1ln2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.22．(本小题满分14分)某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用为a 4元；③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙的费用为a2元，经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14.问如何利用旧墙，即x 为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？[解析] 以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题．设利用旧墙的一面矩形边长为x 米，则矩形的另一面边长为126x米．(1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x ·a4元．将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x )·a2元，其余建新墙的费用为(2x ＋2×126x－14)a 元． 故总费用为y ＝x ·a 4＋14－x 2·a ＋(2x ＋252x －14)a＝a ⎝⎛⎭⎫74x ＋252x －7＝7a (x 4＋36x －1)(0<x <14) ≥7a ·(2x 4·36x－1)＝35a ， 当且仅当x 4＝36x ，即x ＝12时，y min ＝35a 元．(2)若利用旧墙的一面矩形边长x ≥14， 则修旧墙的费用为a 4·14＝72a 元．建新墙的费用为(2x ＋252x －14)a ，故总费用为y ＝72a ＋(2x ＋252x －14)a＝72a ＋2a (x ＋126x －7)(x ≥14)． 设14≤x 1<x 2，则(x 1＋126x 1)－(x 2＋126x 2)＝(x 1－x 2)(1－126x 1x 2)．∵14≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1·x 2>196.从而1－126x 1x 2>0，所以函数y 在[14，＋∞)上为增函数．故当x ＝14时，y min ＝72a ＋2a (14＋12614－7)＝35.5a >35a .综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a 元．。
2020届二轮(理科数学) 选考部分 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学）选考部分专题卷（全国通用） (2) 1不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()A.{x|-3≤x<2}B.RC.⌀D.{x|x<-3或x>2}f(x)=|x+3|+|x-2|={-2x-1,x<-3,5,-3≤x<2,2x+1,x≥2,则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.2某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n 层楼,上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为9n,则此人应选() A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+9n ≥2√9=2×3=6,当且仅当n=9n,即n=3时,等号成立.3设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,S1=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,S2=a1b1+a2b2+…+a n b n,则 ()A.S1>S2B.S1<S2C.S1≥S2D.S1≤S2,得顺序和≥反序和,即S1≤S2.4已知m,n∈R,则1m >1n成立的一个充要条件是()A.m>0>nB.n>m>0C.m<n<0D.mn(m-n)<0>1n ⇔1m−1n>0⇔n-mmn>0⇔mn(n-m)>0⇔mn(m-n)<0.5已知a,b∈R,且a>b,下列不等式:①ba>b-1a-1;②(a+b)2>(b+1)2;③(a−1)2>(b−1)2.其中不成立的是.6若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是.(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,所以f(x)>g(x).(x)>g(x)7若a>0,b>0,则下列两式的大小关系为:l g(1+a+b2)12[lg(1+a)+lg(1+b)].+a)+lg(1+b)]=12lg[(1+a)(1+b)]=lg[(1+a)(1+b)]12,l g(1+a+b2)=lg(a+b+22).∵a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0.∴[(a+1)(1+b)]12≤a+1+b+12=a+b+22,当且仅当a=b时,等号成立.∴l g(1+a+b2)≥lg[(1+a)(1+b)]12,即l g(1+a+b2)≥12[lg(1+a)+lg(1+b)].8已知a>0,b>0,且a+b=1,则1a +1b+1ab与8的大小关系是.a>0,b>0,且a+b=1,所以1=a+b≥2√>0,ab ≥2,于是得1ab≥4.又1a +1b+1ab=a+b+1ab=2ab=2·1ab≥8,故1a +1b+1ab≥8.+1b +1ab≥89(用分析法证明)已知a>6,求证:√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.√a-3−√a-4<√a-5−√a-6,只需证√a-3+√a-6<√a-4+√a-5,只需证√<√,只需证(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),只需证a2-9a+18<a2-9a+20,只需证18<20,显然成立,所以当a>6时,√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.能力提升1已知实数a,b,c满足a<b,且c≠0,则下列不等式一定成立的是()A.1a >1bB.a2>b2C.ac<bcD.ac2<bc2a,b,c满足a<b且c≠0,对于选项A,取a=-2,b=1,可知不成立.对于选项B,取a=1,b=2,可知不成立.对于选项C,取a=-2,b=1,c=-1,可知不成立.由c2>0,知ac2<bc2.故D成立.2已知0<a<1b ,且M=11+a+11+b,N=a1+a+b1+b,则M,N的大小关系是.方法一)M-N=1+1−a−b=1-a1+a+1-b1+b=2(1-ab)(1+a)(1+b).由已知可得a>0,b>0且ab<1, ∴1-ab>0.∴M-N>0,即M>N.(方法二)MN =2+a+ba+b+2ab.∵0<a<1b,∴0<ab<1.∴0<2ab<2,∴0<a+b+2ab<a+b+2.∴2+a+ba+b+2ab>1.又M>0,N>0,∴M>N.3若a>b>0,m>0,n>0,则ab ,ba,b+ma+m,a+nb+n按由小到大的顺序排列为.a>b>0,m>0,n>0,知ba <b+ma+m<1,且ba<b+na+n<1,所以ab>a+nb+n>1,即1<a+nb+n<a b .<b+ma+m <a+nb+n<ab★4若-1<a<2,-2<b<1,则a-|b|的取值范围是.-2<b<1,∴0≤|b|<2.∴-2<-|b|≤0.∵-1<a<2,∴-3<a-|b|<2.-3,2)5若x∈R,试比较(x+1)(x2+x2+1)与(x+12)(x2+x+1)的大小.(x+1)(x2+x2+1)=(x+1)(x2+x+1-x2)=(x+1)(x2+x+1)−x2(x+1),(x +12)(x2+x +1)=(x +1-12)(x2+x +1) =(x+1)(x 2+x+1)−12(x2+x +1),∴(x+1)(x 2+x 2+1)−(x +12)(x2+x +1)=(x+1)(x 2+x+1)−x 2(x +1)−(x +1)(x2+x +1)+12(x2+x +1)=12(x2+x +1)−12(x2+x)=12>0. ∴(x+1)(x 2+x 2+1)>(x +12)(x2+x +1).6若已知二次函数y=f (x )的图象过原点,且1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (-2)的取值范围.二次函数y=f (x )的图象过原点,∴可设f (x )=ax 2+bx (a ≠0).∴{f (1)=a +b ,f (-1)=a -b . ∴{a =12[f (1)+f (-1)],b =1[f (1)-f (-1)]. ∴f (-2)=4a-2b=3f (-1)+f (1).∵1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4,∴6≤f (-2)≤10,即f (-2)的取值范围是[6,10].★7已知x ,y ∈R . (1)比较(13x +23y)2与13x2+23y2的大小;(2)当p ,q 都为正数,且p+q=1时,试比较代数式(px+qy )2与px 2+qy 2的大小.)(13x +23y)2−(13x 2+23y 2)=−29x2−29y2+49xy=−29(x2+y2−2xy)=−29(x −y)2≤0,所以(13x+23y)2≤13x2+23y2.(2)(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0.所以(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时,不等式中的等号成立.。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化： 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xyαtan5．三角函数线：正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 22 7．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan = (2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正． (3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅. 【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin 1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π( B ．)4π5,π()2π,4π(C ．)2π3,4π5()4π3,2π(D ．)π,4π3()2π,4π(4．化简=+170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求 (1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______；(3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______； (4)求值=+-15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα， 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用． 例2 求值： (1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______； (3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o______． 解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan -=+ ∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α ＋tan β ＝tan(α ＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα， (2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα；∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα (2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( )A ．sin15°－cos15°B ．sin15°＋cos15°C ．－sin15°－cos15°D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( ) A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-10cos 310sin 1______．7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】12π 2π π 对称轴Z ∈+=k k x ,ππx ＝k π，k ∈Z2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π， 定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题． 例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x xx x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立， 即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立，即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项 考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间， 2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合(2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y (4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅++-=23)21(22t y 结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕωB ．3π,1-==ϕωC ．6π,21==ϕωD ．6π,21-==ϕω 解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin =−−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C(2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1． 【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(D ．R ∈+=x x y ),32π2sin(3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______．7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高.21=∆ABC S ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120°(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______． 解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题． 例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 解：(1)法一：BbA a sin sin =，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ．法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和b c ＝321+，求∠A 和tan B 的值．解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ．由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3， 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用． 练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A ．35B ．45 C ．55 D ．65二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为______．7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A .(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα(2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=， 因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α， 所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα， 所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35，因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0， 所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α，。
2020届二轮(理科数学) 数列 三角函数 平面向量 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学） 数列 三角函数 平面向量 专题卷（全国通用） (2)(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x ＞5或x ＜－1} C ．{x |－1＜x ＜5} D ．{x |－1≤x ≤5}[答案] B[解析] 不等式化为x 2－4x －5＞0， ∴(x －5)(x ＋1)＞0，∴x ＜－1或x ＞5.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A.6 B ．2 C.3 D. 2[答案] D[解析] 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos120°＝a 2＋2－622a ，整理得a 2＋2a －4＝0，∵a >0，∴a ＝ 2.3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 [答案] A[解析] 由a 7＋a 9＝16，得a 8＝8，∴4d ＝a 8－a 4＝8－1＝7，∴a 12＝a 8＋4d ＝8＋7＝15.4．(2018·福建理，5)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2[答案] A[解析] 画出可行域，如图所示．将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 最小时，直线y ＝2x －z 的纵截距最大，即将直线y ＝2x 经过可行域向上移到过点B ⎝⎛⎭⎫－1，12时，z 取到最小值，最小值为z ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.5．对任意实数a ，b ，c ，d ，命题： ①若a >b ，c ≠0，则ac >bc ； ②若a >b ，则ac 2>bc 2； ③若ac 2>bc 2，则a >b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 当c <0时，①不正确；当c ＝0时，②不正确；只有③正确．6．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15 C ．2 D ．3 [答案] A[解析] ∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0，∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c . ∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152. 7．等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 15＝( ) A ．15 B ．30 C ．45 D ．60[答案] A[解析] 解法1：由等差数列的求和公式及⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝2S 9＝5知，⎩⎨⎧6a 1＋6×52d ＝29a 1＋9×82d ＝5，∴⎩⎨⎧a 1＝－127d ＝427，∴S 15＝15a 1＋15×142d ＝15.解法2：由等差数列性质知，{S n n }成等差数列，设其公差为D ，则S 99－S 66＝3D ＝59－26＝29，∴D ＝227，∴S 1515＝S 99＋6D ＝59＋6×227＝1，∴S 15＝15. 8．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25[答案] C[解析] a 3·a 6·a 18＝a 9q 6·a 9q 3·a 9·q 9＝a 39的一个确定常数 ∴a 9为确定的常数．T 17＝a 1·a 2·…·a 17＝(a 9)17，∴选C.9．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12·2·1·sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．∴B ＝3π4，使用余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B.10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12[答案] C[解析] ∵(x －a )⊗(x ＋a )<1，∴(x －a )(1－x －a )<1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0.又∵该不等式对任意实数x 都成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0， 解得－12<a <32.11．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4 [答案] A[解析] 作出平面区域，如图阴影部分所示，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选A.12．(2018·福建理，8)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] D[解析] 由韦达定理得a ＋b ＝p ，a ·b ＝q ，因为p >0，q >0，则a ＞0，b ＞0，当a ，b ，－2适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故a ·b ＝(－2)2＝4，故q ＝4，b ＝4a .当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a 是等差中项时，2a ＝4a －2，解得a ＝1，b ＝4，；当b 是等差中项时，8a ＝a －2，解得a ＝4，b ＝1，综上所述，a ＋b ＝p ＝5，所以p＋q ＝9，选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．不等式(x 2－4)(x －6)2≤0的解集是________． [答案] {x |－2≤x ≤2或x ＝6}[解析] 原不等式变形得(x ＋2)(x －2)(x －6)2≤0. 解得－2≤x ≤2或x ＝6.14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝6，若S 1，S 2，…，S n ，…中，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则数列{a n －4}前n 项和最大时，则n ＝________.[答案] 3[解析] 当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝6＋7d >0，a 9＝6＋8d <0，得－67<d <－34，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －4≥0，a n ＋1－4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋(n －1)d ≥0，2＋nd ≤0，得：73<－2d ≤n ≤1－2d <113，∴n ＝3.15．(2018·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.[答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.16．数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (x ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.[答案] 102[解析] 由题意得x n ＋1＝10x n ，即数列{x n }是公比为10的等比数列，所以x 101＋x 102＋…＋x 200＝(x 1＋x 2＋…＋x 100)·10100＝10102，故lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知三角形的三边长分别为x 2＋x ＋1，x 2－1和2x ＋1(x >1)，求这个三角形的最大角．[解析] ∵x >1，∴(x 2＋x ＋1)－(x 2－1)＝x ＋2>0， (x 2＋x ＋1)－(2x ＋1)＝x 2－x ＝x (x －1)>0. ∴x 2＋x ＋1是三角形中的最大边．该边所对的角是最大角，设此最大角为A ， 则cos A ＝(x 2－1)2＋(2x ＋1)2－(x 2＋x ＋1)22(x 2－1)(2x ＋1)＝－12，∵0°<A <180°， ∴A ＝120°，即三角形的最大角为120°.18．(本小题满分12分)已知b 是a ，c 的等差中项，且lg(a ＋1)，lg(b －1)，lg(c －1)成等差数列，同时a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c 的值．[解析] ∵2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝15，∴3b ＝15，b ＝5. 设等差数列a ，b ，c 的公差为d ，则 a ＝5－d ，c ＝5＋d .由2lg(b －1)＝lg(a ＋1)＋lg(c －1)知 2lg4＝lg(6－d )＋lg(4＋d )． 从而16＝(6－d )(4＋d )， 即d 2－2d －8＝0. ∴d ＝4或d ＝－2.∴a ，b ，c 三个数分别为1,5,9或7,5,3.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．[解析] (1)∵a ＋b ＋c ＝8，a ＝2，b ＝52，∴c ＝8－2－52＝72.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝4＋254－4942×2×52＝－15.(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得：sin A ＋sin B ＋sin(A ＋B )＝4sin C ， 即sin A ＋sin B ＝3sin C ，由正弦定理可得 a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，∴a ＋b ＝6 ①又面积S ＝12ab sin C ＝92sin C ，∴ab ＝9 ②解①②得a ＝3，b ＝3.20．(本小题满分12分)(2018·湖北理，18)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n－1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n ，②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋3x －a (x ≠a ，a 为非零常数)．(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值． [解析] (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a <x ，化为(ax ＋3)(x －a )<0.当a >0时，⎝⎛⎭⎫x ＋3a (x －a )<0，－3a <x <a ； 当a <0时，⎝⎛⎭⎫x ＋3a (x －a )>0，x >－3a或x <a . 综上所述，当a >0时，不等式的解集为{x |－3a <x <a }；当a <0时，不等式的解集为{x |x >－3a或x <a }． (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)， ∴f (x )＝(t ＋a )2＋3t ＝t ＋a 2＋3t ＋2a≥2t ·a 2＋3t＋2a ＝2a 2＋3＋2a ，当且仅当t ＝a 2＋3t ，即t ＝a 2＋3时，f (x )有最小值2a 2＋3＋2a ，依题意2a 2＋3＋2a ＝6，解得a ＝1.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n .[解析] (1)设{a n }的公比为q . ∵a 1a 2…a n ＝(2)b n∴a 1·a 1q ·a 1q 2…a 1q n －1＝(2)b n又∵a 1＝2，a n 1·q1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(2)b n即2n ·q n (n －1)2＝2b n 2∴(2q n －12)n ＝2b n2∴(2q )3＝2b 32，(2q 12)2＝2b 22解得：3b 2＝b 3＋6 又∵b 3＝b 2＋6∴b 2＝6，b 3＝12，∴q ＝2. ∴a n ＝2n ，b n ＝n (n ＋1)(2)C n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n ＋1n ＋1－1n①S n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＋(12－1＋13－12＋14－13＋…＋1n ＋1－1n )＝12·1－12n1－12＋1n ＋1－1 ＝1－12n ＋1n ＋1－1＝1n ＋1－12n∴S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N ＋)②令S n ＋1－S n ＝1n ＋2－12n ＋1－1n ＋1＋12n ＝12n ＋1－1(n ＋1)(n ＋2)＝(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋12n ＋1(n ＋1)(n ＋2) 由于指数函数2n＋1比(n ＋1)(n ＋2)变化快．∴令S n ＋1－S n >0得n <4∴S 1，S 2，S 3，S 4递增，而S 4，S 5，S 6……S n 递减 ∴S 4最大，∴当k ＝4时，S k ≥S n .。
2020届二轮(理科数学) 综合测试2 专题卷(全国通用)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()2,a ib i a b R i+=-?，其中i 是虚数单位，则a b +=( ) A. 1- B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】1222a a iai b i b i =⎧+=-+=-∴⎨=⎩Q，则3a b += 选B2.已知集合{A x y ==，{}2,1xB y y x ==>，则A B I 为( )A. []0,3B. [)3,+∞C. []1,3D. (]2,3 【答案】D 【解析】{{}{}{}03.2,12x A x y x x B y y x B y y ===≤≤==>==>Q(]2,3A B ∴⋂=选D3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A. B. C. D.【答案】A 【解析】由几何概型公式：A 中的概率为38，B 中的概率为26，C 中的概率为26，D 中的概率为13．本题选择A 选项.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比． 4.已知函数()3sin 22f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭()x R ∈，下列说法错误的是( ) A. 函数()f x 最小正周期是π B. 函数()f x 是偶函数 C. 函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D. 函数()f x 图像关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】()32 sin 2,2f x x T Q πππω⎛⎫=-∴== ⎪⎝⎭，故A 正确； ()3 sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q 即函数()f x 是偶函数，B 正确； () cos2f x x =Q ，当4x π=时，cos 2cos 0442f πππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选C.5.若实数,x y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则1y x +取值范围是( )A. ()0,3B. []0,3C. ()3,+∞D.[)3,+∞【答案】D 【解析】的作出不等式组对应的平面区域如图：其中112y Az x+=（，）． 的几何意义，即动点P （x ，y ）与点()0,1- 连线斜率的取值范围． 由图象可知过点12A （，）与点()0,1-直线的斜率()21310k --==- 2．所以3z ≥ ，故1y x+的取值范围是[)3,+∞． 故选D ．【点睛】本题考查线性规划的基本应用及数形结合的数学思想，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．6.求曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积S ，正确的是( ) A. ()12S x x dx =-⎰B. ()120S xx dx =-⎰C. ()12S yy dy =-⎰D. (10S y dy =⎰【答案】A 【解析】如图所示12()ABO ABO S S S x x dx =--⎰V 曲边梯形＝， 故选A.7.执行下面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】【详解】执行第1次，t =0.01,S =1,n =0,m =12=0.5,S =S -m =0.5,2mm ==0.25,n =1,S =0.5＞t =0.01,是，循环，执行第2次，S =S -m =0.25,2mm ==0.125,n =2,S =0.25＞t =0.01,是，循环， 执行第3次，S =S -m =0.125,2mm ==0.0625,n =3,S =0.125＞t =0.01,是，循环，执行第4次，S =S -m =0.0625,2mm ==0.03125,n =4,S =0.0625＞t =0.01,是，循环，执行第5次，S =S -m =0.03125,2mm ==0.015625,n =5,S =0.03125＞t =0.01,是，循环，执行第6次，S =S -m =0.015625,2mm ==0.0078125,n =6,S =0.015625＞t =0.01,是，循环，执行第7次，S =S -m =0.0078125,2mm ==0.00390625,n =7,S =0.0078125＞t =0.01,否，输出n =7，故选C . 考点：程序框图【此处有视频，请去附件查看】8.函数()af x x x=-（a R ∈）的图象不可能．．．是（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】当0,a y x ==，为图A ，当1a =，1y x x =- ，为图D ，当1a =-时，1y x x=+为图B ，选C.【点睛】函数图像问题首先关注定义域，其次根据函数的奇偶性排除部分选择支，进而用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等.本题只需对a 的不同情况进行探讨，最终得出答案.9.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin 2tan cos 2βαβ+=，则下列结论中正确的是( )A. 4αβ-=π B. 4παβ+=C. 24παβ-=D.24παβ+=【答案】A 【解析】()222122sin cos sin sin cos tan cos cos sin cos sin βββββαβββββ+++--＝＝＝1()14tan tan tan βπββ++-＝＝．因为(0)2442ππππαβ∈+∈，，（，），所以4παβ+＝．故选A ．10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则，OAB 的面积为（ ）A.4B.C.6332D.94【答案】D 【解析】由题意可知：直线AB 的方程为3)4y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D. 考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 【此处有视频，请去附件查看】11.已知G 是ABC V 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =uuur uu u r ，AN yAC =uuur uu u r ，(),0x y >，则3x y +的最小值是( )A.83B.72C.52D.43【答案】D 【解析】如图M N G Q ，， 三点共线， MG GN λ∴=u u u u v u u u v，AG AM AN AG λ∴-=-u u u v u u u u v u u u v u u u v（），∵G 是ABC V 的重心， 13AG AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v （），1133AB AC xAB y AC AB AC λ∴+-=-+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（（）），11331133x y λλλ⎧--⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩＝，＝ 解得，31311x y --=（）（）； 结合图象可知11 1122x y ≤≤≤≤，；令1131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤，，（，）；故11133m n mn x y ++===，，；故14443133333n n x y m m ++=++=++≥+=+当且仅当m n == 故选D12.已知函数()2xf x x e =，若函数()()()21g x fx kf x =-+恰有四个零点，则实数k 的取值范围是( ) A. ()(),22,-∞-+∞UB. 224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭C. 28,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D.2242,4e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】222x x x f x xe x e x x e '=+=+（）（）， 令0f x '=（），解得0x =或2x =-， ∴当2x -＜或0x ＞时，0f x '（）＞，当20x -＜＜时，0f x '（）＜， f x ∴（）在2-∞-（，）上单调递增，在20-（，）上单调递减，在∞（0，+）上单调递增， ∴当2x =-时，函数f x （）取得极大值242f e-=（）， 当0x =时，f x （）取得极小值00f =（）． 作出f x （）的大致函数图象如图所示：令f x t =（），则当0t =或24t e＞时，关于x 的方程f x t =（）只有1解； 当24t e=时，关于x 的方程f x t =（）有2解； 当240t e<<时，关于x 的方程f x t =（）有3解． 21g x f x kf x =-+Q （）（）（） 恰有四个零点，∴关于t 的方程210t kt -+= 在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有1解，在{}24,0e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭U 有1解，显然0t =不是方程210t kt -+=的解， ∴关于t 的方程210t kt -+=在240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有1解， 4216410k e e ∴-+＜， 解得2244e k e +＞． 故选D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案） 【答案】20- 【解析】试题分析：由题意，8()x y +展开式通项为818k k k k T C x y -+=，08k ≤≤．当7k =时，777888T C xy xy ==；当6k =时，626267828T C x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278()2820x xy y x y x y ⋅+-⋅=-，系数为20-．【考点定位】二项式定理． 【此处有视频，请去附件查看】14.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升； 【答案】6766【解析】试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得137,2266a d ==，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 15.已知函数()1211xf x e x+=-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是____________.【答案】1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 ∵函数()1211xf x ex +=-+满足f x f x -=（）（）， 故函数f x （）偶函数， 当0x ≥时，11xx y ee ++==为增函数，211y x =+为减函数， 故函数f x （）在0x ≥时为增函数，在0x ≤ 时为减函数，则22221214413410f x f x x x x x x x x -⇔-⇔-+⇔-+（）＞（）＞＞＜， 解得：1(1)3x ∈，，故答案为1,13⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查函数知识的综合应用，解题时灵活应用是函数单调性，函数的奇偶性，绝对值不等式的解法等是解题的关键．16.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()211n n n n a S S S ---=，且11a =，设12log 3n n a b +=，则12341n b b b n ++⋯+++的最小值是________. 【答案】9 【解析】当2n ≥ 时，211n n n n a S S S ---=（） ，即()2112n n n n S S S S ---= ，展开化为：1140n n n n S S S S ----=（）（）， ∵正项数列{}n a 的前n项和为nS 114n n n n S S S S --∴≠∴=．， ∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4． 11221424434n n n n n n n n S n a S S -----∴=∴≥=-=-=⨯．，．211342n n n a n -⎧∴=⎨⨯≥⎩，＝．， 221222223n n n a b log log n -+∴===-， 则212(022)2n n n b b b n n +-++⋯+==-． 则()()2212131363434111n n n b b b n n n n n +-++++⋯++-+==+++ 361312391n n =++-≥-=+当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为9三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知c =sin A C =，1cos23A =-.(1)求a 的值；(2)若角A 为锐角，求b 的值及ABC V 的面积.【答案】(1)a =；(2)5b =，ABC S =V 【解析】试题分析：（1）根据题意和正弦定理求出a 的值；（2）由二倍角的余弦公式变形求出2sin A ，由A 的范围和平方关系求出cosA ，由余弦定理列出方程求出b 的值，代入三角形的面积公式求出ABC V 的面积．试题解析：(1)因为c =sin A C =，由正弦定理sin sin a c A C=，得a =. (2)因为21cos212sin 3A A =-=-，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin A =cos A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=，解得5b =或3b =-(舍)，所以1sin 2ABC S bc A ==V 18.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】，1，13n n a =，2，21n n -+【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 考点：等比数列的通项公式；数列的求和 【此处有视频，请去附件查看】19.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80后得到如图所示的频率分,布直方图，问：(1)在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数； (2)估计40名读书者年龄的平均数和中位数； (3)若从年龄在[)20,40读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列和数学期望.【答案】(1)30；(2)平均数为54，中位数为55；(3)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为0.75，由此能求出40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数．（2）利用频率分布直方图能求出40名读书者年龄的平均数和中位数．（3）年龄在[)20,30的读书者有2人，年龄在[)30,40的读书者有4人，设年龄在[)30,40的读书者人数为X ，由此能求出恰有1名读书者年龄在[30，40）的概率． 试题解析：(1)由频率分布直方图知年龄在[)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++⨯=，所以40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数为400.7530⨯=. (2)40名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，设中位数为x ，则()0.005100.010100.020100.030500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得55x =.即40名读书者年龄的中位数为55.的(3)年龄在[)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人，年龄在[)30,40的读书者有0.01010404⨯⨯=人，所以X 的所有可能取值有0，1，2.()2024261015C C P X C ===，()1124268115C C P X C ===，()0224266215C C P X C ===，X 的分布列如下：数学期望()18640121515153E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法.解题时要认真审题，注意排列组合、古典概型的合理运用．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS OT tOP +=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形可得b c =，a =，再根据直线与圆相切可得,,a b c 的一个关系式，解方程组可得,,a b c 的值．（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，与椭圆方程联立消去y 整理为关于x 的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得k 的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．设()00,P x y ，根据OS OT tOP +=u u u r u u u r u u u r可得00,,,x y t k 间的关系式．可解得00,x y ．将其代入椭圆方程可得,t k 的关系式，根据k 的范围可得t 的范围．试题解析：解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，∴圆心到直线的距离12c d a +==（*）∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b c =，， 代入（*）式得1b c ==，∴，故所求椭圆方程为（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，设()00,P x y ， 将直线方程代入椭圆方程得：，∴，∴．设，，则，由OS OT tOP +=u u u r u u u r u u u r ，当0t =，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意；当，得20122012122812{4(4)12k tx x x k k ty y y k x x k =+=+-=+=+-=+∴20218,12k x t k=⋅+．将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，，所以()2,0(0,2)t ∈-⋃，综上可得(2,,2)t ∈-．考点：1椭圆的方程；2直线与椭圆的位置关系问题．21.，2018安徽淮南市高三一模（2月），已知函数()2ln 2f x ax x =++，，I，若a R ∈，讨论函数()f x 的单调性；，II，曲线()()2g x f x ax =-与直线l 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中12x x <，若直线l 斜率为k ，求证：121x x k<， 【答案】，I，答案见解析；，II，证明见解析． 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =，则1t >，问题转化为只需证11ln t t t -<<，根据函数的单调性证明即可． 试题解析：(1)()2ln 2f x ax x =++，()()2121'20ax f x ax x x x+=+=>，当0a ≥时，恒有()'0f x >，()f x 在区间()0,+∞上是增函数， 当0a <时，令()'0f x >，即2210ax +>，解得0x <<()'0f x <，即2210ax +<，解得x >()f x在区间⎛ ⎝上是增函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数. 综上，当0a ≥时，()f x 在区间()0,+∞上是增函数；当0a <时，()f x在区间⎛ ⎝上是增函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数.(2)证明：()()21212121ln ln g x g x x x k x x x x --==--，要证明121x x k<<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-，等价于21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =(由12x x <，知1t >)， 则只需证11ln t t t-<<，由1t >知ln 0t >，故等价于()ln 1ln 1t t t t t <-<>(*) ①令()()1ln 1t t t t ϕ=-->，则()()1'101t t tϕ=->>，所以()t ϕ在()1,+∞上是增函数，当1t >时，()()1ln 10t t t ϕϕ=-->=，所以1ln t t ->；②令()()()ln 11h t t t t t =-->，则()()'ln 01h t t t =>>，所以()h t 在()1,+∞内是增函数，当1t >时，()()()ln 110h t t t t h =-->=，所以ln 1t t t >-， 综上，121x x k<<. 22.选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （，）把C 1的参数方程化为极坐标方程； （，）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ.【解析】【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====试题解析： （1），C 1的参数方程为45cos {55sin x ty t=+=+，（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25， 即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， 把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25， 化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25， ，C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）. ，C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ.考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程 此处有视频，请去附件查看】23.设函数()241f x x =-+.(1)画出函数()y f x =的图象；(2)若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）先讨论x 的范围，将函数f x （）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II ）根据函数y f x =（）与函数y ax =的图象可知先寻找满足f x ax ≤（）的零界情况，从而求出a 的范围． 试题解析：【(1)由于()25,223,2x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则()y f x =的图象如图所示：(2)由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时， 函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点，故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围是()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.。
2020届二轮(理科数学) 选考部分 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学） 选考部分 专题卷（全国通用） (3)1已知a ,b ,c 均为正数,且abc=27,则a+b+c 的最小值为( ) A.3 B.6 C.9D.27a ,b ,c 均为正数,∴a+b+c ≥3√abc 3=3√273=9(当且仅当a=b=c=3时,等号成立).∴a+b+c 的最小值为9.故选C .2函数f (x )=1x 2+2x(x >0)的最小值为( ) A.3B.4C.5D.6x>0,∴f (x )=1x 2+x +x ≥3√1x 2·x ·x 3=3,当且仅当1x 2=x =x,即x=1时,等号成立.故选A .3设x ,y ,z>0且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( ) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)lg x+lg y+lg z=lg(xyz ),而xyz ≤(x+y+z 3)3=23,∴lg x+lg y+lg z ≤lg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.4设a ,b 是正实数,以下不等式恒成立的序号为( )①√ab >2aba +b;②a >|a −b|−b; ③a 2+b 2>4ab-3b 2;④ab +2ab >2. A.①③B.①④C.②③D.②④①,√ab −2aba+b =√ab (a+b )-2aba+b=√ab (a+b -2√ab )a+b=√ab (√a -√b )2a+b≥0,①不合题意,则应排除A,B;④正确,故选D .5设a>0,b>0,若√3是3a与3b的等比中项,则1a +1b的最小值为()A.8B.4C.1D.14√3是3a与3b的等比中项,∴(√3)2=3a·3b,即3=3a+b.∴a+b=1.此时1a +1b=a+ba+a+bb=2+(ba +ab)≥2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.故1a +1b的最小值为4.6已知0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2√ab,a2+b2,2ab中最大的是.a+b>2√ab,a2+b2>2ab.∵a2<a,b2<b,∴a+b>a2+b2.∴四个数中最大的是a+b.7已知a∈R+,则2√a ,2√a+1,√a+√a+1从大到小的顺序为.√a+√a+1>√a+√a=2√a,√a+√a+1<√a+1+√a+1= 2√a+1,所以2√a<√a+√a+1<2√a+1.2√a >√a+√a+1>2√a+1>√a+√a+1>2√a+18若|a|<1,|b|<1,求证:|a+b1+ab|<1.,而结论也不易变形,即直接证明有困难,因而可联想反证法.|a+b1+ab|≥1,则|a+b|≥|1+ab|,∴a 2+b 2+2ab ≥1+2ab+a 2b 2. ∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0. ∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0. ∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴{a 2-1≥0,1-b 2≥0或{a 2-1≤0,1-b 2≤0,即{a 2≥1,b 2≤1或{a 2≤1,b 2≥1.与已知矛盾,∴|a +b1+ab|<1. 9若0<a<2,0<b<2,0<c<2,求证:a (2-b ),b (2-c ),c (2-a )不可能都大于1.a (2-b ),b (2-c ),c (2-a )都大于1. ∵0<a<2,0<b<2,0<c<2, ∴2-b>0,2-c>0,2-a>0. ∵a (2-b )>1,b (2-c )>1,c (2-a )>1, 三式相乘,得a (2-b )·b (2-c )·c (2-a )>1.① 又0<a (2-a )≤(a+2-a 2)2=1,0<b (2-b )≤(b+2-b 2)2=1,0<c (2-c )≤(c+2-c 2)2=1,∴a (2-a )·b (2-b )·c (2-c )≤1.② 由于①②式相矛盾,故原命题成立.10某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元,……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?n 年后报废最合算,这n 年中汽车每年的平均费用为y 万元, 则y =10+0.9n+0.2n+n (n -1)2·0.2n=10n+n10+1≥3,当且仅当10n=n10,即n=10时,等号成立.故这种汽车使用10年后报废最合算.能力提升1已知不等式(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8x+y)(1x +ay)=1+a+axy+yx≥1+a+2√a=(√a+1)2,当且仅当yx=√a时,等号成立.∵(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴需(√a+1)2≥9.∴a≥4.故选B.2某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站() A.5 km处 B.4 km处 C.3 km处 D.2 km处x km,由已知得y1=20x,y2=0.8x.费用之和y=y1+y2=0.8x+20x ≥2√0.8x·20x=8,当且仅当0.8x=20x,即x=5时,等号成立.故选A.3若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,则2a+b+c的最小值为() A.√3−1B.√3+1C.2√3+2D.2√3−2a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,所以4-2√3=a2+ab+ac+bc=1(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤14(4a2+4ab +4ac +2bc +b2+c2), 当且仅当b=c 时,等号成立.所以(2√3−2)2≤(2a+b+c )2,则2a+b+c ≥2√3−2.故选D .4函数y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m +2n 的最小值为 .y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A (-2,-1).∵点A 在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1. 又mn>0,∴m>0,n>0. 则(1m +2n )(2m +n)=2m+n m+4m+2n n=2+n m +4·m n+2≥4+2√n m ·4·mn =4+4=8,当且仅当m =14,n =12时,等号成立. 5(2017天津,理12)若a ,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .a ,b ∈R ,且ab>0, ∴a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab=4ab +1ab ≥4( 当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1,即{ a 2=√22,b 2=√2时取等号). ★6若正数a ,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 .√ab =t(t >0),则由ab=a+b+3≥2√ab +3(当且仅当a=b 时,等号成立),得t 2≥2t+3,即t 2-2t-3≥0.解得t ≥3或t ≤-1(不合题意,舍去).∴√ab ≥3. ∴ab ≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立. +∞)7已知a ,b ,x ,y>0,x ,y 为变量,a ,b 为常数,且a+b=10,ax +by =1,x +y 的最小值为18,求a,b 的值.(x+y )(a x +by ) =a+b +bx y+ay x≥a+b+2√ab =(√a +√b)2,当且仅当bx y=ay x时,等号成立.故(x+y )min =(√a +√b)2=18, 即a+b+2√ab =18.① 又a+b=10,②由①②可得{a =2,b =8或{a =8,b =2.8已知a>b ,ab=1,求证:a 2+b 2≥2√2(a −b).a>b ,∴a-b>0. 又ab=1,∴a 2+b 2a -b =a 2+b 2-2ab +2ab a -b =(a -b )2+2aba -b=(a-b )+2a -b ≥2√(a -b )·2a -b =2√2. ∴a 2+b 2a -b≥2√2,即a 2+b 2≥2√2(a −b),当且仅当a-b =2a -b ,即a-b =√2(a −b =−√2舍去)时,等号成立. ★9如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底面宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a ,b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料60 m 2,问当a ,b 各为多少时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A ,B 孔的面积忽略不计)“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解,设为y.由题意y 与ab 成反比,又设比例系数为k ,则y =kab .由于受箱体材料多少的限制,a ,b 之间应有一定的关系式,即2×2b+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,求a,b为何值时,y=kab最小.y,由题意知y=kab,其中k为比例系数(k>0).∵据题设有2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0),∴b=30-a2+a(由a>0,b>0可得a<30).∴y=kab =k30a-a22+a.令t=a+2(t>0),则a=t-2.从而30a-a 22+a =30(t-2)-(t-2)2t=34t-t2-64t=34−(t+64t),∴y=kab ≥34-2√t·64t=k18,当且仅当t=64t ,即a+2=64a+2时取等号.∴a=6.由a=6可得b=3.综上所述,当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.y,依题意y=kab,其中k为比例系数,k>0,要求y的最小值,必须求出ab的最大值.依题设知2×2b+2ab+2a=60,即ab+a+2b=30(a>0,b>0).∵a+2b≥2√2ab(当且仅当a=2b时取等号),∴ab+2√2√ab≤30,可解得0<ab≤18.由a=2b及ab+a+2b=30可得a=6,b=3,即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小,即a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.。
2020届二轮(理科数学) 解三角形 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学） 解三角形 专题卷（全国通用）【答案】1)+【解析】连接AC ，在ABC △中，由余弦定理可知，AC ===120ABC ∠=︒，AB AC =，30ACB ∴∠=︒， 1203090ACD BCD ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴在ACD △中，AD ===，设MAD θ∠=，在AMD △中，由正弦定理可知sin DM θ=DM θ=，13π13πsin()sin()2424AMD S AD DM θθθ∴=⋅-=⨯⨯-△)34πθ=-+，∴当22ππ4θ-=，即3π8θ=时，景观区域面积最大，为1)+，故答案为1)+．MBCDA一、选择题1．给定ABC △的三个条件：60A =︒，4b =，2a =，则这样的三角形解的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，12cos 13C =，1a =，则b =（ ）A ．2B ．5613C ．2113D ．56393．ABC △的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若7cos 8A =，2c a -=，3b =， 则a =（ ） A ．2B ．52C ．3D ．724．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos cos cos a A b C c B =+，3b c +=，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．35．在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，2AB AC =，则（ ） A ．2AB AD =B ．3AB AD =C ．2AB AD =或3AB AD =D ．5AB AD =6．在ABC △中，D 是边BC 上一点，22AB AD AC ==，1cos 3BAD ∠=，则sin C =（ ） A ．23B ．33C ．63D ．327．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC △的面积为3154，2a =，3b =，则sin aA=（ ） A ．463 B ．161515C ．4153D ．463或161515经典集训8．设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos b cB C a++=， 则这个三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题9．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos cos CA =，则角A 等于 ．10．如图，已知ABC △中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1AB =，AD =，2AC =．则BDDC 的值为 ，ABC △的面积为 ．三、简答题11．如图，在ABC △中，π3B ∠=，8AB =，点D 在边BC 上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． 求BD ，AC 的长．12．在锐角ABC △中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知3b =，2239a c c =-+．（1）求A ；（2）求22sin sin B C +的取值范围．13．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知(0)a b m +=>．（1）当3m =时，①若A B =，求sin C ； ②若π6B =，求sin()A C -的值． （2）当2m =时，若2c =，求ABC △面积的最大值．答案一、选择题 1．【答案】A 【解析】在ABC △中，2a =，4b =，60A =︒，∴由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 1b A B a ===>，则此三角形无解，故选A ． 2．【答案】D【解析】4cos 5A =，12cos 13C =，A ，B ，(0,π)C ∈．3sin 5A ∴==，5sin 13C ==，3124556sin sin()sin cos cos sin 51351365B AC A C A C ∴=+=+=⨯+⨯=．由正弦定理可得561sin 56653sin 395a Bb A ⨯==，故选D ． 3．【答案】A 【解析】2222cos a b c bc A =+-，22273(2)23(2)8a a a ∴=++-⨯⨯+⨯，解得2a =，故选A ． 4．【答案】B【解析】在ABC △中，3cos cos cos a A b C c B =+，3sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A ∴=+=+=，即3sin cos sin A A A =， 又(0,π)A ∈，sin 0A ∴≠，1cos 3A ∴=． 3b c +=，∴两边平方可得2229b c bc ++=，可得9224bc bc bc ≥+=，解得94bc ≤， 当且仅当b c =时等号成立，2222cos a b c bc A ∴=+-，可得22222889()933334bc a b c bc b c =+-=+-≥-⨯=， 当且仅当b c =时等号成立，∴解得a故选B ．5．【答案】B【解析】设AC x =，则2AB x =，在三角形ABC 中由余弦定理得2222(2)22cos1207BC x x x x x =+-⋅⋅⋅︒=，cos C ∴==，sin C ∴==， sin sin(60)sin 60cos cos60sin ADC C C C ∴∠=︒+=︒+︒12==在ADC △中由正弦定理得sin sin AD ACC ADC =∠= 223323AB ABAD x ∴==⨯=，3AB AD ∴=， 故选B ． 6．【答案】B 【解析】如图所示，不妨设2AC =，AB AD AC ==，AB AD ∴==． 1cos 3BAD ∠=，1cos(π2)cos 23B B ∴=-=-，212sin 13B ∴=-，解得sin B =sin sin b cB C=，sin sin c B C b ∴===B ． 7．【答案】D【解析】2a =，3b =，ABC △11sin 23sin 22ab C C ==⨯⨯⨯，sin C ∴=，1cos 4C ∴==±，由余弦定理c =，可得c ==或4，∴由正弦定理可得sin sin a c A C ==D ． 8．【答案】C 【解析】cos cos b cB C a++=，(cos cos )b c a B C ∴+=+， 由正弦定理得sin sin sin (cos cos )B C A B C +=+，2sincos 2sin cos (2cos cos222222B C B C A A B C B C+-+-∴=． 由于cos 02B C -≠，sin sin cos 2cos 2222B C B C B C B C ++++∴=，22cos 12B C+∴=，cos2B C +∴=，π24B C +∴=，2πB C +=，π2A ∴=． 故选C ．二、填空题 9．【答案】π6【解析】23cos cos 3b c CA a-=，(2)cos cos b A C ∴-=，2sin cos cos cos )B A A C C A A C B ∴=+=+=，cos A ∴=π6A ∴=． 故答案为π6． 10．【答案】12；1【解析】在ABD △中，由正弦定理可得：sin sin AB BDADB BAD =∠∠， 在ACD △中，由正弦定理可得：sin sin AC CDADC CAD=∠∠， sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠，12BD AB DC AC ∴==．设BAD α∠=，则11sin 2ABD S α=⨯=△，12sin 2ACD S α=⨯=△，112sin 22sin cos 2ABC S ααα=⨯⨯⨯=△，2sin cos αα=，∴解得cos α=，可得π4α=， 1sin sin 212ABC S AB AC BAC α∴=⋅⋅∠∠==△． 故答案为12；1．三、简答题11．【答案】3BD =，7AC =． 【解析】在ABC △中，1cos 7ADC ∠=，sin ADC ∴∠====则sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠⋅-∠⋅1127=-=在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠， 在ABC △中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB CB AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，即7AC =． 12．【答案】（1）π3A =；（2）53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【解析】（1）在锐角ABC △中，3b =，2239a c c =-+，∴可得222c b a bc +-=，∴由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∴由A 为锐角，可得π3A =．（2）2222222π1sin sin sin sin ()sin sin )32B C B B B B B +=+-=++11112cos 2)1sin(2)222π6B B B =+-=+-，又022π03ππ2B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得π6π2B <<，5π2,π66π6B ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，π1sin(2),162B ⎛⎤∴-∈ ⎥⎝⎦，22153sin sin 1sin π(2),2642B C B ⎛⎤∴+=+-∈ ⎥⎝⎦，即22sin sin B C +的取值范围是53,42⎛⎤⎥⎝⎦． 13．【答案】（1；②12；（2）1S =．【解析】（1）①ABC △中，3m =时，a b +=，sin sin A B C ∴+=，又A B =，22πA B A B C ∴+===-， π22C A B ∴==-，sin()sin()222π2πC C C ∴-+-=，2cos cos 222C C C ∴=，sin 2C ∴=，cos 2C ∴=，sin 2sincos 222C C C ∴===． ②6πB =，5ππ6A C B ∴+=-=，又sin sin A B C +=，1sin 2A C ∴+=，1sin 2A C ∴=-，又5π5π5π1sin sin()sin cos cos sin cos 6662A C C C C C =-=-=+，11cos 22C C C ∴+=-，11cos 22C C ∴-=-，11cos 22C C -=，即π1sin()62C -=， π3C ∴=，π5632πA =-=， π1sin()sin()sin 2ππ362A C ∴-=-==．（2）当2m c ==时，a b +==，2228a ab b ∴++=，22428ab a b ab ∴≤++=，2ab ∴≤，此时a b ==，ABC △是等腰直角三角形，其面积最大值为11122S ab ===．。
2020届二轮(理科数学) 03-2007-2019年新课标全国卷理——三角函数 专题卷(全国通用)
2007－2019年新课标全国卷三角函数（2007宁夏卷）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣，的简图是（ ）9．若cos 2π2sin4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．217．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．（2008宁夏卷）1、已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ）A. 1B. 2C.1/2D. 1/33、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. 5/18B. 3/4C./2 D. 7/87、0203sin 702cos 10--=（ ） A. 12B. 2C. 2D.2（无三角解答题）（2009宁夏卷）（5）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny xＢＣＤ3p : ∀x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p（14）已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________ （17）（本小题满分12分） 为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。
2020届二轮(理科数学)选修部分 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学）选修部分专题卷（全国通用） (1)1函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.3√2−3B.−3C.6√2D.6√2−33x2+6x+1=3x2+3+6x+1−3.∵3x2+3>0,6x+1>0,∴y≥2√(3x2+3)·6x2+1−3=6√2−3,当且仅当3x2+3=6x2+1时,y取得最小值6√2−3.2已知a>0,b>0,则1a +1b+2√ab的最小值是()A.2B.2√2C.4D.5+1b +2√ab≥2√1ab+2√ab≥4,当且仅当a=b,√ab=1时,等号成立,即a=b=1时,1a +1b+2√ab取最小值4.3若x,y∈R,且满足x+3y=2,则3x+27y+1的最小值是 ()A.3√93B.1+2√2C.6D.7x+27y+1=3x+33y+1≥2√3x·33y+1=2√3x+3y+1=2×3+1=7,当且仅当x=3y时,等号成立.故所求最小值为7.4已知a,b为非零实数,且a<b,则下列命题成立的是 ()A.a2<b2B.ab2<a2bC.1ab <1a bD.ba<ab项中,若a<b<0,则不成立;B项中,ab2-a2b=ab(b-a).∵b-a>0,ab符号不确定,∴不能确定ab2<a2b成立,B项不正确;C项中,1ab2−1a2b=a-ba2b2<0成立.故选C.5若a>0,b>0,则p=(a·b)a+b2,q=ab·b a的大小关系是 ()A.p≥qB.p≤qC.p>qD.p<q=a a+b2·ba+b2a b·b a=a a-b2·b b-a2=(ab)a-b2,若a≥b>0,则ab ≥1,a-b2≥0,∴pq≥1;若0<a≤b,则ab ≤1,a-b2≤0,∴pq≥1.6设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则√m2+n2的最小值为()A.5B.√5C.2√5D.√2,得(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,即5(m2+n2)≥25,∴m2+n2≥5,当且仅当an=bm时,等号成立.∴√m2+n2的最小值为√5.7若1a <1b<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ba+ab>2,其中正确的不等式有()A.①②B.②③C.①④D.③④1a<1b<0,∴0>a>b,③不正确.∵0>a>b,∴a+b<0,ab>0.故a+b<ab成立,即①正确.由0>a>b,得|a|<|b|,即②不正确.∵ba+ab−2=(a-b)2ab>0,∴ba+ab>2,即④正确.8若1<1a<1b,则下列结论不正确的是()A.log a b>log b aB.|log a b+log b a|>2C.(log b a )2<1D.|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a|(特殊值法):由1<1a <1b ,知0<b<a<1. 令a =12,b =14,则log a b=2,log b a =12.可判定选项A,B,C 均正确,选项D 不正确,故选D . 方法二:∵1<1a <1b ,∴0<b <a <1. ∴log a b>log a a=1,0<log b a<log b b=1. ∴选项A,B,C 正确.由绝对值不等式的性质,知|log a b|+|log b a| =|log a b+log b a|,故选项D 不正确.9设a ,b ,c>1,则log a b+2log b c+4log c a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8log a b ,log b c ,log c a>0, 则log a b+2log b c+4log c a ≥3√log a b ·2log b c ·4log c a 3=3√8·lgb lga ·lgc lgb ·lgalgc 3=6,当且仅当a=b=c 时,等号成立.10若a ,b ,x ,y ∈R ,则{x +y >a +b ,(x -a )(y -b )>0是{x >a ,y >b 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件{x +y >a +b , ①(x -a )(y -b )>0, ②由②知x-a 与y-b 同号,又由①得(x-a )+(y-b )>0,则x-a>0,y-b>0,即x>a ,且y>b.故充分性成立.若{x >a ,y >b ,则{x -a >0,y -b >0,因此{x +y >a +b ,(x -a )(y -b )>0.故必要性也成立.故选C.11若k棱柱有f(k)个对角面,则(k+1)棱柱对角面的个数为()A.2f(k)B.k-1+f(k)C.f(k)+kD.f(k)+2n=k到n=k+1时增加的对角面的个数与底面上由n=k到n=k+1时增加的对角线一样,设n=k时,底面为A1A2…A k,n=k+1时底面为A1A2A3…A k A k+1,增加的对角线为A2A k+1,A3A k+1,A4A k+1,…,A k-1A k+1,A1A k,共有(k-1)条,因此对角面也增加了(k-1)个.12记满足下列条件的函数f(x)的集合为M,当|x1|≤1,|x2|≤1时,|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|,又令g(x)=x2+2x-1,则g(x)与M的关系是()A.g(x)⫋MB.g(x)∈MC.g(x)∉MD.不能确定g(x1)-g(x2)=x12+2x1−x22−2x2=(x1−x2)·(x1+x2+2),|g(x1)-g(x2)|=|x1-x2|·|x1+x2+2|≤|x1-x2|·(|x1|+|x2|+2)≤4|x1-x2|,所以g(x)∈M.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13已知一长方体的长、宽、高分别为x,y,z,满足1x2+1y2+1z2=9,则该长方体的对角线长的最小值为.(x2+y2+z2)(1x2+1y2+1z2)≥(1+1+1)2=9,∴x2+y2+z2≥1,当且仅当x=y=z=√33时,等号成立.∴长方体的对角线长l=√x2+y2+z2的最小值为1.14若不等式|3x-b|<4的整数解有且仅有1,2,3,则b的取值范围是.|3x-b|<4,得-4<3x-b<4,即-4+b3<x<4+b3.∵不等式|3x-b|<4的整数解有且仅有1,2,3,∴{0≤-4+b 3<1,3<4+b 3≤4,即{4≤b <7,5<b ≤8,∴5<b <7.15函数y=2√x -2+3√4-x 的最大值是 .{x|2≤x ≤4},则由柯西不等式,得(4+9)(x-2+4-x )≥(2√x -2+3√4-x)2,故2√x -2+3√4-x ≤√13×2=√26.当且仅当x =3413时,等号成立. √26 16下列四个命题: ①a+b ≥2√ab; ②sin 2x +4sin 2x ≥4;③设x ,y 都是正数,若1x +9y =1,则x +y 的最小值是12; ④若|x-2|<ε,|y-2|<ε,则|x-y|<2ε. 其中真命题的序号有 .不正确,因为a ,b 符号不确定;②不正确,因为sin 2x ∈(0,1],利用函数y=x +4x 的单调性可求得sin 2x +4sin x ≥5;③不正确,因为(x+y )(1x +9y )=10+yx +9x y≥10+6=16(当且仅当x=4,y=12时,等号成立);④正确,因为|x-y|=|x-2+2-y|≤|x-2|+|2-y|<ε+ε=2ε.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(12分)已知n ∈N ,n ≥2,证明：12<1n+1+1n+2+⋯+12n <1..1n+1+1n+2+⋯+12n >12n +12n +⋯+12n =n2n =12,1n+1+1n+2+⋯+12n <1n +1n +⋯+1n =n n =1,∴12<1n+1+1n+2+⋯+12n<1成立.18(12分)已知正数x,y,z满足x2+y2+z2=6.(1)求x+2y+z的最大值;(2)若不等式|a+1|-2a≥x+2y+z对满足条件的x,y,z恒成立,求实数a的取值范围.由柯西不等式(x2+y2+z2)(12+22+12)≥(x+2y+z)2,即有(x+2y+z)2≤36.又x,y,z是正数,则x+2y+z≤6,即x+2y+z的最大值为6,当且仅当x1=y2=z1,即当x=z=1,y=2时取得最大值.(2)由题意及(1)得,|a+1|-2a≥(x+2y+z)max=6.当a≥-1时,a+1-2a≥6,解得a≤-5.当a≥-1时,不等式无解.当a<-1时,-a-1-2a≥6,解得a≤−73.综上,实数a的取值范围为{a|a≤-73}.19(12分)设a,b,c,d是正数,求证:下列三个不等式: ①a+b<c+d;②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d).其中至少有一个不正确..①②③都正确.∵a,b,c,d都是正数,∴①②两不等式相乘得(a+b)2<ab+cd.④由③式,得(a+b)cd<ab(c+d)≤(a+b2)2(c+d).又a+b>0,∴4cd<ab+cd.∴3cd<ab,即cd<ab3.又由④式,得(a+b)2<4ab3,即a2+b2<−23ab,与平方和为正数矛盾.∴假设不成立,即①②③式中至少有一个不正确.20(12分)设函数f(x)=|x-4|+|x-1|.(1)求f(x)的最小值.(2)若f (x )≤5,求x 的取值范围.由题意知f (x )=|x-4|+|x-1|={2x -5,x ≥4,3,1<x <4,5-2x ,x ≤1,作出函数y=f (x )的图象,如图所示.所以f (x )的最小值为3.(2)若f (x )≤5,由上图可知,x 的取值范围为[0,5].21(12分)某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC 为80 m,塔所在的山高OB 为220 m,OA=200 m,图中所示的山坡可视为直线l ,且点P 在直线l 上,l 与水平地面的夹角为α,tan α=12,试问,此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)?,则A (200,0),B (0,220),C (0,300).直线l 的方程为y=(x-200)tan α,即y =x -2002.设点P 的坐标为(x ,y ), 则P (x ,x -2002)(x >200),由经过两点的直线的斜率公式,得k PC =x -2002-300x=x -8002x.k PB =x -2002-220x=x -6402x.由直线PC 到直线PB 的夹角的公式得(由图可知k PC ,k PB 均小于0,即x<640) tan ∠BPC =|k PB -k PC1+kPB ·k PC|=1602x1+x -8002x ·x -6402x=64xx 2-288x+160×640=64x+160×640x-288(x >200).要使tan∠BPC达到最大,只需x+160×640x −288达到最小,由基本不等式x+160×640x−288≥2√160×640-288,当且仅当x=160×640x时上式取得等号,可知当x=320时,tan∠BPC最大,这时点P的纵坐标y为320-2002=60.由实际问题知0<∠BPC<π2,所以tan∠BPC最大时,∠BPC最大.故当此人距水平地面60m 高时,观看铁塔的视角∠BPC最大.22(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+1(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足4b1-14b2-1…4b n-1=(a n+1)b n(n∈N+),证明{b n}是等差数列;(3)证明：n2-13<a1a2+a2a3+…+a na n+1<n2(n∈N+).1)∵a n+1=2a n+1(n∈N+),∴a n+1+1=2(a n+1).∴{a n+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴a n+1=2n,即a n=2n-1(n∈N+).(24b1-14b2-1…4b n-1=(a n+1)b n,∴4(b1+b2+…+b n)-n=2nb n.∴2[(b1+b2+…+b n)-n]=nb n,①2[(b1+b2+…+b n+b n+1)-(n+1)]=(n+1)·b n+1.②②-①,得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n,即(n-1)b n+1-nb n+2=0.③nb n+2-(n+1)b n+1+2=0.④④-③,整理得nb n+2-2nb n+1+nb n=0,即b n+2-2b n+1+b n=0,∴b n+2-b n+1=b n+1-b n(n∈N+).∴{b n}是等差数列.(3∵a ka k+1=2k -12-1=2k -12(2k -12)<12,k=1,2,…,n ,∴a 1a 2+a2a 3+…+a nan+1<n2.∵a kak+1=2k -12k+1-1=12-12(2k+1-1)=12-13·2k +2k -2≥12-13·12k ,k=1,2,…,n .∴a 1a 2+a2a 3+…+a nan+1≥n 2-13(12+122+…+12n )=n 2-13(1-12n )>n 2-13. ∴n 2-13<a 1a 2+a2a 3+…+a nan+1<n2(n ∈N +).。
2020届二轮(理科数学) 三角函数与解三角形专题卷 (全国通用)
(一)三角函数与解三角形1．已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．解(1)f (x )＝sin x cos x ＋3sin 2x ＝12sin 2x ＋32(1－cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝x ＋32.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈0，π2，所以2x －π3∈－π3，2π3.令u ＝2x －π3，因为y ＝sin u 在－π3，π2上是增函数，在π2，2π3上是减函数，令u ＝2x －π3＝π2x ＝5π12，所以f (x )在0，5π12上是增函数，在5π12，π2上是减函数．由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象在区间0，π2内有两个不同的交点，又因为f (0)＝0，1＋32，＝3，所以3≤t <1＋32，即t 的取值范围是3，12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A ＝－1010，b ＝2，c ＝ 5.(1)求a ；(2)求cos(B －A )的值．解(1)在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝2＋5－2×2×59，∴a ＝3(舍负)．(2)在△ABC 中，由cos A ＝－1010，得A∴sin A ＝1－cos 2A ＝＝31010.在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B，即331010＝2sin B ，∴sin B ＝55，又A B∴cos B ＝1－sin 2B ＝＝255.∴cos(B －A )＝cos B cos A ＋sin B sin A＝255×＋55×31010＝210.3．(2018·河北省衡水中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －3sin A ·sin B .(1)求角C ；(2)若A ＝π6，△ABC 的面积为43，M 为AB 的中点，求CM 的长．解(1)由cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －3sin A sin B ，得sin 2C －sin 2B ＝sin 2A －3sin A sin B .由正弦定理，得c 2－b 2＝a 2－3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝3ab .又由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32.因为0<C <π，所以C ＝π6.(2)因为A ＝C ＝π6，所以△ABC 为等腰三角形，且顶角B ＝2π3.故S △ABC ＝12a 2sin B ＝34a 2＝43，所以a ＝4(舍负)．在△MBC 中，由余弦定理，得CM 2＝MB 2＋BC 2－2MB ·BC cos B＝4＋16＋2×2×4×12＝28，解得CM ＝27.4．(2018·重庆市綦江区调研)已知a ＝(2cos x,2sin x )，b f (x )＝cos 〈a ，b 〉．(1)求函数f (x )的零点；(2)若锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f (A )＝1，求b ＋c a 的取值范围．解(1)由条件可知，a ·b ＝2cos x 2sin x x ∴f (x )＝cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝＝x 由2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，即函数f (x )的零点为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .(2)由正弦定理得b ＋c a ＝sin B ＋sin C sin A，由(1)知，f (x )＝x又f (A )＝1，得A 1，∴2A －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，又A ∈(0，π)，得A ＝π3，∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝2π3－B ，代入上式化简得，b ＋c a ＝＝32sin B ＋32cos B sin A＝又在锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3，则有32<sin 1，即3<b ＋c a≤2.5．(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解(1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－12，又0<C <π，∴C ＝2π3，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32.(2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab＝4ab －1，∴sin C ＝1－cos 2C ＝＝∴S ＝12ab sin C ＝12ab ＝12－16＋8ab .∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2，∴△ABC 面积的最大值为 2.。
2020届二轮(理科数学) 三角函数的应用 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学） 三角函数的应用 专题卷（全国通用）1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10C [由图象知周期T ＝12，最低点的坐标为(9,2)， 代入得π6×9＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝0， 当x ＝6＋3T4＝15时，y 最大，列式得y max ＋22＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋k ， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×15＋k ＋22＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋k ，∴k ＝5， ∴y max ＋22＝k ，y max ＝6.]二、填空题2.如图，某地一天从6 h 到14 h 的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (ω>0,0≤φ<2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20 [由图象可知B ＝20，A ＝30－102＝10， T2＝14－6＝8，T ＝16＝2πω，解得ω＝π8.将(6,10)代入y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20可得 sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，由0≤φ<2π可得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20.]3.动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．[0,1]，[7,12] [由题意可知，y ＝sin(ωt ＋φ)． 又t ＝0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴φ＝π3，又由T ＝12可知，ω＝2πT ＝π6，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3.令2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z,12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z ，∵0≤t ≤12，∴令k ＝0,1，得0≤t ≤1或7≤t ≤12，故动点A 的纵坐标y 关于t 的函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．]4.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 的长)，巨轮的半径为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h (t )m ，则h (t )＝________.30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋32 [本题考查三角函数的实际应用．建立如图所示的直角坐标系，设点B 的方程为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，由题意知A ＝30，k ＝32，φ＝－π2，又因为T ＝12＝2πω，所以ω＝π6，y ＝30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋32，所以吊舱P 距离地面的高度h (t )＝30sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋32.]三、解答题5.在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为6.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于8.3 m? [解] (1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝1.8，所以d ＝1.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋12.2.又因为t ＝4时，d ＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π6＋φ＝1， 所以φ＝－π6，所以d ＝1.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝1.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫17π6－π6＋12.2＝1.8sin 2π3＋12.2≈13.5(m)．(3)令1.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2<8.3，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6<－12，因此2k π＋7π6<π6t －π6<2k π＋11π6(k ∈Z )，所以2k π＋4π3<π6t <2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8<t <12k ＋12. 令k ＝0，得t ∈(8,12)； 令k ＝1 ，得t ∈(20,24)． 故这一天共有8 h 水深低于8.3 m.[等级过关练]1．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h (m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h 关于时间t 的函数解析式为________．h ＝－6sin π6t ，t ∈[0,24] [根据题图设h ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝6，T ＝12，2πω＝12，∴ω＝π6，点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，∴π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h ＝6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π＝－6sin π6t ，t ∈[0,24]．] 2．一个大风车的半径为8 m,12 min 旋转一周，它的最低点离地面2 m(如图所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h (m)与时间t (min)之间(h (0)＝2)的函数关系式为________．h (t )＝－8cos π6t ＋10 [如图，风车上翼片端点所在位置P 可由函数x (t )、y (t )来刻画，而且h (t )＝y (t )＋2.所以，只需要考虑y (t )的解析式．又设P 的初始位置在最低点即y (0)＝0.在Rt△O 1PQ 中，cos θ＝8－y (t )8，y (t )＝－8cos θ＋6.而2π12＝θt ，所以θ＝π6t ，y (t )＝－8cos π6t ＋8，h (t )＝－8cos π6t ＋8.] 1.下表是某地某年月平均气温(单位：华氏)．月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 24.0 34.0 46.8 57.1 66.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温71.071.962.751.537.825.7x x y (1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据； (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A ；(5)下面四个函数模型中，哪一个最适合这些数据？①y A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；②y －46A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6； ③y －46－A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ；④y －26A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x . [解] (1)(2)如图所示；(3)1月份的气温最低，为21.4华氏，7月份气温最高，为71.0华氏，据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝71.0－21.4＝51.6， ∴A ＝23.6.(5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝24.0，代入①，得y A ＝26.025.8＞1≠cos π6，∴①错误；代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8＜0≠cos π6，∴②错误；同理④错误，③正确.。
2020届二轮(理科数学) 函数 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学） 函数 专题卷（全国通用）1.已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.解 令g (x )＝ln x ，h (x )＝ax 2－x ，将零点问题转化为两个函数图象交点的问题.当a ≤0时，g (x )和h (x )的图象只有一个交点，不满足题意；当a >0时，由ln x －ax 2＋x ＝0，得a ＝x ＋ln x x 2. 令r (x )＝x ＋ln x x 2，则r (x )的定义域为(0，＋∞). 则r ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ·x 2－（ln x ＋x ）·2x x 4＝1－x －2ln xx 3，易知r ′(1)＝0，当0<x <1时，r ′(x )>0，r (x )是增函数，当x >1时，r ′(x )<0，r (x )是减函数，且x ＋ln x x 2>0， r (x )max ＝r (1)＝1，所以0<a <1.故实数a 的取值范围是(0，1).2.已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋3在x ＝－1和x ＝2处取得极值.(1)求f (x )的表达式和极值；(2)若f (x )在区间[m ，m ＋4]上是单调函数，试求m 的取值范围.解 (1)依题意知f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为－1和2，∴⎩⎨⎧－a 3＝－1＋2，b 6＝－1×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12. ∴f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋3，∴f ′(x )＝6x 2－6x －12＝6(x ＋1)(x －2)，令f ′(x )>0，得x <－1或x >2；令f ′(x )<0，得－1<x <2，∴函数f (x )在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增；在(－1，2)上单调递减.∴f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (2)＝－17.(2)由(1)知，f (x )在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增，在区间(－1，2)上单调递减.m ＋4≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＋4≤2或m ≥2. ∴m ≤－5或m ≥2，则m 的取值范围是(－∞，－5]∪[2，＋∞).3.已知函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a >0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[t ，t ＋1]上有解.解 (1)因为e x >0，(ax 2＋x )e x ≤0，所以ax 2＋x ≤0.又因为a >0，所以不等式化为x ⎝⎛⎭⎫x ＋1a ≤0. 所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－1a ，0. (2)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0.令h (x )＝e x －2x－1， 因为h ′(x )＝e x ＋2x 2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立， 所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0， h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3，1}.4.(2019·合肥一中质检)已知函数f (x )＝x ＋a e x . (1)若f (x )在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，x 0<1，设直线y ＝g (x )为函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线，求证：f (x )≤g (x ).(1)解 易知f ′(x )＝－x －（1－a ）e x ， 由已知得f ′(x )≥0对x ∈(－∞，2)恒成立，故x ≤1－a 对x ∈(－∞，2)恒成立，∴1－a ≥2，∴a ≤－1.故实数a的取值范围为(－∞，－1].(2)证明当a＝0时，则f(x)＝xe x.函数f(x)的图象在x＝x0处的切线方程为y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0). 令h(x)＝f(x)－g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，x∈R，则h′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝1－xe x－1－x0e x0＝(1－x)e x0－(1－x0)e xe x＋x0.设φ(x)＝(1－x)e x0－(1－x0)e x，x∈R，则φ′(x)＝－e x0－(1－x0)e x，∵x0<1，∴φ′(x)<0，∴φ(x)在R上单调递减，而φ(x0)＝0，∴当x<x0时，φ(x)>0，当x>x0时，φ(x)<0，∴当x<x0时，h′(x)>0，当x>x0时，h′(x)<0，∴h(x)在区间(－∞，x0)上为增函数，在区间(x0，＋∞)上为减函数，∴x∈R时，h(x)≤h(x0)＝0，∴f(x)≤g(x).5.已知函数f(x)＝e ax－ax－1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设m为整数，且对于任意正整数n(n≥2).若(n！)2n（n－1）<m恒成立，求m的最小值.解(1)f′(x)＝a e ax－a＝a(e ax－1)，当a>0时，令f′(x)>0，解得x>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＝0时，显然无单调区间；当a<0时，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.综上，当a＝0时，无单调区间；a≠0时，单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞).(2)令a＝1，由(1)可知f(x)的最小值为f(0)＝0，所以f(x)≥0.所以e x ≥x ＋1(当x ＝0时取得“＝”).令x ＝n －1，则e n －1>n ，所以e 0·e 1·e 2·…·e n －1>1×2×3×…×n ，即e n （n －1）2>n ！，两边进行2n （n －1）次方得(n ！)2n （n －1）<e ，又m 为整数， 所以m 的最小值为3.6.(2019·信阳二模)已知函数f (x )＝4x 2＋1x－a ，g (x )＝f (x )＋b ，其中a ，b 为常数. (1)若x ＝1是函数y ＝xf (x )的一个极值点，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )有2个零点，f (g (x ))有6个零点，求a ＋b 的取值范围.解 (1)函数f (x )＝4x 2＋1x－a ， 则y ＝xf (x )＝4x 3＋1－ax 的导数为y ′＝12x 2－a ，由题意可得12－a ＝0，解得a ＝12，即有f (x )＝4x 2＋1x －12，f ′(x )＝8x －1x2， 可得曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝7，切点为(1，－7)，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋7＝7(x －1)，即y ＝7x －14.(2)f (x )＝4x 2＋1x －a ，f ′(x )＝8x －1x2，f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 当x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x <0或0<x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 可得f (x )在x ＝12处取得极小值，且为3－a ， 易知f (x )的图象大致如图所示：故由f (x )有两个零点，可得3－a ＝0，即a ＝3，可得两零点分别为－1，12. 因为f (g (x ))有6个零点，∴g (x )＝－1与g (x )＝12的根共有6个， ∴f (x )＝－1－b 和f (x )＝12－b 都有3个实数根， 则－1－b >0，且12－b >0，即b <－1且b <12， 可得b <－1，则有a ＋b <2，即a ＋b 的取值范围是(－∞，2).。
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2020届二轮（理科数学） 三角函数的周期性 专题卷（全国通用）
1.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
B [∵f (x ＋5)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，
∴f (3)＝f (3－5)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，
∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，
∴f (3)－f (4)＝－2＋1＝－1.] 2.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2x ＋π3的周期不大于4，则正整数k 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5 C [由T ＝2πω得T ＝2πk 2
＝4πk
. ∵T ≤4，∴4πk
≤4，∴k ≥π， ∴正整数k 的最小值为2.]
3.设函数f (x )(x ∈R )是以π为最小正周期的周期函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝cos x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫113π＝( ) A ．－12 B.12 C.32
D ．－32 A [∵T ＝π，x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π2，π时，f (x )＝cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫113π＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫3π＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝cos 2π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.] 二、填空题
4.对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________．
2(答案不唯一) [由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2.]
5.若函数f (x )＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
6 [T ＝2πω，又T ∈(1,3)，∴1<2πω
<3，又ω∈N *，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为4.] 6.已知函数f (x )对于任意x ∈R 满足条件f (x ＋3)＝1f (x )，且f (1)＝12
，则f (2 020)＝________. 2 [∵f (x ＋3)＝1f (x )
， ∴f (x ＋6)＝1f (x ＋3)
＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝6， ∴f (2 020)＝f (336×6＋4)＝f (4)．
又f (4)＝f (1＋3)＝
1f (1)＝2， ∴f (2 020)＝2.]
三、解答题
7.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数．
(1)求f (4)的值；
(2)若－2≤x ≤－1时，f (x )＝sin πx 2
＋1，求2≤x ≤3时，f (x )的解析式． [解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (4)＝f (4＋0)＝f (0)＝0.
(2)设2≤x ≤3，则－2≤－4＋x ≤－1，
∴f (－4＋x )＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2(－4＋x )＋1＝sin π2x ＋1， ∴f (x )＝f (－4＋x )＝sin π2
x ＋1. 8.若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？
(3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
[解] (1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.
(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.
[等级过关练]
1．已知函数f (x )＝sin πx 3
，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝( ) A ．1 B ．－1 C. 3
D ．－ 3 C [f (x )的周期T ＝2ππ3
＝6，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π3＋sin 2π3
＋sin π＋sin 4π3＋sin 5π3
＋sin 2π＝0. 原式＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (1)＋f (2)＝ 3.]
2．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α4＋π12＝95
，则sin α的值为( ) A.35
B.35或－35
C.45
D.45或－45
D [∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2
＝2. ∴f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35
.
∴sin α＝±1－cos 2α＝±45
.] 1.函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－ωx (ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________. －12 [由周期公式可知4π＝2π|ω|⇒|ω|＝12，由ω＜0，可知ω＝－12
.] 2.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值 ，则ω的最小值为________．
199π2 [函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω
，因为在每一个周期内， 函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小
值，则y 在区间[0,1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，
解得ω≥199π2
，所以ω的最小值为199π2
.] 3.已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－
1f (x )(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数；
(2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．
[解] (1)证明：∵f (x ＋2)＝－1f (x )
， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)
＝－1－1f (x )
＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)∵4是f (x )的一个周期，
∴f (5)＝f (1)＝－5，
∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)
1
f(－1＋2)＝－1
f(1)＝1 5 .
＝－。