估计概率及概率的简单应用
《第九章_概率的简单应用》小结与思考
识框图
小结与思考，梳理本
等可能条件下的概率（古典概型与几何概型） 章的学习内容，初步
概率的简单应用 概率的统计定义
形成知识网络
2、本章探讨了概率在现实生活中若干应用的三个实例： 抽签的方法合理吗 概率帮你做估计 保险公司怎样才能不亏本 回顾这些问题，你有什么体会 二、问题探索 1、在摸排游戏中，有两组牌，每组 3 张，它们的牌面数字分别是
（2）这 30 户家庭的月用水量见下表：
月用水量
46711111
（ m3 ）
245680
数学的意识和综合
运用所学知识解决
2 问2题的能力；体会概 5 率模型的作用，以及
运用概率思考问题
户数
1 2 3 3 2 5 3 4 4 的2特点，初步形成用
① 这 30 户家庭的人均日用水量；（一个月按 30 天计算， 随 机 观 念 观 察 和 分
数字之积为奇数，小明胜；数字之积为偶数，小丽胜。这个游 戏对双方公平吗
学生小结与思 考，互相交流，深化 理解知识，进一步培 养自己主动应用数 学的意识和综合运 用所学知识解决问 题的能力
自主探究，交流 合作
计算各自的概 率，建立概率模型
自主探究，交流
1
3
12
5
21 34
6
4
合作 计算各自的概
率，建立概率模型， 并安排学生板演，大 胆讲评
精确到 0.001m3 ）
析问题的意识。
（3）根据上述数据，试估计该小区的日用水量（精确到1m3 ） 三、拓展与延伸
保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下：
年
活到该年龄的人数
在该年龄的死亡人
龄
数
4
80500
概率论在日常生活中的几个简单应用
概率论在日常生活中的几个简单应用摘要：概率论是研究随机现象统计规律的科学，是近代数学的一个重要组成部分。
本文就日常生活中的几个常见问题出发介绍概率在生活中的应用，从中可以看出概率方法的思想在解决问题中的简洁性和实用性。
关键词：概率论；数学期望；相关系数概率论是研究随机现象统计规律的科学，是近代数学的一个重要组成部分。
它不仅在科学技术，工农业生产和经济管理中发挥着重要作用，而且它常常就发生在我们身边出现在我们每个人的生活中，并对我们的生活产生影响。
本文主要讨论了数学期望；小概率事件；全概率公式；相关系数等在我们日常生活中的应用。
如突然停电，山洪，雪崩等。
因此小概率事件是不可忽视的。
又如数学期望无论从计划还是从决策观点看都是至关重要的。
在经济生活中人们往往不自觉的利用它从而得到一些有意义的结论。
从下面的几个具体的实例我们也可以真切的体会到这一点。
一、日常生活中的小概率原理首先我们先介绍一个贝努利大数定理：在次独立重复试验中，记事件 A 发生的次数为A n ，p 是事件A 发生的概率。
则对于任意正数0ε<，有lim (||)0A n n P p n ε→∞-≥= 或 lim (||)1A n n P p nε→∞-<= 根据贝努利大数定律，事件A 发生的频率/A n n 依概率收敛于事件A 发生的概p 。
就是说A ，当n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大偏差的可能性非常小。
假如某事件A 发生的概率很小。
由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替概率。
倘若某事件A 发生的概率很小，则它在大量重复试验中出现的频率也应该很小。
例如，若0.001α=，则大体上在10000 次试验中，才能出现1 次。
1、假设推断中的应用有朋自远方来，他“乘坐火车”（设为事件A1）的可能性为0.3，乘火车迟到的可能性为14，他“乘船”（设为事件A2）的可能性为0.2，乘船迟到的可能性为13，他“乘汽车”（设为事件A2） 的可能性为0.1，乘汽车迟到的可能性为1/15，他“乘飞机”（设为事件A4）的可能性为0.4，乘飞机迟到的可能性为0。
概率在生活中的一些简单应用_王东妹
○高校讲坛○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００８ 年 第 ２５ 期
概率在生活中的一些简单应用
王东妹 １，２ 王晓丽 ３ （ １．山东大学数学与系统科学学院 山东 济南 ２５０１００； ２．济南幼儿师范学校
３．山东轻工业学院数理学院 山东 济南 ２５０３５３）
（１）Ｑｕｏｔｅ ｕｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｐｒｉｃｅ． Ｗｉｌｌ ｙｏｕ ｐｌｅａｓｅ ｑｕｏｔｅ ｕｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｐｒｉｃｅ？ （２）Ｉｎｆｏｒｍ ｕｓ ｏｆ ｙｏｕｒ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｂｕｓｉｎｅｓｓ． Ｗｏｕｌｄ ｙｏｕ ｐｌｅａｓｅ ｉｎｆｏｒｍ ｕｓ ｏｆ ｂｕｓｉｎｅｓｓ？ ２． 采 取 委 婉 缓 和 的 表 达 方 式 。 如 ： （１）Ｉｔ ｓｅｅｍｓ．．． （２）Ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｔｈｉｎｋ．．． （３）Ｗｅ ａｒｅ ａｆｒａｉｄ ｔｈａｔ．．． （４）Ｗｅ ａｒｅ ｕｎａｂｌｅ．．． （５）Ｗｅ ｍａｙ ｓａｙ．．． （６）Ｗｅ ｐｒｅｓｕｍｅ．．． ３． 使 用 被 动 语 态 。 ４．弃用生硬令人不快的词语。如： ｗａｎｔ，ｄｅｍａｎｄ，ｍｕｓｔ，ｒｅｆｕｓｅ． ５．多使用感谢， 希望的词语。 ６．采用 ｙｏｕ ａｔｔｉｔｕｄｅ， 弃用 ｗｅ ａｔｔｉｔｕｄｅ。读下列句 子 ， 比 较 带 ｂ 礼 貌 句和带 ａ 不礼貌句。 （１）ａ．Ｙｏｕ ｏｕｇｈｔ ｔｏ ｈａｖｅ ｓｅｎｔ ｔｈｅ ｓａｌｅｓ ｃｏｎｔｒａｃｔ． ｂ．Ｉｔ ｓｅｅｍｓ ｔｏ ｕｓ ｔｈａｔ ｙｏｕ ｏｕｇｈｔ ｔｏ ｈａｖｅ ｓｅｎｔ ｔｈｅ ｓａｌｅｓ ｃｏｎｔｒａｃｔ． （２）ａ．Ｙｏｕ ｄｉｄ ｎｏｔ ｍａｉｌ ｔｈｅ Ｂ／Ｌ ｔｏ ｕｓ． ｂ．Ｔｈｅ Ｂ／Ｌ ｄｉｄ ｎｏｔ ａｒｒｉｖｅ ｔｏ ｕｓ． （３）ａ．Ｙｏｕ ａｒｅ ｒｅｑｕｅｓｔｅｄ ｔｏ ｒｅｐｌｙ ｉｍｍｅｄｉａｔｅｌｙ ｗｉｔｈｏｕｔ ｆａｉｌ． ｂ．Ｙｏｕｒ ｐｒｏｍｐｔ ｒｅｐｌｙ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｈｉｇｈｌｙ ａｐｐｒｅｃｉａｔｅｄ． ６．积极 无论遇到什么情况，永远采取积极态度应对。言辞要有信心， 语气 乐观向上， 才能取胜商界。两点很重要： １．强调你能做的（ Ｓｔｒｅｓｓ ｗｈａｔ ｙｏｕ ｃａｎ ｄｏ ｎｏｔ ｗｈａｔ ｙｏｕ ｃａｎ’ｔ ｄｏ） 。下 面三句俗语都不够积极， 比较括号中积极句子。 （１）Ｏｕｒ ｓｈｏｐ ｉｓ ｃｌｏｓｅｄ ａｆｔｅｒ ５ ｐｍ． （Ｏｕｒ ｓｈｏｐ ｉｓ ｏｐｅｎ ｕｎｔｉｌ ６ ｐｍ．） （２）Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ， ｗｅ ｃａｎ’ｔ ｆｉｌｌ ｙｏｕｒ ｏｒｄｅｒ ｂｅｃａｕｓｅ ｙｏｕ ｆａｉｌｅｄ ｔｏ ｓｅｎｄ ｙｏｕ ｃｈｅｃｋ． （Ｗｅ ｓｈａｌｌ ｂｅ ｇｌａｄ ｔｏ ｆｉｌｌ ｙｏｕｒ ｏｒｄｅｒ ａｓ ｓｏｏｎ ａｓ ｗｅ ｒｅｃｅｉｖｅ ｙｏｕｒ ｃｈｅｃｋ．） （３）Ｗｅ ｃａｎ’ｔ ｓｈｉｐ ｔｈｅ ｇｏｏｄｓ ｂｅｆｏｒｅ Ｍａｙ ２０． （Ｗｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｓｈｉｐ ｔｈｅ ｇｏｏｄｓ ａｆｔｅｒ Ｍａｙ ２０．） ２． 尽 量 避 开 带 有 负 面 色 彩 的 词 或 短 语 。 Ｔｏ ｈａｓｔｅｎ ｓｈｉｐｍｅｎｔ， ｗｅ ａｒｅ ｓｅｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｇｏｏｄｓ ｂｙ ａｉｒ．（ｐｏｓｉｔｉｖｅ） Ｔｏ ａｖｏｉｄ ｄｅｌａｙ，ｗｅ ａｒｅ ｓｅｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｇｏｏｄｓ ｂｙ ａｉｒ．（ｎｅｇａｔｉｖｅ） 试比较下面两封信， 都是关于购买黑皮包， 商家暂时无货， 到货至 少要等 １０ 天。两封信因态度不同导致两种不同结果，优劣一看便知。
第4课时 概率简单应用
第4课时 概率简单应用——小结节与思考（教案）主备人：颜玫 左元凯 蔡学珍【学习目标】1、掌握概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率．2、通过实例进一步丰富对概率的认识，运用概率知识解决一些实际问题．【探索活动】问题一：如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．（1）请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率． （2）你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平， 请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公 平的游戏规则．问题二：有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B ，均被分成4等份，并在每份内都标有数字（如图所示）．李明和王亮同学用这两个转盘做游戏．阅读下面的游戏规则，并回答下列问 题：（1）用树状图或列表法，求两数相加和为零的概率； （2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则中的赋分标准，使游戏变得公平．问题三：某野生动物园每天对游客正常开放.若游客被动物咬伤的概率是P=0.000005. 一家保险公司要为游客保险，若保险公司若收取保费1元，许诺一旦某游客被动物咬伤，要赔偿他10万元人民币.平均来说，保险公司是赔还是赚？甲问题四：口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同．其中有红球4个，绿球5个，任意摸出1个球，做这个试验300次，其中摸出1个球是绿球的次数为100次．求：（1）口袋里黄球的个数； （2）任意摸出1个是红球的概率．课堂练习：1、小明和小亮做游戏,他们利用地上的图案(如图),蒙上眼在一定距离外向图案内掷小石子,掷中阴影小明赢,否则小亮赢,未掷中圈内不算.下表是进行中统计的一组数据。
求概率的方法总结
求概率的方法总结概率是我们生活中经常遇到的一个概念，它可以用来描述事件发生的可能性。
无论是在数学、统计学还是实际应用中，概率都扮演着重要的角色。
本文将总结几种求概率的方法，帮助读者更好地理解和应用概率。
一、频率法频率法是最直观、最简单的求概率方法之一。
它是通过实验或观察同一事件发生的次数来估计概率。
具体操作时，我们将事件重复多次，记录事件发生的次数，然后通过事件发生的次数与总次数的比值来近似估计概率。
例如，我们想要知道抛掷一枚公正硬币正面朝上的概率。
我们可以进行大量的抛掷实验，记录正面朝上的次数，然后通过正面朝上的次数与总次数的比值来近似估计概率。
二、古典概率法古典概率法是一种基于前提条件的概率求解方法。
它适用于在给定条件下，所有事件是等可能发生的情况。
在古典概率法中，事件的概率等于有利结果的个数除以总的可能结果的个数。
例如，一枚公正骰子有六面，每面的点数从1到6不同。
如果我们要求掷一次骰子得到3的概率，那么通过古典概率法，我们可以知道只有一面是3，总共有六个可能结果，所以概率为1/6。
三、条件概率法条件概率法是一种在给定条件下求解事件概率的方法。
它是通过已知事件A发生的条件下求事件B发生的概率。
条件概率用符号P(B|A)表示，读作“在A发生的条件下B发生的概率”。
例如，假设我们有两个袋子，袋子A中有3个红球和2个蓝球，袋子B中有4个红球和1个蓝球。
现在我们需要从袋子中随机选择一个球，且选择的是红球。
我们可以利用条件概率法求解选择的球来自袋子A的概率。
四、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种利用条件概率来求解逆向问题的方法。
它是通过已知事件B发生的条件下求事件A发生的概率。
贝叶斯定理表达式为P(A|B) = ( P(B|A) * P(A) ) / P(B)，其中P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
例如，假设有一个罐子，里面有80个白球和20个黑球。
现在我们从罐子中随机抽取一个球，发现是白球。
我们可以利用贝叶斯定理求解从这个罐子中抽到的球是黑球的概率。
数字概率练习进行简单的概率计算
数字概率练习进行简单的概率计算在数学中，概率是研究事物发生的可能性的一种方式。
通过计算概率，我们可以更好地理解和预测事件的发生概率。
本文将介绍一些简单的概率计算练习，并通过实例来演示如何应用概率计算。
1. 投掷硬币投掷硬币是展示概率计算最简单的实例之一。
假设我们有一枚均匀的硬币，正反面出现的概率各为0.5。
现在我们要计算正面朝上的概率。
根据概率计算公式，我们可以得出以下计算过程：P(正面朝上) = 正面朝上的可能性 / 所有可能性= 1 / 2= 0.5所以，投掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5。
2. 掷骰子另一个常见的概率计算实例是掷骰子。
一枚标准骰子有六个面，每个面上的数字从1到6。
我们将计算掷骰子出现偶数的概率。
按照上述概率计算公式，计算过程如下：P(出现偶数) = 出现偶数的可能性 / 所有可能性= 3 / 6= 0.5因此，掷一枚骰子出现偶数的概率为0.5。
3. 计算赢得某场比赛的概率假设我们有一场篮球比赛，球队A和球队B参加比赛。
球队A赢得比赛的概率为0.6，而球队B赢得比赛的概率为0.4。
现在我们要计算球队A或球队B赢得比赛的概率。
我们可以使用以下计算公式：P(A或B赢得比赛) = P(A赢得比赛) + P(B赢得比赛)= 0.6 + 0.4= 1因此，球队A或球队B赢得比赛的概率为1。
4. 联合概率联合概率是指两个或多个事件同时发生的概率。
假设我们抽取一副扑克牌中的两张牌，现在要计算抽到一张红桃和一张黑桃的概率。
我们可以使用以下计算公式：P(红桃和黑桃) = P(红桃) × P(黑桃)= (13/52) × (13/51)= 1/17所以，抽到一张红桃和一张黑桃的概率为1/17。
5. 条件概率条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某个事件发生的概率。
假设我们有一个装有10个红球和5个绿球的袋子。
从袋子中抽取两个球，现在要计算第一个球是红球的条件下，第二个球也是红球的概率。
初中数学 教学设计：统计和概率的简单应用
统计和概率的简单应用本章小结知识梳理技巧归纳【技巧1】 巧用概率问题中的思想方法数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有利武器，是数学的灵魂．一、样本估计总体思想【例1】一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为．根据上述数据，估计口袋中大约有 个黄球．【解析】随机20次摸出10个球中，其红球个数所占比值的平均数近似的等于袋中红球总数的占袋中总球数的比值，所以红球总数与袋中总球数的比值≈即10∶袋中总球数≈，可得袋中总球数≈25．黄球个数≈25－10＝15 【答案】 15二、方程思想【变式引申1】不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有个，蓝球有个，现从中任意摸出一个是红球的概率为21． (1)求袋中黄球的个数；方法技巧：在现实生活中，能够直接计算概率的事件极为有限，多数情况下要进行观察和实验，其中应注意两点：（1）实验实际是用频率来估计概率，实验次数越多，频率越接近概率；（2）必须在相等条件下，用简单易行的实验来代替不易实行操作或不可能实际操作的实验．(2)第一次摸出一个球（不放回．．．），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；(3)若规定摸到红球得分，摸到黄球得分，摸到蓝球得分，小明共摸次小球（每次摸个球，摸后放回．．．．）得分，问小明有哪几种摸法？ 【分析】(1)设口袋中红球的个数为未知数,根据白球的概率=球的总数红球个数列方程求解;(2) 通过列表或画树状图来计算两次都摸到红球的概率;(3) 设小明摸到红球有次，摸到黄球有次，则摸到蓝球有)6(y x --次，根据摸到三种球的分数和=20列出关于x 、y 的二元一次方程,然后讨论二元一次方程组的自然数解的个数来确定摸法种数. 【解】(1)设袋中有黄球个,由题意得21122=++m ,解得1=m ,故袋中有黄球个；(2) ∵第二次摸球第一次摸球黄红2蓝红2蓝黄红1红1红1红2黄蓝黄红2红1∴61122)(==两次都摸到红球P ．(3)设小明摸到红球有次，摸到黄球有次，则摸到蓝球有)6(y x --次，由题意得20)6(35=--++y x y x ，即72=+y x ∴x y 27-=∵、、y x --6均为自然数∴当时，06,5=--=y x y ；当2=x 时，16,3=--=y x y ；当时，26,1=--=y x y ．综上：小明共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为次、次、次或次、次、次或次、次、次．三、分类讨论思想【变式引申2】已知关于x 的不等式ax ＋3＞0（其中a≠0）．（1）当a ＝－2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集； （2）小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1，将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上．从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a ，求使该不等式没有．．正整数解的概率． 【分析】(1)当a ＝－2时,不等式ax ＋3＞0为-2x ＋3＞0,解之得x ＜;23(2)当a 取－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1时分别计算ax ＋3＞0的解集,只有当a=－1, －2时,不等式有正整数解,取其它值时,不等式没有正整数解,所以该不等式没有．．正整数解的概率是108=54. 【解】(1)x ＜;23在数轴上正确表示此不等式的解集如图所示.(2)用列举法取a=－1，不等式ax+3＞０的解为x ＜3，不等式有正整数解. 取a=－2，不等式ax+3＞０的解为x ＜23,不等式有正整数解. 取a=－3，不等式ax+3＞0的解为x ＜1，不等多没有正整数解. 取a=－4，不等式ax+3＞0的解为x ＜43,不等式没有正整数解. ……∴整数a 取－3至－10中任意一个整数时，不等式没有正整数解. P （不等式没有正整数解）=108=54-1 01 2方法技巧：方程思想是数学解题的重要思想方法，在解决概率问题时，如能根据题目中所给的数量关系，列出方程或方程组，则可使问题圆满解决．技巧2 巧解坐标系中的概率问题【例2】如图9-1，放在平面直角坐标系中的正方形ABCD 的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子(如图9-2，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4)．每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P 的坐标(第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标)．⑴求点P 落在正方形面上(含边界，下同)的概率．⑵将正方形ABCD 平移数个单位，是否存在一种平移，使点P 落在正方形面上的概率为41，若存在，指出其中的一种平移方式，若不存在，说明理由．【分析】首先可以确定本题属于“两步试验”的概率模型，进而可以借助树状图或列表法求取随机事件的概率；题（2）具有较强的开放性，给同学们提供了一个很好的探索空间，探索正方形平移的依据是题（1）中所得到的16个点的坐标应有4个点落在平移后的正方形位置上．【解】（1）用列表法的得出所有可能的结果，如下表：1 2 341 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）图9-1图9-2方法技巧：分类讨论思想是重要的数学思想方法，通过分类可以把复杂的问题化为简单而熟悉的问题进行解决．但是在分类时要正确选择分类的标准，使分类做到不重不漏．由表知，该游戏共有16种结果，其中落在正方形面上（含边界）的结果有9种，所以点P 落在正方形面上（含边界）的概率为916． （2）这种平移方式是存在的，而且不惟一．如可将正方形ABCD 先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，如图9-3所示，此时落在正方形面上（含边界）的结果有4种：（4，1）（4，2）（4，3）（4，4），所以此时点P 落在正方形面上（含边界）的概率恰好为14；也可以将正方形ABCD 先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，如图9-4所示，此时落在正方形面上（含边界）的结果有四种：（1，4）（2，4）（3，4）（4，4），也符合题意． .中考名题赏析【例3】(2010·山西) 哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1,2,3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则弟弟胜；如果和为偶数，则哥哥胜．该游戏对双方 （填“公平”或“不公平”） 【解析】概率的计算．P （奇数）＝3264=，P （偶数）＝3162=.因为P （奇数）＞P （偶数），所以不公平. 【答案】不公平【点评】遇到是否公平这类题，关键是求出概率.本题难度中等，只要细心，很容易拿分．【例4】(2010·江苏南通) 小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x 、y 表示这两个看不清的图9-3图9-4数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍．（1）求x+y的值；（2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．【分析】（1）依条件可列出不定方程，注意x+y是一个整体，进而讨论求解.（2）由于x和y分别都是0到9的正整数，于是通过分类可求解.【解】（1）因为1393705803620++++++++++=++=（n为正整数）x y x y n 双因为0909,x y++≤≤54即x y≤≤18所以3636,+≤≤，≤≤所以0,x yx y≤≤54所以，，所以4+=n3620,（2）因为4≤≤，≤≤x y+=，且0909,x y所以有0,4;1,3;2,2;3,1;4,0①②③④⑤，这x y x y x y x y x y==========5种情况，因此，一次拨对小陈手机号的概率为.【点评】本题对于学生来说有一定的难度，好在取材贴近同学们的生活，同学们也不难想象出解决问题的突破口，只是在具体求解时要注意方程思想、整体思想、分类思想方法的运用.另外，本题凸显出中考命题对实际教学的导向作用，彰显了中考的人文精神，为引导和促进学生和谐发展作了有益的尝试.【例5】(2010·四川宜宾) 某班举行演讲革命故事的比赛中有一个抽奖活动．活动规则是：进入最后决赛的甲、乙两位同学，每人只有一次抽奖机会，在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中任选一个数字，选中后可以得到该数字后面的奖品，第一人选中的数字，第二人就不能再选择该数字．(1)求第一位抽奖的同学抽中文具与计算器的的概率分别是多少?(2)有同学认为，如果．甲先抽，那么他抽到海宝的概率会大些，你同意这种说法吗?并用列表格或画树状图的方式加以说明．翻奖牌背面翻奖牌正面1234海宝计算器计算器文具【分析】本题是有关概率的计算问题，读懂题意概率的计算方法有列举、列表、树形图等方法，通过计算可以看到在抽奖中先抽和后抽的概率相同，即获奖的机会与先后没有必然的关系．【解】（1）第一位同学抽中文具的概率是41，抽到计算器的概率是21． （2）不同意这种说法． 若是甲先抽，则抽到海宝的概率是41； 若乙先抽：树状图如下：则甲抽到海宝的概率是41 所以不管是甲先抽还是乙先抽，甲抽到海宝的概率相等，所以不同意这种说法． 【点评】本题涉及到基本概率的计算，通过列表或树形图计算出事件的概率，这是中考的一个热点问题，也是必考的知识点，本题考查的知识点较为单一，属于基础问题，难度较低． 中考预测【例6】小刚很擅长球类运动.课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定.游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营.（1）用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果．（2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？【分析】（1）连续抛掷硬币三次，应画树状图求出所有结果，因此按照要求画树状图即可；（2）由（1）可求出任意挑选两球队的概率；（2）先分别求出加入足球、篮球阵营的概率，若相同则公平，不相同则不公平.【解】（1）根据题意画树状图（2）由树状图可知，共有8种等可能的结果：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反.其中三次正面朝上的或三次反面向上共2种.所以，P（小刚任意挑选球队）＝＝（3）这个游戏规则对两个球队公平.两次正面朝上一次正面向下有3种，正正反，正反正，反正正两次反面向上一次反面向下有3种，正反反，反正反，反反正所以，P（小刚去足球队）＝P（小刚去篮球队）＝.【点评】此题考查画树状图求概率以及根据概率进行推断的能力. 解题的关键是会画树状图.【例7】分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等价、3等价的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树形图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．【分析】先由题意列表或画树形图，然后根据表或图即可计算并比较．【解】（1）列表1 2 3 5乘积1 123 52 2 4 6 103 3 6 9 15由列表可知，两个转盘上数字之积共有12种等可能的结果，其中，指针所指两区域的数字之积为奇数（欢欢获胜）共有6种结果，1所以，P（欢欢获胜）=2（2）由（1）可得指针所指两区域的数字之积为偶数（乐乐获胜）共有6种结果，1所以，P（乐乐获胜）=2故这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平．另解：画树形图【点评】列表或画树状图求概率是学生常用的方法，判断游戏规则是否公平主要是看双方获胜的机会是否均等．本章综合测试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 下列说法正确的是：A、买一张彩票就中大奖是不可能事件；B、天气预报称：“明天下雨的概率是90%”，则明天一定会下雨；C、要了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，可以采取抽样调查的方式进行；D、掷两枚普通的正方体骰子，点数之积是奇数与点数之积是偶数出现的机会相同；2. 已知数据13、、0.618、125、，其中负数的概率为（）A．20％B．40％ C．60％D．80％3. 本学期实验中学组织开展课外兴趣活动，各活动小班根据实际情况确定了计划组班人数，并发动学生自愿报名，报名人数与计划人数的前5位情况如下：若用同一小班的报名人数与计划人数的比值大小来衡量进入该班的难易程度，则由表中数据，可预测（）A．奥数比书法容易B．合唱比篮球容易C．写作比舞蹈容易D．航模比书法容易4. 为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼都作上标记，然后放回湖中去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第2次再捕捞100条鱼，发现其中10条有标记，那么你估计湖里大约有鱼（）.条 条 条 条5. 从n 张互不相同的普通扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃K 的概率为51，则n =（ ）A ．54B ．52C ．10D ．56. 气象台预报“本市明天降水概率是85%”，对此信息，下列说法正确的是（ ） A ．本市明天将有85%的地区降水B ．本市明天将有85%的时间降水C ．明天降水的可能性比较大D ．明天肯定下雨7. 盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为估计盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出1个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，估计黄色乒乓球有 （ ） A ．90个 B ．24个 C ．32个 D ．16个8. 袋中放有一套（五枚）北京2008年奥运会吉祥物福娃纪念币，依次取出（不放回）两枚纪念币，恰好能够组成“欢迎”的概率是 （ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）9．师生做游戏，杨老师要随机将2名男生和2名女生排队，两名女生排在一起的概率是____________ ．10. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为32，则____________ 11. 在一个不透明的袋中装有2个绿球，3个红球和5个黄球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是____________12. 如图，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字1、2、3、4、5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有偶数所在区域的概率为（偶数），指针指向标有奇贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数所在区域的概率为（奇数），则（偶数） （奇数）（填“”“”或“”）．13. 如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 ．14．在有一个10万人的小镇，随机调查了2000人，其中有250人看地方电视台的早间新闻，该镇看地方电视台早间新闻的大约有 人.15.小王从1只装有20个红球、若干个白球的口袋里每次摸出一个球，又放回去......这样一共摸了100次，共摸出红球23次，则口袋中白球约有 个. 16. 2010夏天吉林洪水时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A ）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B ）的概率为12，则与的半径之比为 ．17. 在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积.进行了大量的树木移栽.下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵树：移栽棵树 100 1000 10000成活棵树899109008依此估计这种幼树成活的概率是____________ （结果用小数表示，精确到）． 18. 如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是 ．A B三、解答题(本大题共有10小题，共96分)19.（本小题满分8分）“六一”儿童节期间，某儿童用品商店设置了如下促销活动：如果购买该店100元以上的商品，就能参加一次游戏，即在现场抛掷一个正方体两次（这个正方体相对的两个面上分别画有相同图案），如果两次都出现相同的图案，即可获得价值20元的礼品一份，否则没有奖励．求游戏中获得礼品的概率是多少？20．（本题满分8分）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B、C、D三人随机坐到其它三个座位上.求A与B不相邻而坐的概率.A圆桌21．（本题满分8分）学校门口经常有小贩搞摸奖活动．某小贩在一只黑色的口袋里装有只有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球．搅拌均匀后，每2元摸1个球．奖品的情况标注在球上（如下图）（1）如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？（2）如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？8元的奖品5元的奖品1元的奖品无奖品22．（本题满分8分）人寿保险公司的一张关于某地区的生命表的部分摘录如下：根据上表解下列各题：（1）某人今年50岁，他当年去世的概率是多少？他活到80岁的概率是多少？（保留三个有效数字）（2）如果有20000个50岁的人参加人寿保险，当年死亡的人均赔偿金为10万元，预计保险公司需付赔偿的总额为多少？23．(本题满分10分) 某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E 两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．(1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？(3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．24．(本题满分10分) 四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.（1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；（2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？25．(本题满分10分) 某篮球队在平时训练中，运动员甲的3分球命中率是70%，运动员乙的3分球命中率是50%. 在一场比赛中，甲投3分球4次，命中一次；乙投3分球4次，全部命中. 全场比赛即将结束，甲、乙两人所在球队还落后对方球队2分，但只有最后一次进攻机会了，若你是这个球队的教练，问：（1）最后一个3分球由甲、乙中谁来投，获胜的机会更大？（2）请简要说说你的理由26．(本题满分10分) 如图，一个被等分成4个扇形的圆形转盘，其中3个扇形分别标有数字2，5，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．（1）求当转动这个转盘，转盘自由停止后，指针指向没有标数字的扇形的概率；（2）请在4，7，8，9这4个数字中选出一个数字填写在没有标数字的扇形内，使得分别转动转盘2次，转盘自由停止后指针所指扇形的数字和分别为奇数与为偶数的概率相等，并说明理由．27．(本题满分12分）有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有A 、B 、C 、D 和一个等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张.（1）用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用A 、B 、C 、D 表示）；（2）小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜，若至少有一个等式成立，则小强胜.你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利，为什么？28．(本题满分12分) 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．五月初五早晨，妈妈为洋洋准备了四只粽子：一只香肠馅，一只红枣馅，两只什锦馅，四只粽子除内部馅料不同外，其他均一切相同．洋洋喜欢吃什锦馅的粽子．（1）请你用树状图或列表法为洋洋预测一下吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率； （2）在吃粽子之前，洋洋准备用如图所示的转盘进行吃粽子的模拟试验（此转盘被等分成四个扇形区域，指针的位置是固定的，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置．若指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），规定：连续转动两次转盘表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．参考答案与点拨：1. C （点拨：概率的意义.）2. B （点拨：负数占52.） 3. C （点拨：比较同一小班的报名人数与计划人数的比值的大小.） 4. D （点拨：100÷(10÷100)=1000） 5. D （点拨：黑桃K 是唯一的.） 6. C （点拨：概率的含义.） 7. B （点拨：设黄色乒乓球为个，则有4188=+x .） 8. C （点拨：注意是不放回抽取.）9. 21（点拨：两名女生排在一起有12种可能.）10. 1（点拨：由公式得2223n =+.）11. 0.3（点拨：从中随机摸出一个球，摸到红球有3种可能.） 12. < （点拨：奇数所占区域较偶数所占区域大.）13. 61（点拨：从6名学生中任选1人，有6种可能，而小明被选中只有1种可能.）14. 12500（点拨：125002000250100000=⨯.） 15. 67（点拨：设口袋中白球约有个，则有23.02020=+x .）16. 2:2（点拨：的面积：的面积=1:2.） 17. 0.9（点拨：成活棵树：移栽棵树为,，.）18. 12（点拨：几何概型的概率的计算.）19. 解法一：设这三种图案分别用A 、B 、C 表示，则列表得∴31()93P ==获得礼品解法二：正确列出树状图 （略）∴31()93P ==获得礼品.20．解：B 、C 、D 三人随机坐到其它三个座位上，有6种坐法，而A 与B 不相邻而坐，有2种坐法，所以A 与B 不相邻而坐的概率为31.21. 解：(1)∵白球的个数为50－1－2－10=37∴摸不到奖的概率是：3750（2）获得10元的奖品只有一种可能即同时摸出两个黄球∴获得10元奖品的概率是：12549⨯=11225.22. 解： (1)0．0122、0．206 ； （2）951÷78009×20000×10≈万. 23. 解：(1) 树状图如下： 列表如下：有6种可能结果：(A ，D)，（A ，E ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ）．(2) 因为选中A 型号电脑有2种方案，即(A ，D)（A ，E ），所以A 型号电脑被选中的概率是31.(3) 由(2)可知，当选用方案（A ，D ）时，设购买A 型号、D 型号电脑分别为x ，y 台，根据题意，得⎩⎨⎧=+=+.10000050006000,36y x y x解得⎩⎨⎧=-=.116,80y x 经检验不符合题意，舍去；当选用方案（A ，Ｅ）时，设购买A 型号、Ｅ型号电脑分别为x ，y 台，根据题意，得⎩⎨⎧=+=+.10000020006000,36y x y x解得⎩⎨⎧==.29,7y x所以希望中学购买了7台A 型号电脑． 24. 解：（1）12342341234124第一次第二次（2）P （积为奇数）=6125. 解法一：（1）最后一个三分球由甲来投（2）因甲在平时训练中3分球的命中率较高 解法二：（1）最后一个3分球由乙来投（2）因运动员乙在本场中3分球的命中率较高26. 解：（1）∵没有标数字扇形的面积为整个圆盘面积的41， ∴指针指向没有标数字扇形的概率为41=P ． （2）填入的数字为9时，两数和分别为奇数与为偶数的概率相等． 理由如下：设填入的数字为x ，则有下表：从上表可看出，为使和分别为奇数与偶数的概率相等，则x 应满足2+x ，5+x ，6+x 三个数中有2个是奇数，一个是偶数．将所给的数字代入验算知，满足条件． ∴填入的数字为9．（注：本题答案不惟一，填入数字7也满足条件；只填数字不说理由的不给分．） 27. 解：（1）树状图或列表略所有情况有12种：AB 、AC 、AD 、BA 、BC 、BD 、CA 、CB 、CD 、DA 、DB 、DC （2）游戏不公平.这个规则对小强有利. ∵P （小明）=61122=，P （小强）=651210= P （小明）＜P(小强) ∴这个规则对小强有利. 28. 解：（1）树状图如图：（吃到两只粽子都是什锦馅）21122=． （2）模拟试验的树状图为：肠 枣 锦1 锦2 肠 肠 枣 锦1 锦2 枣 肠 枣 锦1 锦2 锦1 肠 枣 锦1 锦2锦2开始开始枣 锦1 锦2 肠 肠 锦1 锦2枣肠枣 锦2锦1 肠枣 锦1锦2。
用频率估计概率 概率的简单应用(解析版)
第16讲 用频率估计概率 概率的简单应用例1．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】D 【解析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右 设草鱼的条数为x ，可得：0.51600800xx=++，∴x =2400，经检验：2400x =是原方程的根，且符合题意， ∴捞到鲢鱼的概率为：8001160080024006=++，故选：D ． 【点睛】本题考察了概率、分式方程的知识，解题的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．例2．一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余都完全相同．小明同学做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回袋中，然后再重复进行下一次试验，当摸球次数很大时，摸到白球的频率接近于（ ） A ．150B ．126C ．125D ．12【答案】B 【解析】根据概率的求法，在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率P(A)=mn，列式求解即可． ∵一个不透明的袋子里装有50个黑球，2个白球， ∴摸到白球的概率为215226=，∴摸到白球的频率为：126． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了概率的求法，熟悉掌握概率的计算方法是解题的关键．例3．太原市林业部门要考察某种幼苗的移植成活率，于是进行了试验，表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况： 移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数m369133532036335807312628成活的频率m n0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902根据以上数据，估计这种幼苗移植成活的概率是（ ） A ．0.80 B ．0.85C ．0.90D ．0.95【答案】C 略例4．如图是一副宣传节约用水的海报，海报长1.2m ，宽0.6m ．小明为了测量海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积，在长方形海报上随机撒豆子（假设豆子落在海报内每一点都是等可能的）．经过大量试验，发现豆子落在“节约用水从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右．由此可估计海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积约为（ ）A ．20.35mB ．20.7mC ．20.144mD ．20.2m【答案】C 【解析】长方形宣传海报的面积为()21.20.60.72m⨯=．∵豆子落在“节约用水 从我做起”八个字上的频率稳定在0.2左右，∴“节约用水 从我做起”八个字图案占长方形宣传海报的20%．∴海报上“节约用水 从我做起”八个字的面积约为()21.20.60.72m⨯=．例5．一个不透明的盒子里装有若干个同一型号的白色乒乓球，小明想通过摸球实验估计盒子里有白色乒乓球的个数，于是又另外拿了9个黄色乒乓球（与白色乒乓球的型号相同）放进盒子里．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回去，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%，估计原来盒子中白色乒乓球的个数为（）A．21 B．24 C．27 D．30【答案】A【解析】设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据摸到黄色乒乓球的频率稳定在30%得99x+＝30%，解方程即可求解．设原来盒子中白色乒乓球的个数为x，根据题意，得：99x+＝30%，解得：x＝21，经检验：x＝21是分式方程的解，∴原来盒子中白色乒乓球的个数为21个，故选A．【点睛】本题考查了频率与频数的关系，熟知频率=频数数据总和是解决问题的关键．例6．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是（）A．25 B．20 C．15 D．10【答案】B【解析】由在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可知其概率，再利用概率公式即可推算出a的大小．由题意可得4100%20% a⨯=，解得20a=．经检验：a=20是原方程的根且符合题意【点睛】本题考查用频率估计概率，熟记概率公式是解本题的关键例7．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（）种不同的可能？A．12 B．6 C．5 D．2【答案】B【解析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解．解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE．故选：B．【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径．一、单选题1．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【答案】A【解析】根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得．A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为0.5，此项错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为10.5180.482-=，此项错误；故选：A．【点睛】本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键．2．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=nm，则下列说法正确的是()A．p一定等于12B．p一定不等于12C．多投一次，p更接近12D．投掷次数逐步增加，p稳定在12附近【答案】D【解析】【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在12附近．故选：D．【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．3．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（）A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87 【答案】C【解析】【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．解：样本中身高不低于170cm的频率5501300.681000+==，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．4．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计摸到黄球的概率为（）A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.6【答案】A【解析】【分析】根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在0.3，进而可估计摸到黄球的概率．∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，∴估计摸到黄球的概率为0.3，故选：A．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．5．在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（）A ．112 B ．16C ．13D ．14【答案】C 【解析】 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可．设三行三列的方格棋盘的格子坐标为(),a b ，其中开始时骰子所处的位置为()1,1，则图题（2）所示的位置为()3,3，则从()1,1到()3,3且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为2163P ==，故选C ． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键．6．如图，小球从A 入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E 出口落出的概率是（ ）A ．12 B ．13C ．14D ．16【答案】C 【解析】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B 、C 、D 处都是等可能情况，从而得到在四个出口E 、F 、G 、H 也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有E 、F 、G 、H 四个，所以小球从E 出口落出的概率是：14；故选：C ． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．7．用直角边长分别为2、1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D 5【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出大正方形和小正方形的面积，再利用概率公式计算即可 解：大正方形的面积为：21214(21)52⨯⨯⨯+-=， 阴影部分的小正方形的面积为：2(21)1-=， ∴飞镖落在阴影部分的概率是1155÷=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了几何概率的求法：首先根据题意用代数关系将面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A ）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A ）发生的概率．8．动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，活到30岁的概率为0.3，现在有一只20岁的动物，它活到30岁的概率是( )A ．35B ．38C ．58D ．310【答案】B【解析】【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.3x，故现年20岁到这种动物活到30岁的概率为0.30.8xx=38．故选：B．【点睛】本题考查概率的简单应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据：并得出了四个结论，其中正确的是（）A．试验1500次摸到白球的频率一定比试验800次的更接近0.6B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200D．这个盒子中的白球定有28个【答案】B【解析】【分析】观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，据此求解即可．解：A. 试验1500次摸到白球的频率不一定比试验800次的更接近0.6，故不正确；B. 观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，故正确；C. 当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m不一定等于1200，故不正确；D. 这个盒子中的白球定估计有40×0.6=24个，故不正确；故选B．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．10．如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为15的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）：投石子的总次数50次150次300次600次石子落在空白区域内的次数14次85次199次400次石子落在空白区域内的频率725173019930023依此估计空白比分的面积是（）A．6B．8.5C．9.95D．10【答案】D【解析】【分析】根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积.由表格可知：当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近23，即空白区域的面积占总面积的23，∴空白部分的面积=215103⨯=，故选D.【点睛】此题主要是利用频率估计概率，当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率，这是利用频率计算概率在实际生活中的运用.二、填空题11．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是___________．【答案】0.32【解析】【分析】由题意依据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率进行分析即可．解：一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32．故答案为：0.32．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．12．袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．【答案】4【解析】【分析】首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．解：∵摸了150次后，发现有30次摸到红球，∴摸到红球的频率=301 1505=，∵袋子中共有20个小球，∴这个袋中红球约有12045⨯=个，故答案为4．【点睛】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为___________cm2．【答案】3【解析】【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的75%，计算即可．解：正方形二维码的边长为2cm，∴正方形二维码的面积为4cm2，∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的75%，∴黑色部分的面积约为：4×75%=3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．如图是计算机中“扫雷"游戏的画面，在99⨯小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷.小红在游戏开始时随机踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域，数字1表示在A区域中有1颗地雷，那么第二步踩到地雷的概率A区域______B区域（填“>”“<”“=”）.【答案】=【解析】【分析】分别求出A 区域踩到地雷的概率和B 区域踩到地雷的概率即可.∵A 区域踩到地雷的概率为18，B 区域踩到地雷的概率为91=728，∴第二步踩到地雷的概率A 区域和B 区域是相等的.故填=.【点睛】本题主要考查了几何概率，在解题时要注意知识的综合应用以及概率的算法是本题的关键． 15．一个不透明的布袋中装有4个红色球、m 个白色球、1个黑色球，其颜色外都相同，每次将球充分搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回袋中，通过大量摸球试验发现摸到白色球的频率稳定在0.5，可估计这个布袋中白球的个数为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据概率计算公式，用白球的个数除以球的总个数等于摸到白球的概率，列出式子求解即可． 根据题意列式：0.541mm =++，解得5m =，则布袋中白球的个数为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查概率计算公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并应用概率计算公式是解答本题的关键．16．小慧在一次用“频率估计概率”的试验中，把“学生知耻处，方知艺不精”中的每个汉字分别写在十张完全相同的卡片上，然后把卡片的背面朝上，随机抽取一张后统计某一个汉字被抽到的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的汉字是______．【答案】知 【解析】 【分析】利用“频率估计概率”，观察图像，可得抽的此汉字的概率为15，总共有十个汉字，可得此汉字的个数为2，即可求解．解：利用“频率估计概率”，观察图像，可得抽的此汉字的概率为15，在“学生知耻处，方知艺不精”中总共有十个汉字， 可得此汉字的个数为2， 从而得到此汉字为知， 故答案为：知 【点睛】此题考查了利用“频率估计概率”，解题的关键是理解题意，正确求得抽的此汉字的概率． 17．一名男生投实心球，已知球行进的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为 y=﹣425（x ﹣2）2+8125，那么该男生此次投实心球的成绩是__．【答案】6分 【解析】解：当y=0时，计算得出：x 1=6.5，x 2=-2.5（舍去），由表可以知道当水平距离x=6.5米时，该男生此次投实心球的成绩是6分.18．定义：若自然数n 使得三个数的加法运算“(1)(2)n n n ++++”产生进位现象，则称n 为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为2349++=不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为45615++=产生进位现象；51是“连加进位数”，因为515253156++=产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是_______． 【答案】2225【解析】 【分析】按照定义将数据依次代入(1)(2)n n n ++++进行验证，找出规律，得到“连加进位数”的个数，进而求出概率.当n=0时，(1)(2)=012=3++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=1时，(1)(2)=123=6++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=2时，(1)(2)=234=9++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=3时，(1)(2)=345=12++++++n n n ，是连加进位数， 故0到9中，0、1、2不是连加进位数；当n=10时，(1)(2)=101112=33++++++n n n ，不是连加进位数，当n=11时，(1)(2)=111213=36++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=12时，(1)(2)=121314=39++++++n n n ，不是连加进位数， 当n=13时，(1)(2)=131415=42++++++n n n ，是连加进位数， 故10到19中，10、11、12不是连加进位数；以此类推，20到29中，20、21、22不是连加进位数，30到39中，30、31、32不是连加进位数，40以后全部是连加进位数，所以连加进位数总共88个， 故取到“连加进位数”的概率是8822=10025. 【点睛】本题考查概率的算法，根据题意筛选出符合条件的的情况数目是解题的关键. 三、解答题19．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．(1)估计该麦种的发芽概率．(2)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为50g ．那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg ）？ 【答案】(1)该麦种的发芽概率约为95%； (2)约需麦种790千克 【解析】 【分析】（1）利用频率估计麦种的发芽率，大数次实验，当频率固定到一个稳定值时，可根据频率公式=频数÷总数计算即可；（2）设约需麦种x 千克，根据x 千克转化为克×1000，再转为颗粒÷50×1000，根据发芽率再×95%，根据芽转苗再×80%，等于三公顷地需要的苗总数，例方程x ×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，解方程即可 (1)解：根据实验数量变大，发芽数也在增大，2850÷3000×100%=95%， 故该麦种的发芽概率约为95%； (2)解：设约需麦种x 千克，x ×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3， 化简得15200x=12000000， 解得x =789919， 答：约需麦种790千克 【点睛】本题考查用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题，掌握用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题的方法与步骤是解题关键．20．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小明做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过程实验n 次，下表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表．(1)观察上表，可以推测，摸一次摸到白球的概率为______． (2)请你估计盒子里白球个数．(3)若往盒子中同时放入x 个白球和y 个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是0.25，求y 与x 之间的函数关系式． 【答案】(1)0.2 (2)1个 (3)31y x =- 【解析】 【分析】（1）观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，所以n 很大时摸到白球的概率将会接近0.2；（2）设盒子里白球有m 个，根据题意列出方程m=0.25，解方程即可得出答案； （3）根据等可能事件概率的计算方法，得到等式10.255xx y +=++，化简后即可得答案．(1)观察表格发现摸到白球的频率在0.2左右波动，∴摸到白球的频率为0.2(2)设盒子里白球有m 个，根据题意得，m =0.25解得m =1．答:盒子里白球有1个． (3)解：由题意得：10.255xx y +=++．化简整理得：31y x =-．∴y 与x 之间的函数关系式为：31y x =-．（x 为正整数） 【点睛】本题考查用频率估计概率，理解概率的意义，能根据事件发生的频率来估计该事件的概率是解题的关键.21．根据你所学的概率知识， 回答下列问题：(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落地后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明) (2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：根据上表， 下面有三个推断：①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是0.512， 所以“正面朝上”的概率是0.512； ②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在0.520附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计“正面朝上”的概率是0.520；③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558次；其中推断合理的序号是________．【答案】(1)12，14(2)②③ 【解析】【分析】（1）根据概率公式求解抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率；根据树状图求两枚均匀硬币时，硬币正面朝上的概率；（2）根据试验次数越大，频率稳定，可用频率估算概率，据此判断即可．(1)抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率是12；若抛两枚均匀硬币时，画树状图如下：共有4种等可能的情况数，其中两枚硬币都是正面朝上有1种，则两枚硬币都是正面朝上的概率是14；故答案为：12，14；(2)①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，故本选项错误，不符合题意；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故本选项正确，符合题意；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，故本选项正确，符合题意；其中推断合理的序号是②③．故答案为：②③．【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，利用画树状图求概率，根据频率求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．22．童老师在教学《简单事件的概率》时，设计了一个“挑战自我”的环节，即挑战的同学从如图1所示的A，B，C，D四张图片中随机选取一张，老师点击该图片，显示挑战问题，挑战的同学思考并回答．。
概率的简单应用
概率的简单应用【问题探索】问题：我们用抽签的方法从3名同学中选一名去参加某音乐会。
事先准备三张相同的小纸条，并在1张纸条画上记号，其余2张纸条不画。
把3张纸条放在一个盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，这种方法公平吗？——先抽的人与后抽的人中签的概率一样吗？解答：假设这3名同学分别记作甲、乙、丙，他们抽签的顺序依次为：甲第一，乙第二，丙第三。
三张小纸条中，画有记号的纸条记作A，余下的两张没有记号的纸条分别记作B1和B2。
用表格列出所有可能出现的结果：从上图可以看出，甲、乙、丙依次抽签，一共种可能的结果，并且它们是等可能的。
甲中签的概率P（甲中签）=乙中签的概率P（乙中签）=丙中签的概率P（丙中签）=【新课引入】抽签虽然有先有后，但是先抽的人和后抽的人中签的可能性是一样的，因此对每个人来说都是公平的，所以不必挣着先抽签。
抽签的方法是合理的【总结归纳】1．概率——表示一个事件发生的可能性的大小叫做该事件发生的概率。
①概率是反映事件发生的可能性大小的量；②事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0；③求概率时一般用列表法或画树状图法。
2．判断一个游戏是否公平，关键是看在这个游戏规则之下，双方获胜的可能性是否相等。
游戏规则是判断一个游戏公平与否的关键，当一个游戏不公平时，可以通过修改游戏规则使游戏变得公平。
3．利用概率估计实际问题，当试验的频率稳定在某一常数时，我们可以从试验频率近似等于某一事件发生的概率为解题依据，利用不同概率的计算方法估计出事件中部分或全体的数量。
——①必须在相同条件下进行试验；②试验次数也多，估计值就越接近准确值。
4．一般地，如果随机事件A发生的概率是P（A），那么，在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值m为n P（A）。
【精选例题】（一）随机事件概率的求法例1 从-1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k 值，求所得一次函数中y 随x 的增大而增大的概率。
概率密度函数的估计与应用
概率密度函数的估计与应用概率密度函数（probability density function，简称PDF）是概率论和数理统计中常用的概念，广泛应用于可变量的分布描述、数据拟合以及随机变量的概率计算中。
在实际应用中，我们经常用到概率密度函数的估计，以求得随机变量的分布特征和统计学参数，从而为数据分析和建模提供有力支撑。
一、概率密度函数的基本概念及分布函数概率密度函数是描述随机变量取值的概率分布的一种数学模型。
简单来说，概率密度函数是一个连续函数，其在某个点的导数表示该点处的概率密度，对于某个区间上的积分则表示该区间内的概率和。
当随机变量服从某一分布时，我们可以通过该分布的概率密度函数来描述其分布特征。
分布函数是概率密度函数的一个相关概念，其所描述的是随机变量取值在某一范围内的累积概率。
与概率密度函数不同的是，分布函数是一个非降的右连续函数，其在某一点的最左极限为该点处的概率。
二、概率密度函数的估计方法根据大数定律和中心极限定理，我们可以利用样本数据来对总体的概率密度函数进行估计。
这里介绍两种常用的概率密度函数估计方法，分别是核密度估计和最大似然估计。
1. 核密度估计核密度估计将样本数据和一个给定的核函数结合起来，通过计算核函数在每个观测值处的值和分布范围，得到在该点处的概率密度函数估计值。
核密度估计的优点在于其所得到的概率密度函数是一个连续函数，并且无需对数据做出具体的分布假设。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是选择某个分布参数（如均值、方差、形状参数等），使得样本数据在该分布下的概率最大。
对于正态分布、指数分布等常见分布，最大似然估计具有较好的稳健性和准确性。
三、概率密度函数的应用概率密度函数的应用十分广泛，下面将简单介绍几个常见的应用场景。
1. 数据拟合在数据分析和建模中，常常需要使用概率密度函数来对数据进行拟合。
通过使用不同的概率密度函数，可以描述不同类型的随机变量，如正态分布、指数分布、泊松分布等。
概率在生活中的应用
概率在生活中的应用
概率是我们日常生活中经常会遇到的一个概念，它可以帮助我们更好地理解和
预测各种事件的发生。
无论是在工作、学习还是生活中，概率都扮演着重要的角色，让我们一起来看看概率在生活中的应用吧。
首先，概率在生活中的应用最常见的就是在做决策时的帮助。
比如在购买彩票时，我们可以通过计算概率来判断中奖的可能性，从而决定是否购买。
同样，在投资理财中，我们也可以通过概率来评估风险和收益，从而做出更明智的投资决策。
其次，概率也在生活中的风险管理中发挥着重要作用。
比如在保险业中，公司
可以通过概率来计算各种风险的发生概率，从而制定合理的保险费用和赔偿方案。
此外，在医疗领域，概率也被用来评估疾病的发生和治疗效果，帮助医生更好地制定治疗方案。
再者，概率还可以帮助我们更好地理解和预测各种自然现象。
比如在气象预报中，科学家们可以通过概率来预测天气的变化，帮助人们做出相应的生活安排。
在地震预测和防范中，概率也被广泛应用，帮助人们减少地震带来的损失。
总的来说，概率在生活中的应用是非常广泛的，它可以帮助我们更好地理解世界，做出更明智的决策，减少风险，预测未来。
因此，我们应该更加重视概率的学习和应用，让它成为我们生活中的得力助手。
数学知识点概率的简单应用
数学知识点概率的简单应用学习是劳动，是充满思想的劳动。
为大家整理了数学知识点概率的简单应用，让我们一起学习，一起进步吧!一、求复杂事件的概率：1.有些随机事件不可能用树状图和列表法求其发生的概率，只能用试验、统计的方法估计其发生的概率。
2.对于作何一个随机事件都有一个固定的概率客观存在。
3.对随机事件做大量试验时，根据重复试验的特征，我们确定概率时应当注意几点:(1)尽量经历反复实验的过程，不能想当然的作出判断;(2)做实验时应当在相同条件下进行;(3)实验的次数要足够多，不能太少;(4)把每一次实验的结果准确，实时的做好记录;(5)分阶段分别从第一次起计算，事件发生的频率，并把这些频率用折线统计图直观的表示出来;(6)观察分析统计图，找出频率变化的逐渐稳定值，并用这个稳定值估计事件发生的概率，这种估计概率的方法的优点是直观，缺点是估计值必须在实验后才能得到，无法事件预测。
二、判断游戏公平：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。
三、概率综合运用：概率可以和很多知识综合命题，主要涉及平面图形、统计图、平均数、中位数、众数、函数等。
常见考法(1)判断游戏是否公平是概率知识应用的一个重要方面，也是中考热点，这类问题有两类一类是计算游戏双方的获胜理论概率，另一类是计算游戏双方的理论得分;(2)概率是初中数学的重要知识点之一，命题者经常以摸球、抛硬币、转转盘、抽扑克这些既熟悉又感兴趣的事为载体，设计问题。
误区提醒进行摸球、抽卡片等实验时，没有注意有序还是无序、有放回还是无放回故造成求解错误。
【典型例题】（广东汕头）分别把带有指针的圆形转盘A、B 分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字(如图所示).欢欢、乐乐两人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜;若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜;若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘.(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率;(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗?试说明理由.希望同学们能够认真阅读数学知识点概率的简单应用，努力提高自己的学习成绩。
单元复习：概率的简单应用
活动实践
请将下列事件发生的概率标在图中： 例1 请将下列事件发生的概率标在图中：
（1）清晨，太阳从东方升起； ）清晨，太阳从东方升起； （2）随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为 ； ）随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； 个扇形）， （3）自由转动下面的转盘（转盘被等分成 个扇形），指 ）自由转动下面的转盘（转盘被等分成6个扇形），指 针停在红色区域中。 针停在红色区域中。
中考真题
树状图法
例2 （09连.21 ）一家医院某天出生了3个婴儿，假 设生 男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、 2个女婴的概率是多少？
练习（10连.21 ）从甲地到乙地有A1、A2两条路线，从 乙 地到丙地有B1、B2、B3三条路线，从丙地到丁地有C1、C2两条 路线．一个人任意选了一条从甲地到丁地的路线．求他恰好选 到B2路线的概率是多少？
阅读量增大也是几年中考一个趋势，平时应该多加训 练。
（2011连.23）一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形 ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则 是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的 相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中 并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是 几，棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度．棋子走到哪 一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率．（用列表或 画树状图的方法求解）
火眼金睛
列表法或树状图法
例 3 一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们 放回箱子， 除颜色外均相同.从箱子中任意摸出一个球，不将它放回 不 放回 搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率。
练习 袋中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同， 放回袋中，搅匀后再任意摸 任意摸出一个球，记下球的颜色，放回 放回 出一个球，记下球的颜色，则摸到一红一白两球的概率是＿＿ ＿.
2.3 概率的简单应用
856832 P= ≈0.8780 975856
3、生命表又称死亡表,是人寿保险费率计算的主要依据, 生命表又称死亡表,是人寿保险费率计算的主要依据, 如下图是1996年 如下图是1996年6月中国人民银行发布的中国人寿保险经 1996 验生命表,(1990-1993年 的部分摘录, 验生命表,(1990-1993年)的部分摘录,根据表格估算下列 ,(1990 概率(结果保留4个有效数字) 概率(结果保留4个有效数字)
10853 P= ≈0.01251 867685
(2)某人今年31岁 他当年死亡的概率. (2)某人今年31岁,他当年死亡的概率. 某人今年31
(1)某人今年61岁,他当年死亡的概率. (1)某人今年61岁 他当年死亡的概率. 某人今年61
年龄x 生存人数lx 死亡人数dx
0 1
1000000 997091 976611 975856 867685 856832 845026 832209 488988 456246 422898 389141
年龄x 生存人数lx 死亡人数dx
0 1
1000000 997091 976611 975856 867685 856832 845026 832209 488988 456246 422898 389141
2909 2010 755 789 10853 11806 12817 13875 32742 33348
拓展提高
某电脑公司现有A 某电脑公司现有A、B、C三 种型号的甲品牌电脑和D 种型号的甲品牌电脑和D、E两 种型号的乙品牌电脑。 种型号的乙品牌电脑。希望中 学要从甲乙两种品牌电脑中各 选购一种型号的电脑 (1)写出所有的选购方案； (1)写出所有的选购方案； 写出所有的选购方案 (2)如果（1）中各种选购方案 (2)如果（ 如果 被选中的可能性相同，那么A 被选中的可能性相同，那么A型 电脑被选中的概率是多少？ 电脑被选中的概率是多少？ xx电脑公司 xx电脑公司
《2.4概率的简单应用》作业设计方案-初中数学浙教版12九年级上册
《概率的简单应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过实践操作和理论应用，使学生能够：1. 理解概率的基本概念和计算方法；2. 掌握概率在生活中的简单应用；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、作业内容作业内容主要包括以下几个方面：1. 理论复习：要求学生复习概率的基本概念，如事件、概率的定义及计算方法等。
2. 实践操作：设计几个简单的概率实验，如抛硬币、掷骰子等，让学生亲自操作并记录实验结果，计算事件的概率。
3. 情景应用：设计实际生活场景，让学生运用所学概率知识解决实际问题。
例如，设计一个抽奖活动，让学生计算中奖的概率；或者设计一个彩票购买策略，让学生分析购买不同类型彩票的中奖概率。
4. 作业题目：布置一定量的习题，包括选择题、计算题和应用题，以巩固学生对概率知识的理解和应用能力。
三、作业要求1. 实践操作部分：学生需亲自进行实验操作，并准确记录实验数据和结果。
2. 情景应用部分：学生需根据所给情景，运用所学知识进行分析和计算，提出自己的见解和解决方案。
3. 作业题目部分：学生需独立完成作业题目，注意审题，理解题意，运用所学知识进行解答。
同时，要求学生书写规范，步骤清晰，答案准确。
4. 作业提交时，需附上实验记录和解题过程，以便教师了解学生的思考过程和解题方法。
四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 实践操作部分：是否亲自进行实验操作，实验数据是否准确，实验结果是否符合理论预期。
2. 情景应用部分：是否能够运用所学知识进行分析和计算，提出的见解和解决方案是否合理。
3. 作业题目部分：是否独立完成作业题目，答案是否准确，步骤是否清晰，书写是否规范。
4. 综合表现：学生是否认真对待作业，是否有独立思考和解决问题的能力。
五、作业反馈教师将对每位学生的作业进行认真批改，指出错误和不足，并提供详细的解题思路和解题方法。
同时，教师将根据学生的作业情况，进行针对性的辅导和指导，帮助学生更好地掌握概率知识。
小学数学认识简单的统计和概率的应用
小学数学认识简单的统计和概率的应用在小学数学中，学生们首先需要掌握一些简单的统计和概率的应用。
统计学是研究数据收集、分析、解释和呈现的科学，而概率是研究随机事件可能性的科学。
通过学习这些概念和应用，学生可以对自己周围的世界有更好的观察和理解。
一、统计的应用：统计在我们的日常生活中无处不在。
我们可以通过收集和整理数据来了解事物的特征和规律。
比如，当我们想知道班级里每个同学的身高时，我们可以让每个同学站到一起，然后用卷尺测量他们的身高并记录下来。
通过整理这些数据，我们可以知道身高的平均值和范围。
这样的统计分析可以帮助我们更好地了解同学们的身高分布情况。
此外，统计还可以帮助我们分析和解释一些现象。
比如，我们可以通过统计学习到一个城市每周的交通拥堵情况，进而分析造成拥堵的原因和解决方案。
统计也可以帮助我们预测未来的趋势。
比如，通过对历年的气温数据进行统计分析，我们可以预测未来某个季节的气温变化。
二、概率的应用：概率是研究随机事件可能性的科学。
在小学数学中，我们可以通过一些简单的概率问题来帮助学生理解这一概念。
比如，当我们投掷一个硬币时，正面和反面出现的机会是相等的，都是50%。
这个概率是通过大量的实验和观察得出的结论。
概率也可以帮助我们做出决策。
比如，在进行一个抽奖活动时，我们可以计算每个人中奖的概率，从而确定奖品的分发方案。
同时，概率也可以帮助我们评估一些风险。
比如，我们可以通过统计数据来分析某种药物的副作用概率，以便在医疗决策中做出妥善的处理。
总结：通过学习和应用统计和概率，小学生可以培养观察、分析和判断的能力。
他们可以更好地理解和解释周围发生的事情，并做出合理的决策。
因此，在小学数学教育中，注重培养学生的统计和概率思维，将对他们未来的学习和生活产生积极的影响。
（字数：412）。
第9章概率的简单应用——“概率的简单应用”重要概念导学
同， 抽到１ 、 ２ 、 ３ 号 纸 条 的 可 能 性 都 相 同．
概率．
知 识点 ３ 频 率 与概 率 频 率 是 事 件 发 生 的 次 数 与 试 验 总 次
知 识 点 ５ 抽 签 的方 法 用抽 签 的方法 做决定 ． 要 保 证 每 个 签
抽 签 虽 然 有 先 有 数 的 比值 ， 与试 验 的 条 件 及 次 数 有 关 ： 而 概 被 抽 到 的 机 会 是 一 样 的 ．
③ 实 验 的 等 可能 性必 须具 备 ： （ １ ）每 一 个 事 件 实 验 时 应 当 在 相 同 条 件 下 进 行 ： 不能太少 ： ④ 把 每一 次实 验 都是 随机事件 ： （ ２ ）试 验 在 相 同 的 条 件 下 次 数 要 足 够 多 ，
进行 ． 每 次试 验 有且 只 有一 个 结果 出现 ．
我 们 的 生 活服 务 ． 在 自然 界 和 人 类社 会 中， 确 定 的现 象是 有 限的 ， 相反 ， 不 确 定 的 现 象 即 随
机 现 象却 是 大量 存 在 的 ． 如： 用掷 硬 币决 定哪 支 球 队 开球 或 先 选 场 地 ， 用抽 签 方 法 决 定 某 物 的 归属 ， 密码 的 编 制破 译 ， 池塘 中鱼尾 数 的 估 计 等 等 ． 学 习概 率 的 目的就 是 要 学会描 述 和 分析 现 实生 活 中的 一 些 随机 现 象 ，运 用概 率知 识 去 解 决 一 些 简单 的 实 际 问题 ， 体 会概 率模 型 的作 用 以及 运 用概 率 思考 问题 的 特 点 ， 初 步 形
：
（ ｍ指 事 件 发 生
… 一 … 一 一
ｎ
凡 指 一 次 试 验 所 有 等 可 均 匀 的 硬 币 落 地 后 朝 上 一 面 有 正 面 或 反 可 能 出现 的 结 果 数 ， 能 出现 的 结 果 数 ） ． 事 件 发 生 的 总 次 数 往 往 面 两种 等 可能情 形 ． 随机 事件 的概率 在０
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2.抽检1000件衬衣,其中不合格的衬衣有2件,由此估计
抽1件衬衣合格的概率是多少? P=499/50 3.1998年,在美国密歇根州汉诺市0的一个农场里出生
了1头白色的小奶牛.据统计,平均出生1千万头牛才 会有1头是白色的.由此估计出生一头奶牛为白色的
实验者
隶莫弗 布丰 皮尔逊 皮尔逊
抛掷次数n
2048 4040 12000 24000
“正面朝上” 频率m/n
次数m
1061
0.518
2048
0.5.69
6019
0.5016
12012
0.5005
观察上表,你获得什么启示?实验次数越多,频率越接近概率
让如图的转盘自由转动一次,停止转动后,指 针落在红色区域的概率是1/3。以下是实验 的方法:
汽车首先到达车站的可能性相等，那么首先到站且正
好是这位乘客所要乘的车的概率是 0.4
.
精选ppt
15
回顾
1.什么叫概率？
事件发生的可能性的大小叫这一事件发生的概率.
2.概率的计算公式：
若事件发生的所有可能结果总数为n，事件Ａ发
生的可能结果数为m，则Ｐ（Ａ）＝ m n
3.估计概率
在实际生活中，我们常用频率来估计概率，在大
解:设需麦种x(kg), 则粒数为x•1000•1000
由题意得,
35
x•10•0100 00.9 0 58％ 734181
35
解得 x≈531(kg)
答:播种3公顷该种小麦,估计约需麦种531kg.
精选ppt
11
练一练
1.如果某运动员投一次篮投中的概率为0.8,下列 说法正确吗?为什么?
(1)该运动员投5次篮,必有4次投中. 错误 (2)该运动员投100次篮,约有80次投中. 正确
17
例1. 某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可 能性相同.以每10000张奖券为一个开奖单位，设特 等奖１个，一等奖10个，二等奖100个.问１张奖券 中一等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？
120° 12702°°
120°
(1)一个班级的同学分8组,每组都配一个如图的转盘
(2)填写下表:
转动次数
10 20 30 40 50
指针落在红色区域次数
3 8 11 14 16
频率
0.3 0.4 0.36 0.35 0.32
(3)把各组得出的频数,频率统计表同一行的转动次数和频数 进行汇总,求出相应的频率,制作如下表格:
2000 1 67(件） 30
(3)若要销售这批西装2000件,为了方便购买次品西装的顾客前来调换,
至少应该进多少件西装? x 精2选9ppt 2000 x2069(件）12
30
练一练
3.公路上行驶的一辆客车，车牌号码是奇数的概率 是 0.5 ；
4.假设抛一枚硬币20次，有8次出现正面，12次出现反 面，则出现正面的频数是 8 ，出现反面的频数是 12 ， 出现正面的概率是 0.5 ，出现反面的概率是 0.5 ；
温故知新
1.数据分组后落在各小组内的数据个数称为频＿＿数＿.
2.反映数据分布情况的统计表叫做 频数分布表， 也叫频数表.
3.每一组频数与数据总数的比叫做这一组数据 （或事件）的_频__率___.
精选ppt
2
合作探究
我们知道,任意抛一枚均匀的硬币,“正面朝上” 的概率是0.5,许多科学家曾做过成千上万次的实验, 其中部分结果如下表:
实验次数 80 160 240 320 400
指针落在红色区域的次数 25 58 78 110 130
频率
0.3125 0.3625 0.325 0.3438 0.325
(4)根据上面的表格,在下图中画出频率分布折线图
频率
0.68
0.34
实验次数
0 80 160 240 320 400
(5)议一议: 频率与概率有什么区别和联系? 随着重复实验次数的不断增加,频率的变化趋势如何?
2.对一批西装质量抽检情况如下:
抽检件数
200 400
600
800
1000 1200
正品件数
190 390
576
773
967
1160
次品的概率 1
1
1
27
33
1
20
40
25
800
1000
30
变((题12))：填 从至写这少表批要格西准中装备次中多品任少的选件概一正率套品是. 西次装品供的买概到率次是品多的少顾? 客301调换？
m(粒)
发芽 频率
0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95
m/n估计该麦种的发芽概率 精0选.9p5pt
10
(3)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4181818棵,种 子发芽后的成秧率为87％,该麦种的千粒质量为35g,那么 播种3公顷该种小麦,估计约需麦种多少kg?
5.从1、2、3、4、5，6这6个数字中任取两个数字组成一
个两位数，则组成能被4整除的数的概率是 4 ； 15
练一练
6.袋中有4个白球，2个黑球，每次取一个，假设第一
次已经取到黑球，且不放回，则第二次取到黑球的概
率为 0.2
；
7.在第5、28、40、105、64路公共汽车都要停靠的一
个车站，有一位乘客等候着5路或28路汽车.假定各路
1.频率不等于概率； 2.概率是理论性的东西，
频率是实践性的东西；
3.通过大量的重复实验，事件发生的频率值将 逐渐稳定在相应的概率附近，此时的频率值 可用于估计这一事件发生的概率.
4.概率只表示事件发生的可能性的大小， 不能说明某种肯定的结果.
1.某运动员投篮5次,投中4次,能否说该运动员投一次篮, 投中的概率为4/5?为什么?
概率为多少? P=1/10000000
4.
则估计油菜籽发芽的概率为＿0＿.9＿
例1. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验,统计 发芽种子数,获得如下频数分布表:
实验 种子 n(粒)
15
50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽
频数
0 4 45 92 188 476 951 1900 2850
量重复的实验中发现频率接近于哪个数，把这个数作
为概率．
精选ppt
16
1. 如果有人买了彩票，一定希望知道中奖的概率有多大． 那么怎样来估计中奖的概率呢？
2. 出门旅行的人希望知道乘坐哪一种交通工具发生事故 的可能性较小？
概率与人们的生活密切相关，在生活，生产和科研 等各个领域都有着广泛的应用．
精选ppt