近世代数期末试卷
近世代数期末考试试卷及答案(正)
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集(C )是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a —bB 、a*b=max{a ,b}C 、 a*b=a+2bD 、a *b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个——--变换群—-————同构。
2、一个有单位元的无零因子的—-交换环---称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于—-25--——.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-模n 乘余类加群-—-———同构。
5、A={1。
2.3} B={2。
5。
6} 那么A ∩B=—-{2}—--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为--——一一映射—-—-————----—。
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的——不都等于零的元-—-n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案[精华版]近世代数期末考试试卷及答案⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题,每⼩题3分,共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1、设G 有6个元素的循环群,a是⽣成元,则G的⼦集( )是⼦群。
33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下⾯的代数系统(G,*)中,( )不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法C、G为有理数集合,*为加法D、G为有理数集合,*为乘法3、在⾃然数集N上,下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|,,,,,,3322114、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),= ,3(1324),则=( )22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意⼀个具有2个或以上元的半群,它( )。
A、不可能是群,,,B、不⼀定是群C、⼀定是群D、是交换群⼆、填空题(本⼤题共10⼩题,每空3分,共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
1、凯莱定理说:任⼀个⼦群都同⼀个----------同构。
2、⼀个有单位元的⽆零因⼦-----称为整环。
4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于------。
4、a的阶若是⼀个有限整数n,那么G与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。
6、若映射既是单射⼜是满射,则称为-----------------。
,,a,a,?,a01n,FF7、叫做域的⼀个代数元,如果存在的-----使得na,a,,?,a,,001n。
x,A8、是代数系统的元素,对任何均成⽴,则称为---------。
ax,a,xa(A,0) GG9、有限群的另⼀定义:⼀个有乘法的有限⾮空集合作成⼀个群,如果满⾜对于乘法封闭;结合律成⽴、---------。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x = ,则称a 为---------。
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一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的?( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能就是群B 、不一定就是群C 、一定就是群D 、 就是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。
5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既就是单射又就是满射,则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。
8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为---------。
近世代数期末考试真题
近世代数期末练习题一、判断题(在括号里打上 √ 或 ⨯ )1、一个阶是11的群只有两个子群。
( )2、循环群的子群是循环子群。
( )3、在一个环中,若右消去律成立,则左消去律成立。
( )4、消去律在无零因子环中一定成立。
( )5、在环中,逆元一定不是零因子。
( )6、在一个域中一定不存在零因子。
( )7、模99的剩余类环99Z 是一个域。
( )8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。
( )9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。
( )10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。
( )11、群G 的两个子群的交还是子群。
( )12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。
( )13、群G 的不变子群也是G 的子群,环R 的理想也是R 的子环。
( )14、设群G 与群G'同态,则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。
( )15、一个域一定是一个整环。
( )二、填空题1、在3次对称群3S 中,元素(123)的阶为 ,(123)的逆元为 ,(123)所生成的子群在3S 中的指数为 ,该子群是否3S 的不变子群? 。
2、环Z 6的全部零因子是 ,全部可逆元是 。
3、在环Z 10中,[6]+[7]= ,[6][7]= ,[6]-[7]= ,[6]3= ,[7]-1= 。
三、证明:(1)若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . (2)若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . (3)在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶.四、证明:设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ⇔ n | ( s – t ) .五、设R 是一个环,证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。
六、设G 是一个群,证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。
A 、B 、C 、D 、{}a {}e a ,{}3,a e {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),1σ2σ3σ1σ2σ=(1324),则=( )3σ3σA 、 B 、 C 、 D 、12σ1σ2σ22σ2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于------。
G a 4a 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。
6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。
ϕϕ7、叫做域的一个代数元,如果存在的-----使得αF F n a a a ,,,10 。
010=+++n n a a a αα8、是代数系统的元素,对任何均成立,则称为-------a )0,(A A x ∈x a x = a --。
近世代数期末考试试题库
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射:x→x+2,x∈R,则是从A到B的( c )A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有( d )个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解是(b )乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数(c )A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的(d )A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合;,则有。
2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个——变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全.6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a 的逆元是a-1。
8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么———————-—。
9、一个除环的中心是一个-域———--。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换和分别为:,,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。
2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积:可知为奇置换,为偶置换。
近世代数期末试卷
数学与应用数学专业《 近世代数 》一、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)1、一个变换群的单位元是2、设()G a =是一个6阶循环群,G 的生成元的集合是3、H 是群G 的子群,H 的右陪集Ha Hb =当且仅当4、,,a b H ab H ∈∈是群G 的非空有限子集H 作成G 的一个子群 的 条件5、假定循环群()G a =,a 的阶是n ,那么G 的乘法是h k a a =6、在两个群G 和G '的一个同态映射f 下,:f a a '→,a a '与的阶的关系是(填一定相同, 一定不同, 可能不同,整除等) 7、在4S 中,元(13)(24)的阶是8、模6剩余类环6Z 的子环{[0],[2],[4]}的特征为二、解答题(本题共7小题,每小题6分,共42分)1、设f 是集合A 到B 的映射,,a b A ∈,规定关系:“”:()()a b f a f b ⇔=:, 判断:“”是不是A 上的等价关系,并说明理由。
2、设()G a =是10阶循环群,找出G 的所有子群。
3、求群12(,)Z + 关于子群([3])H =的所有左陪集。
4、求模10的剩余类环10Z 的所有零因子。
5、设环R 与R '同态,命题:R '是交换环,则R 也是交换环是否正确?说明理由。
6、在实数域R 上的2阶全矩阵环是不是它的理想?说明理由。
7、已知2112341234,,24133412αβαβ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求,并把最终结果写成循环置换乘积的形式.三、证明题(本题共3小题,34分)1、设f 和g 都是群G 到G '的同态映射。
证明:{()()}H x x G f x g x =∈=且是G 的子群。
(10分)20(),,,,00a b a M R a b c d R S a R c d ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭中2、设C 是非零复数乘法群, R 是正实数乘法群,D 是模为1的复数乘法群,证明:C R D≅ 。
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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R(实数集),如果A至UB的映射中:x-x+2,Vx€R,则中是从A至UB的(c)A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合AXB中含有(d)个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b6G都有解,这个解是(b)乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数(c)A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的(d)A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合A“T0」>;B=42},则有BMA=。
2、若有元素e6R使每a6A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。
8、设I和S是环R的理想且1=S=R,如果I是R的最大理想,那么。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)[写成对换的乘积。
2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
奇1、解:把仃和工写成不相杂轮换的乘积:二三(1653)(247)(8).=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换,七为偶置换。
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近世代数期末考试试卷及答案1、设 G 有 6 个元素的循环群, a 是生成元,则G的子集()是子群.A、 aB、a, eC、e, a3D、e, a,a 32、下面的代数系统( G,* )中,()不是群A、G为整数集合, * 为加法 B 、G为偶数集合, * 为加法C、G为有理数集合, * 为加法 D 、G为有理数集合, * 为乘法3、在自然数集 N 上,下列哪种运算是可结合的?()A、a*b=a-bB、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设 1 、 2 、3 是三个置换,其中 1 =(12)(23)(13), 2 =(24)(14),3 =( 1324),则3 =()A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 11 25、任意一个具有 2 个或以上元的半群,它().A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题 ( 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、凯莱定理说:任一个子群都同一个 ---------- 同构 .2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 .3、已知群G中的元素a的阶等于 50,则a4 的阶等于 ------.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么 G与------- 同构 .5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----.6、若映射既是单射又是满射,则称为----------------- .7、叫做域F的一个代数元,如果存在 F 的a0 , a1 ,, a n使得aa1 a nn0 .8、a是代数系统( A,0)的元素,对任何x A 均成立x ax,则称a为 --------- .9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G对于乘法封闭;结合律成立、 ---------.10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群,则P 是----------.三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)1、设集合 A={1,2,3}G 是 A 上的置换群, H 是 G的子群, H={I,(1 2)},写出H的所有陪集.2、设 E 是所有偶数做成的集合,“?”是数的乘法,则“?”是 E 中的运算,( E,?)是一个代数系统,问( E,?)是不是群,为什么?3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b]和p, q.四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)1、若 <G,*> 是群,则对于任意的a、 b∈ G,必有惟一的 x∈ G使得 a*x = b.2、设 m是一个正整数,利用m定义整数集 Z 上的二元关系: a? b 当且仅当 m︱ a– b.近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.1、6 阶有限群的任何子群一定不是().A、2阶B、3 阶C、4阶D、6阶2、设 G是群, G有()个元素,则不能肯定G是交换群 .A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于().A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格()A、(N,)B、(Z,)C、( {2,3,4,6,12},|(整除关系))D、 (P(A),)5、设 S3= {(1) , (12) , (13) , (23) ,(123) ,(132)} ,那么,在 S3 中可以与 (123) 交换的所有元素有()A、(1) , (123) ,(132) B 、 12) ,(13) ,(23)C、(1) , (123) D 、 S3 中的所有元素二、填空题 ( 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 .1、群的单位元是 -------- 的,每个元素的逆元素是 -------- 的 .2、如果f是 A 与A间的一一映射,a是 A 的一个元,则f1f a---------- .3、区间 [1 , 2] 上的运算ab{min a,b}的单位元是 -------.4、可换群 G中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= —————————— .5、环 Z8的零因子有 ----------------------- .6、一个子群 H 的右、左陪集的个数 ---------- .7、从同构的观点,每个群只能同构于他/ 它自己的 --------- .8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R的----------- .9、设群G中元素a的阶为m,如果ane,那么m与n存在整除关系为 -------- .三、解答题(本大题共 3 小题,每小题10 分,共 30 分)1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?2、S1, S2是 A的子环,则 S1∩ S2也是子环 .S 1 +S2也是子环吗?3、设有置换(1345)(1245) ,(234)(456) S6.1.求和1;2.确定置换1的奇偶性 . 和四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M为含幺半群,证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e.近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题 .1、C;2、D;3、B;4、C;5、D;二、填空题 ( 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分).1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1;2、单位元;3、交换环;4、整数环;5、变换群;6、同构 ;7 、零、 -a ;8、S=I 或 S=R ;9、域;三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)1、解:把和写成不相杂轮换的乘积:(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换,为偶置换.和可以写成如下对换的乘积:(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)B 1(A A) C1(A A),则 B 是对称矩阵,而 C 是反对2、解:设 A 是任意方阵,令 2 , 2称矩阵,且AB C.若令有AB1C1 ,这里B1 和C1 分别为对称矩阵和反对称矩阵,则B B1C1C,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:B B1 ,C C1,所以,表示法唯一.3、答:(Mm,m)不是群,因为Mm中有两个不同的单位元素0 和 m.四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)1、对于 G中任意元 x,y,由于(xy)2 e ,所以 xy ( xy) 1 y 1 x1yx(对每个 x,从x2 e 可得 x x 1 ).2、证明在 F 里ab 1 b 1 a a (a, b R, b 0)bQ所有a(a,b R, b0)有意义,作 F 的子集 bQ显然是 R 的一个商域证毕.近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分).二、填空题 ( 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分).1、变换群;2、交换环;3、25;4、模 n 乘余类加群;5、{2} ;6、一一映射;7、不都等于零的元; 8、右单位元; 9、消去律成立; 10、交换环;三、解答题(本大题共 3 小题,每小题10 分,共 30 分)1、解: H的 3 个右陪集为: {I,(1 2)} ,{(123) ,(1 3)} ,{(1 32) ,(23)}H的 3 个左陪集为: {I,(1 2)} ,{(1 2 3) ,(2 3)} ,{(1 3 2 ) ,(1 3 )}2、答:( E,?)不是群,因为( E,?)中无单位元 .3、解方法一、辗转相除法 . 列以下算式:a=b+102b=3× 102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代: 17=102-85=102-(b-3 ×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)1、证明设e是群<G,*>的幺元.令x=a-1*b,则a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b. 所以, x=a-1*b 是 a*x = b 的解 .若 x ∈G也是 a*x = b 的解,则 x =e*x =(a - 1*a)*x =a-1*(a*x ) =a-1*b = x. 所以, x=a-1*b 是 a*x = b 的惟一解 .2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合Z记为 Zm,每个整数 a 所在的等价类记为 [a]= {x∈ Z; m︱ x– a}或者也可记为a,称之为模 m剩余类 . 若 m ︱a– b 也记为 a≡b(m).当 m=2时, Z2 仅含 2 个元: [0] 与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内. 错选、多选或未选均无分.二、填空题 ( 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案 . 错填、不填均无分 .1、唯一、唯一;2、a; 3、 2; 4、 24;5、; 6、相等; 7、商群; 8、特征; 9、m n;三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)1、解在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法. 用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行计算:例如,全白只 1 种,四白一黑 1 种,三白二黑 2 种,等等,可得总共8 种 .2、证由上题子环的充分必要条件,要证对任意a,b ∈ S1∩S2 有 a-b, ab ∈ S1∩S2:因为 S1,S2 是 A 的子环,故 a-b, ab ∈S1 和 a-b, ab ∈S2 ,因而 a-b, ab ∈S1∩S2 ,所以 S1∩ S2 是子环 .S1+S2不一定是子环 . 在矩阵环中很容易找到反例:3、解: 1 .(1243)(56) ,1(16524 ) ;2.两个都是偶置换 .四、证明题(本大题共 2 小题,第 1 题 10 分,第 2 小题 15 分,共 25 分)1、证明:假定是 R 的一个理想而不是零理想,那么 a 0,由理想的定义a 1a 1,因而R的任意元b b ?1这就是说=R,证毕 .2、证必要性:将 b 代入即可得 . 充分性:利用结合律作以下运算:ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ,ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ,所以 b=a-1.。
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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射:x→x+2,x∈R,则是从A到B的()A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有()个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b∈G都有解,这个解是()乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数()A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的()A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA---------。
2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换,则称R是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a的逆元是-------。
8、设I和S是环R的理想且I S R,如果I是R的最大理想,那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换和分别为:写成对换的乘积。
1234567864173528,1234567823187654,判断和的奇偶性,并把和12、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射ϕ:x →x +2,∀x ∈R ,则ϕ是从A 到B 的( c ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( d )个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是(b )乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数(c )A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的(d )A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B 。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换,则称R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a 的逆元是a-1。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么---------。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换σ和τ分别为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。
近世代数期末考试试卷及答案
近世代数期末考试试卷及答案1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群.A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( ).A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构.2、一个有单位元的无零因子-----称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------.4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构.5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----.6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为-----------------.7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα . 8、a 是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x = ,则称a 为---------.9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、---------.10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P是----------.三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群,H是G的子群,H={I,(1 2)},写出H的所有陪集.2、设E是所有偶数做成的集合,“•”是数的乘法,则“•”是E中的运算,(E,•)是一个代数系统,问(E,•)是不是群,为什么?3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q.四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、若<G,*>是群,则对于任意的a、b∈G,必有惟一的x∈G使得a*x=b.2、设m是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:a〜b当且仅当m︱a–b.近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、6阶有限群的任何子群一定不是().A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群,G有()个元素,则不能肯定G是交换群.A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于().A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格()A、(N,≤)B、(Z,≥)C、({2,3,4,6,12},|(整除关系))D、 (P(A),⊆)5、设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()A 、(1),(123),(132)B 、12),(13),(23)C 、(1),(123)D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的.2、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1----------.3、区间[1,2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------.4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————.5、环Z 8的零因子有 -----------------------.6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------.7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的---------.8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------.9、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为--------.三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?2、S 1,S 2是A 的子环,则S 1∩S 2也是子环.S 1+S 2也是子环吗?3、设有置换)1245)(1345(=σ,6)456)(234(S ∈=τ.1.求στ和στ-1;2.确定置换στ和στ-1的奇偶性. 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想.2、M 为含幺半群,证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e .近世代数模拟试题一 参考答案一、单项选择题.1、C ;2、D ;3、B ;4、C ;5、D ;二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分).1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--;2、单位元;3、交换环;4、整数环;5、变换群;6、同构;7、零、-a ;8、S=I 或S=R ;9、域;三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、解:把σ和τ写成不相杂轮换的乘积:)8)(247)(1653(=σ )6)(57)(48)(123(=τ可知σ为奇置换,τ为偶置换. σ和τ可以写成如下对换的乘积:)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ2、解:设A 是任意方阵,令)(21A A B '+=,)(21A A C '-=,则B 是对称矩阵,而C 是反对称矩阵,且C B A +=.若令有11C B A +=,这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵,则C C B B -=-11,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:1B B =,1C C =,所以,表示法唯一.3、答:(m M ,m +)不是群,因为m M 中有两个不同的单位元素0和m.四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、对于G 中任意元x ,y ,由于e xy =2)(,所以yx x y xy xy ===---111)((对每个x ,从e x =2可得1-=x x ).2、证明在F 里)0,,(11≠∈==--b R b a b a a b ab有意义,作F 的子集)0,,(≠∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-b R b a b a Q 所有-Q 显然是R 的一个商域 证毕. 近世代数模拟试题二 参考答案一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分).二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分).1、变换群;2、交换环;3、25;4、模n乘余类加群;5、{2};6、一一映射;7、不都等于零的元;8、右单位元;9、消去律成立;10、交换环;三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、解:H的3个右陪集为:{I,(1 2)},{(1 2 3 ),(1 3)},{(1 3 2 ),(2 3 )}H的3个左陪集为:{I,(1 2)} ,{(1 2 3 ),(2 3)},{(1 3 2 ),(1 3 )}2、答:(E,•)不是群,因为(E,•)中无单位元.3、解方法一、辗转相除法.列以下算式:a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339.然后回代:17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、证明设e是群<G,*>的幺元.令x=a-1*b,则a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b.所以,x=a-1*b是a*x=b的解.若x'∈G也是a*x=b的解,则x'=e*x'=(a-1*a)*x'=a-1*(a*x')=a-1*b=x.所以,x=a-1*b是a*x=b的惟一解.2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合Z记为Zm,每个整数a所在的等价类记为[a]={x∈Z;m︱x–a}或者也可记为a,称之为模m剩余类.若m ︱a–b也记为a≡b(m).当m=2时,Z2仅含2个元:[0]与[1].近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、唯一、唯一;2、a ;3、2;4、24;5、;6、相等;7、商群;8、特征;9、n m ;三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、解 在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法.用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行计算:例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2种,…等等,可得总共8种.2、证 由上题子环的充分必要条件,要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2: 因为S1,S2是A 的子环,故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ,因而a-b, ab ∈S1∩S2 ,所以S1∩S2是子环.S1+S2不一定是子环.在矩阵环中很容易找到反例:3、解: 1.)56)(1243(=στ,)16524(1=στ-;2.两个都是偶置换.四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、证明:假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想,那么a 0≠∈μ,由理想的定义μ∈=-11a a ,因而R 的任意元μ∈•=1b b这就是说μ=R ,证毕.2、证 必要性:将b 代入即可得.充分性:利用结合律作以下运算:ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ,ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ,所以b=a-1.。
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4.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有(d)个。
A.2B.4
C.6D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是(b)
A.整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”: m,n∈Z,m n=0
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。
9、设群 中元素 的阶为 ,如果 ,那么 与 存在整除关系为---mIn----。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?
2、S1,S2是A的子环,则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗?
显然是R的一个商域 证毕。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集(c )是子群。
A、 B、 C、 D、
2、下面的代数系统(G,*)中,(d )不是群
A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法
C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法
1、若<G,*>是群,则对于任意的a、b∈G,必有惟一的x∈G使得a*x=b。
2、设m是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:a〜b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何子群一定不是( c )。
A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶
2、设G是群,G有( c)个元素,则不能肯定G是交换群。
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近世代数期末考试题库完整近世代数模拟试题⼀⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题,每⼩题3分,共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射?:x →x +2,?x ∈R ,则?是从A 到B 的()A 、满射⽽⾮单射B 、单射⽽⾮满射C 、⼀⼀映射D 、既⾮单射也⾮满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有()个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中⽅程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是()乘法来说A 、不是唯⼀B 、唯⼀的C 、不⼀定唯⼀的D 、相同的(两⽅程解⼀样)4、当G 为有限群,⼦群H 所含元的个数与任⼀左陪集aH 所含元的个数()A 、不相等B 、0C 、相等D 、不⼀定相等。
5、n 阶有限群G 的⼦群H 的阶必须是n 的()A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数⼆、填空题(本⼤题共10⼩题,每空3分,共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=?A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法⼀般不交换。
如果环R 的乘法交换,则称R 是⼀个------。
4、偶数环是---------的⼦环。
5、⼀个集合A 的若⼲个--变换的乘法作成的群叫做A 的⼀个--------。
6、每⼀个有限群都有与⼀个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成⼀个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??,如果I 是R 的最⼤理想,那么---------。
近世代数期末考试试卷及答案
近世代数期末考试试卷及答案⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题,每⼩题3分,共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1、设G 有6个元素的循环群,a 是⽣成元,则G 的⼦集(c )是⼦群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下⾯的代数系统(G ,*)中,( D )不是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在⾃然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( B )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( B ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意⼀个具有2个或以上元的半群,它( A )。
A 、不可能是群B 、不⼀定是群C 、⼀定是群D 、是交换群⼆、填空题(本⼤题共10⼩题,每空3分,共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
1、凯莱定理说:任⼀个⼦群都同⼀个----变换群------同构。
2、⼀个有单位元的⽆零因⼦-交换环----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于----25--。
4、a 的阶若是⼀个有限整数n ,那么G 与---模n 剩余类加群----同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---{2}--。
6、若映射?既是单射⼜是满射,则称?为----双射-------------。
7、α叫做域F 的⼀个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成⽴x a x = ,则称a 为---右单位元------。
近世代数期末考试真题
近世代数期末考试真题近世代数期末练习题一、判断题(在括号里打上√ 或 ? )1、一个阶是11的群只有两个子群。
( )2、循环群的子群是循环子群。
( )3、在一个环中,若右消去律成立,则左消去律成立。
( )4、消去律在无零因子环中一定成立。
( )5、在环中,逆元一定不是零因子。
( )6、在一个域中一定不存在零因子。
( )7、模99的剩余类环99Z 是一个域。
( )8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。
( )9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。
( )10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。
( )11、群G 的两个子群的交还是子群。
( )12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。
( )13、群G 的不变子群也是G 的子群,环R 的理想也是R 的子环。
( )14、设群G 与群G'同态,则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。
( )15、一个域一定是一个整环。
( )二、填空题1、在3次对称群3S 中,元素(123)的阶为,(123)的逆元为,(123)所生成的子群在3S 中的指数为,该子群是否3S 的不变子群?。
2、环Z 6的全部零因子是,全部可逆元是。
3、在环Z 10中,[6]+[7]= ,[6][7]= ,[6]-[7]= ,[6]3= ,[7]-1= 。
三、证明:(1)若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . (2)若群G 的元 a 的阶大于2, 则a –1 ≠ a . (3)在群G 中, 元 a 与逆元a–1有相同的阶.四、证明:设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) .五、设R 是一个环,证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。
六、设G 是一个群,证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。
近世代数期末考试试卷
近世代数模拟试题一一、单项选择题1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射ϕ:x→x +2,∀x ∈R ,则ϕ是从A 到B 的(C)A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射3、在群G 中方程ax=b ,ya=b ,a,b ∈G 都有解,这个解乘法来说是(B) A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数(C) A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的(D)A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换,则称R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A 的若干个变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换群。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a 的逆元是1a。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么-----S R S I ==或者----。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)1、设置换σ和τ分别为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。
(1653)(247)(123)(48)(57)στ==σ为奇置换,τ为偶置换)27)(24)(16)(15)(13(=σ)57)(48)(12)(13(=τ3、设集合{0,1,2,,1,}(1)m M m m m =⋯>⋯-,定义m M 中运算“m +”为a+b=(a+b)(modm ),则(m M ,m +)是不是群,为什么?答:(m M ,m +)不是群,因为m M 中有两个不同的单位元素0和m 。
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近世代数期末试卷
一、填空题(共20分)
1. 设G=(a)是6阶循环群,则G的子群有。
2. 设A、B是集合,| A |=| B |=3,则共可定义个从A到B的映射,其中
有个单射,有个满射,有个双射。
3. 在4次对称群S4中,(24)(231)=,(4321)-1=,(132)的阶为。
4. 环Z6的全部零因子是。
5. 整环Z中的单位有。
6. 设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=<a3>的在G中的指数是。
二、判断题(对打“√”,错打“×”,每小题2分,共20分)
1. ()一个阶是11的群只有两个子群。
2. ()设G是群,H1是G的不变子群,H2是H1的不变子群,则H2是G的不变子群。
3. ()存在特征是2004的无零因子环。
4. ()域是主理想整环。
5. ()模27的剩余类环Z27是域。
6. ()素数阶群都是交换群。
7. ()在一个环中,若左消去律成立,则消去律成立。
8. ()循环群的商群是循环群。
9. ()域只有零理想和单位理想。
10. ()相伴关系是整环R的元素间的一个等价关系。
三、解答题(共30分)
1. 设H={(1),(12)}是对称群S3的子群,写出H的所有左陪集和所有右陪集,问H 是否是S3的不变子群?为什么
2. 求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中,求由2004,17生成的理想A=(2004,17)。
四、证明题(共30分)
1.设I1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z},试证明:
(1)I1,I2都是整数环Z的理想。
(2)I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。
2. 设φ是群G到群H的同态满射, H1是H的子群。
证明:G1= {x|x∈G且φ(x)∈H1}是G的子群。
3. 设环(R,+,·,0,1)是整环。
证明:多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。
- 1 -。