第五届中国数学奥林匹克 (1990年)
奥数简介
奥数简介“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。
国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。
有关专家认为，只有5%的智力超常儿童适合学奥林匹克数学，而能一路过关斩将冲到国际数学奥林匹克顶峰的人更是凤毛麟角。
1934年和1935年苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。
1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加，在布加勒斯特举办了第一届国际数学奥林匹克竞赛，从此每年举办一次，至今已举办了43届。
近年来中国代表在数学奥林匹克上的成绩就像中国健儿在奥运会的成绩一样，突飞猛进，从40届到第43届，中国代表队连续四年总分第一。
奥数分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。
奥数与一般数学有一定的区别:奥数相对比较深.小学数学奥林匹克活动的蓬勃发展,极大地激发了广大少年儿童学习数学的兴趣,成为引导少年积极向上,主动探索,健康成长的一项有益活动.国际奥林匹克数学竞赛奖项名称: 国际奥林匹克数学竞赛其他名称: International Mathematics Olympiad创办时间: 1959年主办单位: 由参赛国轮流主办奖项介绍：国际奥林匹克数学竞赛是国际中学生数学大赛，在世界上影响非常之大。
国际奥林匹克竞赛的目的是：发现鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。
这一竞赛1959年由东欧国家发起，得到联合国教科文组织的资助。
第一届竞赛由罗马尼亚主办，1959年7月22日至30日在布加勒斯特举行，保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联共7个国家参加竞赛。
中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)
+
√
3 6 2 i, z
= 1, |z | = 1.
√ 3 2 i)
−e
iπ 3
− 1 = (1 2 −
− (− 1 2 −
√
3 2 i)
− 1 = 0.
− z − 1 = 0有模为1的复根.
若z n+1 − z n − 1 = 0有模为1的复根eiθ = cos θ + i cos θ. 则z n+1 − z n − 1 = (cos(n + 1)θ − cos nθ − 1) + i(sin(n + 1)θ − sin nθ) = 0.
中国 数 学奥 林 匹 克 (CMO) 历届试题及解答
1986-2005
第一届中国数学奥林匹克(1986年)
天津 南开大学
1.已知 a1 , a2 , . . . , an 为实数, 如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 x1 + x2 + · · · + xn = 1 的任意非负实数 x1 , x2 , . . . , xn , 有不等式 a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 成立.请证明上述命题及其逆命题. 证明:原命题的证明:由0 (1)若ai 以ai + a1 xi 1, xi − x2 i 0, xi x2 i (i = 1, 2, . . . , n).
过P2 作 平 行 于BC 的 直 线
EP2 P3 . ABC .证毕.
DP2 P3 ,也就不大于S
5.能否把1,1,2,2,. . . ,1986,1986这些数排成一行, 使得两个1之间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,. . . , 两 个1986之间夹着1986个数.请证明你的结论. 解:不能.假设可以做出这样的排列,将已排好的数按顺序编号为1,2,. . . ,3972. 当n为奇数时,两个n的编号奇偶性相同;当n为偶数时,两个n的编号奇偶性不同. 而1到1986之间有993个 偶数,所以一共有2k + 993个编号为偶数的数.(k ∈ N∗ ) 但是1到3972之间有1986个偶数,k = 496.5.矛 盾.所以不能按要求排成这样一行. √ 6.用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色. 求证:一定存在一个边长为1或 3的正三角形,它的
竞赛中的组合计数问题和概率
组合计数问题和概率组合计数问题是教学竞赛中常见的一类问题，也是数学竞赛中与实际生活联系最为直接的内容。
计数问题的顺利解决会给其他排列组合问题的解决打下竖实的基础。
概率作为新增内容，拓展了排列组合的研究和应用的领域。
实则是以排列组合为基础的内容，所以概率的考查通常与计数问题联系在一起，既要用到排列组合的知识来解答，也要用到排列、组合的解题思路。
解组合计数问题的基本方法有枚举法和利用基本计数原理及基本公式、映射方法、算二次方法、递推方法、容斥原理等，其中蕴含的数学思想有分类讨论的思想、化纳和转化的思想、函数与方程的思想等重要的数学思想。
例1． （2004年全国高中联赛题）设三位数为abc n =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个解：选C 。
理由：a , b , c 要构成三角形边长，显然不为零，即a , b , c ∈{1, 2, 3, …, 9}。
（1）若构成等边三角形，则c b a ==可取{1, 2, …, 9}中任何一个值，所以这样的三位数的个数为9191==C n 。
（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三角形个数为n 2，且等腰三角形的三边长为a 1, b 1=c 1。
当111c b a =<时，即腰大于底边时，等腰（非等边）三角形由数组(a 1, b 1)惟一确定，有29C 个；当111c b a =>时，即腰小于底边时，这时数组(a 1, b 1)有29C 个，但必须1112b a b <<才能构成三角形。
而不能构成三角形的组数(a 1, b 1)是共20种情况，故这时等腰（非等边）三角形只有2039-C 个。
同时，每个数组(a 1, b 1)可形成23C 个三位abc ，故156)20(2929232=-+=C C C n 。
综上，16521=+=n n n ，故选C 。
中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]
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CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。
2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。
已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。
ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。
试求3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。
4.所有结点上数的总和S。
3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。
结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。
4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。
5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。
如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。
6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。
1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。
1990年小学数学奥林匹克竞赛初赛、决赛
1990年全国小学数学奥林匹克竞赛初赛试卷1.计算：2.如果时针现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈之后是__________点钟．3.钱袋中有1分、2分和5分3种硬币，甲从袋中取出3枚，乙从袋中取出两枚，取出的5枚硬币仅有两种面值，并且甲取出的3枚硬币的和比乙取出的两枚硬币的和少3分，那么取出的钱数的总和最多是_________分．4.六年级有四个班，不算甲班，其余3个班的总人数是131人，不算丁班，其余3个班的总人数是134人，乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人．4个班的总人数是_________人．5.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12至多能选出__________个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．6.计算：7.有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案只写出了四舍五入的近似值，，那么算式左边3个方框中的整数从左至右依次是__________．8.从1、1、3、3、5、5、7、7、9、9中取出5个数，其中至少有4个数不重复并且它们的乘积的个位数字是1，那么这5个数的和是____________．9.有30个数1.64，1.64＋，1.64＋，…，1.64＋，1.64＋，如果取每个数的整数部分（例如1.64的整数部分是1，1.64＋的整数部分是2），并将这些整数相加，那么，其和等于____________．10.有一批文章共15篇，各篇文章的页数分别是1页，2页，3页，…，14页和15页稿纸，如果将这些论文按某种次序装订成册，并统一编上页码．那么每篇文章的第一页是奇数页码的论文最多有____________篇．11.一个水池子，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满．如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时开2小时才能灌满（这时乙管关闭）那么乙管单独灌满水池需要____________小时．12.任取一个4位数乘3456，用A来表示积的数字和，用B表示A的数字和，C 表示B的数字和，那么C＝____________．13.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右向左每隔6厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐级锯开，那么长度是4厘米的短木棍有____________根．14.有一个6位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面时所得到的新的六位数是原数的4倍．那么这个6位数是____________．15. 在黑板上任意写一个自然数，在不是它的约数中，找出最小的自然数，擦去原数，写上找到的这个最小的自然数，例如，写的数是12，不是12的约数中，最小的自然数是5，擦去12，写上5．这样继续做下去，直到黑板上出现2为止，对于任意一个自然数，最多擦____________次，黑板上就可以出现2．1990小学数学奥林匹克试题决赛1. 计算：2. 如果10个互不相同的两位奇数之和等于898，那么这10个数中最小的一个是__________．3. 在直线上两个相距一寸的点A和B上各有一只青蛙．A点的青蛙沿直线跳往关于B点的对称点，而B点的青蛙沿直线跳往关于A点的对称点．然后，点的青蛙沿直线跳往关于点的对称点，点的青蛙沿直线跳往关于点的对称点，如此跳下去．两只青蛙各跳了7次以后，原来在A点的青蛙跳到的位置距离B点有__________寸．4. 小萌在邮局寄了3种信：平信每封8分钱，航空信每封1角钱，挂号信每封2角钱．她共用了1元2角2分钱，那么小萌寄的3种信的总和最少是_____________封．5. 图中的每个小正方形的面积都是1，那么图中这只狗所占的图形的面积是__________．6. 3种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的，兔子的速度是松鼠的2倍，一分钟松鼠比狐狸少跑14米，那么半分钟兔子比狐狸多跑__________米．7. 甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色，首先甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为____________厘米．8. 小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个．肥皂泡吹出之后，经过1分钟有一半破了，经过2分钟还有没破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了．小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有__________个．9. 如图是一个6×6的方格棋盘，现将部分1×1的小方格涂成红色．如果随意划掉3行3列，都要使得剩下的小方格中一定有一个是红色的，那么至少要涂__________个小方格．10. 有一电话号码是6位数，其中左边3位数字相同，右边3位数字是3个连续的自然数，6个数之和恰好等于末尾的两位数．这个电话号码是__________．11. 某水池的容量是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时．水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管排水，需6小时将池中水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将池中水放完．那么池中原有水__________立方米．12. 我们把3和5，33和55这样的两个数都叫做两个连续的奇数，已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个连续奇数的和是__________．13. 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个人都与其余9名选手各赛一盘，每盘棋的胜者都得1分，负者都得0分，平局各得0.5 分．结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分，那么甲、乙、丙3队参赛选手的人数依次是__________．14.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9各数字组成质数，如果每个数都要用到，并且只能用一次，那么这9个数最多能组成__________个质数．15.在23×23方格纸中，将1—9这9个数填入每个小方格如图所示，并对所有形如此图的“十”字图形中的5个数字求和，和数相等的“十”字图形至少有__________个．预赛：1.【解】原式＝＝＝方框内应填的教是12.【解】最小的一个是898－(99＋97＋95＋…＋83)＝79．3.【解】如果取出的硬币没有5分的，那么乙的两枚至多4分，而甲的三枚至少3分，不可能比乙的少3分，所以取出的硬币必有5分的。
历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO
历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO（1985年，芬兰赫尔辛基）吴思皓（男）上海向明中学确规定铜牌上海交通大学王锋（男）北京大学（根据yongcheng先生提供的信息修订）目前作企业软件第27届IMO（1986年，波兰华沙）李平立（男）天津南开中学金牌北京大学方为民（男）河南实验中学金牌北京大学张浩（男）上海大同中学金牌复旦大学荆秦（女）陕西西安八十五中银牌北京大学，现在美国哈佛大学任教林强（男）湖北黄冈中学铜牌中国科技大学第28届IMO（1987年，古巴哈瓦那）刘雄（男）湖南湘阴中学金牌南开大学滕峻（女）北京大学附中金牌北京大学林强（男）湖北黄冈中学银牌中国科技大学潘于刚（男）上海向明中学银牌北京大学何建勋（男）广东华南师范大学附中铜牌中国科技大学高峡（男）北京大学附中铜牌北京大学，现在北大任教第29届IMO（1988年，澳大利亚堪培拉）团体总分第二陈晞（男）上海复旦大学附中金牌复旦大学，美国密苏里大学，美国哈佛大学，现在加拿大Alberta大学数学系任教授韦国恒（男）湖北武汉武钢三中银牌北京大学查宇涵（男）南京十中银牌北京大学，在中科院数学所任副研究员邹钢（男）江苏镇江中学银牌北京大学王健梅（女）天津南开中学银牌北京大学何宏宇（男）以满分成绩获第29届国际数学奥林匹金牌，1993年破格列入美国数学家协会会员，1994年获博士学位，现任亚特兰大乔治大学教授、博士生导师，从事现代数学研究前沿的《李群》《微分几何》等方向的研究，在《李群》的研究上已有重大突破。
第30届IMO（1989年，原德意志联邦共和国布伦瑞克）团体总分第一罗华章（男）重庆水川中学金牌北京大学俞扬（男）吉林东北师范大学附中金牌吉林大学霍晓明（男）江西景德镇景光中学金牌中国科技大学唐若曦（男）四川成都九中银牌中国科技大学颜华菲（女）北京中国人民大学附中银牌北京大学本科，1997年获美国麻省理工博士，现任Texax A&M Uneversity 数学系教授，美国数学会常务理事会成员，Mathematical Reviews评论员。
奥林匹克数学竞赛简介
奥林匹克数学竞赛简介“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。
国际数学奥林匹克(IMO)作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题的国际性大赛。
我国奥林匹克数学竞赛由中国科技部下属的中国数学会，奥林匹克数学委员会负责组织和安排。
数学奥林匹克活动在我国已有一段普及的历史，也多次在国际大赛上取得了优异的成绩。
奥林匹克数学研究也已成为数学教育的重要课题。
目前在我国大部分高等师范院校的数学系中，也都开设了“数学竞赛研究”或“奥林匹克数学理论”的必修或选修课。
奥林匹克数学理论正逐渐成为一门独立的数学教育分支。
因此，系统的研究和探讨奥林匹克数学理论，无论对高等师范数学教育，还是对中学数学奥林匹克活动都有十分重要的现实意义和理论意义。
数学奥林匹克国内赛况我国的数学竞赛起步不算晚。
解放后，在华罗庚教授等老一辈数学家的倡导下，从1956年起，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省、市都恢复了中学数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛;1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区全部举办了中学数学竞赛。
此后，全国各地开展数学竞赛的热情有了空前的高涨。
1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。
同时，我国数学界也在积极准备派出选手参加国际数学奥林匹克的角逐。
1985年，开始举办全国初中数学联赛;1986年，开始举办“华罗庚金杯”少年数学邀请赛;1991年，开始举办全国小学数学联赛。
现在.我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛;次年一月的CMO(冬令营);次年三月开始的国家集训队的训练与选拔.为使我国的数学竞赛活动能广泛而有序、深入而持久地开做好各级各类数学竞赛的培训选拔工作，国内采取了一系列有效措施。
—中国数学奥林匹克竞赛试题
—中国数学奥林匹克竞赛试题1986-2002中国数学奥林匹克1986年第⼀届中国数学奥林匹克1.已知a1, a2, ... , a n为实数，如果它们中任意两数之和⾮负，那么对于满⾜x1+ x2+ ...+x n=1的任意⾮负实数x1, x2, ... , x n，有不等式a1x1+ a2x2+ ...+a n x n≧a1x12+ a2x22+ ...+a n x n2成⽴.请证明上述命题及其逆命题.2.在三⾓形ABC中，BC边上的⾼AD=12，∠A的平分线AE=13，设BC边上的中线AF=m，问m在甚么范围内取值时，∠A分别为锐⾓，直⾓、钝⾓？3.设z1, z2, ... , z n为复数，满⾜| z1|+ | z2 |+ ...+| z n|=1.求证：上述n个复数中，必存在若⼲个复数，它们的和的模不⼩于1/6.4.已知：四边形的P1P2P3P4的四个顶点位于三⾓形ABC的边上.求证：四个三⾓形△P1P2P3、△P1P2P4、△P1P3P4、△P2P3P4中，⾄少有⼀个的⾯积不⼤于ABC的⾯积的四分之⼀.5.能否把1, 1, 2, 2, ... , 1986, 1986这些数排成⼀⾏，使得两个1之间夹着⼀个数，两个2之间夹着两个数，....，两个1986之间夹着⼀千九百⼋⼗六个数.请证明你的结论.6.⽤任意的⽅式，给平⾯上的每⼀点染上⿊⾊或⽩⾊.求证：⼀定存在⼀个边长为1或3的正三⾓形，它的三个顶点是同⾊的.1987第⼆届年中国数学奥林匹克1.设n为⾃然数，求⽅程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除.2.把边长为1的正三⾓形ABC的各边都n等分，过各分点平⾏于其它两边的直线，将这三⾓形分成⼩三⾓形，和⼩三⾓形的顶点都称为结点，在第⼀结点上放置了⼀个实数.已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c.ii.在每个由有公共边的两个最负三⾓形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等.试求3.放置最⼤数的点积放置最⼩数的点之间的最短距离.4.所有结点上数的总和S.3.某次体育⽐赛，每两名选⼿都进⾏⼀场⽐赛，每场⽐赛⼀定决出胜负，通过⽐赛确定优秀选⼿，选⼿A被确定为优秀选⼿的条件是：对任何其它选⼿B，或者A胜B，或者存在选⼿C，C胜B，A胜C.结果按上述规则确定的优秀选⼿只有⼀名，求证这名选⼿胜所有其它选⼿.4.在⼀个⾯积为1的正三⾓形内部，任意放五个点，试证：在此正三⾓形内，⼀定可以作三个正三⾓形盖住这五个点，这三个正三⾓形的各边分别平⾏于原三⾓形的边，并且它们的⾯积之和不超过0.64.5.设A1A2A3A4是⼀个四⾯体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球⼼的球，它们两两相切.如果存在⼀点O，以这点为球⼼可作⼀个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作⼀个半径为R的球积四⾯体的各棱都相切，求证这个四⾯体是正四⾯体.6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最⼤值是多少？请证明你的结论.1988年第三届中国数学奥林匹克1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成⽴，求r1, r2, ... , r n的值.2.设C1、C2为同⼼圆，C2的半径是C1的半径的2倍，四边形A1A2A3A4内接于C1，将A1A4延长，交圆C2于B1.设A1A2延长线交C2于B2，A2A3延长线交圆C2于B3，A3A4延长线交圆C2于B4.试证：四边形B1B2B3B4的周长2(四边形A1A2A3A4的周长).并确定的号成⽴的条件.3.在有限的实数列a1, a2, ... , a n中，如果⼀段数a k, a k+1, ... , a k+l-1的算术平均值⼤于1988，那么我们把这段数叫做⼀条“龙”，并把a k叫做这条龙的“龙头”(如果某⼀项a n>1988，那么单独这⼀项也叫龙).假设以上的数列中⾄少存在⼀条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定⼤于1988.4.(1)设三个正实数a、b、c满⾜(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4).求证：a、b、c⼀定是某个三⾓形的三条边长.(2)设n个正实数a1, a2, ... , a n满⾜(a12+ a22+ ... + a n2)2>(n-1)(a14+ a24+ ... + a n4)其中n≧3.求证：这些数中任何三个⼀定是某个三⾓形的三条边长.5.给出三个四⾯体A i B i C i D i(i=1, 2, 3)，过点B i、C i、D i作平⾯αi、βi、γi(i=1, 2, 3)，分别与棱A i B i、A i C i、A i D i垂直(i=1, 2, 3)，如果九个平⾯αi、βi、γi(i=1, 2, 3)相交于⼀点E，⽽三点A1、A2、A3在同⼀直线l上，求三个四⾯体的外接球⾯的放条(形状怎样？位置如何？).6.如n是不⼩于3的⾃然数，以f(n)表⽰不是n的因⼦的最⼩⾃然数，例如f(12)=5.如果f(n)3，⼜可作f(f(n)).类似地，如果，f( f(n) )≧3，⼜可作f( f( f(n)))等等.如果f( f(...f(n) ...)) =2，共有k个f，就把k叫做n的“长度”.如果l n表⽰n的长度，试对任意⾃然数n (n≧3)，求l n.并证明你的结论. 1989年第四届中国数学奥林匹克1.在半径为1的圆周上，任意给定两个点集A、B，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中B的每段的长度都等于π/m，m是⾃然数.⽤A j表⽰将集合A反时针⽅向在圆同上转动jπ/m弧度所得的集合(j=1, 2, ...).求证：存在⾃然数k，使得L(A j∩B)≧L(A)L(B)/(2π).这⾥L(x)表⽰组成点集x的互⽰相交的弧段的长度之和.2.设x1, x2, ... , x n都是正数(n≧2)且x1+ x2+ ...+x n=1.求证：.3.设S为复平⾯上的单位圆同(即模为1的复数的集合)，f为从S到S的映射，对于任意S的元素z，定义f(1)(z)=f(z)，f(2)(z)=f( f(z))，...，f(k)(z)=f( f(k-1)(z) ).如果S的元素c，使得f(1)(z)≠c，f(2)(c)≠c，...，f(n-1)(c)≠c，f(n)(c)≠c.则称c为f的n─周期点.设m是⼤于1的⾃然数，f定义为f(z)=z m，试计算f的1989─周期点的总数.4.设点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上，且△AEF、△BFD、△CDE的内切圆有相等的半径r，⼜以r0的R分别表⽰△DEF 和△ABC的内切圆半径.求证：r+r0=R.5.空间中有1989个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何三个不同的组中各取⼀点为顶点作三⾓形.6.设f：(1, +∞)→(0, +∞)满⾜以下条件：对于任意实数x、y>1，及u、v>0，有f(x u y v)≦f(x)1/(4u) f(y)1/(4v).试确定所有这样的函数.1990年第五届中国数学奥林匹克1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平⾏，圆O1过A、B且与边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于E、F.求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD.2.设x是⼀个⾃然数，若⼀串⾃然数x0=1,x2, ... , x n=x满⾜x i-1{ x0 , x1 , ... , x n}为x的⼀条因⼦链.l称为该因⼦链的长度.L(x)与R(x)分别表⽰x的最长因⼦链的长度和最长因⼦链的条数.对于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是⾃然数，试求L(x)与R(x).3.设函数f(x)对x>0有定义，且满⾜条件：i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)；ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M.求证：f(x)≦x2 .4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定⽅程组：x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3有整数解的充份必要条件(⽤A、B的关系式表⽰，并予以证明).5.设X是⼀个有限集合，法则f使的X的每⼀个偶⼦集E(偶数个元素组成的⼦集)都对应⼀个实数f(E)，满⾜条件：a.存在⼀个偶⼦集D，使得f(D)>1990；b.对于X的任意两个⽰相交的偶⼦集A、B，有f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990.求证：存在X的⼦集P、Q，满⾜iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；iv.对P的任何⾮空偶⼦集S，有f(S)>1990v.对Q的任何偶⼦集T，有f(T)≦1990.6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对⾓线组成的图形称为⼀个剖分图.求证：当且仅当3|n时，存在⼀个剖分图是可以⼀笔划的圈(即可以从⼀个顶点出发，经过图中各线段恰⼀次，最后回到出发点). 1991年第六届中国数学奥林匹克1.平⾯上有⼀凸四边形ABCD.i.如果平⾯上存在⼀点P，使得ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP⾯积都相等，问四边形ABCD应满⾜甚么条件？ii.满⾜(i)的点P，平⾯上最多有⼏个？证明你的结论.2.设I=[0,1]，G={ (x, y) | x、y为I的元素}，求G到I的所有映像f，使得对I的任何x、y、z有i.f( f(x,y), z) =f( x, f(y,z) )；ii.f(x, 1) =x，f(1,y)=y；iii.f(zx, zy) =z k f(x,y).这⾥，k是与x、y、z⽆关的正数.3.地⾯上有10只⼩鸟在啄⾷，其中任意5只⼩鸟中⾄少有4只在⼀个圆上，问有鸟最多的圆上最少有⼏只鸟？4.求满⾜⽅程x2n+1-y2n+1=xyz+22n+1的所有正整数解组(x, y, z, n)，这⾥n≧2，z≦5×22n.5.求所有⾃然数n，使得min⾃然数k( k2+[n/k2] )=1991.这⾥[n/k]表⽰n/k的整数部份.6.MO牌⾜球由若⼲多边形⽪块⽤三种⽰同颜⾊的丝线缝制⽽成，有以下特点：i.任⼀多边形⽪块的⼀条边恰与另⼀多边形⽪块同样长的⼀条⽤⼀种六⾊的丝线缝合；ii.⾜球上每结点，恰好是三个多边形的顶点，每⼀结点的三条缝线不相同.求证：可以在MO牌⾜球的每⼀结点上放置⼀个不等于1的复数，使得每⼀多边形的所有顶点上放置的复数的乘积都相等. 1992年第七届中国数学奥林匹克1.设⽅程x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+....+a1x+a0=0的系数都是实数，且适合条件0≦....≦a n-1≦1.已知λ为⽅程的复数根且适合条件|λ|>1，试证：λn+1=1.2.设x1, x2, ... , x n为⾮负实数，记x n+1= x1，a=min{x1, x2, ... , x n}，试证：n Σ i=11+x i_1+x i+1≦n+1(1+a)2nΣi=1(x i-a)2，3.且等式成⽴当且仅当x1 =x2= ...=x n.4.在平⾯上划上⼀个9x9的⽅格表，在这上⼩⽅格的每⼀格中都任意填⼊+1或-1.下⾯⼀种改变填⼊数字的⽅式称为⼀次变动；对于任意⼀个⼩⽅格有⼀条公共边的所有⼩⽅格(不包含此格本⾝)中的数作连乘积，于是每取⼀个格，就算出⼀个数，在所有⼩格都取遍后，再将这些算出的数放⼊相应的⼩⽅格中.试问是否总可以经过有限次变动，使得所有⽅⼩⽅格中的数都变为1？5.凸四边形内接于圆O，对⾓线AC与BD相交于P，ΔABP与ΔCDP的外接圆相交于P和另⼀点Q，且O、P、Q三点两两不重合.试证∠OQP=90.6.在有8个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的是⼤值是多少？7.已知整数序列{a1, a2, ...... }满⾜条件：1.a n+1=3a n-3a n-1+a n-2，n=2, 3, ......2.2a1= a0+a2-2.3.对任意的⾃然数m，在序列{a1, a2, ...... }中必有相继的m项a k, a k+1, ... , a k+m-1都为完全平⽅数.试证：序列{a1, a2, ...... }的所有项都是完全平⽅数.1993年第⼋届中国数学奥林匹克1.设n是奇数，试证明存在2n个整数a1, a2, ... , a n；b1, b2, ... , b n，使得对于任意⼀个整数k，02.给定⾃然数k及实数a>0，在下列条件k1+ k2+ ...+k n=k，k i为⾃然数其中1≦r≦k下，求a k1+ a k2+ ... + a kr的最⼤值.3.设圆K和K1同⼼，它们的半径分别为R和R1，R1>R.四边形ABCD内接于圆K，四边形A1B1C1D1内接于圆K1，点A1、B1、C1、D1分别在射线CD、DA、AB、BC 上，求证：S A1B1C1D1 /SABCD≧R12/R2.4.给定集合S={z1, z2, ... , z1993}，其中z1, z2, ... , z1993是⾮零复数(可看作平⾯试的⾮零向量).求证可以把S中的元素分成若⼲组，使得i.S中每个元素属于且仅属于其中⼀组；ii.每⼀组中任⼀复数与该组所有复数之和的夹⾓不超过90.；iii.将任意两组中复数分别求和，求得和数之间的夹⾓⼤于90..5.10⼈到书店买书，已知i.每⼈都买了三种书；ii.任何两⼈所买的书，都⾄少有⼀种相同.问购买⼈数最多的⼀种书最(⾄)少有⼏⼈购买？说明理由.6.设函数f：(0, +∞)→(0, +∞)满⾜以下条件：对于任意正实数x、y，有f(xy)≦f(x)f(y).试证：对任意的正实数x及⾃然数n，有f(x n)≦f(x)f(x2)1/2...f(x)1/n.1994年第九届中国数学奥林匹克1.设ABCD是⼀个梯形(AB//CD)，E是线段AB试⼀点，F是线段CD上⼀点，线段CE与BF相交于点H，线段ED与AF相交于点G，求证：S EHFG≦S ABCD/4.如果ABCD 是⼀个任意的凸圆边形，同样结论是否成⽴？请说明理由.2.n(n≧4)个盘⼦⾥放有总数不少于4的糖块，从任意的两个盘⼦各取⼀块糖，放⼊另⼀个盘⼦中，称为⼀次操作，问能可经过有限次操作，将所有的糖块集中列⼀个盘⼦⾥去？证明你的结论.3.求适合以下条件的所有函数f：[0, +∞)→[0, +∞)，i.f(2x)≦2(x+1)；ii.f(x+1) = [ f(x)2 -1]/x.4.已知f(z)=C0z n+C1z n-1+C2z n-2+....+C n-1z+C n是⼀个n次复系数多项式，求证：⼀定存在⼀个复数z0，|z0|≦1，满⾜|f(z0)|≧|C0|+|C n|.5.对任何⾃然数n，求证：，其中0C0=1，[(n-k)/2]表⽰(n-k)/2的整数部份.6.设M为平⾯试坐标为(Px1994,7Px1994)的点，其中P是素数，求满⾜下述条件的直⾓三⾓形的个数：i.三⾓形的三个顶点都是整点，⾯且M是直⾓顶点；ii.三⾓形的内⼼是坐标原点.1995年第⼗届中国数学奥林匹克1.设2n个实数a1, a2, ... , a n；b1, b2, ... , b n(n≧3)满⾜i.a1+ a2+ ...+a n=b1+ b2+ ...+b n；ii.0iii.0求证：a n-1+ a n≦b n-1+b n.2.设N为⾃然数集合，f：N→N适合条件：f(1)=1，对于任何⾃然数n都有o3f(n) f(2n+1) =f(2n) ( 1+3f(n) )；o f(2n) < 6 f(n).试求⽅程f(k) +f(l)=293，其中k3.试求的最⼩值，其中x和y是任意整数.4.空间有四个球，它们的半径分别为2、2、3、3，每个球都与其余3个球外切，另有⼀个⼩球与那圆球都外切，求该⼩球的半径.5.设a1, a2, ... , a10是10个两两不同的⾃然数，它们的和为1995，试求a1a2+a2a3+...+a9a10+a10a1的最⼩值.6.设n是⼤于1的奇数，已给.设，i=1, 2, .... , n 其中.记，k=1, 2, ....若正整数m满⾜，求证：m是n的倍数.1996年第⼗⼀届中国数学奥林匹克1.设H是锐⾓△ABC的垂⼼，由A向BC为直径的圆作切线AP、AQ，切点分别为P、Q.求证：P、H、Q三点共线.2.设S={1, 2, ... , 50}，求最⼩⾃然数k，使S的任⼀k元素中，都存在两个不同的数a和b，满⾜(a+b)整除ab.3.设R为实数集合，函数f：R→R适合条件f( x3+y3 )=(x+y)( f(x)2 -f(x)f(y) +f(y)2 )，x、y为实数.试证：对⼀切实数x，都有f( 1996 x ) = 1996 f(x).4.8位歌⼿参加艺术会，准备为他们安排m次演出，每次由其中4位登台表演.要求8位歌⼿中任意两位同时演出的次数都⼀样多，请设计⼀种⽅案，使得演出的次数m最少.5.设n为⾃然数，，且.求证：.6.在△ABC中，∠C=90.，∠A=30.，BC=1，求△ABC的内接三⾓形(三顶点分别在三边上的三⾓形)的最长边的最⼩值.1998年第⼗三届中国数学奥林匹克1.在⼀个⾮钝⾓△ABC中，AB>AC，∠B=45.，O和I分别是△ABC的外它和内⼼，且√2 OI =AB - AC，求sin∠A.2.对于给定的⼤于的正整数n，是否存在2n个两两不周的正整数，同时满⾜以下两个条件：1.a1+a2+....+a n =b1+b2+....+b n ；2..请说明理由.3.设S={1, 2, .... , 98}，求最⼩⾃然数n，使得S的任⼀n元⼦集中都可以选出10个数，⽆论怎样将这10个数均分成两组，总有⼀组中存在⼀个数与另外4个数都互质，⽽另⼀组总有⼀个数与另外4个数都不互质.4.求所有⼤于3的⾃然数n，使得得1+n C1+n C2+n C3整除22000.5.设D为锐⾓三⾓形ABC内部⼀点，且满⾜条件：DAxDBxAB + DBxDCxBC + DCxDAxCA=ABxBCxCA.试确定D点的⼏何位置，并证明你的结论6.设n≧2，x1, x2, ...., x n为实数，且.对于每⼀个固定的⾃然数k (1≦k≦n)，求| x k |的最⼤值.1999年第⼗四届中国数学奥林匹克1.在锐⾓△ABC中，∠C >∠B，点D是边BC上⼀点，使得∠ADB是钝⾓，H是△ABD的垂⼼，点F在△ABC内部且在△ABD的外接圆周上.求证点F是△ABC垂⼼的充份必要条件是：HD平⾏于CF且H在△ABC的外接圆周上.2.给定实数a，设实数多项式序列{ f n(x) }满⾜f0(x)=1，f n+1(x)=xf n(x)+f n(ax)，其中n=0,1, ....1.求证：f n(x)=x n f n(1/x)，其中n=0, 1, ....2.求证：f n(x)的明显表达式.3.MO太空城由99个空间站组成，全两空间站之间有管形通道相联.规定其中99条通道为双向通⾏的主⼲道，其余通道严格单向通⾏，如果某四个空间站可以通过它们之间的通道从其中任⼀站到达另外任⼀站，则称这四个站的集合为⼀个互通四站组.试为MO太空城设计⼀个⽅案，使得互通四站组的数⽬最⼤(请具体算出该最⼤数，并证明你的结论).4.设m是给定的整数，求证：存在整数a、b和k，其中a、b均不能被2整除，k≧0，使得2m=a19+b99+k × 21999.5.求最⼤的实数λ，使得当实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是⾮负实数时，只要x≧0，就有f(x)≧λ(x - a)3.并问上式中等号何时成⽴？6.设4x4x4的⼤正⽅体由64个单位正⽅体组成.选取其中的16个单位正⽅体涂成红⾊，使得⼤正⽅体中每个由4个单位正⽅体椭成的1x1x4的⼩长⽅体中，都恰有1个红正⽅体.问16个红正⽅体共有多少种不同取法？说明理由.2001年第⼗六届中国数学奥林匹克1.给定a，. 内接于单位圆ABCD的凸四边形适合以下条件：1.圆⼼在这凸四边形内部；2.最⼤边长是a , 最⼩边长是.过点A、B、C、D依次作圆Γ的四条切线L A、L B、L C、L D.已知L A与L B、L B与L C、L C与L D、L D与L A分别相交于A'、B' 、C' 、D' 四点. 求⾯积之⽐S A'B'C'D' /S ABCD的最⼤值与最⼩值.2.设X={1,2,3, … 2001}, 求最⼩的正整数m，适合要求：对X的任何⼀个m元⼦集W, 都存在u、v ( u和v允许相同)，使得u+v是2的⽅幂.3.在正n边形的每个顶点上各停有⼀只喜鹊.偶受惊吓，众喜鹊都飞去. ⼀段时间后，它们⼜都回到这些顶点上，仍是每个顶点上⼀只，但未必都回到原来的顶点. 求所有正整数n，使得⼀定存在3只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三⾓形或同为锐⾓三⾓形，或同为直⾓三⾓形，或同为钝⾓三⾓形4.设a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c是7个两两不同的质数, 且a, b, c中有两数之和是800.设d 是这7个质数中最⼤数与最⼩数之差.求d的最⼤可能值.5.将周长为24的圆周等分成24段. 从24个分点中选取8个点，使得其中任何两点间所夹的弧长都不等于3和8.问满⾜要求的8点组的不同取法共有多少种？说明理由.6.记a=2001.设A是适合下列条件的正整数对(m，n)所组成的集合：1.m < 2a；2.2n | (2am-m2+n2)；3. n2-m2+2mn≦2a(n-m).令，求和.2002年中国数学奥林匹克上海1⽉27⽇-28⽇早上8:00-12:30，每题21分.1.三⾓形ABC的三边长分别为a、b、c，bBC上.1.求在线段AB、AC内分别存在点E、F(不是顶点)满⾜BC=CF 和∠BDE=∠CDF的充份必要条件(⽤⾓A、B、C表⽰)；2.在点E和F存在的情况下，⽤a、b、c表⽰BE的长.2.设多项式序列{ P n(x) }满⾜：P1(x)=x2-1，P2(x)=2x(x2-1)，且P n+1(x)P n-1(x)=( P n(x) )2-(x2-1)2，n=2, 3, .....设S n为P n(x)各项系数的绝对值之和，对于任意正整数n，求⾮负整数k n使得2-k n S n 为奇数.3.18⽀⾜球队进⾏单循环赛，即每轮将18⽀球队分成9组，每组的两队赛⼀场，下⼀轮重新分组进⾏⽐赛，共赛17轮，使得每队都与另外17⽀队各赛⼀场.按任意可⾏的程序⽐赛了n轮之后，总存在4⽀球队，它们之间总共只赛了1场.求n的最⼤可能值.4.对于平⾯上任意四个不同点P1、P2、P2、P4，求的最⼩值.5.平⾯上横纵坐标都为有理数的点称为有理点.证明平⾯上的全体有理点可以分为三个两两不相交的集合，满⾜条件：1.在以每个有理点为圆⼼的任⼀圆内⼀定包含这三个集个中每个集合的点.2.在任意⼀条直线上不可能有三个点分别属于这三个集合.6.给定实数c，1/2≦....≦a n，只要满⾜，总有，其中m不超过cn的最⼤整数.。
杯赛介绍
全国小学数学奥林匹克竞赛简介奥数就是奥林匹克数学的简称，即国际数学竞赛，取名仿自于奥林匹克运动会。
1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。
1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加在布加勒斯特举办的第一届国际数学奥林匹克竞赛。
从此每年一次，至今已举办了50届。
奥数的出题范围超出了所有国家的义务教育水平，有些题目的难度大大超过了大学入学考试，有些题目甚至数学家也感到棘手。
通过这样高水平的比赛，可以及早发现数学人才，然后进行培养，使其脱颖而出。
近年，国内外很多名牌大学和重点中学比较注重奥数人才，通常通过奥数选拔优秀生源。
北京大学、清华大学、复旦大学等高校对奥数优秀的学生偏爱有佳，每年有很多全国高中数学竞赛成绩优异的学生直接免试进入北大数学系。
由于，高校和重点中学对奥数人才的重视，近年来，又出现了小学奥数一词。
小学奥数全称叫"小学奥林匹克数学"，或叫"小学数学奥林匹克"，称呼起源于"数学是思维的体操"它体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。
其实它更准确应称为"小学竞赛数学"。
从1986年起，中国中学生在国际数学奥林匹克连续几年取得优异成绩；1990年7月，在我国北京成功地举办了第31届国际数学奥林匹克，我国代表队再次取得总分第一。
中国学生在学习数学上的潜力被发现了，大大激发了全国中、小学生学习数学的兴趣，数学课外活动蓬勃地开展，中、小学数学竞赛活动受到广大师生和家长的欢迎，也得到了社会各界人士的更多关心和支持。
1990年11月，在湖南宁乡召开的中国数学会普及工作委员会第六次全国工作会议上，与会同仁一致认识到，为了顺应群众积极高涨的形势，更要坚持"在普及的基础上不断提高"的方针，要引导数学竞赛这一群众性的课外活动健康地发展，为了统筹安排高中、初中、小学的数学课外活动，处理好相互的衔接关系。
奥林匹克数学方法与解题研究
奥林匹克数学方法与解题研究奥林匹克数学思维的研究数学思维问题是数学教育的核心问题.斯托利亚尔在《数学教育学》(1984，人民教育出版社)一书中指出：数学教学是数学(思维)活动的教学.他在列举数学教育目的时，把发展学生的数学思维放在第一位.由于钱学森教授的大力倡导，“思维科学”在我国已经发展为一门独立的学科，它给数学思维的研究提供了方向性的启示.1985年，全国“数学教学研究会”发起成立了“思维与数学教学”专题协作组，并于同年在广州召开了学术讨论会.此后，关于数学思维的模式，数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)，数学思维品质的培养(如广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性等)等方面的研究，正在揭示数学发现的秘密，同时，也为解题能力的提高指明了途径.这不仅深化了数学解题的研究，而且也促进了解题教学的发展.这方面的书籍主要有陈振萱等《中学数学思维方法》(1988)、陈振宣《培养数学思维能力的探索》(2019)，张乃达《数学思维教育学》(1990)，任樟辉《数学思维论》(1990)，王建吾《数学思维方法引论》(2019)，郭思乐、喻纬《数学思维教育论》(2019)等.奥林匹克数学方法解题策略研究策略是指导行动的方针(是战略性的)，同时也是增强效果、提高效率的艺术，它区别于具体的途径或方式(只是战术性的).数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的方针.解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用，离开逻辑是不行的，单靠逻辑是不够的.所以，这方面的工作与数学思维的研究(于20世纪80年代中期)同时起步、平行发展.注重解题策略的研究已经构成中国解题教学的一个特色，它可以看成是对波利亚现代启发性解题策略研究的继承与发展，徐利治教授提出的RMI原理是这方面工作的杰出代表.在戴再平著《数学习题理论》中列举了8条解题策略:枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、推进到一般、从整体看问题、正难则反，在任樟辉著《数学思维论》里又列举了10条解题策略:模式识别、变换映射、差异消减、数形结合、进退互用、分合相辅、动静转换、正反沟通、引辅增效、以美启真，笔者的《数学解题学引论》也提出了十条解题策略：模式识别、映射化归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转化、数形结合、有效增设、以美启真.有些策略思想，如化归、RMI原理、以退求进、正难则反等还讨论得很深入、很细致，也很有数学特征，而不仅仅是“逻辑+数学例子”.奥林匹克数学解题方法1、画图法解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的借助点、线、面、图表等将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通"已知"与"未知"的联系，抓住问题的本质，迅速解题。
历届数学奥林匹克参赛名单
1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。
由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。
1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。
我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。
我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。
2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。
入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名）陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中）---------------------------------------------------------历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为：年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数1959 1 罗马尼亚罗马尼亚71960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克51961 3 匈牙利匈牙利 61962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利71963 5 波兰前苏联81964 6 前苏联前苏联91965 7 前东德前苏联81966 8 保加利亚前苏联91967 9 前南斯拉夫前苏联131968 10 前苏联前东德121969 11 罗马尼亚匈牙利141970 12 匈牙利匈牙利141971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利151972 14 波兰前苏联141973 15 前苏联前苏联161974 16 前东德前苏联181975 17 保加利亚匈牙利171976 18 澳大利亚前苏联191977 19 南斯拉夫美国211978 20 罗马尼亚罗马尼亚171979 21 美国前苏联231981 22 美国美国271982 23 匈牙利前西德301983 24 法国前西德321984 25 前捷克斯洛伐克前苏联341985 26 芬兰罗马尼亚421986 27 波兰美国、前苏联371987 28 古巴罗马尼亚421988 29 澳大利亚前苏联491989 30 前西德中国501990 31 中国中国541991 32 瑞典前苏联561992 33 俄罗斯中国621993 34 土耳其中国651994 35 中国香港美国691995 36 加拿大中国731996 37 印度罗马尼亚751997 38 阿根廷中国821998 39 中华台北伊朗841999 40 罗马尼亚中国、俄罗斯812000 41 韩国中国822001 42 美国中国832002 43 英国中国842003 44 日本保加利亚822004 45 希腊中国852005 46 墨西哥中国982006 47 斯洛文尼亚中国1042007 48 越南俄罗斯932008 49 西班牙中国1032009 50 德国中国1042010 51 哈萨克斯坦中国1052011 52 荷兰中国101------------------------------------------------------------------历届国际数学奥林匹克中国参赛学生分省市、分学校统计按学校排名（TOP16)1 武汉钢铁三中 152 湖南师大附中 113 华南师范大学附中 104 北大附中 94 人大附中 96 湖北黄冈中学 86 上海中学 88 上海华东师大二附中 5 8 东北育才学校 510 华中师大一附中 410 复旦大学附中 410 深圳中学 410 东北师范大学附中 4 14 上海向明中学 314 长沙市一中 314 哈尔滨师范大学附中 3 以下略。
数学历史故事：奥数的由来
数学历史故事：奥数的由来
今天的《数学历史故事》，极客数学帮为大家带来的是奥林匹克数学的故事。
现在的同学们听到奥数都觉得一个头两个大，那幺奥数的起源是什幺呢？又经历了什幺样的发展？今天极客数学帮就来给大家讲讲奥林匹克数学历史故事。
奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
1934年和1935年，苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克。
在世界上，以数为内容的竞赛有着悠久的历史：古希腊时就有解几何难题的比赛；我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛；到了16、17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，有时还举行一些公开的比赛，方程的几次公开比赛，赛题中就有最着名的费尔马大定理：在整数n≥3时，方程没有正整数解。
近代的数学竞赛，仍然是解题的竞赛，但主要在学生（尤其是高中生）之间进行。
目的是为了发现与培育人才。
现代意义上的数学竞赛是从匈牙利开始实施的。
1894年，为纪念数理学
会主席埃沃斯荣任教育大臣，数理学会通过一项决议：举行以埃沃斯命名的，由高中学生参加的数学竞赛，每年十月举行，每次出三题，限4小时完成，。
国际数学奥林匹克竞赛及中国参赛的成绩
英才苑高中奥林匹克数学网第一讲国际数学奥林匹克竞赛及中国参加国际数学奥林匹克的成绩一、国际数学奥林匹克的由来与现状数学离不开解题，进行解题比赛的活动几百年前就已经有了，古希腊有解几何难题比赛的记载；16世纪，在意大利有过关于口吃者塔塔利亚求解三次方程的激烈竞争；17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题，向其他数学家挑战，法国的费马是其中的佼佼者，他提出的费马k定理向人类的智慧挑战了三百年（已由美国普林斯顿大学教授，英国数学家安德鲁·外尔斯（A. wiles）于（995年解决）；18世纪，法国曾经进行独立数学竞赛；19世纪，法国科学院以悬赏的方式征求对数学难题的解答，常常获得一些重要的数学发现，数学王子高斯就是比赛的优胜者。
上述种种赛事都是在成人之间进行的，而专门以十几岁中学生为对象的数学竞赛则是现代的时尚，人们一致认为，现代意义下的中学生数学竞赛起源于匈牙利。
1894年，匈牙利数学物理协会通过了在全国举办中学数学竞赛的决议，并从1894年起，每年10月举行，（中间因两次世界大战中断了6年，又因1956年政治事件停止了一年。
继匈牙利之后，罗马尼亚于1902年首先由《数学杂志》组织竞赛。
1934年苏联在列宁格勒大学（今圣彼得堡）主办了中学生数学奥林匹克，并首次把数学竞赛与公元前776年古希腊的奥林匹克体育运动联系起来；1935年又由莫斯科大学主办了中学生数学奥林匹克，以后逐年举行，1962年扩大到整个苏联。
自此以后世界各地开始举办中学生数学竞赛时间和比赛举办地如下表（这时是国家和地区的比赛，还不是世界数学比赛）的罗曼教授的积极活动，1956年，东欧国家正式确定了开展国际数学竞赛的计划。
第一届IMO 于1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行。
从第一届到第五届参赛国仅限于东欧几个国家，到20世纪60年代末才逐步扩大成真正全球性的中学生数学竞赛。
1980年，国际数学教育委员会决定成立IMO 分委员会（1981年4月正式成立），使得IMO 逐步规范化。
数学奥林匹克
数学奥林匹克第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫????___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例3 计算3001×2999的值．练习1 计算103×97×10 009的值．练习2 计算：练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．练习4 计算：．3．观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例6 计算1+5+52+53+…+599+5100的值．例7 计算：练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第一讲有理数的巧算答案例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．例3 计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1)÷20=89.95．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有S=500 000．例6 计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，例7 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．第二讲代数式一主要知识点回顾字母代表量，是数学重要的抽象，高度的抽象是数学有别其他科学一个最重要的特征，是数学广泛应用的基础。
历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO
历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO（1985年，芬兰赫尔辛基）吴思皓（男）上海向明中学确规定铜牌上海交通大学王锋（男）北京大学（根据yongcheng先生提供的信息修订）目前作企业软件第27届IMO（1986年，波兰华沙）李平立（男）天津南开中学金牌北京大学方为民（男）河南实验中学金牌北京大学张浩（男）上海大同中学金牌复旦大学荆秦（女）陕西西安八十五中银牌北京大学，现在美国哈佛大学任教林强（男）湖北黄冈中学铜牌中国科技大学第28届IMO（1987年，古巴哈瓦那）刘雄（男）湖南湘阴中学金牌南开大学滕峻（女）北京大学附中金牌北京大学林强（男）湖北黄冈中学银牌中国科技大学潘于刚（男）上海向明中学银牌北京大学何建勋（男）广东华南师范大学附中铜牌中国科技大学高峡（男）北京大学附中铜牌北京大学，现在北大任教第29届IMO（1988年，澳大利亚堪培拉）团体总分第二陈晞（男）上海复旦大学附中金牌复旦大学，美国密苏里大学，美国哈佛大学，现在加拿大Alberta大学数学系任教授韦国恒（男）湖北武汉武钢三中银牌北京大学查宇涵（男）南京十中银牌北京大学，在中科院数学所任副研究员邹钢（男）江苏镇江中学银牌北京大学王健梅（女）天津南开中学银牌北京大学何宏宇（男）以满分成绩获第29届国际数学奥林匹金牌，1993年破格列入美国数学家协会会员，1994年获博士学位，现任亚特兰大乔治大学教授、博士生导师，从事现代数学研究前沿的《李群》《微分几何》等方向的研究，在《李群》的研究上已有重大突破。
第30届IMO（1989年，原德意志联邦共和国布伦瑞克）团体总分第一罗华章（男）重庆水川中学金牌北京大学俞扬（男）吉林东北师范大学附中金牌吉林大学霍晓明（男）江西景德镇景光中学金牌中国科技大学唐若曦（男）四川成都九中银牌中国科技大学颜华菲（女）北京中国人民大学附中银牌北京大学本科，1997年获美国麻省理工博士，现任Texax A&M Uneversity 数学系教授，美国数学会常务理事会成员，Mathematical Reviews评论员。
1990年全国高中数学联赛试卷+解析
1990年全国高中数学联赛第一试(10月14日上午8∶00—10∶00)一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(π4，π2),则(cos α)cos α，(sin α)cos α，(cos α)sin α的大小顺序是A ．(cos α)cos α<(sin α)cos α<(cos α)sin αB ．(cos α)cos α<(cos α)sin α <(sin α)cos αC ．(sin α)cos α<(cos α)cos α<(cos α)sin αD ．(cos α)sin α <(cos α)cos α<(sin α)cos α 2．设f (x )是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f (x )=x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )=x +4B ． f (x )=2-xC ． f (x )=3－|x +1|D ． f (x )=2+|x +1| 3．设双曲线的左右焦点是F 1、F 2，左右顶点是M 、N ，若△PF 1F 2的顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点位置是( )A ．在线段MN 内部B ．在线段F 1M 内部或在线段NF 2内部C ．点M 或点ND ．不能确定的4．点集{(x ，y )|lg(x 3+13y 3+19)=lg x +lg y }中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．多于2 5．设非零复数x 、y 满足x 2+xy +y 2=0，则代数式⎝⎛⎭⎫x x +y 1990+⎝⎛⎭⎫y x +y 1990的值是( ) A ．2－1989B ．－1C ．1D ．以上答案都不对6．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y |>1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n 为自然数，a 、b 为正实数，且满足a +b=2，则11+a n +11+b n的最小值是 ． 2．设A (2，0)为平面上一定点，P (sin(2t －60°)，cos(2t －60°))为动点，则当t 由15°变到45°时，线段AP 扫过的面积是 ．3．设n 为自然数，对于任意实数x ，y ，z ，恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n (x 4+y 4+z 4)成立，则n 的最小值是 ．4．对任意正整数n ，连结原点O 与点A n (n ，n +3)，用f (n )表示线段OA n 上的整点个数(不计端点)，试求f (1)+f (2)+…+f (1990)．0)D.C.B.A.0)5．设n=1990，则12n (1－3C 2n +32C 4n －33C 6n +…+3994C 1998n －3995C 1990n = ． 6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．三．(本题满分20分)已知a ，b 均为正整数，且a >b ，sin θ=2ab a 2+b 2，(其中0<θ<π2)，A n =(a 2+b 2)n sin nθ．求证：对于一切自然数n ，A n 均为整数．四．n 2个正数排成n 行n 列 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a 24=1，a 42=18，a 43=316，求a 11+a 22+……+a nn ．五．设棱锥M —ABCD 的底面为正方形，且MA=MD ，MA ⊥AB ，如果△AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．a 11 a 12 a 13 a 14 ……a 1na 21 a 22 a 23 a 24 ……a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 ……a 3n a 41 a 42 a 43 a 44 ……a 4n …………………………………… a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 ……a nnACBMD第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设三角形ABP 、BCP 、CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1、O 2、O 3、O 4．求证OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．二．(本题满分35分)设 E={1，2，3，……，200}，G={a 1，a 2，……，a 100}⊂≠E ． 且G 具有下列两条性质： ⑴ 对任何1≤i <j ≤100，恒有 a i +a j ≠201； ⑵100Σi=1a i=10080．试证明：G 中的奇数的个数是4的倍数．且G 中所有数字的平方和为一个定数．三．(本题满分35分) 某市有n 所中学，第i 所中学派出C i 名代表(1≤C i ≤39，1≤i ≤n )来到体育馆观看球赛，全部学生总数为nΣi=1C i=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．O OABC D P1 O O O 234 F1990年全国高中数学联赛(解答)第一试一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(π4，π2),则(cos α)cos α，(sin α)cos α，(cos α)sin α的大小顺序是A ．(cos α)cos α<(sin α)cos α<(cos α)sin αB ．(cos α)cos α<(cos α)sin α <(sin α)cos αC ．(sin α)cos α<(cos α)cos α<(cos α)sin αD ．(cos α)sin α <(cos α)cos α<(sin α)cos α (1990年全国高中数学联赛) 解：α∈(π4，π2)⇒0<cos α<sin α<1，∴ (cos α)cos α<(sin α)cos α；(cos α)sin α<(cos α)cos α；选D ． 2．设f (x )是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x ∈[2,3]时，f (x )=x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )的解析式是( )A ．f (x )=x +4B ． f (x )=2-xC ． f (x )=3－|x +1|D ． f (x )=2+|x +1| 解 设x ∈[－2,－1],则x +4∈[2,3],于是f (x+4)=x +4，但f (x )= f (x +4)=x +4 (x ∈[－2,－1])， 又设x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1],故f (－x )=－x +2，由f (x )= f (－x )=－x +2 (x ∈[－1，0).f (x )=3－|x +1|=⎩⎨⎧3－(－x －1)=x +4 (x ∈[－2，－1])，3－(x +1)=－x +2 (x ∈(－1，0))．故选C ．3．设双曲线的左右焦点是F 1、F 2，左右顶点是M 、N ，若△PF 1F 2的顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点位置是( )A ．在线段MN 内部B ．在线段F 1M 内部或在线段NF 2内部C ．点M 或点ND ．不能确定的解：设内切圆在三边上切点分别为D 、E 、F ，当P 在右支上时，PF 1－PF 2=2a ．但PF 1－PF 2=F 1D －F 2D=2a ，即D 与N 重合，当P 在左支上时，D 与M 重合．故选C ．4．点集{(x ，y )|lg(x 3+13y 3+19)=lg x +lg y }中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．多于2 解：x 3+13y 3+19=xy >0．但x 3+13y 3+19≥33x 3·13y 3·19 =xy ，等号当且仅当x 3=13y 3=19时，即x=33 3 ，y=393时成立．故选B ．5．设非零复数x 、y 满足x 2+xy +y 2=0，则代数式⎝⎛⎭⎫x x +y 1990+⎝⎛⎭⎫y x +y 1990的值是( )A ．2－1989B ．－1C ．1D ．以上答案都不对解：xy=ω或ω2，其中ω=cos120°+i sin120°．1+ω+ω2=0．且ω3=1．若x y =ω，则得(ω1+ω)1990+(1ω+1)1990=－1．若x y =ω2，则得(ω21+ω2)1990+(1ω2+1)1990=－1．选B ．6．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y |>1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )解：4a 2+1b 2=1，由a 2>b 2，故得1b 2<1<4b 2+1b 2=5b 2，1<b <5．4a 2+1b 2=1 5a 2<1，a 2>5．故选C ．二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n 为自然数，a 、b 为正实数，且满足a +b=2，则11+a n +11+b n 的最小值是 ． 解：ab ≤(a+b 2)2=1，从而a n b n ≤1，故11+a n +11+b n = 1+a n +1+b n 1+a n +b n +a n b n≥1．等号当且仅当a=b=1时成立．即所求最小值=1．2．设A (2，0)为平面上一定点，P (sin(2t －60°)，cos(2t －60°))为动点，则当t 由15°变到45°时，线段AP 扫过的面积是 ．解：点P 在单位圆上，sin(2t －60°)=cos(150°－2t )，cos(2t －60°)=sin(150°－2t ).当t 由15°变到45°时，点P 沿单位圆从(－12，32)运动到(12,32)．线段AP 扫过的面积=扇形面积=16π．3．设n 为自然数，对于任意实数x ，y ，z ，恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n (x 4+y 4+z 4)成立，则n 的最小值是 ．解：(x 2+y 2+z 2)2=x 4+y 4+z 4+2x 2y 2+2y 2z 2+2z 2x 2≤x 4+y 4+z 4+(x 4+y 4)+(y 4+z 4)+(z 4+x 4)=3(x 4+y 4+z 4)．等号当且仅当x=y=z 时成立．故n=3．4．对任意正整数n ，连结原点O 与点A n (n ，n +3)，用f (n )表示线段OA n 上的整点个数(不计端点)，试求f (1)+f (2)+…+f (1990)．解 线段OA n 的方程为y=n +3nx (0≤x ≤n )，故f (n )等于该线段内的格点数．若n=3k (k ∈N +)，则得y=k +1k x (0≤x ≤n )(k ∈N *)，其内有两个整点(k ，k +1)，(2k ，2k +2)，此时f (n )=2；若n=3k ±1(k ∈N +)时，则由于n 与n +3互质，故OA n 内没有格点，此时f (n )=0．∴ f (1)+f (2)+…+f (1990)=2[19903]=1326．5．设n=1990，则12n (1－3C 2n +32C 4n －33C 6n +…+3994C 1998n －3995C 1990n = ．0)D.C.B.A.0)解：取(－12+32i )1990展开的实部即为此式．而(－12+32i )1990=－12+32i ．故原式=－12．6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在8+9－1个位子中选择7个位子，得C 78+9－1=C 716种选法．7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得C 716∙7!∙25!种排列方法． 三．(本题满分20分)已知a ，b 均为正整数，且a >b ，sin θ=2ab a 2+b 2，(其中0<θ<π2)，A n =(a 2+b 2)n sin nθ．求证：对于一切自然数n ，A n 均为整数．证明：由sin θ=2aba 2+b 2，得cos θ=a 2－b 2a 2+b2．记A n =(a 2+b 2)n cos nθ．当a 、b 均为正整数时，A 1=2ab 、B 1=a 2－b 2均为整数．A 2=4ab (a 2－b 2)，B 2=2(a 2－b 2)2－(a 2+b 2)2也为整数． 若A k =(a 2+b 2)k sin kθ、B k =(a 2+b 2)k cos kθ均为整数，则A k +1=(a 2+b 2)k +1sin(k +1)θ=(a 2+b 2)k +1sin kθcos θ+(a 2+b 2)cos kθsin θ=A k ∙B 1+A 1B k 为整数． B k +1=(a 2+b 2)k +1cos(k +1)θ=(a 2+b 2)k +1cos kθcos θ－(a 2+b 2)k +1sin kθsin θ=B k B 1－A k A 1为整数．由数学归纳原理知对于一切n ∈N *，A n 、B n 为整数．四．n 2个正数排成n 行n 列 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a 24=1，a 42=18，a 43=316，求a 11+a 22+……+a nn ．(1990年全国高中数学联赛)分析 由a 42、a 43或求a 44，由a 24，a 44可求公比． 解 设第一行等差数列的公差为d ，各列的公比为q ．∴ a 44=2a 43－a 42=14．由a 44=a 24∙q 2，得，q=12. ∴ a 12=a 42∙q －3=1．∴ d=a 14_x001F_－a 124－2= 12，a 11 a 12 a 13 a 14 ……a 1na 21 a 22 a 23 a 24 ……a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 ……a 3n a 41 a 42 a 43 a 44 ……a 4n …………………………………… a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 ……a nn∴ a 1k =a 12+(k －2)d=12k (k=1，2，3，…，n )∴ a kk =a 1k q k －1=12k ·(12)k －1=(12)k ·k ．令S n = a 11+a 22+…+a nn ．则 S －12S=n Σk=1k 2k －n +1Σk=2k －12k =12+nΣk=212k －n2n +1=12 +12 －12n －n 2n +1 =1－n +22n +1.∴ S=2－n +22n ．五．设棱锥M —ABCD 的底面为正方形，且MA=MD ，MA ⊥AB ，如果△AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．解：取AD 、BC 中点E 、F ，则ME ⊥AD ，AB ⊥MA ，AB ⊥AD ， AB⊥平面MAD ， ∴ 平面MAD ⊥平面ABC ． ∴ ME ⊥平面ABC ． ∴ 平面MEF ⊥平面ABC ．∵ EF ∥AB ，故EF ⊥平面MAD ，∴ 平面MEF ⊥平面MAD ．∵ BC ⊥EF ，BC ⊥ME ，∴ BC ⊥平面MEF ， ∴平面MEF ⊥平面MBC ．设AB=a ，则ME= 2a，MF=a 2+4a 2．a +2a≥22，a 2+4a2≥2． 取△MEF 的内切圆圆心O ，作OP ⊥EF 、OQ ⊥ME ，OR ⊥MF ，由于平面MEF 与平面MAD 、ABC 、MBC 均垂直，则OP 、OQ 、OR 分别与平面ABC 、MAD 、MBC 垂直．从而以此内切圆半径为半径的球与平面MAD 、ABC 、MBC 都相切， 设此球的半径为r ，则∴ r=12(a +2a－a 2+4a 2)≤2a +2a +a 2+4a2≤12+1=2－1．等号当且仅当a=2a ，即a=2时成立．作QH ⊥MA ，由于OQ ∥AB ，故OQ ∥平面MAB ，故球心O 与平面MAB 的距离=QH ，当AB=2，ME=2，MA=102，MQ=2－(2－1)=1． ∵ △MQH ∽△MAE ，∴QH MQ =AE MA ，QH=MQ ·AE MA =1·22102=55>2－1．即O 与平面MAB 的距离>r ，同理O 与平面MCD 的距离>r ．故球O 是放入此棱锥的最大球．∴ 所求的最大球半径=2－1．HDE F M O Q P RBC A第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设三角形ABP 、BCP 、CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1、O 2、O 3、O 4．求证OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．证明 ∵O 为⊿ABC 的外心，∴ OA=OB ． ∵ O 1为⊿P AB 的外心，∴O 1A=O 1B ． ∴ OO 1⊥AB ． 作⊿PCD 的外接圆⊙O 3，延长PO 3与所作圆交于点E ，并与AB 交于点F ，连DE ，则∠1=∠2=∠3，∠EPD=∠BPF ，∴ ∠PFB=∠EDP=90︒． ∴ PO 3⊥AB ，即OO 1∥PO 3．同理，OO 3∥PO 1．即OO 1PO 3是平行四边形．∴ O 1O 3与PO 互相平分，即O 1O 3过PO 的中点． 同理，O 2O 4过PO 中点． ∴ OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．二．(本题满分35分)设 E={1，2，3，……，200}，G={a 1，a 2，……，a 100}⊂≠E ． 且G 具有下列两条性质： ⑴ 对任何1≤i <j ≤100，恒有 a i +a j ≠201； ⑵100Σi=1a i=10080．试证明：G 中的奇数的个数是4的倍数．且G 中所有数字的平方和为一个定数．证明：⑴取100个集合：{a i ，b i }：a i =i ，b i =201－i (i=1，2，…，100)，于是每个集合中至多能取出1个数．于是至多可以选出00个数．现要求选出100个数，故每个集合恰选出1个数．把这100个集合分成两类：① {4k +1，200－4k }；② {4k －1，202－4k }．每类都有50个集合．设第①类选出m 个奇数，50－m 个偶数，第②类中选出n 个奇数，50－n 个偶数． 于是1∙m +0∙(50－m )+(－1)∙n +2∙(50－n )≡10080≡0(mod 4)．即m －3n ≡0(mod 4)，即m +n ≡0(mod 4)∴ G 中的奇数的个数是4的倍数． ⑵ 设选出的100个数为x 1，x 2，…，x 100，于是未选出的100个数为201－x 1，201－x 2，…，201－x 100．故x 1+x 2+…+x 100=10080．∴ x 12+x 22+…+x 1002+(201－x 1)2+(201－x 2)2+…+(201－x 100)2=2(x 12+x 22+...+x 1002)－2×201×(x 1+x 2+...+x 100)+100×2012 =2(x 12+x 22+...+x 1002)－2×201×10080+100×2012 =12+22+32+ (2002)O OA BCDP 1O O O 234EF123∴ x 12+x 22+…+x 1002=12[(12+22+32+…+2002)+2×201×10080－100×2012]=12[16×200×201×401+201×20160－20100×201] =12×[100×67×401+201×60]=1349380．为定值． 三．(本题满分35分) 某市有n 所中学，第i 所中学派出C i 名代表(1≤C i ≤39，1≤i ≤n )来到体育馆观看球赛，全部学生总数为nΣi=1C i=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下． 解：首先，199>39×5，故每排至少可坐5所学校的学生．1990=199×10，故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制，则全部学生只要坐在10排就够了．现让这些学生先按学校顺序入坐，从第一排坐起，一个学校的学生全部坐好后，另一个学校的学生接下去坐，如果在某一行不够坐，则余下的学生坐到下一行．这样一个空位都不留，则坐10排，这些学生就全部坐完．这时，有些学校的学生可能分坐在两行，让这些学校的学生全部从原坐处起来，坐到第11、12排去．由于，这种情况只可能在第一行末尾与第二行开头、第二行末尾与第三行开头、……第九行末尾与第十行开头这9处发生，故需要调整的学校不超过10所，于是第11、12行至多各坐5所学校的学生，就可全部坐完．这说明12行保证够坐．其次证明，11行不能保证就此学生按条件全部入坐：199=6×33+1．1990=34×58+18． 取59所学校，其中58所学校34人，1所学校18人．则对前58所学校的学生，每排只能坐5所学校而不能坐6所学校．故11排只能坐其中55所学校的学生．即11排不够坐．综上可知，最少要安排12横排才能保证全部学生都能坐下．。
初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全
初中数学奥林匹克竞赛教程初中数学竞赛大纲（修订稿）数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。
目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。
《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。
”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。
同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。
除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。
这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。
1、实数十进制整数及表示方法。
整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。
素数和合数，最大公约数与最小公倍数。
奇数和偶数，奇偶性分析。
带余除法和利用余数分类。
完全平方数。
因数分解的表示法，约数个数的计算。
有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。
2、代数式综合除法、余式定理。
拆项、添项、配方、待定系数法。
部分分式。
对称式和轮换对称式。
3、恒等式与恒等变形恒等式，恒等变形。
整式、分式、根式的恒等变形。
恒等式的证明。
4、方程和不等式含字母系数的一元一次、二次方程的解法。
一元二次方程根的分布。
含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。
对数学竞赛的一点点看法
对数学竞赛的一点点看法导读：本文对数学竞赛的一点点看法，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科--竞赛数学。
一、数学竞赛的简史数学竞赛与体育竞赛相类似，它是青少年的一种智力竞赛，所以苏联人首创了"数学奥林匹克"这个名词。
在类似的以基础科学为竞赛内容的智力竞赛中，数学竞赛历史最悠久，参赛国最多，影响也最大。
比较正规的数学竞赛是1894年在匈牙利开始的，除因两次世界大战及1956年事件而停止了7届外，迄今已举行过90多届。
苏联的数学竞赛开始于1934年，美国的数学竞赛则是1938年开始的。
这两个国家除第二次世界大战期间各停止了3年外，均己举行过50多届，其他有长久数学竞赛历史的国家是罗马尼亚（始于1902年）、保加利亚（始于1949年）和中国（始于1956年）。
1956年，东欧国家和苏联正式确定了国际数学奥林匹克的计划，并于1959年在罗马尼亚布拉索夫举行了第一届国际数学奥林匹克（InternationaI Mathematics Olympiad，简称1MO）。
以后每年举行一次。
除1980年因东道国蒙古经济困难停办外，至今共举行过40届。
参赛国家也愈来愈多。
第一届仅7个国家参加，至1980年已有23个；到1990年，则有54个。
必须说明在上述历史之前已有一些数学竞赛活动，例如苏联人说，在1886年帝俄时代就举行过数学竞赛。
又如1926年在中国上海市举办过包括学生、银行和钱庄职员在内的珠算比赛，中华职业学校一年级学生，16岁的华罗庚凭智慧夺得了冠军。
这些都是关于数学竞赛的佳话，不列入正史。
二、数学竞赛的发展数学竞赛活动是由个别城市，向整个国家，再向全世界逐步发展起来的。
例如苏联的数学竞赛就是先从列宁格勒和莫斯科开始，至1962年拓展至全国的，美国则是到1957年才有全国性的数学竞赛的。
数学竞赛活动也是由浅入深逐步发展的。
几乎每个国家的数学竞赛活动都是先由一些著名数学家出面提倡组织，试题与中学课本中的习题很接近，然后逐渐深入，并有一些数学家花比较多的精力从事选题及竞赛组织工作，这时的试题逐渐脱离中学课本范围，当然仍要求用初等数学语言陈述试题并可以用初等数学方法求解。
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第五届中国数学奥林匹克(1990年)
1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与
边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于
E、F。
求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。
2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-1<i=1,
2, ...,l，则称{ x0 , x1 , ... , x n}为x的一条因子链。
l称为该因子链的长度。
L(x)与R(x)分别表示x的最长因子链的长度和最长因子链的条数。
对于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是自然数，试求L(x)与R(x)。
3.设函数f(x)对x>0有定义，且满足条件：
i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)；
ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M。
求证：f(x)≦x2。
4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定方程组：
x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3 有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示，并予以证明)。
5.设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成
的子集)都对应一个实数f(E)，满足条件：
a.存在一个偶子集D，使得f(D)>1990；
b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪
B)=f(A)+f(B)-1990。
求证：存在X的子集P、Q，满足
iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；
iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990
v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。
6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分
图。
求证：当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。