万有引力定律应用的12种典型案例

万有引力定律应用的12种典型案例

万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。

下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例：

【案例1】天体的质量与密度的估算

下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度

解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r

根据万有引力定律：

r T

4m r Mm G 22

2π=……①得：

2

32G T

r 4M π=……②可见A 正确 而T

r

2v π=

……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3

R 4M

3

π=

ρ……⑤结合②④⑤得：

G

3T 2π

=

ρ 可见D 错误 地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力

由2R

Mm

G mg =得：G g R M 2=可见B 正确

【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。

【案例2】普通卫星的运动问题

我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？

解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律

由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大

又根据牛顿万有引力定律r v m

ma r

Mm G 22==得：

2

r M

G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r

GM

v =

，可见“风云一号”卫星的线速度大， “风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。

【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r =，v =ω=2T π= ⑴所有运动学量量都是r 的函数。我们应该建立函数的思想。

⑵运动学量v 、a 、ω、f 随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。 ⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于85min 。 ⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。

【案例3】同步卫星的运动

下列关于地球同步卫星的说法中正确的是：

A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上

B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h

C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上

D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。 解析：本题考察地球同步卫星的特点及其规律。

同步卫星运动的周期与地球自转周期相同，T=24h ，角速度ω一定

根据万有引力定律r T

4m r mM G 22

2π=得知通讯卫星的运行轨道是一定的，离开地面的高度也是一定

的。地球对卫星的引力提供了卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为为圆心做圆周运动，它只能与赤道同平面且定点在赤道平面的正上方。故B 正确，C 错误。 不同通讯卫星因轨道半径相同，速度大小相等，故无相对运动，不会相撞，A 错误。

由r v m m a r

Mm G 2

2==知：通讯卫星运行的线速度、向心加速度大小一定。

故正确答案是：B 、D

【探讨评价】通讯卫星即地球同步通讯卫星，它的特点是：与地球自转周期相同，角速度相同；与地球赤道同平面，在赤道的正上方，高度一定，绕地球做匀速圆周运动；线速度、向心加速度大小相同。 三颗同步卫星就能覆盖地球。

【案例4】“双星”问题

天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离比较远的星体叫做双星，双星的间距是一定的。设双星的质量分别是m 1、m 2，星球球心间距为L 。问：

⑴两星体各做什么运动？

⑵两星的轨道半径各多大？⑶两星的速度各多大？ 解析：本题主要考察双星的特点及其运动规律

⑴由于双星之间只存在相互作用的引力，质量不变，距离一定，则引力大小一定，根据牛顿第二定律知道，每个星体的加速度大小不变。因此它们只能做匀速圆周运动。 ⑵由牛顿定律2221212

2

1r m r m L

m m G

ω=ω=……① 得：

1

2

21m m r r = 又L r r 21=+……② 解得：L m m m r L m m m r 2

11

2

2

121

+=+=……③

⑶由①得：)m m (L G

m L

r Gm r v 2122

1211+==

ω= )m m (L G m L r Gm r v 211

2

2122+==

ω= 【探讨评价】双星的特点就是距离一定，它们间只存在相互作用的引力，引力又一定，从而加速度大小就是一个定值，这样的运动只能是匀速圆周运动。这个结论很重要。同时利用对称性，巧妙解题，找到结论的规律，搞清结论的和谐美与对称美对我们以后的学习也很有帮助。

【案例5】“两星”问题

如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是T 1、T 2，(T 1＜T 2)，且某时刻两卫星相距最近。问：

2