2020届 二轮(理科数学) 三角函数的周期性 专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学） 三角函数的周期性 专题卷（全国通用）

1.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )

A ．1

B ．－1

C ．3

D ．－3

B [∵f (x ＋5)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，

∴f (3)＝f (3－5)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，

∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，

∴f (3)－f (4)＝－2＋1＝－1.] 2.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫k 2x ＋π3的周期不大于4，则正整数k 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．5 C [由T ＝2πω得T ＝2πk 2

＝4πk

. ∵T ≤4，∴4πk

≤4，∴k ≥π， ∴正整数k 的最小值为2.]

3.设函数f (x )(x ∈R )是以π为最小正周期的周期函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝cos x ，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫113π＝( ) A ．－12 B.12 C.32

D ．－32 A [∵T ＝π，x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫π2，π时，f (x )＝cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫113π＝f ⎝

⎛⎭⎪⎫3π＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝cos 2π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.] 二、填空题

4.对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________．

2(答案不唯一) [由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2.]

5.若函数f (x )＝2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．

6 [T ＝2πω，又T ∈(1,3)，∴1<2πω

<3，又ω∈N *，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为4.] 6.已知函数f (x )对于任意x ∈R 满足条件f (x ＋3)＝1f (x )，且f (1)＝12

，则f (2 020)＝________. 2 [∵f (x ＋3)＝1f (x )

， ∴f (x ＋6)＝1f (x ＋3)

＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝6， ∴f (2 020)＝f (336×6＋4)＝f (4)．

又f (4)＝f (1＋3)＝

1f (1)＝2， ∴f (2 020)＝2.]

三、解答题

7.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数．

(1)求f (4)的值；

(2)若－2≤x ≤－1时，f (x )＝sin πx 2

＋1，求2≤x ≤3时，f (x )的解析式． [解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (4)＝f (4＋0)＝f (0)＝0.

(2)设2≤x ≤3，则－2≤－4＋x ≤－1，

∴f (－4＋x )＝sin ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π2(－4＋x )＋1＝sin π2x ＋1， ∴f (x )＝f (－4＋x )＝sin π2

x ＋1. 8.若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：

(1)单摆运动的周期是多少？

(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？

(3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？

[解] (1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.

(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．

(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.

[等级过关练]

1．已知函数f (x )＝sin πx 3

，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝( ) A ．1 B ．－1 C. 3

D ．－ 3 C [f (x )的周期T ＝2ππ3

＝6，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π3＋sin 2π3

＋sin π＋sin 4π3＋sin 5π3

＋sin 2π＝0. 原式＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (1)＋f (2)＝ 3.]

2．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α4＋π12＝95

，则sin α的值为( ) A.35

B.35或－35

C.45

D.45或－45

D [∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2

＝2. ∴f (x )＝3sin ⎝

⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35

.

∴sin α＝±1－cos 2α＝±45

.] 1.函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－ωx (ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________. －12 [由周期公式可知4π＝2π|ω|⇒|ω|＝12，由ω＜0，可知ω＝－12

.] 2.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值 ，则ω的最小值为________．

199π2 [函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω

，因为在每一个周期内， 函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小

值，则y 在区间[0,1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，

解得ω≥199π2

，所以ω的最小值为199π2

.] 3.已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－

1f (x )(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数；

(2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．

[解] (1)证明：∵f (x ＋2)＝－1f (x )

， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)

＝－1－1f (x )

＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期．

(2)∵4是f (x )的一个周期，

∴f (5)＝f (1)＝－5，

∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)