数学必修四-三角函数复习提纲

高一必修四：三角函数

一 任意角的概念与弧度制

（一）角的概念的推广 1、角概念的推广：

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义：

(1)正角，负角，零角 ：见上文。

(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等

(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角

终边在x 轴上的角的集合： {

}

Z k k ∈?=,180|ο

ββ 终边在y 轴上的角的集合： {

}

Z k k ∈+?=,90180|ο

οββ 终边在坐标轴上的角的集合：{

}

Z k k ∈?=,90|ο

ββ (4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+

(5)与α终边反向的角：

(21)x k απ

=++

终边在y =x 轴上的角的集合：{}

Z k k ∈+?=,45180|ο

ο

ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{

}

Z k k ∈-?=,45180|ο

οββ

(6)若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο

180 (7)成特殊关系的两角

若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=ο

ο

180360k 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：ο

ο

90360±+=βαk 注：(1)角的集合表示形式不唯一.

(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同. 3、本节主要题型：

1.表示终边位于指定区间的角.

例1:写出在720-?到720?之间与1050-?的终边相同的角. 例2:若α是第二象限的角,则2,2

α

α是第几象限的角?写出它们的一般表达形式.

例3:①写出终边在

y 轴上的集合.

②写出终边和函数

y x =-的图像重合,试写出角α 的集合.

③α在第二象限角,试确定2,

,23

αα

α所在的象限. ④θ角终边与168?角终边相同,求在[0,360)??内与

3

θ

终边相同的角.

（二）弧度制 1、弧度制的定义：

l R

α=

2、角度与弧度的换算公式：

360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

一个式子中不能角度,弧度混用. 3、题型

（1）角度与弧度的互化

例:74

315,330,,63

ππ?? （2）

L R α=

，2

11,22

l r s lr r αα===的应用问题 例1:已知扇形周长10cm ,面积2

4cm ,求中心角.

例2:已知扇形弧度数为72?,半径等于20cm ,求扇形的面积. 例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时,面积最大. 例4:1

21237570,750,,53

ααβπβπ

=-?=?==-

a.求出12,αα弧度,象限.

b.12,ββ用角度表示出,并在720~0-??之间找出，他们有相同终边的所有角. 二 任意角三角函数

（一）三角函数的定义 1、任意角的三角函数定义

正弦r y =

αsin ，余弦r x

=αcos ，正切x

y =αtan 2三角函数

定义域

=)(x f sin x {}R x x ∈| =)(x f cos x {}R x x ∈|

=)(x f tan x

?

??

???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且

（二）单位圆与三角函数线

1、单位圆的三角函数线定义

如图(1)PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线。OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线。 如图(2)A T 表示α角的正切值，叫做正切线。

注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负

（三）同角三角函数的基本关系式

同角三角函数关系式

(1) 商数关系：

αα

α

tan cos sin =

(2) 平方关系：1cos sin 22

=+αα

（四）诱导公式

x

x k x x k x

x k tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+=+πππ222 x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=-πππ222

x

x x x x

x tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+πππ

x

x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-πππ

三 三角函数的图像与性质 （一）基本图像： 1．正弦函数

2．余弦函数

α

απsin )21

cos(-=+α

απcos )21

sin(=+α

απcot )2

1

tan(-=+α

απsin )21

cos(=-α

απcos )21

sin(=-α

απcot )2

1

tan(=-

3．正切函数

（二）、函数图像的性质

正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域

R

R

{}

|1

2

x x R x k ππ∈≠+且

值域 ]1,1[+- ]1,1[+-

R

周期 π2

π2

π

奇偶

奇函数

偶函数

奇函数

单调

]

,

[ππ

ππ

k k 22

22

++-

上为增函数

],[ππ

ππ

k k 22

322++ 上为减函数(Z k ∈)

()],[ππk k 212-

上为增函数

()],[ππ122+k k

上为减函数(Z k ∈)

?

??

??++-ππππk k 22,

上为增函数 (Z k ∈)

对称

对称轴为2

x k ππ=+，

对称中心为(,0) k π， k Z

∈

对称轴为x k π=，

对称中心为

(,0)2

k ππ+

k Z

∈

无对称轴， 对称中心为

(

,0)2k π

k Z ∈

（三）、常见结论： 1.

x

y sin =与

x

y cos =的周期是

π

.

x

y tan =x

y cos =x

y sin =

2.)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y (0≠ω)的周期ω

π

2=

T .

3.

2

tan

x y =的周期为2π.

4.)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2

π

π+

=k x (Z k ∈)，对称中心(0,πk )；

)cos(?ω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z k ∈)，对称中心(0,2

1ππ+k )；

)tan(?ω+=x y 的对称中心(

0,2

πk ). 5.当αtan ·,1tan =β

)(2

Z k k ∈+

=+π

πβα；

αtan ·tan 1,β=-()2

k k Z π

αβπ-=+

∈

6.函数

x y tan =在R 上为增函数.(×)

[只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的.]

7.奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有00=)(f .(x ?0的定义域，则无此性质)

8.

x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数(π=T

)；

x

y cos =是周期函数(如图)；

x y cos =为周期函数(π=T )；

2

12cos +

=x y 的周期为π(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

y=cos |x|图象

y=|cos2x +1/2|图象

四 和角公式 两角和与差的公式

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ β

αβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

五 倍角公式和半角公式

（一）倍角与半角公式：

αααcos sin 22sin =

2

cos 12

sin

αα

-±

=

α

αααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=

2

cos 12

cos

αα

+±

=

α

αα2tan 1tan 22tan -=

sin 1cos tan

2

1cos sin α

αα

αα

-===

+

（二）万能公式：

2

tan

12

tan

2sin 2

α

α

α+=

2

tan 12

tan 1cos 2

2

α

α

α+-=

2

tan 12

tan

2tan 2

α

α

α-=

六 三角函数的积化和差与和差化积公式

()()()()()()()()1

sin cos sin sin 21

cos sin sin sin 21

cos cos cos cos 2

1

sin sin cos cos 2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=

++-????=+--????=++-????=-+--????

sin sin 2sin

cos

2

2

αβ

αβ

αβ+-+=

sin sin 2cos

sin

2

2

αβ

αβ

αβ+--=cos cos 2sin

sin

2

2

αβ

αβ

αβ+--=-

七 特殊角函数值

42675cos 15sin -=

=οο, 4

2615cos 75sin +==ο

ο, 3275cot 15tan -==οο, 3215cot 75tan +==οο