人教A版(2019)高中数学必修第一册 4.3.1 对数的概念 课件
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4.3.1对数的概念+教学课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
用数学的眼光看世界， 用数学的思维思考世界， 用数学的语言表达世界
谢谢！
0901
精选文档
8
数海拾贝，知识渊源
恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积 分的建立是17世纪数学史上的三大成就。
伽利略说，给我空间、时间以及对数，我可以创造 一个宇宙。 拉普拉斯说，因为省时省力，对数倍增了天文学 家的寿命。
共同研究，建构新知
共同研究，建构新知
log 是同加减 乘除符号一 样表示一种 运算，运算符号在数的 前面。 已知底数和 幂求指数的运算称为 对数运算.
(2)自然对数：以e=2.71828…为底的对数称为自然对数
loge N记为 ln N
深入探究，提高能力
探究：（1） loga1＝_0__，logaa＝_1__ a0 1; a1 a
11
（2）loga a2 _2__,loga a5 5___,loga a3 -_3__,loga a5 _5__,... 一般地，loga ab _b__,请证明该结论.
情境引入，探索新知
Байду номын сангаас
思考1：上述问题实质上是 已知__底_数_和__幂__的值，求指 数的问题。
即指数式 ab N 中，已知a 和N.求b的问题。（这里
a>0且a≠1 ）
思考2： ( 1 ) x 0 .03125
2
(111%)x 2
x5
x?
为了解决此问题，需学习新的数 ——对数
数海拾贝，知识渊源
0901
精选文档
11
深入研究，构建新知
对数与指数的关系
指数式与对数式表示的是a，x，N三者之间的同一关系,只是形式不同
指数式
对数式
4.3.1对数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册+
(1) log 64
2
x＝ － ；
3
(3) lg 100 ＝ x;
解：
(2) log x 8 ＝ 6；
(4) － ln e2 ＝ x.
精讲点拨
例3 在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取
值范围是________.
4－x>0，
解析： 由题意可知x－2>0， 解得 2<x<4 且 x≠3.
x－2≠1，
答案 (2，3)∪(3，4)
知识建构
（1）对数的由来
（2）对数的定义
（3）常用对数与自然对数
（5）指对数互换
巩固训练
1.判断
（1）根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(
提示 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.
（2）对数式log32与log23的意义一样.(
×
×)
)
提示 log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以错误.
（3）对数的运算实质是求幂指数.( √ )
巩固训练
2.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
巩固训练
2
3.若logx8＝3，则x＝________.
4.若log3(log2x)=0,则x=
2
.
巩固训练
5.求下列各式的值
对数的有关性质是解
2.对数的有关性质
题的重要依据！！
没有对数
(1)零和负数__________；
0
(2)1的对数为___，即log
a1＝0(a>0且a≠1)；
1
(3)底数的对数为___，即log
aa＝1(a>0且a≠1).
2
x＝ － ；
3
(3) lg 100 ＝ x;
解：
(2) log x 8 ＝ 6；
(4) － ln e2 ＝ x.
精讲点拨
例3 在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取
值范围是________.
4－x>0，
解析： 由题意可知x－2>0， 解得 2<x<4 且 x≠3.
x－2≠1，
答案 (2，3)∪(3，4)
知识建构
（1）对数的由来
（2）对数的定义
（3）常用对数与自然对数
（5）指对数互换
巩固训练
1.判断
（1）根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(
提示 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.
（2）对数式log32与log23的意义一样.(
×
×)
)
提示 log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以错误.
（3）对数的运算实质是求幂指数.( √ )
巩固训练
2.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
巩固训练
2
3.若logx8＝3，则x＝________.
4.若log3(log2x)=0,则x=
2
.
巩固训练
5.求下列各式的值
对数的有关性质是解
2.对数的有关性质
题的重要依据！！
没有对数
(1)零和负数__________；
0
(2)1的对数为___，即log
a1＝0(a>0且a≠1)；
1
(3)底数的对数为___，即log
aa＝1(a>0且a≠1).
人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
是真的吗
嘿，挖到几枚恐龙蛋，送
到权威机构做了碳14同位素鉴定，
结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现
在坐等博物馆人员上门收购！
碳14同位素法检测原理
生物死亡后，它机体内原有的碳14含
量每经过大约6000年会衰减为本来的
一半，这个时间称为“半衰期”.
研究人员常常根据机体内碳14的含量
来推断生物体的年代，其中半衰次数
=
(＜＜)
y
=
(＞)
a∈{a| ＞0，且a≠1}
x∈R
N∈+
O
x
四、典例精析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）log 5 125 = 3；（2）log 2
1
16
= −4；
（3）10−2 = 0.01；（4）e0 = 1（其中e=2.71828…）.
log = 1.
五、随堂练习
1.对数式与指数式的互化：
（1）2
−1
=
1
;
2
（2）ln1 = 0.
1
2
解：（1）log 2 =-1；（2） 0 =1.
2.求值：（1）log 3 9；
（2）log 9 3.
解：（1）设x=log 3 9，则3 = 9 = 32 ，所以x=2，即log 3 9=2；
1
2
与碳14的含量P之间的关系为： = ( ) .
但是，当生物组织内的碳14含量不足千分之一（这里我们按
来计算）时，放射性探测器就测不到碳14了．
1
1024
试回答以下几个问题：
（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为本来的多少？3次呢？
1
1 3 1
嘿，挖到几枚恐龙蛋，送
到权威机构做了碳14同位素鉴定，
结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现
在坐等博物馆人员上门收购！
碳14同位素法检测原理
生物死亡后，它机体内原有的碳14含
量每经过大约6000年会衰减为本来的
一半，这个时间称为“半衰期”.
研究人员常常根据机体内碳14的含量
来推断生物体的年代，其中半衰次数
=
(＜＜)
y
=
(＞)
a∈{a| ＞0，且a≠1}
x∈R
N∈+
O
x
四、典例精析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）log 5 125 = 3；（2）log 2
1
16
= −4；
（3）10−2 = 0.01；（4）e0 = 1（其中e=2.71828…）.
log = 1.
五、随堂练习
1.对数式与指数式的互化：
（1）2
−1
=
1
;
2
（2）ln1 = 0.
1
2
解：（1）log 2 =-1；（2） 0 =1.
2.求值：（1）log 3 9；
（2）log 9 3.
解：（1）设x=log 3 9，则3 = 9 = 32 ，所以x=2，即log 3 9=2；
1
2
与碳14的含量P之间的关系为： = ( ) .
但是，当生物组织内的碳14含量不足千分之一（这里我们按
来计算）时，放射性探测器就测不到碳14了．
1
1024
试回答以下几个问题：
（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为本来的多少？3次呢？
1
1 3 1
4.4.1对数的概念 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
2x=3，那么x可以记作 x=log23
读作：以2为底3的对数
3x=27，那么x可以记作 x=log327
读作：以3为底27的对数
对数式与指数式的关系
以a为底N的对数
指数
幂
真数
log a N = x
a x= N
底数
对数的性质
1.对数和指数运算互为逆运算
2.底数a>0且a≠1；底数a的取值范围： , ∪ , +∞
3
（4）1 16 = −4
64
2
；
规律总结
指数式与对数式互化的思路
1. 指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指
数作为对数，底数不变，写出对数式 .
2. 对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对
数作为指数，底数不变，写出指数式 .
题型二 对数的求值
例2 求下列各式中的x值：
(1)log5x=3;
对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，
N叫做真数
注意
①底数的限制，a>0且a≠1； > 0
②对数的书写格式
log a N
在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为
A.(－∞，3]
C.(4，＋∞)
B.(3,4)∪(4，＋∞)
√
D.(3,4)
x＋1>0，
由对数的概念可得x－3>0，
b. 利用幂的运算性质和指数的性质计算 .
题型三 对数的性质应用
例4
求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，
读作：以2为底3的对数
3x=27，那么x可以记作 x=log327
读作：以3为底27的对数
对数式与指数式的关系
以a为底N的对数
指数
幂
真数
log a N = x
a x= N
底数
对数的性质
1.对数和指数运算互为逆运算
2.底数a>0且a≠1；底数a的取值范围： , ∪ , +∞
3
（4）1 16 = −4
64
2
；
规律总结
指数式与对数式互化的思路
1. 指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指
数作为对数，底数不变，写出对数式 .
2. 对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对
数作为指数，底数不变，写出指数式 .
题型二 对数的求值
例2 求下列各式中的x值：
(1)log5x=3;
对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，
N叫做真数
注意
①底数的限制，a>0且a≠1； > 0
②对数的书写格式
log a N
在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为
A.(－∞，3]
C.(4，＋∞)
B.(3,4)∪(4，＋∞)
√
D.(3,4)
x＋1>0，
由对数的概念可得x－3>0，
b. 利用幂的运算性质和指数的性质计算 .
题型三 对数的性质应用
例4
求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，
4.3.1 对数的概念 课件 高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
答案：(1)x=16；
(3)x=2；
(2)x= 2；
(4)x=-2.
练一练
1.求下列各式中x的值：
(1)log2x=-2 ;
(2)logx49=4 ;
(3)lg0.00001=x ;
(4)ln =-x .
1
答案：(1)x= ；
4
(3)x=-5；
(2)x= 7；
1
(4)x=- .
2
练一练
2.求下列各式的值：
（请注意书写格式： x=logaN
）
指数式与对数式的关系
指数
对数
x
a =N
x=logaNLeabharlann 真数幂底数
思考：这里的a与N各自的取值范围是什么？
2 两类重要对数
(1)以10为底的对数叫做常用对数.
为了方便,N的常用对数log10N简记为lgN.
(2)以e为底的对数叫做自然对数.
为了方便,N的常用对数logeN简记为lnN.
求下列各式的值：
(1) ;
(2)logaaN .
提醒：这里的a与N各自的取值范围是什么？
思 维
素 养
1.(1)使式子log(x-1)(3-x)有意义的x的取值范围
是
;
(2)方程4x=5×3x的解为
答案：(1)(1, 2)∪(2, 3)；
(2)x=4 5 .
3
.
2.求下列各式中x的值：
所以 a2m+n =(am)2an
=22×3
=12
方法：对数式转化为指数式
3.(1)已知函数 f(ex)=x,则 f(2)=
(2)设 f(log2x)=x,则 f(3)=
;
4.3.1 对数的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
（2）log只是记录对数的符号，类似于三角中的正 余弦sin,cos等；
（3） logaN不是loga与N的乘积； （4）对数是一个数，是指数式中指数的等价表达。
对数的概念
立德树人 和谐发展
例如·，由于 2的对数，记作
，所以x就是以1.11为底 ；
由于
，所以x就是以3为底
6的对数，记作
；
再如，由于
， 4= ，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求
指数．用我们现有的知识体系可以解决上述问题吗？
这就是本节要学习的对数。
立德树人 和谐发展
对数的发明者
约翰·纳皮尔
（John Napier， 1550～1617）
苏格兰数学家
对数的概念
立德树人 和谐发展
1．对数的定义(阅读课本第二自然段)
如果 ax ＝ N，（a > 0，且 a ≠ 1），则数 x 叫以 a 为底 N 的对数记作 x ＝ loga N，其中 a 叫底数，N 叫真数. 注意： （1）对数的写法；
立德树人 和谐发展
问题探究
立德树人 和谐发展
[探究问题] 1．你能推出对数恒等式 alogaN＝N(a>0 且 a≠1，N >0)吗？
2．如何解方程 log4(log3x)＝0?
2
归纳总结
立德树人 和谐发展
其实指数式与对数式，虽然从形式上看，两者不同， 但本质上是一致的。这个一致就是底数、指数（对数）、 幂（真数）三者之间的关系。
典例解析
立德树人 和谐发展
例 2 求 下 列 各 式 中 的 x 的 值：
(1) log 64 x＝ － 32； (3) lg 100 ＝ x;
对数的基本性质
立德树人 和谐发展
（3） logaN不是loga与N的乘积； （4）对数是一个数，是指数式中指数的等价表达。
对数的概念
立德树人 和谐发展
例如·，由于 2的对数，记作
，所以x就是以1.11为底 ；
由于
，所以x就是以3为底
6的对数，记作
；
再如，由于
， 4= ，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求
指数．用我们现有的知识体系可以解决上述问题吗？
这就是本节要学习的对数。
立德树人 和谐发展
对数的发明者
约翰·纳皮尔
（John Napier， 1550～1617）
苏格兰数学家
对数的概念
立德树人 和谐发展
1．对数的定义(阅读课本第二自然段)
如果 ax ＝ N，（a > 0，且 a ≠ 1），则数 x 叫以 a 为底 N 的对数记作 x ＝ loga N，其中 a 叫底数，N 叫真数. 注意： （1）对数的写法；
立德树人 和谐发展
问题探究
立德树人 和谐发展
[探究问题] 1．你能推出对数恒等式 alogaN＝N(a>0 且 a≠1，N >0)吗？
2．如何解方程 log4(log3x)＝0?
2
归纳总结
立德树人 和谐发展
其实指数式与对数式，虽然从形式上看，两者不同， 但本质上是一致的。这个一致就是底数、指数（对数）、 幂（真数）三者之间的关系。
典例解析
立德树人 和谐发展
例 2 求 下 列 各 式 中 的 x 的 值：
(1) log 64 x＝ － 32； (3) lg 100 ＝ x;
对数的基本性质
立德树人 和谐发展
新教材人教A版数学必修第一册4.3.1 对数的概念课件
对数与指数的关系 指数式与对数式的互化(其中 a>0，且 a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
1．式子 logmN 中，底数 m 的范围是什么？ 提示：m>0 且 m≠1.
2．对数式 logaN 是不是 loga 与 N 的乘积？ 提示：不是，logaN 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是 一个实数．
第四
章
指数函数与对数函数
4．3 对数
新课程标准解读
核心素养
1.理解对数的概念和运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数，并能进行简单的化简计算
数学运算
4．3.1 对数的概念
某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，……
所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；
对于D，因为log25x＝12，所以2512＝x，所以x＝5，故D错误．故选A、B. 答案：AB
4．已知logx16＝2，则x等于
[问题] 依次类推，1 个这样的细胞分裂 x 次得到的细胞个数 N 是多少？ 分裂多少次得到的细胞个数为 8 和 256？如果已知细胞分裂后的个数 N，如何 求分裂次数？
知识点一 对数的概念
1．定义 一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做__以__a__为__底__N__的__对__数__， 记作__x_＝__lo_g_a_N____，其中 a 叫做_对__数__的__底__数___，N 叫做__真__数__． 2．常用对数与自然对数
高中数学必修一(人教版)《4.3.1 对数的概念》课件
(2)对数式y＝logax有意义的条件是x＞0，有时底数a＞0，且a≠1也要 考虑．
[典例 1] (1)在对数式 b＝loga－2(5－a)中，实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(5，＋∞)
B．(2,5)
C．(2,3)∪(3,5)
D．(3,4)
(2)将下列指数式、对数式互化：
①53＝125；②log216＝4； ③10－2＝0.01；④log 5125＝6.
提示：①a<0，N 取某些值时，logaN 不存在，如根据指数的运算性质可知，
不存在实数 x 使－12x＝2 成立，所以
不存在，所以 a 不能小于 0.
②a＝0，N≠0 时，不存在实数 x 使 ax＝N，无法定义 logaN；N＝0 时，任
意非零实数 x，有 ax＝N 成立，logaN 不确定．
③a＝1，N≠1 时，logaN 不存在；N＝1，loga1 有无数个值，不能确定．
[方法技巧] 利用对数性质求解的两类问题的解法 (1) 求 多 重 对 数 式 的 值 解 题 方 法 是 由 内 到 外 ， 如 求 loga(logbc) 的 值 ， 先 求 logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再 求解．
2．若a2＝M(a＞0，且a≠1)，则有
A．log2M＝a 答案：B
B．logaM＝2
C．loga2＝M D．log2a＝M
3．若log2x＝2，则x＝__________. 答案：4
4．已知 log32x－5 1＝0，则 x＝________.
答案：3
()
题型一 对数的概念 【学透用活】
(1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分 的“去向”：
[典例 1] (1)在对数式 b＝loga－2(5－a)中，实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(5，＋∞)
B．(2,5)
C．(2,3)∪(3,5)
D．(3,4)
(2)将下列指数式、对数式互化：
①53＝125；②log216＝4； ③10－2＝0.01；④log 5125＝6.
提示：①a<0，N 取某些值时，logaN 不存在，如根据指数的运算性质可知，
不存在实数 x 使－12x＝2 成立，所以
不存在，所以 a 不能小于 0.
②a＝0，N≠0 时，不存在实数 x 使 ax＝N，无法定义 logaN；N＝0 时，任
意非零实数 x，有 ax＝N 成立，logaN 不确定．
③a＝1，N≠1 时，logaN 不存在；N＝1，loga1 有无数个值，不能确定．
[方法技巧] 利用对数性质求解的两类问题的解法 (1) 求 多 重 对 数 式 的 值 解 题 方 法 是 由 内 到 外 ， 如 求 loga(logbc) 的 值 ， 先 求 logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再 求解．
2．若a2＝M(a＞0，且a≠1)，则有
A．log2M＝a 答案：B
B．logaM＝2
C．loga2＝M D．log2a＝M
3．若log2x＝2，则x＝__________. 答案：4
4．已知 log32x－5 1＝0，则 x＝________.
答案：3
()
题型一 对数的概念 【学透用活】
(1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分 的“去向”：
人教A版数学必修第一册4.3.1对数的概念课件
[例3]
(1)设5log5
2−1
＝25，则x的值等于( B )
A．10
B．13
C．100
D．±100
10
(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．
思路点拨
(1)利用对数恒等式log ＝N求解；
(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．
多维探究
3e
变式1 若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为______．
1．思考辨析
(1)logaN是loga与N的乘积．( × )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( × )
(3)对数运算的实质是求幂指数．( √ )
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．( √ )
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( C )
A．100＝1与lg 1＝0
2
1 −5
2= 32(3)Fra biblioteklg1000＝3；
(4) ln x＝2.
103＝1000
e2＝x
方
法
总
结
指数式与对数式互化的方法
1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，
指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，
对数作为指数，底数不变，写出指数式.
跟踪训练
A．a>5或a<0
B．0<a<1或1<a<5
C．0<a<1
D．1<a<5
5－a>0
a>0
a≠1
0<a<5且a≠1
4.3.1对数的概念课件高一上学期数学人教A版
D.3
10
.
(3)2 2 3 +2log31-3log77+3ln 1=
解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
0
.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
2
(1)10 =100;(2)ln a=b;(3)7
1
=343;(4)log6 =-2.
人教A版 数学必修第一册
课程标准
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 对数的概念
1.对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,
4
(1)2 =16;(2)3
1
1 b
a
= ;(3)5 =20;(4)
=0.45.
27
2
-3
解 (1)log216=4.
1
(2)log327 =-3.
(3)log520=a.
(4)log 1 0.45=b.
2
知识点2 对数的基本性质
1.对数与指数间的关系
(1)当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN.
25
x=-1;(5)logx64=2;(6)2lo g 2 3 =x.
解 由对数的定义,得
(1)x=34=81;
(2)5
1
= =5-2,所以
25
x
x=-2;
(3)x=log35;
对数的概念课件- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
以供人们计算较大的数据。
形成概念
布里格斯编写的表格（部分示例）
N
1
2
3
4
5
…
N=10
以10为底数
0.00000000
0.30102999
0.47712125
0.60205999
0.69897000
…
编制表格的关键：对于每个N
（N>0）,令N=10 ,在把x的
值表示出来。
一般地，可以以a为底，把N写
4
8
16
32
64
128
8
9
10
11
12
13
14
…
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
…
（1）32 × 256 = 25 × 28 = 25+8 = 213 = 8192
（2）4096 ÷ 128 = 212 ÷ 27 = 212−7 = 25 = 32
4 ）3 = 212 = 4096
(3)令 x＝ log 3
小结
5
4
625，∴
2x
3
x
x
＝81, 3 4 ＝34，∴x＝16.
3
3
4
x
4
x
5 ＝625,5 3 ＝54，∴x＝3.
要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数
式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求．
变式 2 求下列各式中的 x 的值：
（1）lg 100＝x；
（2） －ln e2＝x.
0
1
2
3
4
5
6
7
4.3.1 对数的概念 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
log₁1 有无数个值，不能确定 . 为了避免 logaN 不存在或者不唯—确定的
情况，规定(a>0 且a≠1)
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系(互化): 若a>0 且a≠1, 则a⁸=N⇔loga N=x
指
指数 以a为底N 的对数
数
幂 真数
式
X
al
log N =
对
底数
数
式
1.指数式与对数式的转化
练习1求下列各式的值：
(1)3¹+log₃2;
练习2 求下列各式中的x 的值：
(1)1g(In x)=0;
0.
(2)1g(Inx)=1;
(3)log₇[log₃(log₂x)]=
课本126页 习题4.3 第 1 题
求下列各式中x的值
(1)31o⁸₃(Inx)=2
(2)In(log₂x)=0
(3)log₁(lg x)=1 1)=2 2
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
(3)logaa=1(a>0 且a≠1). <=a¹=a.
例2求下列对数的值
(1)log₂2 = (2)log₂1=
(3)log₂16=
概念生成
3.对数的重要结论
(1)负数和零没有对数.
ax=N,N>0.
当真数N≤0 时，没有对数.
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
x=3—2
x=6÷3
士 √9
a=N→x=logaN
是一种运算
概念生成
1.对数的概念
注意：①底 数 ：a>0 且a≠1
②对数的书写格式
情况，规定(a>0 且a≠1)
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系(互化): 若a>0 且a≠1, 则a⁸=N⇔loga N=x
指
指数 以a为底N 的对数
数
幂 真数
式
X
al
log N =
对
底数
数
式
1.指数式与对数式的转化
练习1求下列各式的值：
(1)3¹+log₃2;
练习2 求下列各式中的x 的值：
(1)1g(In x)=0;
0.
(2)1g(Inx)=1;
(3)log₇[log₃(log₂x)]=
课本126页 习题4.3 第 1 题
求下列各式中x的值
(1)31o⁸₃(Inx)=2
(2)In(log₂x)=0
(3)log₁(lg x)=1 1)=2 2
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
(3)logaa=1(a>0 且a≠1). <=a¹=a.
例2求下列对数的值
(1)log₂2 = (2)log₂1=
(3)log₂16=
概念生成
3.对数的重要结论
(1)负数和零没有对数.
ax=N,N>0.
当真数N≤0 时，没有对数.
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
x=3—2
x=6÷3
士 √9
a=N→x=logaN
是一种运算
概念生成
1.对数的概念
注意：①底 数 ：a>0 且a≠1
②对数的书写格式
4.3.1 对数的概念(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3
m；
（3）
102 100 ；
（2）ln m 3．
（3）lg100 2
．
1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（4）log39＝2；
（5）lg n＝2.3；
1
log 3 4 ．
（6）
81
答案：
（4）32＝9．
（5）102.3＝n．
1
（6）3
．
81
4
2.求下列各式中的值。
2
10
2
0.01
e
2.303
10
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
若a 0且a 1，则a x N log a N x
a log a N N
由指数和对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
负数和0没有对数；（真数一定为正数）
log a 1 0，
【答案】3 [由 log2(logx9)＝1 可知 logx9＝2，即 x2＝9，∴x＝3(x＝－3 舍去)．]
4． log33＋3log 2＝________.
3
【答案】3 [log33＋3log 2＝1＋2＝3.]
3
5．求下列各式中的 x 值：
3
(1)logx27＝2；
2
(2)log2 x＝－3；
3
解：①∵0.01 = ，∴10 = 0.01 = 10−2 , = −2.
②∵7 ( + 2) = 2，∴72 = + 2 = 49, = 47.
9
2
9
2
③∵2 4 = ，∴(3) = 4 = (3)−2 , = −2.
3
1
对数的概念+课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
讲授新知
两个特殊的对数
常用对数：log10N=lgN 自然对数：logeN=lnN
在科技、经济以 及社会生活中经常 使用以无理数 e=2.71828┈为底数 的对数。
探究
对数与指数的关系
叫做指数式, 幂
叫做对数式. (a>0，且a≠1)
真数
指数
对数
指数式
对数式
底数
底数
指数式与对数式是可以等价且相互转化
探究
问题四：判断下列x是否存在，存在的话是多少？
2x=0, 2x=-1， 2x=-2 说明真数N＞0
负数和0没有对数
结论
指数、对数间的关系
当a>0且a≠1时，
负数和0没有对数 loga1=0，logaa=1
典例分析
例1：把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
（1）54=625
（2）
（3）
（4）
即已知底数和幂的值，求指数。
讲授新知
对数的概念
讲授新知
对数的概念
一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为
底N的_对__数__，记作
对数 x=
. 真数
底数
其中a叫做对数的_底_数___，N叫做_真__数__，x叫做__对_数__.
举例：由于42=16，所以2=log416，读作：2是以4为底，16的对数.
（5）lg0.01=-2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（6）ln10=2.303
典例分析
例二：求下列各式中x的值
小结
log10N=lgN logeN=lnN
➢ 对数的发明者 ➢ 苏格兰数学家
探究新知
问题1：心算求指数x
人教版高中数学必修第一册4.3.1对数的概念【课件】
(1) 设 x＝log7
7
，则 7x＝
1
7 ， 即 7x＝72 ，
所以 x＝12 .
(2) 设 x＝log927，根据对数的定义知 9x＝27，即 32x＝33，所以 2x＝3，得 x＝32 ， 所以 log927＝32 .
(3)
设 x＝log 1
16
1 8
，所以
1 16
x
＝18
，即
1 2
4
;(5) log33=
;(6) logaa=
.
你从上述结果中能得出怎样的结论?
【活动3】 指数式与对数式的互化
【问题6】 对比 2x=3 和 log23=x,你发现了什么?
【问题7】 能否将指数式与对数式的互化写成一般形式?
【问题8】 求下列各式的值.
(1)
;(2)
. ;(3) log334;(4) lne-2.
解：(1) 因为 log3(lgx)=1,所以 lgx=31=3,所以 x=103=1 000. (2) 由 log3[log4(log5x)]=0 可
得 log4(log5x)=1,故 log5x=4,所以 x=54=625.
【方法规律】
(1) 求多重对数式的值的方法是由内到外,如求 loga(logbc) 时,先
【问题3】 对于等式ax＝N (a>0，且a≠1)，如何表示这里的x?
【活动2】 认识和理解对数的概念 【问题4】 对数的真数可以取哪些值?能为零吗?可以为负数吗?
【问题5】
试说出下列各对数的值(a>0,a≠1):
(1) log51=
;(2) log31=
;(3) loga1=
;
(4) log55=
高数数学必修一《4.3.1对数的概念》教学课件
)
10－1＝x
2．lg x＝－1，指数式为________．
解析：lg x＝－1，指数式为10－1＝x.
三、对数的性质
1．对数的基本性质
零
负数
(1)________和________没有对数．
0
(2)loga1＝________(a>0，且a≠1)．
1
(3)logaa＝________(a>0，且a≠1)．
微点拨❷
b
指数式a ＝N，根式 ＝a和对数式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)
是同一种数量关系的三种不同表达形式，具体对应如下：
a
b
N
表达形式
ab＝N
底数 指数
幂
＝a 方根 根指数 被开方数
logaN＝b 底数 对数
真数
对应的运算
乘方，由a，b求N
开方，由N，b求a
对数，由N，a求b
学霸笔记：
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a＞
0，且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指
数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”
后再求解．
跟踪训练3 (1)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的
A．(1，＋∞)
B．(0，1)∪ 1， + ∞
2
2
C．(0， )
D．( ，＋∞)
3
3
答案：C
>0
2
2
解析：由题意知ቐ ≠ 1 ，解得0<a<3，所以实数a的取值范围是(0，3).故选C.
高一上学期数学人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
对数
环节一 对数的概念
整体概览
问题1
回顾4.1节的内容，你能梳理出我们研究“指数”的基本路径吗？
答案：在4.1节中，我们先完善指数幂运算的定义，再研究指数幂运
算性质，最后应用概念和性质解决问题．
补充：任何一个数学概念的产生都是由大量的现实背景催生的，一般
地，要研究一个数学对象，除了以上大家概括出的内容，还需要添加
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
新知探究
问题4
18世纪，瑞士数学家欧拉第一使用y＝ax来定义x＝logay．他指出“对
数源出于指数”．结合对数的定义，你是如何理解这句话的？由此可
以得到对数的哪些性质？
追问1 根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？
新知探究
问题4
答案：对数是通过指数幂的情势定义出来的，由此可以看出，对数运
a x N x log a N ．
算是由指数幂运算衍生出来的．当a＞0且a≠1，．
两者在情势上有所不同，其中字母x，a，N都各自有确切的含义，且
名称也有差别，如下表．因此，指数与对数互为逆运算．
表达式
字母名称
x
a
N
指数式
ax=N
指数
底数
幂
对数式
x=logaN
对数
底数
真数
新知探究
问题4
追问2 明确了对数与指数的关系后，结合当a＞0，且a≠1时，指数式
1 4
（4）( ) 16 ；
2
1
6 ；
（2）log 2
64
（3）log 1 5.73 m ；
（5）10－2＝0.01；
（6）e2.303＝10．
环节一 对数的概念
整体概览
问题1
回顾4.1节的内容，你能梳理出我们研究“指数”的基本路径吗？
答案：在4.1节中，我们先完善指数幂运算的定义，再研究指数幂运
算性质，最后应用概念和性质解决问题．
补充：任何一个数学概念的产生都是由大量的现实背景催生的，一般
地，要研究一个数学对象，除了以上大家概括出的内容，还需要添加
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
新知探究
问题4
18世纪，瑞士数学家欧拉第一使用y＝ax来定义x＝logay．他指出“对
数源出于指数”．结合对数的定义，你是如何理解这句话的？由此可
以得到对数的哪些性质？
追问1 根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？
新知探究
问题4
答案：对数是通过指数幂的情势定义出来的，由此可以看出，对数运
a x N x log a N ．
算是由指数幂运算衍生出来的．当a＞0且a≠1，．
两者在情势上有所不同，其中字母x，a，N都各自有确切的含义，且
名称也有差别，如下表．因此，指数与对数互为逆运算．
表达式
字母名称
x
a
N
指数式
ax=N
指数
底数
幂
对数式
x=logaN
对数
底数
真数
新知探究
问题4
追问2 明确了对数与指数的关系后，结合当a＞0，且a≠1时，指数式
1 4
（4）( ) 16 ；
2
1
6 ；
（2）log 2
64
（3）log 1 5.73 m ；
（5）10－2＝0.01；
（6）e2.303＝10．
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