第五节多缝的夫琅和费衍射

第五节 多缝的夫琅和费衍射
能对入射光的振幅进行空间周期性调制，这种衍射屏也称 作黑白光栅，是一种振幅型光栅，d称为光栅常数。 多缝的方向与线光源平行。
一、强度分布公式
多缝夫琅和费衍射图样的复振幅分布是所有单缝夫琅和费 衍射复振幅分布的叠加。
设最边缘一个单缝的夫琅和费衍射图样在观察点P点的
复振幅为
~
2
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即 d sin (m m') m 0,1,2,; m' 1,2,N 1 时
N
它有极小值为零。
在两个相邻主极大之间有N-1个零值，相邻两个零值
之间（m' 1）的角距离 为
Nd cos
主极大与其相邻的一个零值之间的角距离也可用上式表示
称为主极大的半角宽度，表明缝数N越大，主极大的
宽度越小，反映在观察面上主极大亮纹越亮、越细
[解]：
d sin1
4.66 10
单缝衍射 第一级极 小值位置
光栅衍射 第三级极 大值位置
级
缺级：k = 3,6,9,... 缺级
k=-6 k=-4
k=-2 k=0
k=2
k=4
k=6
k=-5 k=-3
k=-1 k=1
k=3
k=5
缺级 由于单缝衍射的影响，在应该出现亮纹的地方，不再出 现亮纹
例：用波长为500nm的单色光垂直照射到每毫米有500条刻痕的 光栅上，求： 1)第一级和第三级明纹的衍射角； 2)若缝宽与缝 间距相等，由用此光栅最能看到几条明纹。
各级主极大的强度为
I
N
2
I
0
(
s
in
)2
它们是单缝衍射在各级主极大位置上产生的强度的N2 倍，零级主极大的强度最大，等于N2I0
N 4 , d 3a
I0单 I单
单缝衍射光强曲线
对入射光的振幅进 行空间周期性调制
-2
-1
多光束干涉光强曲线
0
1
sin2N/sin2
N2
2
-8
-4
光栅衍射 光强曲线
[解]：
（1） d sin m
d m 1.03104 cm 1/ d 9700 条/厘米
sin
2 sin2 d 1.23 1
故第二级明纹不出现在屏幕上。
（2）若使用此光栅对某单色光做同样衍射实验，发现第一级 明纹出现在27°方向，问这单色光的波长是多少？对该单色光 ，最多可看到第几级明纹？
I0
(
s in
)2
(
sin N
2
sin
)2
2
I0 A 2 是单缝在P0点产生的光强。
I
(P)
I0
( s in
)2
sin N
(
2
sin
)2
2
I0 单缝中央主极大光强
单缝衍射因子 (sin )2
多光束干涉因子
sin N
(
2
)2
sin
2
多缝衍射是衍射和干涉两种效应共同作用的结果。
二、多缝衍射图样
干涉与衍射的区别和联系
干涉：参与相干叠加的各光束是按几何光学直接传播的。 衍射：参与相干叠加的各光束的传播不符合几何光学模 型，每一光束存在明显的衍射。
a 很小，d/a较大时，单缝衍射的调制作用不明显，干涉 效应为主。
当a不很小时， 单缝衍射的调制作用明显，干涉条纹 不是等强度分布，此时就可观察到衍射现象。
解：1)光栅常量 d 1103 / 500 2106 m
由光栅方程 d sin m
可知：第一级明纹m=1
s in 1
d
500 10 9 2 10 6
0.25
1＝14 028
第三级明纹m=3
s in 3
3
d
3 500 10 9 2 10 6
0.75
3＝48 035
2)理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角θ=π/2， d 2 10 6
多缝衍射图样中的亮纹和暗纹位置可通过分析多光束干涉因 子和单缝衍射因子的极大值和极小值条件得到。
从多光束干涉因子可知
sin N
(
2
sin
)2
2
当 2 d sin 2m
m 0,1,2,
即 d sin m m 0,1,2, 时
它有极大值，称为主极大，m为主极大的级次，上式称 为光栅方程
E(P)
A( s in
)
A C ' A' exp[ ikf ] 为常数
f
相邻单缝在P点产生的相位差为
2 d sin
多缝在P点产生的复振幅是N个振幅相同、相邻光束程 差相等的多光束干涉的结果。
~
E(P)
A( s in
sin N
)(
2
sin
)
exp[i(N
1)
2
]
2
P点的光强为
I
(P)
光栅衍射的缺级
若干涉因子的某级主极大值刚好与衍射因子的某级极小 值重合，这些级次对应的主极大就消失了——缺级。 缺极时衍射角同时满足：
单缝衍射极小条件 a sin n n 1,2,
缝间光束干涉极大条件 d sin m m 0,1,2,
缺级的条件为： m n d a
m 就是所缺的级次
缺
-8
-4
0
4
I N2I0单
单缝衍射 轮廓线
8
2
0
4
8
缝数 N = 4 时
光栅衍射的光强 分布图
在相邻两个零值之间 也应有一个次极大， 次极大的强度与它离 开主极大的远近有关， 次极大的宽度也随N增 大而减小。
k=-6 k=-4
k=-2 k=0
k=2
k=4
k=6
k=-5 k=-3
k=-1 k=1
k=3
d sin m m 0,1,2,
方程表明主极大的位置与缝数无关，主极大的级次受到衍 射角的限制。光栅常数越小，条纹间隔越大。
由于|sinθ|≤1，m的取值有一定的范围，故只能看到有限
级的衍射条纹。
当 N 等于
2
的整数倍而
不是
2
的整 数倍时
即 (m m') m 0,1,2,; m' 1,2,N 1
mmax 500 10 9 4
即最多能看到第4级明条纹
考虑缺级条件 m n( d ) a
d/a=(a+a)/a=2
第2、4级明纹不出现，从而实际只能看到5条明纹。
例题：为测定一给定光栅的光栅常数，用He-Ne激光器 （6328Å）的红光垂直照射光栅，已知第一级明纹出现在38° 方向上。问（1）该光栅的光栅常数是多少？1厘米内有多少条 缝？第二级明纹出现在什么方向上？
k=5
光栅衍射图样是多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调 制的结果。
光栅衍射条纹的特点
缝平面G 透 镜
L
P
d
o
焦距 f
（1）θ= 0的一组平行光会聚于O点，形成中央明纹，两侧 出现一系列明暗相间的条纹
（2） 衍射明纹亮且细锐，其 亮度随缝数N的增多而增强， 且变得越来越细，条纹明暗对 比度高
（3） 单缝衍射的中央明纹区内 的各主极大很亮，而两侧明纹的 亮度急剧减弱，其光强分布曲线 的包络线具有单缝衍射光强分布 的特点。