2013高考数学(理)一轮复习课件：4-6
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：10.2排列、组合应用题(第1课时)
• 4. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ⑤ _________，叫做从n个不同元素中取 并成一组 出m个元素的一个组合. • 5.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ⑥ ______________，叫做从n个不同元 所有组合的个数 素中取出m个元素的组合数，记作⑦ m Cn ____ . m n n 1 n 2 n m 1 A=⑧ ____________________. n • 6. m n n 1 n 2 n m 1 C =⑨ ____________________. • 7. n m m 1 m 2 2 1
14
题型2
• • • • • • • • •
(2)方程要有实根，需Δ=b2-4ac≥0. 当c=0时，a、b可在1、3、5、7 2 中任取2个，有 A 4 个； 当c≠0时，b只能取5、7. 2 b取5时，a、c只能取1、3，有 A 2 个； b取7时，a、c可取1、3或1、5， 2 有2 A 2 个. 故有实数根的一元二次方程共有 2 2 2 A4 A2 2 A2 18 个.
A5 A4
5 4
6
• 2.若2n个学生排成一排的排法数为x，这 2n个学生排成前后两排，每排各n个学生 的排法数为y，则x、y的关系为( ) C • A. x>y B. x<y • C. x=y D. x=2y • 解：第一种排法数为 ，第二种排法数 2n A2 n 为 n n = 2 n ，从而x=y.
25
• 2.元素相邻用“捆绑法”，即将必须相邻的元 素“捆”在一起当作一个元素进行排列. • 3.元素相离用“插空法”，即把可相邻元素每 两个元素留出一个空位，将不能相邻即相离的 元素插入空位中进行排列. • 4.定序元素用“除法”，即n个元素的全排列 中若有m个元素必须按一定顺序排列，这m个 元素相邻或不相邻都可以，
2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华 【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。
（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为 若d=0,则数列{a n }为 若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为 ，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。
2013版高考数学人教A版一轮复习课件第1单元-集合与常用逻辑用语(理科)
第1讲 │ 问题思考
► 问题3 集合的运算 (1)A∩B＝A∪B的充要条件是A＝B.( (2)A∩B＝∅的充要条件是A＝B＝∅.(
) )
第1讲 │ 问题思考
[答案] (1)对；(2)错．
[解析] (1)根据韦恩图分析可知． (2)A∩B＝∅时，只要集合 A，B 没有公共元素即可，不一 定是 A＝B＝∅.
B∩A A ∅ (3)交集：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩∅＝____， ⊆ A∩B____A，A∩B＝A⇔A⊆ B. ∅ U (4)补集：A∩(∁UA)＝____，A∪(∁UA)＝____.
（∁UA）∪（∁ (5)∁U(A∪B)＝________，∁U(A∩B)＝________. UB ） （∁UA）∩（∁UB）
集合 常用逻 辑用语 集合 常用逻 辑用语
集合的含义、运算、 基本关系 命题、充要条件、逻 辑联结词、量词
了解 理解 了解 理解 了解 理解 理解
2011江苏1 2011陕西12 2010北京20 2010安徽20
解 答 题
第一单元 │ 使用建议 使用建议
第1讲 │ 知识梳理
(4)几个常用集合的表示法 数集 自然数 正整数 集 集 整数集 有理数 集 实数集
N*或N Q R 表示法 ______ ______+ ______ ______ ______ N Z 列举法 描述法 (5)集合有三种表示法：________，________， Venn图法 ________.
第1讲 │ 问题思考
► 问题4 元素、集合的关系 (1)a {a}．( ) (2)∅∈{∅}．( ) (3){(1,2)}⊆ {1,2}．( )
第1讲 │ 问题思考
[答案] (1)错；(2)对；(3)错．
2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第23讲 正(余)弦定理
1 2 2 ＝ ×4R sinAsinB× 2 2 3π ＝ 2R sinAsin( －A) 4
2
1 2 π ＝ R [ 2sin(2A－ )＋1]． 2 4 3π π π 5π 因为 0<A< ，所以－ <2A－ < ， 4 4 4 4 π π 3π 所以当 2A－ ＝ ，即 A＝ 时，S△ABC 取最大值． 4 2 8 2＋1 2 (SR，它的内接△ABC 中，有 2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sinB，求角 C 和△ABC 面积 S△ABC 的最大值．
a b c 【解析】由正弦定理得 sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ， 2R 2R 2R a2 c2 b 则 2R( 2－ 2)＝( 2a－b)× ， 4R 4R 2R 即 a2－c2＝( 2a－b)b， a2＋b2－c2 2 π 3π 所以 cosC＝ ＝ ，于是 C＝ ，A＋B＝ . 2 4 4 2ab 1 所以 S△ABC＝ ab· sinC 2
π π π asin －C 2RsinAsin －C sinAsin －C 6 6 6 (3) ＝ ＝ b－c 2RsinB－2RsinC sinB－sinC 31 3 cosC－ sinC 2 2 2 ＝ π sin －C－sinC 3 3 3 cosC－ sinC 4 4 1 ＝ ＝ . 2 3 3 cosC－ sinC 2 2
1 1 3 【解析】由 S＝ bcsinA，即 3＝ ×1×c× ，所以 c＝4. 2 2 2 所以 a＝ b2＋c2－2bccos120° 1 ＝ 16＋1＋2×4×1× 2 ＝ 21. a 21 所以 2R＝ ＝ ＝2 7. sinA 3 2 a＋b＋c 2RsinA＋sinB＋sinC 所以 ＝ ＝ 2R ＝ sinA＋sinB＋sinC sinA＋sinB＋sinC 2 7.
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第5课时 对数与对数函数
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)由指数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>0， ∴0<0.95.1<1，即0<m<1. 又∵5.1>1，而0.9>0，∴5.10.9>1，即n>1. 由对数函数的性质： ∵0<0.9<1，而5.1>1，∴log0.95.1<0， 即p<0.综上，p<m<n.
图所示，则a，b满足的关系是( A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a 1<b 1<1
－ －
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
【解析】 首先由于函数φ(x)＝2x＋b－1单调递增， 可得a>1；又－1<f(0)<0，即－1<logab<0，所以a－
【解析】 设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－ 1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可．(如图所示)
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
当0<a<1时，显然不成立． 当a>1时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需 f1(2)≤f2(2)， 即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1<a≤2.
第二章
第5课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2013版高考数学人教A版一轮复习课件第6单元-不等式(理科)
第六单元 │ 使用建议
(2)从高考的客观情况看，二元一次不等式(组)所表示 的平面区域和简单的线性规划问题，是高考必考的两个知 识点，我们把探究点不是设置为简单的线性规划问题，而 是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性 规划)，含有参数的平面区域以及生活中的优化问题，这样 在该讲就覆盖了高考考查的基本问题． (3)在各个讲次穿插了不等式的应用，但不涉及过度综 合的题目，其目的是使学生认识到不等式应用的广泛性， 不等式更多的、更综合的应用我们留在其余各讲中．
第六单元 │ 网络解读
x－a (3)简单的分式不等式 >0可以转化为一元二次不等式 x－b x－a (x－a)(x－b)>0，在解这类不等式时，如果是 >c(c≠0)，那 x－b 么应把一端化为零再进行转化．
第六单元 │ 网络解读
3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题 (1)一个二元一次不等式表示一个半平面，几个二元一次不 等式组成的不等式组就表示这些半平面的交集，也就是一个平 面上的区域，要会根据特殊点的位置确定不等式表示的半平 面，正确求出不等式组表示的平面区域． (2)简单的线性规划问题有两类，一类是不含实际背景的线 性规划问题，一类是必须首先建立模型的含有实际背景的线性 规划问题，难点是后者，在解这类试题时要注意准确提炼线性 规划模型，不要忽视了必要的限制条件．
新课标·人教A版
第六单元
不等式
第六单元 │ 知识网络 知识网络
第六单元 │ 网络解读
网络解读
本单元包括不等关系与不等式、一元二次不等式、二元一 次不等式(组)表示的平面区域和简单的线性规划问题、基本不 等式． 1．不等关系和不等式，主要内容是不等式的概念、不等 式的性质、两个数式比较大小
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第6课时 空间向量及运算
y2－y1，z2－z1)． _________________
6．向量 a 与 b 的夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
Cos<a，b>＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 a2＋a2＋a2· b1＋b2＋b2 1 3 2 3
.
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
高三数学（新课标版· 理）
→ 1→ 1 → → 解析 FG＝ AC＝ (BC－BA)， 2 2 → → 1 → → → ∴FG· ＝ (BC－BA)· BA BA 2 1 → → →2 1 1 1 ＝ (BC· －BA )＝ ×( －1)＝－ . BA 2 2 2 4
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
5．空间向量的直角坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则 ①a＋b＝ ； (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ②a－b＝ ；
2 a1b1＋a2b2＋a3b3 ， a2＋a2＋a2 ； 3 ③a· b＝ 特殊地 a· a＝ 1 a1 ④a∥b⇔ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或b1
|a|cos<a，e>，e 为单位向量
；
b＝0 ； ②a⊥b⇔ a·
a ③|a|2＝ a· .
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
向量的数量积满足如下运算律：
b) ①(λ· b＝ λ(a· ； a)·
②a· b＝ b· a ③a· (b＋c)＝
(交换律)；
2013高考数学(理)一轮复习课件：4-7
解 在△ACD 中，已知 CD＝a，∠ACD＝60° ，∠ADC＝60° ， 所以 AC＝a.① asin 105° 3＋1 在△BCD 中，由正弦定理可得 BC＝ sin 45° ＝ 2 a.② 在△ABC 中，已经求得 AC 和 BC，又因为∠ACB＝30° ，所以 利 用 余 弦 定 理 可 以 求 得 A ， B 两 点 之 间 的 距 离 为 AB ＝ 2 AC ＋BC －2AC· cos 30° 2 a. BC· ＝
在△A1B2B1 中，由余弦定理得
2 2 B1B2＝A1B1＋A1B2－2A1B1· 1B2· 45° A cos 2
2 ＝20 ＋(10 2) －2×20×10 2× ＝200， 2
2 2
∴B1B2＝10 2. 10 2 因此，乙船的速度为 20 ×60＝30 2(海里/时)．(12 分) 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画 出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问 题进行求解．
基础梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问 题、物理问题等．
2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角， 在水平线 下方 的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位 角为 α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30° ，北偏西 45° ，西偏东 60° 等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
双基自测 1．(人教 A 版教材习题改编)如图，设 A，B 两点在河的两岸， 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离 为 50 m，∠ACB＝45° ，∠CAB＝105° 后，就可以计算出 A，B 两点的距离为( )．
2013版高考数学人教A版一轮复习课件第4单元-平面向量(理科)
第四单元 │ 网络解读
(2)平面向量的线性运算是指平面向量的加法运算、减法运 算、数乘运算，这些运算都是从几何上进行定义的，要从几何 表示上弄清楚这些运算的含义，注意两个向量共线的充要条件 的应用． (3)平面向量的数量积是平面向量的另一种重要运算，是平 面向量的核心内容，主要是数量积的定义、性质和运算法则、 运用数量积表示两个向量的夹角、两向量垂直的充要条件，要 注意数量积的运算结果是一个数量，注意一个向量在另外一个 向量上的投影也是一个数量，注意向量的数量积和数的乘法运 算的区别．
(2)下列命题中： ①时间、速度、加速度都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③所有的单位向量都相等； ④共线向量一定在同一直线上． 其中真命题的个数为( A．0 B．1 C．2 D．3 )
第24讲 │ 要点探究
(3)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； ②向量不可以比较大小； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确的命题有( A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个 )
第四单元 │ 使用建议
3．课时安排 本单元共3讲和一个45分钟滚动基础训练卷，第26讲建议 2课时完成，其余每讲建议1课时完成，45分钟滚动基础训练 卷，建议各1课时完成，共需6课时．
第24讲 │ 平面向量的概念及其线性运算
第24讲
平面向量的概念 及其线性运算
第24讲 │ 考纲要求 考纲要求
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理 解两个向量相等的含义． 2．理解向量的几何意义． 3． 掌握向量加法、 减法的运算， 并理解其几何意义． 4．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共 线的含义． 5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
高考总复习一轮数学精品课件 第6章 数列 第4节 第1课时 分组转化法、并项转化法和错位相减法
例 3(12 分)(2023·全国甲,理 17)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a2=1,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
突破口:已知 Sn 与 an 的关系,可利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)解答.
(2)求数列
+1
2
的前 n 项和 Tn.
+1
1 n
关键点:化简数列得通项公式 2 =n·(2) ,可看作一个等差数列与一个等比数
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第1课时
分组转化法、并项转化法和错位相减法
研考点
精准突破
考点一
分组转化法求和
例1(2024·辽宁锦州模拟)已知数列{an}和{bn}满足an+bn=2n-1,数列{an},{bn}
的前n项和分别记作An,Bn,且An-Bn=n.
(1)求An和Bn;
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
解 (1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,a1≠0,即2a1=a1q+a1q2,
所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去)或q=-2.故{an}的公比为-2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和.
由(1)及题设可得,an=(-2)n-1.
n 项和,求 T2n.
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
1 + 2 = 10,
1 = 2,
因为 a3=10,a5-2a2=6,所以
解得
= 4,
(1 + 4)-2(1 + ) = 6,
所以 an=2+4(n-1)=4n-2.
2013届高考数学第一轮基础复习课件1 理
7 若将本例(2)中点 A 变为 A′( ，2)，则|PA′|＋|PM|的 2 最小值是多少？并求此时点 P 的坐标．
7 【解】 点 A′( ，2)在抛物线内部， 2 则|PA′|＋|PM|≥|A′M|， 当且仅当 P、A′、M 三点共线即直线 PA′垂直于 y 轴时 取等号， 7 ∴|PA′|＋|PM|的最小值为 . 2 此时点 P 的纵坐标 y＝2. 代入 y2＝2x，得 x＝2， 因此，点 P 的坐标为(2,2)．
【解】 (1)将(1，－2)代入 y2＝2px，得(－2)2＝2p· 1， 所以 p＝2. 故抛物线 C 的方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y＝－2x＋t.
y＝－2x＋t， 由 2 得 y2＋2y－2t＝0. y ＝4x，
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点， 1 所以 Δ＝4＋8t≥0，解得 t≥－ . 2 5 . 5 |1×2－2×1－t| |t| 又点 A(1，－2)到直线 l 的距离 d＝ ＝ ， 5 5 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d＝ |t| 5 ＝ ，则 t＝± 1. 5 5 1 1 因为－1∉[－ ，＋∞)，1∈[－ ，＋∞)， 2 2 ∴ 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x＋y－1＝0.
从近两年的高考看，抛物线的定义、标准方程及几何性 质是高考的热点，且常以选择题、填空题的形式出现，属中档 题目，有时也与向量、不等式等综合命题，以解答题的形式出 现，考查分析问题和解决问题的能力以及创新探究能力．
创新探究之九 以抛物线为背景的创新题 (2011· 湖南高考)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离 与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，设 l1 与轨迹 C 相交于点 A，B，l2 与轨迹 C 相交于点 D，E， → EB → 求AD· 的最小值．
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第2课时 排列、组合
第十一章
第2课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
解法一 直接法，可以从 4 台甲型电视机中取 2 台， 再从 5 台乙型电视机中取 1 台， 或者从 4 台甲型电视机中 取 1 台， 再从 5 台乙型电视机中取 2 台， 所以共有 C2· 1＋ 4 C5 C1· 2＝70 种选法． 4 C5 解法二 间接法，从 9 台电视机中取 3 台有 C3种取 9 法，从甲型电视机中取 3 台有 C3种取法，从乙型电视机 4 中取 3 台有 C3种取法，这两种取法不符合条件，所以符 5 合条件的取法为 C3－C3－C3＝70 种． 9 4 5
第2课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
1．两个概念 (1)排列 从 n 个不同元素中取出 m 个元素(m≤n)，按照 一定顺
序排成一列
，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
一个排列．
第十一章
第2课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(2)组合 从 n 个元素中取出 m 个元素 并成一组 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． ，叫做从 n
解析 据题意知 4 个不同的商业广告可排在中间的 4 个位置上共有 A4种方法，再将 2 个公益广告排在首末 2 4 个不同的位置共有 2 种方法， 根据分步计数原理可得不同 的播放方式共有 2A4＝48 种． 4
第十一章
第2课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
3．安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班， 每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日．不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
第十一章 第2课时
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用 新人教A版
6-4数列的综合问题与数列的应用基础巩固强化1.(2012·杭州第一次质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.2．(2011·淄博模拟)已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．(－72，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)[答案] C[解析] a n ＝n 2＋λn ＝(n ＋λ2)2－λ24，∵对任意n ∈N *，a n ＋1>a n ， ∴－λ2≤1，∴λ≥－2，故选C.3．(文)设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f n }(n ∈N *)的前n项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，1f n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. (理)(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.则下列命题中为真命题的是( )A ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列 [答案] A[解析] 若对任意n ∈N *，有c n ∥b n ，则a n n ＝a n ＋1n ＋1＝a n ＋2n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以数列{a n }为等差数列．4．(文)(2011·山西运城教学检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．20[答案] B[解析] 由题意得S n ＋1－S nn ＋1－n＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2，∴a n ＝3n－5，因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10，而a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40，故选B.(理)两个正数a 、b 的等差中项是72，一个等比中项是23，且a <b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e 等于( )A.34 B.152C.54D.53[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝7，a ·b ＝12，b >a >0，∴a ＝3，b ＝4.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝53.5．(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列的( )A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A [解析]sin A cos A ＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A⇒2sin A sin C －sin 2A ＝2cos A cos C ＋cos 2A ⇒2cos(A ＋C )＋1＝0⇒cosB ＝12⇒B ＝π3⇒A ＋C ＝2B ⇒A 、B 、C 成等差数列．但当A 、B 、C 成等差数列时，sin Acos A＝2cos C ＋cos A 2sin C －sin A 不一定成立，如A ＝π2、B ＝π3、C ＝π6.故是充分非必要条件．故选A.6．(2012·东北三省四市第三次联考)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－2a n ＋1，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2010的值为( )A ．1B ．2 C.13 D.23[答案] D[解析] ∵a 1＝2，a 2＝1－22＋1＝13，a 3＝1－213＋1＝－12，a 4＝1－2－12＋1＝－3，a 5＝1－2－3＋1＝2. ∴a n ＋4＝a n ，∴{a n }是以4为周期的数列，T 4＝2×13×(－12)×(－3)＝1.∴T 2010＝T 2008×a 2009×a 2010＝23，故选D.7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 [答案] D[解析] 由程序框图可知，S ＝1＋2＋22＋…＋2k ＝2k ＋1－1，由S <2014得，2k ＋1<2015，∴k ≤9.∵1＋2＋22＋…＋29＝1023，∴S 的值加上29后，变为S ＝1023<2014，此时k 的值增加1变为k ＝10，再执行一次循环体后，S＝1023＋210＝2047，k＝10＋1＝11，此时不满足S<2014，输出k的值11后结束．[点评] 这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥2014，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．8．(文)已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n(n∈N*)，把数列{a n}的各项排列成如图所示的三角形数阵：22223242526272829210……记M(s，t)表示该数阵中第s行的第t个数，则M(11,2)对应的数是________(用2n的形式表示，n∈N)．[答案] 257[解析] 由数阵的排列规律知，第m行的最后一个数是数列{a n}的第1＋2＋3＋…＋m＝m m＋12项，且该行有m项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n}的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.(理)若数列{a n}满足1a n＋1－1a n＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{a n}为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.[答案] 20[解析] 由题意，若{a n}为调和数列，则{1a n}为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝20010＝20.故填20.9．(文)(2011·江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．[答案] x＋y－7＝0[解析] 由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，∴MN的中点(4,3)，k MN＝1，∴MN的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.(理)已知双曲线a n－1y2－a n x2＝a n－1a n(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y ＝2x，其中数列{a n}是以4为首项的正项数列，则数列{a n}的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ，∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1.10．(文)(2011·北京海淀)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，则求出数列{b n }的通项公式；若不存在，则说明理由．[解析] (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立． 即a n ＝2n 对n ≥2成立．又a 1＝S 1＝2×1， 所以a n ＝2n 对n ∈N *成立． 所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立． 所以{a n }是等差数列． 所以S n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)存在．由(1)知a n ＝2n 对n ∈N *成立， 则a 3＝6，a 9＝18.又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，得b 2b 1＝b 3b 2＝3.即存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.(理)(2012·天津十二区县联考一)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求a 的值． (3)在满足条件(2)的情形下，设c n ＝1b n ＋1－1b n ＋1－1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n >2n －12.[解析] (1)S 1＝a (S 1－a 1＋1)，∴a 1＝a ， 当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)，S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)，两式相减得a n ＝a ·a n －1，a na n －1＝a ，即{a n }是等比数列，∴a n ＝a ·an －1＝a n.(2)由(1)知a n ＝a n，S n ＝a a n －1a －1，∴b n ＝(a n )2＋a a n －1a －1a n＝2a －1a 2n －aa na －1，若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，而b 1＝2a 2，b 2＝a 3(2a ＋1)，b 3＝a 4(2a 2＋a ＋1)， 故[a 3(2a ＋1)]2＝2a 2·a 4(2a 2＋a ＋1)， 解得a ＝12，再将a ＝12代入，得b n ＝(12)n成立，所以a ＝12.(3)证明：由(2)知b n ＝(12)n，所以c n ＝112n＋1－112n ＋1－1＝2n 2n ＋1＋2n ＋12n ＋1－1＝2－12n ＋1＋12n ＋1－1， 所以c n >2－12n ＋12n ＋1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n>(2－12＋122)＋(2－122＋123)＋…＋(2－12n ＋12n ＋1)＝2n －12＋12n ＋1>2n －12.能力拓展提升11.在圆x 2＋y 2＝10x 内，过点(5,3)有n 条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{a n }的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差d ∈(13，23]，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6}B ．{6,7,8,9}C ．{3,4,5}D ．{3,4,5,6}[答案] A[解析] ∵圆x 2＋y 2＝10x ，∴(x －5)2＋y 2＝5，圆心为(5,0)，半径为5.故最长弦长a n＝10，最短弦长a 1＝8，∴10＝8＋(n －1)d ，∴d ＝2n －1，∵d ∈(13，23]，∴13<2n －1≤23，∴4≤n <7，又∵n ∈N *，∴n 的取值为4,5,6，故选A.12．(文)(2011·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定[答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．(理)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q[答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，∵q ≠1，∴a 3≠a 9，∴a 3＋a 92>a 3a 9又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .故选D.13．(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案] 255[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．14．(2011·江苏，13)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．[答案]33[解析] ∵a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，且a 1＝1， ∴a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3，∵a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列， ∴a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2， ∵a 2≥1，q ＝a 3≥a 2≥1，∴q 2＝a 5≥a 4＝a 2＋1≥2，q 3＝a 7≥a 6＝a 2＋2≥3， ∵q ≥1，∴q ≥2且q ≥33，∴q ≥33， ∴q 的最小值为33.15．(2011·蚌埠质检)已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．16．(文)(2011·山东文，20)等比数列{a n }中，a 1、a 2、a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1、a 2、a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [解析] (1)依次验证知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18时符合题意，∴a n ＝2·3n －1.(2)∵b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nn ln3∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n·2n ]ln3＝2×1－32n1－3＋n ln3＝32n＋n ln3－1.(理)(2011·湖南六校联考)为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车．替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．[解析] (1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列． {a n }的前n 项和S n ＝128×[1－32n]1－32＝256[(32)n－1]．{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n n －12a ，所以经过n 年，该市更换的公交车总数为： S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋n n －12a .(2)若计划7年内完成全部更换，所以S (7)≥10000，所以256[(32)7－1]＋400×7＋7×62a ≥10000，即21a ≥3082，所以a ≥1461621.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.1．若x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的四个根可组成首项为14的等差数列，则b 的值可以为( )A.38B.1124 C.1324 D.35144[答案] D[解析] 由题意四个根为14、14＋16、14＋13、34，则b ＝14×34＝316，或b ＝512×712＝35144，选D.2．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3[答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 3．(2011·银川一中三模)已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f n }的前n 项和为S n ，则S 2012的值为( )A.20092010 B.20102011 C.20112012D.20122013[答案] D[解析] 本题考查导数的几何意义及数列求和知识；由于f ′(x )＝2x ＋b ，据题意则有f ′(1)＝2＋b ＝3，故b ＝1，即f (x )＝x 2＋x ，从而1f n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， 其前n 项和S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故S 2012＝20122013.4．(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在[答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．(2011·黄冈月考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B.158 C.34 D.38[答案] C[解析] ∵a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n， ∴a 2a 1＝a 1＋1，∴a 2＝2，； ∵a 3a 2＝a 2－1，∴a 3＝12；∵a 4a 3＝a 3＋1，∴a 4＝3； ∵a 5a 4＝a 4－1，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝34.6．(2012·北京海淀期中)已知数列A ：a 1，a 2，…，a n (0≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥3)具有性质P ：对任意i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个是该数列中的一项：现给出以下四个命题：①数列0,1,3具有性质P ； ②数列0,2,4,6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则a 1＝0；④若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1<a 2<a 3)具有性质P ，则a 1＋a 3＝2a 2.其中真命题有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个[答案] B[解析] 数列0,1,3中a 3－a 2＝2，a 3＋a 2＝4都不是该数列中的一项，即其不具有性质P ，得命题①不正确；数列0,2,4,6经验证满足条件，即其具有性质P ，得命题②正确；若数列A 具有性质P ，因n ≥3，故其最大项a n >0，则有a n ＋a n ＝2a n >a n 不是数列中的项，故a n －a n ＝0必为数列中的一项，即a 1＝0，得命题③正确；若数列a 1，a 2，a 3(0≤a 1<a 2<a 3)具有性质P ，则a 1＝0,0<a 2<a 3，a 2＋a 3>a 3不是数列中的项，必有a 3－a 2＝a 2，即a 3＝2a 2，因a 1＝0，故a 1＋a 3＝2a 2，得命题④正确，综上可得真命题共有3个，故应选B.7．(2011·杭州二检)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝q 22＋3d ＝q2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2d ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4d ＝2，所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.8．(2011·天津市二十区县联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，向量a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ，则S 5S 3＝________.[答案]317[解析] ∵a ＝(a n －1，－2)，b ＝(4，S n )满足a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴4a n －4－2S n ＝0，即S n ＝2a n －2， ∴S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)． 两式相减得a n ＝2a n －1，∴a na n －1＝2. 由S n ＝2a n －2(n ∈N *)，得a 1＝2.∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n.∴S 5S 3＝21－251－221－231－2＝317. 9．(2011·苏州检测)正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝________.[答案] 2n 3[解析] 由题意知，前n 组共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，所以第n －1组的最后一个数为(n －1)2，第n 组的第一个数为(n －1)2＋1，第n 组共有2n －1个数，所以根据等差数列的前n 项和公式可得A n ＝[n －12＋1]＋[n －12＋2n －1]2(2n －1)＝[(n －1)2＋n ](2n －1)，而B n ＝n 3－(n －1)3，所以A n ＋B n ＝2n 3.10．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1前n 项和为T n ，问使T n >10002009的最小正整数n 是多少？[解析] (1)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，∴f (1)＝a ＝13.已知等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则当n ≥2时，a n ＝[f (n )－c ]－[f (n －1)－c ]＝a n (1－a －1)＝－23n .∵{a n }是等比数列，∴{a n }的公比q ＝13.∴a 2＝－29＝a 1q ＝[f (1)－c ]×13，解得c ＝1，a 1＝－23.故a n ＝－23n (n ≥1)．由题设知{b n }(b n >0)的首项b 1＝c ＝1，其前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，由S n －S n －1＝S n ＋S n －1⇒S n －S n －1＝1，且S 1＝b 1＝1. ∴{S n }是首项为1，公差为1的等差数列， 即S n ＝n ⇒S n ＝n 2.∵b n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， 又b 1＝1＝2×1－1，故数列{b n }的通项公式为：b n ＝2n －1(n ≥1)． (2)∵b n ＝2n －1(n ≥1)， ∴1b n b n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴T n ＝∑k ＝1n1b k b k ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 要T n >10002009⇔n 2n ＋1>10002009⇔n >10009＝11119，故满足条件的最小正整数n 是112.11．(2011·焦作模拟)已知函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，且点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5.[解析] (1)∵函数f (x )＝a x的图象过点(1，12)，∴a ＝12，f (x )＝(12)x.又点(n －1，a n n 2)(n ∈N ＋)在函数f (x )＝a x的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1.(2)由b n ＝n ＋122n－n 22n ＝2n ＋12n 得， S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ， 则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得：12S n ＝32＋2(122＋123＋…＋12n )－2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n ，∴S n <5.。
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1 2π 即 cos A＝－2，∵0＜A＜π，∴A＝ 3 . 2π (2)由余弦定理得，a ＝b ＋c －2bccos A，A＝ ， 3
2 2 2
则 a2＝(b＋c)2－bc，又 a＝2 3，b＋c＝4， 1 有 12＝4 －bc，则 bc＝4，故 S△ABC＝ bcsin A＝ 3. 2
2
考向三 正、余弦定理的综合应用 【例 3】►在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b， π c，已知 c＝2，C＝3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC 的面积． [审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关 于 a，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据 sin C＋sin(B－ A)＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系， 求出边 a，b 的值即可解决问题．
)．
由正弦定理知：
sin A cos B . sin A＝ sin B ，∴sin B＝cos B，∴B＝45° 答案 B
3．(2011· 郑州联考)在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等 于( )． B．45° C．60° D．75°
A．30° 解析
b2＋c2－a2 1＋4－3 1 由余弦定理得：cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2×1×2 2
a b a 10 由正弦定理sin A＝sin B，可得sin 30° 3 ， ＝ 5 所以 a＝3.
1 3 (2)因为△ABC 的面积 S＝2ac· B，sin B＝5， sin 3 所以 ac＝3，ac＝10. 10 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 8 得 4＝a ＋c －5ac＝a2＋c2－16，即 a2＋c2＝20.
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需 直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一 边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
π 【训练 1】 (2011· 北京)在△ABC 中，若 b＝5， ∠B＝4，tan A＝2，则 sin A＝________；a＝________. 解析 因为△ABC 中，tan A＝2，所以 A 是锐角， sin A 且cos A＝2，sin2A＋cos2A＝1， 2 5 联立解得 sin A＝ 5 ， a b 再由正弦定理得sin A＝sin B， 代入数据解得 a＝2 10. 2 5 答案 2 10 5
π π 4 3 2 3 当 cos A＝0，即 A＝ 时，B＝ ，a＝ ，b＝ ； 2 6 3 3 当 cos A≠0 时，得 sin B＝2sin A，由正弦定理，得 b＝2a. a＝2 3， a2＋b2－ab＝4， 3 联立方程组 解得 b＝2a， 4 3 b＝ 3 . 1 2 3 所以△ABC 的面积 S＝ a bsin C＝ . 2 3
a2＋c2－b2 解 (1)由余弦定理知：cos B＝ ， 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab cos B b 将上式代入 ＝－ 得： cos C 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b 2ac ·2＋b2－c2＝－2a＋c， a 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cos B＝ ＝ ＝－ . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π. 3
2 (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π 代入 b2＝a2＋c2－2accos B，得 3 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
1 ∴13＝16－2ac1－2，∴ac＝3.
1 3 3 ∴S△ABC＝ acsin B＝ 2 4 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边 进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程 思想在解题过程中的运用．
2 2
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以 a＋c＝2 10.
阅卷报告 4——忽视三角形中的边角条件致错 【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大， 但稍 不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因 就是忽视三角形中的边角条件. 【防范措施】 解三角函数的求值问题时， 估算是一个重要步骤， 估算时应考虑三角形中的边角条件.
∵0＜A＜π，∴A＝60° . 答案 C
1 4．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝3，则△ABC 的面 积为( A．3 3 )． B．2 3 C．4 3 D. 3
1 2 2 解析 ∵cos C＝3，0＜C＜π，∴sin C＝ 3 ， 1 ∴S△ABC＝2absin C 1 2 2 ＝2×3 2×2 3× 3 ＝4 3. 答案 C
2．余弦定理：a2＝ b2＋c2－2bccos A
2 2 c2＝a ＋b －2abcos C
，b2＝ a2＋c2－2accos B ，
b2＋c2－a2 ．余弦定理可以变形为：cos A＝ 2bc ，
a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
1 1 1 abc 1 3．S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· 是三 r(R 角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
【示例】►(2011· 安徽)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B， C 所对的边长，a＝ 3，b＝ 2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边 BC 上的高． 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．
实录 由 1＋2cos(B＋C)＝0， 1 知 cos A＝2， π ∴A＝3， a b 根据正弦定理sin A＝sin B得： bsin A 2 sin B＝ a ＝ 2 ， π 3π ∴B＝4或 4 . 以下解答过程略．
解
(1)由余弦定理及已知条件，得 a2 ＋b2 －ab＝4.又因为△
1 ABC 的面积等于 3，所以 absin C＝ 3，得 ab＝4，联立方程 2
a2＋b2－ab＝4， 组 ab＝4， a＝2， 解得 b＝2.
(2)由题意，得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A， 即 sin Bcos A＝2sin Acos A.
正解 ∵在△ABC 中，cos(B＋C)＝－cos A， π ∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝ . 3 a b 在△ABC 中，根据正弦定理 ＝ ， sin A sin B bsin A 2 ∴sin B＝ ＝ . a 2 π ∵a＞b，∴B＝ ， 4 5 ∴C＝π－(A＋B)＝ π. 12
第6讲 正弦定理和余弦定理
【2013年高考会这样考】 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】 1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法． 2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题 过程中做到正余弦定理的优化选择．
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
考向二 利用余弦定理解三角形 【例 2】►在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 cos B b ＝－ . cos C 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． cos B b [审题视点] 由cos C＝－ ，利用余弦定理转化为边的关系 2a＋c 求解．
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
【训练 2】 (2011· 桂林模拟)已知 A，B，C 为△ABC 的三个内 A 角，其所对的边分别为 a，b，c，且 2cos ＋cos A＝0. 2
2
(1)求角 A 的值； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
A 解 (1)由 2cos ＋cos A＝0，得 1＋cos A＋cos A＝0， 2
a b 3 2 解 由正弦定理得sin A＝sin B，sin A＝sin 45° ， 3 ∴sin A＝ . 2 ∵a＞b，∴A＝60° A＝120° 或 . 6＋ 2 bsin C 当 A＝60° 时，C＝180° －45° －60° ＝75° ，c＝ sin B ＝ 2 ； 6－ 2 bsin C 当 A＝120° C＝180° 时， －45° －120° ＝15° c＝ sin B ＝ 2 . ，
∴sin C＝sin(B＋A)＝sin Bcos A＋cos Bsin A 6＋ 2 2 1 2 3 ＝ × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4 6＋ 2 3＋1 ∴BC 边上的高为 bsin C＝ 2× ＝ . 4 2
【试一试】 (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边 分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝ 2a. b (1)求a； (2)若 c2＝b2＋ 3a2，求 B. [尝试解答] (1)由正弦定理得，