华中科技大学硕士研究生考试《电动力学习题集

《电动力学》习题 集

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一、思考题

1、写出麦克斯韦方程组积分式和微分式，并说明建立方程组依据了哪些试验定律。

答：麦克斯韦方程组积分式为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=•=••⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=••∂∂-=•S

V

S

L S L S

s d B dV

s d E s d t E j l d B s d t B l d E 0

1

00ρρρρρρ

ρρρρρ

ρρρεεμ 麦克斯韦方程组微分式为：0

00=•∇=

•∇∂∂+=⨯∇∂∂-

=⨯∇B E t E j B t

B E ρρρ

ρρρρερεμμ

依据的试验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理。

2、位移电流是怎样定义的？它与传导电流有何区别？ 答：我们知道恒定电流是闭合的：

()恒定电流.0=⋅∇J

在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有

.0≠∂∂-=⋅∇t J ρ

现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=⨯∇ 取两边散度，由于

0≡⨯∇⋅∇B ，因此上式只有当0=⋅∇J 时才能成立。在非恒定情形下，一般有0≠⋅∇J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。

把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流

J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+⋅∇D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=⨯∇0μ。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 .0=∂∂+

⋅∇t

J ρ

电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=⋅∇E 两式合起来

得：.00=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

∂∂+⋅∇t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式

.0

t

E

J D ∂∂=ε 位移电流与传导电流有何区别：

位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。

3、分别写出电荷守恒定律的积分式和微分式，并由此写出恒定电流的连续性方程。

答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：0

=∂∂+•∇∂∂-=•⎰⎰t J dV t ds J S V

ρρρρ

恒定电流的连续性方程为：0=•∇J

4、在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p 和磁化强度矢量M 各是怎样定义的？并写出P 与；M 与j ；E 、D 与p 以及B 、H 与M 的关系。

答：极化强度矢量p ：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P 描述，它等于物理小体积V ∆内的总电

偶极矩与V ∆之比，.V

p

P i

∆=

∑ρ

i p 为第i 个分子的电偶极矩，求和符号表示对V

∆内所有分子求和。 磁化强度矢量M ：

介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度M J 。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电

流i 的小线圈，线圈面积为a ，则与分子电流相应的磁矩为： .ia m =

介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M 表示，它定义为物理小体积V ∆内的总磁偶极矩与V ∆之比，

.V

m M i

∆=

∑

M B H P E D M j P M P ρ

ρρρρρρρρ-=+=⨯∇=•∇=0

0,,,μερ

5、写出导体表面的边界条件。 答：理想导体表面的边界条件为：

.,0α=⨯=⨯H n E n ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=•=•.0,B n D n σ。它们可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。

6、在球坐标系中，若电势ϕ不依赖于方位角φ，写出这种情形下拉氏方程的通解。

解：拉氏方程在球坐标中的一般解为：

()()()φθφθφθϕm P R d R c m P R b R a R m n m n n nm n

nm m n m

n n nm n nm sin cos cos cos ,,,1

,1∑∑⎪⎭⎫ ⎝

⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+

=++ 式中nm nm nm nm d c b a 和,,为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。

()θcos m n P 为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势ϕ不依赖于方位角φ，这球形下通解为：

()()θθϕcos ,cos 1n n n n n n n P P R b R a ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛

++＝为勒让德函数，n n b a 和是任意常数，由

边界条件确定。

7、研究磁场时引入矢势A 的根据是什么？矢势A 的意义？

答：引入矢势A 的根据是：磁场的无源性。矢势A 的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A 的环量才有物理意义，而每点上的A （x ）值没有直接的物理意义。

8、什么是平面时谐电磁波？平面时谐电磁波有那些性质？写出一般坐标系下平面电磁波的表达式。 答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面，也就是说在垂直于波的传播方向的平面上，相位等于常数。 平面时谐电磁波的性质：

（1）电磁波为横波，E 和B 都与传播方向垂直； （2）E 和B 同相，振幅比为v ；