直线与圆的方程的应用 PPT
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2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
高中数学选择性必修一(人教版)《2.5.1 第二课时 直线与圆位置关系的应用》课件
题型三 与圆有关的最值问题 [学透用活]
[典例 3] 已知实数 x, y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求xy的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆．
(1)xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设xy＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此 时|2kk2－＋01|＝ 3，解得k＝± 3(如图1)． 所以xy的最大值为 3，最小值为－ 3.
即 S＝2 PM 2－4.
因此要求 S 的最小值，只需求 PM 的最小值即可， 即在直线 3x＋4y＋8＝0 上找一点 P，使得 PM 的值最小． 所以(PM)min＝|3＋45＋8|＝3， 所以四边形 PAMB 面积的最小值为 2 PM2－4＝2 5.
谢 谢观看
(2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y
＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时
|2－0＋b|＝ 2
3，解得 b＝－2± 6(如图 2)．
所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
[方法技巧] 与圆有关的最值问题的常见解法
(1)形如 μ＝xy－－ba形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最 值问题．
[方法技巧] 解决直线与圆的实际应用题的关键
利用直线与圆的有关知识解决实际问题的关键是把它转化 为数学问题，通过建立平面直角坐标系求圆的方程，进而使问 题得以解决．
题型二 用坐标法证明问题 [学透用活]
[典例 2] 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且 AB⊥CD，E 为垂足．利用坐 标法证明 E 是 CD 的中点．
高二数学《直线与圆的方程的应用》课件
提示 要先建立适当的坐标系，用坐标表示出相应的几何 元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来 解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义， 得到几何结论． 2．利用坐标法求解几何问题要注意什么？ 提示 (1)利用“坐标法”解决问题首要任务是先建立平面 直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素． (2)建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影 响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所 需的几何元素坐标或方程尽量简单．
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课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
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规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
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解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
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圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
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规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
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解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
直线与圆的位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
线的距离 d，通过比较 d 与 r 的大小，判断直线与圆的位置关系. 若相
交，则可利用勾股定理求得弦长.
例 2 过点 P(2 ，
1) 作圆 O : x 2 y 2 1 的切线 l，求切线 l 的方程.
解法 1：设切线 l 的斜率为 k，则切线 l 的方程为 y 1 k ( x 2) ，
设直线 l 的方程为 y k x 2 ，即 kx y 2k 0 ，
由点到直线的距离公式，得
解得
2
2
.故选 C.
k
4
4
| k 2k |
k2 1
1 ，即 k 2
1
，
8
1 1
D. ,
8 8
2 2
3. 直线 y x 1 与圆 x 2 y 2 2 y 3 0 交于 A ，B 两点，则 AB ________.
2. 已知直线 l 过点 2,0 ，当直线 l 与圆 x 2 y 2 2 x 有两个交点时，其斜率
k 的取值范围是( C )
A. (2 2, 2 2)
B. ( 2, 2)
2 2
,
C.
4
4
解析：易知圆心坐标是 1,0 ，半径是 1，直线 l 的斜率存在.
3
( x 1) ，即 x 3 y 4 0 .
3
综上，所求切线方程为 x 3 y 4 0 或 x 3 y 4 0 .
3
.
3
（2）设圆心 O 到直线 AC ，BD 的距离分别为 d1 ，d2 d1 ，d2 0 ，则 d12 d 22 | OM |2 3 .
所以，所求切线 l 的方程为 y 1 ，或 4x 3 y 5 0 .
交，则可利用勾股定理求得弦长.
例 2 过点 P(2 ，
1) 作圆 O : x 2 y 2 1 的切线 l，求切线 l 的方程.
解法 1：设切线 l 的斜率为 k，则切线 l 的方程为 y 1 k ( x 2) ，
设直线 l 的方程为 y k x 2 ，即 kx y 2k 0 ，
由点到直线的距离公式，得
解得
2
2
.故选 C.
k
4
4
| k 2k |
k2 1
1 ，即 k 2
1
，
8
1 1
D. ,
8 8
2 2
3. 直线 y x 1 与圆 x 2 y 2 2 y 3 0 交于 A ，B 两点，则 AB ________.
2. 已知直线 l 过点 2,0 ，当直线 l 与圆 x 2 y 2 2 x 有两个交点时，其斜率
k 的取值范围是( C )
A. (2 2, 2 2)
B. ( 2, 2)
2 2
,
C.
4
4
解析：易知圆心坐标是 1,0 ，半径是 1，直线 l 的斜率存在.
3
( x 1) ，即 x 3 y 4 0 .
3
综上，所求切线方程为 x 3 y 4 0 或 x 3 y 4 0 .
3
.
3
（2）设圆心 O 到直线 AC ，BD 的距离分别为 d1 ，d2 d1 ，d2 0 ，则 d12 d 22 | OM |2 3 .
所以，所求切线 l 的方程为 y 1 ，或 4x 3 y 5 0 .
人教A版高中数学必修二课件：圆的方程的综合应用 (共49张PPT)
点A29, 0．
1 求圆弧C2的方程； 2曲线C上是否存在点P，满足PA 30PO？若存
在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
3已知直线l：x my 14 0与曲线C交于E、F两
点，当EF 33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解析：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2 y2 169，
5
解：令圆心坐标为（ a，b），半径为 r，
y
则r2 12 a2 ①
由（2）知 ACB 90 r 2 b ②
由（3）
a 2b 12 (2)2
5 5
a 2b 1 ③
. 1 r C
|a| |b| r
oA
Bx
联立①②消去 r 2b2 a2 1 ④
③④
a 2b2
2b a2
1
2 方法1：当t＝0时，圆C：x 2＋y 2＝4；
当t＝1时，圆C：x2＋y2－2x－2y＝0.
解方程组
x 2
x2
y2 y2
4 2x
2
y
, 解得 0
x
y
0或 2
x
y
2 0
将
x y
0 2
代入圆C的方程，左边＝－4t
2＋4t不恒等于0；
将
x
y
2 0
代入圆C的方程，左边＝0＝右边，
故圆C过定点2, 0．
方法2：将圆C的方程整理为( x 2＋y 2－4)
＋(－2x＋4)t＋(－2y)t 2＝0.
x2 y2 4 0
令 2x 4 0 2 y 0
,
解得
x
y
2 0
.
故圆C过定点2, 0．
动圆过定点问题有两种解法： 一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们 的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证； 二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再 利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得 定点坐标．
1 求圆弧C2的方程； 2曲线C上是否存在点P，满足PA 30PO？若存
在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
3已知直线l：x my 14 0与曲线C交于E、F两
点，当EF 33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解析：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2 y2 169，
5
解：令圆心坐标为（ a，b），半径为 r，
y
则r2 12 a2 ①
由（2）知 ACB 90 r 2 b ②
由（3）
a 2b 12 (2)2
5 5
a 2b 1 ③
. 1 r C
|a| |b| r
oA
Bx
联立①②消去 r 2b2 a2 1 ④
③④
a 2b2
2b a2
1
2 方法1：当t＝0时，圆C：x 2＋y 2＝4；
当t＝1时，圆C：x2＋y2－2x－2y＝0.
解方程组
x 2
x2
y2 y2
4 2x
2
y
, 解得 0
x
y
0或 2
x
y
2 0
将
x y
0 2
代入圆C的方程，左边＝－4t
2＋4t不恒等于0；
将
x
y
2 0
代入圆C的方程，左边＝0＝右边，
故圆C过定点2, 0．
方法2：将圆C的方程整理为( x 2＋y 2－4)
＋(－2x＋4)t＋(－2y)t 2＝0.
x2 y2 4 0
令 2x 4 0 2 y 0
,
解得
x
y
2 0
.
故圆C过定点2, 0．
动圆过定点问题有两种解法： 一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们 的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证； 二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再 利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得 定点坐标．
《直线和圆方程》课件
《直线和圆方程》 ppt课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)配套课件第四章 4.2 4.2.3 直线与圆的方程的应用
基 础 梳 理
练习 1：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 表示圆心在__________，半 径为________的圆．
答案：(a，b)
2
r
栏 目 链 接
练 习 2 ： y ＝ 1－x 表 示 圆 心 在 __________ ， 半 径 为 ________的半圆．
答案：(0,0)
1
练习 3：y＝b－ r2－x－a2表示圆心在__________，半径 为________的下半圆．
)
栏 目 链 接
解析：该圆的圆心(－a，a)，在直线 x＋y＝0 上， 故关于直线 x＋y＝0 对称． 答案：D
自 测 自 评
2．若直线 x＋y＋m＝0 与圆 x2＋y2＝m 相切，则 m 为( A．0 或 2 B．2 C. 2 D．无解
栏 目 链 接
)
|m| 解析：圆心(0,0)到直线 x＋y＋m＝0 的距离 d＝ 2 ＝ m，m＝2. 答案：B
自 测 自 评
3 3．一直线经过点 P－3，－2被圆 x2＋y2＝25 截得
的弦长为 8，求此弦所在的直线方程．
3 解析：当斜率存在时，设直线方程为 y＋ ＝k(x＋3) 2 3 即 kx－y＋3k－ ＝0， 2 由已知得，弦心距|OM|＝ 52－42＝3. 3 |k · 0－0＋3k－ | 2 3 ∴ ＝3，解得 k＝－ . 2 4 k ＋1
答案：(a，b)
r
思 考 应 用
用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？
解析： 用坐标方法解决平面几何问题的基本思
栏 目 链 接
想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系
的主要工具就是平面直角坐标系．
2.5.1直线与圆的位置关系 课件【可编辑图片版】【共40张PPT】
题型三 有关圆的弦长问题 例 2 求直线 l：3x＋y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 截得 的弦长．
分析：弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解．
解析：法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径r＝ 5. 点(0,1)到直线l的距离为d＝|3×03＋2＋11－2 6|＝ 210， l＝2 r2－d2＝ 10，所以截得的弦长为 10. 法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为
|0＋0－8| 2
－
1＝(4 2－1) km.
即DE的最短距离为(4 2－1) km.
[方法技巧] 求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
1．认真审题，明确题意． 2．建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际 问题中建立直线与圆的方程． 3．利用直线与圆的方程的有关知识求解问题． 4．把代数结果还原为实际问题的解释．
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝ 51， ∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 51(m)．
答案：(1)B (2)2 51
易错辨析 忽略了圆的一个隐含条件 例 4 已知圆的方程为 x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点 A(1,2)， 要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条，则 a 的取值范围为________．
5，则弦长＝2
r2－d2＝4
5.
答案：4 5
题型一 直线与圆位置关系的判断
1．直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝
高一数学人教A版必修二课件：4.2.3 直线与圆的方程的应用
一二三
知识精要 典题例解 移应用
证明:如图所示,以 O 为原点,以直径 AB 所在直线为 x 轴建立平 面直角坐标系,
设☉O 的半径为 r,|OE|=m,则☉O 的方程为 x2+y2=r2,设 C(m,b1),D(m,b2).
则有 m2+������12=r2,m2+������22=r2, 即 b1,b2 是关于 b 的方程 m2+b2=r2 的根,
则 2a (������ + 5)2 + ������2<a (������-5)2 + ������2,
整理得
������ + 25
3
2
+y2<
20 3
2
.
即点 P 在圆 C:
������ + 25
3
2
+y2=
20 3
2
的内部.
也就是说,圆 C 内的居民应在 A 地购物.
同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物.
������ 7
+
���4���=1,
即 4x+7y-28=0,圆心(0,0)到直线 4x+7y-28=0 的距离 d=
|28| 4 2 +72
=
28 ,半径 r=3.
65
∵d>r,
∴直线与圆相离,∴轮船不会受到台风的影响.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
二、坐标法在平面几何中的应用 1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几 何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过 代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,
直线和圆课件
圆的参数方程
圆的参数方程通常表示为 (x, y) = (a, b) + r(cosθ, sinθ)，其中 (a, b) 是圆心， r 是半径，θ 是参数。
参数方程的应用实例
物理学中的应用
在物理学中，许多物理量都是通 过参数方程来描述的，例如简谐 振动的振动曲线、电磁波的传播
等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程被广泛 应用于各种曲线和曲面的描述， 例如机械零件的轮廓曲线、建筑
通过圆的半径和直径，可以计算出圆 的弧长和圆周长。
通过比较两个圆的半圆心角和扇形面积
通过圆心角和半径，可以计算出扇形 的面积。
直线和圆在实际生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直线和圆是非常 重要的元素，它们可以用来确定 建筑物的平面布局、窗户和门的
物的三维模型等。
数学教育中的应用
在数学教育中，参数方程是描述 复杂函数和曲线的重要工具，有 助于学生更好地理解函数的性质
和曲线的几何意义。
THANKS
感谢您的观看
直线和圆 PPT 课件
• 直线和圆的基本概念 • 直线和圆的交点 • 直线和圆的几何应用 • 直线和圆的解析方法 • 直线和圆的参数方程
目录
Part
01
直线和圆的基本概念
直线的定义和性质
直线的定义
直线是无限长的，且在平面内， 可以由两点确定一条直线。
直线的性质
直线具有方向性，可以由斜率表 示；直线是连续的，没有中断； 直线可以无限延伸。
圆的定义和性质
圆的定义
圆是一个平面图形，由一个点（圆心 ）和一段固定长度（半径）决定，所 有点都与圆心保持相同距离。
圆的基本性质
圆是中心对称图形，有固定的周长和 面积；圆内的任意一点到圆心的距离 等于半径。
圆的参数方程通常表示为 (x, y) = (a, b) + r(cosθ, sinθ)，其中 (a, b) 是圆心， r 是半径，θ 是参数。
参数方程的应用实例
物理学中的应用
在物理学中，许多物理量都是通 过参数方程来描述的，例如简谐 振动的振动曲线、电磁波的传播
等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程被广泛 应用于各种曲线和曲面的描述， 例如机械零件的轮廓曲线、建筑
通过圆的半径和直径，可以计算出圆 的弧长和圆周长。
通过比较两个圆的半圆心角和扇形面积
通过圆心角和半径，可以计算出扇形 的面积。
直线和圆在实际生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直线和圆是非常 重要的元素，它们可以用来确定 建筑物的平面布局、窗户和门的
物的三维模型等。
数学教育中的应用
在数学教育中，参数方程是描述 复杂函数和曲线的重要工具，有 助于学生更好地理解函数的性质
和曲线的几何意义。
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• 直线和圆的基本概念 • 直线和圆的交点 • 直线和圆的几何应用 • 直线和圆的解析方法 • 直线和圆的参数方程
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Part
01
直线和圆的基本概念
直线的定义和性质
直线的定义
直线是无限长的，且在平面内， 可以由两点确定一条直线。
直线的性质
直线具有方向性，可以由斜率表 示；直线是连续的，没有中断； 直线可以无限延伸。
圆的定义和性质
圆的定义
圆是一个平面图形，由一个点（圆心 ）和一段固定长度（半径）决定，所 有点都与圆心保持相同距离。
圆的基本性质
圆是中心对称图形，有固定的周长和 面积；圆内的任意一点到圆心的距离 等于半径。
人教版高中数学直线与圆的方程的应用(共20张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
2019-2020学年高中数学人教a版必修2课件：4.2.3直线与圆的方程的应用
是得到方程组
18.7 (7.2
2 b2 b)2
r2, r2,
解得
b 20.7,
r
2
778.41.
因此，圆拱
桥的拱圆方程近似为 x2+（y+20.7）2＝778.41（0≤y≤7.2）.
◆利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 1.审题：认真审题，明确题意. 2.建系：建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从 而在实际问题中建立直线与圆的方程. 3.求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题. 4.还原：把代数结果还原为实际问题的解释.
训练题
如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的 直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与 CD相交于H，求证：EF平分CD.
小结
1.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用，要 善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要 有用坐标法解决几何问题的意识，用坐标法解决平面几何问题的思维过 程：
28
＝ 65 ，而半径r＝3，因而d>r，所以直线与圆相
离，所以轮船不会受到台风的影响.
二 与圆有关的最值问题
例2 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求
y x
的最大值和最小值；
解 原方程表示以点(2，0)为圆心，以 3为半径的圆.
设
y x
＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联 想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合 图形的几何量值关系分析、解决问题.
(3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圆上的点与原点间距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所连直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3，(x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 课件
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组
1组
两圆的公共点个数 2个 1个
两圆的位置关系 相交 内切或外切
0组 0个 外离或内含
几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到 两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全 转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数 判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系， 而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、 内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法 判定两圆的位置关系问题．
[一点通] (1)圆系方程： 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设 为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠ －1)然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． (2)求两圆公共弦方程的前提条件是两圆相交，只要使x2、 y2的系数对应相等，两圆方程作差就得到公共弦所在的直线 方程．
[例3] 求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋ y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
[思路点拨] 本题解法较多，可利用定义求圆心与半 径，也可设a、b、r，还可利用圆系方程．
[精解详析]] 法一：设两圆的交点分别为A，B，由
x2＋y2－4x－6＝0， x2＋y2－4y－6＝0，
得y＝x.
由yx＝2＋xy，2－4y－6＝0，
解得xy11＝＝－－11，
x2＝3， y2＝3，
∴两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分
别为A(－1，－1)、B(3,3)．
线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)． 由yx－－1y＝ －－ 4＝x0－，1， 得xy＝＝－3，1， ∴所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为 3－32＋3＋12＝4. ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
4.2.3《直线与圆的方程的应用》课件(1)
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A
A1
A2 O A3
A4
B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
10
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
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P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B
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5
新课标资源网 老师都说好! 知识探究： 直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
8
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
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台风
轮船
9
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） P2 P
11
思考3:取1m为长度单位，如何求圆 y 拱所在圆的方程？ P P
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2
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
A
A1
A2 O A3
A4
B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
10
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
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P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B
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5
新课标资源网 老师都说好! 知识探究： 直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
8
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
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台风
轮船
9
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） P2 P
11
思考3:取1m为长度单位，如何求圆 y 拱所在圆的方程？ P P
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2
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
高中直线与圆的位置关系--ppt
2．(2011· 合肥模拟)直线 x＋ 3y＝0 绕原点按顺时针方 向旋转 30˚ 所得直线与圆 x2＋y2－4x＋1＝0 的位置 关系是 A．直线与圆相切 B．直线与圆相交但不过圆心 C．直线与圆相离 D．直线过圆心 ( )
•返 回
3
已知圆 C：x2＋y2＝25.
(1)求过点 P(3,4)的圆的切线方程； 5 (2)求过点 Q(－5， )的圆的切线方程． 2
一.直线与圆位置关系的判断 圆心到直线 直线和圆的 公共点 的距离d与半 位置关系 的个数 径r 的关系 2 d<r 相交 1 d=r 相切
相离
二. 位置关系的应用
0
d>r
1.求切线方程问题；2.和弦长有关的问题
1若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交； ②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
•计算圆心到直线的距离 d
•得到一元 二次方程
•判断 d 与圆半径 r 的大小关系
•求 出 △ 的 值
d r, 直线与圆相离 d r, 直线与圆相切 d r, 直线与圆相交
0,直线与圆相交 0, 直线与圆相切 0, 直线与圆相离
归纳小结：
x y 25 相交 截得的弦长为
2 2
4 5 ， 求直线l的方程.
x 2 y 9 0 或 2x y 3 0
•解:因为直线l 过点M,可设所 求直线l 的方程为:
•y
y 3 k ( x 3) 即 : kx y 3k 3 0
2 2
•对于 x y 4 y 21 0 2 2 圆 : x ( y 2) 25 圆心坐标为(0, 2), 半径r 5 •如图:TF 4 5
•返 回
3
已知圆 C：x2＋y2＝25.
(1)求过点 P(3,4)的圆的切线方程； 5 (2)求过点 Q(－5， )的圆的切线方程． 2
一.直线与圆位置关系的判断 圆心到直线 直线和圆的 公共点 的距离d与半 位置关系 的个数 径r 的关系 2 d<r 相交 1 d=r 相切
相离
二. 位置关系的应用
0
d>r
1.求切线方程问题；2.和弦长有关的问题
1若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交； ②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
•计算圆心到直线的距离 d
•得到一元 二次方程
•判断 d 与圆半径 r 的大小关系
•求 出 △ 的 值
d r, 直线与圆相离 d r, 直线与圆相切 d r, 直线与圆相交
0,直线与圆相交 0, 直线与圆相切 0, 直线与圆相离
归纳小结：
x y 25 相交 截得的弦长为
2 2
4 5 ， 求直线l的方程.
x 2 y 9 0 或 2x y 3 0
•解:因为直线l 过点M,可设所 求直线l 的方程为:
•y
y 3 k ( x 3) 即 : kx y 3k 3 0
2 2
•对于 x y 4 y 21 0 2 2 圆 : x ( y 2) 25 圆心坐标为(0, 2), 半径r 5 •如图:TF 4 5