直线与圆方程的应用举例
直线与圆的方程公式总结
直线与圆的方程公式总结一、直线方程公式直线是平面上的一种基本几何对象，它可以用方程来表示。
下面是几种常见的直线方程公式：1. 斜截式方程斜截式方程是描述直线的一种常见形式，它可以表示为y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
斜截式方程适用于已知直线斜率和截距的情况。
2. 一般式方程一般式方程是直线的另一种常见形式，它可以表示为Ax+By+C=0，其中A,B,C是常数。
一般式方程适用于已知直线上两点坐标的情况。
3. 点斜式方程点斜式方程是描述直线的一种方便形式，它需要已知直线上的一点和直线的斜率。
点斜式方程可以表示为(y−y1)=m(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的已知点，m是直线的斜率。
4. 截距式方程截距式方程是描述直线的一种常用形式，它需要已知直线在x轴和y轴上的截距。
截距式方程可以表示为 $\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1$，其中a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距。
二、圆的方程公式圆是平面上的一个重要几何对象，它可以用方程来表示。
下面是两种常见的圆的方程公式：1. 标准方程圆的标准方程可以表示为(x−ℎ)2+(y−k)2=r2，其中(ℎ,k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2. 中心半径式圆的中心半径式可以表示为(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
三、直线与圆的关系直线和圆之间有几种可能的关系：1.直线与圆相切：直线与圆正好接触于一个点。
此时，直线与圆的切点坐标满足直线方程和圆的方程。
2.直线与圆相离：直线与圆没有交点。
此时，直线方程和圆的方程无解。
3.直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
此时，直线方程和圆的方程有两组解。
4.直线过圆心：直线经过圆的中心点。
此时，直线方程和圆的方程有唯一解。
四、实例下面通过一个实例来展示直线和圆的方程公式的应用。
假设有一个圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=4，现在求圆与直线y=2x+1的交点坐标。
直线系、圆系方程
直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。
直线与圆的方程的应用
课堂小结： 1、熟悉直线、圆的方程； 2、用坐标系解决实际、几何问题，以及它的解题步骤
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表 示问题中的量；
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何 结论。
课后作业：课本144页 练习：2、4
例2:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.
分析:
如图，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴。 本题关键是求出圆心O1的坐标.过O1作AC、BD、AD的垂线, 垂足为M , N, E,则它们分别是AC、BD、AD的中点,垂足M 的横坐标与O1的横坐标一致.同法可求出O1的纵坐标.
练习1:某圆拱桥的水面跨度是20m,拱高4m.现有一 船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过? (精确到0.1;其中 741 27.22 ) 分析:如图所示,要判断船能否通过拱桥,只需判断
A1P1或A2 P2的高度是否超过 3m
解：
以ห้องสมุดไป่ตู้示水面跨度的AB所在直线作为x轴，以表示拱高的OP所在的直线
证明：
如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA, BD所在 直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设
A(a,0), B(0,b),C(c,0), D(0, d ).
分别作O1M ,O1N ,O1E垂直于AC, BD, AD,垂足分别为M , N , E ,则它们分别是弦AC, BD, AD的中点,则由中点坐标公式可得
0
2
(4 b)2
.............解得b r2
10.5, r 2
14.52
聚焦直线系、圆系方程的应用
聚焦直线系、圆系方程的应用【直线系方程的应用】一、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习： 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 二、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1， 此时所求直线方程为：20x y -=； 当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-， 令y =0，解得x =121λλ+-+， 由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=. 三、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10x m y -+-=,∵m ∈R, ∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得，1x =，1y =，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取m =0，m =1得，1y =，20x y +-=，联立解得，1x =，1y =， 将（1,1）代入10mx y m +--=检验满足方程，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R ，则恒等式个系数为0，列出关于,x y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.【圆系方程的应用】常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=一、利用圆系方程求圆的方程：例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０ ∵（0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x 即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
《6.6 直线与圆的方程应用举例》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块下册
《直线与圆的方程应用举例》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 巩固直线与圆的方程基础概念2. 提高学生应用直线与圆的方程解决实际问题的能力3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力二、作业内容：1. 选取实际生活中的场景，如车轮设计、桥梁建设等，写出相应的直线或圆的方程式。
2. 根据所学的直线与圆的方程，尝试解决一些实际问题，如计算圆的面积、判断直线与圆的位置关系等。
3. 根据提供的场景，自行设计一道直线与圆的综合应用题，并尝试用方程求解。
三、作业要求：1. 作业内容应包括实际生活中的数学问题、实际问题以及自创的综合应用题，题目应尽可能地多元化、有深度。
2. 所写的方程式和问题，必须注明相应的数学概念和原理，以便于教师对完成情况的判断和理解。
3. 鼓励创新，但应注意题目的合理性和可行性，确保作业的质量。
4. 提交作业应以电子版形式提交，包括题目、答案和解题思路等。
四、作业评价：1. 教师将根据作业的完成情况、题目的创新性和合理性、答案的正确性等方面进行评价。
2. 评价将以分数形式进行，分为优秀（90分以上）、良好（80分）、中等（70分）及以下，并对优秀作业进行展示和点评。
五、作业反馈：1. 学生应根据教师给出的评价结果，认真分析自己的作业完成情况，总结存在的问题和不足之处。
2. 学生应向教师提出疑问和反馈，以便于教师更好地了解学生的学习情况和需求。
3. 学生之间也可以互相交流和讨论作业内容，共同提高数学应用能力和思维能力。
通过以上作业设计方案，旨在帮助学生巩固直线与圆的方程基础概念，提高他们应用直线与圆的方程解决实际问题的能力，同时培养他们的数学思维和逻辑推理能力。
作业内容应多元化、有深度，鼓励创新，确保作业的质量。
通过教师评价和反馈，学生可以更好地了解自己的学习情况，提出疑问和反馈，共同提高数学应用能力和思维能力。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标：1. 理解和掌握直线与圆的方程，能够在实际问题中灵活运用。
10.5直线与圆的方程应用举例
48（海里）．
32 42
由48 50 ，故渔船在不改变航向的情况下，它会受到台风 的影响．
10.5直线与圆的方程应用举例
1．若直线3x 4y m 0 与圆x2 y2 6x 5 0相切，求 m 的值． 2．著名的圆拱桥赵州桥跨度是 米．圆拱高约为 米，求这座 圆拱桥的圆拱所在圆的方程．
3．已知圆C：x2 y2 16 ，点 P(1, 2) 在圆内，过点 P 的直线 l与
圆 C 相交于 A、B 两点，且弦 AB是所有过点 P的弦中长度最
短的，求直线 l的方程．
解：建立如图所示直角坐标系，使圆心
在 y 轴上．设圆心的坐标是 ，圆的半径是r
，那么圆的方程是 x2 ( y b)2 r2 因为点A、P都在圆上，所以它们的坐标（9，0），
（0，4）都满足方程 x2 ( y b)2 r2 ．于是，得到方程组
92 (0 b)2 r2 , 02 (4 b)2 r2.
10.5直线与圆的方程应用举例
例2 一艘渔船正沿直线返回港口的途中，接到气象台的 台风预报，台风中心位于渔船的正东方80海里处，受到影响的 范围是半径为50海里的圆形区域．已知港口位于台风中心正北 方60海里处，假设台风中心不移动，试问：渔船在不改变航向 的情况下，它是否会受到台风的影响．
解：如图以台风中心为坐标原点，东西方向
为 轴x ，南北方向为 轴y 建立平面直角坐标系．
于是渔船Ａ和港口Ｂ的坐标分别为(80, 0)、(0, 60)
直线 AB的斜率为 k 60 0 3
0 (80) 4
求得直线 AB的方程为3x 4y 240 0 ．
10.5直线与圆的方程应用举例
240
台风中心点O 到直线 AB 的距离为 d
直线与圆方程的应用举例
思考1: 你能用几何法求支柱EP的高度吗？
y P
思考2: 如图所示建立直角坐标系，那么求支 柱EP的高度，化归为求一个什么问题？
x
B C DO E F G
思考3: 取1m为长度单位，如何求圆 拱所在圆的方程？
思考4: 利用这个圆的方程可求得点P的纵坐标是
O’
多少？问题Ⅱ的答案如何？
解： 以点D为坐标原点，过AG的直线为x轴，
思考3: 取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？ 思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？
港口
如图所示以台风中心为原点，轮船所在的方向为X轴的正方向，取10km为长度单位，建立直角坐标系。
思考2:你有什么办法判断轮船航线是否 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
兴
（3） d r ：直线与圆相交．
趣
导
入
设圆的标准方程为 (xa)2(yb)2r2
创
则圆心C(a，b)到直线 AxByC0
设
的距离为
情
境
d Aa Bb C ．
兴
A2 B2
趣
比较d与r的大小，就可以判断直线与圆的位置关系．
导
入
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km 处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮 船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
直线与圆方程的应用举例
我们知道，平面内直线与圆的位置关系有三种（如图）：
创
设
（1）相离：无交点；
情
境
（2）相切：仅有一个交点；
直线与圆的方程的应用ppt
直线与圆的方程的应用直线与圆的方程是高中数学中的基础知识点，它们在几何图形的研究中起到重要作用。
本文将介绍直线和圆的方程的基本概念，并以实际应用为例，展示它们在解决实际问题中的应用。
直线的方程在平面几何中，直线可以用不同的方程表示，常见的有一般式、点斜式和斜截式方程。
•一般式方程：一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
•点斜式方程：点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
•斜截式方程：斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线在y轴上的截距。
直线的方程可以通过给定的条件进行推导和转换。
通过直线的方程，我们可以确定直线在平面上的位置、斜度和与其他几何图形的关系等。
圆的方程圆是一个由一组离一个固定点的距离相等的点所组成的集合。
在平面几何中，圆的方程有多种表示方式。
•一般式方程：一般式方程表示为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径。
•标准方程：标准方程表示为(x - a)² + (y - b)² = R²，其中(a, b)表示圆心的坐标，R表示圆的半径。
•参数方程：参数方程表示为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径，θ为参数。
圆的方程描述了圆心坐标、半径和点与圆的关系等信息。
通过圆的方程，我们可以确定圆的位置、形状和与其他几何图形的关系等。
直线与圆的相交问题直线与圆的相交问题是直线和圆的方程应用的一个重要部分。
在解决直线与圆的相交问题时，我们需要先将直线的方程和圆的方程联立，求解它们的交点。
当直线与圆相交时，交点可以有两个、一个或没有。
我们可以通过解方程组来求解直线与圆的交点坐标，进而得到它们之间的关系。
圆的方程与直线与圆的关系
圆的方程与直线与圆的关系圆是几何学中的重要概念之一，也是人们日常生活中常见的几何形状。
圆所具备的一些性质使得它与直线之间存在着一系列的关系，这些关系常常在数学推导和实际应用中得到充分的体现和利用。
本文将探讨圆的方程及其与直线之间的关系。
一、圆的方程圆是由一组等距离于中心的点组成的集合，在平面直角坐标系中，如果圆的中心坐标为（a,b），半径为r，那么圆的方程可以表示为：（x-a）² + （y - b）² = r²其中（x，y）为圆上任意一点的坐标。
二、直线与圆的关系2.1 直线与圆相离当一条直线与圆不相交且也不相切时，称直线与圆相离。
2.2 直线与圆相切当一条直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。
2.3 直线与圆相交当一条直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。
直线与圆相交时，可以进一步分为以下几种情况：2.3.1 直线穿过圆当一条直线通过圆的中心时，直线与圆的交点个数为2个，直线称为圆的直径，两个交点称为圆的端点。
2.3.2 直线与圆的交点在圆内当直线与圆相交，交点在圆的内部时，直线与圆的交点个数为2个。
此时，根据勾股定理可以求出交点的具体位置。
2.3.3 直线与圆的交点在圆外当直线与圆相交，交点在圆的外部时，直线与圆的交点个数为2个。
这种情况下，可以利用直线与圆的方程联立求解来确定交点的坐标。
三、应用举例在现实生活中，圆与直线的关系有着广泛的应用。
以下是一些示例：3.1 圆形运动在物理学中，当一个物体以某个点为圆心做匀速圆周运动时，轨迹是一个圆。
这种运动可以通过圆的方程来描述，而物体所在的位置可以通过直线与圆的交点来确定。
3.2 圆的切线圆的切线是直接与圆相切的直线。
切线与圆的切点可以唯一地确定一条切线。
切线问题在几何推理中有着广泛的应用，例如在建筑设计、路线规划等方面。
3.3 圆的包络线考虑一组与圆心距离相等的直线，当直线逐渐旋转时，所形成的曲线被称为圆的包络线。
直线与圆的方程应用举例
2.画出方程 x3 4y2表示的曲线.
解：显然 x3 4y2 中， x, y必须满足 x 3 , 2 y2. 由 x3 4y2 得，(x3)2y2 4. 所以方程 x3 4y2表示的曲线是: 以圆心为(3,0)，半径为2的圆的右半圆.
y
o
x
画出方程 y 9(x1)2 表示的曲线.
3.如图是某拱桥的圆拱示意图. 跨度AB=20m，拱高OP=4m.
所以方程
表示的曲线是:
O
150
A 100 B x
(2)当卸完货返航时，船水面以上高3.
有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，
如图是某拱桥的圆拱示意图.
∵A, B, P在圆上，
直线与圆的方程应用举例
如图，某城市的摩天轮的高度是100米，在离摩天轮约150米处有一建筑物，某人在离建筑物100米的地方刚好可以在建筑物顶部看到
16 4 E F 0
A
A1 A2 O A3 A4
Bx
解得 D=0，E=21，F= –100，
因此，圆的方程为x2+y2+21y–100=0.
令x= –2， 解得y≈3.86. 答：支柱A2P2的高度约为3.86m.
某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米. 有一货船，装满货过 桥，顶部宽4米，水面以上高3米， (1)请问此船能否通过？ (2)当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？
y
PN
A
OM
Bx
垂足为H，交圆面，某直角城坐标市系，的用坐摩标和天方程轮表示的问题高中的度几何是元素1，0将0平米面几，何问在题转离化为摩代数天问题轮； 约150米
处有一建筑物，某人在离建筑物100米的地方刚好可以在建筑 所以方程
直线与圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
直线与圆的方程应用举例教案
直线与圆的方程应用举例教案引言直线与圆是高中数学中常见的几何概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本教案将通过一些具体的实例，帮助学生更好地理解直线与圆的方程，并学习如何应用这些知识解决实际问题。
例题1：判断点在直线上的方法问题描述在直角坐标系中，给定直线的方程为2x−3y=6，判断点P(4,−2)是否在直线上。
解题思路要判断点是否在直线上，可以将点的坐标代入直线的方程，若等式成立，则点在直线上。
具体步骤如下：1.将点的坐标代入直线的方程：$2 \\cdot 4 - 3 \\cdot (-2) = 6$。
2.计算等式左边的值：8+6=14。
3.判断等式是否成立：14=14，因此点P(4,−2)在直线2x−3y=6上。
结论点P(4,−2)在直线2x−3y=6上。
例题2：求直线与圆的交点问题描述在直角坐标系中，给定圆的方程为x2+y2=25，直线的方程为y=2x+1，求直线与圆的交点。
解题思路要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，求解方程组得到交点的坐标。
具体步骤如下：1.将直线的方程代入圆的方程：x2+(2x+1)2=25。
2.化简方程：x2+4x2+4x+1=25。
3.组合同类项：5x2+4x−24=0。
4.求解方程：可以使用因式分解或二次方程公式求解方程5x2+4x−24=0，得到x1=2和x2=−2.4。
5.将x的值代入直线的方程，求解y的值：$y = 2 \\cdot 2 + 1 = 5$ 和$y = 2 \\cdot (-2.4) + 1 = -3.8$。
6.得到两个交点的坐标：交点1为P1(2,5)，交点2为P2(−2.4,−3.8)。
结论直线y=2x+1与圆x2+y2=25相交于两个点，分别为点P1(2,5)和P2(−2.4,−3.8)。
例题3：利用圆的方程求解实际问题问题描述一个游乐场的中央有一座圆形喷泉，喷泉周围有一圈供游客休息坐椅的位置。
已知坐椅到喷泉的距离为10米，并且坐椅到喷泉的连线垂直于坐椅到游乐场中心的半径。
直线与圆的位置关系的应用问题
直线与圆的位置关系的应用问题为了解直线与圆的位置关系的应用问题，我们首先需要掌握直线与圆的基本性质和定义。
直线是由无限多点连成的一条无宽度的路径，而圆是由中心点和半径确定的，周围的所有点到中心点的距离都相等。
在解决直线与圆的位置关系的应用问题时，我们常常会遇到以下几种情况：直线与圆相交，直线在圆内或圆外切，直线与圆相切。
在接下来的讨论中，我们将会具体分析这几种情况并且给出相关的例题。
情况一：直线与圆相交当直线与圆有两个交点时，我们可以利用勾股定理和圆的性质来求解。
假设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)^2 + (y - n)^2 =r^2。
我们可以将直线方程带入圆的方程，然后解方程组得到交点坐标。
通过计算交点的坐标，我们可以得到直线与圆的位置关系以及两个交点的具体位置。
情况二：直线在圆内或圆外切当直线与圆相切时，我们可以利用距离公式来求解。
首先，我们找到圆心到直线的距离，并与圆的半径进行比较。
如果圆心到直线的距离与半径相等，则直线在圆上；如果圆心到直线的距离大于半径，则直线在圆外；如果圆心到直线的距离小于半径，则直线在圆内。
情况三：直线与圆相切当直线与圆相切时，我们可以利用切线的性质来求解。
切线与圆相切于一点，且与该点的切线垂直。
我们可以利用切线的斜率与圆心到该点的连线的斜率乘积为-1来求解切点的坐标。
通过计算切点的坐标，我们可以得到直线与圆的位置关系以及切点的具体位置。
下面我们通过两个具体的例题来进一步说明直线与圆的位置关系的应用问题。
例题一：已知直线y = 2x + 1与圆(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4相交，求交点的坐标。
解：将直线方程y = 2x + 1代入圆的方程(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4，得到(x - 2)^2 + (2x + 1 - 3)^2 = 4。
展开并化简方程，得到5x^2 + 8x + 12 = 0。
解这个二次方程，可得到两个交点的x坐标为-1和-2。
直线方程与圆的方程应用举例教案
直线方程与圆的方程应用举例教案引言在数学中，直线和圆是常见的几何图形。
直线通过两个点来确定，而圆则由一个中心点和半径来确定。
直线方程和圆方程是描述这两类图形的重要工具。
本教案将通过一些具体的应用举例，帮助学生理解和应用直线方程与圆的方程。
一、直线方程应用举例1. 汽车行驶问题假设一辆汽车的初始位置是坐标原点 (0, 0)，车辆以速度 v 向着 x 轴正方向行驶。
现在要求学生根据这些信息来推导出汽车的运动方程。
解答思路：汽车在 x 轴上的位置可以用直线方程 y = 0x + 0 表示，其中斜率为0，截距为 0。
由于速度 v 表示的是单位时间内汽车在 x 轴上的移动距离，所以坐标点 (x, y) 表示汽车的位置可以表示为 (x, y) = (vt, 0)，其中 t 表示时间。
2. 电费问题某市居住用电计费采用两阶梯计费，每月电量低于200度的部分电费按0.5元/度计算，超过200度的部分电费按0.8元/度计算。
假设一个家庭每月用电量为 x 度，要求学生根据这些信息来推导计费公式。
解答思路：当用电量低于200度时，电费总额为 0.5x；当用电量超过200度时，电费总额为 0.5 * 200 + 0.8 * (x - 200)。
综合起来，可以得到计费公式为：电费总额 =\\begin{cases}0.5x, & \\text{if } x \\leq 200 \\\\0.5 * 200 + 0.8 * (x - 200), & \\text{if } x > 200\\end{cases}二、圆的方程应用举例1. 池塘中的青蛙一个半径为10 米的圆形池塘中有一只青蛙。
青蛙可以跳跃的最大距离为r 米，要求学生根据这些信息来判断青蛙是否能够跳出池塘。
解答思路：青蛙能够跳出池塘的条件是能够找到一条直线，其长度大于圆的半径。
根据勾股定理，直线的长度可以用直角三角形的两条边的平方和的开根号表示。
直线与方程、第四章圆的知识点及典型例题
直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即k=tan α。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。
例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1²k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
6.6直线与圆的方程应用举例
6.6 直线与圆的方程应用举例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
3.某圆拱桥的跨度是20m，圆拱高4m，现有宽10m的 船,水面以上高3m,船能否从桥下通过?
6.6 直线与圆的方程应用举例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
6.6 直线与圆的方程应用举例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
点Q(-3,2)关于x轴的对称点Q’的坐标 为 (-3,-2),故直线PQ’的斜率为
故直线PQ’的点斜式方程为y-3=x-2,即 y=x+1,直线与x轴的交点坐标为(-1,0), 故反例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
6.6 直线与圆的方程应用举例
再见
台风影响的区域是以O(0,0)为圆心, r=9为半 径的圆形区域. 因为圆心O(0,0)到直线PQ的距离为
即d>r,所以轮船航线所在直线与以台风中心为圆 心,90km为半径的圆相离,轮船可沿原航线航行,不 会受到台风影响.
6.6 直线与圆的方程应用举例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1.从点P(1,4)射出一条光线,经过x轴反射后过点 Q(-4,2),求反射点M的坐标.
6.6 直线与圆的方程应用举例 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
2.我国的赵州桥是世界上现存年代最久远、跨度最大、 保存最完整单孔坦弧敞肩石拱桥,它的跨度是37.02m,圆 拱高约7.2m,求圆拱所在圆的方程.
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o
轮船
d
| 4 * 0 7 * 0 28 | 42 7 2
d>r
3.47
r=3
所以这艘轮船不改变航线，不会受到台风的影响。 衡东职业中专 邓四云
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和 方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结 论．
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
解：
以点D为坐标原点，过AG的直线为x轴， 建立直角坐标系，则点E的坐标为（1，0）, 圆心 O’ 在y轴．
设半径为r，则| O’O|2+| OG|2=| O’G|2 即 解得
y P x
A B C D O E F G
r 2 (r 1)2 32，
直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离d与半径r的关系 来判别（如图）：
创 设 情 境 兴 趣 导 入
（1） d r ：直线与圆相离； （2） d r ：直线与圆相切； （3） d r ：直线与圆相交．
衡东职业中专 邓四云
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
设圆的标准方程为
( x a)2 ( y b)2 r 2
衡东职业中专学校教学课件
-----数学Байду номын сангаас研组
邓四云
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
我们知道，平面内直线与圆的位置关系有三种（如图）：
创 设 情 境 兴 趣 导 入
（1）相离：无交点； （2）相切：仅有一个交点； （3）相交：有两个交点．
衡东职业中专 邓四云
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
衡东职业中专 邓四云
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
如图所示以台风中心为原点，轮船所在的方向为X轴的正方向，取 解： 10km为长度单位，建立直角坐标系。则 x2＋y2＝9
台风所在圆的方程为：
港口 B
y
轮船所在的直线AB方程为： 4x＋7y－28＝0
A x 圆心（0，0）到直线4x＋7y－28＝0的距离为
港口 40km 70km 台风 轮船
衡东职业中专 邓四云
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用 思考1:解决这个问题的本质是什么？
港口
思考2:你有什么办法判断轮船航线是否 经过台风圆域？
40km 70km 台风 轮船
思考3:如何建立直角坐标系最有利于解题？根 据所建的坐标系轮船航线所在直线方程；台风 圆域边界所在圆的方程分别是什么？ 思考4:直线的位置关系如何？对问题Ⅰ应作怎样的回答？
衡东职业中专 邓四云
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
方法总结：解决实际问题的数学思想方法
实际问题
解答
分析抽象转化
建立函数模型
数学方法
实际结果
反演
数学结果
衡东职业中专 邓四云
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅱ:某施工单位砌圆拱时，需要制作如图所
示的木模．设圆拱高为1m，跨度为6 m，中间需 要等距离的安装5根支撑柱子，求E点的柱子长度 （精确到0.1m）．
思考1: 你能用几何法求支柱EP的高度吗？ 思考2: 如图所示建立直角坐标系，那么求支 柱EP的高度，化归为求一个什么问题？ 思考3: 取1m为长度单位，如何求圆 拱所在圆的方程？ 思考4: 利用这个圆的方程可求得点P的纵坐标是 多少？问题Ⅱ的答案如何？ O’ 衡东职业中专 邓四云
y P x
B C D O E F G
r 5．
2 2 所以圆心为（0，−4），圆的方程为 x ( y 4) 25．
将x＝1代入方程（取正值）得 y 4 24 0.9 m． O’ 答 E点的柱子长度约为0.9 m．
衡东职业中专 邓四云
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
衡东职业中专 邓四云
创 设 情 境 兴 趣 导 入
则圆心C(a，b)到直线 Ax By C 0 的距离为
d
Aa Bb C A2 B 2
．
比较d与r的大小，就可以判断直线与圆的位置关系．
衡东职业中专 邓四云
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km 处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮 船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？