圆中三大切线定理
圆的切线判定定理及性质定理讲义
AT圆的切线判定定理及性质定理讲义一、基础知识归纳1.切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个 条件缺一不可。
结论是“直线是圆的切线”。
2．切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足（1）垂直于切线 （2） 过切点 （3）过圆心 任意知道两个，这可以推出第三个。
即知2推1。
定理：①过圆心，过切点⇒ 垂直于切线 OA 过圆心，OA 过切点A ，则OA ⊥AT②经过圆心，垂直于切线⇒过切点()()12AB M AB MT ⎫⎪⇒⎬⊥⎪⎭过圆心为切点③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心()()12AM MT AM M ⊥⎫⎪⇒⎬⎪⎭过圆心为切点二、典型例题解析【例1】PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA=6cm,OP=10cm,求AC 的长.AAOBPCM【例2】如图，⊙O 的直径AB =6cm ，点P 是AB 延长线上的动点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC ．若CPA 的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大 小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数【例3】如图,若⊙的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,切线CD 与AB 的延长线交于点D,且⊙O 的半径为2,则CD 的长是多少？【例4】如图，AB 为半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC•交半圆O 于点D ，已知CD=1，AD=3，那么cos ∠CAB=________．【例5】设直线ι到⊙O 的圆心的距离为d ，半径为R ，并使x 2－2d x ＋R=0，BDC试由关于x 的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O 的位置关系．【例6】在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．。
三圆的切线的性质及判定定理
三圆的切线的性质及判定定理[对应学生用书P25]1．切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图，已知AB 切⊙O 于A 点，则OA ⊥AB .(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．[对应学生用书P25][例1] 如图，已知∠C ＝90°，点O 在AC 上，CD 为⊙O 的直径，⊙O 切AB 于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．[思路点拨] ⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．[解] 连接OE ，∵AB 与⊙O 切于点E ， ∴OE ⊥AB ，即∠OEA ＝90°. ∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AOAB. ∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13，∴OE 5＝12－OE 13， ∴OE ＝103.即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1．如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB ＝50°.又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.答案：B2.如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长． 解：(1)连接OC .∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形． ∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2， ∴sin ∠P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°.(2)∵BD ⊥PD ，∴在Rt △PBD 中， 由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3， 得BD ＝32.连接AE .则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD . ∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin 30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12.[例2] 已知D 是△ABC ADB ＝60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．[思路点拨]连接OB ，OC ，OD →∠BOD ＝90°→ ∠OBC ＝∠OCB ＝30°→∠ABO ＝90°→结论. [证明] 如图，连接OB ，OC ，OD ，OD 交BC 于E . ∵∠DCB 是BD 所对的圆周角， ∠BOD 是BD 所对的圆心角，∠BCD ＝45°， ∴∠BOD ＝90°.∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC ＝2∠DBC ＝30°， 从而∠BOC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，因为∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC ，在△BOE 中，因为∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°. ∴BE ＝2OE ＝2EC ， ∴CE BE ＝CD DA ＝12， ∴AB ∥OD ，∴∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线．要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．3．本例中，若将已知改为“∠ABD ＝∠C ”，怎样证明：AB 是△BCD 的外接圆的切线． 证明：作直径BE ，连接DE ， ∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°， ∴∠E ＋∠DBE ＝90°. ∵∠C ＝∠E ，∠ABD ＝∠C ， ∴∠ABD ＋∠DBE ＝90°. 即∠ABE ＝90°.∴AB 是△BCD 的外接圆的切线．4.如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sin B ＝12，∠D ＝30°.(1)求证：AD 是⊙O 的切线． (2)若AC ＝6，求AD 的长． 解：(1)证明：如图，连接OA ， ∵sin B ＝12，∴∠B ＝30°，∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°， ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOC ＝90°， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝6， ∵∠OAD ＝90°，∠D ＝30°， ∴AD ＝3AO ＝6 3.[例3] 如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O的切线BF 交AD 的延长线于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求BF 的长． [思路点拨] (1)连接OD ，证明OD ⊥DE ； (2)作DG ⊥AB . [证明] (1)连接OD ， ∵D 是BC 中点，∴∠1＝∠2. ∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴OD ∥AE .∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD ，即DE 是⊙O 的切线． (2)过D 作DG ⊥AB ， ∵∠1＝∠2，∴DG ＝DE ＝3. 在Rt △ODG 中，OG ＝52－32＝4， ∴AG ＝4＋5＝9.∵DG ⊥AB ，FB ⊥AB ，∴DG ∥FB . ∴△ADG ∽△AFB . ∴DG BF ＝AG AB. ∴3BF ＝910.∴BF ＝103.对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．5.如图，已知两个同心圆O ，大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF ＝43，试求EG 的长．解：连接GC ，则GC ⊥ED . ∵EF 和小圆切于C ， ∴EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝2 3.又CD ＝4，∴在Rt △ECD 中， 有ED ＝EC 2＋CD 2 ＝(23)2＋42＝27.由射影定理可知EC 2＝EG ·ED ， ∴EG ＝EC 2ED ＝(23)227＝677.6．如图，以Rt △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AC 的另一个交点为E ，D 为斜边AB 上一点且在⊙O 上，AD 2＝AE ·AC .(1)证明：AB 是⊙O 的切线； (2)若DE ·OB ＝8，求⊙O 的半径． 解：(1)证明：连接OD ，CD ，∵AD 2＝AE ·AC ， ∴AD AE ＝ACAD.又∵∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD ，∴∠ADE ＝∠ACD . ∵OD ＝OC ，∴∠ACD ＝∠ODC ， 又∵CE 是⊙O 的直径，∴∠ODE ＋∠CDO ＝90°，∴∠ODA ＝90°， ∴AB 是⊙O 的切线． (2)∵AB ，BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥DC ，∴DE ∥OB ，∴∠CED ＝∠COB ， ∵∠EDC ＝∠OCB ，∴△CDE ∽△BCO ， ∴DE CO ＝CEBO，DE ·OB ＝2R 2＝8， ∴⊙O 的半径为2.[对应学生用书P27]一、选择题1．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：C2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D .AB ＝6，BC ＝8，则BD等于( )A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6解析：∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AC . ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC . ∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10. ∴BD ＝AB ·BCAC ＝4.8.答案：B3.如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°解析：连接OB .∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°. ∵∠C ＝36°，∴∠BOC ＝54°. 又∵∠BOC ＝2∠A ，∴∠A ＝27°， ∴∠ABD ＝∠A ＋∠C ＝27°＋36°＝63°. 答案：B4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55D.24解析：连接BD ，则BD ⊥AC .∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线，切点为B ， ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55，cos ∠BCO ＝BC OC ＝2OB 5OB ＝255.∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO ) ＝sin 45°cos ∠BCO －cos 45°sin ∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 答案：A 二、填空题5．如图，已知∠AOB ＝30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2为半径作⊙M .若点M 在OB 边上运动，则当OM ＝________时，⊙M 与OA 相切．解析：若⊙M 与OA 相切，则圆心M 到直线OA 的距离等于圆的半径2.过M作MN⊥OA于点N，则MN＝2.在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，∴OM＝2MN＝2×2＝4.答案：46．已知P A是圆O的切线，切点为A，P A＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O的半径R＝________.解析：AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，DC＝________.解析：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形．∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝33，DC＝AC sin 30°＝32 3.答案：30°33 2三、解答题8.如图所示，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30 °.求证：P A＝PD.证明：如图，连接OP，∵PD是⊙O的切线，P为切点．∴PO⊥PD.∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°.∴∠A＝∠D.∴P A＝PD.9.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.求证：(1)DE⊥AC；(2)BD2＝CE·CA.证明：(1)连接OD，AD.∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又AB＝AC，∴BD＝DC.∴OD∥AC.∴DE⊥AC.(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.∴CDCA＝CECD.∴CD2＝CE·CA.∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA.10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠OAE＝∠DEA＝90°.∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE.∵DE的长是1 cm，∴BD的长是4 cm.。
圆的切线和切线定理
圆的切线和切线定理圆是几何中常见的形状之一，有很多有趣的性质和定理。
其中一个重要的定理就是圆的切线定理，它描述了切线与圆的关系以及相应的性质。
接下来，我们将详细介绍这个定理。
一、切线的定义在介绍切线定理之前，先给出切线的定义。
对于一个圆，如果从圆外的一点引一条直线，该直线与圆仅有一个交点，那么这个交点与圆的弧上的点之间的线段就是切线。
切线与圆相切于一个点，与该点处的切点重合。
二、切线定理的规定切线定理是关于切线和切线外一点与圆的关系的重要定理。
根据切线定理，以下规定成立：规定1：切线与半径的垂直性。
切线与半径的相交点处的半径垂直于切线。
规定2：切线与切线之间的垂直性。
如果两条切线分别与两个圆相切于同一点，那么这两条切线互相垂直。
规定3：切线长度的规律性。
如果从圆的外一点引两条切线，那么这两条切线的长度相等。
三、切线定理的证明以下是对切线定理的证明：首先，证明规定1。
设圆的半径为r，交点为A。
连接A与圆心的线段，记为OA。
根据垂直定理，如果OA与切线AD垂直，那么OA与圆上任意一点（如点B）处的切线BC也是垂直的。
因此，切线与半径的垂直性得证。
接下来，证明规定2。
设圆的两个切点分别为A和B，切线分别为AD和BC。
连接OA和OB，并延长这两条线段相交于点C。
根据垂直定理，如果AD与BC垂直，那么OA与OB也垂直。
根据垂直线的性质，切线AD与切线BC的垂直性得证。
最后，证明规定3。
设从点P引两条切线分别与圆交于点A和点B，切线长度分别为AD和BE。
连接圆心O与点A、点B，并连接OA和OB。
由于圆心到切点的距离相等，即OA = OB。
通过几何推理，可以得出三角形OAD和三角形OBE是全等的，因此AD = BE。
切线长度的规律性得证。
四、切线定理的应用切线定理在几何问题中的应用十分广泛。
它可以帮助我们解决一些与圆相关的问题，例如求解切线的长度、判断两条切线是否相互垂直等。
总结：切线定理是关于切线和切线外一点与圆的关系的重要定理。
切线的定义和判定定理
切线的定义和判定定理切线的定义和判定定理是数学中关于圆的切线的重要知识点。
以下是关于这个主题的详细解释。
一、切线的定义切线与圆的定义是几何学中的基本概念，对于每一个圆来说，其切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点被称为切点，切线与圆的切点是唯一的。
在二维平面上，如果一条直线与圆有且仅有一个交点，则这条直线被称为圆的切线。
切线的性质：切线与圆只有一个交点，即切点。
切线与经过切点的半径垂直。
切线的斜率等于经过切点的半径的斜率。
二、切线的判定定理判定定理一：定义判定法，如果直线上的每一个点都位于圆外，则直线为切线。
这是最直接的判定方法，也是最常用的。
判定定理二：半径垂直法，如果直线经过半径的外端并且垂直于该半径，则直线为切线。
这个判定方法通常用于证明过程中，尤其是在解题时，可以根据已知条件证明某直线满足这个判定定理。
判定定理三：角平分线法，如果直线平分圆的任意一条弦（非直径），并且垂直于该弦，则直线为切线。
这个判定方法在一些特殊情况下非常有用，可以通过证明某直线满足这个判定定理来证明某直线为切线。
在具体的应用中，可以根据题目的条件和要求选择合适的判定方法来确定切线的位置和性质。
同时，也要注意切线与半径、弦之间的关系，以及切线与其他几何元素之间的联系，以便更好地理解和掌握切线的性质和判定定理。
在实际应用中，了解和掌握切线的性质和判定定理是非常重要的。
在解析几何、平面几何、圆和圆锥曲线等学科中，都需要用到这些知识点来解决相关问题。
通过深入理解切线的定义和判定定理，我们可以更好地理解和应用几何学的其他概念和定理，从而更好地解决各种数学问题。
此外，切线的性质和判定定理也在其他领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，切线性质可以用于研究物体运动轨迹的变化；在工程学中，判定定理可以用于确定机械零件的尺寸和位置；在经济学中，可以用于研究供需关系和市场均衡等等。
因此，深入理解切线的定义和判定定理不仅可以提高数学素养，也可以为其他学科的学习和研究提供有益的帮助。
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理计算方法
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理计算方法初中数学知识归纳：圆的切线与切线定理计算方法在初中数学中，圆是一个重要的几何概念。
掌握圆的性质和相关定理，对于解决与圆相关的数学问题至关重要。
本文将对初中数学中与圆的切线及切线定理相关的计算方法进行归纳和总结。
一、切线的定义与性质在圆上，如果一条直线与圆相交，且与圆的交点只有一个，那么这条直线被称为圆的切线。
切线具有以下性质：1. 切线与半径的关系：切线与连接切点和圆心的半径垂直，即切线与半径的夹角是直角。
2. 切线的长度：从切点到切线上的圆心的距离是切线的长度。
3. 切线的唯一性：圆的外切线和内切线只有一条。
二、切线定理的计算方法1. 切线与切线的关系：圆外一点到圆的切线与该点连线的夹角等于切线与半径的夹角。
2. 切线与弦的关系：切线与一条弦的夹角等于弦所对的圆心角的一半。
3. 弦的长度计算：如果两条切线相交于圆的外点，那么两条切线的积等于外切点到两个切点的弦的积。
即切线外点到切点的线段的长度分别为a和b，那么a*b等于两条切线的积。
4. 弦切角公式：圆上的两条弦所对的圆心角之和等于两条弦所对的弧所对的圆心角的一半。
5. 切线长度计算：给定圆的半径R和切线与半径的夹角α，可以使用三角函数来计算切线的长度。
切线的长度等于R乘以正切函数的值，即L = R * tan(α)。
三、实例解析下面通过几个实例来应用切线定理的计算方法：示例1：已知圆的半径R为5cm，求切线与半径的夹角α为30°时的切线长度L。
解答：根据切线长度的计算公式L = R * tan(α)，代入已知数据，可得L =5 * tan(30°) = 5 * 1/√3 ≈ 2.88cm。
示例2：圆的直径是10cm，切线与半径的夹角α为45°，求切线的长度L。
解答：由于圆的直径等于半径的两倍，所以半径R = 直径/2 = 10/2 = 5cm。
根据切线长度的计算公式L = R * tan(α)，代入已知数据，可得L = 5 * tan(45°) = 5 * 1 ≈ 5cm。
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理的计算方法
初中数学知识归纳圆的切线与切线定理的计算方法圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，而切线与切线定理也是与圆密切相关的概念和定理。
在本文中，我们将对圆的切线和切线定理进行归纳并介绍计算方法。
一、圆的切线圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线。
切线的特点是与圆相切于切点，并且切点在切线上。
根据切线的定义，我们可以得出切线具有以下性质：1. 切线与半径垂直在圆的任意切点处，切线与通过该点的半径垂直相交。
这是切线与圆的一个重要性质，在计算切线时会用到。
2. 切线的切点切线与圆相切于切点，而切点位于切线上。
这也是切线的定义之一，切点的坐标可以通过计算得出。
二、切线定理的计算方法切线定理是描述切线与半径之间的关系的一组定理。
我们将介绍几个常用的切线定理及其计算方法。
1. 切线长定理切线长定理描述了切线和半径之间的关系。
对于与圆相切的切线来说，切线上的两个切点到圆心的距离乘积等于这两个切点分别到圆心的距离的平方。
具体计算方法如下：假设切线与圆相切于点A和点B，圆的半径为r，圆的圆心为O。
则有以下关系成立：AO × BO = AC² = BC²其中，AO和BO分别表示点A和点B到圆心O的距离，AC和BC分别表示点A和点B到圆心O的距离。
2. 外切线定理外切线定理指出，如果一条直线同时与两个相交圆的外切，那么它们的切点与连接圆心的直线构成一个等边三角形。
具体计算方法如下：对于与两个圆相切的外切线来说，它的两个切点与两个圆心之间形成的三角形是等边三角形。
设两个圆的半径分别为r₁和r₂，切点之间的距离为d，则有以下关系成立：d = r₁ + r₂其中，d表示切点之间的距离，r₁和r₂表示两个圆的半径。
三、圆的切线与切线定理的应用举例为了更好地理解切线和切线定理的计算方法，我们举例说明。
例题1：已知一个圆的半径为3 cm，点A是这个圆上的一个切点，连接点A和圆心O的线段OA与圆相交于一点B。
初中数学知识归纳圆的切线与切圆
初中数学知识归纳圆的切线与切圆初中数学知识归纳：圆的切线与切圆圆是数学中重要的几何概念之一，学习圆的性质和应用对于初中数学的学习至关重要。
其中，圆的切线与切圆是我们需要重点掌握的内容之一。
本文将对这一知识点进行归纳总结，帮助大家更好地理解和应用。
第一部分：切线的定义和性质在开始讨论圆的切线与切圆之前，我们首先来了解一下切线的定义和性质。
1. 切线的定义在几何中，圆与直线相切时，我们称这条直线为圆的切线。
切线与圆接触点形成的线段称为切线段。
2. 切线的性质（1）切线与半径垂直切线与半径的相交点处，切线和半径互相垂直。
（2）切线只有一个切点切线与圆只能有一个切点，这是切线独特的性质。
（3）切线和半径的夹角切线和半径之间的夹角可以通过用切点的弧度与此弧对应的圆心角进行计算。
夹角的度数等于其对应的圆心角的一半。
第二部分：切线的判定条件了解了切线的定义和性质后，我们继续学习切线的判定条件。
1. 定理1：半径与切线的垂直性若直线与圆相交于圆心和一点，则该直线为圆的切线。
2. 定理2：切线的唯一性若直线与圆相交于圆上两点，则这条直线不是圆的切线。
3. 定理3：勾股定理若直角三角形中，直角边长分别为a、b，斜边长为c（c为圆的半径），则该直角三角形是一个切三角形。
第三部分：切圆和切线的性质切圆与切线是密切相关的，下面我们来了解一下切圆和切线的性质。
1. 切圆的定义切圆是指在一个圆内部，同时与圆内的一点P相切的圆。
2. 切圆和切线的关系切圆与切线之间有以下关系：（1）切线是切圆的直径线段，直径线段刚好是切线所经过的圆心。
（2）相切的两个圆，切点处的切线是两个圆的公共切线。
第四部分：应用实例下面我们通过几个具体的实例来应用所学的知识。
实例1：已知AB为圆O的直径，且C为圆上一点，求线段AC的长度。
解：根据圆的性质，可知AC为切线段，且与直径垂直，所以AC = AO/2。
实例2：已知圆A和圆B相切于点C，且圆A与直线AB相切于点D，求证：CD是直线BC的角平分线。
圆中三大切线定理
14初三秋季·第2讲·尖子班·学生版围田地漫画释义满分晋级阶梯暑期班第六讲秋季班第六讲秋季班第八讲圆7级期末复习之圆中的重要结论及应用圆6级期末复习之圆的综合圆5级圆中三大切线定理秋季班第十五讲秋季班第十三讲秋季班第二讲2圆中三大切线定理15中考内容中考要求ABC圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析中考内容与要求16初三秋季·第2讲·尖子班·学生版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
切线性质及判定未改完
切线的性质及判定1．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．2．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．证明一条直线是圆的切线有3种方法：（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）切线的判定定理：（1）如果直线和圆有交点：连结圆心与公共点，证垂直；（2）如果直线和圆没有交点：过圆心作垂直，证明垂线与半径相等证明圆的切线的两种类型类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”1．如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切.2. (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC.(1)求BC的长；(2)求证：PB是⊙O的切线.3. (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.4. (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.(1)证明：DE为⊙O的切线；(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.5．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；6．△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE．（1）求证：DE与圆O相切；类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线1．如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.2．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.求证：CD与⊙O相切.3. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3.（1）求证：AC是⊙D的切线;（2）求线段AC的长.圆的切线及判定针对性练习1．已知⊙O的半径为8cm，如一条直线和圆心O的距离为8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相离2．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）A．B．C．cm D（1）（2）（3）3．如图2，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，•2cm•为半径作⊙M，•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．4．已知：如图3，AB为⊙O直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E，要使DE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______（只需填一个条件）．5．如图4，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC•交半圆O于点D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．（4）（5）6．如图5，BC为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O•的切线AD，BA⊥DA于A，BA交半圆于E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是________．7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x 轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为______．8．（2005年山西省）如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示方向移动．当⊙O 移动到与AC边相切时，OA的长为多少？9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别是切点，判定△DEF的形状（按角分类），并说明理由．能力提升：10．如图，直线AB切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．试探求：（1）当AD为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠CAB的大小关系如何？•并说明理由．（2）当AD不为⊙O的直径时，如图②，∠D与∠CAB的大小关系同②一样吗？•为什么？①②11．如图，⊙O的直径AB=6cm，D为⊙O上一点，∠BAD=30°，过点D的切线交AB•的延长线于点C．求：（1）∠ADC的度数；（2）AC的长．12．在图1和图2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直径为10．（1）如图1，AB与⊙O相切于点C，试求OA的值；（2）如图2，若AB与⊙O相交于D、E两点，且D、E均为AB的三等分点，试求tanA的值．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB•于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．14．已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．形的内切圆半径与三边关系（1）（2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-2.切线长定理及切线性质的应用【例1】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点O 在BC 上，以O 为圆心的O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB a =，AC b =，则O 的半径为（）AB 、a b ab +C 、ab a b +D 、2a b+【例2】 如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，BC 与以AD 为直径的O 相切于点E ，9AB =，4CD =，OF ED C BACBA CBAcbacbaCFBA则四边形ABCD 的面积为。
初中数学易错题9上圆中的三大切线定理
初中数学-学生用卷1、如图，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为()A. 4√5cmB. 2√5cmC. 2√13cmD. √13cm2、在△ABC中，AB=3，AC=√3，当∠B最大时，BC的长是()A. 32B. √32C. √6D. 2√33、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(−4,0)、B(0,4)，⊙O的半径为1(O为坐标原点)，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）．A. √6B. √7C. 2√2D. 34、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（）．A. 20°B. 25°C. 40°D. 50°5、已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是 ()A. 2.5B. 3C. 5D. 106、如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x−√2与⊙O的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上三种情况都有可能7、在平面直角坐标系中，以点(1，2)为圆心，1为半径的圆必与()A. x轴相交B. y轴相交C. x轴相切D. y轴相切8、下列命题中正确的是（）．A. 垂直于半径的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线C. 经过切点的直线是圆的切线D. 圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线9、如图，在△ABC中，已知∠C=90°,BC=3,AC=4,⊙O是内切圆，E,F,D分别为切点，则tan∠OBD=()A. √32B. 23C. 12D. 1310、如图，PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E，CD分别交PA、PB于点C、D，下列关系：①PA=PB；②∠ACO=∠DCO；③∠BOE和∠BDE互补；④△PCD的周长是线段PB长度的2倍．则其中说法正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11、如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为()A. 5B. 7C. 8D. 1012、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）．A. 133B. 92C. 43√13 D. 2√51 、【答案】 B;【解析】解：连接OB，则OB⊥AB，在Rt△AOB中，AO=6，AB=4，∴OB=√AO2−AB2=√62−42=2√5(cm)．2 、【答案】 C;【解析】以A为圆心，AC长为半径作一个圆．当BC（可以移动位置）移动时，恰好与圆相切时，∠B最大，此时，BC=√6．3 、【答案】 B;【解析】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A(−4,0)、B(0,4)，∴OA=OB=4，∴AB=4√2AB=2√2，∴OP=12∴PQ=√PO2−OQ2=√7；故选B．4 、【答案】 D;【解析】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=20°，∴∠AOC=40°，∴∠C=50°．故选：D．5 、【答案】 C;【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相切，∴点O到直线l的距离等于圆的半径，即点O到直线l的距离为5．故选C．6 、【答案】 B;【解析】解：∵令x=0，则y=−√2；令y=0，则x=√2，∴A(0,−√2)，B(√2,0)，∵OA=OB=√2，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD=12AB=12×2=1，∴直线y=x−√2与⊙O相切．故选B．7 、【答案】 D;【解析】 D．8 、【答案】 D;【解析】解：由经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故A，B，C错误；由圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线，故D正确．9 、【答案】 C;【解析】解：∵BC、AC、AB都是⊙O的切线，∴CD=CE、AE=AF、BF=BD，且OD⊥BC、OE⊥AC；易证得四边形OECD是矩形，由OE=OD可证得四边形OECD是正方形；设OD=OE=CD=R，则：AC+BC−AB=AE+R+BD+R−AF−BF=2R，即R=12(AC+BC−AB)=1，∴BD=BC−CD=3−1=2；在Rt△OBD中，tan∠OBD=ODBD =12．故选C．10 、【答案】 D;【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB,∠ACO=∠DCO，故①②正确；∵PA、PB、CD是⊙O的切线，∴CA=CE,DE=DB,∠OBD=∠OED=90°，∴∠BOE+∠BDE=360°−∠OBD−∠OED=180°，∴∠BOE和∠BDE互补，故③正确；∴△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=2PB，故④正确．故选D．11 、【答案】 D;【解析】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA=PB，同理可得：CA=CE，DE=DB．∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，∴△PCD的周长=10，故答案为：D．12 、【答案】 A;【解析】根据切线长定理可得，DE=DN，MG=MN，BG=BF，AE=AF．因为AB=4，AD=5，可得圆的半径为2，所以AF=AE=BG=BF=2，DE=DN=CG=5−2=3．设MG=MN=x，则有DM=DN+MN=3+x，MC=CG−MG=3−x，所以由勾股定理可得DM2=MC2+CD2，即(3+x)2=(3−x)2+42，解得x=4，3所以DM=3+x=13．3故选A．易错题：1、切线的性质定理：①圆的切线垂直于经过切点的半径②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心总结：见切点，连半径，见垂直．2、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．①知垂直，证半径②知半径，证垂直3、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．。
圆的切线性质及判定定理
练习：如图，AC是☉O的直径，PA是☉O 的切线，A为切点，连接PC交☉O于点B， 连接AB，且PC=10，PA=6.
求：（1）☉O的半径； （2）cos∠BAC的值
圆的切线性质及判定定理
一、切线的性质定理：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必 过切点. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必 经过圆心 二、切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
应用举例：
一、切线的判定：
例1.如图所示，AB是☉O的直径，☉O过 BC的中点D，DEAC.求证：DE是☉O的 切线
例2.如图，已知D是△ABC的边AC上的一 点，AD:DC=2:1,∠C=45, ∠ADB=60， 求证：AB是△BCD的外接圆的切线
E
二、切线的性质
例3.如图所示，AB是☉O的直径，C为 ☉O上一点，AD和过C点的切线互相垂 直，垂足为D.求证：AC平分∠DA☉O切于C点， ∠A=30. 求证：（1）BD = CD （2）△AOC≌△BDC
圆中三大切线定理
中考考点分析
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第
20 题都会考
15
查， 第 1 小题一般是切线的证明， 第 2 小题运用圆与三角形相似、 解直角三角形等知识求线段长 度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质， 掌握求线段、 角的方法， 理解概念之间的相互联系和知 识之间的相互转化， 理解直线和圆的三种位置关系， 掌握切线的性质和判定方法， 会根据条件解 决圆中的动态问题。
中考要求 B
会过不在同一直线上的三 点作圆；能利用圆的有关 概念解决简单问题
圆的性质
知道圆的对称性，了解弧、弦、 圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关 系解决简单问题
圆周角
了解圆周角与圆心角的关系； 知道直径所对的圆周角是直角
垂径定理 点与圆的位置关系
直线与圆的位置关 系
圆与圆的位置关系 弧长 扇形 圆锥的侧面积和全 面积
典题精练
【例 2】 如图， C 是以 AB 为直径的⊙ O 上一点，过 O 作 OE⊥ 线于点 F，
17
连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. ⑴ 求证： PC 是⊙ O 的切线 . ⑵ 若 AB=4， AP： PC 1：2 ，求 CF 的长 .
典题精练
【例 1】 如图， 在△ ABC 中， AB BC ，以 AC 为直径的⊙ 0 与 BC 边
交于点 D，过点 D 作⊙ O 的切线 DE ，交 AB 于点 E，若
DE⊥ AB ．求证： AE 3BE ．
E
B
A O
D
C
题型二：切线的判定定理
思路导航
圆的三大切线定理
圆的三大切线定理
圆的三大切线定理：
第一个定理，就是切线的性质定理，这个定理是很简单的，而且理解不困难，只要记住：”过圆心“，”过切点“和”互相垂直“这三条谁知二推一就够了。
第二个定理，是切线的判定定理，切线的判定是中考中常经常考的内容，切线判定主要有三种方式：定义法、距离法及定理法。
其中最常用的是定理法，其次是距离法，定义法就很少用到了。
这里面，在进行切线判定时，其实只需要记住："有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，正半径"就可以了。
也就是说，切线的判定主要就这两种题型，即题目中告诉直线与圆有交点和直线与圆无交点。
第三个定理，是切线长定理。
在这个定理中，同一交点所形成的两条切线长时相等的，并且此交点与圆心的连线是两条切线长的夹角的角平分线，所以说是有一对相等的角的。
在做相应的练习时，同学们要条件反射式的看到切线长，就要知道有两组相等，即线相等及角相等。
切线定理及推论
切线定理及推论
切线定理是圆的一个重要性质，它说明了圆与其切线之间的关系。
切线定理：如果一条直线与圆相切于圆上一点，那么这条直线与半径的连线垂直。
推论1：如果一条直线与圆相切于圆上一点，那么这条直线的切点与圆心和切线上任意一点构成的三角形是直角三角形。
推论2：如果一条直线与圆相切于圆上一点，那么这条直线的切点与圆心和切线上任意一点构成的三角形的两条边的长度相等。
推论3：如果两条直线分别与圆相切于圆上两个不同的点，那么这两条直线的切点与圆心构成的线段相等。
切线定理及其推论在几何学和数学证明中经常使用，可以帮助我们理解圆的性质并解决相关问题。
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14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版围田地漫画释义满分晋级阶梯圆7级期末复习之圆中的 重要结论及应用圆6级期末复习之圆的综合 圆5级圆中三大切线定理 2圆中三大切线定理15中考内容中考要求ABC圆的有关概念 理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析中考内容与要求16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值13分 17分 17分 考点圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系知识互联网题型一：切线的性质定理17题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。
【例1】 如图，在△ABC 中，BC AB =，以AC 为直径的⊙0与BC 边交于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AB 于点E ，若 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=．判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。
【例2】 如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ， 典题精练思路导航典题精练思路导航题型二：切线的判定定理E ODCBA18 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版连结CF 并延长交BA 的延长线于点P . ⑴ 求证：PC 是⊙O 的切线.⑵ 若AB =4，2 1：：=PC AP ，求CF 的长.【例3】 如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠，以D 为圆心、CD 长为半径作D ⊙，与AC 的另一个交点为E ．⑴ 求证：AB 与D ⊙相切； ⑵ 若43AC BC ==，，求AE 的长．【例4】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．⑴ 求证：BE 与O ⊙相切；⑵ 连结AD 并延长交BE 于点F ，9OB =，2sin 3ABC ∠=， 求BF 的长．E DCBA切线长和切线长定理：⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【引例】已知：如图，PA PB 、分别与O ⊙相切于A B 、两点．求证：⑴ APO BPO ∠=∠；⑵ PA PB =；⑶ OP 垂直平分线段AB ．【解析】 连结OA OB ，∵PA PB ，分别与O ⊙相切， ∴PA OA PB OB ⊥⊥，，例题精讲思路导航题型三 切线长定理C O BA PAB O C20 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版OPEDC BA∵OA OB =，OP=OP ∴AOP BOP △≌△ ∴APO BPO ∠=∠． ∴PA PB =，由等腰三角形“三线合一”可知：OP AB ⊥且AC BC =， ∴OP 垂直平分线段AB ．(整套资料加群下载：全国初中数学教师群 881627464)【例5】 ⑴ 如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，PDE △周长为16，求O ⊙的半径．⑵ 梯形ABCD 中，AB CD ∥，O 是AB 上一点，以O 为圆心的半圆与AD CD BC 、、都相切．已知6AD =，4BC =，求AB 的长． 典题精练OD CA21C BAD O【例6】 ⑴ 如右图所示，ABC △的内切圆与三边AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F .13cm AB =，14cm BC =，11cm CA =，求AD 、BE 、CF 的长．⑵ 如图，在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，6=AC ，8=BC ，圆O 为ABC ∆的内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则ODA ∠tan .【例7】 已知：AB 是半圆O 的直径，点C 在BA 的延长线上运动（点C 与点A 不重合），以OC为直径的半圆M 与半圆O 交于点D ，DCB ∠的平分线与半圆M 交于点E ． (1) 求证：CD 是半圆O 的切线（图1）； (2) 作EF AB ⊥于点F （图2），猜想EF 与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明.DCF OE图2 DEC 图1FEDA22 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版O CNMBA训练1. 如图，AB 是半圆的直径，直线MN 切半圆于C ，AM MN BN MN ⊥⊥，，如果AM a =，BN b =，那么半圆的半径是_____________．训练2. 如图所示，ABC △中，内切O ⊙和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F .若70FDE ∠=︒，求A ∠的度数.OFED C BA训练3. 如图，1O ⊙和2O ⊙为Rt ABC △的内切等圆，90C ∠=︒，43AC BC ==，，求1O ⊙的半径r ．O 2O 1BCA思维拓展训练(选讲)23 OD CBAOAB C DO FD EC BA训练4. 已知，如图在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的圆O 与AD AC、分别交于点E F 、，ACB DCE ∠=∠． ⑴ 判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；⑵ 若2tan 22ACB BC ∠==，，求O ⊙的半径．题型一 切线的性质定理 巩固练习【练习1】 如图，AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，60AOB ∠=︒，4cm BC =，则切线AB = cm .题型二 切线的判定定理 巩固练习【练习2】 在平行四边形ABCD 中，1060AB AD m D ==∠=︒，，，以AB 为直径作O ⊙，⑴ 求圆心O 到CD 的距离（用含m 的代数式来表示）； ⑵ 当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．【练习3】 已知：如图，由正方形ABCD 的顶点A 引一条直线分别交BD 、复习巩固OGFEDC24 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版O G EDCAO M GF EA CD 及BC 的延长线于点E 、F 、G ，求证：CE 和CGF △的外接圆相切．【练习4】 如图，AB 是O ⊙的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦 DF AB ⊥于点G ．⑴ 求证：点E 是BD 的中点； ⑵ 求证：CD 是O ⊙的切线；⑶ 若4sin 5BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．题型三 切线长定理 巩固练习【练习5】 ⑴ 如图，O ⊙是ABC △的内切圆，D E F 、、是切点，18cm AB =，20cm BC =，12cm AC =，又直线MN 切O ⊙于G ，交AB BC 、于M N 、，则BMN △的周长为______________．⑵ Rt ABC △中，9068C AC BC ∠=︒==，，，则ABC △的内切圆半径r =________．⑶ 等腰梯形ABCD 外切于圆，且中位线MN 的长为10，那么这个等腰梯形的周长是_____．第十七种品格：成就巴雷尼与诺贝尔奖巴雷尼小时候因病成了残疾，母亲的心就像刀绞一样，但她还是强忍住自己的悲痛。
她想，孩子现在最需要的是鼓励和帮助，而不是妈妈的眼泪。
母亲来到巴雷尼的病床前，拉着他的手说：“孩子，妈妈相信你是个有志气的人，希望你能用自己的双腿，在人生的道路上勇敢地走下去！好巴雷尼，你能够答应妈妈吗？”母亲的话，像铁锤一样撞击着巴雷尼的心扉，他“哇”地一声，扑到母亲怀里大哭起来。
从那以后，妈妈只要一有空，就给巴雷尼练习走路，做体操，常常累得满头大汗。
有一次妈妈得了重感冒，她想，做母亲的不仅要言传，还要身教。
尽管发着高烧，她还是下床按计划帮助巴雷尼练习走路。
黄豆般的汗水从妈妈脸上淌下来，她用干毛巾擦擦，咬紧牙，硬是帮巴雷尼完成了当天的锻炼计划。
体育锻炼弥补了由于残疾给巴雷尼带来的不便。
母亲的榜样作用，更是深深教育了巴雷尼，他终于经受住了命运给他的严酷打击。
他刻苦学习，学习成绩一直在班上名列前茅。
最后，以优异的成绩考进了维也纳大学医学院。
大学毕业后，巴雷尼以全部精力，致力于耳科神经学的研究。
最后，终于登上了诺贝尔生理学和医学奖的领奖台。
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