直线与圆的方程的应用PPT课件
合集下载
2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
高二数学《直线与圆的方程的应用》课件
提示 要先建立适当的坐标系，用坐标表示出相应的几何 元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来 解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义， 得到几何结论． 2．利用坐标法求解几何问题要注意什么？ 提示 (1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面 直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素． (2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影 响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所 需的几何元素坐标或方程尽量简单．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
《直线和圆的方程》课件
参数$D,E,F$必须满足一定的条 件才能构成一个有效的圆。
圆的参数方程
圆的参数方程
01
$x=a+rcostheta, y=b+rsintheta$，其中$(a,b)$是圆心，$r$
是半径，$theta$是参数。
参数方程的应用
02
参数方程常用于圆的极坐标表示，方便计算圆的轨迹和运动。
参数方程与直角坐标系的关系
圆的一般方程
圆的一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$， 其中$D,E,F$是常数。
圆心坐标
圆心的坐标为$(-frac{D}{2}, frac{E}{2})$，通过圆心可以确 定圆的位置。
半径
半径的平方为 $frac{D^2+E^2-4F}{4}$，通 过半径可以确定圆的大小。
参数$D,E,F$
02
圆的方程的介绍
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心坐标
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是 圆心，$r$是半径。
圆心的坐标为$(a,b)$，通过圆心可以确定 圆的位置。
半径
圆上任一点坐标
半径是圆上任一点到圆心的距离，用$r$表 示。
根据圆的标准方程，圆上任一点的坐标可 以表示为$(a+rcostheta, b+rsintheta)$， 其中$theta$是参数。
《直线和圆的方程》 ppt课件
目 录
• 直线方程的介绍 • 圆的方程的介绍 • 直线与圆的位置关系 • 直线与圆的实际应用
01
直线方程的介绍
直线的斜率与截距式
总结词
斜率截距式是直线方程的基本形式，它描述了直线在直角坐标系中的位置关系 。
圆的参数方程
圆的参数方程
01
$x=a+rcostheta, y=b+rsintheta$，其中$(a,b)$是圆心，$r$
是半径，$theta$是参数。
参数方程的应用
02
参数方程常用于圆的极坐标表示，方便计算圆的轨迹和运动。
参数方程与直角坐标系的关系
圆的一般方程
圆的一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$， 其中$D,E,F$是常数。
圆心坐标
圆心的坐标为$(-frac{D}{2}, frac{E}{2})$，通过圆心可以确 定圆的位置。
半径
半径的平方为 $frac{D^2+E^2-4F}{4}$，通 过半径可以确定圆的大小。
参数$D,E,F$
02
圆的方程的介绍
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心坐标
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是 圆心，$r$是半径。
圆心的坐标为$(a,b)$，通过圆心可以确定 圆的位置。
半径
圆上任一点坐标
半径是圆上任一点到圆心的距离，用$r$表 示。
根据圆的标准方程，圆上任一点的坐标可 以表示为$(a+rcostheta, b+rsintheta)$， 其中$theta$是参数。
《直线和圆的方程》 ppt课件
目 录
• 直线方程的介绍 • 圆的方程的介绍 • 直线与圆的位置关系 • 直线与圆的实际应用
01
直线方程的介绍
直线的斜率与截距式
总结词
斜率截距式是直线方程的基本形式，它描述了直线在直角坐标系中的位置关系 。
《直线和圆方程》课件
《直线和圆方程》 ppt课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
直线和圆的方程PPT课件(2021)
(2)由已知
t 2 1 7t 2 6t 1 4t 2 3t 0 t 3 或t 0 4
结合(1)得:t 的范围为 ( 1 ,0) ( 3 ,1)
7
4
(1) 设圆心坐标为(x,y),则有
xt3
y
4t 2
1
y
4x2
24x
35 命题得证
例 2．（1）求经过点 A（5，2），B（3，2），圆心在直线 2x-y-3=0 上圆方程； （2）设圆上的点 A（2，3）关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这
(1) 倾斜角的正弦值为 4 ;
5
(2) 与坐标轴围成的三角形面积为 4; (3) ABC面积取最小值时;
解析:
(1)由 sin 4 , ( , ) k tan 4
5
2
3
故所求直线方程为 y-1= 4 (x 2)
3
(1)
设所求直线方程为:
x a
y b
1,
由
2
a
ab
1 b
1得
且 AD 与 AB 垂直，所以直线 AD 的斜率为 3 ． 又因为点T (1，1) 在直线 AD 上，
所以 AD 边所在直线的方程为 y 1 3(x 1) ．
3x y 2 0．
（II）由
x 3 3x
y y
6 2
=
0，
解得点
0
A
的坐标为
(0，
2)
，
因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2，0) ．
方法一:过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意,故可设所
求直线方程为y=kx+1,与已知两直线 l1 、l2 分别交于A、B两
点，联立方程组：
t 2 1 7t 2 6t 1 4t 2 3t 0 t 3 或t 0 4
结合(1)得:t 的范围为 ( 1 ,0) ( 3 ,1)
7
4
(1) 设圆心坐标为(x,y),则有
xt3
y
4t 2
1
y
4x2
24x
35 命题得证
例 2．（1）求经过点 A（5，2），B（3，2），圆心在直线 2x-y-3=0 上圆方程； （2）设圆上的点 A（2，3）关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这
(1) 倾斜角的正弦值为 4 ;
5
(2) 与坐标轴围成的三角形面积为 4; (3) ABC面积取最小值时;
解析:
(1)由 sin 4 , ( , ) k tan 4
5
2
3
故所求直线方程为 y-1= 4 (x 2)
3
(1)
设所求直线方程为:
x a
y b
1,
由
2
a
ab
1 b
1得
且 AD 与 AB 垂直，所以直线 AD 的斜率为 3 ． 又因为点T (1，1) 在直线 AD 上，
所以 AD 边所在直线的方程为 y 1 3(x 1) ．
3x y 2 0．
（II）由
x 3 3x
y y
6 2
=
0，
解得点
0
A
的坐标为
(0，
2)
，
因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2，0) ．
方法一:过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意,故可设所
求直线方程为y=kx+1,与已知两直线 l1 、l2 分别交于A、B两
点，联立方程组：
2.5.1直线与圆的位置关系 课件【可编辑图片版】【共40张PPT】
题型三 有关圆的弦长问题 例 2 求直线 l：3x＋y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 截得 的弦长．
分析：弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解．
解析：法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径r＝ 5. 点(0,1)到直线l的距离为d＝|3×03＋2＋11－2 6|＝ 210， l＝2 r2－d2＝ 10，所以截得的弦长为 10. 法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为
|0＋0－8| 2
－
1＝(4 2－1) km.
即DE的最短距离为(4 2－1) km.
[方法技巧] 求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
1．认真审题，明确题意． 2．建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际 问题中建立直线与圆的方程． 3．利用直线与圆的方程的有关知识求解问题． 4．把代数结果还原为实际问题的解释．
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝ 51， ∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 51(m)．
答案：(1)B (2)2 51
易错辨析 忽略了圆的一个隐含条件 例 4 已知圆的方程为 x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点 A(1,2)， 要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条，则 a 的取值范围为________．
5，则弦长＝2
r2－d2＝4
5.
答案：4 5
题型一 直线与圆位置关系的判断
1．直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝
直线与圆的方程的应用
1 所以 | O' E | | BC | 2
用坐标方法解决几何问题时，用坐标和方程表 示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转 化为代数问题；然后通过坐标方法解决平面几何问 题；最后解释平面几何问题的几何含义。 坐标法解决平面几何问题的“三步曲” • 第一步：建系，几何问题代数化； • 第二步：解决代数问题； • 第三步：还原结论。
2 (2)2 (y 10.5) 1Hale Waihona Puke .52因为y>0,所以
y 14.5 2 ( 2) 2 10.5 14.36 10.5 3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
思考
如果不建立坐标系，能解决这个问题吗？ P2 P A A1 A2 O A3 A4 B
将点D的横坐标-5代入上式，得y=3.1。 由于船在水面以上高3m，3<3.1，所以该船可以从 船下经过。 1 4.以B为原点，BC所在直线为x轴，线段BC长的 6 为单位长，建立坐标系。则
A(3,3 3 ), B(0,0),C(6,0), D(2,0),E(5, 3 )
直线AD的方程是 y 3 3(x 2) 3 (x 5) 3 直线BE的方程是 y 5
(2)圆心M(1,2)，当截得弦长最小时,则 L⊥AM,由 1 k AM 2
L的方程为y－1=2(x－3)即2x－y－5=0。
习题答案
1.由已知，圆C的圆心坐标为（3，0），半径长 r=3，圆心到直线2x-y-2=0的距离是
| 2 3 0 2 | 4 d 5 5 5
直线2x-y-2=0被直线截得的弦长是
于是有
(a 10)2 b 2 r 2 2 2 2 (a 10) b r 2 2 2 a (b 4) r
高一数学人教A版必修二课件：4.2.3 直线与圆的方程的应用
一二三
知识精要 典题例解 移应用
证明:如图所示,以 O 为原点,以直径 AB 所在直线为 x 轴建立平 面直角坐标系,
设☉O 的半径为 r,|OE|=m,则☉O 的方程为 x2+y2=r2,设 C(m,b1),D(m,b2).
则有 m2+������12=r2,m2+������22=r2, 即 b1,b2 是关于 b 的方程 m2+b2=r2 的根,
则 2a (������ + 5)2 + ������2<a (������-5)2 + ������2,
整理得
������ + 25
3
2
+y2<
20 3
2
.
即点 P 在圆 C:
������ + 25
3
2
+y2=
20 3
2
的内部.
也就是说,圆 C 内的居民应在 A 地购物.
同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物.
������ 7
+
���4���=1,
即 4x+7y-28=0,圆心(0,0)到直线 4x+7y-28=0 的距离 d=
|28| 4 2 +72
=
28 ,半径 r=3.
65
∵d>r,
∴直线与圆相离,∴轮船不会受到台风的影响.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
二、坐标法在平面几何中的应用 1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几 何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过 代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,
直线和圆课件
圆的参数方程
圆的参数方程通常表示为 (x, y) = (a, b) + r(cosθ, sinθ)，其中 (a, b) 是圆心， r 是半径，θ 是参数。
参数方程的应用实例
物理学中的应用
在物理学中，许多物理量都是通 过参数方程来描述的，例如简谐 振动的振动曲线、电磁波的传播
等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程被广泛 应用于各种曲线和曲面的描述， 例如机械零件的轮廓曲线、建筑
通过圆的半径和直径，可以计算出圆 的弧长和圆周长。
通过比较两个圆的半圆心角和扇形面积
通过圆心角和半径，可以计算出扇形 的面积。
直线和圆在实际生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直线和圆是非常 重要的元素，它们可以用来确定 建筑物的平面布局、窗户和门的
物的三维模型等。
数学教育中的应用
在数学教育中，参数方程是描述 复杂函数和曲线的重要工具，有 助于学生更好地理解函数的性质
和曲线的几何意义。
THANKS
感谢您的观看
直线和圆 PPT 课件
• 直线和圆的基本概念 • 直线和圆的交点 • 直线和圆的几何应用 • 直线和圆的解析方法 • 直线和圆的参数方程
目录
Part
01
直线和圆的基本概念
直线的定义和性质
直线的定义
直线是无限长的，且在平面内， 可以由两点确定一条直线。
直线的性质
直线具有方向性，可以由斜率表 示；直线是连续的，没有中断； 直线可以无限延伸。
圆的定义和性质
圆的定义
圆是一个平面图形，由一个点（圆心 ）和一段固定长度（半径）决定，所 有点都与圆心保持相同距离。
圆的基本性质
圆是中心对称图形，有固定的周长和 面积；圆内的任意一点到圆心的距离 等于半径。
圆的参数方程通常表示为 (x, y) = (a, b) + r(cosθ, sinθ)，其中 (a, b) 是圆心， r 是半径，θ 是参数。
参数方程的应用实例
物理学中的应用
在物理学中，许多物理量都是通 过参数方程来描述的，例如简谐 振动的振动曲线、电磁波的传播
等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程被广泛 应用于各种曲线和曲面的描述， 例如机械零件的轮廓曲线、建筑
通过圆的半径和直径，可以计算出圆 的弧长和圆周长。
通过比较两个圆的半圆心角和扇形面积
通过圆心角和半径，可以计算出扇形 的面积。
直线和圆在实际生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直线和圆是非常 重要的元素，它们可以用来确定 建筑物的平面布局、窗户和门的
物的三维模型等。
数学教育中的应用
在数学教育中，参数方程是描述 复杂函数和曲线的重要工具，有 助于学生更好地理解函数的性质
和曲线的几何意义。
THANKS
感谢您的观看
直线和圆 PPT 课件
• 直线和圆的基本概念 • 直线和圆的交点 • 直线和圆的几何应用 • 直线和圆的解析方法 • 直线和圆的参数方程
目录
Part
01
直线和圆的基本概念
直线的定义和性质
直线的定义
直线是无限长的，且在平面内， 可以由两点确定一条直线。
直线的性质
直线具有方向性，可以由斜率表 示；直线是连续的，没有中断； 直线可以无限延伸。
圆的定义和性质
圆的定义
圆是一个平面图形，由一个点（圆心 ）和一段固定长度（半径）决定，所 有点都与圆心保持相同距离。
圆的基本性质
圆是中心对称图形，有固定的周长和 面积；圆内的任意一点到圆心的距离 等于半径。
人教版高中数学直线与圆的方程的应用(共20张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
《直线和圆综合》课件
直线和圆的相切关系
直线和圆相切时，圆心 到直线的距离等于圆的 半径
直线和圆相切时，圆心 到直线的距离等于圆的 直径
直线和圆相切时，直线 和圆相交于一点
直线和圆相切时，直线 和圆相交于两点
直线和圆相切时，直线 和圆相交于三点
直线和圆相切时，直线 和圆相交于四点
直线和圆的交点求解
直线和圆的交点：直线和圆相交时，它们有两个交点。
直线和圆的对称性：直线和圆的 对称性及应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
直线和圆的面积计算：直线和圆 的面积计算公式及应用
直线和圆的综合应用：直线和圆 的综合应用题及解析
综合题型的解题注意事项
明确题目要 求：理解题 目中给出的 条件和要求， 明确需要解 决的问题。
画图分析： 根据题目中 的条件，画 出相应的图 形，便于理 解和分析。
直线和圆在几何图形中的应用广泛，例如 在平面几何、立体几何、解析几何等领域 都有广泛的应用。
直线和圆在几何图形中的应用包括：直 线和圆的相交、相切、相离等关系，以 及直线和圆的面积、周长、直径等性质。
直线和圆在几何图形中的应用还包括： 直线和圆的对称性、旋转性、反射性等 性质，以及直线和圆的组合图形，如三 角形、四边形、多边形等。
运用公式： 根据题目中 的条件和要 求，运用相 关的公式进 行计算。
注意细节： 在解题过程 中，要注意 细节问题， 如单位的换 算、数据的 准确性等。
检查答案： 在解题完成 后，要对答 案进行验证 和检查，确 保答案的正 确性。
05
直线和圆的实际应用案例
生活中的直线和圆
建筑：直线和圆在建筑设计中的应用，如桥梁、房屋等 交通：直线和圆在交通设施中的应用，如道路、交通标志等 机械：直线和圆在机械设计中的应用，如齿轮、轴承等 艺术：直线和圆在艺术设计中的应用，如绘画、雕塑等
圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 课件
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组
1组
两圆的公共点个数 2个 1个
两圆的位置关系 相交 内切或外切
0组 0个 外离或内含
几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到 两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全 转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数 判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系， 而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、 内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法 判定两圆的位置关系问题．
[一点通] (1)圆系方程： 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设 为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠ －1)然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． (2)求两圆公共弦方程的前提条件是两圆相交，只要使x2、 y2的系数对应相等，两圆方程作差就得到公共弦所在的直线 方程．
[例3] 求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋ y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
[思路点拨] 本题解法较多，可利用定义求圆心与半 径，也可设a、b、r，还可利用圆系方程．
[精解详析]] 法一：设两圆的交点分别为A，B，由
x2＋y2－4x－6＝0， x2＋y2－4y－6＝0，
得y＝x.
由yx＝2＋xy，2－4y－6＝0，
解得xy11＝＝－－11，
x2＝3， y2＝3，
∴两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分
别为A(－1，－1)、B(3,3)．
线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)． 由yx－－1y＝ －－ 4＝x0－，1， 得xy＝＝－3，1， ∴所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为 3－32＋3＋12＝4. ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
4.2.3《直线与圆的方程的应用》课件(1)
新课标资源网 老师都说好!
A
A1
A2 O A3
A4
B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
10
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
新课标资源网
老师都说好!
P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B
新课标资源网
老师都说好!
5
新课标资源网 老师都说好! 知识探究： 直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
8
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
新课标资源网
老师都说好!
台风
轮船
9
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） P2 P
11
思考3:取1m为长度单位，如何求圆 y 拱所在圆的方程？ P P
新课标资源网 老师都说好!
2
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
A
A1
A2 O A3
A4
B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
10
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
新课标资源网
老师都说好!
P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B
新课标资源网
老师都说好!
5
新课标资源网 老师都说好! 知识探究： 直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
8
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
新课标资源网
老师都说好!
台风
轮船
9
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） P2 P
11
思考3:取1m为长度单位，如何求圆 y 拱所在圆的方程？ P P
新课标资源网 老师都说好!
2
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而命题成 立.你能用平面几何知识证明这个命题吗？
B
C
A
M
N
E
D
理论迁移
例1 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3，
∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求
点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最
小值。
yB
P
C
X
O
A
例2 如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心 距为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为 M、N，且使得|PM|= 2 |PN|，试求点P的运动轨迹 是什么曲线？
y 14.52 4 10.5 3.86(m)
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题III:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直， 求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半。
思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法”来解 决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系， 在本题中应如何选取坐标系？
港口
台风
轮船
思考1:解决这个问题的本质是什么？
思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过台风 圆域？
思考3:如图所示建立直角坐标系，取10km为长度 单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所 在圆的方程分别是什么？
y
港 口
x
台o
轮
风
船
思考4: 直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋y2＝9的位置关
思考2:如图所示建立直角坐标系，那么求支柱A2P2 的高度，化归为求一个什么问题？
y P2 P
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考3:
取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？
y
x2+(y+10.5)2=14.52
P2 P
x A A1 A2 OA3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐标是多 少？问题Ⅱ的答案如何？
《直线与圆的方程的应用》
教学目标
• 1、知识与技能 • （1）理解直线与圆的位置关系的几何性质； • （2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关
系；
• （3）会用“数形结合”的数学思想解决问题． • 2、过程与方法 • 用坐标法解决几何问题的步骤： • 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定直 线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、 生活实践以及平面几何中与直线和圆有 关的问题，我们可以建立直角坐标系， 通过直线与圆的方程，将其转化为代数 问题来解决.对此，我们必须掌握解决问 题的基本思想和方法.
识探究：
直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km 处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮 船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
yP
M
O1 o
N
O2
x
方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转 化为代数问题；
• 第二步：通过代数运算，解决代数问题；
• 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结 论．
• 3、情态与价值观
• 让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆 的方程的应用，培养学生分析问题与解决问 题的能力．
• 教学重点、难点： • 重点与难点：直线与圆的方程的应用．
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系，设四边形的四 个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c， 0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
y B C oM
N
D
A x
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的坐标如何？
y B C oM
N
D
A x
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离|MN|？
系如何？对问题Ⅰ应作怎样的回答？
港口
台风
轮船
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每 间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度 （精确到0.01m）
P2 P
A A1 A2 O A3 A4 B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高度吗？