数值分析考题

李津2004.6.211、给定2阶RK基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h的要求yn+1=yn+h/2*(k1+k2)k1=f(tn,yn)k2=f(tn+3/5*h,yn+3/5*h*k1)2、给定一个分段函数，求全函数为1区间[0，2]的最佳二次平方逼近3、给定对称正定矩阵(3*3)，判断SOR收敛性(w=1.2)、给定初值算一步、估计5次迭代误差4、给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度f(x)从0积到2= r1*f(x1)+r2*f(x2)5、给定两个矩阵A、A1(均为3*3)，将A变化为三对角阵，用QR方法对A1算一步求A26、(1)以前试题的变形,设B奇异，证明(||A-B||/||A||)〉=1/(||inv(A)||||A||)，其中||为算子范数(2)证明最佳n次平方逼近函数奇偶性与f(x)相同别的题目记不太清了第一题有些错误，正确的题目好像是：Y(n+1)＝Y(n)+h*(k1+5*k2)/6k1=f(tn,Y(n))k2=f(tn+3/5*h,y(n)+3/5*k1)偶算出来的是二阶相容第四题的矩阵A好像是：[10 -1 -2;-1 10 -2;0 -2 10]2002.121.三点高斯－勒让得积分公式最佳平方逼近，f(x)=|x|，(-1,1)分别在span{1,x^2}和span{x,x^3}中求2.书上P236第31题第2小问原题，只是没告诉α的范围，要你求3.书上P257原题加了两问，证明收敛，再算一步4.householder变换Givens做QR分解5.Y(n+2)=Y(n)+h(fn+f(n+2))求局部TE，相容，根条件，绝对稳定区间6.定理1.12和推论，以及P167式3.4的应用||A-B||<1/||inv(A)||要证B可逆,||inv(B)||<=||inv(A)||/(1-||A-B||*||inv(A)||)||inv(A)-inv(B)||<=(||inv(A)||)^2*||A-B||/(1-||A-B||*||inv(A)||)ft，没做完，第4题的矩阵太难算了其他老师: 有记错的和不全的请补充:: 一。

填空题: 1.求矩阵2范数和cond的题A={1 1/2}{1/2 1/3}: 2.Ax=b,A=[1,a,a;a,1,a;a,a,1],b=[1,2,3]'(或者3,2,1,我记不清了）: (1)如果0<=a<c时GS方法收敛，求c的最大值: （2）a=1/2，x(0)=(0,0,0)，求迭代两次的x(2): (3)a=1/2，jacobi方法收敛不？为啥: 3.给一个函数，给5个点，求拉各朗日插值多项式: 4.稳定方法求解良性问题是否一定收敛？: 二。

计算题: 1.非线性方程组问题: 给F（s）: (1)如果x(k+1)=x(k)+1/4F(x(k))，证明这个迭代方法在x*=[1,1,1]': 附近局部收敛。

: (2)newton求两步: 2.Euler的显式和隐士方法: (1)求两方法的局部截断误差: （2）两方法几阶的？梯形方法几阶？: （3）显示Euler的绝对稳定域: (4)证明隐士的步长可以随便选: 3.(1)用houleholder变换QR分解A: (2)利用上面的分解求Ax=b的解x: 三。

证明: Ax=b,A(x+deltax)=b+deltab: 证明deltax的范数/x的范数<=cond(A)[deltab的范数/b的范数]1.1)求sin(x)的pade(3*3)逼近R332)确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高并指出代数精度是多少，判断是否为Gauss型(区间是-2到2,被积函数是f(x),求积公式为Af(-α)+Bf(0)+Cf(α))2.给出一多步线性方法，y(n+2)=y(n)+h[f(n)+f(n+2)]1)求此方法局部截断误差主项,并判断方法的阶2)是否相容3)是否满足根条件,是否收敛4)是否A稳定3.给定矩阵A,B.5 1 -2 3 4 0A= -3 2 1 B= 4 4 14 1 3 0 0 21)用正交相似变换把A变化成上Hessenberg型矩阵2)对B做一次QR分解4.给一非线性方程组3(X1)^2-(X2)^2=03(X1)(X2)^2-(X1)^3-1=0此方程组在D{0.4<=X1=<0.6 ; 0.5<=X2<=1}上有精确解X*要求1)写出相应的牛顿法迭代公式,给定X(0)=(0.55,0.9)T,求X(1)2)已知X*=(1/2,3^(1/2)/2)T,求一种不动点迭代方式，并判定其局部收敛性5.给一矩阵A和向量b4 -2 a 2A= -2 4 -1 b= 6a -1 4 51)求使J法迭代收敛的a的范围(注意使用最简单的收敛充要条件)2)若a＝0,写出SOR法的分量计算公式,并求最优松弛因子Wopt6.||G(x)-G(y)||<=L||x-y|| 0<L<1 G(D0)是D0的真子集求证G(x)在D0中存在唯一的不动点填空：1 A=[1,1/2;1/2,1/3]求||A||2和cond2（A）2 J，GS迭代有关3 f(x)=x^2+3x+2,在－2，－1，0，1，2五点确定得拉格朗日多项式插值多项式4 一个稳定得算法计算一个良态得问题是否一定稳定（大致）计算1 F(x)=....(1)证明x(k+1)=x(k)-1/4F'(x)收敛到其解x*=[1,1,1]'(2)用牛顿法在给定初值x0＝[...]'下计算两步2 显式和隐式欧拉法得局部截断误差和阶数，写出梯形法，及其阶数.....3 A=[4,1,1;1,1,1;1,1,2];b=[...]'(1)housholder变换求A得QR变换(2)用QR变换结果计算Ax=b证明已知Ax=b,A(x+deltaX)=b+deltaB证明||deltaX||/||x||<=cond(A)*||deltaB||/||b||1。

单步法yn+1=yn+h/4(f(tn,yn)+3f(tn+2/3h，yn+2/3hf(tn,yn))1)Tn+1,收敛阶2)绝对稳定区间3)对y'=-5y+2,y0=1(好像是），在h=0.2,0.5,1时讨论数值扰动的稳定性2.1)exp(-2x)的pade(1*2)逼近2)I=A(f(x0)+f(x1)+f(x2))确定A,x1,x0,x2,判断代数精度，是否高斯3。

给定F(x)1）xk+1=xk-1/4F(x),x*=(1,1,1)T,证明局部收敛2）给定x0,用牛顿算两部4。

Ax=b A含未知数a1)求a,使LLT存在2）给定a,用cholesky算L3)给定a,判断jacobi,gauss_siedel是否收敛4）给定a,sor算一步5。

给定A,1)househoulder算p，A1=pAp2)givens对A1做QR3)算一步QR迭代，得到A26。

||B||<1,证明I-B可逆，并证明||I-B||<1/1-||B||好像是这么写，书上有个I+B的，一点思路都没有5555555一.(1)函数f(x)=|x|在[-1,1]上积分，求在空间span{1,x2}和span{x,x^3}上权函数p(x)=1的最佳平方逼近函数，并说明(2)对f(x)在[-1,1]上积分,求A0,A1,A2,x0,x2,使得A0*f(x0)+A1*f(0)+A2*f(x2)对求积公式有最高的代数精度，并求代数精度二. A=[2 0 1;0 2 -1;1 -1 1](1)求householder变换矩阵P，使得A1=PAP为三对角矩阵(2)用Givens变换，对A1进行QR分解；(3)若用QR方法求A1特征值，迭代一步，求A2，并证明A2和A相似三.线性二步法y(n+2)=y(n)+h*(fn-fn+2)fi=f(ti,yi)(1)求局部截断误差及主部，方法是几阶收敛(2)用根条件判断收敛性(3)绝对收敛域四.A为对称正定矩阵，最大特征值和最小特征值分别是λ1和λn,迭代X(k+1)=(I-w*A)*X(k)+w*b求w的范围，使迭代法收敛，并求w'使收敛速度最快。

五. 非线性方程组F(x)=[x1^2-10*x1+x2^2+8;x1*x2^2+x1-10*x2+8]'=0令G(x)=[1/10*(x1^2+x2^2+8)1/10*(x1*x2^2+x1+8)](1)若0<x1,x2<3/2, 用x=G(x)迭代，证明G(x)在D中存在唯一的不动点；(2)判断G(x)是否收敛？(3)写出牛顿迭代法的公式，并且取初值x0=(0.5,0.5)T,求出x1六. A，B为n*n阶矩阵，A非奇异，||A-B||< 1/||A^(-1)||证明：(1) B非奇异(2) ||B^(-1)|| <= ||A^(-1)||/(1-||A^(-1)||*||A-B||)(3) ||A^(-1)-B^(-1)|| <= ||A^(-1)||^2*||A-B||/(1-||A^(-1)||*||A-B||)仅供参考！1.（1）求f(x)=|x|,区间[-1，1]上权函数为ρ(x)=1，在span{1,x2}上的最佳平方逼近（2）[0，1]上权函数为ρ(x)=1，求积分公式Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)的参数使得代数精度尽可能高2。

A=[0 3 4；3 0 0；4 0 1]（1）求householder变换使A1=PAP为对称三对角阵（2）用givens变换求A1的QR分解（3）用不带原点位移的QR算A的特征值，A1迭代一次得A2，证明A2与A1相似3。

不动点迭代F（x）=0，F（x）=[x1+x2^2-x1^2+x2]等价于x=G(x)，G(x)=[-x2^2x1^2]（a）证明D={（x1,x2）T|-0.25<=x1,x2<=0.25}上，G有唯一不动点（b）写出newton公式，取x(0)=(1,1)T，求x(1)4.初值问题dy/dt+y=0,y(0)=1（a）tn=nh，用梯形法求数值解yn（b）h趋于0时，证明数值解收敛于准确解y=exp(-t)（c）梯形法的局部阶段误差主项（d）梯形法的绝对稳定区域5（1）A为n*m矩阵，列满秩，w与ATA的特征值有什么关系时x(k+1)=x(k)+wAT(b-Ax(k))收敛到ATAx=ATb的唯一解（2）B为n阶方阵，x*=Bx*+C,迭代公式x(k+1)=Bx(k)+C若||B||<=β<1且||x(k)-x(k-1)||<=ε(1-β)/β证明||x*-x(k)||<=ε6.A对称正定，φ（x）=0.5xTAx-xTb,p为非零向量定义ψ(α)=φ(x+αp),求α为何值时ψ(α)最小证明对此α定义下的x*=x+αp,有b-Ax*与p正交一、给了个矩阵A1）用household正交相似变换，将A变换为上海森堡形式A12）对A1(我记得是A1,不是A,不知道看错没有)做一次QR分解，要求用第一种位移方法二1）给了个常微分方程组，求刚性比2) y(n+2)=y(n+1)+h/(3f(n+2)+f(n))/4,求阶数，判断相容性，收敛，及绝对稳定区间三，给定Ax = b1)用变分构造出它的二次形式，并证明（这题的意思我觉得就是证明方程组的解使该函数取最小值，好像就是证明书上那个定理，不知道对不对）2)给定初值，用最速下降法算一步。