高二数学期末复习题

合集下载

高二数学期末考试题及答案

高二数学期末考试题及答案Learn standards and apply them. June 22, 2023一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填在试卷的答题卡中．1．若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,则p 的值为 A ．-2B ．2C ．-4D ．42．理已知向量a =3,5,-1,b =2,2,3,c =4,-1,-3,则向量2a -3b +4c 的坐标为A ．16,0,-23B ．28,0,-23C ．16,-4,-1D ．0,0,9文曲线y =4x -x 2上两点A 4,0,B 2,4,若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ,则点P 的坐标为A ．1,3B ．3,3C ．6,-12D ．2,43．过点0,1作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．已知双曲线222112x y a -=的离心率2,则该双曲线的实轴长为 A ．2 B ．4C ．23D ．435．在极坐标系下,已知圆C 的方程为=2cos θ,则下列各点中,在圆C 上的是A ．1,-3πB ．1,6πC ．2,34πD 2,54π6．将曲线y =sin3x 变为y =2sin x 的伸缩变换是A ．312x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩B ．312x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩C ．32x x y y '=⎧⎨'=⎩D ．32x xy y'=⎧⎨'=⎩7．在方程sin cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩为参数表示的曲线上的一个点的坐标是A ．2,-7B ．1,0C ．12,12D ．13,238．极坐标方程=2sin 和参数方程231x ty t =+⎧⎨=--⎩t 为参数所表示的图形分别为A ．圆,圆B ．圆,直线C ．直线,直线D ．直线,圆9．理若向量a =1,,2,b =2,-1,2,a 、b 夹角的余弦值为89,则=A ．2B ．-2C ．-2或255D ．2或-255文曲线y =e x +x 在点0,1处的切线方程为 A ．y =2x +1 B ．y =2x -1 C ．y =x +1 D ．y =-x +110．理已知点P 1的球坐标是P 14,2π,53π,P 2的柱坐标是P 22,6π,1,则|P 1P 2|=A ．21B ．29C ．30D ．42文已知点P 在曲线fx =x 4-x 上,曲线在点P 处的切线垂直于直线x +3y =0,则点P 的坐标为A ．0,0B ．1,1C ．0,1D ．1,011．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A ,B 两点,设双曲线的左顶点M ,若点M 在以AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e 的取值范围为A ．32,+∞B ．1,32C ．2,+∞D ．1,212．从抛物线y 2=4x 上一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=5,设抛物线的焦点为F ,则△MPF 的面积为A ．5B ．10C ．20D 15二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．请将答案填在试卷的答题卡中．13．理已知空间四边形ABCD 中,G 是CD 的中点,则1()2AG AB AC -+=．文抛物线y =x 2+bx +c 在点1,2处的切线与其平行直线bx +y +c =0间的距离是．14．在极坐标系中,设P 是直线l ：cos θ+sin θ=4上任一点,Q 是圆C ：2=4cos θ-3上任一点,则|PQ |的最小值是________．15．理与A -1,2,3,B 0,0,5两点距离相等的点Px ,y ,z 的坐标满足的条件为__________．文函数fx =ax 3-x 在R 上为减函数,则实数a 的取值范围是__________．16．如图,已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点,且双曲线过C 、D 两顶点．若AB =4,BC =3,则此双曲线的标准方程为_____________________．三、解答题：本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．本题满分12分双曲线与椭圆2212736x y +=有相同焦点,且经过点15,4,求其方程．18．本题满分12分在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为：415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩t 为参数,若以O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为=2cos θ+4π,求直线l 被曲线C 所截的弦长．19．本题满分12分已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M-3,m到焦点的距离为5,求抛物线的方程和m的值．20．本题满分12分文已知函数fx=x2x-a．1若fx在2,3上单调,求实数a的取值范围；2若fx在2,3上不单调,求实数a的取值范围．理本题满分12分如图,四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥面ABCD,PA=219,AB=8,BC=6,点E是PC的中点,F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系．1求EF的长；2证明：EF⊥PC．参考答案一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分．内为文科答案二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．13．理12BD 文32214．21-15．理2x -4y +4z =11 文a ≤0 16．x 2-23y =1 三、解答题：本大题共4小题,共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．本题满分12分解：椭圆2213627y x +=的焦点为0,3,c =3,………………………3分设双曲线方程为222219y x a a-=-,…………………………………6分 ∵过点15,4,则22161519a a-=-,……………………………9分得a 2=4或36,而a 2<9,∴a 2=4,………………………………11分双曲线方程为22145y x -=．………………………………………12分18．本题满分12分解：将方程415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩t 为参数化为普通方程得,3x +4y +1=0,………3分将方程2θ+4π化为普通方程得,x 2+y 2-x +y =0, ……………6分它表示圆心为12,-12,半径为22的圆, …………………………9分则圆心到直线的距离d =110, …………………………………………10分弦长为2211721005r d -=-=． …………………………………12分20．文本题满分12分解：由fx =x 3-ax 2得f ′x =3x 2-2ax =3xx -23a．…………3分 1若fx 在2,3上单调,则23a ≤0,或0<23a≤2,解得：a ≤3．…………6分∴实数a 的取值范围是-∞,3．…………8分 2若fx 在4,6上不单调,则有4<23a<6,解得：6<a <9．…………11分 ∴实数a 的取值范围是6,9．…………12分20．理本题满分12分解：1以A 为原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立直角坐标系,…………2分由条件知：AF =2,…………3分∴F 0,2,0,P 0,0,219,C 8,6,0．…4分从而E 4,3,19,∴EF =222(40)(32)(190)-+-+-=6．…………6分 2证明：EF =-4,-1,-19,PC =8,6,-219,…………8分 ∵EF PC ⋅=-4×8+-1×6+-19×-219=0,…………10分 ∴EF ⊥PC ．…………12分第一课件网系列资料 .。

2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析

成都高2025届高二期末考试数学复习试题（三）（答案在最后）一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）1.设直线l sin 20y θ++=，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.[)0,πB.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.sin 20y θ++=的倾斜角为[)0πa a Î，，，则由直线可得tan a q =Î，所以π2π0,,π33a 轾轹÷Î犏÷犏臌滕，故选：D2.能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为()A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=，可得圆心为()1,2-，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1，由()1,3d =可得(c ∈-⋃，经验证，3c =∈，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.3.若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的）A.221129x y +=B.221129x y +=或221912x y +=C.2213612x y += D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b =，由焦点到椭圆上点的最短距离为a c -，结合222a b c =+可得.【详解】由题意，当椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为：22221x ya b+=，由题意b =，a c -=所以2a c ===，c =a =，3b =，所以椭圆方程为：221129x y +=，当椭圆焦点在y 轴上时，同理可得：221912x y+=，故选：B4.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411【答案】C 【解析】【分析】根据折线图估算AC ，对于B 项把月利润增长指数从小到大排列，计算1170⨯%=7.7可求,对于D 项用古典概型的概率解决.【详解】显然甲企业大部分月份位于82%以上，故利润增长均数大于82%，A 不正确；乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因为1170⨯%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于82%，故B 错误；观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，故C 正确；P （2个月乙企业月利润增长指数都小于82%）26211C 3C 11==，故D 错误.故选：C.5.已知空间三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -，则下列结论不正确的是（）A.||||AB AC =B.点(8,2,0)P 在平面ABC 内C.AB AC ⊥D.若2AB CD =，则D 的坐标为31,5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间两点距离公式判断A ，根据数量积的坐标运算判断B ，根据共面向量基本定理判断C ，根据向量的坐标运算判断D.【详解】因为||7AB ==，||7AC ==，故A 正确；因为(6,2,3)(2,3,6)126180AB AC →→⋅=--⋅--=--+=，所以AB AC ⊥，故C 正确;因为(6,2,3),(2,3,6)AB AC →→=--=--，(4,1,9)AP →=-，所以(4,1,9)AP AB AC →→→=+=-，所以点(8,2,0)P 在平面ABC 内，故B 正确；因为92(1,9,))(62(22,31,8,,),92AB CD ==------=-- ，显然不成立，故D 错误.故选：D6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为X ，方差为2s ，则（）A.270,75X sB.270,75X s ><C.270,75X s =>D.270,75X s =<【答案】D 【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断．【详解】因为80706090+=+，因此平均数不变，即70X =，设其他48个数据依次为1248,,,a a a ，因此()()()()()222221248707070607090705075a a a -+-++-+-+-=⨯ ，()()()()()22222212487070708070707050a a a s -+-++-+-+-=⨯ ，()250751004001004000s -=--=-<，∴275s <，故选：D ．7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A.4B.4C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =.如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB = ，()0,4,2CP = ，()13,0,3BC =-.设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量.设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则11110sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ （其中AB 为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.8.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221412x y -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME NE -的取值范围是（）A.44,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.3333,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ D.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，根据θ∈(60∘,90∘]，将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解：设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ，∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a.设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合.同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,===b a c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>，∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠，∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ.故选：B.二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）9.已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A.事件A 与事件B 是互斥事件B.事件A 与事件B 不是对立事件C.事件A B ⋃发生的概率为1920D.事件A 与事件B 是相互独立事件【答案】ABC 【解析】【分析】由两球编号写出事件,A B 所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB ，求出A B ⋃的概率判断C ，由公式()()()P AB P A P B =判断D ．【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，事件A 含有的基本事件有：16,25,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56，共12个，事件B 含有的基本事件有：11,14,15,21,31,41,51，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A 正确；基本事件15发生时，事件,A B 均不发生，不对立，B 正确；事件A B ⋃中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此19()20P A B =，C 正确；123()205P A ==，7()20P B =，()0P AB =()()P A P B ≠，,A B 不相互独立，D 错．故选：ABC ．10.在如图所示试验装置中，两个长方形框架ABCD 与ABEF 全等，1AB =，2BC BE ==，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子,M N 分别在长方形对角线AC 与BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列说法正确的是（）A.AB MN⊥ B.MN 2C.当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 所成夹角的余弦值为13D .()25215M ABN a V-=【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A ；利用空间两点间距离公式即可判断选项B ；根据二面角的余弦值推导即可判断选项C ；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D .【详解】由题意可知：,,BA BC BE 两两互相垂直，以点B 为坐标原点，,,BA BE BC为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，建系可得525525,0,2,,,05555a a a a M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()25250,,2,1,0,055a a MN BA ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，0,AB MN AB MN ∴⋅=∴⊥，故选项A 正确；又MN===∴当2a=时，min||MN=，故选项B正确；当MN最小时，,,2a M N=分别是,AC BF的中点，取MN中点K，连接AK和BK，,AM AN BM BN==，,AK MN BK MN∴⊥⊥，AKB∠∴是二面角A MN B--的平面角.BMN中，,2BM BN MN===，可得2BK==，同理可得2AK=，由余弦定理可得331144cos322AKB∠+-==，故选项C 正确；2125252522365515M ABN ABNa aV S h-⎛⎫-=⨯⨯=⨯-=⎪⎪⎝⎭，故选项D错误.故选：ABC.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O=为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过C上的点()11,A x y反射后，再经C上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A.PB 平分ABQ ∠B.121y y =-C.延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线D.2516AB =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据题意求得()1,1A ，11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而证得PA AB =，结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠；对于B ，直接代入12,y y 即可得到1214y y =-；对于C ，结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线；对于D ，由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意，由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由//PA x 轴，得()1,1A x ，代入2:C y x =得11x =（负值舍去），则()1,1A ，所以141314AF k ==-，故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即4310x y --=，依题意知AB 经过抛物线焦点F ，故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩，解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于A ，412511616PA =-=，2516AB =，故PA AB =，所以APB ABP ∠=∠，又因为//PA x 轴，//BQ x 轴，所以//PA BQ ，故APB PBQ =∠∠，所以ABP PBQ ∠=∠，则PB 平分ABQ ∠，故A 正确；对于B ，因为12141,y y =-=，故1214y y =-，故B 错误；对于C ，易得AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又//BQ x 轴，所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同，则,,D B Q 三点共线，故C 正确；对于D ，由选项A 知2516AB =，故D 正确.故选：ACD..12.己知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左，右焦点分别为1F ，2F ，圆22:(2)1M x y +-=，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆M 上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C 和圆M 没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.若1b =，则||PQ 的最大值为4C.若存在点P 使得213PF PF =，则0b <≤D.若存在点Q使得12QF =，则1b =【答案】ACD 【解析】【分析】A 根据已知，数形结合得01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，进而求离心率范围；B 令(,)P x y ，求得||MP =，结合椭圆有界性得max ||MP =即可判断；C 由题设123,1PF PF ==，令(,)P x y，进而得到((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩，结合点在椭圆上得到公共解(0,2]x =求范围；D将问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点.【详解】由椭圆C 中2a =，圆M 中圆心(0,2)M ，半径为1，如下图示，A ：由于02b <<，由图知：当01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，此时离心率,12e ⎛⎫⎪ ⎪⎝==⎭，对；B ：当1b =时，令(,)P x y，则||MP =，而224(1)x y =-，所以||MP =，又11y -≤≤，故max ||MP =所以||PQ1+，错；C ：由1224PF PF a +==，若213PF PF =，则123,1PF PF ==，由12(F F ，令(,)P x y ，且2221)(4x y b =-，则((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，即2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩，所以(0,2]x =，则23b ≤，且02b <<，故0b <≤D ：令(,)Q x y，若12QF =，所以2222(3[(]x y x y +=-+，则222(4)0x b y -+-+=，所以222(3(4)x y b -+=-，Q轨迹是圆心为的圆，而(0,2)M与的距离为，要使点Q 存在，则1|1-≤≤，可得22(1)0b -≤，且02b <<，即1b =，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C ，根据已知得到123,1PF PF ==，设(,)P x y ，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解(0,2]x =为关键；对于D ，问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点为关键.三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.若直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，则这两条平行线之间的距离是__．【答案】322【解析】【分析】由题意结合直线平行的性质可得2m =-，再由平行线间的距离公式即可得解.【详解】直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，∴2(1)4111m m +-=≠-，解得2m =-，故直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=即为直线10x y +-=与直线20x y ++=，2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了直线平行性质的应用，考查了平行线间距离公式的应用，属于基础题.14.曲线1y =+与直线l ：y ＝k （x －2）＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【答案】53124，纟çúçú棼【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线l 是过定点()24，的直线，利用数形结合判断k 的取值范围.【详解】直线l 过点A （2，4），又曲线1y =+0，1）为圆心，2为半径的半圆，如图，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r，2=，解得512k =.当直线l 过点B （－2，1）时，直线l 的斜率为()413224-=--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为53124，纟çúçú棼.故答案为：53124，纟çúçú棼15.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是______同学.【答案】乙【解析】【分析】假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解.【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：()11233635x =++++＝，方差为()()()()()22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦＝＝，可以出现点数6；对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差221(6 3.4) 1.352 1.045S >-=>，所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6；对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6.综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.故答案为：乙16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P 使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为___________.【答案】)11,1⎡-⎣【解析】【分析】设11,QF m PF n ==，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()2min0,PQ QF -≤由2112am n b +=可求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求得22b a的范围，从而得到2e 的取值范围.【详解】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-，在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22min1)(22)22b m n a a a++-=-，当且仅当n =时等号成立.由221)202b a a+-≤得2212b a ≤-，所以2111e -≤<.故答案为：)11,1⎡-⎣【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立,,a b c 的不等式，此时将问题转化为()2min0PQ QF -≤，从而只需求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质211112aPF QF b+=使用基本不等式求解.四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）17.在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D .（1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系；（2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程.【答案】（1）228870x y x y +--+=，D 在圆M 内；（2）43130x y +-=或1x =.【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D 坐标代入圆的方程判定位置关系即可；（2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程.【小问1详解】设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=,把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；【小问2详解】由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径=5r ，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=；当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a ▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b 合计▓▓（1）求出a ，b ，x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004（2）35（3）中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96【解析】【分析】（1）利用频率＝100%⨯频数样本容量，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．【小问1详解】由题意可知，样本容量n ＝8500.16=，∴b ＝250＝0.04，第四组的频数＝50×0.08＝4，∴508202416a ＝----＝.y ＝0.0410＝0.004，x ＝1650×110＝0.032．∴a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004．【小问2详解】由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY 共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P （E ）＝93155=．∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．【小问3详解】∵[50，70）的频率为：0.160.320.48+＝，[70，80）的频率为0.4，∴中位数为：0.50.48701070.50.4-+⨯=，平均数为：550.16650.32750.4850.08950.0470.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝．方差为：()()()()()222225570.20.166570.20.327570.20.48570.20.089570.20.0496.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹣﹣﹣﹣﹣＝．19.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =；（2）直线l 过定点()0,4-.【解析】【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【小问1详解】抛物线2:2C y px =的准线：2px =-，于是得0522p p MF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =，所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅==⋅=--++--，化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-，所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB DC ，PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点.22AD DC AP AB ====.()1证明：//BE 平面PAD .()2若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AD C --的余弦值.【答案】()1证明见解析；()210.【解析】【分析】()1在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，利用三角形中位线性质得出12EG CD =，因为底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =,所以能得出EG 平行且等于AB ，得出四边形ABEG 为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出//BE 平面PAD ；()2根据BF AC ⊥,求出向量BF的坐标，进而求出平面FAD 和平面ADC 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F AD C --的余弦值.【详解】解：()1证明：在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，图象如下：G 和E 分别为PD 和PC 的中点，∴EG //CD ，且12EG CD =,又底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =∴AB //CD ，且12AB CD =，∴AB GE //且AB GE =.即四边形ABEG 为平行四边形.∴AG E //B .AG ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴//BE 平面PAD.()2以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ,()0,2,0D ，()002P ,,，()1,1,1E ，()1,2,0BC = ,()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = .由F 为棱PC 上一点，设()2,2,2CF CP λλλλ==-- ()01λ≤≤,所以()12,22,2BF BC CF λλλ=+=-- ()01λ≤≤,由BF AC ⊥，得()()2122220BF AC λλ⋅=-+-= ,解得34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1131131,0,0,,,,222222AF AB BF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面FAD 的法向量为(),,n a b c = ，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得113022220a b c b ⎧++=⎪⎨⎪=⎩所以030b a c =⎧⎨+=⎩，令1c =，则3a =-，则()3,0,1n =- ，取平面ADC 的法向量为()0,0,1m = ，则二面角F AD C --的平面角α满足：cos 10m n m nα⋅===⋅ ,故二面角F AD C --的余弦值为10.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属于难题.21.已知O 为坐标原点，()120F -，，()220F ，，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线.E （1）求曲线E 的方程；（2）过点()220F ，的直线l 与曲线E 交于A B ，两点，求+ OA OB 的取值范围．【答案】（1）()2211.3y x x -=≥（2）[)4∞+，【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，易判断点P 的轨迹是双曲线的右支，求出,a b 的值，即得；（2）设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，推出韦达定理，依题得出参数m 的范围，将所求式等价转化为关于m 的函数式，通过整体换元即可求出其取值范围.【小问1详解】因()120F -，，()220F ，，且动点P 满足12122PF PF F F -=<，由双曲线的定义知：曲线E 是以12F F ，为焦点的双曲线的右支，且2c =，1a =，则2223b c a =-=，故曲线E 的方程为()2211.3y x x -=≥【小问2详解】当直线l 的斜率为0时，直线l 与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l 方程为：2x my =+，设()11A x y ，，()22B x y ，，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22311290m y my -++=，由韦达定理得1221221231931m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，2121222124()443131m x x m y y m m -+=++=+=---，2212121212234(2)(2)2()431m x x my my m y y m y y m +⋅=++=+++=--.由题意：()()22212221223101243190403134031m m m x x m m x x m ⎧-≠⎪-⨯-⨯>⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪⋅=->⎪-⎩，解得：210.3m ≤<OA OB +=====，令2131t m =-，因210,3m ≤<故1t ≤-，而OA OB +== ，在(],1t ∞∈--为减函数，故4OA OB +≥ ，即OA OB + 的取值范围为[)4∞+，.22.如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(±，过椭圆1C 上一点P （2，－1）作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ，B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补，直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 与双曲线2C 的左，右两支分别交于Q ，R ，求NQ NR 的取值范围.【答案】（1）12-（2）11(1,9+【解析】【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解A ，B 坐标，直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出Q ，R 的坐标，化简NQ NR 的表达式，整理求出NQ NR的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，顶点(±，可得a =(2,1)P -在椭圆1C 上，即24118b +=，得22b =，所以椭圆方程为22182x y +=，设等轴双曲线2C ：222x y m -=，0m >，由题意等轴双曲线2C 的顶点为(±，可得2=8m ，所以双曲线2C 的方程为：228x y -=，因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，且A ，B 是不同的点，所以直线PA 、PB 都必须有斜率，设直线PA 方程为(2)1y k x =--，联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=，A 和P 点横坐标即为方程两个根，可得221681+4A P k k x x k ++=，因为=2P x ，所以22882=14A k k x k +-+，代入直线PA 可得2244114A k k y k--=+，即2222882441(,)1414k k k k A k k+---++，又因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，将k 换成k -，可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++，两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-【小问2详解】由(1)可设直线AB 的方程：12y x n =-+，又因为直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，则0n >，联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2224480x nx n -+-=，22Δ168(48)0n n =-->，解得02n <<.联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得22344320x nx n +--=，利用求根公式可得23n x -±=，所以1Q R x NQ NR x ====，又因为204n <<，所以2632n >，则11>，即29<，所以1121019NQNR+<<，所以NQNR 的取值范围为11210(1,9+【点睛】方法点睛：（1）解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个未知数建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.。

高二数学期末考试题目

高二数学期末考试题目高二数学期末考试题姓名：一、选择题（每题3分，共45分）1、经过点M （-4,0）和N （0,3）,的直线斜率是( )A －43B 43C －34D 34 2、直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（）A.213,B.--213,C.--123, D.－2，－3 3、直线３ｘ－２ｙ＋６＝０的ｙ轴截距是（）A. 2 B . －2 C 3 D －34、过点（３,－１）且平行于直线ｘ＋２ｙ－６＝０的直线是（）A.ｘ+２ｙ－６＝０B.ｘ+２ｙ＋1＝０C.ｘ－ｙ－7＝０D.2ｘ－ｙ＋7＝０5、直线３ｘ+２ｙ＋m ＝０与直线2ｘ－3ｙ＋n ＝０的位置关系是（）A .平行或重合B 相交但不垂直C 。

相交且垂直D 与m, n 的取值有关6、直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（）A.重合B.平行C.垂直D.相交但不垂直7、椭圆5x 2+9y 2=45 的离心率是（）A.143B.2149C.23D.328、已知在双曲线的实轴在y 轴上，它的两条渐近线方程分别是2x ±3y=0，实轴长为12，则它的方程是（）A.x y 2236161-=B.y x 221443241-=C.y x 2236811-=D.y x 2212271-= 9、椭圆x y 2225161+=的焦点坐标是（） A.(3,0),(-3,0) B.(0,3),(0,-3)C.(,),(,)410410-D.(,),(,)041041-10、双曲线14922=-y x 的渐近线方程是（） A.３ｘ＋２ｙ＝０ B . ３ｘ＋２ｙ＝１C ．２ｘ＋３ｙ＝０D ．２ｘ＋３ｙ＝１11、准线方程为Ｘ＝１的抛物线标准方程为（）A. ｙ２＝２ｘ B . ｙ２＝－２ｘ C ｙ２＝４ｘ D ｙ２＝－４ｘ12、某城市电话号码由８位数字组成，左起第一位不能用０和１，此城市最多可以安装电话门数为（）A.１０８ B .８⨯ １０７ C ８⨯１０１０ D.７８13、用１，２，３，４，５，五个数字可以组成没有重复数字的三位数（）个A. １２ B .１５ C ６０ D １２５14、如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2当水面升高1米后，拱桥内水面宽度是( ) (A)62米 (B)66米(C)32米 (D)36米15、直线125=+y x 和坐标轴所围成的三角形的面积是( ) (A)10 (B)7 (C)5 (D)2二、填空题（每题3分，共36分） 1、直线3x+4y-12=0与坐标轴围成的三角形的面积是--------------------。

高二数学期末复习题库

高二数学期末复习题库一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7，求f(1)的值。

A. -3B. 0C. 2D. 52. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值。

A. 23B. 25C. 27D. 293. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，求圆心坐标和半径。

A. 圆心(3,4)，半径5B. 圆心(4,3)，半径5C. 圆心(3,4)，半径3D. 圆心(4,3)，半径34. 已知三角形ABC的三边长分别为a=5，b=7，c=8，求其面积。

A. 12B. 15C. 18D. 205. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期是多少？A. πB. 2πC. 3πD. 4π二、填空题6. 已知直线l1: 2x + 3y - 6 = 0与直线l2: x - 4y + 8 = 0，求它们的交点坐标。

交点坐标为：________。

7. 求函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标。

顶点坐标为：________。

8. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，求向量a与向量b的点积。

点积为：________。

9. 已知方程x^2 - 6x + 9 = 0，求它的根。

根为：________。

10. 已知正弦函数y = sin(ωx + φ)，其中ω = 2，φ = π/4，求函数的周期。

周期为：________。

三、解答题11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1恒成立。

12. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。

13. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。

14. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数f'(x)。

15. 利用向量的知识证明勾股定理。

四、应用题16. 某工厂生产产品的成本函数为C(x) = 100 + 30x，其中x为生产数量。

高二数学期末难题汇编

高二数学期末难题汇编一．选择题（共13小题）1．已知椭圆C：的两个焦点F1，F2与短轴的两个端点B1，B2都在圆x2+y2＝1上，P是C上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的平分线交C的长轴于点M，则|MB1|+|MB2|的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知点P为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，使（+）（﹣）＝0（O为坐标原点），且||＝||，则双曲线离心率为（）A．B．+1C．+1D．﹣3．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）A．B．3C．6D．4．已知F是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F且倾斜角为30°的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC的斜率为（）A．﹣B．C．﹣3D．35．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段AC，D1B上，且＝λ（λ∈（0，+∞）），直线EF与直线AD1，B1C所成的角为θ1，θ2，又f（λ）＝|EF|[cos（θ1+θ2）+sin（θ1+θ2）]，则f（λ）随着λ增大时（）A．f（λ）先增大后减小，且最小值为1B．f（λ）先减小后增大，且最小值为1C．f（λ）先减小后增大，且最小值为D．f（λ）先增大后减小，且最小值为6．如图，二面角α﹣AB﹣β的大小为60°，棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．过点P（1，3）的动直线交圆C：x2+y2＝4于A、B两点，分别过A、B作圆C的切线，如果两切线相交于点Q，那么点Q的轨迹为（）A．直线的一部分B．直线C．圆的一部分D．射线8．若O为坐标原点，A（2，0），点P（x，y）坐标满足，则||cos∠AOP的最大值为（）A．6B．5C．4D．39．已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A．B．C．D．110．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A、B不同两点，若5|AF|＝4|BE|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．已知p：函数y＝|x﹣a|在[3，+∞）上是增函数，q：函数y＝lg（x﹣a）在[3，+∞）是增函数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．在平面直角坐标系内，到点A（1，2）和直线l：x+y﹣3＝0距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线13．设x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣B．C．D．二．填空题（共9小题）14．已知点P在圆C：（x﹣4）2+y2＝4上，点A（6，0），M为AP的中点，O为坐标原点，则tan∠MOA 的最大值为．15．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为．16．若圆x2+y2＝25与圆x2+y2﹣6x+8y+m＝0的公共弦的长为8，则m＝．17．设点集M＝{（x，y）|x cosθ+y sinθ﹣sinθ﹣1＝0（0≤θ≤2π）}，集合M在坐标平面xoy内形成区域的边界构成曲线C，曲线C的中心为T，圆N：（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1，过圆N上任一点P分别作曲线C的两切线PE，PF，切点分别为E，F，则的范围为．18．若f（x）＝x4+3x3+x+1，用秦九韶算法计算f（π）时，需要乘法m次，加法n次，则m+n＝．19．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2＝1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于．20．给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣4，0），（4，0）连线的斜率之乘积为﹣，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0），F2（5，0）；（2）曲线C上存在一点M，使得S△F1MF2＝9；（3）P为曲线C上一点，P，F1，F2是直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，的值为；（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|P A|+|PF1|的最大值为8+；其中正确命题的序号是．21．已知命题，则￢p为．22．下列说法中，错误的有（写出你认为错误的所有说法的序号）．①若a，b均为正数，则；②若x∈（0，），则sin x+的最小值为2；③a＞b＞0，则a+＞b+；④若a＞b＞1，则．三．解答题（共18小题）23．已知椭圆M：的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y＝kx+m（k≠0）与圆E：x2+y2＝相切于点P，且交椭圆M于A，B两点，射线OP于椭圆M交于点Q，设ΔOAB的面积与ΔQAB的面积分别为S1，S2．①求S1的最大值；②当S1取得最大值时，求的值．24．如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．（1）若t＝1，求两条切线所在的直线方程；（2）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．25．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆的左顶点，点B为上顶点，|AB|＝且|AF1|+|AF2|＝4．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2作直线l交椭圆C于M、N两点，记AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1+k2＝3，求直线l的方程．26．已知椭圆C：的长轴长是焦距的2倍，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（x，y）为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，点P'满足．证明：为定值．27．已知双曲线的方程是4x2﹣9y2＝36．（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝16，求∠F1PF2的大小．28．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，原点到直线＝1的距离等于．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．29．已知椭圆的长轴长为4，焦距为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．30．如图，椭圆，抛物线，过C2上一点P（异于原点O）作C2的切线l交C1于A，B两点，切线l交x轴于点Q．（1）若点P的横坐标为1，且|﹣|＝，求p的值．（2）求△OAB的面积的最大值，并求证当△OAB面积取最大值时，对任意的p＞0，直线l均与一个定椭圆相切．31．为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．数学120118116122124物理7979778283附．．（1）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；（2）我们常用R2来刻画回归的效果，其中R2越接近于1，表示回归效果越好．求R2．（3）已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？32．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．33．某公司2017年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动．（1）现需要从第一排就座的6位嘉宾A、B、C、D、E、F中随机抽取2人上台抽奖，求嘉宾A和嘉宾B至少有一人上台抽奖的概率；（2）抽奖活动的规则是：嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该嘉宾中奖的概率．34．已知圆F的圆心坐标为（1，0），且被直线x+y﹣2＝0截得的弦长为．（1）求圆F的方程；（2）若动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程；（3）直线l与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点，且•＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．35．以椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．（1）若椭圆C的离心率为，其“伴随”与直线x+y﹣2＝0相切，求椭圆C的方程．（2）设椭圆E：+＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx+m交椭圆E于AB两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．36．如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．（Ⅰ）若AP⊥AQ，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标；（Ⅱ）假设直线PQ过点T（5，﹣2），请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数？如果不存在，请说明理由．37．已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2＝8x的焦点．直线l：y＝k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．38．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．39．已知命题p：（x﹣2）（x+3）≤0；命题q：1﹣a≤x≤1+a（a＞0）．（1）若a＝6，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．（2）若￢q是￢p的充分条件，求实数a的取值范围．40．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点（1，﹣2），过点M（8，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）在抛物线C上是否存在定点N，使得＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．已知椭圆C：的两个焦点F1，F2与短轴的两个端点B1，B2都在圆x2+y2＝1上，P是C上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的平分线交C的长轴于点M，则|MB1|+|MB2|的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知b＝c＝1，故a＝，故F1（﹣1，0），F2（1，0），B1（0，﹣1），B2（0，1），∵PM是∠F1PF2的平分线，∴＝，设M（m，0），则，∴m＝﹣1，∵P是椭圆上除长轴端点外的点，∴﹣1＜PF1＜+1，∴﹣＜m＜，又|MB1|+|MB2|＝2，∴2≤|MB1|+|MB2|＜，故选：B．2．已知点P为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，使（+）（﹣）＝0（O为坐标原点），且||＝||，则双曲线离心率为（）A．B．+1C．+1D．﹣【解答】解：|PF1|﹣|PF2|＝2a，||＝||，∴|PF2|＝（+1）a，∵（+）（﹣）＝0，∴||＝||，设Q为PF2的中点，∴+＝2，﹣＝，∴⊥，∴△OPF2为等边三角形，∴c＝（+1）a，∴e＝＝+1，故选：C．3．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）A．B．3C．6D．【解答】解：由题意可知：F1F2＝F2P＝2c，又∵F1P+F2P＝2a1，F1P﹣F2P＝2a2，∴F1P+2c＝2a1，F1P﹣2c＝2a2，两式相减，可得：a1﹣a2＝2c，∵＝＝，∴＝＝＝4+2+，∵2+≥2＝2，当且仅当时等号成立，∴的最小值为6，故选：C．4．已知F是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F且倾斜角为30°的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC的斜率为（）A．﹣B．C．﹣3D．3【解答】解：F（﹣c，0），设B（x0，），则A（，），把A点坐标代入方程y＝﹣x可得＝﹣•，整理可得x0＝，∴A（﹣，），B（，），∴C（，），故k OC＝，又直线BF的斜率为＝tan30°＝，∴＝，∴k OC＝3．故选：D．5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段AC，D1B上，且＝λ（λ∈（0，+∞）），直线EF与直线AD1，B1C所成的角为θ1，θ2，又f（λ）＝|EF|[cos（θ1+θ2）+sin（θ1+θ2）]，则f（λ）随着λ增大时（）A．f（λ）先增大后减小，且最小值为1B．f（λ）先减小后增大，且最小值为1C．f（λ）先减小后增大，且最小值为D．f（λ）先增大后减小，且最小值为【解答】解：时，|EF|＝，θ1＝θ2＝45°，f（）＝|EF|[cos（θ1+θ2）+sin（θ1+θ2）]＝，排除A，B；λ＝1时，|EF|＝1，θ1＝θ2＝45°，f（1）＝|EF|[cos（θ1+θ2）+sin（θ1+θ2）]＝1；λ＝0时，|EF|＝，θ1＝0，θ2＝90°，f（0）＝|EF|[cos（θ1+θ2）+sin（θ1+θ2）]＝，∴f（λ）先减小后增大．故选：C．6．如图，二面角α﹣AB﹣β的大小为60°，棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：二面角α﹣AB﹣β的大小为60°，棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，AB＝4，AC＝6，BD＝8，∴＝++，∴2＝+2||•||•cos120°＝36+16+64﹣2×6×8×＝68，∴CD＝2，在平面α内过B作BE⊥AB，过C作CE∥AB，交BE于点E，连结DE，则四边形ABEC是长方形，∠DBC＝60°，BE＝AC＝6，CE＝AB＝4，且∠DCE是直线AB与CD所成角（或所成角的补角），∴DE＝＝＝2，∴cos∠DCE＝＝＝，∴直线AB与CD所成角的余弦值为．故选：A．7．过点P（1，3）的动直线交圆C：x2+y2＝4于A、B两点，分别过A、B作圆C的切线，如果两切线相交于点Q，那么点Q的轨迹为（）A．直线的一部分B．直线C．圆的一部分D．射线【解答】解：设A（m，n），Q（x，y），根据圆的对称性可得Q点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点∵圆x2+y2＝4的圆心为C（0，0）∴切线AQ的斜率为k1＝﹣＝﹣，得得AQ方程为y﹣n＝﹣（x﹣m），化简得y＝﹣x+…①又∵直线P A的斜率k P A＝，∴直线CQ的斜率k2＝﹣＝，得直线CQ方程为y＝x…②①②联解，消去m、n得x+3y﹣4＝0，即为点Q轨迹所在直线方程由于直线x+3y﹣4＝0与圆C：x2+y2＝4相交，所以直线位于圆上或圆内的点除外故选：A．8．若O为坐标原点，A（2，0），点P（x，y）坐标满足，则||cos∠AOP的最大值为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：满足的可行域如图所示，又∵||cos∠AOP＝，∵＝（2，0），＝（x，y），∴||•cos∠AOP＝＝x．由图可知，平面区域内x值最大值为5||•cos∠AOP的最大值为：5故选：B．9．已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A．B．C．D．1【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22＝4c2，又因为，∴e1e2≥，故选：C．10．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A、B不同两点，若5|AF|＝4|BE|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF|＝|AF|＝|BE|，∵|BE|﹣|BF|＝2a，∴|BE|﹣|BE|＝|BE|＝2a，则|BE|＝10a，|BF|＝8a，∵抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，∴＝c，且x＝﹣c是抛物线的准线，则|BD|＝|BF|＝8a，设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c＝8a，即x＝8a﹣c，代入抛物线方程y2＝2px＝4cx得y2＝4c（8a﹣c），则|DE|2＝y2＝4c（8a﹣c），在直角三角形BDE中，BE2＝DE2+BD2，即100a2＝64a2+4c（8a﹣c），即36a2﹣32ac+4c2＝0，即c2﹣8ac+9a2＝0，解e2﹣8e+9＝0，得e＝＝4±，∵0＜a＜b，∴e＝＝＞，∴e＝4+，故选：A．11．已知p：函数y＝|x﹣a|在[3，+∞）上是增函数，q：函数y＝lg（x﹣a）在[3，+∞）是增函数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵p：函数y＝|x﹣a|在[3，+∞）上是增函数，∴a≤3，∵q：函数y＝lg（x﹣a）在[3，+∞）是增函数，∴a＜3，∴p是q的必要不充分条件．故选：B．12．在平面直角坐标系内，到点A（1，2）和直线l：x+y﹣3＝0距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线【解答】解：将点A（1，2）代入直线l：x+y﹣3＝0，可得A在直线l上，则到点A（1，2）和直线l：x+y﹣3＝0距离相等的点的轨迹是过A垂直于直线l的直线．故选：A．13．设x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣B．C．D．【解答】解：先画出满足条件的平面区域，如图示：由z＝的几何意义是可行域内的点与D（﹣2，0）连线的斜率，由图形可知AD的斜率取得最大值，代入A（3，4），即可得到z最大值，∴z的最大值是，故选：C．二．填空题（共9小题）14．已知点P在圆C：（x﹣4）2+y2＝4上，点A（6，0），M为AP的中点，O为坐标原点，则tan∠MOA 的最大值为．【解答】解：设P（4+2cosθ，2sinθ），又A（6，0），且M为AP的中点，∴M（5+cosθ，sinθ），∴tan∠MOA＝，令y＝，则sinθ﹣y cosθ＝5y，∴sin（θ+φ）＝5y，即sin（θ+φ）＝，（tanφ＝﹣y）．由，解得．∴tan∠MOA的最大值为．故答案为：．15．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|＝c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0则a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）解得：由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：，故答案为：．16．若圆x2+y2＝25与圆x2+y2﹣6x+8y+m＝0的公共弦的长为8，则m＝﹣55或5．【解答】解：x2+y2＝25①x2+y2﹣6x+8y+m＝0②两式相减得6x﹣8y﹣25﹣m＝0．圆x2+y2＝25的圆心为（0，0），半径r＝5．圆心（0，0）到直线6x﹣8y﹣25﹣m＝0的距离为＝．则公共弦长为2＝8∴r2﹣d2＝16．∴d2＝9．∴d＝＝3．解得，m＝﹣55或d＝5故答案为：﹣55或5．17．设点集M＝{（x，y）|x cosθ+y sinθ﹣sinθ﹣1＝0（0≤θ≤2π）}，集合M在坐标平面xoy内形成区域的边界构成曲线C，曲线C的中心为T，圆N：（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1，过圆N上任一点P分别作曲线C的两切线PE，PF，切点分别为E，F，则的范围为[﹣，]．【解答】解：∵点T（0，1）到直线x cosθ+y sinθ﹣sinθ﹣1＝0的距离d＝，∴曲线C是以T（0，1）为圆心，以1为半径的圆，设∠EPF＝2α则＝1×1×cos2α＝2cos2α﹣1，在Rt△PTE中，cosα＝由圆的几何性质得﹣1≤|PT|≤+1，∴≤cosα≤，由此可得﹣≤≤，故答案为：[﹣，]18．若f（x）＝x4+3x3+x+1，用秦九韶算法计算f（π）时，需要乘法m次，加法n次，则m+n＝6．【解答】解：f（x）＝x4+3x3+x+1＝（（（x+3）x+0）x+1）x+1，用秦九韶算法计算f（π）时，乘法运算与加法运算的次数和＝3+3＝6，故答案为6．19．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2＝1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于．【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d，则⇒p＝8，所以抛物线方程为y2＝16x，M的坐标为（1，4）；又双曲线的左顶点为，渐近线为，所以，由题设可得，解得．故答案为：20．给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣4，0），（4，0）连线的斜率之乘积为﹣，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0），F2（5，0）；（2）曲线C上存在一点M，使得S△F1MF2＝9；（3）P为曲线C上一点，P，F1，F2是直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，的值为；（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|P A|+|PF1|的最大值为8+；其中正确命题的序号是③④．【解答】解：设M（x，y），则k MA•k MB＝，化简得（x≠±4）曲线C是以F1（﹣，0），F2（，0）为焦点的椭圆，对于（1），曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0），F2（5，0）错；对于（2），因为b2＝9，要使S△F1MF2＝9，必须要存在点M，使∠F1MF2＝900∵c＝＝3，∴不存在M，使得S△F1MF2＝9，故错；对于（3），由（2）得，P为曲线C上一点，P，F1，F2是直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则必有PF1⊥F1F2|PF1|＝，|PF2|＝2a﹣|PF1|＝，∴的值为，正确；对于（4），则|P A|+|PF1|＝2a+|P A|﹣|PF2|≤2a+|P A|＝8+，故正确；故答案为：③④21．已知命题，则￢p为．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为，故答案为：．22．下列说法中，错误的有②④（写出你认为错误的所有说法的序号）．①若a，b均为正数，则；②若x∈（0，），则sin x+的最小值为2；③a＞b＞0，则a+＞b+；④若a＞b＞1，则．【解答】解：①由基本不等式的性质知，≥＝，即①正确；②∵x∈（0，），∴sin x∈（0，1），由基本不等式的性质知，sin x+≥2＝2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时，等号成立，而sin x＜1，∴等号不成立，取不到最小值2，即②错误；③a+﹣（b+）＝（a﹣b）+＝（a﹣b）（1+），∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，ab＞0，∴a+﹣（b+）＞0，即a+＞b+，③正确；④＝＝，∵a＞b＞1，∴b﹣a＜0，a﹣1＞0，∴＜0，即，④错误．∴错误的有②④．故答案为：②④．三．解答题（共18小题）23．已知椭圆M：的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y＝kx+m（k≠0）与圆E：x2+y2＝相切于点P，且交椭圆M于A，B两点，射线OP于椭圆M交于点Q，设ΔOAB的面积与ΔQAB的面积分别为S1，S2．①求S1的最大值；②当S1取得最大值时，求的值．【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝1∴椭圆M的方程+y2＝1（2）①直线y＝kx+m（k≠0）与圆E：x2+y2＝相切于点P，∴＝，即4m2＝3+3k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m（k≠0）代入椭圆C的方程，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝4（16k2﹣4m2+4）．∵4m2＝3k2+3．∴△＝4（13k2+1）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝•，设点O到直线l的距离为d＝，故△OAB的面积为：S1＝|AB|•d＝••＝≤＝1，当3k2+3＝13k2+1，即k2＝等号成立，故S1的最大值为1．②设Q（x3，y3），由直线y＝kx+m（k≠0）与圆E相切于点P，可得OQ⊥AB，∴，可得x32＝，y32＝，∴|OQ|＝＝＝，∵|OP|＝，∴|PQ|＝|OQ|﹣|OP|＝﹣，∴＝＝＝．24．如图，圆M：（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．（1）若t＝1，求两条切线所在的直线方程；（2）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；（3）若两条切线P A，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．【解答】解：（1）t＝1时，P（﹣1，1），设圆M的过点P的切线方程为y＝k（x+1）+1，即kx﹣y+k+1＝0，故M（2，0）到直线kx﹣y+k+1＝0的距离d＝＝1，解得k＝0或k＝﹣，∴切线方程为y＝1，3x+4y﹣1＝0．（2）|PM|＝，|AM|＝1，∴|P A|2＝|PM|2﹣|AM|2＝t2+8，故以P为圆心，以|P A|为半径的圆P的方程为（x+1）2+（y﹣t）2＝t2+8，显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，∴直线AB的方程为：（x+1）2﹣（x﹣2）2+（y﹣t）2﹣y2＝t2+8﹣1，即3x﹣ty﹣5＝0，显然直线AB过定点（，0）．（3）设切线方程为y﹣t＝k（x+1），即kx﹣y+k+t＝0，故M（2，0）到直线kx﹣y+k+t＝0的距离d＝＝1，即8k2+6kt+t2﹣1＝0，设P A，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2＝﹣，k1k2＝，把x＝0代入kx﹣y+k+t＝0，得y＝k+t，∴|ST|＝|k1+t﹣（k2+t）|＝|k1﹣k2|＝＝＝，∴当t＝0时，|ST|取得最小值．25．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆的左顶点，点B为上顶点，|AB|＝且|AF1|+|AF2|＝4．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F2作直线l交椭圆C于M、N两点，记AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1+k2＝3，求直线l的方程．【解答】解：（1）依题意可得，，解得，∴椭圆C的方程为；（2）由（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），F2（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立方程可得，消去x并整理可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，∴，∵x1＝my1+1，x2＝my2+1，∴，∵k1+k2＝3，即，∴2my1y2+3（y1+y2）﹣3x1x2﹣6（x1+x2）﹣12＝0，代入得，，解得m＝﹣3，∴直线l的方程为x+3y﹣1＝0．26．已知椭圆C：的长轴长是焦距的2倍，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设P（x，y）为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，点P'满足．证明：为定值．【解答】解：（1）由题意可得a＝2c，，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：；（2）证明：由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），F（1，0），因为P（x，y）为椭圆C上的动点，点P'满足，所以；所以，＝，所以：，所以可证为定值2．27．已知双曲线的方程是4x2﹣9y2＝36．（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝16，求∠F1PF2的大小．【解答】解：（1）解：由4x2﹣9y2＝36得，所以a＝3，b＝2，，所以焦点坐标，，离心率，渐近线方程为．（2）解：由双曲线的定义可知||PF1|﹣|PF2||＝6，∴＝＝，则∠F1PF2＝60°．28．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率是，原点到直线＝1的距离等于．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的标准方程为．证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消y整理可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）＝0，△＝64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，即3+4k2﹣m2＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，又，∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴k AD k BD＝﹣1，即，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，∴，∴7m2+16mk+4k2＝0．解得：，且均满足3+4k2﹣m2＞0，当m1＝﹣2k时，l的方程为y＝k（x﹣2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点．∴直线l过定点，定点坐标为．29．已知椭圆的长轴长为4，焦距为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知，所以．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：（ⅰ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．所以直线PM的斜率k1＝＝，直线QM的斜率k2＝＝﹣，此时＝﹣3．所以为定值﹣3．（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线P A的方程为y＝kx+m，直线QB的方程为y＝﹣3kx+m．联立整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4＝0．由，可得，所以．同理．所以，，所以．由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以，等号当且仅当时取得，此时，即，所以直线AB的斜率的最小值为．30．如图，椭圆，抛物线，过C2上一点P（异于原点O）作C2的切线l交C1于A，B两点，切线l交x轴于点Q．（1）若点P的横坐标为1，且|﹣|＝，求p的值．（2）求△OAB的面积的最大值，并求证当△OAB面积取最大值时，对任意的p＞0，直线l均与一个定椭圆相切．【解答】解：（1）点，由对称性不妨设．于是，于是Q（﹣1，0）．所以点Q是C1的左焦点．设∠AQO＝α．焦准距为m＝2．类比抛物线的焦半径算法可得．于是，于是，所以p＝6．（2）设P（x0，y0）．于是l：y0y＝px+px0．于是Q（﹣x0，0）．令，则l：x＝ty﹣x0．联立．设A（x1，y1），B（x2，y2）.．．当且仅当取等，且满足△＞0．所以△OAB的面积的最大值为．注意到即为．这个等式类似于△＝；于是猜想椭圆．联立得：；＝＝0；故当△OAB面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆相切．31．为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．数学120118116122124物理7979778283附．．（1）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；（2）我们常用R2来刻画回归的效果，其中R2越接近于1，表示回归效果越好．求R2．（3）已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？【解答】解：（1）计算＝×（120+118+116+122+124）＝120，＝×（79+79+77+82+83）＝80；＝＝＝；＝﹣＝80﹣×120＝﹣10，所以y关于x的线性回归方程是＝x﹣10；（2）由题意，填表得y79797782838078.57781.583计算相关系数＝1﹣＝1﹣＝＝0.9375；所以R2接近于1，表示回归效果越好；（3）第6次考试该生的数学成绩达到132，计算＝×132﹣10＝89，预测他的物理成绩为89分．32．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．33．某公司2017年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动．（1）现需要从第一排就座的6位嘉宾A、B、C、D、E、F中随机抽取2人上台抽奖，求嘉宾A和嘉宾B至少有一人上台抽奖的概率；（2）抽奖活动的规则是：嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该嘉宾中奖的概率．【解答】解：（1）6位嘉宾，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为＝；（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件，得到的区域为图中的阴影部分，由2x﹣y﹣1＝0，令y＝0，可得x＝，令y＝1，可得x＝1，∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为S阴＝（1+）×1＝．∴该代表中奖的概率为＝．34．已知圆F的圆心坐标为（1，0），且被直线x+y﹣2＝0截得的弦长为．（1）求圆F的方程；（2）若动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程；（3）直线l与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点，且•＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．【解答】解：（1）设圆F的方程为（x﹣1）2+y2＝r2，r＞0，由圆心到直线x+y﹣2＝0的距离为d＝＝，由弦长公式可得＝2，解得r＝1，可得圆F的方程为（x﹣1）2+y2＝1；（2）设M的坐标为（x，y），由动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，可得M到点F的距离比它到y轴的距离大1，即为M到点F的距离比它到直线x＝﹣1的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x；（3）证明：设l：x＝ty+b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2﹣4ty﹣4b＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4b，∴•＝x1x2+y1y2＝（ty1+b）（ty2+b）+y1y2＝t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2＝﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b＝b2﹣4b令b2﹣4b＝﹣4，∴b2﹣4b+4＝0∴b＝2．∴直线l过定点（2，0）．35．以椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．（1）若椭圆C的离心率为，其“伴随”与直线x+y﹣2＝0相切，求椭圆C的方程．（2）设椭圆E：+＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx+m交椭圆E于AB两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其“伴随”与直线x+y﹣2＝0相切，∴，解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为＝1．（2）由（1）知椭圆E的方程为+＝1，（i）设P（x0，y0），|＝λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02＝1，又+＝1，即（+y02）＝1，所以λ＝2，即|＝2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16＝0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以|x1﹣x2|＝，由直线y＝kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S＝|m|•|x1﹣x2|＝|m|•＝2，设＝t，则S＝2，将直线y＝kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由△＞0可得m2＜1+4k2，②由①②可得0＜t＜1，则S＝2在（0，1）递增，即有t＝1取得最大值，即有S，即m2＝1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．36．如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．（Ⅰ）若AP⊥AQ，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标；（Ⅱ）假设直线PQ过点T（5，﹣2），请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数？如果不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：设直线PQ的方程为x＝my+n，点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程代入抛物线方程，消x得y2﹣4my﹣4n＝0．由△＞0，得m2+n＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4n．∵P（x1，y1），Q（x2，y2），A（1，2）＝（x1﹣1，y1﹣2），＝（x2﹣1，y2﹣2）∵AP⊥AQ，∴，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0．∴（y1﹣2）（y2﹣2）[（y1+2）（y2+2）+16]＝0，∴（y1﹣2）（y2﹣2）＝0或（y1+2）（y2+2）+16＝0．∴n＝2m﹣1或n＝2m+5，∵△＞0恒成立，∴n＝2m+5．∴直线PQ的方程为x﹣5＝m（y+2），∴直线PQ过定点（5，﹣2）．（Ⅱ）解：假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，由第（Ⅰ）问可知，将n用2m+5代换得直线PQ 的方程为x＝my+2m+5．设点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入抛物线方程，消x得y2﹣4my﹣8m﹣20＝0．∴y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣8m﹣20．∴PQ的中点坐标为（2m2+2m+5，2m）．由已知得，即m3+m2+3m﹣1＝0．设g（m）＝m3+m2+3m﹣1，则g′（m）＝3m2+2m+3＞0，∴g（m）在R上是增函数．又g（0）＝﹣1＜0，g（1）＝4＞0，∴g（m）在（0，1）内有一个零点．∴函数g（m）在R上有且只有一个零点，即方程m3+m2+3m﹣1＝0在R上有唯一实根．所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．37．已知椭圆C：的离心率为，右顶点A是抛物线y2＝8x的焦点．直线l：y＝k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2＝8x，所以焦点坐标为（2，0），即A（2，0），所以a＝2．又因为e＝＝，所以c＝．所以b＝1，所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为，所以＝（x1+x2﹣4，y1+y2），所以M（x1+x2﹣2，y1+y2）．由直线l：y＝k（x﹣1）与椭圆C联立，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，得x1+x2﹣2＝﹣，y1+y2＝，即M（﹣，）．设N（0，y3），则MN中点坐标为（﹣，），因为M，N关于直线l对称，所以MN的中点在直线l上，所以＝k（﹣﹣1），解得y3＝﹣2k，即N（0，﹣2k）．由于M，N关于直线l对称，所以M，N所在直线与直线l垂直，所以，解得k＝±．…（14分）38．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x和y的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．【解答】解：（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴x＝5，∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y＝3；（2）甲班7位学生成绩的方差为s2＝＝40；。

高二数学期末考试题及答案

高二数学期末考试题及答案一、选择题1. 设集合$A=\{x \mid x\text{是正整数},1\leqslant x\leqslant 10\}$，若集合$B$表示$A$中能除以5但不能除以4，且单位数为偶数的数所构成的集合，则集合$B$的元素个数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知实数$x$满足$x+\frac{1}{x}=3$，则$x^n+\frac{1}{x^n}$的值为（）。

A. $n$B. $3n$C. $3^n$D. $2^n$3. 已知函数$f(x)=\log_2(x-a)+\log_2(x-b)$，其中$a>b$，则函数的定义域为（）。

A. $[a,+\infty)$B. $[b,a]$C. $[a,+\infty)\backslash [b,+\infty)$D. $(-\infty,a)\backslash [b,a]$4. 摩天轮在运行过程中，以正比例的方式将载客量从40人逐渐增加到80人，然后又逐渐减少到40人。

从摩天轮开始运行到载客量减半，共用去了旋转的$\frac{1}{4}$的时间。

假设摩天轮的一次旋转用时不变，那么完成一个旋转用时是（）。

A. 8分钟B. 10分钟C. 12分钟D. 16分钟5. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_n=\frac{a_{n-1}}{n}+\frac{1}{n(n+1)}$，则数列$\{a_n\}$的极限值为（）。

A. 0B. 1C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{2}{3}$二、填空题6. 若直线$2x+y-3=0$与圆$x^2+y^2-4x-2y+4=0$相切，则切点坐标为（）。

7. 已知函数$f(x)=(x^2-2x)e^{-mx}+c$，若曲线$y=f(x)$过点$(0,1)$且切线斜率为1，则$m$的值为（）。

8. 设$A$，$B$是两个$n$阶矩阵，且$AB=BA$，则$|AB-BA|$的值为（）。

高二数学试卷期末题及答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是：A. 一个开口向上的抛物线，顶点在(1, 0)B. 一个开口向下的抛物线，顶点在(1, 0)C. 一个开口向上的抛物线，顶点在(0, 1)D. 一个开口向下的抛物线，顶点在(0, 1)2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为：A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°4. 下列哪个方程的解集是空集：A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 4 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 05. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是：A. 以(0, 0)为圆心，1为半径的圆B. 以(0, 0)为圆心，2为半径的圆C. x = 0的直线D. y = 0的直线6. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^47. 若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项an是：A. 24B. 27C. 81D. 2438. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点是：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)9. 下列哪个数是等差数列1, 3, 5, ...的第10项：A. 19B. 20C. 21D. 2210. 若log2x + log2(4x) = 3，则x的值是：A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = ________。

北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题(3)

北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、填空题11．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．12．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.三、单选题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*N n "Î，n n S na =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．“a b c d ,,,成等差数列”是“a d b c +=+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．数列{}n a 的通项公式为||n a n c =-(*)n N Î,则“1c £”是 “{}n a 为递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知数列{}na 满足11a =，1n n a ra r +=+，(*n ÎN ，r R Î，0r ¹)，则“1r =”是“数列{}na 为等差数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．已知S n 是等差数列{}()*N na n Î的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题，假命题的是（）A ．公差0d 的n 的个数有11个D ．67a a >18．设,ab R Î，则“a b >”是“22a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．设0,0a b >>，则（）A ．若2223a b a b +=+，则a b >B ．若2223a b a b +=+，则a b <C ．若2223a b a b -=-，则a b >D ．若2223a b a b -=-，则a b<四、填空题20．比较下列各数的大小：可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．5．C【详解】试题分析：由题意得，(2,3)Ç=，故选C.A B【考点】集合的交集运算【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么（即元素的意义），是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．6．A【详解】在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A BÇ为图中阴影部分，即{}-<<，故选A.|32x x考点：集合的交集运算.【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =ì=í-Îî，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.12．1,2,3---【详解】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．13．C【分析】利用常数列、数列前n 项和的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】数列{}na 为常数列，则*N n "Î，1n a a =，121n n n S a a a na na =+++==L ，*N n "Î，n n S na =，则当2n ³时，11(1)n n n n n a S S na n a --=-=--，即1(1)(1)n n n a n a --=-，有1n n a a -=，因此，*N n "Î，11n a a S ==，数列{}n a 为常数列，所以“{}n a 为常数列”是“*N n "Î，n n S na =”的充分必要条件.故选：C 14．A【详解】a ，b ，c ，d 成等差数列Þ a d b c +=+,而1533+=+ ,但1,3,3,5不成等差数列,。

高二数学期末复习题

高二数学期末复习题一、选择题: (每小题5分,共60分)1、复数1i1.1i z -+=-+在复平面内，z 所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、若复数312a ii++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ．－2B ．4C ．－6D ．63由曲线2y x =与y =的边界所围成区域的面积为（）A.13B.23C.1D.164、若函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可以为 A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1) C ．f (x )＝2(x －1)2 D ．f (x )＝x －15、一个学生能够通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试2次，那么其中恰有一次获得通过的概率是A ．14B ．13C ．12D ．346、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( )A.5B.52C.53D.07、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞D.)3,3(-8．．连续抛掷一枚骰子两次，得到的点数依次记为（m ，n ），则点（m ，n ）恰能落在不等式组|4|23x y y +-<⎧⎨≤⎩所表示的平面区域内的概率为（） A ．14 B ．29 C ．736D ．169、从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人，要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案有 A ．210种 B ．186种 C ．180种 D ．90种10、若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B 、C 相邻，则不同的排法共有 A ．72种 B ．96种 C ．120种 D ．144种 11. 5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-在的展开式中，含3x 的项的系数（）A.74B.121C.-74D.-12112.已知函数32()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点（1,0），则()f x 的极值为（）A.极大值为427，极小值为0 B.极大值为0，极小值为427 C.极小值为427-，极大值为0 D. 极大值为427-，极小值为0二、填空题: (每小题5分,共20分) 13、若,)2(i b ii a -=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则____22=+b a .14、（1）⎰321dx x的值为__________.（2）01-⎰(x 2＋2 x ＋1)dx ＝_________________．15、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A ，那么第2次也抽到A 的概率为_______________________16、若(2x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 5＋a 3＋a 1＝_____________．三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。

数学试卷高二期末必刷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 - 1B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 1/x2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，则数列{an}的通项公式是（）A. an = nB. an = n^2C. an = n(n + 1)/2D. an = (n + 1)^23. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象开口向上，且顶点坐标为（h，k），则下列不等式成立的是（）A. f(x) > 0B. f(x) < 0C. f(x) ≥ 0D. f(x) ≤ 04. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a = 5，b = 7，c = 8，则角A的正弦值为（）A. √2/2B. √3/2C. √6/3D. √2/35. 已知复数z = 1 + i，那么|z|^2的值是（）A. 2B. 4C. 6D. 86. 下列不等式组中，有解的是（）A. {x > 2, x < 3}B. {x > 1, x ≤ 2}C. {x ≤ 1, x ≥ 2}D. {x < 1, x ≥ 2}7. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(x)的定义域是（）A. (-1, +∞)B. (-∞, -1)C. (-∞, 0)D. (0, +∞)8. 下列数列中，是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16, ...B. 1, 3, 6, 10, 15, ...C. 1, 4, 9, 16, 25, ...D. 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...9. 已知数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和Sn为（）A. 3^n - 2^nB. 3^n - 2^(n-1)C. 3^n - 2^(n+1)D. 3^n - 2^n + 110. 下列函数中，是偶函数的是（）A. f(x) = x^2 - 1B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 1/x二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的零点为__________。

2024高二数学期末考试试题

2024高二数学期末考试试题1. 选择题1. 在平面直角坐标系中，已知点A(3, 4)，B(6, -2)，C(-1, -2)，则三角形ABC的周长为：A. 10B. 12C. 15D. 182. 设函数f(x) = x^2 - 2x + 1，下列哪个不是其定义域？A. (-∞, ∞)B. (-∞, 0)C. (0, ∞)D. x = 13. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {3, 4, 5}，则A ∩ B =A. {1, 2}B. {3, 4}C. {3, 4, 5}D. ∅4. 若a,b都是正实数，且满足a + b = 1，则a/b + b/a的最小值是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 填空题1. 若x^2 - x + k = 0有两个相等的实根，则k的取值范围为______。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求f(2)的值为______。

3. 设集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {2, 3, 4, 5}，则A ∪ B = ______。

4. 不等式2x + 3 < 7的解集为______。

3. 解答题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(x)的最大值及最小值，并说明最小值点和最大值点的坐标。

解：首先，我们可以求出函数 f(x) 的导函数 f'(x)，即 f'(x) = 4x - 4。

然后，令 f'(x) = 0，解得 x = 1。

将 x = 1 代入 f(x) 中，可以得到 f(1) = 1。

所以，f(x) 的最大值为 1，最小值为 f(1) = 1。

最小值点的坐标为 (1, 1)，最大值点的坐标也为 (1, 1)。

2. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {3, 4, 5}，求 A - B 的结果。

解：A -B 表示从集合 A 中去掉集合 B 中的元素。

高二数学上学期期末复习备考黄金30题专题03 小题好拿分(提升版,30题)苏教版-苏教版高二全册数

专题03 小题好拿分（提升版，30题）一、填空题1．已知椭圆22221x yaa b+=>>（ｂ０）的离心率为32, A为左顶点,点,M N在椭圆C上,其中M在第一象限, M与右焦点的连线与x轴垂直,且4?10AM ANk k+=,则直线MN的方程为_______.【答案】36 y x =答案：36 y x =2．已知椭圆22:143x yC+=的右顶点为A, 点()2,4M,过椭圆C上任意一点P作直线MA的垂线,垂足为H,则2PM PH+的最小值为_________.【答案】2172-3．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】设右焦点F（c，0），将直线方程代入椭圆方程可得，可得由可得，即有化简为，由，即有，由故答案为．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为_____．【答案】5．在△ABC中，，BC=2，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是_____．【答案】【解析】如图建立坐标系，如图的外接圆满足∵若取最大值，在同一直线上，设点坐标为解得的外接圆的圆心故答案为6．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB μ⋅=（μ为常数， 1μ>-），且点C 始终不在以B 为圆心12为半径的圆内，则μ的范围是_________．【答案】][35144⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭，，7．已知半径为的动圆经过圆的圆心，且与直线相交，则直线被圆截得的弦长最大值是__________．【答案】8．（文科选做）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。

(必考题)数学高二下期末经典测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示,若将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x 图象,则()g x 的解析式为( )A ．2()2sin(2)3g x x π=+ B ．5()2sin(2)6g x x π=- C ．()2sin(2)6g x x π=+D ．()2sin(2)3g x x π=-2．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（） A ．66B ．66±C ．62D ．62±3．已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos2α的值为（）A ．45-B ．35C ．35D ．45 4．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A 3B ．3C ．6 D ．1525．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60° D ．45°6．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（）A ．4B ．23C ．2D ．37．设奇函数()()()()sin 3cos 0f x x x ωφωφω=+-+>在[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( )A ．[)4,5ππB ．[]4,5ππC ．11,54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦8．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（）A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．已知函数()sin 3cos f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 10．若()2sin sinsin777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的个数是（） A ．16B ．72C ．86D ．10011．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称12．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2cos ,2sin )CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π214．若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（） A ．223+B ．23C ．4D ．1215．已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（）A ．310B ．35 C ．65-D ．125-二、填空题16．已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 17．已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________. 18．实数x ，y 满足223412x y +=，则23x y +的最大值______． 19．如图在ABC 中，AC BC =，2C π∠=，点O 是ABC 外一点，4OA =,2OB =则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．20．已知角α的终边上一点)3,1A-，则()sin tan 2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．21．已知ABC ∆中角,,A B C 满足2sin sin sin B A C =且2sin cos cos 1242C Cπ+=,则sin A =__________.22．仔细阅读下面三个函数性质：（1）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)p p ≠，使得1()2f x p f x p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．（2）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)M M >，使得|()|f x M ≤．（3）对任意实数x ∈R ，存在常数，使得()()0f a x f a x -++=．请写出能同时满足以上三个性质的函数（不能为常函数）的解析式__________．（写出一个即可）23．将函数e x y =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________． 24．已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值为__________． 25．若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________．三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值；（2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 27．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求C ；（2）若c =，ABC 的面积为ABC 的周长.28．在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 29．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图像经过点,412π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点5,412π⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像有一条对称轴为12x π=. （1）求()f x 的解析式及最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间.30．已知定义在R 上的函数()()()sin 0,0f x A x x A ωϕ=+>>的图象如图所示（1）求函数()f x 的解析式；（2）写出函数()f x 的单调递增区间（3）设不相等的实数，()12,0,x x π∈，且()()122f x f x ==-，求12x x +的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．D 5．A 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C11．A12．D13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；17．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力18．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy19．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m则由余弦定理把m表示出来利用四边形OACB面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m则由余20．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力21．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：23．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言24．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题25．【解析】由题意得三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】根据函数的图象求出函数()f x 的解析式，再根据图象的平移变换得到()g x 的解析式即可. 【详解】由图象可知，A =2,541264T πππ=-=, 2T ππω∴==,2ω∴=,又当512x π=时，52sin(2)212πφ⨯+=，即5sin()16πφ+=， 2πφ<， 3πφ∴=-，故()sin()f x x π=-223，将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x ， ∴ ()2sin[2()]2sin(2)436g x x x πππ=+-=+，故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，图象的变换，属于中档题.2．C解析：C 【解析】【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴2λ=．故选：C ．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】 ∵sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11tan α3tan α12-==+，.∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--==-++ 故选A4．D解析：D 【解析】【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果【详解】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单5．A解析：A 【解析】【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+，整理可得22b a b =⋅，所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-，又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒，故选A ．【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．A解析：A【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．7．A解析：A 【解析】f （x ）=sin （ωx+φ（ωx+φ）=2[12sin （ωx+φ（ωx+φ）] =2[cos3πsin （ωx+φ）﹣sin 3πcos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣3π） ∵函数f （x ）为奇函数，∴f （0）=2sin （φ﹣3π）=0，∴φ=3π+kπ，k ∈Z ∴f （x ）=2sin （ωx+kπ），f （x ）=0即sin （ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m ∈Z ，解得，x=()m k πω-，设n=m ﹣k ，则n ∈Z ，∵A ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,[]1,1n πω∈-，∴n ωωππ-≤≤, ∵A ∈[﹣1，1]中有9个元素,4545.ωπωππ∴≤<⇒≤< 故答案为A.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．8．D解析：D 【解析】【分析】根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式.由题图可知2A =，且11522122T πππ=-=即T π=，所以222T ππωπ===，将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+，得()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23k k πϕπ=-∈Z ，因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.9．A解析：A 【解析】【分析】利用函数的平移变换得π2sin 3y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根所图象关于y 轴对称，得到角的终边落在y 轴上，即π2π3πm k +=+，k Z ∈，即可得答案. 【详解】()sin 2s πin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数π2sin 3y x m ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象，又所得到的图象关于y 轴对称，所以π2π3πm k +=+，k Z ∈，即ππ6m k =+，k Z ∈，又0m >，所以当0k =时，m 的最小值为π6. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函图象的变换、偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10．C【解析】【分析】【详解】令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0，而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.11．A解析：A 【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，函数23111()3cos cos 2cos 2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++，当6x π=时，113()sin(2)sin 6662222f ππππ=⨯++=+=，所以6x π=函数()f x 的对称轴，故A 正确；由sin(2)[1,1]6x π+∈-，所以函数()f x 的最大值为32，最小值为12-，所以B 、C 不正确；又由12x π=时，131()sin(2)612622f πππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【解析】不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=． ∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++． ∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角．设:OA l y kx = ∴22121k d r k -=≤=+．即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+．又∵π23tan12-=，523tanπ12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．13．A解析：A 【解析】【分析】由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x 且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题14．B解析：B 【解析】【分析】将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式. 【详解】因为2222cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=，故选：B. 【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.15．B解析：B 【解析】【分析】根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】【分析】将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++；因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()43πθ+==-，故cos 22sin()cos()449ππθθθ=++=-. 【点睛】（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.17．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：35【解析】【分析】先根据已知求出tan α，最后化简2sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解. 【详解】由题得tan 111,tan 1+tan 32ααα-=-∴=.由题得22222sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα--+ =2211tan tan 3421tan 1514ααα++==++. 故答案为35【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy解析：【解析】分析：根据题意，设2cos x θ=，y θ=，则有24cos 3sin x θθ+=+，进而分析可得()25sin x θα+=+，由三角函数的性质分析可得答案．详解：根据题意，实数x ，y 满足223412x y +=，即22143x y +=，设2cos x θ=，y θ=，则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由()15sin 1θα-≤+≤，则525x -≤≤，即2x +的最大值5；故答案为：5．点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．19．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m 则由余弦定理把m 表示出来利用四边形OACB 面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC 为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m 则由余解析：5+ 【解析】分析：利用余弦定理，设AOB α∠=,设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理把m 表示出来，利用四边形OACB 面积为S=24sin 4sin 2OACB ABC m S S αα∆∆=+=+．转化为三角形函数问题求解最值．详解：△ABC 为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理，42+22﹣2m 2=16cos α，∴2108cos m α∴=-．108cos 4sin 4sin 4sin 4cos 52OACB ABC S S ααααα∆∆-∴=+=+=-+)554πα=-+≤.当34απ=时取到最大值5+.故答案为5+点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设AOB α∠=，再建立三角函数的模型.20．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力【解析】分析：先根据三角函数定义得cos ,tan αα，再根据诱导公式化简求值.详解：因为角α的终边上一点)1A -，，所以cos tanαα===, 因此()sin tan 2παπα⎛⎫-++⎪⎝⎭cos tanαα=+== 点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式，考查基本求解能力.21．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力解析：12【解析】分析：先化简2sincos cos 1242C C π+=得到2C π=，再化简2sin sin sin B A C =得到sin A =详解：因为2sincos cos 1242C C π+=，所以1-2cos 1222C C +=,所以cos(cos 0,cos 0(cos =222222C C C C -=∴=舍）或，因为0C π<<,所以2C π=,所以A+B=2π.2sin sin sin B A C =因为，所以22cos sin ,sin sin 10,sin A A A A A =∴+-=∴=因为sinA>0,所以1sin 2A =.. 点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：解析：4()sin π3f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】分析：由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数. 详解：由题目约束条件可得到()f x 的不同解析式．由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数()4sin π3f x ⎛⎫=⎪⎝⎭. 点睛：正余弦函数是周期有界函数，既有对称轴也有对称中心，是一类有特色得函数.23．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言解析：24e x y -=【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式. 详解：222(2)24e ee e xxx x y y y --=→=→==横坐标变为一半右移个单位点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.24．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题解析：65【解析】分析：由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得tan 2α=，化简()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，即可求得其值.详解：tan tantan 114tan ,tan 2,4tan 13tan tan 4παπαααπαα--⎛⎫-===∴= ⎪+⎝⎭+ 由()()22cos sin cos sin sin cos 2παπαπαααα⎛⎫+--+=+⎪⎝⎭22222sin sin cos tan tan 6.sin cos tan 15αααααααα++===++ 即答案为65. 点睛：本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．25．【解析】由题意得解析：3-【解析】由题意得()1sin sin ,[,],cos 32ππαααπα-==∈∴==三、解答题 26．（1）34-（2）16【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得22232a cb ac +-=-，根据余弦定理得222332cos 224aca cb Bac ac -+-===-；（2）由3cos 4B =-，得sin B = ∴sin22sin cos BB B ==21cos22cos 18B B =-=，∴1sin 2sin2cos cos2sin 44428816B B B πππ⎫⎛⎫+=+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 27．（1）3C π=（2）7+【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将2cos (cos cos )C a B b A c +=，转化为2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，再利用两角和与差的三角的三角函数得到sin (2cos 1)0C C -=求解.（2）根据ABC 的面积为1sin 2ab C =12ab =，再利用余弦定理得()23a b ab =+-，求得+a b 即可. 【详解】（1）因为2cos (cos cos )C a B b A c +=，所以2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，所以()2cos sin sin C A B C +=，所以sin (2cos 1)0C C -=，所以1cos 2C =，又因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2ab C = 所以12ab =.由余弦定理得：若2222cos c a b ab C =+-，()23a b ab =+- 所以7a b +=所以ABC 的周长7【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.28．（1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）[-1，2] 【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,周期T π=，则2==2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定6πϕ=，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其单调增区间． (2)分析72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=．由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． (2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．29．（1）()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，23π；（2）22,()43123k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】【分析】（1）由函数的图象经过点412，π⎛⎫ ⎪⎝⎭且f （x ）的图象有一条对称轴为直线12x π=，可得最大值A ，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间．【详解】（1）函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，2πϕ＜）在一个周期内的图象经过点412，π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5412π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且f （x ）的图象有一条对称轴为直线12x π=，故最大值A ＝4，且5212123T πππ=-=, ∴2T 3π=， ∴ω2Tπ=＝3．所以()4sin(3)f x x ϕ=+.因为()f x 的图象经过点,412π⎛⎫⎪⎝⎭，所以44sin 312πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，所以24k ϕπ=+π，k Z ∈. 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=，所以()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）因为()4sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以232242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，所以2243123k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈，即()f x 的单调递增区间为22,()43123k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +ϕ）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．30．（1）()=4sin 23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）76π；【解析】【分析】（1）根据函数的最值可得A ，周期可得ω，代入最高点的坐标可得ϕ，从而可得解析式；（2）利用正弦函数的递增区间可解得；（3）利用()2f x =-在(0,)x π∈内的解就是1x 和2x ，即可得到结果.【详解】（1）由函数()f x 的图象可得4A =，又因为函数的周期72()1212T πππ=-=，所以22πωπ==，因为函数的图象经过点(,4)12P π，即4sin(2)412πϕ⨯+=，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()4sin(22)4sin(2)33f x x k x πππ=++=+. （2）由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，可得函数()f x 的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，（3）因为(0,)x π∈，所以72(,)333x πππ+∈，又因为()2f x =-可得1sin(2)32x π+=-，所以7236x ππ+=或11236x ππ+=，解得512x π=或34x π=，、因为12x x ≠且()12,0,x x π∈，12()()2f x f x ==-，所以1253147124126x x ππππ+=+==. 【点睛】本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于中档题.。

2020-2021学年高二数学期末复习题选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何(含答案)

2020-2021学年高二数学人教A 版（2019）期末复习题第一章空间向量与立体几何一、选择题1.已知空间点()()1,,5,2,7,2A a B a ---,则AB 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．2.若向量(,4,5),(1,2,2)a x b =--=-,且a 与b 的夹角的余弦值为,则实数x 的值为( ) A.-3 B.11 C.3 D.-3或113.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为( ) A.607B.14C.12D.6274.在空间直角坐标系中, 点()3,4,5P 与点(3,4,5)Q --的位置关系是（） A.关于x 轴对称B.关于xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对二、填空题5.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2HP 的范围是__________.6.若(2,1,2),(6,3,2)a b =-=-,且()a b a λ+⊥,则实数λ= .7.如图,在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中,侧棱PA ⊥底面,,90,2,1ABCD BCAD ABC PA AB BC AD ∠=︒====,则AD 到平面PBC 的距离为_______.三、多项选择题8.已知空间中三点()()()0,1,0,2,2,0,1,3,1A B C -,则下列说法不正确的是( )A.AB 与AC 是共线向量B.与AB 同向的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C.AB 与BCD.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--,则下列结论正确的是( )A.AP AB ⊥B.AP AD ⊥C.AP 是平面ABCD 的法向量D.APBD10.设,,a b c 是任意的非零空间向量,且两两不共线,则下列结论中正确的有( ) A.()()0⋅-⋅=a b c c a b B.||||||-<-a b a bC.()()⋅-⋅b a c c a b 不与c 垂直D.22(32)(32)9||4||+⋅-=-a b a b a b11.设,a b 为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有( ) A.22||=a a B.2⋅=a b ba aC.222()⋅=⋅a b a bD.222()2-=-⋅+a b a a b b四、解答题12.ABC △的内角,,A B C 对的边为,,a b c ,向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行. (1)求角A ;（2）若2,a =求b c +的取值范围.13.如图,在边长为2的正三角形ABC 中,点,,D E G 分别是边,,AB AC BC 的中点,连接DE ,连接AG 交DE 于点F .现将ADE 沿DE 折叠至1A DE 的位置,使得平面1A DE ⊥平面BCED ,连接1,AG EG .求点B 到平面1A EG 的距离.14.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交CC 于D ．（1）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ；（2）求二面角111A B C A -的余弦值．15.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为1BB 的中点.(1)求1D E 的长；(2)求异面直线AE 与1BC 所成的角的余弦值.16.如图,在三棱锥S ABC -中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90BAC ∠=︒,O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ； (2)求二面角A SC B --的余弦值参考答案1.答案：C2.答案：A3.答案：B4.答案：A 点()3,4,5P 与点()3,4,5Q --的横坐标相同,而纵、竖坐标分别互为相反数,所以两点关于x 轴对称.5.答案：11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示:作'HM BB ⊥交'BB 于M ,连接PM 则HM PM ⊥作'PN CC ⊥交'CC 于N,则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离设(),4,P x z ,则()()()1,4,3,4,4,3,0,4,F M N z ()04,04x z ≤≤≤≤ 由题意点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长所以PN PF =由两点间距离公式可得x =化简得()2213x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得142x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222443x z =+-+-()224421x x =+-+-()2322x =-+142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以211322,4HP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 答案: 11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.答案：919-7.2分析知,,AB AD AP 两两垂直,∴可建立以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系(如图所示),则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,0A B C P PB BC =-=,设平面PBC 的法向量为(),,a b c =n ,则0PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即22020a c b -=⎧⎨=⎩,取1a =,则0,1b c ==,则()1,0,1=n 是平面PBC 的一个法向量.又(2,0,0),AB AD =平面,PBC ∴所求距离为||||AB ⋅=n n . 8.答案：ABC解析：对于A,(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-,所以不存在实数λ,使得AB AC λ=,则AB 与AC 不是共线向量,所以A 错误;对于B,因为(2,1,0)AB =,所以与AB同向的单位向量为⎫⎪⎪⎝⎭,所以B 错误;对于C,向量(2,1,0),(3,1,1)AB BC ==-,所以cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅〈〉==-,所以C 错误;对于D 项,设平面ABC 的一个法向量是(,,),(2,1,0),(1,2,1)x y z AB AC ===-n ,所以0,0,AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 则20,20,x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1x =,则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)=-n ,所以D 正确.故选ABC. 9.答案：ABC 解析：0,0,,AB AP AD AP AB AP AD AP ⋅=⋅=∴⊥⊥,则选项A,B 正确.又AB 与AD 不平行,AP∴是平面ABCD 的法向量,则选项C 正确.(2,3,4),(1,2,1),BD AD AB AP BD =-==--∴与AP 不平行,故选项D 错误. 10.答案：BD解析：根据空间向量数量积的定义及性质,可知⋅a b 和⋅c a 是实数,而 c 与 b 不共线,故()⋅a b c 与()⋅c a b 一定不相等,故A 错误；因为2[()()]()()()⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅b a c c a b c b a c c a b c ,所以当⊥a b ,且⊥a c 或⊥b c 时,[()()]0⋅-⋅⋅=b a c c a b c ,即()()⋅-⋅b a c c a b 与 c 垂直,故C 错误；易知BD 正确.故选BD. 11.答案：AD解析：由数量积的性质和运算律可知AD 是正确的.12.答案：（1）由于(,3)m a=与(cos sin )n A B =+平行，∴sin cos 0a B A =，∴sin sin cos A B B A ，∵sin 0B ≠，∴tan A ， ∵0πA <<，∴π3A =.（2）∵π2,3a A ==，∴22sin R A == ∴2ππ2(sin sin )2sin sin 4sin 36b c R B C R B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵2πππ5π0,3666B B <<<+<， ∴1πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， ∴24b c <+≤. 解析：13.答案：连接BE .以F 为坐标原点,1,,FG FE FA 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则111,0,,0,,0,2B A E G ⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1331331,,0,0,,,,,0222EB EA EG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设平面1A EG 的法向量为(,,)x y z =n ,则11023102EA y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩n ,取x =则3,y z ==,则=n 是平面1A EG 的一个法向量,∴点B 到平面1A EG 的距离||||EB d ⋅===n n 解析：14.答案：解：（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接CE BE ，，设AD CE O ⋂=，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形， CE AD ∴⊥，又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴≅△△，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥，又AD ，BO ⊂平面BAD ，AD BO O ⋂=，CE ∴⊥平面BAD ．又CE ⊂平面11AA C C ，∴平面BAD ⊥平面11AA C C . （2）在ABC △中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在RtBOC △中，12CO CE ==BO ∴=又4AB =，12AO AD ==222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥， AD CE O ⋂=，AD ，CE ⊂平面11AA C C ，BO ∴⊥平面11AA C C ，故建立如图空间直角坐标系0xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -，1B ，11C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =，设平面11AB C 的一个法向量为()111,,m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，11111460220x y x y -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令16x =，得(6,4,m =-，设平面111A B C 的一个法向量为()222,,n x y z =，则1111n C B n C A ⊥⎧⎨⊥⎩，222240220x x y =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2y =，得(0,2,1)n =-，92cos ,||||102m n m n mn ⋅∴<>==⋅⋅，故二面角111A B C A --解析：15.答案：(1)以AD ,AB ,1AA 的正方向分别为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则()12,0,2D ,()0,2,1E ,可得1(03D E ==, 所以1D E 的长为3.(2)由(1)的坐标系,可得()0,0,0A ,()0,2,1E ,()0,2,0B ,()12,2,2C ,所以()0,2,1AE =,()12,0,2BC =,设异面直线AE 与1BC 所成的角为θ,所以111cos cos ,5AE BC AEBC AE BC θ⋅====, 即异面直线AE 与1BC. 解析：16.答案：(1)由题设AB AC SB SC SA ====,连结,OA ABC △为等腰直角三角形,所以OA OB OC ===,且AO BC ⊥,又SBC △为等腰三角形,故SO BC ⊥,且SO =,从而222OA SO SA +=．所以SOA △为直角三角形,SO AO ⊥．又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．(2)取SC 中点M ,连结,AM OM ,由(1)知,SO OC SA AC ==,得,OM SC AM SC ⊥⊥． OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥,又AM =,故sin AO AMO AM ∠===所以二面角A SC B --。

河南省伊川高中高二数学期末复习测试题(含答案)

高二数学期末复习测试题一、填空题1．设U ={}0,1,2,3，A ={}20x U x m x ∈-=，若{}1,2U C A =，则实数m = ．2．若命题2:,210p x x ∀∈+>R ，则该命题的否定是．3．已知幂函数的图象过点（3,3），则幂函数的表达式是()f x = ． 4．若复数34z i =+（i 为虚数单位），则z z z ⋅-= ． 5．函数xy2sin2=的最小正周期为___________ ．6．若11s in s in ,c o s c o s 23αβαβ+=-=，则c o s()αβ+的值为．7．已知函数()f x ＝232,1,,1,x x x a x x +<⎧⎨+≥⎩若((0))4f f a =，则实数a = ．8．若函数3co s(2)y x ϕ=+的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为． 9．已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =10．在A B C ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2b =，sin co s B B +=则角A 的大小为． 11．函数2()()5xF x f x =+的图象在点5x =处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f '+的值等于． 12．已知()s in 2,[,],22f x x x x ππ=+∈-且(1)(2)0f a f a ++<，则a 的取值范围是．13.某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。

现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 (结果用分数表示)。

14. F 1，F 2是椭圆C ：14822=+xx的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为________。

2022-2023学年北京市北京市海淀区高二年级上册学期数学期末复习试题【含答案】

2022-2023学年北京市北京市海淀区高二上学期数学期末复习试题一、单选题1．已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（）z (34i)4i()z b b -=+∈R z b A ．B ．C ．4D ．34-3-【答案】D【分析】首先变形求出的表达式，再根据纯虚数的定义求解即可.z 【详解】∵，，()()34i 4i z b b -=+∈R ()()()()4i 34i 124316i 4i 34i 2525b b b b z ++-+++∴===-因为为纯虚数，z 124033160b b b -=⎧⇒=⎨+≠⎩故选：D2．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b 假设：，由可得：，////a b c //a b //a β//b α又，可知，l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.3．“m =0是“直线与直线之间的距离为2”的（）()12110mx m l y +-+=：()22110l mx m y +--=：A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据平行线间的距离公式可得或，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.0m =45m =【详解】两条平行线间的距离，即，解得或，2d ==2540m m -=0m =45m =即“”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.0m =故选：A.4．如图所示，在平行四边形中，，沿将折起，使平面平面ABCD AB BD ⊥BD ABD △ABD ⊥，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）BCD AC ABCDA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用线面垂直得到平面平面，平面平面，平面平面，ABD ⊥BCD ABC ⊥BCD ACD ⊥ABD 得到答案.【详解】平面平面，平面平面，ABD ⊥BCD ABD ⋂BCD BD =，平面，故平面，平面，故平面平面；AB BD ⊥AB ⊂ABD AB ⊥BCD AB ⊂ABC ABC ⊥BCD ，平面，故平面，平面，故平面平面；CD BD ⊥CD ⊂BCD CD ⊥ABD CD ⊂ACD ACD ⊥ABD 综上所述：平面平面；平面平面；平面平面；ABD ⊥BCD ABC ⊥BCD ACD ⊥ABD 故选：C5．直线被圆截得的弦长的最小值为（）:310l ax y a --+=22:(1)(2)25C x y ++-=A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】确定直线过定点，当时，直线被圆截得的弦长最短，计算即可.()3,1P PC l ⊥l C 【详解】直线，即，直线过定点，:310l ax y a --+=()310a x y --+=l ()3,1P 圆的圆心为，，当时，直线被圆截得的弦长最短.C ()1,2C -=5r PC l ⊥l C因为，所以弦长的最小值为.PC ===故选：B6．在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（）A B C 1AC BC ⋅=C A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】A【分析】设出、、的坐标，利用已知条件，转化求解的轨迹方程，推出结果即可．A B C C 【详解】解：在平面内，，是两个定点，是动点，A B C 不妨设，，设，(,0)A a -(,0)B a (,)C x y 所以，(),AC x a y =+(),BC x a y =-因为，1AC BC ⋅= 所以，即，()()21x a x a y +-+=2221x y a +=+所以点的轨迹为圆．C 故选：A ．7．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（）22148x y -=()2,4A ．B ．C ．2D ．4【答案】D【分析】依题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入可求．即可求解.()22048x y λλ-=≠()2,4λ【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，22148x y -=()22048x y λλ-=≠该双曲线经过点，()2,4．416148λ∴=-=-所求的双曲线方程为：，即．∴22148x y -=-22184y x -=所以，2b =所以虚轴长为4.故选：D8．已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置()0,0O ()3,0A (),P x y 2PAPO=P ()2221x y -+=关系是（）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离【答案】B【分析】由题意求出动点的轨迹方程,再由两圆圆心距与半径的关系判断.P 【详解】设,由题意可知,(,)P x y ()222222||4||,(3)4PA PO x y x y =∴-+=+ 整理得,点的轨迹方程为,P 22(1)4x y ++=其图形是以为圆心，以2为半径的圆，(1,0)-而圆的圆心坐标为,半径为1,22(2)1x y -+=(2,0)可得两圆的圆心距为3,等于,213+=则动点的轨迹与圆的位置关系是外切.P 22(2)1x y -+=故选：B.9．已知点是抛物线上的动点，点A 的坐标为，则点到点A 的距离与到轴的距P 24x y =()12,6P x 离之和的最小值为（）A ．13B ．12C ．11D 【答案】B【分析】作出辅助线，利用抛物线定义得到点到点A 的距离与到轴的距离之和P x ，由两点之间，线段最短，得到距离之和的最小值为，求出答案.1PA PH PA PF +=+-1AF -【详解】如图，⊥轴，连接，PH x PF 由抛物线定义得：抛物线的准线方程为，焦点坐标为，24x y =1y =-()0,1故，1PH PF =-则点到点A 的距离与到轴的距离之和，P x 1PA PH PA PF +=+-连接，与抛物线交于点，此时，AF P '11P A P F AF ''+-=-故点到点A 的距离与到轴的距离之和的最小值为，P x 1AF -其中，故最小值为.13AF ==112AF -=故选：B10．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以1F 2F C ()222210,0x y a b a b -=>>A 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的12F FM N 135MAN ∠=︒离心率为（）ABC ．2D【答案】D【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从222x y c +=by xa =(),M a b MAO ∠a b 与而进一步解出答案.【详解】依题意得, 以线段为直径的圆的方程为 ,12F F 222x y c +=双曲线的一条渐近线的方程为.C b y x a =由以及222,,b y x a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩222,a b c +=解得或,x a y b =⎧⎨=⎩,.x a y b =-⎧⎨=-⎩不妨取 , 则.(),M a b (),N a b --因为,(),0,135A a MAN ∠-=所以 ,45MAO ∠=又,tan 2b MAO a ∠=所以,12b a =所以 ,2b a =所以该双曲线的离心率 e ==故选：D.二、填空题11．在复数范围内分解因式：___________.44x +=【答案】()()()()1i 1i 1i 1i x x x x +--+++--【分析】因式分解第一步将，第二步()()2422i 4i 2x x x =+-+=()()2222i 1i xx +=-- 综合起来即可得到答案.()()2222i 1i xx -=-+【详解】由题意知()()()()22222242i 2i 14i 1i x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---+⎣⎦⎣⎦故答案为：.()()()()1i 1i 1i 1i x x x x +--+++--12化简后为______．10=【答案】2212516y x +=【分析】运用方程的几何意义得出结果.【详解】解：，10+=故令，，(),M x y ()10,3F -()20,3F ∴，1212106MF MF F F +=>=∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，()10,3F -()20,3F 210a =即，，，5a =3c =4b =∴方程为.2212516y x +=故答案为：.2212516y x +=13．已知集合，，若集合中有2个元素，则实数(){,A x y x ==(){},B x y y x b ==+A B ⋂b 的取值范围是______【答案】(1⎤-⎦【分析】首先分析集合、的元素特征，再数形结合求出参数的取值范围.A B b 【详解】解：由，所以，x =0x ≥221x y +=()0x ≥所以表示以为圆心，为半径的圆在轴及右侧部分的点集，(){,A x y x ==()0,01y 集合表示直线上的点集，(){},B x y y x b ==+y x b =+集合与集合都是点集，集合中有个元素，A B A B ⋂2由，解得1d ==b =由图可知，即.1b <≤-(1b ⎤∈-⎦故答案为：(1⎤-⎦14．已知实数满足，则的最大值为__________.,x y 2222x y x y+=+4yx -【答案】1【分析】由曲线方程画出曲线所表示的图形，将看作曲线上的点与坐标为的点连线的斜4y x -()4,0率，求出最大值.【详解】由“”和“”代入方程仍成立，所以曲线关于x 轴和y 轴对称，故只x -y -2222xy x y+=+需考虑，的情形，0x ≥0y ≥此时方程为，即，所以的轨迹如下图，2222x y x y +=+()()22112x y -+-=(),x y，表示点和连线的斜率，由图可知，当曲线第四象限部分半圆（圆心为044y y x x -=--(),x y ()4,0l l.()1,1-设：，解得或（舍去），l ()4y k x =-1k =17-所以的最大值为1.4yx -故答案为：1.15．在正方体中，N 为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个1111ABCD A B C D -ABCD P 11A D 端点），为线段的中点，则下列说法中正确的序号是________________．M AP①与是异面直线；CM PN ②；CM PN >③平面平面；PAN ⊥11BD B ④过三点的正方体的截面一定是等腰梯形．,,P A C 【答案】②③④【分析】连接NC ，根据平面几何知识可得CN ，PM 交于点A ，可判断①；分别在△MAC 中，和在△PAN 中，运用余弦定理求得CM 2和PN 2，比较大小可判断②；证明与平面后可得面AN 11BDD B 面垂直，可判断③；作出过三点的截面后可判断④．,,P A C 【详解】解：连接NC ，因为共线，即交于点，共面，,,C N A ,CN PM A因此共面，①错误；,CM PN 记，则，PAC θ∠=2222212cos cos 4PN AP AN AP AN AP AC AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，2222212cos cos 4CM AC AM AC AM AC AP AP AC θθ=+-⋅=+-⋅又，AP AC <，，即．②正确；22223()04CM PN AC AP -=->22CM PN >CM PN >由于正方体中，，平面，平面，AN BD ⊥1BB ⊥ABCD AN ⊂ABCD 所以，因为，平面，1BB AN ⊥1BB BD B ⋂=1,BB BD ⊂11BB D D 所以平面，AN ⊥11BB D D 因为平面，AN ⊂PAN 所以平面平面，即平面平面，③正确；PAN ⊥11BDD B PAN ⊥11BD B过点作交于点，连接，由正方体性质知，，P 11//PK A C 11C D K 11,KC A C 11//A C AC 所以，共面，且，//PK AC ,PK AC 11A P C K =故四边形就是过P ，A ，C 三点的正方体的截面，PKCA 因为，为线段上的动点（不包括两个端点），P 11A D 所以，，PK AC ≠2222221111AP A P A A C K C C CK =+=+=故四边形是等腰梯形，故④正确．PKCA 故答案为：②③④.三、解答题16．已知直线():10l x m y m +--=(1)若直线的倾斜角，求实数m 的取值范围；ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)若直线l 分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求面积的最小值及此AOB 时直线l 的方程．【答案】(1)01m ≤≤(2)最小值为2，直线l 方程为：．AOB S 20x y +-=【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的范围可得的不等式，解不等式可得；m （2）由题意可得点和点，可得，由基本不0,1m B m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(),0A m 111[(1)2]221S OA OB m m ==-++-等式求最值可得．【详解】（1）解：由题意可知当时，倾斜角为，符合题意1m =2π当时，直线l 的斜率1m ≠11k m =-∵倾斜角，∴．[)ππ,tan 1,42k αα∞⎡⎫∈⇒=∈+⎪⎢⎣⎭11011m m ≥⇒≤<-故m 的范围：．01m ≤≤（2）解：在直线l 中：令x ＝0时，即，令y ＝0时x ＝m ，即1m y m =-0,1m B m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(),0A m 由题意可知：得001x m m y m =>⎧⎪⎨=>⎪-⎩1m >即()()()2212111112212121AOBm m m m S OA OB mm m m -+-+=⋅=⋅==---△()1111222212m m ⎡⎤⎡⎤=-++≥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦当且仅当时取等号，()2111121m m m m -=⇒-=⇒=-故最小值为2，此时直线l 方程为：．AOB S 20x y +-=17．已知圆经过点，，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横E ()0,0A ()2,2B 线处，并解答．①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线y E ()20R mx y m m --=∈440x y +-=的交点C ．240x y --=(1)求圆的方程；E (2)求过点的圆的切线方程．()4,3P E 【答案】(1)任选一条件，方程都为22(2)4x y -+=(2)或4x =512160x y -+=【分析】(1) 选①，设圆的方程为，根据题意列出方程组，求解即可；E 222()()x a y b r -+-=选②，由题意可得直线恒过为圆的圆心，代入A 点坐标即可求解；20mx y m --=(2,0)E 选③，求出两直线的交点为，根据圆过A ，B ，C 三点求解即可；(4,0)C E (2)先判断出点P 在圆外，再分切线的斜率存在与不存在分别求解即可.E 【详解】（1）解：选①，设圆的方程为，E 222()()x a y b r -+-=由题意可得，解得，则圆的方程为；222222(2)(2)a ra b ra b r ⎧=⎪+=⎨⎪-+-=⎩202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 22(2)4x y -+=选②，直线恒过，20mx y m --=(2,0)而圆恒被直线平分，E 20(R)mx y m m --=∈所以恒过圆心，因为直线过定点，20mx y m --=20mx y m --=(2,0)所以圆心为，可设圆的标准方程为，(2,0)222(2)x y r -+=由圆经过点，得，E (0,0)A 24r =则圆的方程为．E 22(2)4x y -+=选③，由条件易知，(4,0)C 设圆的方程为，2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->由题意可得，解得，082201640F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩400D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的方程为，即．E 2240x y x +-=22(2)4x y -+=综上所述，圆的方程为；E 22(2)4x y -+=（2）解：因为，所以点P 在圆外，22(42)3134-+=>E 若直线斜率存在，设切线的斜率为，k 则切线方程为，即3(4)y k x -=-430.kx y k --+=，解得．2512k =所以切线方程为，512160x y -+=若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意．4x =综上过点的圆的切线方程为或．(4,3)P E 4x =512160x y -+=18．如图，在三棱一中，为等腰直角三角形，.-P ABC ABC π,2BAC ∠=π3PAC PAB ∠=∠=(1)求证：;PA BC ⊥(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.24PA AC ==PAB PBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取中点，连接以及，先证明，再根据线面垂直的判定证BC D AD PD ACP ABP ≌△△明平面，进而根据线面垂直的性质证明即可；BC ⊥PAD （2）根据角度关系，结合线面垂直的判定可得平面，再根据线线垂直，以为原点，AC ⊥CPE A 为轴，为轴，建立空间直角坐标系，再分别计算平面与平面的法向量求解即AB x AC y PAB PBC 可.【详解】（1）证明：取中点，连接以及，如图2，BC D AD PD图2在和中，，，，ACP △ABP AB AC =AP AP =PAC PAB ∠=∠所以ACP ABP ≌△△所以，所以CP BP =PD BC⊥又因为，平面，平面，，AD BC ⊥AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D = 所以平面BC ⊥PAD又因为平面，所以AP ⊂ADP PA BC⊥（2）在平面中，过点作，垂足为，连接，，，如图3，PAD P PE AD ⊥E CE BE PE图3由（1）平面，则，则平面BC ⊥PAD BC PE ⊥PE ⊥ABC 在中，，，同理PCA π3PAC ∠=π22AP AC PCA =⇒∠=π2PBA ∠=∵，，且，平面，则平面.AC PE ⊥AC CP ⊥PE CP P ⋂=,PE CP ⊂CPE AC ⊥CPE 又∵平面，∴，同理可得，CE ⊂CPE A C CE ⊥AB BE ⊥则四边形为正方形，ABCE，则在中，可求出2AB AC BE CE ====Rt PBE △PB =PE =则以为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，A AB x AC y则，，，，()0,0,0A ()2,0,0B ()0,2,0C (2,2,P设平面的法向量为，，，PAB (),,m x y z =()2,0,0AB =(0,2,BP =则，令，则，2020x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩1y =0x=0,1,z m ⎛=⇒= ⎝ 设平面的法向量为，，，PBC (),,n x y z =()2,2,0CB =-(0,2,BP =则，令，则，22020x y y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩1x =1y=1,1,z n ⎛=⇒= ⎝ 记二面角的平面角为，A PBC --θ则cos m nm n θ⋅===⋅又因为为锐角，则θcos θ=19．已知椭圆C ：与椭圆的离心率相同，为椭圆C 上()222210x y a b b a +=>>22184x y +=P ⎫⎪⎪⎭一点.(1)求椭圆C 的方程.(2)若过点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问以AB 为直径的圆是否经过定点？若1,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭T 存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.T 【答案】(1)2212y x +=(2)存在的坐标为，理由见解析T (1,0)-【分析】（1）先求出椭圆，由此得到，将点的坐标代入椭22184x y +=222a b =P 圆，得到，再代入，解得，，则可得结果；C 221112b a +=222a b =21b =22a =（2）先用两个特殊圆求出交点，再猜想以AB 为直径的圆经过定点，再证明猜想，(1,0)-(1,0)T -设直线，并与联立，利用韦达定理得到，，进一步得到，1:3l x my =+2212y x +=12y y +12y y 12x x +，利用，，，证明即可.12x x 12y y +12y y 12x x +12x x 0TA TB ⋅=【详解】（1）在椭圆中，，，离心率22184x y +=1a =12b=12c ==e =11c a ==在椭圆C ：中，()222210x y a b b a +=>>c e a ===，=222a b =因为在椭圆C ：上，P ()222210x y a b b a +=>>所以，所以，所以，，221112b a +=2211122b b +=21b =22a =所以椭圆.22:12y C x +=（2）当直线的斜率为0时，线段是椭圆的短轴，以AB 为直径的圆的方程为，l AB 221x y +=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，以AB 为直径的圆的l l 13x =2212y x +=43y =±方程为，22116()39x y -+=联立，解得，2222111639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩10x y =-⎧⎨=⎩由此猜想存在，使得以AB 为直径的圆是经过定点，(1,0)T -(1,0)T -证明如下：当直线的斜率不为0且斜率存在时，设直线，l 1:3l x my =+联立，消去并整理得，221312x my y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x 22128(0239m y my ++-=，224184()0929m m ∆=++⋅>设、，11(,)A x y 22(,)B x y 则，，122213()2m y y m +=-+122819()2y y m =-+则，121212112()333x x my my m y y +=+++=++2222133()2m m =-++121211()()33x x my my =++2121211()39m y y m y y =+++22228211199()9()22m m m m =--+++，22101199()2m m =-++因为TA TB⋅1122(1,)(1,)x y x y =+⋅+1212(1)(1)x x y y =+++1212121x x x x y y =++++222221012281111939()3()9()222m m m m m =-+-++-+++2216816199()2m m +=-++，0=所以，所以点在以为直径的圆上，TA TB ⊥(1,0)T -AB 综上所述：以AB 为直径的圆是经过定点.(1,0)T -【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

高二数学期末复习一(不等式2)

高二数学期末复习一（不等式2）一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 2.若a 1|b |；③a 2.正确的不等式有( ) 个个个个3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜QB.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x -11中最大的一个是__________. 12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1)(a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________.13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 16.比较下列两个数的大小:(1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内?21.已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-不等式(一)(A 卷)一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1 D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 解析:A.因为c 2≥0；所以只有c ≠0时才正确.c =0时；ac 2=bc 2；所以A 是假命题.变式:若ac 2＞bc 2；则a ＞b ；命题是真命题.B.a ＜b ；a ＜0⇒a 2＞ab ；a ＜b ；b ＜0⇒ab ＞b 2；B 是真命题.C.由性质定理a ＜b ＜0⇒a 1＞b 1；C 是假命题. D.例如－3＜－2＜0；32＜23；D 是假命题.答案:B 2.若a 1|b |；③a 2.正确的不等式有( ) 个个个个分析:本题主要考查不等式的性质及均值不等式的适用条件. 解:由a 1<b1<0可知b <a <0；③不正确；②不正确. ∴a +b <0；ab >0.∴a +b <ab ；①正确. 由a b >0； b a >0；而a ≠b ；∴a b +ba>2；④正确. 答案:B3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜R C.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q分析:本题主要考查均值不等式与对数函数的单调性. 解:a ＞b ＞1⇒lg a ＞0；lg b ＞0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>+==⋅>+=Q b a ab b a R P b a b a Q )lg (lg 21lg )2lg(lg lg )lg (lg 21⇒ R ＞Q ＞P . 答案:B4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)分析:本题主要考查负数在不等式中的变化；不等式的性质.解:由x ＜y ；得x －y ＜0.又－π＜x －y ＜π；∴－π＜x －y ＜0. 答案:A5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 分析:本题主要考查不等式的性质；用排除法. 解:∵ab ＞0；∴a 、b 同号.又a +b ＞0； ∴a ＞0且b ＞0.①正确；排除B 、C. 由③b a －dc ＞0；得bd bc ad -＞0；不能保证ad ＞bc .③不正确.故应选D. 答案:D6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断分析:本题主要考查不等式的应用.本题关键是比较两种不同的购买方式的平均价格的大小. 解:(1)按第一种策略购物；设第一次购物时价格为p 1；购n (kg)；第二次购物时价格为p 2；仍购n (kg).按这种策略购物时两次购物的平均价格为n n p n p 221+=221p p +. (2)若按第二种策略购物；第一次花m 元钱；能购1p m (kg)物品；第二次仍花m 元钱；能购2p m (kg)物品；两次购物的平均价格为212p mp m m +=21112p p +.比较两次购物的平均价格221p p +－21112p p +=221p p +－21212p p p p +=)(24)(2121221p p p p p p +-+=)(2)(21221p p p p +->0(∵p 1≠p 2)；∴第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格. 因而；用第二种策略比较经济. 答案:B 7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值解析:f (x )=x +x 4+3=－(－x +x-4)+3≤－4+3=－1. 故选D.答案:D8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )A.5 hB.10 hC.15 hD.20 h解析:时间t =［400+25(20v )2］÷v =v 400+40025v≥225=10.答案:B9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件分析:本题主要考查含绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |；充要条件. 解:|a －b |=|(a －1)－(b －1)|≤|a －1|+|b －1|＜2h .故应选B. 答案:B10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2分析:本题主要考查222b a +≥(2b a +)2；参数隔离法.解:由2)()(22y x +≥(2y x +)2；∴2y x +≥2y x +；即a ≥22；a min =22.故应选A.答案:A二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x-11中最大的一个是__________. 解析:∵b －c =(1+x )－x-11=x x ---1112=－xx -12＜0；∴b ＜c .又b =1+x ＞2x =a ；∴c 最大. 答案:c12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1) (a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________. 分析:本题考查比较法；综合法证明不等式；凑平方. 解:①a 2+3－2a =(a －1)2+2＞0. ②a 为负值不正确.③a 5+b 5－a 3b 2－a 2b 3=a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2)=(a 3－b 3)(a 2－b 2)=(a +b )(a －b )2(a 2+ab +b 2)；其值大于零不一定成立.当a ≠b 且均为负值或一负值一零值时；其值为负值；当a =b 时其值为零.不正确.④a 2+b 2－2a +2b +2=(a －1)2+(b +1)2≥0. 答案:①④13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.分析:本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力.加糖以后；糖水变甜了；说明浓度变大了.解:加糖以前；糖水的浓度为b a ；而加入m g 糖以后；糖水浓度为mb m a ++；糖水变甜了；说明浓度变大了；即m b m a ++>b a. 答案: m b m a ++> ba14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.分析:本题考查综合运用不等式的性质；证明不等式.解:由②；abadbc -＞0；又ab ＞0⇒bc －ad ＞0；即bc ＞ad ；说明由①②③.同理可证明其他情况. 答案:0三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 分析:本题考查不等式的性质与比较法.解:(5x 2+y 2+z 2)－(2xy +4x +2z －2)=(x －y )2+(2x －1)2+(z －1)2≥0. ∴5x 2+y 2+z 2≥2xy +4x +2z －2 (当且仅当x =y =21且z =1时等号成立). 16.比较下列两个数的大小: (1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明. 解法一:(变形后利用平方求差) (1)(2+3)2－(2+1)2=26－4＞0.故2+3＞2+1；即2－1＞2－3.(2)(2+5)2－(6+3)2=45－218=220－218＞0. 故2+5＞6+3；即2－3＞6－5.(3)一般结论:若n 是正整数；则有1+n －n ＞3+n －2+n .证明过程与(1)(2)类似；从略. 解法二:(利用分子有理化)(1)∵2－1=121+；2－3=321+；而121+＞321+；故2－1＞2－3.(2)∵2－3=321+； 6－5=561+；而321+＞561+；故2－3＞6－5. (3)同解法一.注:本题的结论可推广到对一切n ∈R +都成立.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 思路一:从结论入手；探求、分析上一步成立的充分条件.证法一:(分析法)要证a b b a +≥b a +；只要证a a +b b ≥a b +b a ；即证3a +3b ≥ab (b a +).需证(b a +)(a －ab +b )≥ab (b a +)；即a －ab +b ≥ab ；也就是要证a +b ≥2ab 成立.a +b ≥2ab 显然成立；∴原不等式成立. 思路二:从条件入手；利用已知不等式；逐次推理. 证法二:(综合法)∵a 、b 为正实数；∴a +b ≥2ab .又ba +b ≥2a ； ① a +ab ≥2b ；②①+②得b a +b +a +ab ≥2a +2b ；即abb a+≥b a +成立. 证法三:(作差比较法) (a b b a +)－(b a +) =(b a －b )+(ab －a )=b b a -+a a b -=abb a b a ))((--=abb a b a 2))((-+.∵a 、b 为正实数；∴b a +＞0；ab ＞0；(a －b )2≥0.于是有abb a b a 2))((-+≥0.∴ab ba +≥b a +.18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？分析:本题考查不等式在实际中的应用.解:设铁栅长x m ；一堵墙长y m ；则有S =xy . 由题意得40x +2×45y +20xy =3200.应用二元均值不等式；得3200≥229040y x ⋅+20xy =120xy +20xy =120S +20S . ∴S +6S ≤160.∴(S －10)(S +16)≤0.由于S +16＞0；∴S －10≤0；即S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2；当且仅当40x =90y ；而xy =100；解得x =15；即铁栅的长应为15 m.19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1). 分析:本题考查绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |的应用.证明:∵f (x )－f (a )=x 2－x +B －a 2+a －B =x 2－a 2－(x －a )=(x －a )(x +a －1)；又∵|x －a |＜1；∴|f (x )－f (a )|=|x －a |·|x +a －1|＜|x +a －1|=|x －a +2a －1|≤|x －a |+|2a －1|＜1+|2a |+1=2(|a |+1). ∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内? 分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识；考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.解:(1)依题意；y =)1600(3920vv ++≤160023920+=83920；当且仅当v =v 1600；即v =40时；上式等号成立. 所以y max =83920≈11.1(千辆/小时).(2)由条件得160039202++v v v>10；整理得v 2－89v +1600<0；即(v －25)(v －64)<0. 解得25<v <64.答:当v =40 km/h 时；车流量最大；最大车流量约为千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h.21已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-.分析:本题主要考查利用分析法证明不等式. 证明:要证原不等式；只需证 a b a 4)(2-<a +b －2ab <b b a 4)(2- ⇔(a b a 2-)2<(a －b )2<(b b a 2-)2⇔a b a 2-<a －b <bba 2-⇔a b a 2+<1<b ba 2+⇔1+a b <2<b a +1 ⇔ a b <1<ba ⇔a b <1<ba . (*)由题设知不等式(*)成立；以上过程可逆；原不等式成立.。

高二数学期末复习题

高二数学期末考试题及答案

2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析

高二数学期末考试题目

高二数学期末复习题库

高二数学期末难题汇编

高二数学期末考试题及答案

高二数学试卷期末题及答案

北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题(3)

高二数学期末复习题

数学试卷高二期末必刷

2024高二数学期末考试试题

高二数学上学期期末复习备考黄金30题 专题03 小题好拿分(提升版,30题)苏教版-苏教版高二全册数

(必考题)数学高二下期末经典测试题(含答案解析)(1)

2020-2021学年高二数学期末复习题选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何(含答案)

河南省伊川高中高二数学期末复习测试题(含答案)

2022-2023学年北京市北京市海淀区高二年级上册学期数学期末复习试题【含答案】

高二数学期末复习一(不等式2)

高二数学上学期期末复习备考黄金30题专题03 小题好拿分(提升版,30题)苏教版-苏教版高二全册数