线性代数考试练习题带答案大全

C.A与〃有相同的特征多项式；
D.〃阶矩阵A与3有相同的特征值且“个特征值各不相同；
5.二次型于（西,花,兀）=（/1一1）彳+喝+（71 + 1）€，当满足（）时，是正定二次型。
A.A>—1 ；B. A> 0 ；C.兄>1；D.几A1 °
二.填空题(每小题
"300]
6.设A=1 4 0 ,贝iJ(A-2E)_l=
因为任意两个向量均不成比例，
所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。10分
16.已知三阶方阵A的特征值1, 2, 3对应的特征向量分别为冬，勺，
巾。其中：q=（l,1,1）7 ,勺=（1,2,4）',y=（1，3,9）‘，0 = （1丄3）「。
（1）将向量“用a】，a2,如线性表示；（2）求Anp,n为自然数。 解：（1）把”用巾线性表示，即求解方程
线性代数期末试卷(本科A)
解答与参考评分标准
一、单项选择题(每小题
1.设为“阶矩阵，下列运算正确的是(D)。
A.(AB)k=AkBk;B. |-A| = -|A|;
C.A2-B2=(A-B)(A + B);D.若A可逆，WJ (M)-* =k~lA~l；
2.下列不是向量组印心2,…，乙线性无关的必要条件的是(B)。
A.冬,冬，…,乙都不是零向量；
B.«!，«,,•••,ai中至少有一个向量可由英余向量线性表示；
C.少,勺，…，徨中任意两个向量都不成比例；
D.少,^2,…，乙中任一部分组线性无关；
3.设4为mxn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是A的(A )o
A.列向量组线性无关；B.列向量组线性相关；
•
•
1
•
■
1 + y
■
•
… 1
• •
• •
(eg…d”工0)
■
1
■
1
•
1
• •
…1+5
xx+2x2-2x3= 0
12.12.已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组”旺―耳+久®=。的解.
3州+兀2—召=°
①求兄的值；②证明|B| = 0.
13•设3阶矩阵X满足等式AX = B + 2X.
<3 10
<1 1 0>
D.少,6?2,…，匕中任一部分组线性无关；
3.设A为mxn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是A的 （ ）。
A.列向量组线性无关；B.列向量组线性相关；
C.行向量组线性无关；D.行向量组线性相关；
4.如果（），则矩阵A与矩阵B相似。
A.|A| = |Z?|； B. r（A）= r（B）；
3 0 0
(4 3 0;
1•求二次型/(斗宀山)所对应的矩阵A：2.求A的特征值和对应的特征向量。
四、解答题
16.0 = (1,3,-3)r,= (1,2,OF,勺=(1,"+ 2, —3°)「，
冬=(―1,—b -2, “ +2b)T,试讨论""为何值时
(1)0不能用aiya2ta3线性表示;
(2)0可illa^a2,a3唯一地表示,并求出表示式；
V 0 0、
"21(T
&
0 1 0
1 4 0
0 0 1
—
1 0 4
12 0 1,
<-1 °3)
,0 1 0丿
、3 5 0,
9.已知向量组冬心心线性无关，则向量组a】-冬，勺-勺q-勺的秩为2；
10.设A为川阶方卩车，^R(A + 3E) + R(A-E) = n,则A的一个特征值
A=-3:
"1+G
2
四、解答题
‘1 0 0、
16.已知4= 0 3 2,求屮
23,
17•设纟是非齐次线性方程组AX"的一个特解，〃“2,…,％为对应的齐次线性方程
组AX=0的一个基础解系，证明：向量组仏线性无关。
18.已知4与A-E都是〃阶正定矩阵，判定E-A-1是否为正定矩阵，说明理由.
线性代数期末试卷（本科
1.设人B为〃阶矩阵，下列运算正确的是()o
（A）AB = BA,（B）存在可逆矩阵只使=
（0存在可逆矩阵C,使C‘AC= B；（D）存在可逆矩阵P,Q^PAQ = B.
4.向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是（）
（A）错误!未找到引用源。均不为零向量；
（B）错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关；
（C）错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例；
1
1
1
… 1
1
1
1
… 1
0
1+0
1
… 1
-1
a
0
...0
0
2
2 + a
...2
=
-2
0
a
...0
0
11
n
・•• n+a
-/7
0
0
…a
• n+a丿
解：同=
1
1
1
10分
/-1
0••
(A + E)(A-E)B = A + E
「2
由^A+E=0
「2
2Xj+2x2_ £ = 1
14.几取何值时，线性方程组
Axi-x2+x3-2无解，有唯 解或有无穷多解？当
A.A>—1；B・ A>0；C・ >1 > 1；D.几hi。
二、填空题(每小题
‘3 0 0)
'1 0 0、
6.设4 =
1 4 0
,贝,iJ(A-2E)_，=
-11 0
2 2
(0 0 3,
0 ° 1丿
7.设每(门=1,2)为行列式》=；1中元素呦的代数余子式，则A1=^1
31A" A”
‘1 0 0、
r2 0 1'
9.已知向量组匕=（1,2,3,4）,冬=（2,3,4,5）q=（3,4,5,6）心=（4,5,6,7）,则该向量组
的秩为
< 1-1来自百度文库、
々0 0]
10.已知A =
2 4-2
,B=
0 2 0
,且A于3相似，则几=
、一3 -3 5丿
,0 02)
三、
1 + %
1
1
… 1
1
1 +Cl^
1
… 1
11.Dn=
1
（C）相乘仍为初等矩阵： （£>）相加仍为初等矩阵
5.已知…,a“线性无关，则（C）
A.ax+a2,a2+an必线性无关；
B.若"为奇数，则必有«）+a,,a,+<z3,• • •,«„_! +an,an+ax线性相关；
C.若"为偶数，则必有a, +a2,a2+ a3,•••,«„_,+an,an+a,线性相关；
（D）错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能山其余错误!未找到引用源。个 向量线性表示。
5.零为方阵A的特征值是A不可逆的（）。
（A）充分条件；（B）充要条件；（C）必要条件；（D）无关条件；
"10「
6. 设4= 0 2 0
10 1
\ /
已知a= (123),0 = 1L设A=a1p.则A=
8•设A是三阶方阵，且|A| = -1,则才—2屮= ;
线性代数考试练习题带答案
1•设A为mx矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是A的（A）.
（A）列向量组线性无关，（B）列向量组线性相关，
（C）行向量组线性无关，（D）行向疑组线性相关.
2.向量久几卩线性无关，而*队&线性相关，则（C）。
（A）&必可由队丫、&线性表出，（〃）“必不可由线性表岀，
4xj+5x2-5x3= -1
有无穷多解时，求通解。
15.设q=（0,4,2）,色=（1,1,0）,他=（一2,4,3）,&4=（T,1,1），求该向量组的秩和一个 极大无关组。
16.已知三阶方阵A的特征值1, 2, 3对应的特征向量分别为⑦，a2,6。其中:a严（1,1,1）?,勺=（124）‘，冬=（1,3,9）‘，0 = （1」,3）'。
(3)0可由冬,冬，冬表示，但表示式不唯一，并求出表示式。
17.设es，…，勺错误!未找到引用源。是一组〃维向量，证明它们线性无关的充 分必要条件是：任一错误沬找到引用源。维向量都可山它们线性表示。
18.设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，且可交换，A-B可逆，证明：
(A + 3)(A-3)"是正交矩阵。
<0 0 3,
为行列式》=
2 1
中元素佝的代数余子式，则
Ai
备
3 1
41
a22
7.设每(心=1,2)
(10 0)
(201)
(\ 0 0、
8.
0 1 0
1 4 0
0 0 1
= :
〔2 01J
1-1° 3丿
〔0 1° 丿
9.已知向量组tzHa2,a3线性无关，则向量组a{-a2,a2-ct^a}-a3的秩为
（C）3必可由a、卩、丫线性表出，（£））3必不可由*队丫线性表岀.
3.二次型/3，勺，码）=（几-1）旺+空+（兄+1）巧，当满足（c）时，是正定二次型.
（A）几>一1；（B）2>0：（C）2>1.（D）H .
4.初等矩阵（A）：
（A）都可以经过初等变换化为单位矩阵；（3）所对应的行列式的值都等于1：
C.行向量组线性无关；D.行向量组线性相关；
4.如果(D),则矩阵A与矩阵B相似。
A.|A| = |B|; B. r(A) = r(B)；
C.A与B有相同的特征多项式；
D.〃阶矩阵A与3有相同的特征值且“个特征值各不相同；
5.二次型/(xpx2,x3) = (A-l)xf+Zvj+(2 + l)xp当满足(C)时，是正定二次型.
线性代数期末试卷（本科
1.满足下列条件的行列式不一定为零的是（）。
（A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式；
（B）行列式中有两行（列）元素完全相同；
（C）行列式中有两行（列）元素成比例；
（D）行列式中等于零的个数大于n2-n个.
2.下列矩阵中（）不满足A2=-E.
3.设43为同阶可逆方阵，则（）o
10.设A为川阶方卩车，A^E,K/?(A + 3E) + /?(A-E) = n,则A的一个特征值
2= ；
三、计算题(每小题
1・••1"
2… ?
7.. [ (go),求国。
• • •
n…n+a)
2Xj+2x2_ £ = 1
14.几取何值时，线性方程组
Axi-x2+x3-2无解，有唯 解或有无穷多解？当
其中A =
0 1 2
,B =
1 0 2
,求矩阵X。
<0 0 4丿
<2 0 2丿
<-r
"3、
7
< 3、
14.求向量组a】=
3
=
-3
9 ^3 =
5
—
-4
,a气=
1
的秩及最大
2
* *
-2
3
4
-2
0
6
k-3>
沁丿
<-2>
<_1>
无关组。
‘0 0 1、
/ \
X?
25・设/(xpx2,x3) = (xpx2,x3)
2 — 2心+3*2
\ /
17•设A是〃阶方阵，且R（A） + R（A-E） = n9A^Ex证明：Ar = 0有非零解。
证明：A^£=>A-£^O=>/?（A-E）>1,2分
R（A）+ R（A-E）= n=>R（A）= n-/?（A-E）S-l4分
所以山=0有非零解。5分18.已知向量组⑴ess的秩为3,向量组（II）aga心 的秩为3,向量组（III）a^a2,a^a5的秩为4,证明向量组a^a2,a^a5-a4的秩为4。
D.以上都不对。
二、填空题（每小题
6.实二次型f（x^x2,x3） = tx~+4x,x2+x；+x；秩为2,贝林=
‘0 2 0、
7.设矩阵0 0 3,则犷=
<4 0 0,
8.设4是"阶方阵，&是A的伴随矩阵，已知|A|=5,则/VT的特征值为
9•行列式。曲
x,_x2+2x4= 0
13.求线性方程组FX,+2%2一七+X4=1的通解。
（1）将向量0用a】，a?,a?线性表示；（2）求A"0, “为自然数。
五、证明题（每小题
17.设A是"阶方阵，且/?（A）+ /?（A-£）= «,证明：山=0有非零解。
18.已知向量组（I）少,勺,冬的秩为3,向量组（II）a,,a2,a3,a4的秩为3,向量组（III）ara2ia3ia5的秩为4,证明向量组a^a^a^a^-a^的秩为4。
A.{AB)k=AkBk\B. |-A| = -|A|;
C・ A2-B2=(A-B)(A + B); D・若人可逆,£工0,贝IJ(M尸
2.下列不是向量组…，碍线性无关的必要条件的是（）。
A.…,G都不是零向量；
B.少,^?，…,a<中至少有一个向量可由英余向量线性表示；
C.少,勺，…,①中任意两个向量都不成比例；
2xj +3x2-x3- x4= 1
X] +4x2_牙3_3x4= 1
14.已知內=（1,2,2）7,也=（3,6,6）7 ,$=（1,,0,3）7,巾=（0,4,—2）7 ,求出它的 秩及其一个最大无关组。
15•设A为三阶矩阵，有三个不同特征值人“2虫，冬42心3依次是属于特征值 入仏4,的特征向量,令0=可+勺+冷・若才0 = A0,求A的特征值并计算行列式|2A-3E|.
x[a[+x2a2+x3a.= 0
‘1
1
1
1、
1
1
r
<1
0
0
2、
1
2
3
1
r
0
I
2
0
r
0
1
0
-2
J
4
9
3丿
3
0
1
b
10
0
1
1 >
故卩=2a、一2a[+tz35分
(2)N卩=(2at-2a2+a3) = 2Ana}-2Ana2+ Ana3
2_2'小+3〃、=2衬a-2^a2+ AH = 2a,- 2n+,a2+ 3"闵=2-2n+2+ 3n+,
+5x2一5*3=-1
有无穷多解时，求通解。
解：山于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式
22-1
|A|=2-11 =522-2-4 = (2-1)(52 + 4)；
45 5
15.设q =（042）s=（l丄0）心=（一243）4 =（-1」」”求该向量组的秩和一个
极大无关组。 解：
所以向量组的秩为2,8分