数值分析考题

李津

2004.6.21

1、给定2阶RK基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求

yn+1=yn+h/2*(k1+k2)

k1=f(tn,yn)

k2=f(tn+3/5*h,yn+3/5*h*k1)

2、给定一个分段函数，求全函数为1区间[0，2]的最佳二次平方逼近

3、给定对称正定矩阵(3*3)，判断SOR收敛性(w=1.2)、给定初值算一步、估计5次迭代误差

4、给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度

f(x)从0积到2= r1*f(x1)+r2*f(x2)

5、给定两个矩阵A、A1(均为3*3)，将A变化为三对角阵，用QR方法对A1算一步求A2

6、(1)以前试题的变形,设B奇异，证明(||A-B||/||A||)〉=1/(||inv(A)||||A||)，其中||

为算子范数

(2)证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与f(x)相同

别的题目记不太清了

第一题有些错误，正确的题目好像是：

Y(n+1)＝Y(n)+h*(k1+5*k2)/6

k1=f(tn,Y(n))

k2=f(tn+3/5*h,y(n)+3/5*k1)

偶算出来的是二阶相容

第四题的矩阵A好像是：

[10 -1 -2;-1 10 -2;0 -2 10]

2002.12

1.三点高斯－勒让得积分公式

最佳平方逼近，f(x)=|x|，(-1,1)分别在span{1,x^2}和span{x,x^3}中求

2.书上P236第31题第2小问原题，只是没告诉α的范围，要你求

3.书上P257原题

加了两问，证明收敛，再算一步

4.householder变换

Givens做QR分解

5.Y(n+2)=Y(n)+h(fn+f(n+2))

求局部TE，相容，根条件，绝对稳定区间

6.定理1.12和推论，以及P167式3.4的应用

||A-B||<1/||inv(A)||

要证B可逆,||inv(B)||<=||inv(A)||/(1-||A-B||*||inv(A)||)

||inv(A)-inv(B)||<=(||inv(A)||)^2*||A-B||/(1-||A-B||*||inv(A)||)

ft，没做完，第4题的矩阵太难算了

其他老师

: 有记错的和不全的请补充

:

: 一。填空题

: 1.求矩阵2范数和cond的题

A={1 1/2}

{1/2 1/3}

: 2.Ax=b,A=[1,a,a;a,1,a;a,a,1],b=[1,2,3]'(或者3,2,1,我记不清了）

: (1)如果0<=a

: （2）a=1/2，x(0)=(0,0,0)，求迭代两次的x(2)

: (3)a=1/2，jacobi方法收敛不？为啥

: 3.给一个函数，给5个点，求拉各朗日插值多项式

: 4.稳定方法求解良性问题是否一定收敛？

: 二。计算题

: 1.非线性方程组问题

: 给F（s）

: (1)如果x(k+1)=x(k)+1/4F(x(k))，证明这个迭代方法在x*=[1,1,1]'

: 附近局部收敛。

: (2)newton求两步

: 2.Euler的显式和隐士方法

: (1)求两方法的局部截断误差

: （2）两方法几阶的？梯形方法几阶？

: （3）显示Euler的绝对稳定域

: (4)证明隐士的步长可以随便选

: 3.(1)用houleholder变换QR分解A

: (2)利用上面的分解求Ax=b的解x

: 三。证明

: Ax=b,A(x+deltax)=b+deltab

: 证明deltax的范数/x的范数<=cond(A)[deltab的范数/b的范数]

1.1)求sin(x)的pade(3*3)逼近R33

2)确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高并指出代数精度是多少，

判断是否为Gauss型

(区间是-2到2,被积函数是f(x),求积公式为Af(-α)+Bf(0)+Cf(α))

2.给出一多步线性方法，y(n+2)=y(n)+h[f(n)+f(n+2)]

1)求此方法局部截断误差主项,并判断方法的阶

2)是否相容

3)是否满足根条件,是否收敛

4)是否A稳定

3.给定矩阵A,B.

5 1 -2 3 4 0

A= -3 2 1 B= 4 4 1

4 1 3 0 0 2

1)用正交相似变换把A变化成上Hessenberg型矩阵

2)对B做一次QR分解

4.给一非线性方程组

3(X1)^2-(X2)^2=0

3(X1)(X2)^2-(X1)^3-1=0

此方程组在D{0.4<=X1=<0.6 ; 0.5<=X2<=1}上有精确解X*

要求

1)写出相应的牛顿法迭代公式,给定X(0)=(0.55,0.9)T,求X(1)

2)已知X*=(1/2,3^(1/2)/2)T,求一种不动点迭代方式，并判定其局部收敛性

5.给一矩阵A和向量b

4 -2 a 2

A= -2 4 -1 b= 6

a -1 4 5

1)求使J法迭代收敛的a的范围(注意使用最简单的收敛充要条件)

2)若a＝0,写出SOR法的分量计算公式,并求最优松弛因子Wopt

6.||G(x)-G(y)||<=L||x-y|| 0

求证G(x)在D0中存在唯一的不动点

填空：

1 A=[1,1/2;1/2,1/3]求||A||2和cond2（A）

2 J，GS迭代有关

3 f(x)=x^2+3x+2,在－2，－1，0，1，2五点确定得拉格朗日多项式插值多项式

4 一个稳定得算法计算一个良态得问题是否一定稳定（大致）

计算

1 F(x)=....

(1)证明x(k+1)=x(k)-1/4F'(x)收敛到其解x*=[1,1,1]'

(2)用牛顿法在给定初值x0＝[...]'下计算两步

2 显式和隐式欧拉法得局部截断误差和阶数，写出梯形法，及其阶数.....

3 A=[4,1,1;1,1,1;1,1,2];b=[...]'

(1)housholder变换求A得QR变换