2019年高考数学仿真押题试卷(二)逐题详解
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可得 ，
则 在 方向上的投影为： ．
【答案】 ．
6．已知 ， ， 部分图象如图，则 的一个对称中心是
A． B． C． D．
【解析】解：函数的最大值为 ，最小值为 ，
得 ， ，
即 ，
，
，即 ，即 ，得 ，
则 ，
由五点对应法得 得 ，
得 ，
由 ，得 ， ，
即函数的对称中心为 ， ，
当 时，对称中心为 ， ，
13．学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用 表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量 的数学期望 的值是 ．（结果用分数表示）
【解析】解：学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，
用 表示抽取的志愿者中女生的人数，
则 的可能取值为0，1，2，
，
，
，
随机变量 的数学期望：
A． ， B． ， ，
C． D． ， ，
【解析】解：双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交双曲线左支于 、 两点，双曲线的渐近线方程为： ，
所以 斜率满足 ，即 ， ， ．
【答案】 ．
5．已知向量 ， 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为
A．1B． C． D．
【解析】解：向量 ， 满足 ，且 ，
可得 ，
A． B． C． D．
【解析】解：将函数 的图象向左平移 个单位得到
的图象，
在区间 ， 上，则 ， ， 单调递减，故 满足条件，
在区间 ， 上，则 ， ， 单调递增，故 不满足条件；
在区间 ， 上，则 ， ， 没有单调性，故 不满足条件；
在区间 ， 上，则 ， ， 单调递减，故 满足条件；
在区间 ， 上，则 ， ， 没有单调性，故 不满足条件，
【答案】 ．
7．已知等比数列 的公比为 ， ， ，且 ，则其前4项的和为
A．5B．10C． D．
【解析】解： 等比数列 的公比为 ， ， ，
，
解得 （舍去），或 ，
，
，
【答案】 ．
8．已知 是边长为2的等边三角形， 为 的中点，且 ，则
A． B．1C． D．3
【解析】
解：由 ，可得点 为线段 的三等分点且靠近点 ，过点 作 交 于点 ，
【解析】解：（Ⅰ）当 时，不等式变形为 ，解得 ；
当 时，不等式变形为 ，解得 ；
当 时，不等式变形为 ，解得 ；
综上得 ．
（Ⅱ） ， ， ， ，
，
， ， ， ， ，
， ，即 ．
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值．
【解析】解：（Ⅰ）由曲线 的参数方程消去参数 可得曲线 的普通方程为： ，即 ，化为极坐标方程为 ．
（Ⅱ）直线 的极坐标方程为 ，
将 代入方程 ，得 ， ，
．
23．已知不等式 的解集是 ．
（Ⅰ）求集合 ；
（Ⅱ）设 ， ，对任意 ，求证： ．
设 ， ， 分别为 ， 的中点，则 ，
平面 ．
由（Ⅰ）得，以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 ，可知 ， ．
则 ，0， ， ， ， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ．
平面 的一个法向量 ．
设二面角 的平面角为 ，则 ．
即二面角 的余弦值为 ．
19．已知动直线 与 轴交于点 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，点 满足 ， 的轨迹为 ．
证明：设 ， ， ， 的坐标依次为 ， ，2，3， ．
直线 的方程为： ，联立 ，化为： ，
， ，
设直线 的方程为： ，联立 ，化为： ，
， ．同理可得： ．
， ．
为定值．
20．某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能 或者 ，两种可能对应的概率均为0.5．假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据．
．
故答案为： ．
14．若 ，则 的值是．
【解析】解：已知： ，
根据三角函数的诱导公式，
，
所以：
则： ，
则： ．
故答案为：
15．已知点 是抛物线 的焦点，点 为抛物线 上任意一点，过点 向圆 作切线，切点分别为 ， ，则四边形 面积的最小值为 ．
【解析】解：如下图所示：
圆的圆心与抛物线的焦点重合，
若四边形 的面积最小，
【答案】 ．
2．已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解析】解： ，得 ， ，
由 ，得 ．
．
【答案】 ．
3．已知 ，则 展开式中 项的系数为
A．10B． C．80D．
【解析】解： 已知 ，则 展开式的通项公式为
，
令 ，求得 ，故展开式中 项的系数为 ，
【答案】 ．
4．已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交双曲线左支于 、 两点，则 斜率的范围为
17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积．
【解析】解：（Ⅰ）证明： ，
由正弦定理可得： ，可得： ，
，
，
， ，
，
， ，
，即 ．
（Ⅱ） ， ，又 ，所以 ， ，
由正弦定理得 ， ，
．
18．梯形 中， ， ， ， ，过点 作 ，交 于 （如图 ．现沿 将 折起，使得 ，得四棱锥 （如图 ．
则 最小，
即 距离准线最近，
故满足条件时， 与原点重合，
此时 ， ，
此时四边形 面积 ，
故答案为： ．
16．设数列 是递减的等比数列，且满足 ， ，则 的最大值为64．
【解析】解：设递减的等比数列 的公比为 ， ， ，
， ，
解得 ， ．
， ， ， ， ． 时， ．
．
的最大值为64．
故答案为：64．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）已知点 ，点 ，过 作斜率为 的直线交 于 ， 两点，延长 ， 分别交 于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，求证： 为定值．
【解析】解： 动直线 与 轴交于点 ，
直线 ， 直线 的方程为： ，交 轴于点 ， ．
设 ，点 满足 ，
， ， ．
， ．
消去 可得： ．即为 的轨迹方程 ．
，
在不开箱检验的情况下，可以购买．
（Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
0.64
0.32
0.04
．
设事件 ：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，
则 （A） ，
一箱产品中，设正品的价格的期望值为 ，则 ，9000，
事件 ：抽取的废品率为 的一箱，则 ，
事件 ：抽取的废品率为 的一箱，则 ，
甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为 ．
【答案】 ．
10．已知 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是
A．0B．2C．5D．6
【解析】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示；
由 解得 ，
此时直线 在 轴上的截距最大，
所以目标函数 的最大值为
．
【答案】 ．
11．将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象，则 在下列那个区间上单调递减
则 等价于 恒成立．
即 恒成立，即 恒成立．
令 ， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减．
．
．
故实数 的取值范围为 ．
请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 为参数，直线 ，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（Ⅱ）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．
若此箱出现的废品率为 ，记抽到的废品数为 ，求 的分布列和数学期望；
若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废来自百度文库，判断是否可以购买．
【解析】解：（Ⅰ）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：
，
已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．
21．已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求过点 与曲线 相切的切线方程；
（Ⅱ）若不等式 恒成立，求 的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）当 时， ， ，
设切点为 ， ，则 ，得 ．
所求切线方程为 ；
（Ⅱ）依题意，得 ，
即 ，也就是 恒成立，
令 ，则 在 上单调递增，
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 为 的中点，求二面角 的余弦值．
【解析】（Ⅰ）证明：在 中， ， ， ，
又 ， ，
又 ， 四边形 为平行四边形，
， 平行四边形 为菱形，则 ，
又 ， ， 平面 ， ，
平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ；
（Ⅱ）解： 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ， ， 平面 ，
则 ，
【答案】 ．
9．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为
A． B． C． D．
【解析】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，
每个县区至少派一位专家，
基本事件总数 ，
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数 ，
【答案】 ．
12．已知 为定义在 上的偶函数， ，且当 ， 时， 单调递增，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【解析】解：根据题意， ，
则 ，
若 为偶函数，则 ，即可得函数 为偶函数，
又由当 ， 时， 单调递增，
则 ，解可得 ，
即不等式的解集为 ， ；
【答案】 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
高考数学终极仿真预测试卷2
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 满足 ，则复数 在复平面内表示的点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】解：由 ，得 ，
复数 在复平面内表示的点的坐标为 ，所在的象限为第一象限．
则 在 方向上的投影为： ．
【答案】 ．
6．已知 ， ， 部分图象如图，则 的一个对称中心是
A． B． C． D．
【解析】解：函数的最大值为 ，最小值为 ，
得 ， ，
即 ，
，
，即 ，即 ，得 ，
则 ，
由五点对应法得 得 ，
得 ，
由 ，得 ， ，
即函数的对称中心为 ， ，
当 时，对称中心为 ， ，
13．学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用 表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量 的数学期望 的值是 ．（结果用分数表示）
【解析】解：学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，
用 表示抽取的志愿者中女生的人数，
则 的可能取值为0，1，2，
，
，
，
随机变量 的数学期望：
A． ， B． ， ，
C． D． ， ，
【解析】解：双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交双曲线左支于 、 两点，双曲线的渐近线方程为： ，
所以 斜率满足 ，即 ， ， ．
【答案】 ．
5．已知向量 ， 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为
A．1B． C． D．
【解析】解：向量 ， 满足 ，且 ，
可得 ，
A． B． C． D．
【解析】解：将函数 的图象向左平移 个单位得到
的图象，
在区间 ， 上，则 ， ， 单调递减，故 满足条件，
在区间 ， 上，则 ， ， 单调递增，故 不满足条件；
在区间 ， 上，则 ， ， 没有单调性，故 不满足条件；
在区间 ， 上，则 ， ， 单调递减，故 满足条件；
在区间 ， 上，则 ， ， 没有单调性，故 不满足条件，
【答案】 ．
7．已知等比数列 的公比为 ， ， ，且 ，则其前4项的和为
A．5B．10C． D．
【解析】解： 等比数列 的公比为 ， ， ，
，
解得 （舍去），或 ，
，
，
【答案】 ．
8．已知 是边长为2的等边三角形， 为 的中点，且 ，则
A． B．1C． D．3
【解析】
解：由 ，可得点 为线段 的三等分点且靠近点 ，过点 作 交 于点 ，
【解析】解：（Ⅰ）当 时，不等式变形为 ，解得 ；
当 时，不等式变形为 ，解得 ；
当 时，不等式变形为 ，解得 ；
综上得 ．
（Ⅱ） ， ， ， ，
，
， ， ， ， ，
， ，即 ．
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值．
【解析】解：（Ⅰ）由曲线 的参数方程消去参数 可得曲线 的普通方程为： ，即 ，化为极坐标方程为 ．
（Ⅱ）直线 的极坐标方程为 ，
将 代入方程 ，得 ， ，
．
23．已知不等式 的解集是 ．
（Ⅰ）求集合 ；
（Ⅱ）设 ， ，对任意 ，求证： ．
设 ， ， 分别为 ， 的中点，则 ，
平面 ．
由（Ⅰ）得，以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 ，可知 ， ．
则 ，0， ， ， ， ， ，0， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ．
平面 的一个法向量 ．
设二面角 的平面角为 ，则 ．
即二面角 的余弦值为 ．
19．已知动直线 与 轴交于点 ，过点 作直线 ，交 轴于点 ，点 满足 ， 的轨迹为 ．
证明：设 ， ， ， 的坐标依次为 ， ，2，3， ．
直线 的方程为： ，联立 ，化为： ，
， ，
设直线 的方程为： ，联立 ，化为： ，
， ．同理可得： ．
， ．
为定值．
20．某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能 或者 ，两种可能对应的概率均为0.5．假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱．现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据．
．
故答案为： ．
14．若 ，则 的值是．
【解析】解：已知： ，
根据三角函数的诱导公式，
，
所以：
则： ，
则： ．
故答案为：
15．已知点 是抛物线 的焦点，点 为抛物线 上任意一点，过点 向圆 作切线，切点分别为 ， ，则四边形 面积的最小值为 ．
【解析】解：如下图所示：
圆的圆心与抛物线的焦点重合，
若四边形 的面积最小，
【答案】 ．
2．已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解析】解： ，得 ， ，
由 ，得 ．
．
【答案】 ．
3．已知 ，则 展开式中 项的系数为
A．10B． C．80D．
【解析】解： 已知 ，则 展开式的通项公式为
，
令 ，求得 ，故展开式中 项的系数为 ，
【答案】 ．
4．已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交双曲线左支于 、 两点，则 斜率的范围为
17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积．
【解析】解：（Ⅰ）证明： ，
由正弦定理可得： ，可得： ，
，
，
， ，
，
， ，
，即 ．
（Ⅱ） ， ，又 ，所以 ， ，
由正弦定理得 ， ，
．
18．梯形 中， ， ， ， ，过点 作 ，交 于 （如图 ．现沿 将 折起，使得 ，得四棱锥 （如图 ．
则 最小，
即 距离准线最近，
故满足条件时， 与原点重合，
此时 ， ，
此时四边形 面积 ，
故答案为： ．
16．设数列 是递减的等比数列，且满足 ， ，则 的最大值为64．
【解析】解：设递减的等比数列 的公比为 ， ， ，
， ，
解得 ， ．
， ， ， ， ． 时， ．
．
的最大值为64．
故答案为：64．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）已知点 ，点 ，过 作斜率为 的直线交 于 ， 两点，延长 ， 分别交 于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，求证： 为定值．
【解析】解： 动直线 与 轴交于点 ，
直线 ， 直线 的方程为： ，交 轴于点 ， ．
设 ，点 满足 ，
， ， ．
， ．
消去 可得： ．即为 的轨迹方程 ．
，
在不开箱检验的情况下，可以购买．
（Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
0.64
0.32
0.04
．
设事件 ：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，
则 （A） ，
一箱产品中，设正品的价格的期望值为 ，则 ，9000，
事件 ：抽取的废品率为 的一箱，则 ，
事件 ：抽取的废品率为 的一箱，则 ，
甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为 ．
【答案】 ．
10．已知 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是
A．0B．2C．5D．6
【解析】解：画出约束条件 表示的平面区域，如图所示；
由 解得 ，
此时直线 在 轴上的截距最大，
所以目标函数 的最大值为
．
【答案】 ．
11．将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象，则 在下列那个区间上单调递减
则 等价于 恒成立．
即 恒成立，即 恒成立．
令 ， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减．
．
．
故实数 的取值范围为 ．
请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 为参数，直线 ，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（Ⅱ）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．
若此箱出现的废品率为 ，记抽到的废品数为 ，求 的分布列和数学期望；
若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废来自百度文库，判断是否可以购买．
【解析】解：（Ⅰ）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：
，
已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．
21．已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求过点 与曲线 相切的切线方程；
（Ⅱ）若不等式 恒成立，求 的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）当 时， ， ，
设切点为 ， ，则 ，得 ．
所求切线方程为 ；
（Ⅱ）依题意，得 ，
即 ，也就是 恒成立，
令 ，则 在 上单调递增，
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 为 的中点，求二面角 的余弦值．
【解析】（Ⅰ）证明：在 中， ， ， ，
又 ， ，
又 ， 四边形 为平行四边形，
， 平行四边形 为菱形，则 ，
又 ， ， 平面 ， ，
平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ；
（Ⅱ）解： 平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ， ， 平面 ，
则 ，
【答案】 ．
9．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为
A． B． C． D．
【解析】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，
每个县区至少派一位专家，
基本事件总数 ，
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数 ，
【答案】 ．
12．已知 为定义在 上的偶函数， ，且当 ， 时， 单调递增，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【解析】解：根据题意， ，
则 ，
若 为偶函数，则 ，即可得函数 为偶函数，
又由当 ， 时， 单调递增，
则 ，解可得 ，
即不等式的解集为 ， ；
【答案】 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
高考数学终极仿真预测试卷2
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数 满足 ，则复数 在复平面内表示的点所在的象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解析】解：由 ，得 ，
复数 在复平面内表示的点的坐标为 ，所在的象限为第一象限．