二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题-新精品PPT课件
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提示
此时2+p+q0 2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyPm(x)ex
y*xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为wk.baidu.comy*x(b0x+b1)e2x
把它代入所给方程 得 2b0x+2b0b1x
因此所给方程的通解为
特解形式
首页
二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
二阶常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)Pm(x)ex型
二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分 方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解yy*(x)之和
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex
提示
此时2+p+q0 但2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0xm +b1xm1+ +bm1x+bm
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
提示 [b30bx0+b31]2[b0x+b1]3[b0x+b1] 2b03b0x3b1 2b30b0x3b21b10 3b1
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60 其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1 >>>
下页
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失 败也是伟大的，所以不要放弃， 坚持就是正确的。
yY(x)+y*(x)
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示 y*+py*+qy*[Q(x)ex]+ p[Q(x)ex]+q[Q(x)ex]
[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x
把它代入所给方程 得 >>> 2b0x+2b0b1x
提示 2b01 齐2b次0方b1程0y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60 其根为r12 r23
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为 y*b0x+b1
把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x+1
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2+p+q0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
此时2+p+q0 2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyPm(x)ex
y*xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为wk.baidu.comy*x(b0x+b1)e2x
把它代入所给方程 得 2b0x+2b0b1x
因此所给方程的通解为
特解形式
首页
二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
二阶常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)Pm(x)ex型
二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分 方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解yy*(x)之和
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex
提示
此时2+p+q0 但2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0xm +b1xm1+ +bm1x+bm
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
提示 [b30bx0+b31]2[b0x+b1]3[b0x+b1] 2b03b0x3b1 2b30b0x3b21b10 3b1
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60 其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1 >>>
下页
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失 败也是伟大的，所以不要放弃， 坚持就是正确的。
yY(x)+y*(x)
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示 y*+py*+qy*[Q(x)ex]+ p[Q(x)ex]+q[Q(x)ex]
[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x
把它代入所给方程 得 >>> 2b0x+2b0b1x
提示 2b01 齐2b次0方b1程0y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60 其根为r12 r23
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为 y*b0x+b1
把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x+1
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2+p+q0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm