密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学答案20200602

密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试

数学试卷参考答案 2020.6

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

A

B

D

B

A

C

C

B

D

D

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

11．1(,0)4

- 12．20 13．10-；30- 14．

18；1574

15. ①②④． 备注：

（1）若小题有两问，第一问3分，第二问2分；

（2）第15题答案为①②④之一，3分；为①②④之二，4分；为①②④，5分；其它答案0分．

三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形．

因为11

2

AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，

所以ADC ?和11A DC ?均为等腰直角三角形．

所以o

1145ADC A DC ∠=∠=．

因此o

190C DC ∠=，即1C D DC ⊥．

因为1DC BD ⊥，BD DC D =I ， 所以1DC ⊥平面BCD ． 因为BC ?平面BCD ，

所以1DC BC ⊥．

（Ⅱ）解：因为1CC ⊥平面ABC ，AC ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，

所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥． 又因为1DC BC ⊥，111CC DC C =I ， 所以BC ⊥平面11ACC A ．

因为AC ?平面11ACC A ，所以BC AC ⊥ 以C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设1AC =，

则(0,0,0)C ，(1,0,0)A ，(010)B ，，，(101)D ，，，1(102)A ，

，，1(0,0,2)C ， 所以1(0,0,1)A D =-u u u u r ，1(1

,1,2)A B =--u u u r ，1(1,0,1)C D =-u u u u r ，1(0,1,2)C B =-u u u r

． C 1

A

B

C A 1 B 1

第16题图

D

D

C 1

A

B C A 1 B 1

第16题图

z

x y

设平面1A BD 的法向量()x y z =，，m ，

由1100.

A D A

B ??=???=??u u u u r u u u r

，m m 得020.z x y z -=??-+-=?， 令1x =，则(1,1,0)=m ．

设平面1C BD 的法向量()x y z =，，n ，

由1100.

C D C B ??=???=??u u u u r u u u r ，n n 得020.x z y z -=??-=?，

令1x =，则(1,2,1)=n ．

则有1112013

cos ,.||||226

??+?+?<>=

==??m n m n m n

因为二面角1A BD C --为锐角， 所以二面角1A BD C --的大小为

π

6

． 17. （本小题满分15分）

（Ⅰ）解：因为22

()=23sin cos cos sin f x x x x x +-

=3sin 2cos 2x x + =π2sin(2)6

x +．

所以函数()f x 的最小正周期πT =． 因为函数sin y x =的的单调增区间为ππ

[2π,2π],22

k k k -++∈Z ， 所以πππ

2π22π,262k x k k -

+++∈Z ≤≤， 解得ππ

ππ,36

k x k k -++∈Z ≤≤．

所以函数数()f x 的的单调增区间为ππ

[π,π],36

k k k -++∈Z ，

（Ⅱ）解：若选择①

由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤．

因为π[0,]2

x ∈，所以ππ7π

2666

x +≤≤． 故当ππ262x +=，即π

6

x =时，

()f x 取得最大值，且最大值为π

()26

f =．

所以2m ≤．

若选择②

由题意可知，不等式()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤．

因为π

[0,]2

x ∈，所以

ππ7π

2666

x +≤≤． 故当π7π266x +=，即π

2

x =时，

()f x 取得最小值，且最小值为π

()12

f =-．

所以1m -≤．

18．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A.

由图可知，去年消费金额在(3200,4000]内的有8人，在(4000,4800]内的有4人， 消费金额超过3200元的“健身达人”共有 8+4=12（人），

从这12人中抽取2人，共有2

12C 种不同方法，

其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有112

844C C C +种不同方法．

所以，()P A =1128442

1219

=33

C C C C +． （Ⅱ）解：方案1 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，

则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为

820257100+?=，25352515100+?=，12

253100

?=， 按照方案1奖励的总金额为

1750015600380014900ξ=?+?+?=（元）．

方案2 设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，

则η的可能取值为0，200，300．

由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为1

2152

5

C P C ==，

所以0

3

01

2

1

33323281(0)()()()()5

5

5

5

125

P C C η==+=

， 21233236

(200)()()55125

P C η===

， 303

3328(300)()()55125

P C η===．

所以η的分布列为：

数学期望为81368

020030076.8125125125

E η=?

+?+?=（元）

， 按照方案2奖励的总金额为

2(28602123)76.814131.2ξ=+?+??=（元），

因为由12ξξ>，所以施行方案2投资较少．

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：根据题意得2222

2221

31,4152,6.a b a b c a b c ?+=??

?+=???

?=+??

解得2,1,3.

a b c ?=?

=??

=?

所以椭圆C 的方程为2214

x y +=，离心率3е2=．

（Ⅱ）解：方法一

因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为． 设直线的方程为：6

5

x ty =-

， 联立方程226,51.

4

x ty x y ?

=-????+=??化简得22

1264(4)0525t y ty +--=．

显然点6(,0)5

Q -在椭圆C 的内部，所以0?>．

设11(,)M x y ，22(,)N x y ，

则122125(4)t y y t +=

+，12

264

25(4)

y y t =-+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r

．

所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u r

g

1212

2121222266

(2)(2)55

416

(1)()5256441216

(1)()25(4)55(4)25

ty tx y y t y y t y y t t t t t =-+-++=++++=+?-+?+

++

=0 所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o

90MAN ∠=是定值．

方法二

B A

M N Q

x

y

（1）当直线垂直于x 轴时 解得M 与N 的坐标为64(,)55

-±．

由点(2,0)A -，易证o

90MAN ∠=． （2）当直线斜率存在时

设直线的方程为：6(),0.5

y k x k =+≠，

联立方程226(),51.

4

y k x x y ?

=+????+=??化简得222

2484(3625)(14)0525k k x k x -+++=． 显然点6(,0)5

Q -在椭圆C 的内部，所以0?>．

设11(,)M x y ，22(,)N x y ，

则2122485(14)k x x k +=-+，2122

4(3625)

25(14)

k x x k -=+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r

．

所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u r

g

121222

212122222

22266

(2)(2)()()

55636(1)(2)()4525

4(3625)64836(1)(2)425(14)55(14)25

x x k x k x k k x x k x x k k k k k k k =+++++=++++++--=+?++?++

++

=0

所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o

90MAN ∠=是定值．

20.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：当1a =时，()ln ,0f x x x x =->，

所以1

'()1,0f x x x

=-

>，因此'(1)0k f ==． 又因为(1)1f =，所以切点为(1,1)．

所以切线方程为1y =．

（Ⅱ）解：1()ln 0a

h x x a x x a x

+=-+

>∈R ，，． 所以22

1(1)(1)

'()10a a x x a h x x x x x

++--=-->=，． 因为0x >，所以10x +>． （1）当10a +≤，即a ≤-1时

因为0x >，所以(1)0x a -+>，故'()0h x >．

此时函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．

所以函数()h x 不存在最小值． （2）当10a +>，即a >-1时

令'()0h x =，因为0x >，所以1x a =+．

()h x 与'()h x 在(0,)+∞上的变化情况如下：

x

(0,1)a +

1a +

(1,)a ++∞

'()h x ? 0 + ()h x

↘

极小值

↗

所以当1x a =+时，()h x 有极小值，也是最小值，

并且min ()(1)2ln(1)h x h a a a a =+=+-+． 综上所述，

当a ≤-1时，函数()h x 不存在最小值；

当1a >-时，函数()h x 有最小值2ln(1)a a a +-+．

（Ⅲ）解：当0x >时，2ln x x x x -≤．

21．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，

所以1

(,)[(00|00|)(11|11|)(11|11|)]22

M αα=++-+++-+++-=，

1

(,)[(00|00|)(10|10|)(11|11|)]22

M αβ=++-+++-+++-=．

（Ⅱ）证明：当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，

设12341234(,,,)(,,,)x x x x y y y y αβ==，，有

12341234(,)(,)M x x x x M y y y y ααββ=+++=+++，．

对于任意的,i i x y ，1,2,3,4i =，

当i i x y ≥时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y x ++-=++-=， 当i i x y ≤时，有11(||)[()]2

2

i i i i i i i i i x y x y x y x y y ++-=+--=． 即1(||)max{,}2

i i i i i i x y x y x y ++-=． 所以，有11223344(,)max{,}max{,}max{,}max{,}M x y x y x y x y αβ=+++． 又因为,{0,1}i i x y ∈，

所以max{,}i i i i x y x y ≤+，1,2,3,4i =，当且仅当0i i x y =时等号成立． 所以，11223344max{,}max{,}max{,}max{,}x y x y x y x y +++

11223344()()()()x y x y x y x y ≤+++++++ 12341234()()x x x x y y y y =+++++++，

即(,)(,)(,)M M M αβααββ≤+，当且仅当0i i x y =（1,2,3,4i =）时等号成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，

若(,)(,)(,)M M M αβααββ=+，则0i i x y =，1,2,3,,i n =L 成立． 所以，考虑设

012312{(,,,,)|,0}n n A x x x x x x x =====L L ， 11231{(,,,,)|1,{0,1},2,3,,}n i A x x x x x x i n ==∈=L L ，

对于任意的2,3,,k n =L ，

123123121{(,,,,)|(,,,,),0,1}k n n k k A x x x x x x x x A x x x x -=∈=====L L L ．

所以01n A A A A =U UL U ．

假设满足条件的集合B 中元素个数不少于2n +， 则至少存在两个元素在某个集合k A （1,2,,1k n =-L ）中， 不妨设为123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，则1k k x y ==． 与假设矛盾，所以满足条件的集合B 中元素个数不多于1n +． 取0(0,0,0)e =L ；

对于1,2,,1k n =-L ，取123(,,,,)k n k e x x x x A =∈L ，且10k n x x +===L ；n n e A ∈． 令01{,,,}n B e e e =L ，

则集合B 满足条件，且元素个数为1n +．

故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．