2023年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
2023年全国中学生数学竞赛试题及答案
2023年全国中学生数学竞赛试题及答案试题一
请计算下列数列的前100项之和：
1，2，3，4，5，......
答案一
根据等差数列的性质，该数列的通项公式为：a_n = n
前100项之和可以通过求和公式进行计算：
S = (n/2)(a_1 + a_n)
= (100/2)(1 + 100)
= 5050
所以，前100项之和为5050。
试题二
已知正整数n满足 n^2 + 20n + 36 是一个完全平方数，求n的取值范围。
答案二
我们将 n^2 + 20n + 36 表示为 (n + 10)^2，即：
n^2 + 20n + 36 = (n + 10)^2
展开得：
n^2 + 20n + 36 = n^2 + 20n + 100
化简可得：
36 = 100
上述方程无解，因此没有一个正整数n满足 n^2 + 20n + 36 是一个完全平方数。
试题三
已知等比数列的首项为a，公比为r，若前 n 项之和为 S，求 a 和 r。
答案三
已知等比数列前 n 项之和公式为：
S_n = a(1 - r^n) / (1 - r)
根据已知条件可以得出：
S_n = a(1 - r^n) / (1 - r)
假设公比r ≠ 1，为了使 S 有确定值，即S ≠ a / (1 - r)，则必须满足r^n ≠ 1。
因此，根据条件可以得出r ≠ 1。
而 a，则没有特定的取值范围，可以是任意实数。
所以，a 和 r 的取值条件为：
r ≠ 1
a ∈ R (实数集)。
2023年全国初中数学竞赛试题
2023年全国初中数学竞赛试题一、选择题:1.已知实数a ≠b, 且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2 。
则b +a 旳值为（ ） A.23; B.-23; C-2; D-132、若直角三角形旳两条直角边长为a 、b, 斜边长为c, 斜边上旳高为h, 则有（ ） A.ab=h ; B. + = ; C. + = ; D.a2 +b2=2h23、一条抛物线y=ax2+bx+c 旳顶点为（4, -11）, 且与x 轴旳两个交点旳横坐标为一正一负, 则a 、b 、c 中为正数旳（ ）A.只有a;B.只有b;C.只有c;D.只有a 和b 4.如图所示, 在△ABC 中, DE ∥AB ∥FG, 且FG 到DE 、AB 旳距离之比为1: 2。
若△ABC 旳面积为32, △CDE 旳面 积为2, 则△CFG 旳面积S=（ ） A.6; B.8; C.10; D.125、假如x 和y 是非零实数, 使得∣x ∣+y=3和∣x ∣y+x3=0, 那么x+y 等于（ ） A.3; B 、 ; C 、 ; D 、4- 二、填空题:6.如图所示, 在△ABC 中, AB=AC, AD=AE, ∠BAD=600, 则∠EDC=_____________（度）。
7、据有关资料记录, 两个都市之间每天旳 通话次数T 与这两个都市旳人口数m 、n （单位: 万人）以及两个都市间旳距离d （单位: km ）有T= 旳关系（k为常数）。
现测得A.B.C 三个都市旳人口及它们之间旳距离如图所示, 且已知A.B 两个都市间每天旳 通话次数为t, 那么B.C 两个都市间每天旳 次数为 次（用t 表达）。
8、已知实数a 、b 、x 、y 满足a+b=x+y=2 , ax+by=5 , 则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)= 。
9、如图所示, 在梯形ABCD 中, AD ∥BC （BC ＞AD ）, ∠D=900, BC=CD=12, ∠ABE=45, 若AE=10, 则CE 旳长度为 。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案讲明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题〔此题总分值42分，每题7分〕此题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个〔不论是否写在括号内〕，一律得0分.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，那么代数式2211a b +的值为 〔 〕 )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，因此,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 应选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，假设6AB =，5BC =，3EF =，那么线段BE 的长为 〔 〕 )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，因此△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，因此4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 应选D . 3．从分不写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，那么所组成的数是3的倍数的概率是 〔 〕)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 因此所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 应选C .4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分不是这两个角的外角平分线，且点,M N 分不在直线AC 和直线AB 上，那么 〔 〕)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒，∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.应选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分不降价10％或20％，假设干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，那么r 的最小值为 〔 〕)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解 容易明白，4天之后就能够显现5种商品的价格互不相同的情形.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定能够表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分不为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数. 因此r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 应选B . 6． 实数,x y满足(2008x y =，那么223233x y x y -+-2007-的值为〔 〕 )(A 2008-. )(B 2018. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵22(2008)(2008)2008x x y y ----=， ∴2222008200820082008x x y y y y --==+---， 2222008200820082008y y x x x x --==+---，由以上两式可得x y =. 因此22(2008)2008x x --=，解得22008x =，因此22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.应选D .二、填空题〔此题总分值28分，每题7分〕1．设512a -=，那么5432322a a a a a a a+---+=-2-. 解 ∵225135()122a a --===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----. 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，135MAN ∠=︒，那么四边形AMCN 的面积为52解 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，那么AO BD ⊥，22AO OB ==, 2222232(5)()22MO AM AO =-=-=, ∴2MB MO OB =-=. 又135ABM NDA ∠=∠=︒， 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，因此△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 依照对称性可知，四边形AMCN 的面积115222(22222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=△. 3．二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分不为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分不为p ，q ，那么p q +=12解 依照题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，因此m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判不式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 因此14p =，14q =-，因此12p q +=. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2018个位置的数字是 1 .解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；现在还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.因此，排在第2018个位置的数字恰好应该是2的个位数字，即为1.第二试 〔A 〕一．〔此题总分值20分〕 221a b +=，关于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ 〔1〕恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解 整理不等式〔1〕并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ 〔2〕在不等式〔2〕中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象〔抛物线〕的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式〔2〕关于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，因此它的判不式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 〔3〕 消去b ，得42161610a a -+=，因此2a =2a =又因为0a ≥，因此a =a =， 因此方程组〔3〕的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此ab 的最小值为14，现在,a b 的值有两组，分不为a b ==a b ==二．〔此题总分值25分〕 如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.〔1〕证明：点O 在圆D 的圆周上.〔2〕设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解 〔1〕连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，因此△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，因此9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.〔2〕设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，那么222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，因此△BDO ∽△ABC ，因此BD BO AB AC=，即2r a l y =，故2al r y =. 因此22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即22S r ≥，其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.因此圆D 的的半径r 的最小值为22S . 三．〔此题总分值25分〕设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ 〔1〕求a ，b 的值.解 〔1〕式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，那么 509650943511m a n a b --== 〔2〕 故351160n m a -+=，又2n m =，因此2351160m m a -+= 〔3〕由〔1〕式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，因此2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程〔3〕有整数根，因此它的判不式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=〔t 为自然数〕，那么2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，因此只可能有以下几种情形：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.现在方程〔3〕的解为3m =或5023m =〔舍去〕. 把251a =，3m =代入〔2〕式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 〔B 〕一．〔此题总分值20分〕221a b +=，关于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ，不等式 220ay xy bx -+≥ 〔1〕恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在〔1〕式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入〔1〕式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ 〔2〕易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象〔抛物线〕的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式〔2〕关于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，因此它的判不式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 〔3〕 消去b ，得42161610a a -+=，因此224a -=或224a +=，又因为0a ≥，因此4a =或4a =. 因此方程组〔3〕的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此满足条件的,a b 的值有两组，分不为a b ==a b == 二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第三题相同.第二试 〔C 〕一．〔此题总分值20分〕题目和解答与〔B 〕卷第一题相同.二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕设a 为质数，,b c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解 〔1〕式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=， 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，那么 5096509423511m a n a b c ---== 〔3〕 故351160n m a -+=，又2n m =，因此 2351160m m a -+= 〔4〕由〔1〕式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，因此22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程〔4〕有整数根，因此它的判不式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=〔t 为自然数〕，那么2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，因此只可能有以下几种情形：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，现在方程〔4〕的解为3m =或5023m =〔舍去〕. 把251a =，3m =代入〔3〕式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入〔2〕式得(27)2b b --=，因此5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛题目
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛题目1. 题目一设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且满足$f(a)=-1$，$f(b)=3$。
证明：对于任意实数$k$，在区间$[a,b]$上至少存在一点$c$，使得$f(c)-f(a)=k(c-a)$。
2. 题目二已知正整数$n>1$，且$n$与$n+1$互质。
定义数列$\{a_k\}$满足$a_1=n$，$a_2=n+1$，且对于$k\geq 1$有\[a_{k+2}=\frac{a_{k+1}+a_k}{\text{gcd}(a_{k+1},a_k)}.\]证明：数列$\{a_k\}$中不存在连续的三个不等于1的整数。
3. 题目三平面上有$2023$个点，任意三点不共线。
现将这些点两两连接，得到若干条线段。
试证明：存在至少$10$条线段，它们共点于同一点上。
4. 题目四设$a,b$为正整数，且满足$(a+1)^{b+1}-(a-1)^{b+1}=2023$。
求$(a,b)$的所有可能的整数解。
5. 题目五将正整数$n$表示为两个不同素数的乘积，即$n=pq$，其中$p$和$q$均为素数，且$p < q$。
设$S=(p+1)^2+q^2$。
求满足条件的$n$的所有可能取值，并给出满足条件的所有$n$对应的$S$的最大值。
6. 题目六已知三角形$ABC$的三个内角$A,B,C$满足$\cos A+\cos B+\cos C = 2$。
证明：三角形$ABC$为等边三角形。
7. 题目七设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且满足$f(0)=0$，$f(1)=1$。
证明：对于任意$\epsilon > 0$，存在有理数$m/n$，其中$m$为自然数，$n$为正整数，且$\left| \frac{m}{n} - f\left(\frac{m}{n}\right) \right| < \epsilon$。
8. 题目八已知正整数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=2023$。
2023年全国初中数学知识竞赛试题及答案
2023年全国初中数学知识竞赛试题及答案（精华版）一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）1．若4x －3y －6z =0，x +2y －7z =0(xyz ≠0)，则222222103225z y x z y x ---+的值等于( ).(A) 21- (B) 219- (C) 15- (D) 13-2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g 时付邮费0.80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0.80元（信的质量在100g 以内）。
如果所寄一封信的质量为72.5g ，那么应付邮费 ( ).(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 3．如下图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =（ ）.(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°OCDAABCFG4．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如上图），则x 可取值的个数为（ ）.(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个 5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知31+=x ，那么=---++2141212x x x .7．若实数x ，y ，z 满足41=+yx ，11=+zy ，371=+xz ，则xyz 的值为 .8．观察下列图形：① ② ③ ④根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45º，∠A =60º CD =4m ，BC =()2264-m ，则电线杆AB 的长为_______m.10．已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 是正整数）的图象经 过点A （－1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为 .三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）ADBC（第9题图）11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.解：PDOC ABE(第11题图)12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：91812176141571110135OBCDEAFGH(第12题图)13B．如图所示，在△ABC 中，∠ACB =90°.（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：ABBD AD BC BD CD -=-222. （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.BACD(第13 B 题图)。
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题第一试一、填空题（每题8分，共64分）1．函数()cos f x x =的图象与直线(0)y kx k =>恰有四个不同交点，设四个交点中横坐标的最大值为α，则tan αα⋅=________.2．已知正三棱锥P -ABC ，M 是侧棱PC 的中点，PB ⊥AM ．若N 是AM 的中点，则异面直线BN 与PA 所成角的余弦值为________.3．已知数列{}n a 满足则11a =，1(2)1n n na n a +=++，则n a =________.4．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒．P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且BPA DPC ∠=∠，AQB DQC ∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=________.5．在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记ξ为这四个数中两数相邻的组数，则ξ的数学期望E ξ=________.6．14cos124cos36tan 78+︒+︒=︒________.7．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+->>的焦点，P 是M 上一点，△12PF F 的周长是6，且41a c+的最小值是3，过(4,0)Q -的直线交M 于不同两点A 、B ，则||||QA QB ⋅的取值范围是________.8．已知复数a 、b 、c 满足22222211i a ab b b bc c c ca a ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩，则ab bc ca ++=________.二、解答题（共56分）9．（16分）已知实数122018,,,x x x 满足201810i i x ==∑，2018212018i i x ==∑，求122018x x x 的最大值．10．（20分）已知直线y x =与曲线2:2()(0)M y p x a a =->相切．（1）若F 是曲线M 的焦点，P 是M 上任意一点，求||||PF PO 的最小值；（2）已知直线y kx =分别与曲线M 及曲线2:2()N y p x a =-+分别交于H 、I ．若Q 是圆22(4)1x y +-=上任意一点，且2a p =，求QH QI ⋅ 的最大值．其中H 、I 关于原点O 对称．11．已知x ，y ，0z >，且1xy yz zx ++=，求222115111x y z +++++的最大值。
2023年七年级下册数学竞赛试题及答案
2023~2023年七年级下学期数学竞赛试题一.选择题(每小题5分,共30分)1.若a<0 , ab<0 , 那么51---+-baab等于( )A . 4B .-4C . -2a+2b+6 D. 19962.数轴上坐标是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2023厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数是( )A.2023 或2023 B . 2023或2023 C . 2023 或2023 D . 2023 或20233.已知{a x b y==是方程组{5272=+=+y x y x的解, 则a-b的值为( )A . 2B . 1 C. 0 D. -14.若a<3 , 则不等式(a-3)x<a-3的解集是( )A. x>1 B .x<1 C . x>-1 D . x<-15.方程2x+y=7的正整数解有( )A.一组 B .二组 C .三组 D . 四组6.不等式组{5335+<-<xxax的解集为x<4, 则a满足的条件是( )A. a<4 B .a=4 C .a≤4 D .a≥4二.填空题(每小题4分,共24分)1.不等式组{4252>+<-axbx的解集是0<x<2, 则a+b的值等于_______2.已知543zyx ==, 且10254=+-z y x ,则z y x +-52的值等于________3.计算200920081431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯ = _________4.一个角的补角的31等于它的余角, 则这个角等于_____度.5.计算（1+715131++）×-91715131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（1+91715131+++）×（715131++）=．6。
b b a -=+22若，______622=+-+b a b a 则三. 解答题:(,共46分). 1（本题6分）解方程组 345238x y x y -=⎧⎨+=-⎩，．2.（本题10分）已知: 0634=--z y x ，072=-+z y x ()0≠xyz ， 求代数式222222103225z y x z y x ---+的值3（本题10分）.如图,已知CD ⊥AB ，DE ∥BC,∠1=∠2求证:FG ⊥AB21G F E D CB A4．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知三点()()()b c C b B a A ,,0,,,0，其中c b a ,,满足关系式()a b c b a -==-+-2,0322；（1）求c b a ,,的值,（2）请你将三点()()()b c C b B a A ,,0,,,0在平面直角坐标系中描出来，并计算出ABC ∆的面积。
2023年数学初中竞赛答案
全国初中数学竞赛试题参照答案一、选择题 1．A解：由于1a =-，1a +=， 262a a =-， 因此322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2. B 解：（略）3. D 解：（略） 4．C解：由已知得2310x x ++=， 于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-5．B解：依定义旳运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，旳任意性，得（x y ，）=（1，0）．6．D解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，，可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125x y z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++旳最小值为5411． 7．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，因此 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．8．C解：两式相加，得2358t t +=，解得1t =，或83t =-（舍去）．当1t =时，4530A B =︒=︒，满足等式，故1t =． 因此，实数t 旳所有也许值旳和为1. 9．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．由于11S S '>，因此1324S S S S >．10．A解：当2 3 2011k =，，，，由于()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 因此 333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭， 于是有445S <<，故4S 旳整数部分等于4．二、填空题 11．3＜m ≤4解：易知2x =是方程旳一种根，设方程旳此外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，因此122x x -<， 164m ∆=-≥0，即()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，因此1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.12．19解： 在36对也许出现旳成果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）旳和为5，因此朝上旳面两数字之和为5旳概率是41369=. 13．6解：如图，设点C 旳坐标为a b （，），点D 旳坐标为c d （，）,则点A 旳坐标为a a （，），点B 旳坐标为.c c （，） 由于点C D ，在双曲线1y x=上，因此11ab cd ==，． 由于AC a b =-，BD c d =-， 又由于2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），因此 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.14．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，因此当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．因此，2232a b +=． 15．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，因此FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一种解－25舍去），因此493584a b c ++=+=．三、解答题16．解：设方程20x ax b ++=旳两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=旳两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，因此 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又由于[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（）， 因此012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.17．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.由于AB 为⊙1O 旳直径， 因此∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 旳直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又由于点H 为△ABC 旳垂心，因此.AH BC BH AC ⊥⊥，因此AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 因此点P 为CH 旳中点.18．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴旳垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 旳坐标为（0，t ），则点B 旳坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 旳函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，旳坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=， 于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又由于P Q x PC QD x =-，因此BC PCBD QD=. 由于∠BCP =∠90BDQ =︒，因此△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，因此 AC 2-，AD =2.由于PC ∥DQ ，因此△ACP ∽△ADQ .于是PC ACDQ AD=，即a b ，因此a b +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，因此322ab a b =+=，于是可求得2a b ==将2b =代入223y x =，得到点Q ，12）.再将点Q 旳坐标代入1y kx =+，求得3k =-因此直线PQ 旳函数解析式为1y =+.根据对称性知，所求直线PQ 旳函数解析式为1y =+，或1y +. 解法二 设直线PQ 旳函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，因此2BQ DQ =.故 2Q x =. 将223Q Q y x =代入上式，平方并整顿得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.因此 2Q x =又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.因此，直线PQ 旳函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 19．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，因此相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．因此 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．。