2013高考数学(理)一轮复习课件：4-6

5． 已知△ABC 三边满足 a2＋b2＝c2－ 3ab， 则此三角形的最大 内角为________． 解析 a2＋b2－c2 3 2 2 2 ∵a ＋b －c ＝－ 3ab，∴cos C＝ 2ab ＝－ 2 ，
故 C＝150° 为三角形的最大内角． 答案 150°
考向一
利用正弦定理解三角形
【例 1】►在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45° .求角 A，C 和 边 c. [审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正 弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．
第6讲 正弦定理和余弦定理
【2013年高考会这样考】 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【复习指导】 1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法． 2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题 过程中做到正余弦定理的优化选择．
2 2
所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以 a＋c＝2 10.
阅卷报告 4——忽视三角形中的边角条件致错 【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大， 但稍 不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因 就是忽视三角形中的边角条件. 【防范措施】 解三角函数的求值问题时， 估算是一个重要步骤， 估算时应考虑三角形中的边角条件.
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
考向二 利用余弦定理解三角形 【例 2】►在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 cos B b ＝－ . cos C 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． cos B b [审题视点] 由cos C＝－ ，利用余弦定理转化为边的关系 2a＋c 求解．
2
1 2π 即 cos A＝－2，∵0＜A＜π，∴A＝ 3 . 2π (2)由余弦定理得，a ＝b ＋c －2bccos A，A＝ ， 3
2 2 2
则 a2＝(b＋c)2－bc，又 a＝2 3，b＋c＝4， 1 有 12＝4 －bc，则 bc＝4，故 S△ABC＝ bcsin A＝ 3. 2
2
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考向三 正、余弦定理的综合应用 【例 3】►在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b， π c，已知 c＝2，C＝3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC 的面积． [审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关 于 a，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据 sin C＋sin(B－ A)＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系， 求出边 a，b 的值即可解决问题．
【示例】►(2011· 安徽)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B， C 所对的边长，a＝ 3，b＝ 2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边 BC 上的高． 错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．
实录 由 1＋2cos(B＋C)＝0， 1 知 cos A＝2， π ∴A＝3， a b 根据正弦定理sin A＝sin B得： bsin A 2 sin B＝ a ＝ 2 ， π 3π ∴B＝4或 4 . 以下解答过程略．
2 (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π 代入 b2＝a2＋c2－2accos B，得 3 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
1 ∴13＝16－2ac1－2，∴ac＝3.
1 3 3 ∴S△ABC＝ acsin B＝ 2 4 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边 进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程 思想在解题过程中的运用．
2．余弦定理：a2＝ b2＋c2－2bccos A
2 2 c2＝a ＋b －2abcos C
，b2＝ a2＋c2－2accos B ，
b2＋c2－a2 ．余弦定理可以变形为：cos A＝ 2bc ，
a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
1 1 1 abc 1 3．S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· 是三 r(R 角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
【训练 2】 (2011· 桂林模拟)已知 A，B，C 为△ABC 的三个内 A 角，其所对的边分别为 a，b，c，且 2cos ＋cos A＝0. 2
2
(1)求角 A 的值； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
A 解 (1)由 2cos ＋cos A＝0，得 1＋cos A＋cos A＝0， 2
正解 ∵在△ABC 中，cos(B＋C)＝－cos A， π ∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝ . 3 a b 在△ABC 中，根据正弦定理 ＝ ， sin A sin B bsin A 2 ∴sin B＝ ＝ . a 2 π ∵a＞b，∴B＝ ， 4 5 ∴C＝π－(A＋B)＝ π. 12
(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需 直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一 边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
π 【训练 1】 (2011· 北京)在△ABC 中，若 b＝5， ∠B＝4，tan A＝2，则 sin A＝________；a＝________. 解析 因为△ABC 中，tan A＝2，所以 A 是锐角， sin A 且cos A＝2，sin2A＋cos2A＝1， 2 5 联立解得 sin A＝ 5 ， a b 再由正弦定理得sin A＝sin B， 代入数据解得 a＝2 10. 2 5 答案 2 10 5
a2＋c2－b2 解 (1)由余弦定理知：cos B＝ ， 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab cos B b 将上式代入 ＝－ 得： cos C 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b 2ac ·2＋b2－c2＝－2a＋c， a 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cos B＝ ＝ ＝－ . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π. 3
∴sin C＝sin(B＋A)＝sin Bcos A＋cos Bsin A 6＋ 2 2 1 2 3 ＝ × ＋ × ＝ . 2 2 2 2 4 6＋ 2 3＋1 ∴BC 边上的高为 bsin C＝ 2× ＝ . 4 2
【试一试】 (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边 分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝ 2a. b (1)求a； (2)若 c2＝b2＋ 3a2，求 B. [尝试解答] (1)由正弦定理得，
a b 3 2 解 由正弦定理得sin A＝sin B，sin A＝sin 45° ， 3 ∴sin A＝ . 2 ∵a＞b，∴A＝60° A＝120° 或 . 6＋ 2 bsin C 当 A＝60° 时，C＝180° －45° －60° ＝75° ，c＝ sin B ＝ 2 ； 6－ 2 bsin C 当 A＝120° C＝180° 时， －45° －120° ＝15° c＝ sin B ＝ 2 . ，
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数 a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
两解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
a b a 10 由正弦定理sin A＝sin B，可得sin 30° 3 ， ＝ 5 所以 a＝3.
1 3 (2)因为△ABC 的面积 S＝2ac· B，sin B＝5， sin 3 所以 ac＝3，ac＝10. 10 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 8 得 4＝a ＋c －5ac＝a2＋c2－16，即 a2＋c2＝20.
∵0＜A＜π，∴A＝60° . 答案 C
1 4．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝3，则△ABC 的面 积为( A．3 3 )． B．2 3 C．4 3 D. 3
1 2 2 解析 ∵cos C＝3，0＜C＜π，∴sin C＝ 3 ， 1 ∴S△ABC＝2absin C 1 2 2 ＝2×3 2×2 3× 3 ＝4 3. 答案 C
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
π π 4 3 2 3 当 cos A＝0，即 A＝ 时，B＝ ，a＝ ，b＝ ； 2 6 3 3 当 cos A≠0 时，得 sin B＝2sin A，由正弦定理，得 b＝2a. a＝2 3， a2＋b2－ab＝4， 3 联立方程组 解得 b＝2a， 4 3 b＝ 3 . 1 2 3 所以△ABC 的面积 S＝ a bsin C＝ . 2 3
正弦定理、 余弦定理、 三角形面积公式对任意三角形 都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通 过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．
【训练 3】 (2011· 北京西城一模)设△ABC 的内角 A，B，C 所 4 对的边长分别为 a，b，c，且 cos B＝5，b＝2. (1)当 A＝30° 时，求 a 的值； (2)当△ABC 的面积为 3 时，求 a＋c 的值． 解 4 3 (1)因为 cos B＝5，所以 sin B＝5.
解
(1)由余弦定理及已知条件，得 a2 ＋b2 －ab＝4.又因为△
1 ABC 的面积等于 3，所以 absin C＝ 3，得 ab＝4，联立方程 2
a2＋b2－ab＝4， 组 ab＝4， a＝2， 解得 b＝2.
(2)由题意，得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A， 即 sin Bcos A＝2sin Acos A.
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
)．
由正弦定理知：
sin A cos B . sin A＝ sin B ，∴sin B＝cos B，∴B＝45° 答案 B
3．(2011· 郑州联考)在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等 于( )． B．45° C．60° D．75°
A．30° 解析
b2＋c2－a2 1＋4－3 1 由余弦定理得：cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2×1×2 2