最新高二数学上期末模拟试题及答案

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【典型题】高二数学上期末模拟试卷附答案

【典型题】高二数学上期末模拟试卷附答案一、选择题1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08152．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（） A ．320B ．720C ．316D ．253．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1444．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（） A ．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B ．该校只有50名学生不喜欢阅读 C ．该校只有50名学生喜欢阅读 D ．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸5．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（） A ．4π B ．3πC ．2πD ．1π6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（） A ．23B ．34C ．25D ．137．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A．1636B．1736C．12D．19368．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D为BE中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A．17B．14C．13D．4139．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．27B．57C．29D．5910．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )．A．①B．②④C．③D．①③11．如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率的近似值为()A．3.1B．3.2C．3.3D．3.412．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A ．13B ．49C ．59D ．23二、填空题13．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．14．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。

【必考题】高二数学上期末模拟试卷带答案

【必考题】高二数学上期末模拟试卷带答案一、选择题1．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（）A ．33B ．3 C ．13D ．232．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（） A ．320B ．720C ．316D ．254．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？5．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（）A ．45B ．47C ．48D ．636．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020217．如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（） A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯8．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？9．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（）A ．4k <B ．5k <C ．6k <D ．7k <10．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变11．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2912．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86C ．99，86D ．95，91二、填空题13．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．14．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．15．若(9)85a =，(5)301b =，(2)1001c =，则这三个数字中最大的是___ 16．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．17．下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是____________.18．如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A ．12 B ．2 C ．1- D ．12- 19．一组样本数据按从小到大的顺序排列为：1-，0，4，x ，y ，14，已知这组数据的平均数与中位数均为5，则其方差为__________．20．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．三、解答题21．已知一个口袋有3个白球，1个黑球，这些球除颜色外全部相同，现将口袋中的球随机逐个取出，并依次放入编号为1，2，3，4的抽屉内. （1）求编号为2的抽屉内放黑球的概率；（2）口袋中的球放入抽屉后，随机取出两个抽屉中的球，求取出的两个球是一黑一白的概率.22．2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：()1求频率分布直方图中a的值；()2以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在600g1400g～的概率；()3已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)？23．甲，乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲，乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局.（1）若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸井获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望.24．某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x （万元）与销售收入y（万元）进行了统计，得到相应数据如下表：广告投入x（万元）91081112销售收入y（万元）2123212025（1）求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程y bx a=+$$$．（2）若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少.参考公式：()()()121ni iiniix x y ybx x∧==--=-∑∑，ˆˆ•a yb x=-25．如下图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出[50,60)，[90,100)的数据）和频率分布直方图.（1）求分数在[50,60)的频率及全班人数；（2）求频率分布直方图中的,x y ；（3）若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100)之间的概率.26．甲乙两人同时生产内径为25.41mm 的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出 5 件（单位：mm ） , 甲：25.44，25.43， 25.41，25.39，25.38 乙：25.41，25.42， 25.41，25.39，25.42. 从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =6293= ，故选D. 2．C解析：C 【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等．【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.3．B解析：B 【解析】【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ．【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．C解析：C 【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.5．A解析：A 【解析】【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63，最中间的数为：45，所以，中位数为45．本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C【解析】【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L 的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L ， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭Q，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯L 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．7．C解析：C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.8．C解析：C 【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为170．则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k6<？故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．C解析：C【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2;a=4a+1=5,k=k+1=3;a=4a+1=21,k=k+1=4;a=4a+1=85,k=k+1=5;a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.10．B解析：B【解析】∵数据x1，x2，x3，…，x n是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选B11．A解析：A【解析】【分析】首先求得x的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m的值即可．【详解】由题意可得：810111214115x++++==，由线性回归方程的性质可知：99112744y=⨯+=，故21252835275m++++=，26m∴=．故选：A．【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．12．B解析：B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.二、填空题13．【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度面积体积等时应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时关键是试验的全部结果构成的区域和事件发解析：2【解析】∵阴影部分面积为221141262222R R R ππ⎛⎫-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭∴飞镖落在黑色部分的概率为22222R R ππ=-故答案为22π- 点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．14．63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】解：模拟程序的运行可得x=3y=7不满足条件|解析：63【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得x=3y=7不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=7，y=15不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=15，y=31不满足条件|x-y|＞31，执行循环体，x=31，y=63此时，满足条件|x-y|＞31，退出循环，输出y 的值为63．故答案为63．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．【解析】【分析】将三个数都转化为10进制的数然后比较大小即可【详解】故最大【点睛】本题考查了不同进制间的转化考查了学生的计算能力属于基础题解析：a【解析】【分析】将三个数都转化为10进制的数，然后比较大小即可。

新高二数学上期末第一次模拟试题及答案

新高二数学上期末第一次模拟试题及答案一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（） A ．40（8）B ．45（8）C ．50（8）D ．55（8）3．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（） A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①4．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08155．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.046．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（） A ．320B ．720C ．316D ．257．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．98．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③9．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn10．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（） A ．23B ．34C ．25D ．1311．执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A ．2B ．3C ．4D ．512．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.5二、填空题13．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出S 的值为__________．14．已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．15．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．16．某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．17．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出的s 的值为_____．18．某公司的班车在8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是__________ 19．执行下面的程序框图，如果输入的0.02t =，则输出的n =_______________．20．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090.其中错误的是________．三、解答题21．近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表l所示：表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：其中参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.22．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分 [)20,40[)40,60[)60,80[]80,100频数6a24b（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ；（Ⅲ）某评估机构以指标M （()()E M D ξξ=，其中()D ξ表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效.若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？23．某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．24．甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；（Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；（Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由.25．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星读书之星总计男女1055总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，E X求X的分布列和期望()附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82826．为庆祝新中国成立70周年，某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆，广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动，将这200人按照年龄（单位：岁）分组：第一组[15，25)，第二组[25，35)，第三组[35，45)，第四组[45，55)，第五组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.记事件A 为“从这200人中随机抽取一人，其年龄不低于35岁”，已知P （A ）=0.75.（1）求,a b 的值；（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人，求这2人恰好都在第四组中的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ，平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119 p⨯⨯==⨯.本题选择D选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.2．D解析：D【解析】【分析】先将这个二进制转化成十进制,然后除8取余数,即可得出答案.【详解】∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．故答案选D．【点睛】本道题考查了不同进制数的转化,较容易,先将二进制数转化成十进制,然后转为八进制,即可. 3．B解析：B【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C o，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C o则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C考点：统计初步4．A解析：A【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为100020 50=所以抽取的第40个数为1520(401)795+⨯-=选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.5．C解析：C【解析】【分析】【详解】因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C.考点：残差的有关计算.6．B解析：B【解析】【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择；如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020 P==故选：B．【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．7．C解析：C 【解析】分析：执行程序框图，得到输出值4k S =，令24k=，可得8k =. 详解：阅读程序框图，初始化数值1,n S k ==，循环结果执行如下：第一次：14n =<成立，2,22k k n S k ==-=；第二次：24n =<成立，3,263k k k n S ==-=；第三次：34n =<成立，4,3124k k k n S ==-=；第四次：44n =<不成立，输出24kS ==，解得8k =. 故选C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.8．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 10．C解析：C 【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解．【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -，那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<，所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．11．B解析：B 【解析】【详解】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-==. 循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =-=-==；第二次：121,1,3S a k =-+==-=；第三次：132,1,4S a k =-=-==；第四次：242,1,5S a k =-+==-=；第五次：253,1,6S a k =-=-==；第六次：363,1,7S a k =-+==-=，结束循环，输出3S =.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.12．D解析：D 【解析】【分析】利用回归直线过样本点中心可求回归方程，根据该方程可得正确的选项. 【详解】由$$1.5y x a=+，得x 每增一个单位长度，y 不一定增加1.5，而是大约增加1.5个单位长度，故选项,A B 错误；由已知表格中的数据，可知0123425x ++++==，2.2 4.3 4.5 4.8 6.74.55y ++++==，Q 回归直线必过样本的中心点()2,4.5，故C 错误；又4.5 1.52 1.5ˆˆa a =⨯+⇒=，∴回归方程为$1.5 1.5y x =+，当8x =时，y 的预测值为1.58 1.513.5⨯+=，故D 正确，故选：D. 【点睛】本题考查线性回归方程的性质及应用，注意回归直线过(),x y ，本题属于基础题.二、填空题13．【解析】【分析】执行程序框图依次写出每次循环得到的Si 的值当i ＝2019时不满足条件退出循环输出S 的值为【详解】执行程序框图有S ＝2i ＝1满足条件执行循环Si ＝2满足条件执行循环Si ＝3满足条件执行解析：12-【解析】【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i ＝2019时，不满足条件2018i ≤退出循环，输出S 的值为12-．【详解】执行程序框图，有 S ＝2，i ＝1满足条件2018i ≤ ，执行循环，S 3=-，i ＝2满足条件2018i ≤ ，执行循环，S 12=-，i ＝3 满足条件2018i ≤ ，执行循环，S 13=，i ＝4 满足条件2018i ≤ ，执行循环， S ＝2，i ＝5 …观察规律可知，S 的取值以4为周期，由于2018＝504*4+2，故有： S 12=-, i ＝2019，不满足条件2018i ≤退出循环，输出S 的值为12-，故答案为12-．【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，其中判断S 的取值规律是解题的关键，属于基本知识的考查．14．【解析】由题意可知2次检测结束的概率为3次检测结束的概率为则恰好检测四次停止的概率为解析：35【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为22225110A p A ==，3次检测结束的概率为31123232335310A C C A p A +==，则恰好检测四次停止的概率为231331110105p p p =--=--=. 15．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析：13【解析】【分析】取圆内接等边三角形BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD 上时，BE BC >，求出劣弧CD 的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.【详解】记事件A ={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，取圆内接等边三角形BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD 上时，BE BC >，设圆的半径为r ，劣弧CD 的长度是23rπ，圆的周长为2r π，所以()21323rP A r ππ==，故答案为13. 【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16．【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解【详解】某篮球运动员在赛场上罚球命中率为这名运动员在赛场上的2次罚球中至少有一次命中的概率为故答案为【点睛】本题考查概率的求法考查对立事件概率计算公式解析：89【解析】【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【详解】某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23， ∴这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为022181()39p C =-=．故答案为89．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．8【解析】【分析】根据程序框图知该程序的功能是计算并输出变量的值模拟程序的运行过程即可求解【详解】当时满足循环条件当时满足循环条件当时满足循环条件；当时不满足循环条件跳出循环输出故填【点睛】本题主要解析：8 【解析】【分析】根据程序框图知，该程序的功能是计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程即可求解. 【详解】当2i =时，满足循环条件，2,4,2s i k ===，当4i =时，满足循环条件，4,6,3s i k === ，当6i =时，满足循环条件，8,8,4s i k ===；当8i =时，不满足循环条件，跳出循环，输出8s =. 故填8. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.18．【解析】【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度代入几何概型概率计算公式可得答案【详解】设小明到达时间为当在7：50至8：00或8：20至8：30时小明等车时间不超过10分钟故故答案为【点睛解析：12【解析】【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【详解】设小明到达时间为y ，当y 在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故201402P ==．故答案为12．【点睛】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．19．【解析】分析：由已知中的程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值模拟程序运行过程分析循环变量值的变化规律即可求解答案详解：执行如图所示的程序框图：第一次循环：满足条件；第二次循环：满解析：【解析】分析：由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序运行过程，分析循环变量值的变化规律，即可求解答案．详解：执行如图所示的程序框图：第一次循环：11,,124S m n ===，满足条件；第二次循环：11,,248S m n ===，满足条件；第三次循环：11,,3816S m n ===，满足条件；第四次循环：11,,41632S m n ===，满足条件；第五次循环：11,,53264S m n ===，满足条件；第六次循环：11,,664128S m n ===，不满足条件，推出循环，此时输出6n =；点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的运行与结果出的输出问题，解题是应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的计算结果，同时注意判断框的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．20．②④⑤【解析】分析：根据方程性质回归方程性质及其含义卡方含义确定命题真假详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程若变量增加一个单位时则平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐解析：②④⑤ 【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假. 详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.三、解答题21．（1）（2）【解析】【分析】(1) 根据散点图判断，适宜；（2），两边同时取常用对数得：，根据公式得到均值和系数即可得到公式，再代入x=8可得到估计值. 【详解】（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；（2），两边同时取常用对数得：；设，，把样本中心点代入,得: ，，，关于的回归方程式：；把代入上式，；活动推出第天使用扫码支付的人次为；【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值. 22．（1）18,12a b ==，0.015c =；（2）（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图的性质即可得出；（2）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生2410460⨯= ，则“合格”的学生数=6．由题意可得ξ=0，5，10，15，20．利用“超几何分布列”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望；（3）利用D ξ计算公式即可得出，可得()()E M D ξξ=,即可得出结论．试题解析：（1）由频率分布直方图可知，得分在[)20,40的频率为0.005200.1⨯=，故抽取的学生答卷数为：6600.1=，又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2，所以600.212b =⨯=，又2460b a b +++=，得30a b +=，所以18a =.180.0156020c ==⨯.（2）“不合格”与“合格”的人数比例为24：36=2：3，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人. 所以ξ有20，15，10，5，0共5种可能的取值.ξ的分布列为：()()()431226646444410101018320,15,1014217C C C C C P P P C C C ξξξ=========，()()134644441010415,035210C C C P P C C ξξ======.ξ的分布列为：所以()20151050121421735210E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可得()()()()()()2222218341201215121012512012161421735210D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以()()120.750.716E M D ξξ===>，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案. 23．（1）0.4 （2）15人（3）3∶2 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，用频率估计概率值；（2）计算样本中分数小于50的频率和频数，估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）由题意计算样本中分数不小于70的学生人数以及男生、女生人数，求男生和女生人数的比例．【详解】解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4．所以从总体的300名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4．（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，故样本中分数小于50的频率为0.1，故分数在区间[40，50)内的人数为100×0.1－5＝5．所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为530015100⨯=．（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=．所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理应用问题，属于中档题． 24．（Ⅰ）85x x ==甲乙（Ⅱ）12（Ⅲ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由茎叶图中的数据计算x 甲、x 乙，进而可得平均分的估计值；（Ⅱ）求出基本事件数，计算所求的概率值；（Ⅲ）答案不唯一.从平均数与方差考虑，派甲参赛比较合适；从成绩优秀情况分析，派乙参赛比较合适. 【详解】（Ⅰ）由茎叶图中的数据，计算()17879818284889395858x =⨯+++++++=甲， ()17176808590919295858x =⨯+++++++=乙，由样本估计总体得，甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分分别均约为85分.（Ⅱ）从甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩，基本事件是113412C C ⋅=，甲、乙两名同学成绩都在90分以上的基本事件为11236C C ⋅=，故所求的概率为61122P ==. （Ⅲ）答案不唯一.派甲参赛比较合适，理由如下：由（Ⅰ）知，85x x ==甲乙，()()()()()2222221788579858185828584858s ⎡=-+-+-+-+-+⎣甲()()()22288859385958535.5⎤-+-+-=⎦，264s =乙，因为x x =甲乙，22s s <甲乙，所有甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适；。

2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试01(全解全析)(含答案)

2023-2024学年上学期期末模拟考试01高二数学（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线10x -=的倾斜角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】D【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x -=可化为y =所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则x =（）A.7-B.1-C.1D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，且//αβ，所以12//n n，即33==-，解得=1x -故选：B3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则4S =（）A ．7B ．12C ．15D ．31【答案】C【分析】设出公比，根据2a ，3a ，42a -成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.【详解】设公比为()0q q ≠，因为2a ，3a ，42a -成等差数列，所以32422a a a =+-，则222222q q ⨯=+-，解得：2q =或0（舍去）.因为22a =，所以11a =，故44121512S -==-.故选：C4．设R a ∈，则“1a =”是“直线()130a x ay +++=与直线250ax y +-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.【详解】因为直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +-=平行的充要条件是212a a +=且5(1)6a a -+≠，解得1a =或12a =-．所以由充分必要条件的概念判断可知：“1a =”是“直线()130a x ay +++=与直线250ax y +-=平行”的充分不必要条件，故选：A5．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC中点，则MN等于（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.6．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22860+-++=x y x y m 相内切，则1C 与2C 的公切线方程为（）A.3450x y --=B.3450x y -+=C.4350x y --=D.4350x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由两圆的位置关系得出m ，进而联立两圆方程得出公切线方程.【详解】圆1C ：221x y +=的圆心11(0,0),1O r =，圆2C ：22860+-++=x y x y m 可化为22(4)(3)25x y m -++=-，()25m <，则其圆心为2(4,3)O -，半径为2r =，因为圆1C 与圆2C 相内切，所以2121r O O -=，即216r ==，故11m =-.由2222186110x y x y x y ⎧+=⎨+-+-=⎩，可得4350x y -+=，即1C 与2C 的公切线方程为4350x y -+=.故选：D7．已知数列{}n a 满足1112n n n n n a a a a ++--=，且21a =-，若816k a a =，则正整数k 为（）A ．13B ．12C ．11D ．10【答案】B 【分析】确定111112n n n a a -+-=，112a =-，利用累加法确定22n n a -=-，代入计算得到答案.【详解】1112n n n n n a a a a ++--=，故111112n n n a a -+-=，21a =-，故112a =-，212112111111111111112222n n n n n n n n a a a a a a a a -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=+++-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故22n n a -=-，816k a a =，即261021622k --=-⨯=-，故210k -=，解得12k =.故选：B8．已知F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，P 为C 上的动点，过F 且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，N 两点，若MN 等于PF 的最小值的3倍，则C 的离心率为（）A.13B.12C.3D.2【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得minPF a c =-，22b MN a=，再根据已知列式，结合椭圆a b c 、、的关系，求出离心率即可.【详解】F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，P 为C 上的动点，由椭圆的性质，可得minPFa c =-.过F 且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，N 两点，22b MN a∴=.MN 等于PF 的最小值的3倍，()223a b ac =∴-.椭圆中222a c b -=，()222233a c a ac ∴-=-，即22230c ac a -+=，则22222230c ac a a a a -+=.ce a=，22310e e ∴-+=，解得12e =或1e =（舍）.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线1C ：224348x y +=，2C ：2213yx -=，则（）A.1C 的长轴长为4B.2C 的渐近线方程为y =C.1C 与2C 的焦点坐标相同D.1C 与2C 的离心率互为倒数【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.【详解】曲线1C ：224348x y +=整理得2211216x y+=，则曲线1C 是焦点在y 轴上的椭圆，其中221116,12a b ==，所以2221114c a b =-=，离心率为1112142c e a ===故曲线1C 的长轴长128a =，故A 不正确；曲线2C ：2213y x -=是焦点在x 轴上的双曲线，其中22221,3a b ==，所以2222224c a b =+=，离心率为222221c e a ===，故与曲线1C 的焦点位置不同，故C 不正确；2C ：2213y x -=的渐近线方程为y =，故B 正确；又121212e e ⋅=⨯=，所以1C 与2C 的离心率互为倒数，故D 正确.故选：BD.10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23240,0S S ><，则下列结论错误的是（）A ．数列{}n a 是递增数列B ．130a >C ．当n S 取得最大值时，13n =D ．1312a a >【答案】ABC【分析】由已知23240,0S S ><，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：120a >，12130a a +<，进而判断选项即可.【详解】因为{}n a 是等差数列，且23240,0S S ><，所以()12312232302a a a +=>，()()()1241241213242412022a a a a a a ++==+<，即12130a a +<，所以120a >，130a <，且1312a a >，所以B 错误，D 正确；因为13120d a a =-<，所以等差数列{}n a 是递减数列，所以A 错误；所以当12n =时，n S 取得最大值，所以C 错误.故选：ABC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，AB 的中点，则下列结论正确的是（）A.点B 到直线11A CB.直线CF 到平面1AEC 的距离为3C.直线11A C 与平面1AEC 所成角的余弦值为6D.直线11A C 与直线1B F 所成角的余弦值为10【答案】ABD 【解析】【分析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可结合选项逐一求解．【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，AB 的中点，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，(2B ,2,0)，1(2A ,0,2)，1(0C ,2,2)，1(0A B = ,2,2)-，11(2A C =-,2,0)，则点B 到直线11A C 的距离为：21||d A B==A正确；(2A,0,0)，(2F,1,0)，(2E,1,2)，(0C,2,0)，(2CF=,1-,0)，(0AE=,1,2)，1(2AC=-,2,2)，(0AF=,1,0)，设平面1AEC的法向量(n x= ,y,)z，则1202220n AE y zn AC x y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x=，得(1n=,2,1)-，由于,E F分别为11,A B AB的中点，所以1//EF CC且1EF CC=，因此四边形1FCC E为平行四边形，故1//EC FC,又⊄FC平面1AEC,1EC⊂平面1AEC,所以//CF平面1AEC，∴直线CF到平面1AEC的距离为||||3AF ndn⋅===，故B正确；设直线11A C与平面1AEC所成角为θ，则1111||sin||||A C nA C nθ⋅==⋅C错误；1(2B,2,2)，1(0B F=,1-,2)-，设直线11A C与直线1B F所成角为θ，则111111||cos||||AC B FAC B Fθ⋅==⋅，故D正确．故选：ABD．12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有n a个球，从上往下n层球的总数为n S，则下列结论正确的是（）A.420S= B.1n n na a+-=C.()112n n n n S S -+-=，2n ≥ D.1232023111120231012a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】ACD 【解析】【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB 正误；利用累加法可求得C 正确；采用裂项相消法可求得D 正确.【详解】对于A ，123441361020S a a a a =+++=+++=，A 正确；对于B ，由每层球数变化规律可知：()11n n a a n n *+-=+∈N ，B 错误；对于C ，当2n ≥时，()()()()()11221111212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+-+⋅⋅⋅++=；当1n =时，11a =满足()12n n n a +=，()()12n n n a n *+∴=∈N ；()()1122n n n n n S S a n -+∴-==≥，C 正确；对于D ，()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，123202311111111112121223202320242024a a a a ⎛⎫⎛⎫∴+++⋅⋅⋅+=⨯-++⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪⎝⎭⎝⎭20231012=，D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++ ，则xyz =______．【答案】1-【解析】【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，所以PD PA AD PA BC PA PC PB =+=+=+- ，又PD xPA yPB zPC =++，由空间向量基本定理可得，1,1,1x y z ==-=，故1xyz =-.故答案为：1-.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则n a =________．【答案】12n --【解析】【分析】先令1n =得到11a =-，再令2n ≥得到1121n n S a --=+，从而得到()122nn a n a -=≥为常数，得到数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列，从而直接求得通项公式.【详解】令1n =，得11121a S a ==+，所以11a =-；令2n ≥，则1121n n S a --=+，两式相减得，1122n n n n S S a a ---=-，即122n n n a a a -=-，所以()122n n a a n -=≥，因为110a =-≠，所以0n a ≠，所以()122nn a n a -=≥为常数，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列，所以11122n n n a --=-⨯=-.故答案为：12n --15.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =-，所以22x y =-．设()03,B y ，代入092y =-，得0 4.5y =-．所以拱桥到水面的距离为4.5m ．故答案为：4.5.16.如图，我们把由半椭圆()2210169y x x +=≤和半椭圆()22102516x y x +=>合成的曲线称作“果圆”．1F ，2F ，3F 是相应半椭圆的焦点，则123F F F 的周长为______，直线y t =与“果圆”交于A ，B 两点，且AB 中点为M ，点M 的轨迹方程为______．【答案】①.8+②.()221016y x x +=>【解析】【分析】根据各半椭圆方程可得1F ，2F ，3F 的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点A ，B 的坐标，利用中点公式表示M ，消参即可得到点M ，得轨迹方程.【详解】由1F ，2F ，3F 是相应半椭圆的焦点，可得(1F，(20,F ，()33,0F ，所以12F F =，134F F =，234F F =，故所求周长为448++=+；设(),M x y ，联立直线y t =与()2210169y xx +=≤，得x =-，即点A t ⎛⎫⎪⎝⎭，联立直线y t =与()22102516x yx +=>，得x =即点B t ⎫⎪⎭，且,A B 不重合，即4t ≠，又M 为AB 中点，所以1644242x t ty t ⎧⎪==⎪⎨⎪+==⎪⎩，即x =0x >，整理可得22116yx +=，0x >，故答案为：8+，()221016y x x +=>.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知ABC D 的顶点坐标为(1,1)A -，(2,0)B ，(3,4)C .(1)求AB 边上的高CD 的长.(2)求ABC D 的面积.【答案】(1)10(2)13 2【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线的距离即可求解；（2）求出AB的长，用面积公式即可求解.【详解】（1）由题意，直线AB的方程为：021012y x--=---，即320x y+-=.故点C到直线AB的距离即为AB边上的高CD的长，所以||CD=（2）因为||AB==所以ABCD的面积为：111313||||22102ABCS AB CD==创=.18.（12分）已知数列{}n a是等差数列，{}n b是各项均为正数的等比数列，数列{}n b的前n项和为n S，且111a b==，221a b=+，43a S=．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令()*,21,2nnna n kc kb n k=-⎧=∈⎨=⎩N，求数列{}n c的前12项和12T．【答案】（1）21na n=-，12nnb-=（2）2796【解析】【分析】（1）由数列{}n a是等差数列，{}n b是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解即可；（2）根据题意写出数列{}n c通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为()0q q >，由题意可得，()11211131a d b q a d b q q +=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩，即23d q q q d =⎧⎨+=⎩，所以220q q -=，因为0q >，所以2d q ==，所以()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=．【小问2详解】由（1）可得*121,21,2,2n n n n k c k n k--=-⎧=∈⎨=⎩N ，所以{}n c 的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．所以，()()1213112412T c c c c c c =+++++++ ()()13112412a a a b b b =+++++++ ()()62146616146627302796214⨯-⨯-=⨯+⨯+=+=-．19.（12分）已知直线20x y --=经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，且与C 交于A ，B两点．（1）求C 的方程；（2）求圆心在x 轴上，且过A ，B 两点的圆的方程．【答案】（1）28y x =；（2）()221096x y -+=.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.（2）根据给定条件，求出线段AB 的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.【小问1详解】依题意，抛物线C 的焦点(,0)2p F 在直线20x y --=上，则202p-=，解得4p =，所以C 的方程为28y x =．【小问2详解】由（1）知，抛物线C 的准线方程为2x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ，由2208x y y x --=⎧⎨=⎩消去y 得21240x x -+=，则1212x x +=，有12062x x x +==，0024y x =-=，即()6,4M ，因此线段AB 的中垂线方程为()46y x -=--，即10y x =-+，令0y =，得10x =，设所求圆的圆心为E ，则()10,0E ，又AB 过C 的焦点F ，则有12||||2216AB AF BF x x =+=+++=，设所求圆的半径为r ，则222222844962AB r ME ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭，故所求圆的方程为()221096x y -+=．20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-．（1）证明{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析，2n n a =（2）332nn +-【解析】【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项112n n n d +=，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为22n n S a =-，当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以，当2n ≥时，12n n a a -=，又1122a a =-，解得12a =，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2nn a =【小问2详解】因为2nn a =，所以1211nn n n a a d n n +-==++，112n nn d +=，21211111123(1)222n n n T n d d d =+++=⨯+⨯+++⨯ ，231111123(1)2222n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ，所以231111111(1)22222n n n T n +=++++-+⨯ 211111(1)13112211222212n n n n n n -++-++=+-=---13322n n ++=-，所以332n nn T +=-21.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222PC AB AD CD ====，点E 在棱PB上．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）当2BE EP =时，求二面角P AC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到AC BC ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小问1详解】因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PC AC ⊥．因为2AB =，1AD CD ==，所以AC BC ==所以222AC BC AB +=，所以ACBC ⊥．又因为PC BC C ⋂=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ．又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．【小问2详解】解法一：以点C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，)B，()A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()(),2,,2x y z x y z =---，即3x =，0y =，43z =，所以4,0,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．所以()CA =，4,0,33CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以04033x z =+=⎪⎩，取x =0y =，1z =-．所以平面ACE的一个法向量为()1n =-．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC的一个法向量为)CB =．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则cos cos ,3n CB θ==．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为223．解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0B -，()1,1,0A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()()1,1,2,,2x y z x y z -+=---，即13x =，13y =-，43z =，所以114,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以()1,1,0CA =，114,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以01140333x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取3x =，则=3y -，32z =-．所以，平面ACE 的一个法向量为33,3,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()1,1,0CB =-．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则cos cos ,3n CB θ===．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为322.（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F （1210F F<），上顶点为A ，12AF AF ⊥，且1F 到直线l ：50x -+=的距离为3．（1）求C 的方程；（2）与l 平行的一组直线与C 相交时，证明：这些直线被C 截得的线段的中点在同一条直线上；（3）P 为C 上的动点，M ，N 为l 上的动点，且MN =，求PMN ∆面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析（3）[]3,7．【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案；（2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答案；（3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案.【小问1详解】设()1 , 0F c -，()2 , 0F c，由题意得22235b c a b c c =⎧==+⎪⎪<⎩，解得1b c a ==⎧⎪⎨=⎪⎩，所以C 的方程为2212x y +=．【小问2详解】证明：设这组平行线的方程为0x m +=，与2212x y +=联立消去x ，得22420y m -+-=，则()()221620m ∆=-->，得22m -<<．设直线0x m +=被C 截得的线段的中点为(),B x y ，则1224y y y m +==，其中1y ，2y是方程22420y m -+-=的两个实数根．所以2mxm =-=-，消去m，得0x +=，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线0x =上．【小问3详解】由（2）知，l 与C 相离，当直线0x m +=与C相切时，()()221620m ∆=--=，解得2m =-或2m =．当2m =-时，直线与l的距离为1733d ==，此时1723PMN S =⨯=△，当2m =时，直线与l的距离为2d ==，此时132PMN S =⨯=△，。

高二上期期末检测数学模拟试题(解析版)

高二上期期末检测模拟试题数学试题第Ⅰ卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1、若直线3y=−的倾斜角为α,则α= ( )A. 0oB. 60oC. 90oD. o 180【答案】B2、已知(2,1,3)AB =− ，(1,4,2)AC =−−，(5,6,)AD λ=− ，若A ，B ，C ，D 四点共面，则实数λ=( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+ 成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=−−=−+ =− 解得2,1,8,x y λ= =− = 故选D. 3、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S S =，且348a a +=，则5a 的值为( ) A.3 B.5 C.7 D.10【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、斜率为l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y −+=相切，则p =（） A ．12 B ．8 C ．10 D ．6【答案】A5、在等比数列{}n a 中，若()57134a a a a +=+，则62a a =（）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则44q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、方程||1x −=( )A.一个圆B. 两个圆C.一个半圆D.两个半圆答案：D7、设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意*N n ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为( ) A.22 B.21 C.20 D.19【答案】C9、下列四个选项中，正确的是( ) A.数列的图象是一群孤立的点【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误；，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； ()1n n n n +∈+N10、下列说法正确的是( )A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B.点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C.经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +−=D.直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =− + =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD.11、已知点P在双曲线2:116x C −=上，12,F F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F 的面积为20，则下列说法正确的有( ) A ．点P 到x 轴的距离为203B ．1250|3|||PF PF += C ．12PF F 为钝角三角形 D ．12F PF ∠等于π3【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =，由双曲线定义可知1213372833PF PF a ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确；由对称性，对于上面点P ，在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=，且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确；因为122920tan tan 22PF F b S θθ=== ，所以9πtan tan 2206θ=<=，即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、设O 为坐标原点,F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点,过焦点F 且倾斜角为 θ的直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点(点M 在第二象限),当30θ=2,则下列说法正确的是( ) A.3p =B.MON △C.存在直线l ,使得90OMF ONF ∠∠>°＋D.分别过点M ,N 且与抛物线相切的两条直线互相垂直【答案】ABD解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−,121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 【答案】为解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在 C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1−−,那么直线1PA 斜率的取值范围是__________。

2024届安徽省怀宁中学高二上数学期末统考模拟试题含解析

20．（12 分）已知椭圆 C： x2 a2
y2 b2
1a
b 0
短轴长为 2，且点 M
2, 2
3 2
在
C
上
的（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设 F1 、 F2 为椭圆的左、右焦点，过 F2 的直线 l 交椭圆 C 与 A、B 两点，若 ABF1 的面积是 6 ，求直线 l 的方 2
__________
14．如图，把正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，则折纸后异面直线 AB ， CD 所成的角为___________.
15．已知数列{an}满足 an+2=an+1－an（n∈N*），且 a1= 2，a2= 3，则 a2022 的值为_________.
16．设正方形 ABCD 的边长是 2 ，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点 A 的距离大于 2 的概率是_____
当在 ABC 中， sin A sin B 2Rsin A 2Rsin B a b ，反之 a b 2Rsin A 2Rsin B sin A sin B ，故为充要条件，故 C 错；当 a 3时， loga 3 loga a ， loga 3 1 ， loga 9 2 ，充分条件，
则 A(0,0,0), D(0, 4,0),C(4, 4,0), P(0,0,6) ， E(0, 2,3) ， CE (4, 2,3) ， AD (0, 4,0)
设直线 EC 与平面 PAB 所成角为，又由题可知 AD 为平面 PAB 的一个法向量，则 sin cos CE, AD CE AD 2 4 2 29
3． (x 1)10 的二项展开式中，二项式系数最大的项是.5 D.5 和 7

2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．直线1y x =+的倾斜角为（）A ．0B ．4πC ．2πD ．34π【正确答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线1y x =+的倾斜角为(0π)αα≤≤，由题意可知：tan 1α=，所以π4α=，故选.B2．已知(1,2,5),(2,1,)a b x x ==- ，若ab，则x =（）A ．2-B ．12C ．52D ．72【正确答案】C【分析】根据空间向量共线定理列方程求x .【详解】因为ab，所以可设b a λ= ，又(1,2,5),(2,1,)a b x x ==-，所以2,12,5x x λλλ-===，所以51,22x λ==.故选：C.3．曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．10x y +-=D ．10x y --=【正确答案】D【分析】先求函数在1x =处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.【详解】函数()ln x f x x =的定义域为()0+∞，，其导函数()21ln xf x x -'=，所以()11f '=，所以曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，又()10f =，故曲线()ln xf x x=在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y --=.故选：D.4．已知F 是椭圆221167x y +=的左焦点，P 为椭圆上任意一点，点Q 的坐标为(2,1)-，则||||PQ PF +的最小值为（）A ．1B ．8C ．3D【正确答案】B【分析】将||||PQ PF +转化到8PQ PF '+－，当三点共线且P 在射线F Q '的延长线上时，取得最小值.【详解】椭圆221167x y +=的43a b c ===，，点Q 在椭圆内部，如图，设椭圆的右焦点为()3,0F '，则28PF PF a '+==；8PQ PF PQ PF '∴+=+－8PQ PF '=+－；由图形知，当P 在直线QF '上时，PQ PF QF ''==－，当P 不在直线'QF 上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，PQ PF QF ''<=－，∴当P 在射线F Q '的延长线上时，'PQ PF －取得最小值PQ PF ∴+的最小值为8．故选：B5．在四面体ABCD 中，ABC 为正三角形，DB ⊥平面ABC ，且AB BD =，若3AE AB =，2C F C D= ，则异面直线DE 和BF 所成角的余弦值等于（）A．13B．13C．39D．39-【正确答案】A【分析】由条件建立空间直角坐标系，求异面直线DE 和BF 的方向向量，利用向量夹角公式求其夹角可得结论.【详解】因为DB ⊥平面ABC ，ABC 为正三角形，故以B 为原点，以,BC BD为,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设6AB =，则()()()()0,0,6,0,6,0,,0,0,0D C A B ，由3AE AB =，2C F C D =，可得()()2,0,0,3,3E F ，所以()()2,6,0,3,3DE BF =-=，所以cos ,13DE BF DE BF DE BF ⋅==-，所以异面直线DE 和BF故选：A.6．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{}n a ，在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入3k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ．按新数列{}n b 的各项依次派遣支教学生．记50S 为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则50S 的值为（）A ．198B ．200C ．240D ．242【正确答案】B【分析】由已知确定数列{}n a 的通项公式，再确定数列{}n b 的项的取值规律，再求其前50项的和.【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．所以数列{}n a 为等差数列，且118a =，数列{}n a 的公差6d =，所以612n a n =+,数列{}n b 为数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入3k 个2所得，所以数列{}n b 满足条件，118b =，当24n ≤≤时，2n b =，524b =，当614n ≤≤时，2n b =，1530b =，当1642n ≤≤时，2n b =，4336b =，当4450n ≤≤时，2n b =，所以数列{}n b 的前50项的和为18243036462200++++⨯=，故选：B.7．已知圆22:1C x y +=，椭圆22:143x y Γ+=，过C 上任意一点P 作圆C 的切线l ，交Γ于A ，B 两点，过A ，B 分别作椭圆Γ的切线，两切线交于点Q ，则||OQ （O 为坐标原点）的最大值为（）A ．16B ．8C ．4D ．2【正确答案】C【分析】先得到椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，考虑切线l 的斜率不存在和存在两种情况，得到椭圆两切线方程，联立后得到点Q 的坐标，求出当切线斜率不存在时，||4OQ =，当切线l 斜率存在时，设为y kx b =+，由l 与圆相切得到221b k =+，求出椭圆两切线方程，得到43,Q Q k x y b b =-=，求出4OQ <，求出||OQ 的最大值.【详解】当P 点坐标为()1,0±时，此时切线l 的斜率不存在，不妨设:1l x =，此时22:143x y Γ+=中令1x =得：32y =±，所以不妨令331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，下面证明椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，理由如下：当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，代入椭圆方程得：()22222222220a k b x a kmx a m a b +++-=，由()()()222222222240a km a k b a m a b ∆=-+-=，化简得：22220a k m b -+=，所以()22022222a km a kx m a k b --===+，把20a k x m -=代入00y kx m =+，得：20b y m =，于是2200022200mx x b x b k a a y a y =-=-⋅=-则椭圆的切线斜率为2020b x a y -，所以椭圆的切线方程为()200020b x y y x x a y -=--，整理得：222222220000a y y b x x b x a y a b +=+=，方程两边同除以22a b ，得到00221x x y ya b+=，当切线斜率不存在时，即此时(),0P a ，故切线方程为x a =，00221x x y ya b+=中令00,0x a y ==，可得x a =，故当切线斜率不存在，切线也满足00221x x y ya b+=，综上：椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>在()00,P x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，故过331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭的两切线分别为142x y +=和142x y -=，联立可得：()4,0Q ，此时4OQ =，同理可得:1l x =-时，4OQ =，当切线l 的斜率存在时，设为y kx b =+，因为y kx b =+与22:1C x y +=1=，即221b k =+，y kx b =+与223412x y +=联立得：()2223484120k xkbx b +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则过()()1122,,,A x y B x y 的椭圆的切线方程为11143x x y y +=和22143x x y y+=，联立得：()()()()212112*********Q y y kx b kx b kx x y x y x kx b x kx bb-+--===--+-+，()()()()212121122112333Q x x x x y x y x y x kx b x kx b b--===-+-+，则4OQ ==<=，综上：OQ 的最大值为4.故选：C过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=，过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为.()()()()200x a x a y b y b r--+--=过椭圆22221x y a b+=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，过双曲线22221x y a b-=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b -=8．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，过B 作l 的垂线交l 于点D ，若BDF V的面积为||||AF BF =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【正确答案】B【分析】联立直线与抛物线的方程，结合焦半径可得111AF BF+=，根据BDF V 的面积可解得23y =，进而得214BF BD y ==+=，即可求解43AF =.【详解】焦点()0,1F ,设直线AB 的方程为1y kx =+,联立直线与抛物线的方程得2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩，设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,4x x k x x +==-，所以()22212121212242,116x x y y k x x k y y +=++=+==，故()()212212121111114211111111421y y k AF BF y y y y k +++++++=+===+++++++，()()()(22222221111422BDFS BD x y x y y ==+=+=V ，化简得()()22222351603y y y y -++=⇒=，所以214BFBD y ==+=，由111AF BF +=，所以43AF =,故||1||3AF BF =，故选：B二、多选题9．关于x ，y 的方程221(R)1x y m m m +=∈-表示的曲线可以是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【正确答案】BC【分析】先得到0m ≠且1m ≠，再结合方程特点，分1m >，01m <<和0m <三种情况求出答案.【详解】显然0m ≠且1m ≠，若010m m >⎧⎨->⎩，即1m >时，此时2211x y m m +=-表示椭圆；若()10m m -<，即01m <<时，此时2211x y m m +=-表示双曲线；若0m <，此时2211x y m m +=-无解，综上：方程221(R)1x y m m m +=∈-表示的曲线可以是椭圆，也可以是双曲线.故选：BC10．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若91580,1a S a ><-，则下列结论正确的是（）A ．98a a >B ．使0n S >的n 的最大值为16C ．公差0d <D ．当8n =时n S 最大【正确答案】ACD【分析】根据条件可得80a >，890a a +<，可判断A 正确，98820d a a a =-<-< 可判断C 正确，再根据15160,0S S ><可判断B 错误，又因为8,0,9,0n n n a n a ≤>≥<可判断D 正确.【详解】等差数列{}n a ，115815815()05,201S a a a a +=∴=>>，又99889810,0a a a a a a <-∴<-+<<，98a a ∴>，A 正确.98820d a a a =-<-< ,C 正确.89161168916160()()022a a S a a a a +<∴=+=+< ,150,S >使0n S >的n 的最大值为15.B 错误.890,0a a ><∴ 当8,0,9,0n n n a n a ≤>≥<,所以当8n =时n S 最大.D 正确.故选：ACD11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若ABC 满足AC BC =，顶点(0,1)A ，(2,1)B -，且其“欧拉线”与圆222:(4)M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（）A ．题中的“欧拉线”为方程：10x y --=B ．圆M 上的点到直线0x y -=C ．若圆M 与圆22()8xy a +-=有公共点，则[4,4]a ∈-D ．若点(,)x y 在圆M 上，则1y x +的最大值是41【正确答案】ABD【分析】A 选项，分析得到其欧拉线过线段AB 的中点()1,0，且与直线AB 垂直，从而求出ABC 的欧拉线方程；B 选项，根据ABC 的欧拉线与222:(4)M x y r -+=相切，列出方程，求出r ，得到圆M 上的点到直线0x y -=的最小值为圆心M 到直线0x y -=的距离减去半径，求出答案；C 选项，根据两圆有公共点，列出不等式组，求出22a -≤≤；D 选项，1yx +的几何意义为点(),x y 与()1,0-两点的斜率，数形结合得到当过()1,0-的直线l 与M相切，且斜率为正时，1yx +取得最大值，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】线段AB 的中点坐标为0211,22+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,0，直线AB 的斜率为()11102--=--，因为AC BC =，所以ABC 为等腰三角形，三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点()1,0，且与直线AB 垂直，故ABC 的欧拉线斜率为1，则方程为1y x =-，即10x y --=，A 正确；ABC 的欧拉线与222:(4)M x y r -+=相切，故2r ==，圆心()4,0M 到直线0x y -=的距离为d ==则圆M 上的点到直线0x y -=的最小距离为d r -==B 正确；若圆229:(4)2M x y -+=与圆22()8x y a +-=有公共点，则3222≤，解得：a ≤C 错误；1yx +为点(),x y 与()1,0-两点的斜率，当过()1,0-的直线l 与229:(4)2M x y -+=相切，且直线l 的斜率为正时，1y x +取得最大值，设直线():1l y k x =+2=，解得：41k =，故1y x +的最大值是41，D 正确.故选：ABD12．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，1PA PB PC PD AB =====，E ，F 分别为线段,PB BC （含端点）上动点，则（）A ．存在无数个点对E ，F ，使得平面AEF ⊥平面ABCDB ．存在唯一点对E ，F ，使得平面AEF ⊥平面PBCC ．若EF BC ⊥，则四面体P AEF -的体积最大值为96D ．若//EF 平面PCD ，则四面体A BEF -【正确答案】ACD【分析】连接,AC BD ，记其交点为O ，在线段PB 上任取一点E ，过点E ，作//EH PO ，证明EH ⊥平面ABCD ，连接AH ，并延长交BC 于点F ，证明平面AEF ⊥平面ABCD ，判断A ，将四棱锥补形为长方体，过点A 确定平面PBC 的垂线，结合面面垂直的判断定理判断B ，根据条件确定EF 的位置特征，结合锥体体积公式求四面体P AEF -，A BEF -的体积最大值，由此判断CD.【详解】因为1PA PB PC PD AB =====，底面ABCD 为正方形，所以四棱锥P ABCD -为正四棱锥，由已知可得AC =连接,AC BD ，记其交点为O ，由正四棱锥性质可得PO ⊥平面ABCD ，因为1PA =，2AO =，所以2PO =，对于A ，在线段PB 上任取一点E ，过点E ，作//EH PO ，EH 交BD 与H ，则EH ⊥平面ABCD ，连接连接AH ，并延长交BC 于点F ，因为EH ⊂平面AEF ，EH ⊥平面ABCD ，所以平面AEF ⊥平面ABCD ，故A 正确；对于B ，将正四棱锥补形为长方体1111ABCD A B C D -，过点P 作11//NM B C ，连接,BN MC ，又11//BC B C ，又11MN B C BC ==，所以四边形BCMN 为平行四边形，过点A 作AQ BN ⊥，垂足为Q ，因为BC ⊥平面11ABB A ，AQ ⊂平面11ABB A ，所以AQ BC ⊥，BC BN B = ，,BC BN ⊂平面PBC ，所以AQ ⊥平面PBC ，在线段BC 上任取一点F ，连接QF 交BC 于点E ，因为AQ ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ，B 错误；对于C ，因为四面体P AEF -的体积等于四面体A PEF -的体积，因为AQ ⊥平面PEF ，所以四面体A PEF -的高为AQ ，因为1121,2AB AA BB PO ====，所以32NA NB ==，因为1221224ABN S =⨯1224AQ BN ⨯=，所以63AQ =，作侧面PBC ，连接点P 和BC 的中点S ，则PS BC ⊥，因为EF BC ⊥，所以//EF PS ，设BF x =，则102x <≤，13,2EF SF x ==-，所以)211333222432PEF S x x x x ⎛⎫=⨯-=-≤ ⎪⎝⎭又四面体P AEF -的体积13P AEF A PEF PEF V V S AQ--==⋅所以四面体P AEF -的体积最大值为1362332396⨯=，C 正确；对于D ，因为//EF 平面PCD ，EF ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面PCD PC =，所以//EF PC ，设BF x =，则01x <≤，BE x =，π3EBF ∠=，所以2BEF S =≤F 和点C 重合，点E 和点P 重合时取等号，又AQ ⊥平面BEF，AQ =，所以四面体A BEF -的体积最大值为1312=，D 正确；故选：ACD.本题是立体几何综合问题，主要考查面面垂直和线面垂直的关系，线面平行性质定理和锥体的体积计算，对学生的素质要求较高.三、填空题13．已知(1,2,1),(1,0,0)a b == ，则a 在b 方向上的投影向量为________________．【正确答案】()1,0,0b = 【分析】根据投影向量的定义即可由数量积求解.【详解】由于1b = ，故a 在b 方向上的投影向量为()cos ,1,0,0a b a b b b b b⋅=== ，故()1,0,0b = 14．设函数()ln 2f x x mx =-（m 为实数），若()f x 在[1,)+∞上单调递减，则实数m 的取值范围_____________．【正确答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到[)1,x ∞∈+，()0f x '≤，再根据1y x=的单调性即可得到答案.【详解】()12f x m x'=-，因为函数()ln 2f x x mx =-在区间[)1,+∞上单调递减，所以[)1,x ∞∈+，120m x-≤恒成立，即[)1,x ∞∈+，max12m x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.又1y x =在[)1,+∞上单调递减，所以max11x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故21m ≥，即12m ≥，所以m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+，则n a =___________．【正确答案】1321n n -⋅--.【分析】由递推关系证明数列{}1n a n ++为等比数列，结合等比数列通项公式求其通项，由此可得n a .【详解】因为12n n a a n +=+，所以()1221n n a n a n +++=++，又11a =，所以123a +=，故数列{}1n a n ++为等比数列，首项为3，公比为2，所以1132n n a n -++=⋅，故1321n n a n -=⋅--，故答案为.1321n n -⋅--16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过左焦点F 作直线交C 于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点）并延长交椭圆于点D ，若0,||4||AB DF DF BF ⋅== ，则椭圆的离心率为_____________．【分析】根据椭圆的焦点三角形满足的边关系，结合勾股定理即可求解.【详解】设右焦点为E ,连接,AE BE ,由0,AB DF ⋅= 故AB DF ⊥ ，由,OF OE OA OD ==,所以四边形AFDE 为平行四边形，由于AB DF ⊥ ，进而可得四边形AFDE 为矩形，设BF x =，则4DF x =，因此4,24,22AE x AF a x BE a BF a x ==-=-=-，在直角三角形ABE 中，222AE AB BE +=,即()()22216232x a x a x +-=-，解得3a x =，所以42,24,233AE a AF a x a EF c ==-==，故222164499c a a =+，故2295c a =，即3e =，故53四、解答题17．已知空间三点(1,0,2),(0,1,2),(3,0,4)A B C --，设,AB a AC b ==．(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka b + 与- a kb 互相垂直，求k 的值．【正确答案】(1)12-(2)3132【分析】(1)先求出向量,a b ，再利用空间向量的夹角公式求解即可；(2)利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出k 的值.【详解】（1）因为(1,1,0)a AB OB OA ==-= ，(2,0,2)b AC ==- ，所以空间向量的夹角公式，可得1cos 21144a b a bθ==-+⨯+ ，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为12-.（2）由（1）可知(1,1,0)a = ，(2,0,2)b =- .因为向量ka b + 与- a kb 互相垂直，所以()()0ka b a kb +⋅-= ，所以222(1)0k a k b k a b -+-= ，所以2282(1)0k k k ---=，所以2310k k --=，解得3132k ±=.18．在①22n S n n =+；②3267,18a a a =+=；③153,35a S ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知等差数列{},n n a S 为其前n 项和，若______________．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()12N n n n b n a a *+=∈，求证：数列{}n b 的前n 项和13n T <．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)21n a n =+(2)证明见解析.【分析】（1）选①由n a 与n S 的关系求解即可；选②③由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由（1）可得112123n b n n =-++，利用裂项相消法证明即可.【详解】（1）若选①：在等差数列{}n a 中，113a S ==，当2n ≥时，()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，1a 也符合，∴21n a n =+；若选②：在等差数列{}n a 中，326718a a a =⎧⎨+=⎩ ，11272618a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+；若选③：在等差数列{}n a 中，1513545352a S a =⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+；（2）证明：由（1）得211(21)(23)2123n b n n n n ==-++++，所以111111111.355721233233n T n n n =-+-+-=-<+++L 19．已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=，直线:(1)(21)53l m x m y m +++=+．(1)判断并证明直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若点A ，B 分圆周得两段弧长之比为1:2，求直线l 的方程．【正确答案】(1)直线l 与圆C 相交，证明见解析；(2)直线l 的方程为2y =或1x =.【分析】（1）由题可得()2530m x y x y +-++-=，由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得直线l 恒过定点，再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系；（2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解.【详解】（1）因为直线l 的方程为(1)(21)53m x m y m +++=+，所以()2530m x y x y +-++-=，由25030x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得，12x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(1,2)P ，因为22(12)(23)4-+-<，所以点(1,2)P 在圆内，故直线l 与圆C 相交；（2）因为圆C 的方程为22(2)(3)4-+-=x y ，所以点C 的坐标为()2,3，半径为2，因为点A 、B 分圆周得两段弧长之比为1：2，故120ACB ∠= ,所以30CAB ∠= ，故圆心到直线的距离12r d ==，直线斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，因为点()2,3C 到直线1x =的距离为1，所以直线1x =满足条件，即直线l 的方程可能为1x =，当直线斜率存在时，设直线方程为2(1)y k x -=-，1=，解得0k =，所以直线l 的方程为2y =，故直线l 的方程为2y =或1x =.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S．若11,2n a a ==2n ≥且N n *∈）．(1)求证：数列为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若22n n n b a +=⋅，求{}n b 前n 项和n T ．【正确答案】(1)1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；(2)()12124n n T n +=-+.【分析】（1）由1n n n a S S -=-，结合已知递推关系进行转化，然后结合等差数列的通项公式及递推关系可求；（2）由已知先求n b ，根据错位相减即可求和．【详解】（1）由题意得：当2n ≥时，22122()2(2(2(n n n a S S -=-=-=，因为0n a >，0>，12=，1=，所以数列是以1为首项，以12为公差的等差数列，111(1)22n n ++-=，所以21(2n n S +=，当2n ≥时，221121()()224n n n n n n a S S -++=-=-=，由于11a =不适合上式，故1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；（2）当1n =时，18b =，当2n ≥时，()22121224n n n b n n ++=+=⋅，所以18T =，当2n ≥时，()2438527292212n n T n =+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，()4153216527292212n n T n +=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，相减得()()()()()322311142128522222212122212122412n nn n n n T n n n -+++--=-+⨯+⨯++⋅⋅⋅+-+=+⨯-+=---，故()12124n n T n +=-+，此时18T =也适合，故()12124n n T n +=-+．21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面π,,,3ABCD AD AB AB DC ABC ⊥∠=∥，,2AB BC PA ==．点A 在平面PBC 内的投影恰好为PBC 的重心E ，连接PE 并延长交BC 于F．(1)求证：AF BC ⊥；(2)求平面ACE 与平面ABCD 所成夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)平面ACE 与平面ABCD【分析】(1)方法一：由条件根据线面垂直判定定理证明BC ⊥平面AEF ，由此证明AF BC ⊥.方法二：由已知证明F 为BC 的中点，结合等腰三角形性质证明AF BC ⊥；(2)建立空间直角坐标系，求平面ACE 与平面ABCD 的法向量，再由向量夹角公式求其夹角余弦，由此可得结论.【详解】（1）方法一：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为AE ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE BC ⊥，又,PE PA ⊂平面PAE ，PE PA P = ，所以BC ⊥平面PAF ，又AF ⊂平面PAF ，所以AF BC⊥方法二：因为点E 为PBC 的重心，点F 为PE 的延长线与BC 的交点，所以点F 为线段BC 的中点，因为AB BC =，π3ABC ∠=，所以ABC 为等边三角形，所以AF BC ⊥；（2）因为PA ⊥底面ABCD ，,AB AD ⊂底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AD AB ⊥，如图以点A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AB t =，则()()(),,0,0,,0,0,0,2,0,0,022t C B t P A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为点E 为PBC的重心，所以2,,623t E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2,23t AE ⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,,2PB t =- ，由已知⊥AE 平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AE PB ⊥，即0AE PB ⋅= 所以214023t -=，所以t =所以C ⎫⎪⎪⎭，23E ⎫⎪⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0320333y x y z +=++=⎩，取1x =可得，y z ==所以(1,n = 为平面ACE 的一个法向量，又()0,0,1m = 为平面ABCD的一个法向量，cos ,3m n m n m n ⋅== ，所以平面ACE 与平面ABCD22．已知双曲线22:(0)C x y λλ-=>，焦点F(1)求λ；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点(2,1)A -，直线,AM AN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，AQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得||QT 为定值．【正确答案】(1)3λ=；(2)证明见解析.【分析】(1)由双曲线方程求其渐近线方程，由点到直线距离公式列方程求λ；(2)证明当MN 斜率不存在时不合题意，设直线MN 方程与双曲线C 的方程联立，根据直线,AM AN 与y 轴的两交点关于原点对称结合韦达定理即可求解.【详解】（1）由已知双曲线C 的渐近线方程为y x =±，因为焦点F=所以3λ=，（2）当直线MN 的斜率k 不存在时，此时,M N 两点关于x 轴对称，若直线,AM AN 与y 轴的两交点关于原点对称，则A 在x 轴上，与题意矛盾，因此直线MN 的斜率存在.设直线MN 的方程为y kx m =+，联立223y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，整理得()2221230k x kmx m ----=，由已知210k -≠，且()()222244130k m k m ∆=--+>，所以1k ≠±，且2233k m -<，设()11,M x y ，()22,N x y ，12221km x x k +=-，212231m x x k --=-.直线,AM AN 分别与y 轴相交的两点为1M ，1N ，∴直线AM 方程为()111212y y x x +=---，令0x =，则111120,2x y M x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，同理221220,2x y N x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，可得11221222022x y x y x x +++=--，∴()()11221222022x kx m x kx m x x +++++=--，即()()()()1221212221220k x m x k x m x ⎡⎤⎡⎤++-+++-=⎣⎦⎣⎦，∴()()1212422(42)80k m x x k x x m +-+-++=，∴()()22223422428011km m k m k m k k ---+⋅-++=--，∴()()()()22212213410k m km k m m k -+⋅++++-=，∴22222422263440k m km km km k m m mk -++++++-=，∴()224630m k m k ++++=，()()3210m m k +++=，当210m k ++=时，21m k =--，此时直线MN 方程为()21y k x =--恒过定点()2,1A -，与已知矛盾，∴3m =-，直线MN 方程为3y kx =-，恒过定点()0,3E -∵AQ MN ⊥，设AE 中点为T ，∴()1,2T -，∴12QT AE ==为定值，∴存在()1,2T -使QT .方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

2022-2023学年度(上)高二数学期末模拟卷1答案及解析

2022-2023 学年第一学期期末模拟考试 1高二数学卷参考答案及解析1．A【分析】根据向量共线定理，结合空间向量线性关系的坐标关系列方程求参数，即可得结果.【详解】由题设，存在R λ∈使a b λ= ，则21239x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，可得163213x y λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以134623x y +=-=-.故选：A 2．C【分析】根据等差数列的前n 项和公式及等差数列性质:若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+即可得到结果.【详解】解:由题知1122S =,即()1111161111222a a S a +===,62a ∴=,13961184a a a a a ∴+++==.故选:C 3．B【分析】F 为AC 中点，连接,PF EF ，根据中位线性质及线线角定义知,PE BC 夹角为PEF ∠或其补角，结合已知确定其余弦值，应用向量数量积的定义求PE BC ⋅即可.【详解】若F 为AC 中点，连接,PF EF ，又E 是棱AB 中点，所以//EF BC 且2BC EF =，故,PE BC 夹角为PEF ∠或其补角，因为正四面体-P ABC 各棱长为4，故四面体各面均为等边三角形，所以3PF PE ==2EF =，且cos 23PEF ∠=，而,PE BC为PEF ∠的补角，故||||cos 234423PE BC PE BC PEF ⋅=-⋅∠=-⨯⨯=- .故选：B 4．A【分析】根据题意和椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点，长轴长为8的椭圆，进而求解.【详解】因为12(2,0),(2,0)F F -，所以12=F F 4，又12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，所以121228PF PF F F +==，则点P 到定点12F F ，的距离之和为8，（大于12=F F 4），所以动点P 的轨迹是以12(2,0),(2,0)F F -为焦点，1228a PF PF =+=，则4,2a c ==，22212b a c =-=，所以椭圆方程为：2211612x y +=，故选：A .5．C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为1111ABCD A B C D -，如图2，该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意121O O =，22AO =，111A O =，1OA OA R ==，当O 在12O O 下方时，设2OO h =，则在2AOO 中，有：224R h =+（1），在11A OO 中，有：()2211R h =++（2），联立（1）、（2）得1h =，25R =，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O 在12O O 中间时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述：当刍童外接球的表面积为20π．故选：C 6．D【分析】根据给定条件，求出点P 的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.【详解】设点(,)P x y ，由2PA PB =2222(1)2(2)x y x y ++=-+22(3)4x y -+=，即点P 的轨迹是以点0(3,0)C 为圆心，2为半径的圆，而圆C 的圆心(2,)C m ，半径为12，依题意，圆0C 与圆C 有公共点，即有0112222CC -≤≤+，即2925144m ≤+≤，而0m >，解得52122m ≤≤，所以实数m的取值范围是22⎥⎣⎦.故选：D 7．D【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到118a =，1433nn n a a -=⨯-，变形后得到3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为6，公差为4，从而求出()423nn a n =+⋅，故代入2n a ≥整理得3nn≥，利用作差法得到3nn 单调递减，最小值为13，列出不等式求出答案.【详解】当1n =时，2111332a S a ==-，解得：118a =，当2n ≥时，111333322n n n n n n n a S a a S --+==-+--，整理得1433nn n a a -=⨯-，方程两边同除以3n ，得11343n n n n a a ---=，又163a =，故3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为6，公差为4，所以()123644nn n n a =+-=+，故()423nn a n =+⋅，经验证，满足要求，所以2n a ≥为()2423nn +⋅≥故3nn≥，对任意N n +∈恒成立，111113123333n n n n n n n n n +++++---==，当1n ≥时，111120333n n n n n n+++--=<，故1133n nn n++<，3n n 单调递减，当1n =时，3n n 取得最大值13，故13≥，解得：136k ≥，则k 的最小值为136.故选：D 8．A【分析】当AC 、BD 有一条不存在斜率时，直接求得四边形ABCD 的面积.当AC 、BD 都存在斜率时，设出直线,AC BD 的方程，利用弦长公式求得,AC BD ，由此求得四边形ABCD 的面积的表达式，求得面积的取值范围，从而计算出正确结论.【详解】依题意2,1,a b c ===设点()0y在椭圆上，则(22014y +=，解得012=±y .①当AC 、BD 有一条不存在斜率时，()11222222ABCD S ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.②当AC 、BD 都存在斜率时，设AC 方程1l：(y k x =，BD 方程2l：1(y x k=-+，1l与椭圆联立得22(14y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()2222141240k x x k +++-=，则22121222124,1414k x x x x k k --+=⋅=++，AC=224(1)14k k +=+.同理可得224(1)4k BD k +=+，∴2222114(1)4(1)22144ABCDk k S AC BD k k ++=⋅⋅=⨯⨯++2242228(1)8112541749()124k k k k +==++--++，22210,11,011k k k ≥+≥<≤+，故当21112k =+，即21k =时ABCD S 取得最小值83225254=，由于21252599(0)42444--+=-=，824=，所以32,225ABCD S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.综上所述，ABCD S 的最大值为2，最小值为3225，则最大值与最小值之差为321822525-=.故选：A【点睛】求解直线和圆锥曲线位置关系的题目，要注意判断直线的斜率是否存在，必要时要进行分类讨论.9．BC【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A 项；求出a ，b ，c 的值，可判断B ，C 项；代入判断D 项.【详解】由已知，椭圆的焦点在y 轴上，a =2，b =c =1，则长轴长为2a =4，离心率为12c e a ==.将点代入椭圆方程左边得22312143⎛⎫ ⎪⎝⎭+≠，不满足，即点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭不在椭圆上.故选：BC.10．AD【分析】由题意画出图形，证明四边形1CAD V 与四边形1CBC V 是平面图形，再结合所有棱长相等得新的组合体是斜三棱柱，也是五面体．【详解】将两个正三角形侧面VAB 与△111V A B 按对应顶点粘合成一个正三角形以后，如图，取AB 中点E ，11C D 的中点F ，连接CE ，VE ，VF ，ABC 是正三角形，CE AB ∴⊥，VAB △是正三角形，VE AB ∴⊥，CE V E E = ，,CE VE ⊂平面VEC ,AB ∴⊥平面VEC ，△111V C D 是正三角形，11VF C D ∴⊥，又11//AB C D ，AB VF ∴⊥，而VE V F V = ，,VE VF ⊂平面VEF ,则AB ⊥平面VEF ，∴四边形VCEF 是平面四边形，由CE VF =，VC EF =，得四边形VCEF 为平行四边形，则//VC EF ，又1//AD EF ，1//VC AD ∴，同理可得1//VC BC ，再由所有棱长相等，可得几何体为斜三棱柱，也是五面体．故选：AD ．11．BC【分析】利用(3)(1)f f ≠-可判断A;根据函数满足的性质推得14,Z x k k =+∈和34,Z x k k =+∈皆为()f x 的图象的对称轴，可判断B;数形结合判断C;数形结合，将3()20f x x -+=的实数根个数问题转化为函数图象的交点问题，判断D.【详解】由题意可知当[1,3]x ∈时，2()2f x x x =-+，故()()2211211,33233f f =-+⨯==-+⨯=-，则(3)(1)f f ≠-，即()f x 的图象不关于点(2,0)对称，A 错误；由于函数()f x 满足(4)()f x f x +=，故4为函数的周期；函数(1)f x +为偶函数，则()f x 的图象关于直线1x =对称，即有(2)()f x f x -=，则(4)(2),(4)(2)f x f x f x f x +=-∴+=-，故()f x 的图象也关于直线3x =对称，由于4为函数的周期，故14,Z x k k =+∈和34,Z x k k =+∈皆为()f x 的图象的对称轴，当505k =时，342023x k =+=，故B 正确；由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为[3,1]-，C 正确；方程3()20f x x -+=的根即()y f x =与1(2)3y x =-的图象的交点的横坐标，因为当5x =-时，17(52)333y =--=->-，当7x =-时，1(92)33y =--=-，当5x =时，1(52)13y =-=，所以()y f x =与1(2)3y x =-的图象共有7个交点，即方程3()20f x x -+=的实数根个数为7，故D 错误，故选：BC .【点睛】方法点睛：（1）抽象函数的奇偶性以对称性结合问题，往往要采用赋值法，推得函数周期性；（2）方程根的个数问题，往往采用数形结合，将根的问题转化为函数图象交点问题.12．BD【分析】连AC 交BD 于E ，根据面积关系推出2AE EC =，根据平面向量知识推出BE =1233BA BC + ，结合()()1122n nn n BD a BA a BC -+=-++ ，推出11222n n n n a a +-=-，即11222n n n n a a +--=-，求出1242n n a n -=-+，()22nna n =-+⋅，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断B ，根据数列的单调性可判断C ；利用错位相减法求出n S ，可判断D.【详解】如图，连AC 交BD 于E，则1sin 21sin 2ABD BD AE AEB S S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△BCD ÐÐ=2AEEC=，即2AE EC =，所以2AE EC =，所以()2BE BA BC BE -=- ，所以BE = 1233BA BC +，设BD tBE =(1)t >，因为()()1122n nn n BD a BA a BC -+=-++ ，所以()()111122n nn n BE a BA a BC t t -+=-++ ，()()1111231223n n n n a t a t-+⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()11222n n n n a a -++=-，所以11222n n n n a a +-=-，即11222n nn n a a +--=-，又12a =，所以122a =，所以12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2-的等差数列，所以()1221242n n an n -=--=-+，所以()()124222n n n a n n -=-+⋅=-+⋅，因为()11(1)222222n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+不是常数，所以{}n a 不为等比数列，故A 不正确；因为()()()111122(1)21212222n n n n n n n n n a a n n n ++++-+⋅-+⋅-=-=-+--+=-，所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故B 正确；因为1n n a a +-=()1(1)222n nn n +-+⋅--+⋅=2n n -⋅，所以{}n a 为递减数列，故C 不正确；因为()1231202(1)222nn S n =⨯+⨯+-⨯++-+⋅ ，所以()234121202(1)222n n S n +=⨯+⨯+-⨯++-+⋅ ，所以()()23412222222n n n S n +-=-++++--+⋅ ，所以()()1142222263212n n n n S n n ++-⨯-=---+⋅=+-⋅-，所以()1326n n S n +=--，故D 正确.故选：BD 13【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解.r r Þ=14【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1AEC 的法向量后可求线面距.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1111,0,0,1,,0,1,1,1,,0,0,1,022A E C F C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1111,,0,1,,022EC FC ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故1//EC FC ，而1EC ⊂平面1AEC ，⊄FC 平面1AEC ，故//FC 平面1AEC ，故直线FC 到平面1AEC 的距离为即为F 到平面1AEC 的距离.设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，又10,,12AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故102102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取2y =，则()1,2,1n =- ，而()0,0,1FE = ，故F 到平面1AEC 1666=，6615．20【分析】作出图形，分析可知6PM PC =+，1PQ PC ≤+，利用基本不等式可求得2PM PQ的最小值.【详解】如下图所示：在双曲线221916x y -=中，3a =，4b =，225c a b =+=，圆()2251x y -+=的圆心为()5,0C ，半径长为1r =，所以，双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为M 、C ，由双曲线的定义可得26PM PC a PC =+=+，1PQ PC ≤+，所以，()()()226252511011020111PC PM PC PC PQPC PC PC+≥=+++≥+⋅+=+++，当且仅当Q 为射线PC 与圆C 的交点，且4PC =时，等号成立，故2PM PQ的最小值是20.故答案为：20.16．2(1)n S n a =+【解析】根据已知条件知数列{}1n n a a +-是首项为1a -，公差为d 的等差数列，可求出11(1)n n a a a n d +-=-+-，再根据已知条件转化求出等差数列{}2n a ､{}21n a -的通项公式，再利用分组求和即可得解.【详解】2111a a a a -=-=-Q 又211n n n n a a a a d +++-=-+，即211n n n n a a a a d+++---=∴数列{}1n n a a +-是首项为1a -，公差为d 的等差数列，11(1)n n a a a n d +∴-=-+-①，又{}{}221,n n a a -分别构成等差数列，根据①式可得221[1(22)](2)n n a a a n d n --=±-+-≥②，212[1(21)](1)n n a a a n d n +-=±-+-≥③，2221[12](1)n n a a a nd n ++-=±-+≥④，由②+③，得2121[1(21)][1(22)](1)n n a a a n d a n d n +--=±-+-±-+-≥，又{}21n a -是等差数列，所以2121n n a a +--必为常数，所以2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=-+---+-=≥，或2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=--+-+-+-=-≥，由①得321a a a d -=-+，即32(1)a a a d -=±-+，2a a =Q ，3(1)a a d a ∴=±-++，又11a =，311(1)a a a a d ∴-=-±-+，即31a a d -=-或312(1)a a a d -=-+(舍去)，2121n n a a d +-∴-=-，{}21n a -∴是首项为1，公差为d -的等差数列，211(1)n a n d -∴=--，同理，由③+④得，222[12][1(21)](1)n n a a a nd a n d n +-=±-+±-+-≥，所以222n n a a d +-=或222n n a a d +-=-，321a a a d -=-+-Q ，43(12)a a a d -=±-+，421(12)a a a d a d ∴-=-+-±-+，即42a a d -=或42223a a a d -=-+-(舍去)，222n n a a d +∴-=，{}2n a ∴是首项为a ，公差为d 的等差数列，2(1)n a a n d ∴=+-，从而21221221()k k k k a a a a a k N *-+++=+=+∈，所以2122(1)(1)(1)n n S a a a a a n a =+++=++++=+ .故答案为：2(1)n S n a =+【点睛】方法点睛：本题考查递推关系求等差数列求通项公式，分组求数列和，求数列的和常用的方法有：（1）分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法；（4）等差⨯等比数列：错位相减法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.17．(1)72n a n =-；(2)21622n n n +-++-.【分析】(1)设{}n a 公差为d ，根据91027,40S S =-=-列出关于首项和公差的方程组，求得首项和公差，根据等差数列通项公式即可求n a ；(2)利用分组求和法求n T 即可.【详解】（1）设{}n a 公差为d ，由91027,40S S =-=-得，1198927210910402a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，解得152a d =⎧⎨=-⎩，∴52(1)72n a n n =--=-；（2）由2nn n b a =+得722n n b n =-+，∴1212(12)(1)5(2)22622122n n n n n n n T S n n n ++--=+=⨯+⨯-+-=-++--.18．(1)点P 不在圆上，证明见解析(2)x ＝0或3x ＋4y －8＝0．【分析】(1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可.(2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况.【详解】（1）点P 不在圆上．证明如下：∵3PC =<，∴由圆的定义可知点P 是在圆C 的内部，不在圆上；（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C 到直线l的距离2d ==，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时202d =--=，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，又∵2d =，解得34k =-，此时直线l 为3x ＋4y －8＝0，综上所述：直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －8＝0．19．(1)2213x y +=(2)20x -=或20x -=【分析】（1）已知可得：ca=2a =（2）直线l 的方程为2x ty =+且与椭圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立22233x ty x y =+⎧⎨+=⎩，由根与系数的关系以及弦长公式求解即可；（3）过原点O 作圆M 的切线y kx =，设()00,M x y ，利用圆心到直线的距离等于半径，结合已知条件求解即可【详解】（1）由已知可得：c e a ==2a =所以a =c =又222321b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）易知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为2x ty =+且与椭圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 由22233x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 可得()223410t y ty +++=，()21210t ∆=->.所以21t >，由韦达定理可得：12243t y y t -+=+，12213y y t =+AB ===.所以42712270t t --=即23t =或297t =-（舍），所以t =.所以直线l 的方程为20x -=或20x -=.（3）过原点O 作圆M 的切线y kx =，设()00,M x y ，圆的半径为()0r r >，由圆心()00,M x y 到直线0kx y -=的距离等于半径，可得0021y kx r k -=+.即()()222001k r y kx +=-，即()22222000020x r k x y k y r --+-=.（*）由已知OP k ，OQ k 即为方程（*）的两个根，所以由韦达定理可得：22022013OP OQy r k k x r -⋅==--，所以2220034x y r +=.因为()00,M x y 在椭圆上，所以220013x y +=，即220033x y +=.所以234r =，即32r =.所以圆M 的半径为32r =.20．(1)见解析(2)存在，14λ=【分析】（1）根据三角形中位线得线线平行，即可证明线面平行，（2）根据空间向量，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）连接1AC 交1AC 于点O ,由于四边形11ACC A 为矩形，所以O 为1AC 的中点，又点D 是棱BC 的中点，故在1A BC 中，OD 是1A BC 的中位线，因此1//OD A B ,OD ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ,所以1//A B 平面1AC D（2）由1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥可知，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，且底面为直角三角形，故以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系;则()()()()()10,0,0,0,0,2,4,0,0,0,4,0,2,2,0,A A B C D 由()01AM AC λλ=<<得()0,4,0M λ,()()14,0,2,2,2,0A B BD =-=-,设平面1BA D 的法向量为(),,m x y z =，则1420220m A B x z x y m BD⎧⊥-=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⊥⎩⎪⎩，取2z =，得()1,1,2m = ，()()10,4,2,2,42,0A M DM λλ=-=--,设平面1A DM 的法向量为()111,,x n y z =，则()111114202420y z n A Mx y n DMλλ⎧-=⊥⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⊥⎪⎩⎩ ，取12z λ=，得()211,2n λλ=- ，，故1cos ,2m n m n m n ⋅== ，化简得()()2821=04121=0λλλλ+-⇒-+由于01λ<<，所以14λ=，故棱上AC 存在点M ，其中14AM AC = ，即14λ=，使得平面1BAD 与平面1A DM 所成角的大小为60°.21．(1)见解析(2)2m =或3或4【分析】（1）由n a 与n S 的关系得出n a ，再由等差中项的性质得出q （m ）的所有可能值；（2）利用错位相减法得出n T ，再结合不等式的性质得出m 的所有可能值．(1)由11a =及n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列得1n n S nq -=，故121(1),2n n n n n a S S nq n q n ---=-=-- ，且当1n =时亦满足.由12,,m m m a a a ++成等差数列得11212(1)(1)(2)(1)m m m m m mm q mq mq m q m q m q ---+⎡⎤+-=--++-+⎣⎦化简并整理得2(1)[(2)(1)]0q m q m -+--=解得1q =或12m q m -=+，因此，当1m =时，1q =；当2m ≥时，12m q m -=+.(2)当1q =时，34T >，所以12m q m -=+，2m ≥由于1212,2n nn n T q nq qT q q nq-=+++=+++ ()211111n nnnn q T q qqq q n n qq ---=---=++++ 故222211(2)(1)(1)1(1)9n n n q nq m T q q q q +=--<=----从而当4m ≤时，4n T <对任意*n ∈N 恒成立，当5m ≥时，47q ，则2344584443141344777777T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++⨯++=-⨯>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦综上，2m =或3或422．(1)124【分析】（1）联立直线l 与双曲线方程，根据点T 是MN 的中点，列方程求解即可.（2）联立直线l 与双曲线方程，表示出BN 的长，根据点到直线的距离公式表示出三角形的高，从而得到三角形面积表达式，即可求得结果.（1）设()()1122,,,A x y B x y联立直线l 与双曲线方程()221102y k x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()22212412(1)0k x k k x k -----=，由韦达定理可知，()221212222144,1212k k k x x x x k k ---+=⋅=--联立直线l 与其中一条渐近线方程()11y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得2x =即2N x =2M x 则21224412M N k k x x x x k -+==+-，则可知AB 的中点与MN 中点重合.由于()1,1T 是MN 的中点，所以()241212k k k -=-，解得12k =；（2）()11y k x =-+与2212x y -=联立，消去y 得()()22212412(1)20k xk k x k ------=由（1）知，2AB MNBN AM -==.或()12OBN OAB OMN S S S =-由于AB MN =，所以BN =又O到直线的距离d =，所以12OBNS BN d=⋅==整理得2OBN S =令11,12t k ⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则2222212241142(1)k t t k t t t --+-==-+--，当12t =，即12k =时，2212(1)k k --的最大值为2，所以OBN S。

河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题(含答案解析)

河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线10ax y +-=的倾斜角为30°，则=a （）A ．3-B C ．D 2．若a ，b ，c 成等比数列且公比为q ，那么1a ，1b ，1c（）A ．不一定是等比数列B ．一定不是等比数列C ．一定是等比数列，且公比为1qD ．一定是等比数列，且公比为q3．圆221:4240C x y x y +-+-=与圆222:4440C x y x y ++-+=的位置关系为（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．已知四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB a = ，AD b =，c AP = ，则下列向量中与PM相等的向量是（）A ．12a b c+-B ．12a b c+- C ．12a b c--+ D ．12a b c++ 5．已知点(4,0)A -到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线的距离为125，则C 的离心率为（）A ．54B ．53C ．43D ．26．已知1F ，2F 是椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上.当12PF F △的面积最大时，12PF F △的内切圆半径为（）A ．12B C ．1D 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则异面直线AC 与1DC 所成角的余弦值为（）A B C D 8．已知n S 和n T 分别是数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，且满足112n n S a =-，45n b n =-+，若对*n ∀∈N ，使得53(2)n n T S a a -≤+成立，则实数a 的取值范围是（）C ．2a ≤-或4a ≥D ．3a ≤-或1a ≥二、多选题9．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,1,1)P ，(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，则下列说法正确的是（）A ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-B ．若平面α的法向量(2,2,2)n =-，则直线//AB 平面αC ．若PA ，PB分别为平面α，β的法向量，则平面α⊥平面βD ．点P 到直线AB 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()00,M x y 是抛物线C 上一个动点，点(0,2)A ，则下列说法正确的是（）A ．若5MF =，则04y =B ．过点A 与抛物线C 有一个公共点的直线有3条C ．MF MA +D ．点M 到直线30x y -+=的最短距离为11．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，70a >，80a <，6890a a a ++=，则()A ．130S <B ．10a >，0d <C ．780a a +<D ．当7n =时，n S 有最大值12．已知双曲线22:13y C x -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A ，B ，则（）A ．若A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为1B ．若A ，B 同在双曲线右支上，则lC ．AB 的最短长度为6D ．满足8AB =的直线l 有4条三、填空题13．已知直线230x y +-=与直线(3)240a x y --+=平行，则=a ______.14．数列{}n a 的通项公式为()*(1)(21)n n a n n =--∈N ，其前n 项和为n S ，则15S =______.15．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为PC 的中点，则点P 到平面ABD 的距离等于______.16．已知点(2,2)E -和抛物线2:8C x y =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于P ，Q 两点.若90PEQ ∠=︒，则k =______.四、解答题17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过(1,1)A -和()1,3B 两点.(1)求圆C 的方程；(2)过点(3,2)P 的直线l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.18．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，22a b =，135b b a +=(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若{}n a 的前n 项和为n S ，1n n nc b S =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13AA =，M ，N 分别为11A C ，1BB 的中点.(1)求证：//MN 平面1A BC ；(2)求直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且()*132n n n a a n ++=⨯∈N ，2nn n b a =-.(1)计算1b ，2b ，3b 的值，并证明{}n b 是等比数列；(2)记(1)nn n c a =--，求数列{}(23)n n c -⋅的前n 项和n S .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，CD PB ⊥，122PD AD AB BC ====.(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若直线PC 与平面ABCD 所成的角为30°，点E 在线段AP 上，且3PA PE =，求平面PBD 与平面BDE 夹角的余弦值.22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的上顶点到右顶点的距离为3，且过点()2,1P .(1)求椭圆E 的方程；(2)O 为坐标原点，点Q 与点P 关于x 轴对称，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，且满足APQ BPQ ∠=∠，求OAB 面积的最大值.参考答案：1．A【分析】根据方程和倾斜角分别求出直线的斜率，进而得到a 的值.【详解】由已知得直线的斜率tan 30k =︒a=-,∴a =,故选:A.2．C【分析】根据等比数列的定义及等比数列的中项判断.【详解】因为a ，b ，c 成等比数列且公比为q ，所以b q a =，2b ac =，可得211b ac =，111a b b qa ==，由等比数列的中项可判断得1a ，1b ，1c成等比数列，并且公比为1q .故选：C 3．C【分析】将两圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标和半径的长，然后利用圆与圆的位置关系判定.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程得()()221:219C x y -++=;()()222 :224C x y ++-=,可知圆心()12,1C -,()22,2C -,半径123,2r r ==,12125C C r r ==+，故两圆外切，故选：C 4．B【分析】由平面向量的线性运算与基底表示计算可得答案.【详解】如图，因为四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，点M 为BC 中点，所以()1122PM AM AP AB BM AP AB AD AP a b c ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B5．A【分析】利用点到直线的距离公式求得a ,b 的关系，转化为a ,c 的关系，进而得到离心率.【详解】由双曲线的对称性，不妨取双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线0bx ay -=,由已知得125=,即()222925c c a =-,221625c a =,45c a =,54c e a ==,故选：A 6．B【分析】由椭圆方程得到椭圆的焦点坐标，由椭圆的性质得到P 的坐标，由椭圆的定义求得三角形的周长，利用面积法求得内切圆半径.【详解】解：由已知得224,3,2,1,a b a c ==∴==∴()()121,0,1,0F F -,∵点P 在椭圆C 上,当12PF F △的面积最大时，∴点P 到x 轴距离最大，即P 为椭圆的短轴的端点，不妨设P12PF F △周长为222226l c a =+=+⨯=，面积为S设内切圆半径为r ,则S =12rl ,∴r =23S l =,故选B.7．D【分析】设1,,AB a BC b CC c === ，则1,AC a b DC a c =++= ，根据空间向量夹角公式即可求解．【详解】设1,,AB a BC b CC c === ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,60AA A AB A AD =∠=∠=，()()1AC DC a b a c∴⋅=+⋅+ 112cos6011cos9012cos603a a a c b a b c =⋅+⋅+⋅+⋅=+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=，()222221102AC a ba b a b =+=++⋅=++=，()2222121427DC a c a c a c =+=++⋅=++=111cos ,,14AC DC AC DC AC DC ∴=⋅=⋅=异面直线AC 与1DC所成角的余弦值为14，故选：D 8．D【分析】利用和与项的一般关系求得数列{}n a 的递推关系，根据等比数列的定义判定为等比数列，得到通项公式，进而得到113n n S =-，利用等差数列的求和公式得到223nT n n =-+,进而结合二次函数和指数函数的单调性得到不等式左端的最大值，根据不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，求解即得.【详解】由112n n S a =-得111112a S a ==-,∴123a =,()111122n n S a n --=-≥,∴111122n n n n n a S S a a --=-=-,∴()1123n n a a n -=≥,∴数列{}n a 为首项为123a =，公比为13q =的等比数列，∴23n n a =,∴113nn S =-，∵45n b n =-+，∴{}n b 为等差数列，∴()2145232n n T n n n +-+=⨯=-+,21553110133n n n n T n S -=-+-+-,记211()101533n f n n n -=-+-+当n ∈N*时，()f n 为n 的单调递减函数，∴()()max 13f n f ==53(2)n n T S a a -≤+恒成立的充分必要条件是()32a a ≤+,解得3a ≤-或1a ≥，故选：D 9．ACD【分析】根据空间点的对称性判断A ，根据0A n B ⋅≠ 判断B ，根据0PA PB ⋅=判断C ，利用空间向量法求点到直线的距离判断D ；【详解】解：对于A ：因为(1,1,1)P ，所以点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-，故A 正确；对于B ：因为(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，所以()1,1,1AB =--，因为平面α的法向量(2,2,2)n =- ，所以()()12121260AB n =-⨯+⨯-+-⨯=⋅-≠，所以直线AB 与平面α不平行，故B 错误；对于C ：因为()0,1,0PA =- 、()1,0,1PB =-- ，所以0PA PB ⋅= ，因为PA ，PB分别为平面α，β的法向量，所以平面α⊥平面β，故C 正确；对于D ：因为()0,1,0AP = ，()1,1,1AB =-- ，所以1AP AB ⋅=，所以点P 到直线AB的距离d =D 正确；故选：ACD 10．BC【分析】A 选项，利用抛物线定义进行求解04x =，进而求出04y =±；B 选项，与抛物线相切的线有两条，与x 轴平行的有一条；C 选项，利用两点之间线段最短进行求解；D 选项，转化为两平行线之间距离进行求解最短距离.【详解】A 选项，过点M 作MA 垂直抛物线准线=1x -于点B ，根据抛物线定义可知：5MF MB ==，即015x +=，解得：04x =，代入抛物线中得：04y =±，故A 错误；B 选项，过点A 平行于x 轴的直线2y =与抛物线有一个公共点，过点A 的y 轴，与抛物线相切，有一个公共点，当直线斜率存在时，设过点A 的直线方程为2y kx -=，与抛物线联立得：()224440k x k x +-+=，由Δ0=得：12k =，即122y x =+与抛物线相切，只有一个交点，综上：共有3条，B 正确；C 选项，由抛物线方程可知：()1,0F ，连接AF ，与抛物线交于一点，由两点之间，线段最短，可知，此点即为符合要求的M 点，此时MF MA +=，C 正确；D 选项，设与30x y -+=平行且与抛物线相切的直线为:0l x y c -+=，此时直线:0l x y c -+=与抛物线的切点即为M ，则:0l x y c -+=与30x y -+=的距离即为点M 到直线30x y -+=的最短距离d ，联立:0l x y c -+=与抛物线方程得：()22240x c x c +-+=，由()222440c c ∆=--=解得：1c =，故d =D 选项错误.故选：BC 11．BD【分析】由等差数列前n 项和公式即可判断A ；由等差数列的单调性可判断B ；由6890a a a ++=可判断C ；由等差数列前n 项和的性质可判断D.【详解】70a > ，()113137131302a a S a +∴==>，故选项A 错误；70a > ，80a <，10a ∴>，0d <，故选项B 正确；6897880a a a a a a ++=++= ，且80a <，780a a ∴+>，故选项C 错误；由70a >，80a <知，当7n =时，n S 有最大值，故选项D 正确；故选：BD ．12．AD【分析】由双曲线的方程求出,,a b c 的值，A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为c a -可判断A ；求出双曲线的渐近线方程，由直线l 的斜率与渐近线斜率的关系可判断B ，讨论l 的斜率不存在和斜率为0时弦长AB ，即可得AB 的最短长度可判断C ，由l 的斜率不存在和斜率为0时弦长AB ，结合双曲线的对称性可判断D ，进而可得正确选项.【详解】由双曲线22:13y C x -=可得1a =，b =，所以2c ==，对于A ：若A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为211c a -=-=，故选项A 正确；对于B ：双曲线的渐近线方程为：by x a=±=，若A ，B 同在双曲线右支上，则l 的斜B 不正确；对于C ：当A ，B 同在双曲线右支上时，AB x ⊥轴时，AB 最短，将2x =代入2213y x -=可得3=±y ，此时6AB =，当A ，B 在双曲线两支上时，AB 最短为实轴长22a =，所以AB 的最短长度为2，故选项C 不正确；对于D ：当A ，B 同在双曲线右支上时，min 68AB =<，当A ，B 在双曲线两支上时，min 28AB =<，根据双曲线对称性可知：满足8AB =的直线l 有4条，故选项D 正确；故选：AD.13．1-【分析】先利用直线平行的一般式的计算公式代入求解a 的值，然后再将结果分别代入验证两条直线是否平行．【详解】由题意可知，(3)220a -+⨯=，得1a =-，当1a =-时，直线230x y +-=与直线4240x y --+=平行；故答案为：1-．14．15-【分析】根据解析式，分别求得奇数项和与偶数项和，综合即可得答案.【详解】由题意得1351,5,9a a a =-=-=-⋅⋅⋅，即奇数项为首项为-1，公差为-4的等差数列，所以1315878(1)(4)1202a a a ⨯++⋅⋅⋅+=⨯-+⨯-=-，2463,7,11a a a ===⋅⋅⋅，即偶数项为首项为3，公差为4的等差数列，所以2414767341052a a a ⨯++⋅⋅⋅+=⨯+⨯=，所以15121512010515S a a a =++⋅⋅⋅+=-+=-.故答案为：15-15【分析】根据线面垂直的性质定理，可证,PA AB PA BC ⊥⊥，即可求得各个边长、面积，利用等体积法，即可求得答案.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA BC ⊥⊥，所以在Rt PAB 中，12222PAB S =⨯⨯= ，在Rt ABC 中，2222AC AB AC =+=，在Rt PAC △中，2223PC PA AC =+=，因为D 为PC 中点，所以132AD BD PC ===，所以2211222ABDS AB BD AB ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，因为,BC AB BC PA ⊥⊥，所以BC ⊥平面PAB ，所以C 到平面PAB 的距离即为BC =2，因为D 为PC 的中点，所以D 到平面PAB 的距离即为112BC =，设P 到平面ABD 的距离为h ，因为P ABD D PAB V V --=，所以11133ABD PAB S h S ⨯⨯=⨯⨯ ，解得2h =，所以点P 到平面ABD 的距离等于2.故答案为：216．12##0.5【分析】设出直线方程，联立后用韦达定理得到两根之和，两根之积，根据垂直得到斜率的等量关系，代入后求得结果.【详解】设直线:2PQ y kx -=，与2:8C x y =联立得：28160x kx --=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则128x x k +=，1216x x =-，因为90PEQ ∠=︒，所以1PE QE k k ⋅=-，即121222122y y x x ++⋅=---，整理得：()()()21212142200kx x k x x ++-++=，即()2210k -=，解得：12k =.故答案为：1217．(1)22(2)10x y -+=(2)3x =或3410x y --=【分析】（１）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据已知条件列出方程组求解即得；（２）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0,220,3100,E D E F D E F ⎧-=⎪⎪-+++=⎨⎪+++=⎪⎩解得4,0,6.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆C 的方程为22460x y x +--=，即()22210x y -+=.（2）因为直线l 被圆C 截得的弦长为6，所以圆心到直线l的距离1d ==.当l 的斜率不存在时，直线l 方程为3x =，符合题意.当l 的斜率存在时，设直线l 方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=则1d ==.解得34k =.此时直线l 方程为()3234y x -=-，即3410x y --=.综上所述，直线l 的方程为3x =或3410x y --=.18．(1)2n a n =，2nn b =(2)11211n n T n +=--+【分析】（1）列式计算等差数列的公差d 与等比数列的公比q ，从而写出通项公式；（2）计算n S ，从而表示出1nS ，利用分组求和法与裂项相消法求和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则22222224d qd q q d +=⎧⇒==⎨+=+⎩.所以2n a n =，2n n b =.（2）(22)(1)2n n n S n n +==+，则1111(1)1n S n n n n ==-++，()2121211111111......1...(22...2)2231nn n n T b b b S S S n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭⎝⎭1112211211121n n n n ++-=-+=--+-+.19．(1)证明见解析(2)310【分析】（1）取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，通过证明平面MNE //平面1A BC 可得结论；（2）取AB 中点O ，11A B 中点1O ，连接OC ，1OO ，以OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，利用向量法求直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，M ，E 分别为11A C ，1CC 的中点，1ME //AC ∴.又ME ⊄ 平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，ME //∴平面1A BC .又N Q ，E 分别为1BB ，1CC 的中点，NE //BC ∴，又NE ⊄ 平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，NE //∴平面1A BC .又ME NE E ⋂= ，∴平面MNE //平面1A BC .又MN ⊂ 平面MNE ，MN //∴平面1A BC .（2）取AB 中点O ，11A B 中点1O ，连接OC ，1OO .ABC 是边长为2的正三角形，.OC AB ∴⊥.以OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz则()3,0C ，()11,0,3A -，()1,0,0B ，31,0,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3,0CB =- ，()1132,0,3,2,0,2BA A N ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 设平面1A BC 的法向量(),,n x y z =，由100CB n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30230x x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，取()3,2n = 设直线1A N 与平面1A BC 所成的角为θ，则11133sin cos ,51042n A N n A N n A N θ⋅====⨯∴直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值为310.20．(1)11b =-，21b =，31b =-，证明见解析(2)1(25)210n n S n +=-⨯+【分析】（1）由132n n n a a ++=⨯，分别计算出23,a a ，可得1b ，2b ，3b ，132nn n a a ++=⨯转化得()1122n n n n a a ++-=--，即1n n b b +=-，即可证明数列{}n b 是等比数列；（2）写出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法求和.【详解】（1）在132n n n a a ++=⨯中，令1n =得，126a a +=，2165a a ∴=-=.同理可得，37a =.1121b a ∴=-=-，22221b a =-=，33321b a =-=-.由132nn n a a ++=⨯得，()1122n n n n a a ++-=--，即1n n b b +=-，又110b =-≠ ，{}n b ∴是以1-为首项，1-为公比的等比数列.（2）由（1）可知，(1)n n b =-，2(1)2n n nn n a b =+=-+.则(1)2n nn n c a =--=.23(1)21232(23)2n n S n =-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，23412(1)21232(23)2n n S n +=-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，上述两式相减，得()23122222(23)2n n n S n +-=-+++⋅⋅⋅+--⨯2112222(23)212n n n ++-=-+⨯--⨯-1(25)210n n +=--⨯-1(25)210n n S n +∴=-⨯+【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．21．(1)证明见解析【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得CD ⊥平面PBD ,得到CD PD ⊥,然后，根据已知条件，利用面面垂直的性质定理证得结论；（2）以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量的坐标运算求解.【详解】（1）（1）证明：取BC 中点F ，连接DF .//AD BF ，且AD BF =，∴四边形ABFD 为平行四边形.则12DF AB BC ==，于是CD BD ⊥.又CD PB ⊥ ，PB BD B ⋂=，CD ∴⊥平面PBD .又PD ⊂ 平面PBD ，CD PD ∴⊥.又平面PCD ⊥平面ABCD 且交线为CD ，PD ∴⊥平面ABCD .（2）（2）PD ⊥ 平面ABCD .PCD ∴∠即为直线PC 与平面ABCD 所成的角，30PCD ∴∠=︒.又2PD =，CD AF ∴==2BD =.以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0B，()1,A ，()0,0,2P.()1,2PA =- ，()2,0,0DB =，()0,0,2DP =.3PA PE = ，()()11140,0,21,2,,33333DE DP PA ⎛⎫∴=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(),,n x y z =，由0,0,DB n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,140,333x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩取(0,n = .由（1）可知，DC ⊥平面PBD ，所以平面PBD的法向量()0,DC =,19DC n cos DC n DC n ⋅∴〈〉==.∴平面PBD 与平面BDE.【点睛】22．(1)22163x y +=(2)2【分析】（1）根据椭圆经过的点及上顶点到右顶点的距离，求出,a b ，得到椭圆方程；（2）设出直线AB 方程，联立后用韦达定理，根据角度相等，转化为斜率之和为0，列出方程，求出k ，求出弦长，表达出面积，求出面积最大值.【详解】（1）由已知可得，22229,411,a b ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得226,3.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆E 的方程为22163x y +=.（2）依题意，直线AB 斜率一定存在，设AB 方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()222124260k x kmx m +++-=，()()2222Δ16412260k m k m=-+->，得22630k m -+>，122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+.APQ BPQ ∠=∠ ，0PA PB k k ∴+=，121211022y y x x --∴+=--.()()()()211221210x y x y ∴--+--=，()()()()211221210x kx m x kx m ∴-+-+-+-=.()()()1212.221410kx x m k x x m ∴+--+--=.()()()2222264214101212k m km m k m kk---∴---=++.化简得，22310k k km m -++-=，即()()1210k k m -+-=1k ∴=或12m k =-.将12m k =-代入y kx m =+中，得()12y k x -=-，即直线AB 经过点P ，不合题意，所以12m k =-舍去，AB 分别位于PQ 的两侧，31m ∴-<<-，且1243m x x +=-，212263m x x -=.12AB x =-==O 到AB 的距离d =OAB ∴ 的面积为()22911222m m S AB d +-=⨯⨯=⨯=当且仅当229m m =-，即m =.OAB ∴ 面积的最大值为2.【点睛】对于圆锥曲线求解弦长，面积等最值问题，通常情况下，要设出直线方程，联立后利用韦达定理，求出弦长，表达出面积，再最后求解最值时，要结合代数式的特征，选择合适的方法，比如基本不等式，换元法，转化为二次函数求最值等.。

2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题2(含解析)

2023-2024学年吉林省长春市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．一条直线过原点和点()1,1P -，则这条直线的倾斜角是（）A ．4πB ．4π-C ．34πD ．74π【正确答案】C求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.【详解】设这条件直线的倾斜角为θ，则10tan 110θ--==--，0θπ≤<，因此，34πθ=.故选：C.2．抛物线22y x =的准线方程是（）A ．12x =-B ．18x =-C ．18y =-D ．12y =-【正确答案】C【分析】依题意将抛物线化为标准式，即可求出抛物线的准线；【详解】解：因为抛物线方程为22y x =，即212x y =，所以122p =，即14p =，所以抛物线的准线为18y =-故选：C3．已知椭圆C 的焦点1F ，2F 在x 轴上，过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若2ABF △周长为8，则椭圆C 的标准方程可能为（）A ．2211615x y +=B ．22187x y +=C ．22143x y +=D ．22134x y +=【正确答案】C【分析】由椭圆的定义可得2ABF △的周长为48a =，然后可选出答案.【详解】由椭圆的定义可得2ABF △的周长为48a =所以2a =因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆C 的标准方程可能为22143x y+=故选：C4．已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与9a 方程28200x x --=的两个实根，则11S =（）A ．46B ．44C ．42D ．40【正确答案】B【分析】利用等差数列的性质和前n 项和公式即可求解.【详解】因为3a 与9a 方程28200x x --=的两个实根，所以398a a +=.由等差数列{}n a 的性质可得：119138a a a a +=+=，所以()1111111442a a S +⨯==.故选：B5．经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线方程为（）A ．2320x y ++=B ．3220x y +-=C ．2320x y -+=D ．2320x y +-=【正确答案】D联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.【详解】由231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩因为所求直线与直线3240x y -+=垂直所以所求直线方程：2x +3y ＋c ＝0,代入点(2,2)-可得2c =-，所以所求直线方程为2320x y +-=故选：D方法点睛：本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定.6．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a = ，()76,b a a = ，且4a b ⋅= ，则2122210log log log (a a a ++⋯+=)A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【正确答案】C【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．【详解】向量a ＝4a 5a ，b ＝7a 6a ，且a •b＝4，∴47a a +56a a ＝4，由等比数列的性质可得：110a a ＝……＝47a a ＝56a a ＝2，则2122210log log log a a a +++=log 2（12a a 10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选C ．本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．7．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（）lg 20.3≈lg3.80.6≈A ．40B ．41C ．42D ．43【正确答案】C设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n ≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=，所以至少对折的次数n 是42，故选：C关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.8．圆22:890C x y x ++-=上有四个点到双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线的距离为2，则双曲线E 的离心率的取值范围是（）．A ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．7⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】易得双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=和圆的圆心()4,0-，半径为5，根据圆C 上有四个点到0bx ay -=的距离为2，由圆心()4,0-到0bx ay -=的距离523d <-=求解.【详解】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:890C x y x ++-=，圆心()4,0-，半径为5，因为圆C 上有四个点到0bx ay -=的距离为2，所以圆心()4,0-到0bx ay -=的距离523d <-=3<，而222+=a b c ，所以22167c a <，即17e <<故选：C二、多选题9．下列结论中，正确的是（）A ．sincos33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()21f x x =，则()2327f '=-C ．()x xe e '=D ．()41log ln 4x x '=【正确答案】BCD【分析】根据初等函数的导数逐一判断即可.【详解】A ：因为sin32π=，所以'sin 03π⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本选项不正确；B ：由()()231'2f x f x x x =⇒=-，所以()2'327f =-，因此本选项正确；C ：因为()'x xe e =，所以本选项正确；D ：因为()41log 'ln 4x x =，所以本选项正确，故选：BCD10．已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，下列说法正确的是（）A ．若A =B =1，则C 是圆B ．若A =B =0，220D E +>，则C 是直线C ．若A ≠0，B =0，则C 是抛物线D ．若AB <0，D =E =0，0F ≠，则C 是双曲线【正确答案】BD【分析】对于A ：当A =B =1时，则曲线22:0C x y Dx Ey F ++++=，分22+40D E F -=，22+4>0D E F -，22+40D E F -<，分别讨论可判断；对于B ：当A =B =0，则:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，可判断；对于C ：当A ≠0，B =0，则2:0C Ax Dx Ey F +++=，分0E =，0E ≠，讨论可判断；对于D ：当AB <0，D =E =0，0F ≠，则22:0C Ax By F ++=由此可判断.【详解】已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，对于A ：当A =B =1时，则曲线22:0C x y Dx Ey F ++++=，若22+40D E F -=，则C 是点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；若22+4>0D E F -，则C 是圆；若22+40D E F -<，则C 不存在，故A 不正确；对于B ：当A =B =0，则:0C Dx Ey F ++=，且220D E +>，则C 是直线，故B 正确；对于C ：当A ≠0，B =0，则2:0C Ax Dx Ey F +++=，若0E =，则2:0C Ax Dx F ++=表示一元二次方程，若0E ≠，则2:+0C Ax Dx Ex F ++=表示抛物线，故C 不正确，对于D ：当AB <0，D =E =0，0F ≠，则22:0C Ax By F ++=表示双曲线，故D 正确，故选：BD.11．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（）A ．d ＜0B ．10a <C ．当n ＝5时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【正确答案】BD【分析】利用等差数列基本量计算以及等差数列前n 项和公式进行判断.【详解】A ：因为数列递增，故0d >，故A 错；B ：因为753a a =，根据基本量展开，即130a d +=，因为0d >，所以10a <，故B 正确；C ：由130a d +=可知40a =，所以前3项均为负数，故n S 最小时，n 为3或4.故C 错；D ：()17747702a a S a +===，()()188458402a a S a a +==+>，故当0n S >时，n 最小值为8.故选：BD12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为12，焦距为20，左、右焦点分别为12,F F ，下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的离心率为53B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x=±C ．2F 到一条渐近线的距离是8D ．过2F 的最短弦长为643【正确答案】AC【分析】依题意可知6a =，10c =，8b =，进而由双曲线的几何性质可依次做出判断.【详解】依题意可知6a =，10c =，所以8b =.离心率53c e a==，故A 正确；渐近线方程为43y x =±，故B 错误；2(10,0)F ，不妨设渐近线为430x y +=，则2F 到渐近线的距离8d =，故C 正确；过2F 的最短弦长为212a =，故D 错误.故选：AC.三、填空题13．已知F 为椭圆22143x y +=的左焦点，P 为椭圆上一点，则PF 的取值范围为_________．【正确答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标，由两点间的距离公式求出||PF ，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.【详解】由题意，()1,0F -，设(),P x y ，则2222313434x y y x +=⇒=-，所以1|||4|2PF x ==+，因为22x -≤≤，所以||PF 的范围是[]1,3.故答案为.[]1,314．函数()2ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________.【正确答案】320x y --=【分析】求出切点和斜率，代入点斜式即可求出结果.【详解】因为()2ln f x x x =+，所以()11=f ，()1'2f x x x=+，()'1213f =+=所以切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=故320x y --=本题考查的是导数的几何意义，考查了运算求解能力，属于一般题目.15．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为________.【正确答案】6【分析】根据等比中项的性质求得m ，由此对m 进行分类讨论，求得圆锥曲线221xy m+=的离心率.【详解】由于实数4,,9m 成等比数列，所以24936m =⨯=，所以6m =±.当6m =时，2216x y +=为椭圆，6c a c a ===.当6m =-时，2216x y +=-为双曲线，1,1a b c =====.所以锥曲线221x y m +=的离心率为6本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.16．已知双曲线2222:1,-=x y C a b且圆22(2):1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点.若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为____________.【正确答案】2213x y -=【分析】由已知可得双曲线右焦点坐标为(2,0)，再由圆心到渐近线的距离为1，得到,a b 关系，结合2c =，即可求解.【详解】∵2224c a b =⇒+=.①取渐近线0bx ay -=，2213a b =⇒=.②由①②可得23a =，21b =，∴双曲线C 的方程为2213x y -=.故答案为:2213x y -=.本题以圆为背景，考查双曲线的性质，考查计算求解能力，属于基础题.四、解答题17．等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.(1)求{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)22n a n =+；23n S n n=+(2)224n n T +=-【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解即可；（2）根据条件算出14,2b q ==，再由等比数列的前n 项和公式求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1210a a +=，432a a -=可得，1110,2a a d d ++==，解得：14,2a d ==，可得：()42122n a n n =+-=+，()()12422322n n n a a n n S n n +++===+.（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由足23b a =，37b a =，可得：18b q ⋅=，2116b q ⋅=，解得：14,2b q ==，则数列{}n b 的前n 项和n T 为.()24122412n n n T +-==--18．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=．(1)当直线l 与圆C 相交，求a 的取值范围；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程．【正确答案】(1)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；(2)20x y -+=或7140x y -+=.【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用几何法可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围；（2）根据勾股定理求出圆心到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于实数a 的值，即可求出直线l 的方程.【详解】（1）解：圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心为()0,4C ，半径为2r =，因为直线l 与圆C 2<，解得34a <-.（2）解：因为AB =，则圆心C 到直线l 的距离为d由点到直线的距离公式可得d =2870a a ++=，解得1a =-或7-.所以，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=.19．已知抛物线C ：24y x =，坐标原点为O ，焦点为F ，直线l ：1y kx =+．（1）若l 与C 只有一个公共点，求k 的值；（2）过点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点，求OAB 的面积．【正确答案】（1）1或0；（2）【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由0k =或0∆=即可求解；（2）求出抛物线的焦点坐标，即可得直线方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与抛物线方程，根据121||||2OABSOF y y =⋅-及韦达定理即可求解；【详解】解：（1）依题意214y kx y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2114y ky =+，即2440ky y -+=，①当0k =时，显然方程只有一个解，满足条件；②当0k ≠时，2(4)440k ∆=--⨯=，解得1k =；综上，当1k =或0k =时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线C ：24y x =，所以焦点(1,0)F ，所以直线方程为1y x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得2440y y --=，所以124y y +=，124y y =-，所以12||y y -==所以1211||||122OABSOF y y =⋅-=⨯⨯=20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，239n n S a =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 【正确答案】(1)()13N n n a n +*=∈(2)24n nT n =+【分析】（1）根据数列公式11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，结合已知得出19a =与()132n n a n a -=≥，即可根据等比数列定义得出答案；（2）根据对数运算结合小问1通项得出1n b n =+，再得出数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可利用裂项相消法得出答案.【详解】（1）由题意得，当1n =时，1112239S a a ==-，解得19a =，当2n ≥时，由239n n S a =-可得，11239n n S a --=-，两式相减并整理得：13n n a a -=，故数列{}n a 是首项为9，公比为3的等比数列，则数列{}n a 的通项公式为.()11933n n n a n -+*=⨯=∈N （2）由小问1知：133log log 31n n n b a n +===+，则()()111111212n n b b n n n n +==-++++，则12231111n n n T b b b b b b +=+++，111111233412n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1122n =-+，24n n =+.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求C 的方程；（2）记C 的左顶点为M ，上顶点为N ，点A 是C 上在第四象限的点，AM ，AN 分别与y 轴，x 轴交于P ，Q 两点，试探究四边形MNQP 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【正确答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值【分析】（1）利用代入法进行求解即可；（2）根据直线二点式方程，结合四边形的面积表达式，通过数学运算进行求解判断即可.【详解】解：（1）依题意，2222191,41451,416a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,3a b ==，故C 的方程为22143x y +=.（2）是定值.理由如下：依题意，(2,0),M N -，设()00,A x y ，则22003412x y +=，所以直线0002:02y x AM y x -+=-+，令0020,2P y x y x ==+，则0000022||22P y y NP y x x +===++；直线000x AN x -=-，令0,Q y x =.则22Q MQ x =+=又易知NP MQ ⊥，所以四边形MNQP 的面积为1||||2S NP MQ =⋅012=00002x y y +-=所以四边形MNQP 的面积为关键点睛：根据四边形的面积表达式，通过熟练的数学运算求解是解题的关键.。

【易错题】高二数学上期末模拟试题(附答案)

【易错题】高二数学上期末模拟试题(附答案)一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．执行如图的程序框图，若输入1t =-，则输出t 的值等于( )A ．3B ．5C ．7D ．153．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A ．116B ．18 C ．38D ．3164．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？5．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（） A ．112B ．12C ．13D ．166．高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（） A ．31号B ．32号C ．33号D ．34号7．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 8．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12 C ．1D ．329．如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为( )A ．3.1B ．3.2C ．3.3D ．3.410．执行如图所示的程序框图，若输入x =9，则循环体执行的次数为（）A ．1次B ．2次C ．3次D ．4次11．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（）A ．10B ．17C ．19D ．3612．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取______人.14．执行如图所示的程序框图，若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______．15．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是________．16．运行如图所示的程序框图，则输出的所有y 值之和为___________．17．在[0,1]上随机取两个实数,a b ，则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为________． 18．如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )A ．12B ．2C ．1-D ．12-19．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为 __________．20．已知AOB ∆中，60AOB ∠=o ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则AOC ∆为锐角三角形的概率_________．三、解答题21．某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．（1）求出x ，y 的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率． 22．在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．甲镇有基层干部60人，乙镇有基层干部60人，丙镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从甲、乙、丙三镇共选20名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成[)5,15，[)15,25，[)25,35，[)35,45，[]45,555组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这20人中有多少人来自丙镇，并估计甲、乙、丙三镇的基层干部走访贫困户户数的中位数（精确到整数位）；（2）如果把走访贫困户达到或超过35户视为工作出色，求选出的20名基层干部中工作出色的人数，并从中选2人做交流发言，求这2人中至少有一人走访的贫困户在[]45,55的概率．23．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI )，数据统计如下：空气质量指数(3/g m μ)0-50 51-100 101-150 151-200 201-250 空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,n m 的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别为51-100和151-200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气都为良”发生的概率.24．“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：cm ），经统计，树苗的高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm 的为优质树苗.（1）求图中a 的值；（2）已知所抽取的这120株树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如列联表：A 试验区B 试验区合计优质树苗20非优质树苗 60合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由；（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .附：参考公式与参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()20P K k …0.010 0.005 0.001 0k6.6357.87910.82825．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）26．设关于x 的一元二次方程2220x bx a -+=，其中,a b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率. （1）若随机数,{1,2,3,4}a b ∈；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的一个数，b 是从区间[1,3]中任取的一个数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ，平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．C解析：C 【解析】【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<，不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.3．B解析：B 【解析】【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a ，则七巧板所在正方形的边长为22a ，由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =，故选：B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．B解析：B 【解析】【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.5．C解析：C 【解析】【分析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．C解析：C【解析】【分析】根据系统抽样知，组距为604=15÷，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号.【详解】学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为604=15÷，已知03号，18号被抽取，所以应该抽取181533+=号，故选C.【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.7．C解析：C【解析】【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】 Q A ()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦ Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<< 故选：C【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键8．D解析：D【解析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，可得2tancos 43ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭，因为112>-，所以，113111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.9．B解析：B【解析】【分析】由圆的面积公式得：S π=圆，由正方形的面积公式得：4S =正，由几何概型中的面积型结合随机模拟试验可得：7951000S S =圆正，得解．【详解】由圆的面积公式得：S π=圆，由正方形的面积公式得：4S =正，由几何概型中的面积型可得：7951000S S =圆正，所以7954 3.21000π⨯=≈，故选：B ．本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．10．C解析：C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】9,5x y ==，41y x -=>；115,3x y ==，413y x -=>； 1129,39x y ==，419y x -=<；结束. 故选：C .【点睛】本题考查了程序框图的循环次数，意在考查学生的理解能力和计算能力.11．C解析：C【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：235919S =+++=，故选C ．考点：程序框图．12．A解析：A【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P -=＝．故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．40【解析】【分析】设应从B 校抽取n 人利用分层抽样的性质列出方程组能求出结果【详解】设应从B 校抽取n 人某市有ABC 三所学校各校有高三文科学生分别为650人500人350人在三月进行全市联考后准备用分解析：40【解析】【分析】设应从B 校抽取n 人，利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果．【详解】设应从B 校抽取n 人，Q 某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，120n 650500350500∴=++，解得n 40=．故答案为：40．【点睛】本题考查应从B 校学生中抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．5【解析】【分析】模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的的值当时根据题意退出循环输出结果【详解】模拟执行程序框图可得；；；；此时退出循环输出结果故答案为5【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题涉及到解析：5【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,s k 的值，当5,58s k ==时，根据题意，退出循环，输出结果.【详解】模拟执行程序框图，可得 1,7S k ==；771,688s k =⋅==；763,5874s k =⋅==；355,5468s k =⋅==；此时，57810<，退出循环，输出结果，故答案为5.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算循环结构程序框图输出结果的问题，属于简单题目.15．3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值根据输出的值为10分别求出当时和当时的值即可【详解】由程序语句知：算法的功能是求的值当时解得(或不合題意舍去)；当时解得舍去综上的值为3故答案为3【解析：3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值，根据输出的值为10 ,分别求出当3x <时和当3x ≥时的x 值即可.【详解】由程序语句知：算法的功能是求22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值，当3x ≥时，2110y x =+=，解得3x =(或3- ,不合題意舍去)；当3x <时，210y x ==,解得5x = ,舍去，综上，x 的值为3，故答案为3 .【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.16．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到所有输出的的值然后求和即可【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；退出循环可得所有值解析：10【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到所有输出的y 的值,然后求和即可.【详解】输入2n =-，第一次循环，8,1y n ==-；第二次循环，3,0y n ==；第三次循环，0,1y n ==；第四次循环，1,2y n =-=；退出循环，可得所有y 值之和为830110++-=，故答案为10.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率【详解】根据题意画出不等式组表示的平面区域如图所示在上随机取两个实数则满足不等式的概率为故答案为【点睛】本题主解析：4π 【解析】【分析】画出不等式组2201011a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率.【详解】根据题意，画出不等式组2201011a b a b ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，如图所示，在[]0,1上随机取两个实数,a b ，则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为2211414P ππ⨯==，故答案为4π. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 18．A 【解析】【分析】模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的k 的值当k=2012时不满足条件退出循环输出的值为【详解】模拟执行程序框图可得满足条件满足条件满足条件满足条件由此可见S 的周期为3故当k=20解析：A【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当k=2012时不满足条件2011k ≤ ，退出循环，输出S 的值为12. 【详解】模拟执行程序框图，可得2,1S k ==满足条件2011k ≤，1,22S k ==，满足条件2011k ≤，1,3S k =-=，满足条件2011k ≤，2,4S k ==，满足条件2011k ≤，1,52S k ，== 由此可见S 的周期为3，20113670...1,÷= 故当k=2012时不满足条件2011k ≤ ，退出循环，输出S 的值为12. 故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 19．【解析】分析：设爸爸到家时间为快递员到达时间为则可以看作平面中的点分析可得全部结果所构成的区域及其面积所求事件所构成的区域及其面积由几何概型公式计算可得答案详解：设爸爸到家时间为快递员到达时间为以横解析：18【解析】分析：设爸爸到家时间为x ，快递员到达时间为y ，则(,)x y 可以看作平面中的点，分析可得全部结果所构成的区域及其面积，所求事件所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案.详解：设爸爸到家时间为x ，快递员到达时间为y ，以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：根据题意，所有基本事件构成的平面区域为 5.5 6.5(,)|67x x y y ⎧⎫≤≤⎧⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭，面积=1S ，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为 5.5 6.5(,)|670x x y y x y ⎧⎫≤≤⎧⎪⎪⎪≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭，直线=0x y -与直线=6.5x 和y=6交点坐标分别为(6,6)和(6.5,6.5)，2111==228S ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭阴影由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：1=8S P S =阴影. 故答案为18. 点睛：本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出x 、y ，将(,)x y 基本事件和所求事件在平面直角坐标系中表示出来.20．6【解析】如图过点作垂线垂足为在中故；过点作垂线与因则结合图形可知：当点位于线段上时为锐角三角形所以由几何概型的计算公式可得其概率应填答案点睛：本题的涉及到的知识点是几何概型的计算问题解答时充分借助解析：6【解析】如图，过点A 作OB 垂线，垂足为H ，在AOB ∆中，60AOB ∠=o ，2OA =，故1OH =；过点A 作OA 垂线，与OB 交于点D ，因60AOB ∠=o ，则4,3OD DH ==，结合图形可知：当点C 位于线段DH 上时，AOC ∆为锐角三角形，所以3,5d HD D OB ====，由几何概型的计算公式可得其概率30.65d P D ===，应填答案0.6．点睛：本题的涉及到的知识点是几何概型的计算问题．解答时充分借助题设条件，运用解直角三角形的有关知识，分别算出几何概型中的3,5d HD D OB ====，然后运用几何概型的计算公式求出其概率为30.65d P D ===．三、解答题21．（1）甲班参加；（2）710P =．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）由题意知求出x=5，y=6．从而求出乙班学生的平均数为83，分别求出S 12和S 22，根据甲、乙两班的平均数相等，甲班的方差小，得到应该选派甲班的学生参加决赛．（2）成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率．试题解析：（1）甲班的平均分为，易知6y =．2127.2S =；又乙班的平均分为283x =，∴2257.2S =；∵12x x =，2212S S <，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．（2）85分及以上甲班有2人，设为,a b ；乙班有人，设为，从这5人中抽取2人的选法有：,,,,,,,,,ab ax ay az bx by bz xy xz yz ，共10种，其中甲班至少有名学生的选法有7种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为710P =．考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．茎叶图． 22．（1）28（2）35 【解析】【分析】（1）按照比例得出这20人中来自丙镇的人数，利用频率直方图求中位数的方法求解即可；（2）按照比例得出走访户数在[)35,45，[]45,55的人数，列举出6人中抽取2人的所有情况，再由古典概型概率公式计算即可.【详解】解：（1）20人中来自丙镇的有80208606080⨯=++人． ∵()0.0150.025100.40.5+⨯=<，0.40.030100.70.5+⨯=>∴估计中位数[)25,35x ∈． ()250.0300.1x -⨯=∴28.3328x ≈≈（2）20名基层干部中工作出色的人数为()0.0200.01010206+⨯⨯=其中，走访户数在[)35,45的有0.210204⨯⨯=人，设为a ，b ，c ，d走访户数在[]45,55的有0.110202⨯⨯=人，设为e ，f从6人中抽取2人有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f (),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15种其中2人走访贫困户都在[)35,45的有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6种．故所求概率1563155P -==．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图计算中位数以及古典概型概率公式计算概率，属于中档题.23．(1)答案见解析；(2)35. 【解析】【试题分析】（1）借助题设中提供的频率分布直方图，算出0-50的频率为0.004500.2⨯=，进而求出样本容量200.2100n =÷=，从而求出25m =，最后完成频率分布直方图；（2）先运用分层抽样的方法求出空气质量指数为51-100和151200-的监测天数中分别抽取4天和1天，即将空气质量指数为51-100的4天分别记为,,,a b c d ；将空气质量指数为151-200的1天记为e ，算出从中任取2天的基本事件数为10种和其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件数为6种，进而算得事件A “两天都为良”发生的概率是()63105P A ==： (1)由频率分布直方图可知0-50的频率为0.004500.2⨯=，所以200.2100n =÷=，从而25m =，频率分布直方图补充如下图所示.(2)在空气质量指数为51-100和151200-的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为51-100的4天分别记为,,,a b c d ；将空气质量指数为151-200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种.其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d 共6种，所以事件A “两天都为良”发生的概率是()63105P A ==. 24．（1）0.025a =；（2）列联表见解析，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系；（3）分布列见解析，()1E X = 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）和为1可求得a ；（2）由频率分布直方图求出优质树苗和非优质树苗的株数后可填写列联表，求出2K 后知有无关系；（3）由（2）知这批树苗为优质树苗的概率为3011204=，X 的可能取值为0，1，2，3，4， X 服从二项分布，即1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算出各概率，得分布列，根据期望公式计算出期望．【详解】（1）根据频率分布直方图数据，有2(22a a ⨯⨯++0.1020.20)1⨯+=，解得：0.025a =.（2）根据频率分布直方图可知，样本中优质树苗棵树有120(0.1020.0252)30⨯⨯+⨯= 列联表如下：可得；2120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.310.8287=<< 所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系注：也可由22120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.28610.8287=≈<得出结论（3）用样本估计总体，由题意，这批树苗为优质树苗的概率为3011204=X 的可能取值为0，1，2，3，4，由题意知：X 服从二项分布，即1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭4413()44kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1,2,3,4)k =即：04041381(0)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；13141327(1)4464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 22241327(2)44128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3134133(3)4464P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4044131(4)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X ∴的分布列为：X0 1 2 3P812562764 27128 364∴数学期望为()414E X =⨯= （或812727()01225664128E X =⨯+⨯+⨯3134164256+⨯+⨯=）. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验，考查二项分布和期望，正确认识频率分布直方图是解题基础．25．（1）0.9；（2）0.085a =，0.125b =；（3）第4组. 【解析】试题分析：（1）由频率分布表知，100人中有10人阅读时间不少于12小时，所以由对立事件的概率计算公式得p=；（2）由频率分表知，阅读时间在[4，6）的共17人，所以样本落在该组的概率为0．17，则频率分布直方图中样本落在[4，6）的小矩形的面积为0．17，从而求出矩形的高即a 的值，同理得到b 的值；（3）可以通过频率分布表或频率分布直方图求出平均数即可知平均数在那一组．试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是；（2）课外阅读时间落在[4，6）的有17人，频率为0．17，所以，课外阅读时间落在[8，10）的有25人，频率为0．25，所以，。

【典型题】高二数学上期末模拟试题(带答案)

【典型题】高二数学上期末模拟试题(带答案)一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.044．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．95．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？6．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元7．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（） A ．13B ．47C ．23D ．568．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为()sin sin αα，()cos sin αα，()sin cos αα，其中,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，则输出的x 为( )A ．()cos cos ααB ．()sin sin ααC ．()cos sin ααD ．()sin cos αα9．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（） A ．310B ．25C ．12D ．3510．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A ．136B ．118C ．112D ．1911．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变12．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．15．小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于14，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于12，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______.(豆子大小可忽略不计)16．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S的值为____．17．根据如图所示算法流程图，则输出S的值是__．18．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为______．19．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题21．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181Q 表示2018年第一季度，以此类推）：季度 20181Q 20182Q 20183Q 20184Q 20191Q季度编号x 1 2345销售额y （百万元）4656 67 86 96（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司20193Q 的销售额.附：线性回归方程：y bx a =+$$$其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 参考数据：511183i ii x y==∑.22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.23．A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）24．某单位为了解其后勤部门的服务情况，随机访问了40名其他部门的员工，根据这40名员工对后勤部门的评分情况，绘制了频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（1）求a 的值；（2）估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的中位数；（3）以评分在[)40,60的受访者中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤部门评分在[)40,50内的概率.25．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p 的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星读书之星总计男女 10 55 总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82826．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表：组号分组频率第1组 [)160,1650.05 第2组[)165,1700.35第3组 [)170,175①第4组 [)175,180 0.20 第5组[]180,1850.10()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ，平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．C解析：C 【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等．【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.3．C解析：C 【解析】【分析】【详解】因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C.考点：残差的有关计算.4．C解析：C 【解析】分析：执行程序框图，得到输出值4k S =，令24k=，可得8k =. 详解：阅读程序框图，初始化数值1,n S k ==，循环结果执行如下：第一次：14n =<成立，2,22k k n S k ==-=；第二次：24n =<成立，3,263k k k n S ==-=；第三次：34n =<成立，4,3124k k k n S ==-=；第四次：44n =<不成立，输出24kS ==，解得8k =. 故选C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.5．B解析：B 【解析】【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.6．C解析：C 【解析】【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=，样本点的中心的坐标为()2,22，代入ˆˆa yb x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得6.56948(y =⨯+=万元)．故选：C ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．7．B解析：B 【解析】【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解．【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ．【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.8．C解析：C 【解析】【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可. 【详解】由程序框图可知a 、b 、c 中的最大数用变量x 表示并输出， ∵,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭∴0cos α12sin α<<<<，又()y xsin α=在R 上为减函数，y sin x α=在()0∞+，上为增函数， ∴()sin sin αα＜()cos sin αα，()sin cos αα＜()sin sin αα故最大值为()cos sin αα，输出的x 为()cos sin αα故选：C 【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．9．D解析：D 【解析】【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C ==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．B解析：B 【解析】设大圆的半径为R ，则：126226T R ππ==⨯=，则大圆面积为：2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.11．B解析：B 【解析】∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是郑州普通职工n (n ⩾3,n ∈N ∗)个人的年收入，而x n +1为世界首富的年收入则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大. 故选B12．A解析：A 【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P -=＝．故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简根据三角函数的变化规律求出函数的解析式即可计算出的值【详解】由题意可得因此故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简三角函数图象变换在三角图象相位变换的解析：【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数sin 22y x x =-的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数()y g x =的解析式，即可计算出56g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．【详解】sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭Q ，由题意可得()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此，5552sin 22sin 2sin 22sin 66333g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为()()sin 0y A x b ωϕω=++≠（或()()cos 0y A x b ωϕω=++≠）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量x 上进行加减，考查计算能力，属于中等题．14．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析：13【解析】【分析】取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，求出劣弧CD的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.【详解】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，设圆的半径为r，劣弧CD的长度是23rπ，圆的周长为2rπ，所以()21323rP Arππ==，故答案为13.【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 15．【解析】【分析】根据题意画出图形求出写作业所对应的区域面积利用得到结果【详解】由题意可知当豆子落在下图中的空白部分时小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知小明不在家解析：5π4-【解析】【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用()()1P A P A=-得到结果.【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业∴大正方形面积111S =⨯=；阴影正方形面积1111224S =⨯= 空白区域面积：22111244S ππ-⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：2514S P S π-=-= 本题正确结果：54π- 【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.16．41【解析】【分析】根据给定的程序框图计算逐次循环的结果即可得到输出的值得到答案【详解】由题意运行程序框图可得第一次循环不满足判断框的条件；第二次循环不满足判断框的条件；第三次循环不满足判断框的条件解析：41 【解析】【分析】根据给定的程序框图，计算逐次循环的结果，即可得到输出的值，得到答案。

高二数学上学期期末考试题精选及答案

高二数学上学期期末考试题精选及答案一、选择题1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种答案：B2. 若函数f(x) = x^3 + ax + b在区间（-∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 0B. a ≤ 0C. a > 0D. a < 0答案：C3. 若函数f(x) = 2x - k(x - 2)^2 在区间（1，+∞）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k > 0C. k < 0D. k ≥ 0答案：C4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + c，若f(x)在区间（-∞，+∞）上单调递增，则实数c的取值范围是（）A. c ≥ 0B. c ≤ 0C. c > 0D. c < 0答案：A二、填空题5. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1| 的最小值为3，则实数x的取值范围是______。

答案：x ∈ [-1, 2]6. 已知函数f(x) = x^3 - 6x + 9，求f(x)的单调递增区间为______。

答案：(-∞, 2] ∪ [3, +∞)7. 若函数f(x) = x^2 + mx + 1 在区间（1，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是______。

答案：m < -28. 已知函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 1，求f(x)的单调递减区间为______。

答案：[0, 2/3]三、解答题9. 设函数f(x) = x^3 - 6x + a，其中a是常数。

（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若f(x)在区间（-∞，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围。

答案：（1）f(x)的单调递增区间为：(-∞, 2] ∪ [3, +∞)（2）由于f(x)在区间（-∞，+∞）上是减函数，所以f'(x) ≤ 0，即3x^2 - 6 ≤ 0。