初中数学竞赛圆

2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。若点B 在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°

3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则

QA

QC

的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+

5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，

AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，

则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．

（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心

10．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，

DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB

于点H ，则AH AB

的值为 ．

8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 。

9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，

以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为

（第3题图）

C 1

（第8题） C

E

I A

D

B

（ ）。

A

、2a B 、1 C

、2

D 、a

1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，

使得ACB ADP ∠=∠，求PD

PB

的值.

4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作

PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求

证：PE ·AC=CE ·KB ．

6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C

；以点

（第4题）

C

B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分

别与⊙A 和⊙B 相切．

7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足

DE AD

CF BC

=

．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接PA ，PB ，PC ，

PD ．求证：

（1）

AD PD

BC PC

=

； （2）△PAB ∽△PDC ．

11（10）．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD

和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF

PAD BC

∠=．

12（11）、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点。

初中数学竞赛《圆》历届考题

1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，

使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB

的值.

解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，

所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD AP AP AB =， 所以223AD AD AB AP =∙=，

∴AD AP 3=， …………………………（10分）

所以

3==AD

AP

PD PB . …………………………（15分）

2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB

的对称点。若点B 在△A1B1C1的外接 圆上，则∠ABC 等于（ ）

A 、30°

B 、45°

C 、60°

D 、90° 答：C

解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1＝

2ID ，

所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°

3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则

QA

QC

的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+

答：D ．

解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ，

QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．

即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=m

m r 22-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2＋QO 2

，

B 1

C 1 （第3题图）