分式方程增根分类举例

与分式方程根有关的问题分类举例

与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。

1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值

解答此类问题必须明确增根的意义：

（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。

（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。

利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。

例1. （2000年潜江市）

使关于x 的方程a x x a x 2

2

24222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2

C. ±2

D. 与a 无关

解：去分母并整理，得： ()a x 22401--=<>

因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4

所以a =±2

故应选C 。

例2. （1997年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x

+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2

C. 1或2

D. 1或－2

解：去分母并整理，得：

x x m 22201---=<>

又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得： m =2或m =1

故应选C 。

例3. （2001年重庆市）

若关于x 的方程ax x +--=11

10有增根，则a 的值为__________。 解：原方程可化为：()a x -+=<>1201

又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得：

a =-1

故应填“-1”。

例4. （2001年鄂州市）

关于x 的方程x x k x -=+-323

会产生增根，求k 的值。 解：原方程可化为：()x x k =-+<>231

又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：

k=3

例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：

()()()115111

2x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。

解：原方程可化为： ()()()()x k x k x ++--=-<>151112

把x =1代入<1>，得k=3

所以当k=3时，解已知方程只有增根x =1。

评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程；

（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；

（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。

2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围

例6. （2002年荆门市）

当k 的值为_________（填出一个值即可）时，方程x x k x x x

-=--122只有一个实数根。

解：原方程可化为：x x k 2201+-=<>

要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：

（1）当方程<1>有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由∆=+=440k 得k=－1。当k=－1时，方程<1>的根为x x 121==-，符合题意。

（2）方程<1>有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由∆=+>440k ，得k>－1。又原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入

<1>得k=0，或k=3，均符合题意。

综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。

例7. （2002年孝感市）

当m 为何值时，关于x 的方程2111

2x x m x x x ---=+-无实根？ 解：原方程可化为：

x x m 2201-+-=<>

要原方程无实根，有下面两种情况：

（1）方程<1>无实数根，由()()∆=---<14202

m ，得m <74

； （2）方程<1>的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入<1>得m =2。 综上所述：当m <74

或当m=2时，所给方程无实数解。 例8. （2003年南昌市）

已知关于x 的方程11x m x m --=有实数根，求m 的取值范围。 解：原方程化为：mx x 2101-+=<>

要原方程有实数根，只要方程<1>有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。

（1）当m =0时，有x =1，显然x =1是原方程的增根，所以m =0应舍去。

（2）当m ≠0时，由∆=-≥140m ，得m ≤14

。 又原方程的增根为x =0或x =1，当x =0时，方程<1>不成立；当x m ==10，。 综上所述：当m ≤

14

且m ≠0时，所给方程有实数根。 评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：

（1）将所给方程化为整式方程；

（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。

3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围 例9. 当a 取何值时，解关于x 的方程：()()

x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？ 解：原方程可化为：

23012x ax +-=<>

又原方程的增根为x =2或x =-1，把x =2或x =-1分别代入<1>得：

a =-52

或a =-1 又由∆=+>a 2240知，a 可以取任何实数。 所以，当a ≠-

52

且a ≠-1时，解所给方程无增根。 评注：解答此类问题的基本思路是：

（1）将已知方程化为整式方程；