圆中三大切线定理

14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版
围田地
漫画释义
满分晋级阶梯
圆7级
期末复习之圆中的 重要结论及应用
圆6级
期末复习之圆的综合 圆5级
圆中三大切线定理 2
圆中三大切线定理
15
中考内容
中考要求
A
B
C
圆的有关概念 理解圆及其有关概念
会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题
圆的性质
知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题
能运用圆的性质解决有关问题 圆周角
了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角
会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题
能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题
点与圆的位置关系
了解点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念
能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题
能解决与切线有关的问题
圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题
弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形
会计算扇形面积
能利用扇形面积解决有关问题
圆锥的侧面积和全面积
会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析
中考内容与要求
16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版
查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值
13分 17分 17分 考点
圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系
圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系
圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系
知识互联网
题型一：切线的性质定理
17
题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。

【例1】 如图，在△ABC 中，BC AB =，以AC 为直径的⊙0与BC 边
交于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AB 于点E ，若 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=．
判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。

【例2】 如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC
于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ， 典题精练
思路导航
典题精练
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题型二：切线的判定定理
E O
D
C
B
A
18 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版
连结CF 并延长交BA 的延长线于点P . ⑴ 求证：PC 是⊙O 的切线.
⑵ 若AB =4，2 1：：=PC AP ，求CF 的长.
【例3】 如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，以
D 为圆心、CD 长为半径作D ⊙，与AC 的另一个交点为
E ．
⑴ 求证：AB 与D ⊙相切； ⑵ 若43AC BC ==，，求AE 的长．
【例4】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于
点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．
⑴ 求证：BE 与O ⊙相切；
⑵ 连结AD 并延长交BE 于点F ，9OB =，2
sin 3
ABC ∠=， 求BF 的长．
E D
C
B
A
切线长和切线长定理：
⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
【引例】已知：如图，PA PB 、分别与O ⊙相切于A B 、两点．求证：⑴ APO BPO ∠=∠；
⑵ PA PB =；⑶ OP 垂直平分线段AB ．
【解析】 连结OA OB ，
∵PA PB ，分别与O ⊙相切， ∴PA OA PB OB ⊥⊥，，
例题精讲
思路导航
题型三 切线长定理
C O B
A P
A
B O C
20 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版
O
P
E
D
C B
A
∵OA OB =，OP=OP ∴AOP BOP △≌△ ∴APO BPO ∠=∠． ∴PA PB =，
由等腰三角形“三线合一”可知：OP AB ⊥且AC BC =， ∴OP 垂直平分线段AB ．
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【例5】 ⑴ 如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，
PDE △周长为16，求O ⊙的半径．
⑵ 梯形ABCD 中，AB CD ∥，O 是AB 上一点，以O 为圆心的半圆与AD CD BC 、、都相切．已知6AD =，4BC =，求AB 的长． 典题精练
O
D C
A
21
C B
A
D O
【例6】 ⑴ 如右图所示，ABC △的内切圆与三边AB 、BC 、CA 分别切
于D 、E 、F .13cm AB =，14cm BC =，11cm CA =，求AD 、BE 、CF 的长．
⑵ 如图，在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，6=AC ，8=BC ，圆O 为
ABC ∆的内切圆，
点D 是斜边AB 的中点，则ODA ∠tan .
【例7】 已知：AB 是半圆O 的直径，点C 在BA 的延长线上运动（点C 与点A 不重合），以OC
为直径的半圆M 与半圆O 交于点D ，DCB ∠的平分线与半圆M 交于点E ． (1) 求证：CD 是半圆O 的切线（图1）； (2) 作EF AB ⊥于点F （图2），猜想EF 与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明.
D
C
F O
E
图2 D
E
C 图1
F
E
D
A
22 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版
O C
N
M
B
A
训练1. 如图，AB 是半圆的直径，直线MN 切半圆于C ，
AM MN BN MN ⊥⊥，，如果AM a =，BN b =，那么半圆的半径是
_____________．
训练2. 如图所示，ABC △中，内切O ⊙和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F .若
70FDE ∠=︒，求A ∠的度数.
O
F
E
D C B
A
训练3. 如图，1O ⊙和2O ⊙为Rt ABC △的内切等圆，90C ∠=︒，43AC BC ==，，求1O ⊙的半
径r ．
O 2
O 1
B
C
A
思维拓展训练(选讲)
23 O
D C
B
A
O
A
B C D
O F
D E
C B
A
训练4. 已知，如图在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的圆O 与AD AC
、分别交于点E F 、，ACB DCE ∠=∠． ⑴ 判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；
⑵ 若2
tan 22
ACB BC ∠==，，求O ⊙的半径．
题型一 切线的性质定理 巩固练习
【练习1】 如图，AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，
60AOB ∠=︒，4cm BC =，则切线AB = cm .
题型二 切线的判定定理 巩固练习
【练习2】 在平行四边形ABCD 中，1060AB AD m D ==∠=︒，，，以AB 为直径作O ⊙，
⑴ 求圆心O 到CD 的距离（用含m 的代数式来表示）； ⑵ 当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．
【练习3】 已知：如图，由正方形ABCD 的顶点A 引一条直线分别交BD 、
复习巩固
O
G
F
E
D
C
24 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版
O G E
D
C
A
O M G
F E
A CD 及BC 的延长线于点E 、F 、G ，求证：CE 和CGF △的外接圆相切．
【练习4】 如图，AB 是O ⊙的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦 DF AB ⊥于点G ．
⑴ 求证：点E 是BD 的中点； ⑵ 求证：CD 是O ⊙的切线；
⑶ 若4
sin 5
BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．
题型三 切线长定理 巩固练习
【练习5】 ⑴ 如图，O ⊙是ABC △的内切圆，D E F 、、是切点，18cm AB =，
20cm BC =，12cm AC =，
又直线MN 切O ⊙于G ，交AB BC 、于M N 、，则BMN △的周长为______________．
⑵ Rt ABC △中，9068C AC BC ∠=︒==，，，则ABC △的内切圆半径r =________．
⑶ 等腰梯形ABCD 外切于圆，且中位线MN 的长为10，那么这个等腰梯形的周长是
_____．
第十七种品格：成就
巴雷尼与诺贝尔奖
巴雷尼小时候因病成了残疾，母亲的心就像刀绞一样，但她还是强忍住自己的悲痛。

她想，孩子现在最需要的是鼓励和帮助，而不是妈妈的眼泪。

母亲来到巴雷尼的病床前，拉着他的手说：“孩子，妈妈相信你是个有志气的人，
希望你能用自己的双腿，在人生的道路上勇敢地走下去！好巴雷尼，你能够答应妈妈吗？”
母亲的话，像铁锤一样撞击着巴雷尼的心扉，他“哇”地一声，扑到母亲怀里大哭起来。

从那以后，妈妈只要一有空，就给巴雷尼练习走路，做体操，常常累得满头大汗。

有一次妈妈得了重感冒，她想，做母亲的不仅要言传，还要身教。

尽管发着高烧，她
还是下床按计划帮助巴雷尼练习走路。

黄豆般的汗水从妈妈脸上淌下来，她用干毛巾
擦擦，咬紧牙，硬是帮巴雷尼完成了当天的锻炼计划。

体育锻炼弥补了由于残疾给巴雷尼带来的不便。

母亲的榜样作用，更是深深教育
了巴雷尼，他终于经受住了命运给他的严酷打击。

他刻苦学习，学习成绩一直在班上
名列前茅。

最后，以优异的成绩考进了维也纳大学医学院。

大学毕业后，巴雷尼以全部精力，致
力于耳科神经学的研究。

最后，终于登上了诺贝尔生理学和医学奖的领奖台。

25。