概率统计试题及答案一份2016(仅供参考)

概率统计试题及答案一份（仅供参考2016）

一．填空题（每空3分，共24分）

1.设,,A B C 为三个随机事件，则事件“A ，B 发生同时C 不发生”可 表示为 __

AB C 。

2.设()0.3,()0.4P A P B ==，如果事件A ，B 互不相容，则()P A B ⋃ 0.7。

3.甲乙两人同时向同一目标射击，击中的概率分别为0.7,0.8，则该目标被击中的概率为 0.94。

4.设随机变量X 在区间（0,2）上服从均匀分布，则{1}P X = 0 。

5.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，分布密度分别为

2

2(1)()},,

82,

0,()0,

X y

Y x f x x e y f y y --=--∞<<∞⎧>=⎨

≤⎩

则2(32)Y

E X e -- 2 ，(32)Var X Y - 31 。

6.从某总体中抽取容量为5的一样本，其观测值分别为2,3,2,1,2，则样本均值为 2 ；具有无偏性质的样本方差为 0.5

二．简述题（每小题8分，共16分）

（1）概率的公理化定义及其概率的四种形式。

解：设F 为样本空间Ω的事件域，如果对任意A F ∈，都存在实数

()P A 与之对应，且满足

(1)()1;(2)0()1;P P A Ω=≤≤（3）如果12,,,,n A A A 两两互不相容，

有1

1

()()i i i i P A P A ∞∞

===∑ ，则称()P A 为事件A 的概率。

概率四种形式：统计概率；古典概率；几何概率；主观概率；条件概率。

（2）什么叫统计量？列举四种常用的统计量。

解：设12,,,n X X X 为总体X 的一样本，如果函数12(,,,)n g X X X 不包含任何未知参数，则称12(,,,)n g X X X 为统计量。

样本均值__

11n i i X X n ==∑，样本方差__

22

11()1n i i S X X n ==--∑，样本原点矩1

1n k k i i A X n ==∑，样本中心矩__

1

1()n

k k i i B X X n ==-∑。

三．（12分）设离散型随机变量X 的分布律为

1{}(1)

,1,2,,01,

k P X k A p p k p -==-=<< 求：①常数A ；②{}P X k >；③EX 。

解：①因为11

1

{}1(1)1(1)

k k k p

P X k A p p A

A p ∞∞

-=====-==--∑∑，所以1A =。 4分

②{}1

1

1

{}(1)

(1)j k j k j k P X k P X j p p p ∞∞

-=+=+>===-=-∑∑。 8分

③

1

'

''1

1

11

1

{}(1)

[(1)][(1)]()1k k k k k k k q EX kP X k kp p p p p p p q p ∞∞

∞∞

-=======-=-=-==-∑∑∑∑

四．（12分）设随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均与分布，D 为由,2,1y x y x x ===所围成有限区域，求(1)联合密度函数；(2)边际密度函数；③判断,X Y 的独立性。

解：(1) 区域D 的面积为

1

1

(2)2s x x dx =-=

⎰。故所求联合密度函数为

2,01,2,

(,)0,x x y x f x y <<<<⎧=⎨

⎩

其它 4分

(2)所求边际密度函数为

222,01,

()(,)0,x x

X dy x x f x f x y dy ∞

-∞

⎧=<<⎪==⎨⎪⎩

⎰⎰

其它 7分 1/2/22212,()(,)2,01,0,y y

Y y dx y y f y f x y dx dx y y ∞

-∞

⎧=-≤<⎪⎪⎪===<<⎨⎪

⎪

⎪⎩

⎰⎰

⎰其它 10分

③因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以,X Y 不独立。 12分

五．（12分）设二维随机变量(,)X Y 密度函数为

1,01,01,

(,)0,

x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它 求,,EX EXY DX 。

解：由题意知

1

1

001

2EX dx xdy ==

⎰⎰ 3分

11001

4EXY dx xydy ==⎰⎰ 6分

112

20013EX dx x dy ==⎰⎰ 9分

111

3412DX =-= 12分

六.（12分）设总体X

的密度函数为1

(;,01p x x θ<<，

其中参数0θ>未知，12,,,n X X X 为总体一样本，求θ的矩估计和最大似然估计。

解：矩估计：

由题意知()EX xp x dx ∞-∞

===

⎰⎰ 2分

故由__

X =

得__

2

__

(

)1X

X

θ=-，