指数函数图像的变换(采用)

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高中数学同步教学课件指数函数的性质与图像(二)

1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) 【答案】D
D．(－∞，－1)
【解析】∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
2．设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是________. 【答案】(－∞，1) 【解析】∵0.53x－4＝123x－4＝24－3x，∴由 23－2x＜24－3x，得 3－2x＜4－3x，∴x＜1.]
知识点2 指数不等式
对于形如 af(x)>ag(x)(或 af(x)<ag(x))的不等式，当 a>1 时，转化为 f(x)>g(x)(或__f_(_x_)<_g_(_x_)_)；当 0<a<1 时，转化为__f_(x_)_<_g_(_x_) _(或___f(_x_)_>_g_(x_)_)．
[微体验]
[方法总结] 解简单的指数不等式的一般方法
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式利用函数图像求解．
C．(2，－3)
D．(2，－2)
【答案】B 【解析】令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0－3＝1－3＝－2， ∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2)．
2．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】a|a≥1或a＝0 【解析】作出 y＝|2x－1|的图像，如图，要使直线 y＝a 与图像的交点只有一个， ∴a≥1 或 a＝0.

指数函数的定义与图像(2)指数函数的图像--参考教案

第七单元4.2《指数函数》教案一、创设情境初中我们学习了正比例函数、反比例函数和二次函数,通过描点法画出它们的图像分别是直线、双曲线和抛物线.我们可类比借鉴学习上述函数的经验,画出指数函数的图像.二、知识学习x 下面我们利用“描点法”作指数函数y=2x和y=1()2的图像．第一步:列表第二步: 描点.将表中的每一组x , y 的值为坐标，描出对应的点（x , y ）．第三步：连线.分别用光滑的曲线依次联结所描的各点，得到函数y =2x 和y =1()2x 的图像，如图所示．三、例题讲解例 1 已知指数函数()x f x a =的图像过点27(3,)8，求(4.3)f 的值(精确到0.01)．分析首先由函数图像过点27(3,)8可以确定底a ，得到函数的解析式．然后用计算器求出函数值．解由于函数图像过点27(3,)8，故27(3)8f =,即3278a =．由于327382⎛⎫= ⎪⎝⎭，且0a >，故 32a =．因此，函数的解析式为3()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以 4.33(4.3) 5.722f ⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．例 2 在同一平面直角坐标系中分别作出下列函数的图x … −3−2 −10 1 2 3 …y =2x …1814121 248…y =1()2x (8)4 21121418…像：21,, 2.3,353x xx x y y y y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.分析：鼓励学生亲自动手，尝试用不同的方法解答，特别是借助数学软件.通过计算机软件的实际操作，直观感受指数函数图像，建立起对指数函数的直观形象思维，为接下来的函数性质的探究做好准备.解：21,, 2.3,353xxx x y y y y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像如图所示：四、课堂练习1.已知指数函数()x f x a =满足9(2)4f -=，试求a 、(0.15)f 的值(精确到0.001)，并画出函数的图像．2.已知指数函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的图像过点（3，64）.（1）求函数的解析式；（2）求f (−12)的值. 五、课堂小结利用“描点法”作指数函数的图像： 1. 列表 2. 描点 3. 连线。

课件3：4.1.2 指数函数的性质与图像(一)

知识点二指数函数的图像与性质 a>1
0<a<1
图像
定义域值域性过定点质函数值的变化单调性
R
_(_0_，__＋__∞_ )
过点_(0_,_1_)，即 x＝__0__时，y＝__1__
当 x>0 时，_y_>_1_；
当 x>0 时，0_<_y_<_1；
当 x<0 时，0_<_y_<_1
答案：B
3．在同一坐标系中，函数 y＝2x 与 y＝21x 的图像之间的关系是(
)
A．关于 y 轴对称
B．关于 x 轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线 y＝x 对称
解析：由作出两函数图像可知，两函数图像关于 y 轴对称，
故选 A.
答案：A
【课堂探究】
题型一指数函数概念的应用
例 1 (1)若指数函数 f(x)＝(2a－1)x 是 R 上的减函数，则实数 a
4.1.2 指数函数的性质与图像(一)
【课标要求】
(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． (2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
【自主预习】
知识点一指数函数的定义函数__y_＝__a_x__ (a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量．定义域为 R. 状元随笔指数函数解析式的 3 个特征 (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数． (2)自变量 x 的位置在指数上，且 x 的系数是 1. (3)ax 的系数是 1.
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1
D．y＝31x

高中新教材数学必修件时指数函数的图象与性质

对称变换规律
01
指数函数$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的图像关于原点对称。即当$x$取相反数时，$y$也取相反数。
02
指数函数图像也关于直线$y=x$对称。即当函数形式为 $y=a^x$和$x=a^y$时，两个函数的图像关于直线 $y=x$对称。
03
对称变换不改变图像的形状和开口方向，只改变图像的位置和对称轴。
当$0 < a < 1$时，指数函数的图像在$x$轴上方，但随着$x$ 的增大，函数值逐渐减小，图像
向右下方延伸。
指数函数的图像都经过点$(0, 1)$。
指数函数性质总结
01
指数函数的值域为$(0, +infty)$。
02
指数函数在其定义域内是连续的。
03
指数函数在其定义域内是可导的，且导数等于其自身乘以一个常数。
03
电磁辐射衰减
在通信和电磁学领域，指数函数可用于描述电磁辐射在传播过程中的衰
减。根据衰减常数和传播距离，可以计算信号强度的变化。
复合增长问题中指数函数应用
复利计算
在金融领域，指数函数用于计算复利问题。通过给定本金、年利率和存款期限，可以计算存款到
期时的本息总额。
连续增长模型
在经济学和生物学等领域，指数函数可用于描述连续增长的模型。通过分析历史数据，可以估算出连续增长率，并预测未来某一
时刻的数量或规模。
化学反应动力学
在化学领域，指数函数用于描述化学反应的动力学过程。通过分析反应速率与反应物浓度的关系，可以了解反应的动力学特性和
反应机理。
05 典型例题解析与课堂互动环节
典型例题解析过程展示
01

北师大版高中数学必修一课件《3.3.3指数函数的图像与性质(2)》

高中数学课件
（金戈铁骑整理制作）
§3.3.3指数函数的图像与性质（2）
永丰中学高中数学教研组
必修1第三章第3节
复习导入
指数函数的图像与性质
a＞1
0＜a＜1
•
图
1、指数y函数的定义；y
函象• 2数、叫指做数指o函y数1 数函a图xx数(a象，的0其, 且作中oa1法x是；1)自x
(变1)•定量义3域、. 指数列函表数描的点图R连象线和性质.
形如y a f (x)的函数的定义域就是f (x) 的定义域
必修1第三章第3节
探究二、指数型函数值域的求法
例：求下列函数的值域（1）y 2x1；（2）y 2 ； x2 2x1
1
（3）y 2x2 ；（4）y 23x5；（5）y 2 x ；（6）y 2 x5
必修1第三章第3节
解：（1）｛y y 0｝；（2）｛y y 1｝；（3）｛y 0 y 1｝；（4）｛y y 0且y 1｝；（5）｛y y 1｝；（6）｛y y 1｝
总结：
求形如y a f (x)的函数的值域时先求f (x)的值域
必修1第三章第3节
探究三、利用指数函数性质比较大小
(2)值域
(0,+∞)
性 (3)定点
过定点(0,1)，即x=0时，y=1
质 (4)单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
(5)函数值的分布情
况
当x＞0时，y＞1
当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1
必修1第三章第3节
新知探究
探究一、指数型函数定义域的求法
例：求下列函数定义域
（7）方程2x x 3的实数解的个数为 _____ .

高一数学指数函数ppt课件

与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应用。
指数函数在实际问题中的应用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决实际问题。
指数函数与其他数学知识的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时，图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量在不同区间内取值时，函数性质可能发生变化，此时可以采用分段讨论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解题准确性。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底数不变，指数相乘。

高一数学人必修件指数函数的图象和性质

生物繁殖
在生物学领域，指数函数用于描述生物种群的繁殖速度。某些生物种群的增长符合指数函数的规律，如细菌繁殖、昆虫数量增长等。
其他领域应用案例
放射性衰变
在物理学中，指数函数用于描述放射性物质的衰变过程。放射性元素的原子数量随时间呈指数减少。
化学反应速率
化学领域中，指数函数可用于描述某些化学反应的速率。反应速率与反应物浓度的关系可以用指数函数表示。
同底数幂相乘
幂的乘方
底数不变，指数相加。即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
底数不变，指数相乘。即$(a^m)^n = a^{m times n}$。
同底数幂相除
底数不变，指数相减。即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
幂的乘方法则
1 2
正整数指数幂的乘法
$(a^m)^n = a^{m times n}$，其中$m, n$为正整数。
指数函数图像与坐标轴交点
指数函数的图像与x轴没有交点，与y轴的交点是(0,1)。
指数函数性质总结
指数函数的单调性
当a>1时，指数函数在定义域内单调递增；当0<a<1时，指数函数在定义域内单调递减。
指数函数的奇偶性
指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
指数函数的值域
指数函数的值域是(0, +∞)。
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数。
指数函数表达式
y=a^x，其中a是自变量，x是指数，y是因变量。
指数函数图像特征
指数函数图像形状
指数函数的图像是一条从坐标原点出发，向右上方或右下方无限延伸的曲线。
指数函数图像位置
当a>1时，图像位于第一象限和第二象限；当0<a<1时，图像位于第一象限和第四象限。

3. 指数函数图像

x x 1 x 1 2 x 0 ,即x 1 ,或x 0 ，
当0 x 1 时，y 0 ;当x 1 时，y 0 , 故选B
4.翻折变化：
1 y f x 去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图 y f x 将y 轴右边的图像翻折到左边去
① f x ex f x = e x
② f x = e x f x 2 = e x-2
指数函数的图象
知识点
1.当当0a

1 a
时，底数a 越大，图象在x 1 时，底数a 越小，图象在x
0
时越接近y 轴，在x 0 0 时越接近x 轴，在x
时越接近x 轴 0 时越接近y 轴
2.平移变换：左加右减
1 f x 向左平移a 个单位 f x a 2 f x 向上平移 a个单位 f x a 3 f x 向右平移 a个单位 f x a 4 f x 向下平移a个单位 f x a

解析：① 有界性：由函数的定义域得x 0 , A错；当x 0 时，y 0 ,B错;
② 指数爆炸，当x , y 0 ,D错
例7 函数y x3 x 2 x 的图象大致是

解析：① 奇偶性：f x x3 x 2 x f x ,故函数为奇函数，C错； ② 有界性：令y 0 ,则 x3 x 2 x 0
D. a b 1 d c
例2 已知1 n m 0 ,则指数函数① y mx ,
② y nx 的图象为
例3 已知函数y ax b a 0且 a 1 的图象经过
第二、三、四象限，则有

A. 0 a 1 ,b 1

指数函数图像的变换(采用)ppt课件

x x ( 2 ) 当 x 0 时，总有 a b 1 ;
x x ( 3 ) 当 x 0 时，总有 0 a b 1 ;
以上时a>1时的情况，那0<a<1是什么样的呢？ x x x 0 . 2,y 0 . 3 与 y 0 . 5 图像，画出 y 并比较0<a<1 时a对函数图象变化的影响.
特别当x<0时，指数函数的底数越小，函数值减少越快即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
综上总结， ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
f( x m ) )与 y 推广:比较函数 y f (x 的关系
向左平行移动m个单位长度 y f ( x ) 当m>0时,
yf( x m )
) 向右平行移动|m|个单位长度 yf( x m ) 当m<0时, y fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x
作业：
P A 组第 3 题， B 组第 2 题 77
ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下规律
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
x x 负半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值 .

《指数函数》经典讲义(完整版)

指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且．（1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。

指数函数像变换

指数函数像变换指数函数是数学中一种重要的函数类型，广泛应用于各个领域中，如科学、工程、经济等。

它具有很多特殊的性质和变换规律，本文将详细介绍指数函数的变换规律。

一、指数函数的基本形式指数函数的一般形式可以表示为 f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数，可以是实数或复数。

指数函数的图像呈现出明显的特征，随着x 值的增大或减小，函数值也相应地增大或减小。

二、指数函数的变换指数函数的变换主要包括平移、伸缩和翻折等操作。

下面将分别介绍这些变换规律。

1. 平移变换当指数函数的x值增加或减小一个常数时，函数的图像将在横坐标上发生平移。

设原函数为f(x)，平移量为h，则平移后的函数可以表示为f(x - h)。

平移量为正数时，图像向右平移；平移量为负数时，图像向左平移。

2. 伸缩变换指数函数的伸缩变换需要考虑到底数a的值。

当底数a的绝对值大于1时，函数图像呈现出纵向的伸缩；当底数a的绝对值在0和1之间时，函数图像呈现出纵向的压缩。

具体而言，伸缩因子为k时，函数可以表示为f(kx)。

当k大于1时，函数图像纵向拉伸；当k在0和1之间时，函数图像纵向压缩。

3. 翻折变换指数函数的翻折变换可以通过改变底数的正负值来实现。

当底数a为正时，函数图像在x轴上方；而当底数a为负时，函数图像在x轴下方。

三、指数函数变换的实例为了更好地理解指数函数的变换规律，下面将给出一些实际的例子。

1. 平移变换的例子设原函数为f(x) = 2^x，在横坐标上平移2个单位，则平移后的函数为f(x - 2)。

2. 伸缩变换的例子设原函数为f(x) = 2^x，对函数进行纵向拉伸，伸缩因子为2，则变换后的函数为f(2x)。

3. 翻折变换的例子设原函数为f(x) = 2^x，通过改变底数的正负值实现翻折变换。

当底数a为正时，函数在x轴上方；当底数a为负时，函数在x轴下方。

例如，取负底数进行翻折变换后的函数为f(x) = (-2)^x。

通过以上的例子，我们可以看到不同的变换方式对指数函数图像的影响。

指数函数的图像和性质(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

3．函数 y＝121－x 的单调增区间为(
)
A．R
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
【答案】A [令 u(x)＝1－x，则 u(x)在 R 上是减函数，又 y＝12u(x)是减函数，故
y＝121－x 在 R 上单调递增，故选 A.]
4．已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)>f(n)，则 m，n 的大小关系为________.
课堂小结 1、指数函数y ax与y ( 1 )x的图象关于y轴对称
a
a>1
0<a<1
指数
图
y
y
函
象
1
1
数
o
x
o
x
图象与
(1)定义域:
性 (2)值域:
R (0,+∞)
性
(3)过定点:
(0,1)
质
(4)单调性：增函数 (4)单调性：减函数
质 (5)奇偶性：非奇非偶 (5)奇偶性：非奇非偶
(6)当x>0时，y>1. (6)当x>o时，0<y<1,
则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0
B．a＞1，b＞0 D. 0＜a＜1，b＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0 ＜a＜1；从曲线位置看，是由函数 y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移 |－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即 b＜0.
(2)因为y=0.6x是单调递减函数，且-1.2>-1.5, 所以0.6-1.2<0.6-1.5
(3)因为1.70.2>1.70=1，0.92.1<0.90=1，所以1.70.2>0.92.1

课件6：4.1.2　指数函数的性质与图像

∴ ＝在［-1，1］上单调递增，
∴
1
0< ≤≤.

由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3

1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3

1
2
2 −2−3

1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1

指数函数图像的变换

y
y 1 x 2
底大图低
y 1 x 3
在第一象限沿箭头方向底增
大
y 3x y 2x
底大图高
1
y 1 x
2
0 y 1 x
x
3
函数图象的变换
本节课主要研究函数图象的变换，得出y=f(x)与 y=f(-x), y=-f(x), y=f(|x|), y=|f(x)|的图象关系；并能够通过y=f(x)图象的对称和翻折得出其余四个函数图象。
（1）作出函数的图象；（2）指出函数的单调区间；（3）指出x取何值时，函数有最值。
y
y=2x
y=2x-2
y=|2x-2|
1
y=|2x-2|
O 1 23 x -1
x
y=a(a=0) 有两个交点
-4
课堂训练
f ( x) x2 4x 3 函数的单调增区间为
问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函
数的图象？
y y=f(x)+1
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2
（3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1
y=f(|x|) y=|f(x)|
f
(|
x
|)

f (x),(x 0) f (x),(x 0)
y
f (x)

f
(x), f (x) f (x), f (x)
0； 0.
y f 1(x) 与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
翻折变换
小结：
1、y=f(x)y=f(|x|)，将y=f(x)图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧，并保留y轴右侧部分。 2、 y=f(x)y=|f(x)|，将y=f(x)图象在x轴下侧部分沿x轴翻折到x轴上侧，并保留x轴上侧部分。

指数函数的图像与性质教案

指数函数的图像与性质教案一、教学目标1. 理解指数函数的定义和基本性质。

2. 能够绘制和分析指数函数的图像。

3. 掌握指数函数在实际问题中的应用。

二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式指数函数是一种特殊类型的函数，形式为f(x) = a^x，其中a 是底数，x 是指数。

指数函数的定义域是所有实数，值域是正实数。

2. 指数函数的图像特点(1) 当a > 1 时，指数函数的图像上升。

(2) 当0 < a < 1 时，指数函数的图像下降。

(3) 指数函数的图像经过点(0, 1)。

3. 指数函数的性质(1) 单调性：当a > 1 时，指数函数单调递增；当0 < a < 1 时，指数函数单调递减。

(2) 指数函数的值域为正实数。

(3) 指数函数的图像具有无限多条切线，且切线斜率恒为a。

三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和解决实际问题，深入理解指数函数的图像与性质。

2. 利用数学软件或图形计算器绘制指数函数的图像，帮助学生直观地感受指数函数的特点。

3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的思考和探索能力，巩固所学知识。

四、教学评估1. 通过课堂讲解、练习题和小组讨论，评估学生对指数函数定义、图像和性质的理解程度。

2. 布置课后作业，要求学生绘制指数函数的图像，并运用指数函数解决实际问题，以评估学生的应用能力。

3. 在课程结束后，进行一次小测验，检验学生对指数函数的整体掌握情况。

五、教学资源1. 教学PPT或教案文档，包含指数函数的定义、图像和性质的相关知识点。

2. 数学软件或图形计算器，用于绘制指数函数的图像。

3. 练习题和案例分析题，供学生巩固所学知识和应用实践。

六、教学步骤1. 引入指数函数的概念，引导学生思考指数函数在实际生活中的应用场景。

2. 讲解指数函数的定义与表达式，引导学生理解指数函数的基本形式。

3. 利用数学软件或图形计算器，绘制不同底数的指数函数图像，引导学生观察和分析指数函数的图像特点。

指数函数的图像和性质

练习:
比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7
2.5,
1.7
3
(2) 0.8 –0.1, 0.8 –0.2
(3) 1.7 0.3, 0.9 3.1
解: (1)考察指数y=1.7x.由于底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数. ∵2.5＜3, 利用函数单调性比较
∴ 1.72.5 ＜1.73
0.2
30.95 ,0.90.4 ;
2 2 2 , ; 3 3 440.5 ,40.8.

1 4

3 4
练习
2.在同一坐标系中,画出下列函数的图像: x
1y 3 ;
x
1 2y . 3
做一做
列表
在同一坐标系中画出函数y=2x与y=3x的图像,比较两个函数增长的快慢. x ... y=2x ... y=3x ...
-2
0.25 0.11
-1
0.5 0.33
0 1 1
1 2 3
2 4 9
3 8
...
10
1 024 59 049
... 27 ...
... ... ...
做一做
描点画出图像 (1)当x<0时,总有2x >3x; (2)当x>0时,总有2x <3x; (3)当x>0时,y=3x比y=2x的函数值增长得快.
(4)自左向右看,y=ax(a>1)的 (4) a>1,y=ax是增函数 x(0<a<1) 图像逐渐上升;y=a 当0<a<1,y=ax是减函数的图像逐渐下降
例题讲解
例1 比较下列各题中两个数的大小: (1)30.8,30.7; (2)0.75-0.1,0.750.1

指数函数在计算机科学中的应用

指数函数在计算机科学中的应用指数函数是一种常见的数学函数，它形式上写作 f(x) = a^x，其中 a 是常数且不等于 1。

在计算机科学中，指数函数在许多领域得到应用，从算法设计到计算机视觉。

本文将介绍指数函数在计算机科学中的重要性及其应用。

一、指数函数在算法设计中的应用指数函数在算法设计中有许多应用，我们将介绍其中两个：1. 指数增长算法指数增长算法是一种复杂度为指数级别的算法。

在这种算法中，我们可以将问题逐步划分为两个子问题，每个子问题都比原问题小一些。

尽管每个子问题的规模相对较小，但它们的总规模将随着问题规模的增大而指数级别地增长。

这种算法用于求解一些计算机科学领域的经典问题，例如背包问题、图着色问题等。

2. 指数递归算法指数递归算法用于求解一些具有指数级别递归深度的问题。

在这种算法中，每个递归调用将问题规模缩小到原来的一半，但是递归深度将随着问题规模的增大而指数级别地增加。

指数递归算法可以用于解决一些困难的计算机科学问题，例如图算法和优化问题。

二、指数函数在机器学习中的应用指数函数在机器学习中有许多应用，我们将介绍其中两个：1. 双曲正切函数双曲正切函数是一种常用的激活函数，它在神经网络中得到广泛的应用。

在训练神经网络时，我们通常使用双曲正切函数将神经元的输出映射到一个范围为[-1，1]的值。

这种方法可以很好地处理数据的非线性关系，使得神经网络可以拟合非常复杂的数据。

2. Sigmoid函数Sigmoid函数是另一种广泛使用的激活函数，在二元分类问题中得到了广泛的应用。

在这种问题中，我们要将输入数据映射到一个[0，1]区间内的值，用于表示输入数据属于目标类别的概率。

Sigmoid函数可以对输入数据进行非线性转换，并将其映射到指定范围内。

三、指数函数在计算机视觉中的应用指数函数在计算机视觉中有许多应用，我们将介绍其中两个：1. 图像变换图像变换是一种使用指数函数进行非线性变换的图像处理技术。

指数函数的傅里叶变换

指数函数的傅里叶变换指数函数的傅里叶变换是一种从时域到频域的转换，它将一个时域上的指数函数转换为其频域上的相应的指数参数。

它的最初的用途是来理解指数函数在频率域上的行为，但是近年来它也已经成为许多信号处理应用中的一个重要工具。

指数函数傅里叶变换是一种常用的傅里叶变换，它可以将一个时域上的指数函数转换为其频域上的相应的指数参数。

它通常用于分析指数函数在频率域上的特性，如响应、振荡、峰值等。

此外，它也可以用来估计系统的频域特性，包括振荡频率、振荡指数、响应和抑制。

指数函数的傅里叶变换的基本原理是，使用傅里叶变换将一个指数函数转换为频率域上的指数参数。

实际上，傅里叶变换对指数函数的应用是基于它的运动学特征，即指数函数的时间行为可以用它的频率行为表示。

因此，傅里叶变换可以将一个指数函数从时域转换到频域，从而更好地理解它的时间行为。

指数函数的傅里叶变换可以使用多种方法进行，最常用的方法是基于内积的方法。

该方法根据Fourier积分对指数函数f(t)求取其傅里叶变换F[f](ω)，其计算公式如下：F[f](ω)=∫f(t)*e^(-jωt)dt其中，ω为角频率，t为时间，f(t)为指数函数，j 为虚数单位。

此外，指数函数的傅里叶变换还可以使用定积分法来求取。

这种方法需要将指数函数分解为正弦函数和余弦函数的线性组合，然后利用傅立叶变换对正弦函数和余弦函数求取变换结果，最后将变换结果求和得到最终结果。

指数函数的傅里叶变换的应用十分广泛，它可以用来分析和诊断指数函数的特性，例如振荡频率、振荡指数、响应和抑制等。

此外，它还可以用于信号处理领域，如滤波器设计、声学信号处理、数字图像处理和数字信号处理等。

综上所述，指数函数的傅里叶变换是一种从时域到频域的转换，它可以将一个指数函数转换为其频域上的相应指数参数，可以用来估计系统的频域特性，并可以用于信号处理领域。