淮阴工学院《概率论与数理统计》模拟试卷
概率论与数理统计试卷(含答案)
一、填空题：(每题4分，共24分)1．已知事件A 与B 相互独立，()0.4P A =，()0.7P A B +=，则概率()P B A 为 。
2．某次考试中有4个单选选择题，每题有4个答案，某考生完全不懂，只能在4个选项中随机选择1个答案，则该考生至少能答对两题的概率为 ， 3．若有 ξ～(0,1)N ，η=21ξ-，则η～N （ ， ）4．若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且DX EX -=4,则参数λ＝5．设连续型随机变量ξ的概率密度为2(1)01()0x x f x -<<⎧=⎨⎩其他，且2ηξ=，则η的概率密度为 。
6．设总体2~(,)X N μσ的分布，当μ已知，12,,n X X X 为来自总体的样本，则统计量∑=-ni i X 12)(σμ服从 分布。
二、选择题：(每小题4分，共20分)1. 设事件,,A B C 是三个事件，作为恒等式，正确的是（ ） A.()ABC AB CB = B.A BC A B C =C.()A B A B -=D.()()()A B C AC BC =2.n 张奖券有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是（ ）。
A.11k m n mknC C C -- B. k n m C C. k n k mn C C --1 D. 1r nm k r nC C =∑3. 设EX μ=，2DX σ=，则由切比雪夫不等式知(4)P X μσ-≤≥（ ） A.1416 B. 1516 C. 15 D. 16154. 如果随机向量),(ηξ的联合分布表为：则协方差),cov(ηξ=（ ）A.-0.2B. –0.1C.0D. 0.1 5. 设总体 ξ～2(,)N μσ ，（12,,n X X X ）是 ξ 的简单随机样本，则为使1211ˆ()n i i i C XX θ-+==-∑为2σ的无偏估计，常数C 应为( )A.1n B. 11n - C. 12(1)n - D. 12n -三、计算题：待用数据（0.9750.9750.950.95(35) 2.0301,(36) 2.0281,(35) 1.6896,(36) 1.6883t t t t ====，8413.0)1(=Φ,9772.0)2(=Φ975.0)96.1(=Φ,95.0)645.1(=Φ）1．三个人同时射击树上的一只鸟，设他们各自射中的概率分别为0.5，0.6，0.7。
淮阴工学院概率论江淮
淮 阴 工 学 院 课 程 考 试 试 卷
……2 分
P( B | A1 ) P( A1 ) 5 P( B) 7
……5
fY ( y )
……2 分
4 2
ax 2 dx 1 a
1 24
……4
⑵ f ( x, y) f X ( x) fY ( y) ，所以 X 和 Y 不独立. ⑶ EXY
……2 分 ……4 分
拟卷日期: 2013.6.10 审核人(签字): 一 二 总分
题号 得分
11. 设总体 X ～ N (, 2 )，， 2 均未知. X1 , X 2 , , X 20 为来自总体 X 的样本，X 为样本均值，
姓名
S 2 为样本方差.要检验假设 H0 : 2 20，H1 : 2 20 ，则检验统计量为
显著水平 0.05 下，检验的拒绝域为
2
；在
．
可能用到数据： (2.5) 0.9938 , (1.96) 0.975 , 20.05 (19) 30.144 , 20.025 (19) 32.852 一 、填空题（15 个空格,每空 2 分,共 30 分）
1. 设 A, B 为随机事件, P A 0.4 , P B 0.3 , P A 得 分 ．
2 0
3 1 ；7，-0.5 ；8， ； 分 4 4
淮海工学院概率论与数理统计试卷和答案集合
第１页 共30页淮 海 工 学 院09 - 10 学年 第2学期 概率论与数理统计 试卷（A闭卷）答案及评分标准1．一袋中有6个白球，4个红球，任取两球都是白球的概率是-----------------（ B ） ()A 1/2 ()B 1/3 ()C 1/4 ()D 1/6 2．设随机变量~(3,)X b p ，且{1}{2}P X P X ===，则p 为---------------（A ）()A 0.5 ()B 0.6 ()C 0.7 ()D 0.83．设),(Y X 的联合概率密度为(,)f x y ，则边缘概率密度()X f x =----------（ C ）()A (,)f x y dx +∞-∞⎰()B (,)xf x y dx +∞-∞⎰()C (,)f x y dy +∞-∞⎰()D (,)yf x y dy +∞-∞⎰4．设X 是一随机变量，则下列各式中错误的是----------------------------------（ C ）()A [()]()E D X D X = ()B [()]()E E X E X = ()C [()]()D EX E X = ()D [()]0D E X =5．已知()0E X =，()3D X =，则由切比雪夫不等式得{||6}P X ≥≤------（ B ）()A 1/4()B 1/12 ()C 1/16 ()D 1/366．设总体()21,2XN ，12,,,n X X X 为X 的一个样本，则---------------（ C ）()A()10,12X N - ()B ()10,14X N - ()C ()0,1N ()D ()0,1N7．设总体2~(,)X N μσ，2,μσ未知，n X X X ,,,21 为来自X 的样本，样本均值为X ，样本标准差为S ，则μ的置信水平为α-1的置信区间为-------（ D ）()A 2()X z α±()B 2((1))X z n α±-()C 2(())X n α±()D 2((1))X n α- 8．设总体2~(,)X N μσ，2,μσ未知，检验假设22220010:,:H H σσσσ=≠的拒绝域为--------------------------------------------------------------------------------------（ A ）()A 2222122(1)(1)n n ααχχχχ-≥-≤-或 ()B 22(1)n αχχ≥-()C 22221(1)(1)n n ααχχχχ-≥-≤-或 ()D 221(1)n αχχ-≤-二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1．设,,A B C 表示三个随机事件，则事件“,,A B C 不都发生”可用,,A B C 的运算关系表示为ABC .2．随机变量X 的数学期望()2E X =，方差()4D X =，则2()E X = 8第２页 共30页3．设X Y 和相互独立，且()~0,1X U ，Y 的概率密度为121,0()20,y Y e y f y -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，则(,)X Y 的概率密度为121,(0,1),0(,)20,y ex y f x y -⎧∈>⎪=⎨⎪⎩其他.4．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，2,X S 分别为样本均值和样本方差，则()E X =μ，2()E S =2σ.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1．已知()()0.4,0.7P A P AB ==，分别在下列两种条件下，求()P B 的值.（1）若A 与B 互不相容；（2）若A 与B 相互独立. 解 由加法公式()()()()P AB P A P B P AB =+- ------------2'（1）A 与B 互不相容，即()0AB P AB =∅⇒=，代入加法公式得，()0.70.40.3P B =-= ------------2' （2）A 与B 相互独立，即()()()P AB P A P B =代入加法公式得，0.70.4()0.4()P B P B =+-，得()0.5P B = ------------3'2．已知随机变量X 的概率密度函数为2,01,()0,,ax x f x ⎧<<=⎨⎩其他 求（1）常数a ；（2）{0.3}.P X > 解 (1)120()1,13f x dx ax dx a +∞-∞=∴=∴=⎰⎰ -----------------4'(2) 11230.30.3{0.3}30.973.P X x dx x >===⎰-----------------3'3．已知随机变量~(0,1)X U ，求随机变量ln Y X =的概率密度函数)(y f Y . 解 1,01,()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他,---------------------2'1()ln ,()0y g x x g x x'===>,()g x 在(0,1)严格单调增， 反函数(),()yyx h y e h y e '==={}{}min (0),(1),max (0),(1)0.g g g g αβ==-∞==----------------------2'[()]|'()|,,()0,X Y f h y h y y f y αβ⋅<<⎧=⎨⎩其他，,0,0,0y e y y ⎧<=⎨≥⎩ ---------------------3'4．设随机变量X求（1）(),X Y 的分布律；（2）{3}.P X Y += 解 （1）-------------------5'（2）{3}{1,2}{2,1}P X Y P X Y P X Y +====+==0.210.210.42.=+= ---------------------2'第３页 共30页四、应用题（本题8分）某商店将同牌号同瓦数的一、二、三级灯泡混在一起出售，三个级别的灯泡比例为1:2:1，出售灯泡时需试用. 一、二、三级品在试用时被烧毁的概率分别为0.1, 0.2, 0.3. 现有一顾客买一灯泡试用正常，求该灯泡为三级品的概率. 解： 设1A =“一级品”，2A =“二级品”，3A =“三级品”，B =“灯泡正常”，------------------2'123123121(),(),(),444(|)0.9,(|)0.8,(|)0.7,P A P A P A P B A P B A P B A ====== ------------------2' 313112233()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A ∴=++10.940.281.1210.90.80.7444⨯==⨯+⨯+⨯ ----------------4'五、计算题（本题8分）设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布，现对X 进行三次独立观测，试求其中至少有一次“观测值大于3”的概率.解 1,25,()30,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,---------------2'5312{3}33p P X dx =>==⎰ ---------------2'设Y 表示三次独立观测中“观测值大于3”的次数，则2~(3,)3Y b ---------------2'3126{1}1{0}1()327P Y P Y ∴≥=-==-= -----------------2'六、计算题（本题8分）设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0.xe xf x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0＞θ为未知参数，12,,,n X X X 为来自X 的样本，12,,,n x x x 为相应的样本值，（1）求θ的最大似然估计量1ˆθ； （2）试问1ˆθ与21ˆ2X X θ=-是不是θ的无偏估计量？当1n >时，上述两个估计量哪一个较为有效？解 (1) 似然函数112111()(;),,,,0nii x nnin ni i L f x ex x x θθθθ=-==∑==>∏∏ -------2'11ln ()ln nii L n x θθθ==--∑，令21ln ()10()ni i d L n x d θθθθ==-+=∑，解得11ˆni i x x n θ===∑， 所以θ的最大似然估计量为1ˆ.X θ= ----------------2' (2) 1ˆ()(),E E X θθ== 21ˆ()(2)2,E E X X θθθθ=-=-= ∴估计量12ˆˆθθ与都是θ的无偏估计量。
概率论与数理统计模拟试题集(6套,含详细答案)
《概率论与数理统计》试题（1）一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。
正确打“√”，错误打“×”）⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。
淮阴工学院《概率论与数理统计》模拟试卷
《概率论与数理统计》模拟试卷一、填空题1．三只考签由三个学生轮流放回抽取一次,每次取一只,设i A 表示第i 只考签被抽到(1,2,3)i =,则“至少有一只考签没有．．被抽到”这一事件可表示为 . 2．设()0.4P A =,()0.3P B =,()0.6P A B =U ,则()P AB = .3．已知一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次不放回从袋中各取一球,则第二次取到的是黑球的概率为 .4．已知随机变量X 的分布函数为0,0()0.4,011,1x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,则{1}P X == .5．设随机变量~(,25)X N μ,且{5}0.5P X >=,则μ= .6．设随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩其它,则常数A = .7．设随机变量X 服从参数为,n p 的二项分布,且16n =,()4D X =,则p = . 8．设二维随机变量(,)X Y 的分布律为则{}P X Y == .9．设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则2{()}P X E X == .10．设随机变量~(1,1),~(1,1)X N Y N -,且X 与Y 相互独立,则2[()]E X Y -= . 11．已知()1D X =,()9D Y =,0.5XY ρ=,则(321)D X Y -+= .12．设X 和Y 的方差DX 和DY 都存在,且满足()()D X Y D X Y +=-,则X 与Y 的相关系数XY ρ= .13．设1210,,,X X X L 是来自总体(0,1):X N 的简单随机样本,则统计量2221210X X X +++L 服从自由度n = 的2χ分布. 14．设来自总体~(,1)X N μ的容量为16的样本的样本均值 5.11x =,其未知参数μ的置信水平为1α-的置信区间为(4.62,5.60),则α= .15．设正态总体2~(,)X N μσ,其中2,μσ均未知,12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本,记11n i i X X n ==∑,221()ni i Q X X ==-∑,则检验假设01:0,:0H H μμ=≠的t 检验方法使用统计量t = .二、计算题1．设随机变量X 的概率密度函数,01()2,120,x x f x x x <<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 ,求⑴{1}P X ≥;⑵分布函数()F x .2．设随机变量X 的概率密度函数1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他,⑴求XY e =的概率密度函数()Y f y ;⑵求Y 的数学期望()E Y .3．设,X Y 的联合概率密度函数为,01,01(,)0,x y x y f x y +<<<<⎧=⎨⎩其他,⑴求X 和Y 的边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y ;⑵判断X 与Y 的是否独立?4．将两封信随意投入3个邮筒,设X 和Y 分别表示投入第1和2号邮筒中信的数目,⑴求X 和Y 的联合分布律;⑵求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y .5．设总体X 的概率密度函数22,0(;)0,xx f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,其中0θ>为未知参数,n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本.⑴求未知参数θ的矩估计量ˆθ;⑵判断所求的估计量ˆθ是否为θ的无偏估计量. 6．设总体X 的概率密度函数||1(;)()2x f x e x θθθ-=-∞<<+∞,其中0θ>为未知参数,6,3,1,2,4,7,8,9---为来自总体的X 样本值,求θ的极大似然估计值．参考答案一、填空题1．123A A A 2．0.3 3．0.3 4．0.6 5．56．2 7．0.5 8．0.4 9．12e10．6 11．27 12．0 13．10 14．0.05 15X三、计算下列概率问题1．解：⑴1{1}1{1}10.5P X P X xdx ≥=-<=-=⎰⑵当0x <时,()0F x =; 当01x ≤<时,2()2xx F x xdt ==⎰;当12x ≤<时,211()(2)212xx F x xdx x dx x =+-=--⎰⎰; 当2x ≥时,()1F x =;所以2200,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪--≤<⎪⎪≥⎩，. 2．解：⑴()1,01,0,x f x <<⎧=⎨⎩其他 (){}{}XY F y P Y y P e y =≤=≤当0y <时,()0Y F y =; 当0,y ≥时,(){ln }(ln )Y X F y P X y F y =≤=, ()()Y Y f y F y '=,于是1,1()0,Y y eyf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 ⑵1()()1XxE Y E e e dx e ===-⎰3．解：⑴当01x <<时,101()(,)()2X f x f x y dy x y dy x +∞-∞==+=+⎰⎰；1,01()20,X x x f x ⎧+<<⎪∴=⎨⎪⎩其他当01y <<时,11()(,)()2Y f y f x y dx x y dx y +∞-∞==+=+⎰⎰； 1,01()20,Y y y f y ⎧+<<⎪∴=⎨⎪⎩其他 ⑵ (,)()()X Y f x y f x f y ≠∴Q X 与Y 不是相互独立的。
最新2019年概率论与数理统计期末模拟考试200题(含标准答案)
2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．下列事件运算关系正确的是（ A ）。
A. A B BA B +=B. A B BA B +=C. A B BA B +=D. B B -=12．若随机向量（Y X ,）服从二维正态分布，则①Y X ,一定相互独立； ② 若0=XY ρ，则Y X ,一定相互独立；③X 和Y 都服从一维正态分布；④若Y X ,相互独立，则 Cov (X, Y ) =0。
几种说法中正确的是（ B ）。
A. ① ② ③④B. ② ③ ④C. ① ③④D. ① ② ④3．已知连续型随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它 ,0),0(,2)(2a x xx f π求（1）a ； （2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。
解：202(1)axf x dx dx a ππ+∞-∞===⎰⎰222020 ()()0 2 0 ()()()() 1 x xxxx F x f t dt t x x F x f t dt dt x F x f t dt ππππ-∞-∞-∞<==≤<===≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，220, 0(), 01, x xF x x x πππ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩故(3) P （-0.5<X<0.5）=F(0.5)—F(-0.5)=241π4．已知连续型随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=求（1）A ，B ； （2）密度函数f (x)；（3）P (1<X<2 )。
解：(1) lim () 1 2lim ()02A 1/2, 1/ x x F x AB F x A B B πππ→+∞→-∞=+==-===221() ()(1)f x F x x π'==+（）(3) P （0<X<2）=F(2)—F(0)=2arctan 1π5．已知连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它,0),0(,2)(A x x x f求（1）A ；（2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X <1)。
最新版精编2019年概率论与数理统计期末模拟考核题库200题(含标准答案)
2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）：2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则=)(XY E （ A ）。
A. 3B. 6C. 10D. 123．两个独立随机变量Y X ,，则下列不成立的是（ C ）。
A.EXEY EXY = B. EY EX Y X E +=+)( C.DXDY DXY = D.DY DX Y X D +=+)(4．若事件321,,A A A 两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。
A. 321,,A A A 相互独立B.321,,A A A 两两独立C.)()()()(321321A P A P A P A A A P =D.321,,A A A 相互独立5．连续型随机变量X 的密度函数f (x)必满足条件（ C ）。
A. 0() 1B.C. () 1D. lim ()1x f x f x dx f x +∞-∞→+∞≤≤==⎰在定义域内单调不减6．设21,X X 是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)(1x f 和)(2x f ，分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则（ B ）。
A. )()(21x f x f +必为密度函数B. )()(21x F x F ⋅必为分布函数C. )()(21x F x F +必为分布函数D. )()(21x f x f ⋅必为密度函数7．设X ~U(0,2),则Y=2X 在(0,4)内的概率密度=)(y f Y （ ）。
[答案填：y41]解：X ~U(0,2)1,02()20,x f x others⎧≤≤⎪∴=⎨⎪⎩，2(){}{}{()Y F y P Y y P X y P X f x dx=≤=≤=≤≤=，求导出=)(y fY (X X f f =y41 （04y <<）8．设)(x Φ为标准正态分布函数，,,2, 1, 0A,1n i X i =⎩⎨⎧=否则，发生事件且()P A p =，12n X X X ，，，相互独立。
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率论与数理统计 模拟试题
概率论与数理统计 模拟试题一考试类别：闭 考试时量：120 分钟一．填空题(每空2分，共32分)：1．设7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P ,若B A ,互不相容,则=)(B P ; 若B A ,独立,则=)(B P .2．若)4,1(~N X ,则~21-=X Y .3．已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P ,=)|(A B P .4．从(0,1)中随机地取两个数b a ,,则b a -大于0的概率为 .5．若],2,0[~πU X 则12-=X Y 的概率密度函数为=)(y f . 6．随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P . 7．设X 的分布列为5.0)1()1(===-=X P X P ,则X 的分布函数为=)(x F .8．设随机变量X 有分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x A x x F , 则=A ,=<)6|(|πX P.9．一颗均匀骰子被独立重复地掷出10次,若X 表示3点出现的次数,则X ~ . 10．设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则Z 的分布列为 .11．若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c .二．选择题(每题3分，共12分)：1．设B A ,为两事件,且1)(0<<A P ,则下列命题中成立的是 ( )A. B A ,独立)|()|(A B P A B P =⇔B. B A ,独立⇔B A ,互不相容C. B A ,独立⇔Ω=⋃B AD. B A ,独立⇔0)(=AB P2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,20,0)(x x x x x F , 则 ( )A . )(x F 是一个连续型分布函数 B. )(x F 是一个离散型分布函数C. )(x F 不是一个分布函数D. 5.0)1(==X P3．设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( )A. ⎰-=-adxx f a F 0)(1)( B. ⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C. )()(a F a F =-D. 1)(2)(-=-a F a F4．设随机变量}5{},4{).5,(~),4,(~2122+≥=-≤=u Y P p u X P p u N Y u N X ,则( )A . 对任意实数21,p p u = B. 对任意实数21,p p u <C. 只对u 的个别值才有21p p =D. 对任意实数21,p p u >三．某工厂甲、乙、丙三车间生产同一种产品,产量分别占25%,35%,40%,废品率分别为5%,4%和2%.产品混在一起,求总的废品率及抽检到废品时,这只废品是由甲车间生产的概率. (9分)四．箱中装有5个黑球,3个白球,无放回地每次取一球,直至取到黑球为止.若X 表示取球次数,求X 的分布列,并求)31(≤<X P .( 9分) 五．设随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=,010,10,),(2y x cxy y x f , 求: 1)常数c ; 2) )241,210(<<<<Y X P ;3)43(>X P ); 4))(Y X P >. (16分)六．在一盒子里有12张彩票,其中有2张可中奖.今不放回地从中抽取两次,每次取一张,令Y X ,分别表示第一、第二次取到的中奖彩票的张数,求),(Y X 的联合分布列. 七．设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自下列两参数指数分布的样本：()()1121211,120;,x e x x f x θθθθθθθ--≥≤⎧⎪=⎨⎪⎩其中()0,+∞，试求出1θ和2θ的最大似然估计. (16分)概率论与数理统计其它一．填空题1. 0.3 0.52. )1,0(N3. 0.8 0.254. 0.55. ⎩⎨⎧-≤≤-,011,1ππy 6. 0.35 7. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<1,111,5.01,0x x x 8. 1 0.5 9.)1,10(B10. 2/911. 2二．选择题 A C B A三．解: 设1A ={产品由甲厂生产}, 2A ={产品由乙厂生产}, 3A ={产品由丙厂生产},B ={产品是废品},由题意 %40)(%,35)(%,25)(321===A P A P A P ； %5)|(1=A B P , %4)|(2=A B P , %2)|(3=A B P . 2分 由全概率公式,∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.040.004.035.005.025.0)|()()(i i i A B P A P B P ,6分从而由贝叶斯公式,36.00345.005.025.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P . 9分四． 解: 由题意知X 的可能取值为1,2,3,4,其分布列为,5615)2(,85)1(171518131815=⋅=====C C C C X P C C X P 561)4(,565)3(1515383316152823=⋅===⋅==C C C C X P C C C C X P . 7分)3()2())3()2(()31(=+===⋃==≤<∴X P X P X X P X P .1455655615=+=. 9分五．解: 1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f 有6|3122|21110310210210210102cy c dy y c dy x cy dxdy cxy =⋅==⋅==⎰⎰⎰⎰, 6=∴c ; 4分其它2)⎰⎰⎰⎰==<<<<21412141012026),()241,210(dydxxy dydx y x f Y X P=25663)411(2|31630130214121=-=⋅⎰⎰dx x dx y x ; 8分3)dxdy y x f Y X P X P ⎰⎰+∞+∞∞-=+∞<<∞->=>43),(),43()43(1672|3166111103102434343==⋅==⎰⎰⎰⎰dx x dy y x dydx xy ; 12分 4)⎰⎰⎰⎰⎰⋅===>>10031002|3166),()(dxy x dydx xy dxdy y x f Y X P xx yx52214==⎰dx x . 16分六．解: 每次只取一张彩票,要么取到中奖彩票,要么没取到中奖彩票,所以Y X ,的可能取值均为0或1,那么),(Y X 的联合分布列为,2215)0,0(11119112110=⋅===C C C C Y X P 335)1,0(11112112110=⋅===C C C C Y X P ,,335)0,1(11111011212=⋅===C C C C Y X P .661)1,1(1111111212=⋅===C C C C Y X P 6分七.解：似然函数()()1212121,,,;,;,nn i i L x x x f x θθθθ=⋅⋅⋅=∏()[)()12111,21min ni i x i neI x θθθθ=--+∞∑=(4分)要使()1212,,,;,n L x x x θθ⋅⋅⋅最大，必须min i x 1θ≥且()11ni i x θ=-∑应最小.故1θ的最大似然估计值为1θ=min i x . （8分） 而2θ的最大似然估计值是使2121nL eλθθ-=取最大值的点. 此处()11ni i x λθ==-∑. （12分）故2θ=1n λ. 所以2θ的最大似然估计值为min i x x -最大似然估计量为1ˆθ=min iX ， 2ˆθ=min iX X-. （16分）概率论与数理统计 模拟试题二考试类别:闭卷 考试时量:120分钟 试卷类型: A 卷一.填空题(每空2分,共40分)1. 已知6.0)(,8.0)(=-=B A P A P ,则=⋃)(B A P , =)|(A B P.2. 从9,,2,1,0Λ这十个数字中任选三个不相同的数字,1A ={三个数字中不含0和5},2A ={三个数字中含有0和5},则=)(1A P ,=)(2A P .3. 设X ~)1(P ,Y ~)2(P ,且X 与Y 独立,则==+)2(Y X P .4. 若X ~)1,0(N ,Y ~)8,2(N ,X 与Y 独立,则32-+Y X ~ .5．设X 与Y 独立,2,1==DY DX ,则=-)32(Y X D .6．已知,4.0,36,25,===Y X DY DX ρ则=),(Y X Cov , =+)(Y X D.7. 设X 的分布函数=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤1,111,5.01,0x x x ，则X 的分布列为 .8. 随机变量),2(~2σN X ,若3.0)40(=<<X P ,则=<)0(X P .9. 设),(Y X 的联合分布列为则=a ,Y 的分布列为 ;若令2)2(-=X Z ,则 =EZ .10. 若)9,2(~N X ,且)()(c X P c X P >=≤,则=c . 11. 设随机变量X 的期望,1=EX 方差2=DX ,由车贝晓夫不等式知><-)3|1(|X P .12. 设Y X ,独立同分布,有共同的概率密度函数)(x f ,则=<)(Y X P .13. 设ΛΛ,,,1n X X 独立同分布,且11=EX ,则−→−∑=Pn i i X n 11 .14. 设74)0()0(,73)0,0(=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ,则=≥)0),(max(Y X P .15. 设ΛΛ,,,1n X X 独立同分布, ]2,0[~1U X ,则=≤∑=∞→)11(lim 1ni i n X n P .二. 单选题(在本题的每一小题的备选答案中,请把你认为正确答案的题号,填入题干的括号内,多选不给分.每题3分,共15分)1. 设随机变量X 的概率密度函数为)(x f ,且)()(x f x f =-,)(x F 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( )①. ⎰-=-adxx f a F 0)(1)( ②. ⎰-=-a dx x f a F 0)(21)(③. )()(a F a F =- ④. 1)(2)(-=-a F a F2. 设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,则 ( ) ①. A,B 互不相容 ②. A,B 相互独立 ③. B ⊂A ④. P(A-B)=0.13. 如果随机变量Y X ,满足)()(Y X D Y X D -=+,则必有 ( )①. X 与Y 独立 ②. X 与Y 不相关 ③. 0)(=Y D ④. 0)(=X D4. 4次独立重复实验中,事件A 至少出现一次的概率为80/81,则 ( ) ①. 21②. 31 ③. 32 ④. 415. 设随机变量X 服从指数分布)3(E ,则=),(DX EX ( )①. (31,31) ②. )3,3( ③. )91,31( ④. )9,3(三. 计算题(共45分)1. 一仓库有10箱同种规格的产品,其中由甲,乙,丙三厂生产的分别为5箱,3箱,2箱,三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得正品的概率?若确实取得正品,求正品由甲厂生产的概率.(8分)2. 设随机向量),(Y X 的联合密度函数为:⎩⎨⎧≤≤≤≤+=,020,10,),(2y x bxy x y x f求①常数b; ②)1(≥+Y X P ; ③)21|1(<>X Y P ; ④讨论Y X ,的独立性. (12分)3. 袋中有5个红球,3个白球,无放回地每次取一球,直到取出红球为止,以X 表示取球的次数,求①X 的分布列,②))31(≤<X P ,③EX . (9分)4. 某教室有50个座位,某班有50位学生,学号分别为1到50.该班同学上课时随机地选择座其它位,X 表示该班同学中所选座位与其学号相同的数目,求X 的期望EX .(8分)５．设12,,,n X X X L 为总体X 的一个样本，X 的密度函数:(1),01()0,x x f x ββ⎧+<<=⎨⎩其他， 0β>, 求参数β的矩估计量和极大似然估计量。
最新概率论与数理统计模拟试题及解答
模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题2分,共16分）1、设B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解 若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.2、设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为3p ,故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ,所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π,则=Y （ ）)1,0(~N(A)23+X (B)23+X (C)23-X (D)23-X 解 X 的数学期望3-=EX ,方差2=DX ,令23+=X Y ,则其服从标准正态分布.故本题应选A.5、若随机变量Y X ,不相关,则下列等式中不成立的是（ ） (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)((C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解 因为0=ρ,故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ,DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(, 但无论如何,都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ） (A) )1,0(~N X(B) )1,0(~N X n(C) )(~212n X ni i χ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~nN X ,),0(~n N X n ,)1(~-⋅n t S X n ,只有C 选项成立.本题应选C. 7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ,则下列估计量中,（ ）不是总体期望μ的无偏估计量(A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解 由无偏估计量的定义计算可知,∑=ni iX1不是无偏估计量,本题应选A.8、在假设检验中,记0H 为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立,经检验接受0H (B) 0H 成立,经检验拒绝0H (C) 0H 不成立,经检验接受0H (D) 0H 不成立,经检验拒绝0H解 弃真错误为第一类错误,本题应选B.二.填空题（每空2分,共14分）1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布,且31,3==DX EX ,则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ,则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a , 4=b , 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布, Y 服从参数为4的指数分布,则=+)32(2Y X E ________. 解 473])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有≤≥+}6||{Y X P ________.解 根据切比雪夫不等式,12136),cov(26)(}6||{2=++=+≤≥+Y X DY DX Y X D Y X P . 5、假设随机变量X 服从分布)(n t ,则21X 服从分布________（并写出其参数）.解 设)(~n t nZY X =,其中)1,0(~N Y ,)(~2n Z χ,且)1(~22χY ,从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本,对总体方差DX 进行估计时,常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11. 三.(本题６分)设1.0)(=A P ,9.0)|(=A B P ,2.0)|(=A B P ,求)|(B A P . 解 由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率,(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.解 设21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以Y X ,记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；(4) )(XY E .解 （1） YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613 121 61（2）41)1(==X P ,21)2(==X P ,41)3(==X P .41)1(==Y P ,21)2(==Y P ,41)3(==Y P .（3）因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ,故Y X ,不独立. （4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ,试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ,从而41=A ; (2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )(}21{x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时,0)(=y F Y ;当0>y 时,)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=,所以,两边关于y 求导可得,.e 4121e 4121e 41)(yyyY y yy yy y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,e 41,0,0)(y y y y f yY七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解 设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i ),X 表示购买该种商品的人数,则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DX EX X P n X P997.0)240600(=-Φ≈n .查正态分布表得75.2240600=-n ,解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R .(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X 为总体,即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ,其中有m 个白球,求比数R 的最大似然估计值.解（1） X 1 0PR R +1 R+11即R R R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=,两边取对数,)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=,两边再关于R 求导,并令其为0,得011=+-∑R nx i , 从而∑∑-=ii x n x R ˆ,又由样本值知,m n x i -=∑,故估计值为1ˆ-=m n R. 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:Ω）:A 批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；B 批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141. 已知元件电阻服从正态分布,设05.0=α,问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ,15.7)5,5(025.0=F ）解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H .检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时）,由05.0=α,查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α,15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ,由于2/2/1ααF F F <<-,故不能拒绝10H ,即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H . 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n sn s n n n YX T )10(~t （在0H 成立时）,查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得005.2120000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ,因为2/||αt T <,故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题（二）参考答案一.单项选择题（每小题2分,共16分）1.设C , ,B A 表示3个事件,则C B A 表示（ ）. (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（ ）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ,187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,则（ ）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +,)2,1(~--N Y X ,故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量,且6.0,1,4===XY DY DX ρ,则=-)23(Y X D （ ） (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ,6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则2X 的数学期望是（ ）(A) λ(B)λ1 (C) 2λ (D) λλ+2 解 222)(λλ+=+=EX DX EX ,本题应选D.6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本,X 为样本方差,记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）(A) 1/1--=n S X t μ(B) 1/2--=n S X t μ(C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ,)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ,再由t 分布的定义知,本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在,且均为未知参数,而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本,X 为样本方差,则总体方差2σ的矩估计量是（ ）(A) X (B) ∑=-n i i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 本题应选D.8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.二.填空题（每空2分,共14分）1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也是不合格品的概率为________.解 设A 表示两件中有一件不合格品,B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A PB P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布,则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布,其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且6.0}40{=<<X P ,则}0{<X P =________.解 2=μ,即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0－1分布,其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0,1,0,1,1,0,1,1,则样本均值是________,样本方差是________.解 由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布,现从X 中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知27101=∑=i ix,那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==Xλ.6.设总体) ,(~2σμN X ,且2σ未知,用样本检验假设00μμ=：H 时,采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.（本题8分）设有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342; (2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.（本题6分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f , 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π地次数,求2Y 的数学期望. 解 21d 2cos 21)3(3==>⎰πππx x X P ,)21,4(~B Y ,从而 5)(22=+=EY DY EY .五.（本题12分） 设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P ,所以Y X ，不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ;(3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ,92971)2|2(=-===Y X P .六.（本题12分）设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.（本题6分）一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05,规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格,试求产品合格的概率.解 设i X 表示第i 部分的长度,10,,2,1 =i ,X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ,0025.0=i DX ,且∑==101i i X X ,20=EX ,025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.（本题7分）设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数,求θ的极大似然估计.解 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,当0,,,21>n x x x 时,似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ,两边取对数,∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ,关于θ求导,并令其为0,得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ,从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.（本题14分）从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:东支:230.01=x ,1337.021=n s , )9(1=n 西支:269.02=x ,1736.022=n s , )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ,90.4)8 ,7(025.0=F ,) 1315.2)15(0025.0=t解 本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,接受0H ,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题5分） 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本,证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x , 故X 34是θ的无偏估计量.模拟试题（三）参考答案一.填空题（每小题2分,共14分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8180,则该射手的命中率为 .解 设A 表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ,解得31)(=A P ,从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ,B 独立,且p A P =)(,q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布,已知==)1(X P )2(=X P ,则λ= .解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ,从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 解 Z 的可能取值为0,1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P .43411)1(=-==Z P .5.设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY ρ,则),(Y X Cov = .解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在,总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ,则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ,μ未知,检验2020σσ=H ：,应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题（每小题2分,共16分）1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为（ ）(A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解 本题应选C.2.若事件B A ,相互独立,则下列正确的是（ ） (A) =)|(A B P )|(B A P (B) =)|(A B P )(A P (C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解 由独立性的定义知,==)()|(A P B A P )(1A P -,故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布,且6.1=EX ,28.1=DX ,则n ,p 的值为（ ） (A) n =8,p =2.0 (B) n =4,p =4.0 (C) n =5,p =32.0(D) n =6,p =3.0解 由6.1=np ,28.1)1(=-p np ,解得n =8,p =2.0,本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ,其概率密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,则有（ ） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -,),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F , ),(∞+-∞∈x解 2=EX ,故其密度函数关于2=x 对称,故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解 由)(Y X D +)(Y X D -=,可得0),cov(=Y X ,从而可知X 与Y 不相关,故本题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本,X 为样本均值,令=Y 212)(σ∑=-ni iX X,则~Y （ ）(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解 本题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本,可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（ ）(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解 由无偏估计的定义及期望的性质知,2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ,故A 选择正确,同理验算其他选项,B,C,D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ,若进行假设检验,当（ ）时,一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知,检验2σ=20σ (B) μ已知,检验2σ=20σ (C) 2σ未知,检验 μ=0μ(D) 2σ已知,检验μ=0μ解 本题应选C. 三.（本题8分）有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的5.1倍,甲车床的废品率为%2,乙车床的废品率为%1,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解 设21,A A 分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.（本题8分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,问一周内期望利润是多少？解 设X 表示一周中所获的利润,其分布律为:X 0 5 10 P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.（本题12分）1.设随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 0 61 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ,Y 的边际分布；(2) 判断X ,Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xy d e d )1(121211e2e 1---+.六.（本题8分）设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x 求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P .解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ,)0(0)e(lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++,从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解 令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ,从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.（本题１０分）设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为15分,问在显著水平05.0下,是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解 假设0H :70=μ,选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t , (0H 为真时)在05.0=α下,查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t . 另一方面,计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ,从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.（本题１２分）两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元,样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）解 此题要求检验21μμ=,由于t 检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,拒绝0H ,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题４分）设总体X 服从参数为λ的泊松分布,λ为未知参数,⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)(证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===)()()]([x x X P x T X T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ,所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题（四）参考答案一.填空题(每小题2分,共20分)1.设)(A P =0.4,)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布,即)1.0,5(~B X ,则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为6437,则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .解 由784.0)(=≥a X P 知,10<<α.故，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论,有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解 令t x =-2,则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π,这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中,n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值,则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ,Y 是二维随机向量,DX ,DY 都不为零,若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ,这时X 与Y 是 关系.解 完全相关.8.若),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2,S X 分别为样本均值和方差,则SnX )(μ-服从 分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ,),(~222σμN Y ,X 与Y 相互独立.从X ,Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本,样本均值分别为Y X ,,则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为____________. 解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分,共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在,由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( )(A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解 本题应选C.2.B A ,为随机随机事件,且A B ⊂,则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解 本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ,则( ).(A) 5.0,1-==B A(B) 1,5.0=-=B A(C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A 解 令1d )(10=+⎰x B Ax ,127d )(1=+⎰x x B Ax ,解得5.0,1==B A ,故本题应选D. 4.若随机变量X 与Y 不相关,则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E(D) 1)(=+=b aX Y P 解 本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ,且αα=>)},({21n n F F P ,则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:=1A {掷第一次出现正面},=2A {掷第二次出现正面},=3A {正、反面各出现一次},=4A {正面出现两次},则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,41)(4=A P ,再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立,本题应选C.三.计算题(每小题８分,共48分)1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式, 0.09;(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ,以X 表示三个零件中合格品的个数,求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX , (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ,故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ,2σ为未知参数,n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值,求2σ的最大似然估计.解 似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x nx nL ,两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ,关于2σ求导,并令其为零,得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n , 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x求: (1) X 与Y 之间是否相互独立,判断X 与Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P .3解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y yf y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =,故X 与Y 相互独立,因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.5.某人乘车或步行上班,他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次,以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P sx. 故)e ,5(~2-B Y .52)e 1(1)1(---=≥Y P .6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f)(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时,0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时,))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时,1)()(=≤=y Y P y F Y .故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度,⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i ),则 ∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数,且80=EX ,64=DX ,故由中心极限定理知,)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P 9876.01)820(2=-Φ=.2.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算: 5.160)(,5.28712=-=∑=ni i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ：，：H H .采用统计量 2221S n σχ-=,在0H 成立时,)9(~22χχ.由1.0=α,查得临界值 325.3)9(295.022/1==-χχα, 919.16)9(205.022/==χχα, 由样本值算得03.10165.1602≈=χ,由于22/222/1ααχχχ<<-,所以不拒绝0H ,即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足:)()(x f x f -=,)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ,有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(. 证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-a ax x f x x f x x f a F 00d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21 (令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。
概率论与数理统计模拟试题5套带答案
06—07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题（每题3分，共15分）1. 设A,B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________. 2。
已知),2(~2σN X,且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________。
3。
设X 与Y 相互独立,且2)(=X E ,()3E Y =，()()1D X D Y ==，则=-])[(2Y X E ___4。
设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从__________分布。
5。
设),3(~),,2(~p B Y p B X,且95}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P __________。
二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】(A) 11a a b -+-；(B) (1)()(1)a a ab a b -++-；（C ） a a b +；(D)2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2. 设随机变量X 的概率密度为()130, 其他c x p x <<⎧=⎨⎩则方差D(X)= 【 】（A ） 2; (B)12; （C) 3; （D ）13。
3． 设A 、B 为两个互不相容的随机事件，且()0>B P ，则下列选项必然正确的是【 】()A ()()B P A P -=1；()B ()0=B A P ；()C ()1=B A P ；()D ()0=AB P ．4。
设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X 的取值范围是【 】 ()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；()B []π,0; ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ； ()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ． 5。
设()2,~σμN X ,b aX Y -=，其中a 、b 为常数,且0≠a ，则~Y 【 】()A ()222,b a b a N +-σμ; ()B ()222,b a b a N -+σμ；()C ()22,σμa b a N +； ()D ()22,σμa b a N -．三、（本题满分8分) 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0。
精编2020概率论与数理统计期末模拟考核题库288题(含答案)
2020年概率论与数理统计期末测试复习题288题[含答案]一、选择题1．连续型随机变量X 的密度函数f (x)必满足条件（ C ）。
A. 0() 1B.C. () 1D. lim ()1x f x f x dx f x +∞-∞→+∞≤≤==⎰在定义域内单调不减2．已知某味精厂袋装味精的重量X ～2(,)N μσ，其中μ=15，20.09σ=，技术革新后，改用新机器包装。
抽查9个样品，测定重量为（单位：克）3．已知连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它,0),0(,2)(A x x x f求（1）A ；（2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X <1)。
）解：20(1) ()2 11 Af x dx xdx A A +∞-∞====⎰⎰2020 ()()0 01 ()()21 ()() 1 xxxxx F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞-∞<==≤<===≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，20, 0 (), 0 11, 1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩故(3) P （-0.5<X<1）=F(1)—F(-0.5)=14．设)(x Φ为标准正态分布函数，100,,2, 1, 0A,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且()0.4P A =，10021X X X ，，， 相互独立。
令∑==1001i iX Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。
A. )(y ΦB.Φ C.(40)y Φ- D.40()24y -Φ5．已知随机向量（X,Y ）的协差矩阵V 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=9664V 计算随机向量（X ＋Y , X －Y ）的协差矩阵（课本116页26题） 解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6 D(X ＋Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25 D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1 COV （X ＋Y, X －Y ）=DX-DY=-5故（X ＋Y, X －Y ）的协差矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--155256．设随机事件A.B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(，则)(B A P ＝（ C ）。
概率论与数理统计模拟试题参考答案
概率论与数理统计模拟试题参考答案概率论与数理统计模拟试题参考答案LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020练习题一一、填空题。
1、已知P(A)=，P(A+B)=，则当 A 、B 互不相容时，P(B)=___________，而当A 、B 相互独立时，P(B)=__________。
2、已知X ～),(p n B ,且8EX =, 4.8DX =, 则n =__________，X 的最可能值为__________。
3、若)(~λP X ，则=EX ，=DX 。
4、二维离散型随机变量),(ηξ的分布律为：则η的边缘分布_____________，ξ，η是否独立_ ____________（填独立或不独立）。
5、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，则样本均值11()n X X X n=++服从__________。
6、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为, , , 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，则这件产品为次品的概率为。
7、设连续型随机变量ξ的概率密度为1 -1 0()1 010 x x x x x ?+≤<??=-≤≤其它，则E ξ=__________。
二、判断题。
1、服从二元正态分布的随机变量),(ηξ，它们独立的充要条件是ξ与η的相关系数0ρ=。
（）2、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，S 是样本方差，则222(1)~()n S n χσ-。
（）3、随机变量Y X ,相互独立必推出Y X ,不相关。
（）4、已知θ是θ的无偏估计，则2θ一定是2θ的无偏估计。
（）5、在5把钥匙中，有2把能打开门，现逐把试开，则第3把能打开门的概率为。
（）三、选择题。
1、某元件寿命ξ服从参数为λ（11000λ-=小时）的指数分布。
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
概率论与数理统计<概率论>试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。
试用 A 、B 、C 分别表示事件1）A 、B 、C 至少有一个发生2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。
则P(B )A ＝3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kP X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。
精选2019年概率论与数理统计期末模拟考试200题(含答案)
2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含答案]一、选择题1．从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）：2．随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差2σ的置信度为0.95的置信区间。
22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：；因为炮口速度服从正态分布，所以222(1)~(1)n S W n χσ-=-220.0250.975{(8)(8)}0.95P W χχ≤≤=2σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 2σ的置信度0.95的置信区间为 8989,17.535 2.180⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭ 即()4.106,33.0283．设)(x Φ为标准正态分布函数，,,2, 1, 0A,1n i X i =⎩⎨⎧=否则，发生事件且()P A p =，12n X X X ，，，相互独立。
令1nii Y X ==∑，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。
A. )(y ΦB.Φ C.()y np Φ- D.()(1)y np np p -Φ-4．设随机变量X 的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。
[答案：当x ＜1时，F(x)=0; 当1≤x ＜2时，F(x)=0.2;当2≤x ＜3时，F(x)=0.5;当3≤x 时，F(x)=15．对任意两个事件A 和B ， 若0)(=AB P ， 则（ D ）。
A. φ=ABB. φ=B AC. 0)()(=B P A PD. )()(A P B A P =-6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令32+-=X Y ，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ A ）。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷44(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷44(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是A．X2．B．X—Y．C．X＋Y．D．(X，Y)·正确答案：D解析：从第二章题型训练三、7(Ⅳ)的Y4＝X2知，X2不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X＋Y与X—Y都不服从均匀分布；由X，Y的独立性知，(X，Y)的联合密度f(x，y)＝，0＜x＜1，0＜y＜1因此(X，Y)服从区域D＝{(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜1}上二维均匀分布，应选(D)．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为FX (x)与FY (y)，则Z ＝max{X，Y}的分布函数FZ(z)是A．max{FX(z)，Fy(z)}．B．FX(z)＋FY(z)一FX(z)FY(z)·C．FX(z)·FY(z)．D．[Fx(z)＋FY(z)]·正确答案：C解析：FZ(z)＝P{max(X，Y)≤z}＝P{X≤z，Y≤z}＝P{X≤z}·P{Y≤z} ＝FX(z)·FY(z)，应选(C)．知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X1与X2相互独立，其分布函数分别为, 则X1＋X2的分布函数F(x)＝A．B．C．D．正确答案：D解析：由题意知X1为离散型随机变量，其分布律为F(x)＝P{X1＋X2≤x}＝P{X1＝0}P{X1＋X2≤x｜X1＝0｝＋P{X1＝1}P｛X1＋X2≤X｜X1＝1｝＝P ｛X2≤x｜＋P｜X2≤x－1｜＝F2(x)＋F2(x－1)｝故选(D)．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X和Y，都服从正态分布，则A．X＋Y一定服从正态分布．B．X和Y不相关与独立等价．C．(X，Y)一定服从正态分布．D．(X，一Y)未必服从正态分布．正确答案：D解析：(A)不成立，例如，若Y＝一X，则X＋Y≡0不服从正态分布．(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．(B)也不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不相关”二者等价．故应选(D)．虽然随机变量X和一Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一Y)未必服从正态分布．知识模块：概率论与数理统计5．已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的分布：P{Xi＝一1}＝P{Xi ＝1}＝(i＝1，2)，则A．X1与X1X2独立且有相同的分布．B．xX1与X1X2独立且有不同的分布．C．X1与X1X2不独立且有相同的分布．D．X1与X1X2不独立且有不同的分布．正确答案：A解析：由题设知X1X2可取一1，1，且P{X1X2＝一1} ＝P{X1＝一1，X2＝1}＋P{X1＝1，X2＝一1}＝P{X1＝一1}P{X2＝1}＋P{X1＝1}P{X2＝一1}又P{X1＝一1，X1X2＝一1}＝P{X1＝一1，X2＝1}＝，所以X1与X1X2的概率分布为从而X1与X1X2有相同的分布且相互独立，故应选(A)．知识模块：概率论与数理统计6．已知随机变量(X，Y)在区域D＝{(x，y)｜一1<x<1，一1<y<1}上服从均匀分布，则A．P{x＋y≥0}＝．B．P{x一y≥0}＝．C．P{max(x，y)≥0}＝．D．P{min(X，Y)≥0}＝．正确答案：D解析：由题设知(X，Y)的概率密度凼数为由于P｛min(X，Y)≥0｝＝P｛X ≥0，Y≥0｝＝f(x，y)dxdy故选(D).因P{max(X，Y)≥0}＝1一P{max(X，Y)＜0}＝1一P{X＜0，Y＜0}所以选项(A)、(B)、(C)都不正确．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X和Y的联合概率分布服从G＝{(x，y)｜x2＋y2≤r2}上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是A．随机变量X．B．随机变量X＋Y．C．随机变量Y．D．Y关于X＝1的条件分布．正确答案：D解析：直选法．由条件概率密度的定义知，对任意X，只要fX(x)＞0，则Y 关于X＝戈的条件概率密度为因此，Y关于X＝1的条件分布服从区间(r>1)上的均匀分布，故选(D)．知识模块：概率论与数理统计填空题8．设随机变量X与Y相互独立同分布，且都服从p＝的0一1分布，则随机变量Z＝max{X，Y}的分布律为______．正确答案：解析：显然Z也是离散型随机变量，只取0，1两个值，且P{Z＝0}＝P｛max(X，Y)＝0 ｝＝P{X＝0，Y＝0 ｝＝P{X＝0｝P｛Y＝0｝＝，P｛Z＝1｝＝1一P｛Z ＝0｝＝．于是Z的分布律为知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量x与y相互独立，且P｛X＝k｝＝，P｛Y＝－k)＝＝l，2，3)，则a＝______，b＝______，Z＝X＋Y的分布律为______．正确答案：解析：X，Y的分布律分别为．Z＝X＋Y的可能取值为一2，一1，0，1，2．由于P{Z＝一2}＝P{X＋Y＝一2}＝P{X＝1，Y＝一3}＝P{X＝1}P{Y＝一3}类似地．P{Z＝一1}＝P{X＋Y＝一1}＝P{X＝1，Y＝一2}＋P{X＝2，Y＝一3}P{Z ＝0}＝P{X＋Y＝0}＝P{X＝1，Y＝一1}＋P{X＝2，Y＝一2}＋P{X＝3，Y＝一3}P{Z＝1}＝P{X＝2}P{Y＝一1}＋P｛X＝3｝P{Y＝一2}P ｛Z＝2}＝P｛X＝3｝P ｛y＝一1}＝，于是Z的分布律为知识模块：概率论与数理统计10．从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P｛Y＝2｝＝______.正确答案：解析：根据乘法公式P{X＝i，Y＝j}＝P｛X＝i｝P｛Y＝j｜x＝i｝，i，j＝1，2，3，4，容易写出(X，Y)的联合概率分布为知识模块：概率论与数理统计11．设随机变量X和Y的联合分布函数为则随机变量X的分布函数F(x)为______．正确答案：解析：分布函数F(x)是F(x，y)的边缘分布函数：F(x)＝F(x，＋∞)＝F(x，1)，因此知识模块：概率论与数理统计12．设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X解析：由P＝0可知，X与Y独立，从而有X—Y～N(0，2σ2)，根据对称性，有P｛X－Y＜0｝＝．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。