2020东北三校一模理科数学

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东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则

东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)、选择题:本题共 12小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代,世界上许多国家都流传着这样一个题目:任取一个正整数 n ,如果它是偶数,则除以 2;如果它是奇数,则将它乘以 3 加 1,这样反复运算,最后结果必然 是1 ,这个题目在东方称为“角谷猜想” ,世界一流的大数学家都被其卷入其中,用尽了各 种方法,甚至动用了最先进的电子计算机, 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的,但却给不出一般性的证明,例如取 n 13,则要想算出结果 1,共需要经过的运算步数 是( )A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注:e 为自然对数的底数),则下列关系正确的是 ( )A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中,1BD DC ,则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x,B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R), z i1 是实数,那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面,直线 m ,下列命题中正确的是( A.若 ,则 m ∥ B.若 ,则 m C.若 m∥,则 ∥D.若 m ,则C.[3, )7.如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, ED 平面 ABCD , FC 平面 ABCD ,y 轴对称,则2nb n 为数阵从左至右的 n 列,从上到下的 n 行共 n 2个数的和,则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ,则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后,其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ,上顶点为A(0,b) ,直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ,则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已 知 定 义 在 R 上的函 数 f (x) , 满 足 f(1 x) f (1 x) , 当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, ),则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵,记第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)4 小题,每小题5 分,共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增 大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术, 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上, 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%,充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电,那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f (x ) e x ae x 在[ 0,1]上不单调,则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1,a n (2S n 1) 2S n 2(n 2,n N *),则 a n =.16.已知函数 f (x ) (x 2 a )2 3x 2 1 b ,当 时(从①②③④中选出一个作为条件),函数有 .(从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论,只填出一组即可)一)必考题:共 60 分 .17. (本小题满分 12 分)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 2bcosC 2a c (Ⅰ)求 B ;(Ⅱ)若 a 2, D 为AC 的中点,且 BD 3,求 c .18. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中, BB 1 平面 ABC , AB BC , AB 2,BC 1,1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、F2 , 点3 1 2P 在双曲线上,且 F 1PF 2 120 ,F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ,则 PA ( )A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题:本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 (Ⅱ)F 是线段CC1上一点,且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3,求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. (本小题满分12 分)为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联,某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本,调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状,A 症状:入睡困难;B 症状:醒的太早;C 症状:不能深度入睡或做梦,得到的调查数据如下:数据1:出现A症状人数为8.5 万,出现B症状人数为9.3 万,出现C 症状人数为 6.5万,其中含AB症状同时出现 1.8 万人,AC症状同时出现1万人,BC症状同时出现2万人,ABC症状同时出现0.5 万人;数据2:同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人,没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.(Ⅰ)依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少?(Ⅱ)根据以上数据完成如下列联表,并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”?n(ad bc)2参考公式:K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切,与定圆⊙ F:(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ;(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线,垂足记为M 1、N1 ,直线l 交x轴于点A,记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ,且S22 4S1S3 ,证明:直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数,求函数f ( x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值,求实数a 的取值范围.二)选考题:共 10 分,请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做,则按所做的第 题计分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4:坐标系与参数方程 ]Ⅰ)求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程;Ⅱ)设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点,求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5:不等式选将 ]设函数 f (x ) x 2 x 3(Ⅰ)求不等式 f (x ) 9的解集;(Ⅱ)过关于 x 的不等式 f (x ) 3m 2 有解,求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解析:(Ⅰ)由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中,参数方程x cos (其中 y sin为参数)的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ,以原点 O 为极点, yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 D 的极坐标方程为 sin (3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ,因为0 C ,所以sinC0,所以cosB1.因为0 B ,所以2.2B.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur(Ⅱ)因为D 为AC 的中点,所以BA BC2BD ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2,即a2 2 c ac12,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2,解方程c22c 8 0,得c 4 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析:(I )连结AB1交A1B于O,连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1,DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ,因此,四边形DEOC 1为平行四边形,即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ,如图过F 作FH BB1 ,连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1,即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为,sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中,5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20.解析:ur 设平面 BAC 1的法向量 m (x, y,z ),ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ,取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ,⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此,二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析:设 A {出现 A 症状的人} 、 B 示有限集合元素个数) 根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人}、 C {出现 C 症状的人}( card 表 1 可 知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5,所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数(万)不失眠人数(万)患病人数(万) 5 7 12 不患病人数(万)15 73 882080100得患病总人数为 20 万人,比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ)设P x,y ,e P 半径为 R ,则R x 1, PF 21R 1 ,所以点 P 到直线 x2 1的 距离与到 F 1,0 的距离相等,故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ)设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ,则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221.解析: (Ⅰ) f x ln x 1 ax2 x .令 h xln x 1 ax ,1 fxhxa ; .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时 ,h x 0 ,f 'x在 1, 上 递 增 ,无减 区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时,令 hx011 x 1,a令 h x0x11a所以, f 'x 在 1,11 上单调递增, 在 11, 上单调递减; .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 a 0 时,f ' x在 0, 上递增, f ' xf ' 0 0在 0,上递增,无最大值, 不合题意;x所以,当x0时,h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1.取t4211,则t 1 ,且h t t 1 2 a t 10.a a又因为h11h0 0,所以由零点存在性定理,存在x01 1,t ,使得a ah x00;⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时,h x0 ,即f x 0;当x x0 ,时,h x0 ,即f x0;所以, f x 在0, x0上单调递增,在x0 ,上单调递减,在0,上有最大值f x0 .综上,0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时用2.B.铅.笔.在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

【附加15套高考模拟试卷】东北三校(哈尔滨师大附中等)2020高三第一次联合考试数学(理)试题含答案

【附加15套高考模拟试卷】东北三校(哈尔滨师大附中等)2020高三第一次联合考试数学(理)试题含答案

东北三校(哈尔滨师大附中等)2020高三第一次联合考试数学(理)试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.在平面斜坐标系xOy 中,45xOy ∠=︒,点P 的斜坐标定义为“若0102OP x e y e =+u u u v(其中12,e e 分别为与斜坐标系的x 轴、y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为()00,x y ”.若()11,0F -,()21,0F ,且动点(),M x y 满足12MF MF =u u u u v u u u u v,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A.0x -= B.0x += C0y -= D0y +=2.已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x ≠,且()()122f x f x +=,则12x x +的取值范围是( ) A .[)2,+∞ B .[)1,e -+∞C .[]32ln 2,-+∞ D .[]32ln3,-+∞3.已知直线l :10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则||AB =( ) A .2B.C .6D.4.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点,若||8AB =,则线段AB的中点M 到直线10x +=的距离为( ) A .2B .4C .8D .165.若函数()2sin(2)cos (0)2f x x x πθθ=+⋅<<的图象过点(0,2),则( )A .点(,0)4π是()y f x =的一个对称中心 B .直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C .函数()y f x =的最小正周期是2πD .函数()y f x =的值域是[0,2]6.设()f x 为定义在R 上的函数,当0x ≥时,()22()x f x x b b =++为常数,则(1)f -= A .-3B .-1C .1D .37.设直线0x y a -+=与圆222420x y x y ++-+=相交于A ,B 两点,若||2AB =,则a =( )A .-1或1B .1或5C .-1或3D .3或58.已知()()sin f x A B ωϕ=++ (0,0,)2A πωϕ>><部分图象如图,则()f x 的一个对称中心是( )A .5,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B .,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C .,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D .5,06π⎛⎫⎪⎝⎭ 9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足()121,223n n na S a n S =-++=≥,则下面选项为等差数列的是( ) A .{}1n S +B .{}1n S -C .11nS ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ D .11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ 10.已知||()2x f x x =g ,3(log 5)a f =,31(log )2b f =,(3)c f ln =,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c b a >>B .b c a >>C .a b c >>D .c a b >>11.直线y =kx +3与圆(x -3)2+(y -2)2=4相交于M ,N 两点,若23MN ≥,则k 的取值范围是( ). A .3[,0]?4-B .(-∞,34-]∪[0,+∞) C .33[,]- D .2[,0]3-12.已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-,则()cos22sin f x x x x A =+∈,的值域为( )A .31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C .11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D .2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2020年东北三省三校高三第一次模拟考理科数学试卷含解析

2020年东北三省三校高三第一次模拟考理科数学试卷含解析

D.VS
第 H 卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分 ,共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力
蓄电池技术作为新能源、汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源、汽车发展的主要动力. 假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池 充放电循环次数达到2000次的概率为 85字号,充放电循环次数达到2500次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000次充电,那么他的车能够充电 2500次的概率为
f(x
)=
I ri

一 lx-21,xξ[1,3)
/工 ← 1\
\2f(丁),巾,+∞)
’ 则函数
f(x )的图象与函数
rlnx,x二三1 g(x)=j\ln(2,--x)以1的图象
在区间[-5,7]上所有交点的横坐标之和为
A. 5
B. 6
C. 7
11.己知数列{a"}的通项公式为ι = 2η十2,将这个数列中的项摆
AB_lBC,AB = 2,BC二 l,BB I 二3,D是CC1 的中点,
E是AB 的中点.
C I )证明:DE//平面C1 BA1 ;
t C II) F是线段CC1 上一 点,且直线 AF与平面ABB1 A1 所成角的正弦值为 ,求二面角F BAi A的余 A
弦值.
D
C1
19.(本小题满分12分) 为了研究 55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联,某机构在适龄人群中随机抽 取了100万个样本,调查 了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状, A 症状:人睡困 难;B症状:醒得太早;C症状:不能深度入睡或做梦,得到的调查数据如下: 数据l:出现A 症状人数为8.5万,出现B 症状人数为9.3万,出现C症状人数为6. 5万,其中 含 AB 症状同时出现1.8万人,AC症状同时出现1 万人,BC症状同时出现2万人,ABC症状 同时出现0.5万人; 数据2:同时有失眠症状和忠心脑血管病的人数为5万人,没有失眠症状且无心脑血管病的人 数为73万人.

2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)

2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)

2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合2{|230}A x x x =--<,1|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,则()(R A B =U ð )A .(-∞,1)(3-⋃,)+∞B .(-∞,1][3-U ,)+∞C .[3,)+∞D .(-∞,1][1-U ,)+∞2.(5分)已知复数(,)z a bi a b R =+∈,1zi +是实数,那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A .0a b +=B .0a b -=C .20a b -=D .20a b +=3.(5分)已知α,β是两个不同的平面,直线m α⊂,下列命题中正确的是( ) A .若αβ⊥,则//m βB .若αβ⊥,则m β⊥C .若//m β,则//αβ D .若m β⊥,则αβ⊥4.(5分)大约在20世纪30年代,世界上许多国家都流传着这样一个题目:任取一个正整数n ,如果它是偶数,则除以2;如果它是奇数,则将它乘以3加1,这样反复运算,最后结果必然是1,这个题目在东方称为“角谷猜想”,世界一流的大数学家都被其卷入其中,用尽了各种方法,甚至动用了最先进的电子计算机,验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的,但却给不出一般性的证明,例如取13n =,则要想算出结果1,共需要经过的运算步数是( ) A .9B .10C .11D .125.(5分)已知3a ln =,3log b e =,log c e π=(注:e 为自然对数的底数),则下列关系正确的是( ) A .b a c <<B .c b a <<C .b c a <<D .a b c <<6.(5分)已知在边长为3的等边ABC ∆的中,12BD DC =u u u r u u u r ,则(AD AC =u u u r u u u r g )A .6B .9C .12D .6-7.(5分)如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,ED ⊥平面ABCD ,FC ⊥平面ABCD ,22ED FC ==,则四面体A BEF -的体积为( )A.13B.23C.1D.438.(5分)已知函数()sin23cos2f x x x=+的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后,其图象关于y轴对称,则(ϕ=)A.12πB.6πC.3πD.512π9.(5分)已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为(,0)F c,上顶点为(0,)A b,直线2axc=上存在一点P满足()0FP FA AP+=u u u r u u u r u u u rg,则椭圆的离心率取值范围为() A.1[,1)2B.2[,1)C.51[,1)-D.2(0,] 10.(5分)已知定义在R上的函数()f x,满足(1)(1)f x f x+=-,当[1x∈,)+∞时,1|2|,[1,3)()12(),[3,)2x xf x xf x--∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则函数()f x的图象与函数,1()(2),1lnx xg xln x x⎧=⎨-<⎩…的图象在区间[5-,7]上所有交点的横坐标之和为()A.5B.6C.7D.911.(5分)已知数列{}na的通项公式为22na n=+,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵,记nb为数阵从左至右的n列,从上到下的n行共2n个数的和,则数列nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为()A.10112020B.20192020C.20202021D.1010202112.(5分)已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在双曲线上,且12120F PF ∠=︒,12F PF ∠的平分线交x 轴于点A ,则||(PA = )A B C D二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.(5分)近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大,动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为 . 14.(5分)已知函数()x x f x e ae -=+在[0,1]上不单调,则实数a 的取值范围为 .15.(5分)数列{}n a 满足11a =,2*(21)2(2,)n n na S S n n N -=∈…,则n a = . 16.(5分)已知函数222()()3|1|f x x a xb =----,当 时(从①②③④中选出一个作为条件)函数有 .(从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论,只填出一组即可) ①12a -„②3522a <<③1a =,20b -<<④1a =,924b -<<-或0b =⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一)必考题:共60分. 17.(12分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos 2b C a c =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2a =,D 为AC 的中点,且BD =c .18.(12分)如图,三棱柱111A B C ABC -中,1BB ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2AB =,1BC =,13BB =,D 是1CC 的中点,E 是AB 的中点.(Ⅰ)证明://DE 平面11C BA ;(Ⅱ)F 是线段1CC 上一点,且直线AF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为13,求二面角1F BA A --的余弦值.19.(12分)为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联,某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本,调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状,A 症状:入睡困难;B 症状:醒的太早;C 症状:不能深度入睡或做梦,得到的调查数据如下:数据1:出现A 症状人数为8.5万,出现B 症状人数为9.3万,出现C 症状人数为6.5万,其中含AB 症状同时出现1.8万人,AC 症状同时出现1万人,BC 症状同时出现2万人,ABC 症状同时出现0.5万人;数据2:同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人,没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.(Ⅰ)依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少?(Ⅱ)根据以上数据完成如表列联表,并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”?失眠 不失眠 合计 患心脑血管疾病 不患心脑血管疾病合计参考数据如表:20()P K k …0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 20()P K k …0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k3.8415.0246.6357.87910.828参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20.(12分)已知以动点P 为圆心的P e 与直线1:2l x =-相切,与定圆221:(1)4F x y -+=e 相外切.(Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程C ;(Ⅱ)过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、(N MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线,垂足记为1M 、1N ,直线l 交x 轴于点A ,记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ,且22134S S S =,证明:直线MN 过定点. 21.(12分)已知函数21()(1)(1)()2f x x ln x ax x a R =++--∈.(Ⅰ)设()f x '为函数()f x 的导函数,求函数()f x '的单调区间; (Ⅱ)若函数()f x 在(0,)∞上有最大值,求实数a 的取值范围.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy 中,参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换2:x xy yϕ'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线D 的极坐标方程为sin()4πρθ+=(Ⅰ)求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程;(Ⅱ)设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点,求||MN 的最小值. [选修4-5:不等式选讲] 23.设函数()|2||3|f x x x =++- (Ⅰ)求不等式()9f x >的解集;(Ⅱ)过关于x 的不等式()|32|f x m -…有解,求实数m 的取值范围.2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合2{|230}A x x x =--<,1|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,则()(R A B =U ð )A .(-∞,1)(3-⋃,)+∞B .(-∞,1][3-U ,)+∞C .[3,)+∞D .(-∞,1][1-U ,)+∞【解答】解:集合2{|230}(1,3)A x x x =--<=-, 1|1(0,1)B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭,A B B =U ,则()(R A B =-∞U ð,1][3-U ,)+∞ 故选:B .2.(5分)已知复数(,)z a bi a b R =+∈,1zi +是实数,那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A .0a b +=B .0a b -=C .20a b -=D .20a b +=【解答】解:由(,)z a bi a b R =+∈, 得()(1)11(1)(1)22z a bi a bi i a b b a i i i i i ++-+-===++++-, 由题意,0b a -=. 故选:B .3.(5分)已知α,β是两个不同的平面,直线m α⊂,下列命题中正确的是( ) A .若αβ⊥,则//m βB .若αβ⊥,则m β⊥C .若//m β,则//αβ D .若m β⊥,则αβ⊥【解答】解:对于选项A :若αβ⊥,则//m β也可能m β⊥,故错误. 对于选项B :若αβ⊥,则m β⊥也可能//m β,故错误. 对于选项C :若//m β,则//αβ也可能α与β相交,故错误.对于选项D ,直线m α⊂,m β⊥,则αβ⊥是面面垂直的判定,故正确. 故选:D .4.(5分)大约在20世纪30年代,世界上许多国家都流传着这样一个题目:任取一个正整数n ,如果它是偶数,则除以2;如果它是奇数,则将它乘以3加1,这样反复运算,最后结果必然是1,这个题目在东方称为“角谷猜想”,世界一流的大数学家都被其卷入其中,用尽了各种方法,甚至动用了最先进的电子计算机,验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的,但却给不出一般性的证明,例如取13n =,则要想算出结果1,共需要经过的运算步数是( ) A .9B .10C .11D .12【解答】解:由题意任取一个正整数n ,如果它是偶数,则除以2;如果它是奇数,则将它乘以3加1,第一步:13n =为奇数,则133140n =⨯+=, 第二步,40n =为偶数,则40202n ==, 第三步,20n =为偶数,则20102n ==, 第四步,10n =为偶数,则1052n ==, 第五步,5n =为奇数,则53116n =⨯+=, 第六步,16n =为偶数,则1682n ==, 第七步,8n =为偶数,则842n ==, 第八步,4n =为偶数,则422n ==, 第九步,2n =为偶数,则212n ==. ∴取13n =,要想算出结果1,共需要经过的运算步数是9.故选:A .5.(5分)已知3a ln =,3log b e =,log c e π=(注:e 为自然对数的底数),则下列关系正确的是( ) A .b a c <<B .c b a <<C .b c a <<D .a b c <<【解答】解:331log log a ln b e c e π=>>=>=, a b c ∴>>,故选:B.6.(5分)已知在边长为3的等边ABC∆的中,12 BD DC=u u u r u u u r,则(AD AC=u u u r u u u rg) A.6B.9C.12D.6-【解答】解:Q22222()()333cos1206333AD AC AC CD AC AC CB AC AC AC CB=+=+=+=+⨯⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g;故选:A.7.(5分)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,22ED FC==,则四面体A BEF-的体积为()A.13B.23C.1D.43【解答】解:Q四边形ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,22ED FC==,∴以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DE为z轴,建立空间直角坐标系,(2A,0,0),(2B,2,0),(0E,0,2),(0F,2,1),(0BA=u u u r,2-,0),(2BF=-u u u r,0,1),(2BE=-u u u r,2-,2),BA BF=u u u r u u u rg,11||||25522ABFS BA BF∆∴=⨯⨯=⨯=u u u r u u u r,设平面ABF的法向量(n x=r,y,)z,则2020n BA yn BF x z⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u rrgu u u rrg,取1x=,得(1n=r,0,2),E∴到平面ABF的距离||||5n BEdn==u u u rrgr∴四面体A BEF -的体积为:11253335A BEF E ABF ABF V V S d --∆==⨯⨯=⨯⨯=.故选:B .8.(5分)已知函数()sin 232f x x x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后,其图象关于y 轴对称,则(ϕ= ) A .12πB .6π C .3π D .512π 【解答】解:把函数()sin 23cos22sin(2)3f x x x x π==+的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后,可得2sin(22)3y x πϕ=-+的图象,根据所得图象关于y 轴对称,可得232k ππϕπ-+=+,k Z ∈.即212k ππϕ=--,再令1k =-,可得512πϕ=, 故选:D .9.(5分)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ,上顶点为(0,)A b ,直线2a x c =上存在一点P 满足()0FP FA AP +=u u u r u u u r u u u rg ,则椭圆的离心率取值范围为( )A .1[,1)2B .2[C .51[-D .2] 【解答】解:设2(a P c ,)y ,由()0FP FA AP +=u u u r u u u r u u u r g ,则2(a FP FA c c +=-u u u r u u u r ,)(y c +-,2)(2a b c c=-,)y b +,2(a AP c=u u u r ,)y b -,所以由()0FP FA AP +=u u u r u u u r u u u r g ,可得:22(2)()()0a a c y b y b c c -++-=g ,可得:4222 22aa b yc--=-„,整理可得:4222222()0a a c a c c---„,即42310e e-+„,解得:23535e-+剟,即5151e-+剟,由于椭圆的离心率小于1,所以511e-<„,故选:C.10.(5分)已知定义在R上的函数()f x,满足(1)(1)f x f x+=-,当[1x∈,)+∞时,1|2|,[1,3)()12(),[3,)2x xf x xf x--∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则函数()f x的图象与函数,1()(2),1lnx xg xln x x⎧=⎨-<⎩…的图象在区间[5-,7]上所有交点的横坐标之和为()A.5B.6C.7D.9【解答】解:根据题意,函数()f x满足(1)(1)f x f x+=-,则()f x的图象关于直线1x=对称,而函数,1()(2),1lnx xg xln x x⎧=⎨-<⎩…的图象也关于直线1x=对称,作出函数()f x和()g x图象如图:由图可知,所以交点横坐标之和3217=⨯+=,故选:C.11.(5分)已知数列{}na的通项公式为22na n=+,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵,记nb为数阵从左至右的n列,从上到下的n行共2n个数的和,则数列nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为()A .10112020B .20192020C .20202021D .10102021【解答】解:由题意,设数列{}n a 的前n 项和为n S . Q 数列{}n a 的通项公式为22n a n =+,∴数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列. ∴第1行的所有项的和即为:212(1)4232n n n n a a a S n n n -++⋯+==+=+g . 则第2行的所有项的和为:23112()()()n n n a a a a d a d a d S nd +++⋯+=++++⋯++=+;第3行的所有项的和为:34212(2)(2)(2)2n n n a a a a d a d a d S nd +++⋯+=++++⋯++=+;g g g第n 行的所有项的和为:12112[(1)][(1)][(1)](1)n n n n n a a a a n d a n d a n d S n nd +-++⋯+=+-+++-+⋯++-=+-; 12231342121()()()()n n n n n n n b a a a a a a a a a a a a +++-∴=++⋯++++⋯++++⋯++⋯+++⋯+ ()(2)[(1)]n n n n S S nd S nd S n nd =+++++⋯++- [12(1)]n nS n nd =+++⋯+-g2(1)(3)22n nn n n n -=++g g 22(1)n n =+.21111()2(1)2(1)21n n n b n n n n n n ===-+++. ∴数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为122020122020b b b ++⋯+11111111(1)()()22223220202021=-+-+⋯+- 111111(1)222320202021=-+-+⋯+- 11(1)22021=- 10102021=. 故选:D .12.(5分)已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在双曲线上,且12120F PF ∠=︒,12F PF ∠的平分线交x 轴于点A ,则||(PA = )ABCD【解答】解:由题意可得21a =,23b =,在三角形12PF F 中,设P 在右支上,由余弦定理可得22221212121212122cos120()2F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF =+-︒=-++g gg , 即2212443c a PF PF =+,所以可得222124()4434333c a b PF PF -⨯====,1222PF PF a -==,可得11PF =,21PF =,所以121211sin120422PF F S PF PF =︒=⨯=V g g 因为PA 为角平分线,所以1260F PA F PA ∠=∠=︒,而1212121211(sin 60sin 60)()11)22PF F PF A PF A S S S PF PA PF PA PA PF PF =+=︒+︒=+V V V g g g g ,PA,所以PA =, 故选:B .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.(5分)近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大,动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为 717. 【解答】解:设事件A :车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次, 事件B :车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次, 则P (A )85100=,35()100P AB =, 所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为35()357100(|)85()8517100P AB P A B P B ====, 故答案为:717. 14.(5分)已知函数()x x f x e ae -=+在[0,1]上不单调,则实数a 的取值范围为 2(1,)e . 【解答】解:由题意可得,()0x xaf x e e '=-=在[0,1]上有变号零点, 故2x a e =在[0,1]上有变号零点,因为2x y e =在[0,1]上单调,2[1x e ∈,2]e , 故21a e <<, 故答案为:2(1,)e15.(5分)数列{}n a 满足11a =,2*(21)2(2,)n n na S S n n N -=∈…,则n a = 21,12,2483n n n n =⎧⎪-⎨⎪-+⎩… . 【解答】解:2*(21)2(2,)n n na S S n n N -=∈Q …, 21()(21)2n n n n S S S S -∴--=,整理得:*112(2,)n n n n S S S S n n N ---=-∈g …, ∴*1112(2,)n n n n N S S --=∈… ∴数列1{}nS 是以1为首项,2为公差的等差数列, ∴11(1)221nn n S =+-⨯=-, 121n S n ∴=-,∴当2n …时,121122123483n n n a S S n n n n --=-=-=---+, 21,12,2483n n a n n n =⎧⎪∴=-⎨⎪-+⎩…. 故答案为:21,12,2483n n n n =⎧⎪-⎨⎪-+⎩…. 16.(5分)已知函数222()()3|1|f x x a x b =----,当 ③1a =,20b -<< 时(从①②③④中选出一个作为条件)函数有 .(从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论,只填出一组即可) ①12a -„②3522a <<③1a =,20b -<<④1a =,924b -<<-或0b =⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点【解答】解:可选③1a =,20b -<<,由222()(1)3|1|f x x x b =----, 令()0f x =,可得222(1)3|1|b x x =---,即222|1|3|1|b x x =---, 可令2|1|t x =-,可得23b t t =-,可设2()3g t t t =-,分别画出()y g t =和2|1|t x =-的图象, 由2230t t -<-<,即2232030t t t t ⎧-+>⎨-<⎩.可得01t <<或23t <<,当01t <<时,2|1|t x =-有4个零点;23t <<时,2|1|t x =-有2个零点, 则函数()f x 共有6个零点.故答案为:③1a =,20b -<<,⑦6个零点.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一)必考题:共60分. 17.(12分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos 2b C a c =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2a =,D 为AC 的中点,且3BD =,求c . 【解答】解:()I 由已知以及正弦定理,可得:2sin cos 2sin sin 2sin()sin 2sin 2cos sin sin B C A C B C C BcoC B C C =+=++=++, 所以:2cos sin sin 0B C C +=, 由于:0C π<<,sin 0C ≠, 1cos 2B =-,因为(0,)B π∈, 解得:23B π=; (Ⅱ)如图所示:,D Q 为AC 的中点,∴2BA BC BD +=u u u ru u u ru u u r,两边平方得:22()4||BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r , ∴222||2||4||BA BA BC BC BD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg ,∴224cos4433c c π+⨯+=⨯, 整理得:2280c c --=, 解得:4c =.18.(12分)如图,三棱柱111A B C ABC -中,1BB ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2AB =,1BC =,13BB =,D 是1CC 的中点,E 是AB 的中点.(Ⅰ)证明://DE 平面11C BA ;(Ⅱ)F 是线段1CC 上一点,且直线AF 与平面11ABB A所成角的正弦值为13,求二面角1F BA A --的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)取?AA 的中点G ,连接DG ,EG , 则//??DG A C ,E ,G 为中点,所以//?EG BA ,DG ⊂/平面??BA C ,??A C ⊂平面??BA C ,故//DG 平面??BA C ,同理//EG 平面??BA C , 又DG EG G =I ,故平面//DEG 平面??BA C ,DE ⊂平面EDG , 所以//??DE BA C ;()II 以B 为原点,BA ,?BB ,BC 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系, ?(0B ,3,0),?(2A ,3,0),(0C ,0,1),?(0C ,3,1), 设(0F ,a ,1),(2A ,0,0),(2,,1)AF a =-u u u r, 平面11ABB A 所的法向量为(0,0,1)BC =u u u r,由21cos ,35AF BC a <>==+u u u r u u u r,2a =, 故(0F ,2,1),(0BF =u u u r ,2,1),1(2BA =u u u r,3,0),设平面?FBA 的法向量为(,,)m x y z =r, 由120230m BF y z m BA x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ,得(3,2,4)m =-r ,由429cos ,29m BC <>==u u ur r , 由于二面角为钝角,故所求二面角余弦值为429-.19.(12分)为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联,某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本,调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状,A 症状:入睡困难;B 症状:醒的太早;C 症状:不能深度入睡或做梦,得到的调查数据如下:数据1:出现A 症状人数为8.5万,出现B 症状人数为9.3万,出现C 症状人数为6.5万,其中含AB 症状同时出现1.8万人,AC 症状同时出现1万人,BC 症状同时出现2万人,ABC 症状同时出现0.5万人;数据2:同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人,没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.(Ⅰ)依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少?(Ⅱ)根据以上数据完成如表列联表,并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”?失眠 不失眠 合计 患心脑血管疾病 不患心脑血管疾病合计参考数据如表:20()P K k …0.50 0.40 0.25 0.15 0.10参考公式:2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【解答】解:(Ⅰ)设{A =出现A 症状的人},{B =出现B 症状的人},{C =出现C 症状的人},card 表示有限集合元素的个数,根据数据1,可知() 1.8card A B =I 万,()1card A C =I 万,()2card B C =I 万,()0.5card A B C =I I 万,所以()[()()()]()8.59.3 6.5(1.812)0.520card A B C cardA cardB cardC card A B card A C card B C card A B C =++-+++=++-+++=U U I I I I I 万,所以55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约为20%; (Ⅱ)根据题意,22⨯列联表如下:所以2100(573157) 4.001 3.84112888020K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,故有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”.20.(12分)已知以动点P 为圆心的P e 与直线1:2l x =-相切,与定圆221:(1)4F x y -+=e 相外切.(Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程C ;(Ⅱ)过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、(N MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线,垂足记为1M 、1N ,直线l 交x 轴于点A ,记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ,且22134S S S =,证明:直线MN 过定点. 【解答】解:(Ⅰ)定圆221:(1)4F x y -+=e ,圆心(1,0)F ,半径为12,设点(,)P x y ,由动圆P 既与直线1:2l x =-相切,又与定圆F 相外切,知12x >-,∴1122x =++, 化简得:24y x =,∴动圆圆心P 的轨迹C 的方程为:24y x =;(Ⅱ)证明:由题意可知,直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为:(0)y kx m k =+≠, 设1(M x ,1)y ,2(N x ,2)y ,不妨设点M 在x 轴上方,点N 在x 轴下方, 联立方程24y kx my x=+⎧⎨=⎩,消去y 得,222(24)0k x km x m +-+=,∴12242kmx x k -+=,2122m x x k =,22121212124()()()my y kx m kx m k x x km x x m k∴=++=+++=, 11111()22S y x =⨯⨯+Q ,32211()()22S y x =⨯-⨯+,131212114()()()22S S y y x x ∴=-++1212411[()]24m x x x x k =-⨯+++ 22244844m m km k k k +-+=-⨯322316321644m m km mk k --+-=, Q 直线MN 的方程为:y kx m =+,设直线MN 与x 轴的交点为点B ,令0y =得,m x k =-,(mB k∴-,0), 21211()()22m S y y k ∴=⨯-+⨯-,∴22221211()()42m S y y k =-+- 222211222144(2)44k m mk y y y y k+-=⨯⨯-+ 2221122144[4()2]44k m mk x x y y k +-=⨯⨯+- 2222144161644k m mk km k k +--=⨯⨯ 232322444161616164k k m m km mk k m k -+--+=,22134S S S =Q ,232322322344161616161632164k k m m km mk k m km km k m k m ∴-+--+=--+-, 22416160k m mk ∴++=,即22440k m km ++=,2(2)0k m ∴+=, 2k m ∴=-,∴直线MN 的方程为:122()2y mx m m x =-+=--, ∴直线MN 过定点1(2,0).21.(12分)已知函数21()(1)(1)()2f x x ln x ax x a R =++--∈.(Ⅰ)设()f x '为函数()f x 的导函数,求函数()f x '的单调区间; (Ⅱ)若函数()f x 在(0,)∞上有最大值,求实数a 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)()(1)()f x ln x ax g x '=+-=,((1,))x ∈-+∞. 1()1g x a x '=-+, 0a …时,()0g x '>,函数()f x '在(0,)+∞上单调递增.0a >时,1()()1aa x a g x x ---'=+, ()f x '∴在1(1,1)a --上单调递增;在1(1,)a-+∞上单调递减;(Ⅱ)函数()f x 在(0,)+∞上有最大值,可得()f x 在(0,)+∞上不单调,有极大值点. 由()I 可得:0a >,(0)0f '=. 令(1)0ln x ax +-=, 化为:(1)()ln x a h x x+==, 2(1)(1)()(1)x x ln x h x x x -++'=+.令()(1)(1)u x x x ln x =-++,(0,)x ∈+∞.(0)0u =. ()1(1)1(1)0u x ln x ln x '=-+-=-+<. ()(0)0u x u ∴<=. ()0h x ∴'<,函数()h x 在(0,)x ∈+∞上单调递减.0x +→时,11()11x h x +→=.x →+∞时,()0h x →. 01a ∴<<.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy 中,参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换2:x x y y ϕ'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线D 的极坐标方程为sin()4πρθ+= (Ⅰ)求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程;(Ⅱ)设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点,求||MN 的最小值.【解答】解:(Ⅰ)参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换2:x x y y ϕ'=⎧⎨'=⎩得到曲线22:14x C y +=; 曲线D的极坐标方程为sin()4πρθ+0x y +-=; (Ⅱ)设点(2cos ,sin )P θθ到直线0x y +-=的距离d ==, 当sin()1θα+=时,min d =.[选修4-5:不等式选讲]23.设函数()|2||3|f x x x =++-(Ⅰ)求不等式()9f x >的解集;(Ⅱ)过关于x 的不等式()|32|f x m -…有解,求实数m 的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)21,3()|2||3|5,2321,2x x f x x x x x x ->⎧⎪=++-=-⎨⎪-+<-⎩剟.()9f x >Q ,∴2193x x ->⎧⎨>⎩或2192x x -+>⎧⎨<-⎩, 5x ∴>或4x <-, ∴不等式的解集为{|5x x >或4}x <- (Ⅱ)由(Ⅰ)知,()5min f x =. Q 不等式()|32|f x m -„有解, |32|()5min m f x ∴-=…, 325m ∴-…或325m --„, ∴713m m -或剠, m ∴的取值范围为7(,1][,)3-∞-+∞U。

2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知全集U={2,3,4,5,6,7},集合A={4,5,7},B={4,6},则A∩(∁U B)=()A. {5}B. {2}C. {2,5}D. {5,7}2.已知复数z=2−i1+2i,则z=()A. 4+3iB. 4−3iC. −iD. i3.以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况.乙队记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以m表示.那么在3次比赛中,乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是()A. 35B. 45C. 710D. 9104.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30,则a等于()A. 13B. 12C. 1D. 25.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为()A. 9√3πB. 18πC. 6πD. 3√3π6.已知公差不为零的等差数列{a n}的首项a1=50,a7、a15、a17成等比数列,则使{a n}的前n项和S n取得最大值的n的值为()A. 16B. 17C. 18D. 197.下列说法正确的是()A. 若命题p,¬q都是真命题,则命题“p∧q”为真命题B. 命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0,”C. 命题:“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0或y≠0”D. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件8.设双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),若双曲线的渐近线被圆M:x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12,则双曲线的离心率为()A. 54B. 53C. 43D. √529. 如图,在直角坐标系xOy 中,射线OP 交单位圆O 于点P ,若∠AOP =θ,则点P 的坐标是( )A. (cosθ,sinθ)B. (−cosθ,sinθ)C. (sinθ,cosθ)D. (−sinθ,cosθ) 10. 已知双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上,若焦距为4,则该双曲线渐近线方程为( )A. y =±√3xB. y =±√33xC. y =±√153x D. y =±√155x 11. 设函数f(x)={2x ,x ≤0log 2x ,x >0,若关于x 的方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解,则实数a 的取值范围为( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,+∞)D. (−∞,1)12. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 4=( )A. −7B. −9C. 7D. 9二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 曲线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为−2,则a =______.14. 函数f(x)=sinx +cosx 的图象向左平移m(m >0)个单位后,与y =cosx −sinx 的图象重合,则实数m 的最小值为______ .15. 如图,正方形中ABCD 中,E ,F 分别是BC ,CD 的中点,沿AE ,EF ,AF 把这个正方形折成一个四面体,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为G.若四面体A −EFG 外接球的表面积为6π,则正方形ABCD 的边长为________.16.如图,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,右焦点为F2,点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于两点.若△PF2Q的周长为4,则椭圆C的方程为.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.在△ABC中,点D在BC边上,且满足CD=√2AD=3√2,cos∠CAD=2√55.(1)求∠ADC;(2)若AB=√5,求BD.18.某校从高三年级学生中随机抽取40名学生,将他们的月考数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图,其中前三段的频率成等比数列.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若该校高三年级共有学生640人,试估计该校高三年级期中考试数学成绩不低于80分的人数;(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,记这两名学生成绩在[90,100]内的人数为X,求随机变量X的分布列和期望值.19.过点E(−1,0)的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,F是C的焦点.(1)若线段AB中点的横坐标为3,求|AF|+|BF|的值;(2)求|AF|⋅|BF|的取值范围.20.如图所示,直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,线段AC与BD交于点O,E为线段CC1的中点.(1)若点F在线段A1C上,且∠FOA1=90°,求证:OF⊥A1B;(2)若3AB=4AA1,∠ABC=120°,求直线EO与平面A1CD所成角的正弦值.+ax,x>1.21.已知函数f(x)=xlnx(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;(2)若a=2,求函数f(x)的极小值.22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,θ∈[0,2π),点A为曲线C1上的动点,点B在线段OA的延长线上,且满足|OA|⋅|OB|=8,点B的轨迹为C2.(1)求C1,C2的极坐标方程.),求△ABC面积的最小值.(2)设点C的极坐标为(2,π223.已知函数f(x)=|x|+|x+1|.(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2;(Ⅱ)若a,b,c∈R+,函数f(x)的最小值为m,若a+b+c=m,求证:ab+bc+ac≤1.3【答案与解析】1.答案:D解析:本题考查集合的交集与补集运算,属于基础题.根据题意,求解即可.解:全集U={2,3,4,5,6,7},B={4,6},所以∁U B={2,3,5,7},因为集合A={4,5,7},所以A∩(∁U B)={5,7};故选D.2.答案:C解析:解:z=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i,故选:C.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.3.答案:D解析:解:由茎叶图知,甲的平均成绩为13×(78+82+83)=81;乙的平均成绩为13×(80+83+80+m)=81+m3,又∵81<81+m3,∴m>0,又m∈N,∴m的可能取值集合为{1,2,3,4,5,6,7,8,9}.∴乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是P=910.故选:D.由茎叶图中的数据,求出甲、乙二人的平均成绩,列不等式求出m的取值集合,再计算所求的概率值.本题考查了茎叶图与平均数的应用问题,也考查了概率的计算问题,是基础题.4.答案:D解析:解:(x+1x)10展开式的通项公式为:T r+1=C10r⋅x10−r⋅(1x)r=C10r⋅x10−2r;令10−2r=4,解得r=3,所以x4项的系数为C103;令10−2r=6,解得r=2,所以x6项的系数为C102;所以(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为:C103−aC102=30,解得a=2.故选:D.根据题意求出(x+1x )10展开式中含x4项、x6项的系数,得出(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数,再列出方程求出a的值.本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题,是基础题目.5.答案:A解析:本题考查了圆锥的体积,设圆锥底面的半径为r,圆锥的高为h,由题意得2πr=6π,解得r=3,进而可得ℎ=√62−32=3√3,从而得出结果.解:设圆锥底面的半径为r,圆锥的高为h,由题意得2πr=6π,解得r=3,∴ℎ=√62−32=3√3,∴V圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π.故选A.6.答案:B解析:本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比数列的性质,考查方程思想和函数思想,以及运算能力,属于中档题.运用等比数列的性质和等差数列的通项公式,解方程可得d,再由等差数列的求和公式,结合二次函数的最值求法,即可得到所求最大值.解:公差d不为零的等差数列{a n}的首项a1=50,a7、a15、a17成等比数列,可得a152=a7a17,即(50+14d)2=(50+6d)(50+16d),解得d=−3(d=0舍去),则前n项和S n=50n+12n(n−1)⋅(−3)=−3n2+103n2=−32(n−1036)2+103224,由于n为整数,17<1036<18,且1036−17<18−1036,则当n=17时,前n项和S n取得最大值,故选:B.7.答案:B解析:本题考查考查命题真假的判断,考查复合命题、全称命题、特称命题、充分条件、必要条件、充要条件等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.在A中,若命题都p,¬q是真命题,则命题“p∧q”为假命题;在B中,利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题;在C中,否命题为“若xy≠0,则x≠0且y≠0”;在D中,“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件.解:在A中,若命题p,¬q都是真命题,则p真q假,则命题“p∧q”为假命题,故A错误;在B中,命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0,”利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题,故B正确;在C中,命题:“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0且y≠0”,故C 错误;在D中,解x2−5x−6=0,得x=−1或x=6,故“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件,故D错误.故选:B.8.答案:A解析:解:双曲线的渐近线方程为ax±by=0,圆M:x2+y2−10x=0可化为(x−5)2+y2=25,圆心M(5,0),半径为5.∵双曲线的渐近线被圆M:x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12,∴圆心到直线的距离为√25−9=4,∴√a2+b2=4,∴e=ca=54故选:A.确定双曲线的渐近线方程,圆心M(5,0),半径为5,求出圆心到直线的距离,建立方程,即可求出双曲线的离心率.本题考查双曲线的离心率,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,比较基础.9.答案:A解析:本题考查任意角的三角函数的定义,是基础题.直接利用任意角的三角函数的定义求得点P的坐标.解:设P(x,y),由任意角的三角函数的定义得,sinθ=y ,cosθ=x . ∴点P 的坐标为(cosθ,sinθ). 故选A .10.答案:D解析:本题考查双曲线的概念和性质,属于基础题.由条件可得(2−a )+(3−a )=4,求得a ,继而可得结果. 解:因为双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上,所以{2−a >0a −3<0,解得:a <2.因为焦距为4,所以(2−a )+(3−a )=4,解得:a =12. 所以双曲线方程为:y 232−x 252=1,其渐近线方程为:y =±√155x .故选D .11.答案:A解析:本题考查函数零点与方程根的关系,分段函数,考查数形结合的解题思想方法,是基础题. 画出函数f(x)的图象,数形结合求解是本题的关键. 解:函数f(x)={2x,x ≤0log 2x,x >0的图象如图,由方程[f(x)]2−af(x)=0,可得f(x)=0或f(x)=a , 由图可知,f(x)=0只有一个解x =1,要使方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解,则f(x)=a有两个均不为1的解,结合图象可知a∈(0,1].故选:A.12.答案:C解析:解:数列{a n}的前n项和S n=n2,则a4=S4−S3=42−32=7.故选:C.直接利用已知条件求解即可.本题考查数列的函数的特征,基本知识的考查.13.答案:−3解析:本题考查函数的导数的几何意义,属于基础题.求函数的导数,利用切线的斜率列出方程求解即可.解:曲线y=(ax+1)e x,可得y′=ae x+(ax+1)e x,曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2,可得:a+1=−2,解得a=−3.故答案为−3.14.答案:π2解析:解:函数f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4),y=cosx−sinx=√2sin(x+3π4),所以函数至少向左平移π2个单位,即m的最小值为:π2.故答案为:π2,化简两个函数的表达式为正弦函数的形式,按照平移的方法平移,即可得到m的最小值.本题考查两角和的正弦函数以及三角函数图象的平移,考查计算能力.15.答案:2解析:本题考查平面图形的折叠、棱锥的外接球问题,属中档题.依题意折叠后的四面体如图1,将四面体补成如图2所示的长方体,它们具有共同的外接球,即可求半径.解:依题意折叠后的四面体如图1,设正方形边长为a,外接球半径为R,则AG=a,EG=FG=a2,将四面体补成如图2所示的长方体,它们具有共同的外接球.由4πR2=6π得4R2=6.而4R2=AG2+EG2+FG2=32a2,所以6=32a2,解得a=2.故答案为2.16.答案:x24+y23=1解析:本题考查了椭圆的性质及几何意义和圆锥曲线中的综合问题,设P(x1,y1),Q(x2,y2),分别求出|F2P|,|F2Q|,结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2−|OM|2求出|PQ|,利用△PF2Q的周长为4,可得结论.解:椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则a=2c,b=√3c,设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴|PF2|2=(x1−c)2+y12=14(x1−4c)2,∴|PF 2|=2c −12x 1, 连接OM ,OP ,由相切条件知:|PM|2=|OP|2−|OM|2=x 12+y 12−3c 2=14x 12,∴|PM|=12x 1,∴|PF 2|+|PM|=2c , 同理可求|QF 2|+|QM|=2c , ∴|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c . ∵△PF 2Q 的周长为4, ∴c =1,∴a =2,b =√3, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.故答案为x 24+y 23=1.17.答案:解:(1)在△ACD 中,∠CAD ∈(0,π),∵cos∠CAD =2√55,∴sin∠CAD =√55,∵CD =√2AD =3√2,∴CDAD =√2,∴sin∠CADsin∠DCA =√2,∴sin∠DCA =√1010, ∴cos∠DCA =3√1010(∵∠DCA <∠CAD),∴cos∠ADC =−cos(∠ACD +∠CAD)=−√22,∴∠ADC =3π4.(2)由(1)得,∠ADB =π4,在△ABD 中,∴5=BD 2+9−2×3×BD ×√22,∴BD =2√2或√2.解析:(1)结合正弦定理,平方关系,两角和的余弦公式可得; (2)由余弦定理可得.本题考查三角形的解法,正弦定理以及余弦定理的应用,考查计算能力.18.答案:解:(Ⅰ) 由直方图及题意得(10b)2=0.05×0.20.∴b =0.010,(Ⅱ) 成绩不低于80分的人数估计为(Ⅲ) 样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2;成绩在[90,100] 内的人数为40×0.010×10=4,X 的所有可能取值为0,1,2, P(X =0)═115;P(X =1)=815;P(X =2)=25;所以X 的分布列为: X 0 1 2 P11581525所以解析:本题考查频率分布直方图的应用,离散型随机变量期望以及分布列的求法,考查计算能力. (Ⅰ)由直方图,直接求解b ,a 即可.(Ⅱ)利用频率转化求解成绩不低于80分的人数.(Ⅲ)样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2;成绩在[90,100]内的人数为40×0.010×10=4,X 的所有可能取值为0,1,2,求出概率,得到分布列,然后求解期望即可.19.答案:解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=6,由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1, ∴|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8, (2)设直线l 的方程为x =my −1,由{x =my −1y 2=4x ,消y 可得可得y 2−4my +4=0 即y 1+y 2=4m ,y 1y 2=8, 则△=16m 2−16>0,可得m 2>1,由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1, 则|AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2>4, 故|AF|⋅|BF|的取值范围为(4,+∞).解析:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=6,根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8, (2)由抛物线的定义可知||AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2,再根据韦达定理和判别式即可求出.本题考查了直线和抛物线的位置关系,抛物线的简单性质,考查了运算能力和转化能力,属于中档题20.答案:(1)证明:因为ABCD 为菱形,所以BD ⊥AC .因为A 1A ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以A 1A ⊥BD . 又AC ∩A 1A =A ,AC ⊂平面A 1AC ,A 1A ⊂平面A 1AC , 所以BD ⊥平面A 1AC .因为OF ⊂平面A 1AC ,故BD ⊥OF ; 又∠FOA 1=90°,即OF ⊥OA 1,又BD ∩OA 1=O ,BD ⊂平面A 1BD ,OA 1⊂平面A 1BD , 故OF ⊥平面A 1BD ;而A 1B ⊂平面A 1BD ,故OF ⊥A 1B ;(2)以O 为坐标原点,OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴,过点O作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O −xyz ,设AB =4,AA 1=3, 则A 1(−2√3,0,3),C(2√3,0,0),D(0,−2,0),E (2√3,0,32), 则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√3,0,−3),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0),OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,32), 设平面A 1CD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z),则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3x −3z =0,m⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +2y =0,令x =√3,得m ⃗⃗⃗ =(√3,−3,4)为平面A 1CD 的一个法向量; 记直线EO 与平面A 1CD 所成角为θ,故sin θ=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=4√399133.解析:本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面的夹角,是中档题。

2020届东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高三上期第一次联合模拟考数学(理)试题(解析版)

2020届东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高三上期第一次联合模拟考数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分,考试时间120分钟。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<,{|B x y ==,则A B =( ) A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得,()2,2A =-,∵B 中,()()130x x +-≥,∴[]1,3B =-,∴[1,2)A B =-,故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p :30x x-<,q :()()20x a x a --+≤,若p 是q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( ) A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式,求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系,即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<,解得03x <<, 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤,p 是q 的必要不充分条件,可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<,故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ,若()()a b c a λ+⊥-,则实数λ=( ) A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意,得到()32,21a b λλλ+=-+,(1,1)-=c a ,再根据向量垂直,即可列出方程求解,得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=,所以()32,21a b λλλ+=-+,(1,1)-=c a ,又()()a b c a λ+⊥-,所以()()0λ+⋅-=a b c a ,即32210λλ-++=, 解得:15λ=. 故选:A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数,熟记向量数量积的坐标运算即可,属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角,且4tan 3θ=-,则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。

2020年东北三省四市教研联合体高考(理科)数学一模试卷 含解析

2020年东北三省四市教研联合体高考(理科)数学一模试卷 含解析

2020年高考(理科)数学第一次模拟测试试卷一、选择题1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,3,5,7},B={1,2,4,6},则A ∩(∁U B)=()A.{2,5,7}B.{3,5,7}C.{3}D.{5,7}2.已知复数,则z的虚部为()A.﹣1B..﹣i C..1D..i3.2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为径,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙对得分的平均数是88,则x+y=()A.170B.10C.172D.124.(1+2x)(1+x)5的展开式中x2的系数为()A.5B.10C.20D.305.《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算器体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3,那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A.B.C.D.6.已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且a1,a3,a9成等比数列,则S8=()A.56B.72C.88D.407.下列说法正确的是()A.命题“∃x0≤0,2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x>0,2x>sin x”B.若平面α,β,γ满足α⊥γ,β⊥γ则α∥βC.随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若P(0<ξ<1)=0.4,则P(ξ>0)=0.8D.设x是实数,“x<0”是“”的充分不必要条件8.已知双曲线的右焦点与圆M:(x﹣2)2+y2=5的圆心重合,且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,则双曲线的离心率为()A.2B.C.D.39.已知A(x A,y A)是圆心为坐标原点O,半径为1的圆上的任意一点,将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B(x B,y B),则2y A+y B的最大值为()A.3B.2C.D.10.从集合{﹣3,﹣2,﹣1,1,2,3,4}中随机选取一个数记为m,从集合{﹣2,﹣1,2,3,4}中随机选取一个数记为n,则在方程表示双曲线的条件下,方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为()A.B.C.D.11.已知函数,若关于x的方程[f(x)]2﹣2af(x)+3a=0有六个不相等的实数根,则实数a的取值范围是()A.B.C.(3,4)D.(3,4]12.已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足,且当x∈[0,2)时,f(x)=﹣x2+2x.设f(x)在[2n﹣2,2n]上的最大值为,且数列{a n}的前n项和为S n.若对于任意正整数n不等式k(S n+1)≥2n﹣9恒成立,则实数k的取值范围为()A.[0,+∞)B.C.D.二、填空题:本题共4个小题,每小题5分.13.若曲线f(x)=ae x﹣lnx(其中常数a≠0)在点(1,f(x))处的切线的斜率为1,则a=.14.若函数的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象.则g(x)在区间上的最小值为.15.如图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD中,AC与BD相交于O.剪去△AOB,将剩余部分沿OC、OD折叠,使OA、OB重合,则以A(B)、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为.16.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,如图AB是过F1且垂直于长轴的弦,则△ABF2的内切圆方程是.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.17.在△ABC中,M是BC边上一点,.(1)求sin B;(2)若,求MC.18.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试,从中随机抽取了20人的分数,以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):若分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”.(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率;(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图,根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率频率/组距1[60,70)2[70,80)3[80,90)4[90,100](ⅰ)估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(ⅱ)若从所有员工中任选3人,记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,求X的分布列和数学期望.分数19.已知函数C:y2=4x的焦点为F,过C上一点P(1,t)(t>0)作两条倾斜角互补的直线分别C交于M,N两点.(1)证明:直线MN的斜率是﹣1;(2)若8|MF|,|MN|,|NF|成等比数列,求直线MN的方程.20.如图,在直角△AOB中,OA=OB=2,△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到(∠BOC=120°),点D为斜边AB上一点,点M为线段BC上一点,且.(1)证明:OM⊥平面AOB;(2)当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时,求二面角B﹣CD﹣O的正弦值.21.已知函数是f(x)的导数.(1)当a=1时,令h(x)=f'(x)﹣x+lnx,h'(x)为h(x)的导数,证明:h'(x)在区间存在唯一的极小值点;(2)已知函数在上单调递减,求a的取值范围.(二)选考题:共10分,请考生在22/23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).点p(x0,y0)在曲线C上,点Q(m,n)满足.(Ⅰ)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,求动点Q的轨迹C的极坐标方程;(Ⅱ)点A、B分别是曲线C上第一象限,第二象限上两点,且满足,求的值.[选修4-5不等式选将]23.已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解.(1)求实数m的最大值t;(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=t.证明a3b+b3c+c3a≥3abc参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,3,5,7},B={1,2,4,6},则A ∩(∁U B)=()A.{2,5,7}B.{3,5,7}C.{3}D.{5,7}【分析】进行补集和交集的运算即可.解:U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,5,7},B={1,2,4,6},∴∁U B={3,5,7},∴A∩(∁U B)={3,5,7}.故选:B.2.已知复数,则z的虚部为()A.﹣1B..﹣i C..1D..i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解:∵=,∴z的虚部为﹣1.故选:A.3.2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为径,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙对得分的平均数是88,则x+y=()A.170B.10C.172D.12【分析】由茎叶图中的数据,求出甲队得分的中位数和乙队得分的平均数,再计算x+y 的值.解:由茎叶图知,若甲队得分的中位数是86,则x=6;乙队得分的平均数是×(78+82+80+y+89+91+93+97)=88,解得y=6;所以x+y=6+6=12.故选:D.4.(1+2x)(1+x)5的展开式中x2的系数为()A.5B.10C.20D.30【分析】写出二项式(1+x)5的通项,分别求出含x2的项与含x的项,再由多项式乘多项式求解.解:(1+x)5的展开式的通项为T r+1=x r.取r=2,得T3=x2,取r=1,得T2=x.∴(1+2x)(1+x)5的展开式中x2的系数为+2=20.故选:C.5.《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算器体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3,那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A.B.C.D.【分析】设圆锥底面圆的半径r,高h,写出底面周长L,写出圆锥体积,代入近似公式即可求出π的近似值.解:设圆锥底面圆的半径为r,高为h,依题意,L=2πr,=,∴π=,即π=.即π的近似值为.故选:C.6.已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且a1,a3,a9成等比数列,则S8=()A.56B.72C.88D.40【分析】设公差为d,且d不为0,运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,解方程可得公差d,再由等差数列的求和公式,计算可得所求和.解:公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且a1,a3,a9成等比数列,可得a32=a1a9,即有(2+2d)2=2(2+8d),解得d=2(0舍去),则S8=8a1+28d=16+56=72,故选:B.7.下列说法正确的是()A.命题“∃x0≤0,2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x>0,2x>sin x”B.若平面α,β,γ满足α⊥γ,β⊥γ则α∥βC.随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若P(0<ξ<1)=0.4,则P(ξ>0)=0.8D.设x是实数,“x<0”是“”的充分不必要条件【分析】在A中,由特称命题的否定可知:命题“∃x0≤0,2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x ≤0,2x>sin x”;在B中,α与β相交或平行;在C中,P(ξ>0)=0.4+0.4+0.1=0.9;在D中,设x是实数,则“x<0”⇒“”,“”⇒“x<0或x>1”.解:在A中,由特称命题的否定可知:命题“∃x0≤0,2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x≤0,2x>sin x”,故A错误;在B中,若平面α,β,γ满足α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,如右图的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,平面BCC1B1⊥平面ABCD,平面ADD1A1∥平面BCC1B1;平面ABB1A1⊥平面ABCD,平面BCC1B1⊥平面ABCD,平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1.故B错误;在C中,∵随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),∴正态曲线关于x=1对称,∵P(0<ξ<1)=0.4,∴P(1<ξ<2)=0.4,∴P(ξ>2)=0.5﹣0.4=0.1,∴P(ξ>0)=0.4+0.4+0.1=0.9,故C错误;在D中,设x是实数,则“x<0”⇒“”,“”⇒“x<0或x>1”,∴“x<0”是“”的充分不必要条件,故D正确.故选:D.8.已知双曲线的右焦点与圆M:(x﹣2)2+y2=5的圆心重合,且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,则双曲线的离心率为()A.2B.C.D.3【分析】依题意可得c=2,DF2==.求得a,即可得则双曲线的离心率.解:∵双曲线的右焦点与圆M:(x﹣2)2+y2=5的圆心重合,∴c=2,∵圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,则圆心(2,0)到渐近线距离DF2=又DF2=.∴b=,a=则双曲线的离心率为.故选:A.9.已知A(x A,y A)是圆心为坐标原点O,半径为1的圆上的任意一点,将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B(x B,y B),则2y A+y B的最大值为()A.3B.2C.D.【分析】设A(cosθ,sinθ),则由任意角的三角函数的定义可得B(,),故2y A+y B=2sinθ+,再利用两角和与差的三角函数公式及辅助角公式化简即可求得y A+y B的最大值.解:设A(cosθ,sinθ),则B(,),∴2y A+y B=2sinθ+=2sinθ+sinθcos+cosθsin===,∴2y A+y B的最大值为,故选:C.10.从集合{﹣3,﹣2,﹣1,1,2,3,4}中随机选取一个数记为m,从集合{﹣2,﹣1,2,3,4}中随机选取一个数记为n,则在方程表示双曲线的条件下,方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为()A.B.C.D.【分析】求得方程表示双曲线共有N=3×3+4×2=17种情况.方程表示焦点在y轴上的双曲线共有N0=3×3=9种情况.利用条件概率公式即可求解.解:若方程表示双曲线,则mn<0,共有N=3×3+4×2=17种情况.若方程表示焦点在y轴上的双曲线则m<0.n>0,共有N0=3×3=9种情况.则概率为p=.故选:A.11.已知函数,若关于x的方程[f(x)]2﹣2af(x)+3a=0有六个不相等的实数根,则实数a的取值范围是()A.B.C.(3,4)D.(3,4]【分析】令f(x)=t,则g(t)=t2﹣2at+3a,作f(x)的图象,观察图象可知,函数g(t)在(2,4)有两不等实根或者其中一根为4,另一根在(2,4)内,由二次函数的根的分布列出不等式组得解.解:令f(x)=t,则g(t)=t2﹣2at+3a,作f(x)的图象如下,设g(t))=t2﹣2at+3a的零点为t1,t2,由图可知,要满足题意,则需g(t)=t2﹣2at+3a在(2,4)有两不等实根或者其中一根为4,另一根在(2,4)内,故或,解得3<a<或a=.即实数a的取值范围是:(3,].故选:B.12.已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足,且当x∈[0,2)时,f(x)=﹣x2+2x.设f(x)在[2n﹣2,2n]上的最大值为,且数列{a n}的前n项和为S n.若对于任意正整数n不等式k(S n+1)≥2n﹣9恒成立,则实数k的取值范围为()A.[0,+∞)B.C.D.【分析】由函数的周期变化知,最大值也成周期变化,求出数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列,得到前n项和为S n的表达式,进而求解结论.解:当x∈[0,2)时,f(x)=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,则f max(x)=1.又∵设f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为a n,∴a1=1,又∵f(x+2)=2f(x),则f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为f(x)在[2n﹣4,2n﹣2)上的最大值的2;∴a n=2a n﹣1,数列{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列;∴数列{a n}的前n项和为S n==2n﹣1;∴k(S n+1)≥2n﹣9恒成立⇒k≥=恒成立;记{}为数列{b n},∵﹣=;当n≤5时,﹣>0,即数列{b n}递增;当n>5时,﹣<0,即数列{b n}递减;且b5==,b6==>;∴数列{b n}的最大值为:.故实数k的取值范围为:[,+∞).故选:C.二、填空题:本题共4个小题,每小题5分.13.若曲线f(x)=ae x﹣lnx(其中常数a≠0)在点(1,f(x))处的切线的斜率为1,则a=.【分析】根据斜率即为切点处的导数,先求出x=1处的导数,令其等于1,即可解方程求出a的值.解:∴f′(1)=ae﹣1=1∴.故答案为:.14.若函数的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象.则g(x)在区间上的最小值为.【分析】先由辅助角公式化简函数f(x)得,再由图象变换法则可得,最后由给定区间结合三角函数的图象及性质求得最小值.解:,函数f(x)向左平移个单位得到函数,∵,∴,∴,即g(x)在区间上的最小值为.故答案为:.15.如图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD中,AC与BD相交于O.剪去△AOB,将剩余部分沿OC、OD折叠,使OA、OB重合,则以A(B)、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为8π.【分析】翻折后的几何体为底面边长为4,侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD,由此能求出以A(B)、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积.解:翻折后的几何体为底面边长为4,侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD,如图,取CD中点E,连结AE,作OF⊥平面ABC,交AE于F,则F是△ACD的重心,由题意知AE==2,AF==,OF==,设G为四面体的外接球的球心、球半径为R,则G在直线OF上,且OG=AG=R,∴由AG2=AF2+GF2,得:R2=()2+(﹣R)2,解得R=,∴以A(B)、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为V=πR3=8π.故答案为:8π.16.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,如图AB是过F1且垂直于长轴的弦,则△ABF2的内切圆方程是.【分析】设△ABF2内切圆的半径为r,由椭圆的方程分析可得a、b、c的值,由勾股定理分析可得|AF2|2﹣|AF1|2=16,|AF1|+|AF2|=2a=2,解可得|AF1|与|AF2|的值,计算可得△ABF2的周长与面积,由内切圆的性质计算可得内切圆半径,进一步求得圆心坐标,则答案可求.解:设△ABF2内切圆的半径为r,椭圆的方程为,其中a=,b=,c=,则|F1F2|=2c=4,AB与x轴垂直,则有|AF2|2﹣|AF1|2=16,|AF1|+|AF2|=2a=,解得:|AF1|=,|AF2|=,△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=,其面积S=×|AB|×|F1F2|=,由内切圆的性质可知,有r×=,解得r=.∴圆心横坐标为﹣2+,即圆心坐标为(,0),则△ABF2的内切圆方程是,故答案为:.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.17.在△ABC中,M是BC边上一点,.(1)求sin B;(2)若,求MC.【分析】(1)由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和,设α,β分别为已知角,所以B角用已知角表示,再由题意可得α,β的正弦值,余弦值,由两角差的正弦公式展开可得B的正弦值.(2)由向量的关系,可得线段MC,MB的关系,由(1)及由正弦定理可得AM的值,再由余弦定理可得MC的值.解:(1)由题意可得设∠BAM=α,∠AMC=β,由题意可得sinα=sin45°=,cosα=,B=β﹣α,cosβ=,所以sinβ=,所以sin B=sin(β﹣α)=sinβcosα﹣cosβsinα=﹣=;(2)因为=,设MC=x,BM=2x,在△ABM中,由正弦定理可得=,所以=,所以AM=x,因为AC2=AM2+MC2﹣2AM•MC•cosβ,所以42=x2+x2﹣2x,解得MC=x=4,所以MC的值为4.18.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试,从中随机抽取了20人的分数,以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):若分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”.(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率;(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图,根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率频率/组距1[60,70)2[70,80)3[80,90)4[90,100](ⅰ)估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(ⅱ)若从所有员工中任选3人,记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,求X的分布列和数学期望.分数【分析】(1)从这20人中任取3人,设恰有1人成绩“优秀”为事件A,利用古典概型能求出从这20人中任取3人,恰有1人成绩“优秀”的概率.(2)(ⅰ)根据这20人的分数补全频率分布表,由频率分布表作出频率分布直方图,由此能估计所有员工的平均分数.(ⅱ)从所有员工中任选3人,记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,则X的可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,),由此能求出X的分布列和数学期望.解:(1)从这20人中任取3人,设恰有1人成绩“优秀”为事件A,则从这20人中任取3人,恰有1人成绩“优秀”的概率:P(A)==.(2)(ⅰ)根据这20人的分数补全频率分布表:组别分组频数频率频率/组距1[60,70)20.10.012[70,80)60.30.033[80,90)80.40.044[90,100]40.20.02由频率分布表作出频率分布直方图:估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)为:65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82.(ⅱ)从所有员工中任选3人,记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,则X的可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,),P(X=0)=()3=,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)=()3=,∴X的分布列为:X0123P∵X~B(3,),∴数学期望E(X)=3×=.19.已知函数C:y2=4x的焦点为F,过C上一点P(1,t)(t>0)作两条倾斜角互补的直线分别C交于M,N两点.(1)证明:直线MN的斜率是﹣1;(2)若8|MF|,|MN|,|NF|成等比数列,求直线MN的方程.【分析】(1)易求P(1,2),设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意可知,k MP+k NP =0,利用斜率公式代入化简得y1+y2=﹣4,所以==﹣1;(2)由(1)可设直线l的方程为:y=﹣x+m,所以,|MF|=x1+1,|NF|=x2+1,由题意可知|MN|2=8|MF||NF|,即,将直线l与抛物线C联立,利用韦达定理代入上式得:m2﹣2m+1=0,故m=1,从而得到直线l的方程.解:(1)∵点P在抛物线C:y2=4x上,∴t=2,∴P(1,2),设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意可知,k MP+k NP=0,∴,∴,∴,∴y1+y2=﹣4,∴==﹣1;(2)由(1)可设直线l的方程为:y=﹣x+m,∴,|MF|=x1+1,|NF|=x2+1,∵8|MF|,|MN|,|NF|成等比数列,∴|MN|2=8|MF||NF|,∴,即①,将直线l与抛物线C联立,可得:x2﹣(2m+4)x+m2=0,∴△=(2m+4)2﹣4m2=16m+16>0,∴m>﹣1,且x1+x2=2m+4,,代入①式得:(2m+4)2﹣8m2﹣4(2m+4)﹣4=0,化简得:m2﹣2m+1=0,∴m=1,满足m>﹣1,∴直线l的方程为:y=﹣x+1.20.如图,在直角△AOB中,OA=OB=2,△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到(∠BOC=120°),点D为斜边AB上一点,点M为线段BC上一点,且.(1)证明:OM⊥平面AOB;(2)当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时,求二面角B﹣CD﹣O的正弦值.【分析】(1)△OBM中,由余弦定理可得:OM.再利用勾股定理对逆定理可得:OM ⊥OB.由题意可知:OA⊥平面OBC,进而得出结论;(2)由(1)可得:OM⊥平面AOB.OD是斜线MD在平面OAB的射影.∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角,取取最大值时,OD⊥AB,垂足为D.可得点D为线段AB的中点.建立如图所示对空间直角坐标系.分别求出平面OCD的法向量为,平面CDB的法向量,利用向量的夹角公式即可得出.【解答】(1)证明:△OBM中,由余弦定理可得:OM2=22+﹣2×2××cos30°=,解得OM=.∴OM2+OB2=MB2.∴OM⊥OB.由题意可知:OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC,∴OA⊥OM.又OB∩OA=O,∴OM⊥平面AOB.(2)解:由(1)可得:OM⊥平面AOB.∴OD是斜线MD在平面OAB的射影.∴∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角,取取最大值时,OD⊥AB,垂足为D.∴点D为线段AB的中点.建立如图所示对空间直角坐标系.O(0,0,0),B(0,2,0),D(0,1,1),C(,﹣1,0),=(,﹣1,0),=(0,1,1),设平面OCD的法向量为=(x,y,z),则•=•=0,∴x﹣y=0,y+z=0,取=(1,,﹣),同理可得平面CDB的法向量=(,1,1).∴cos<,>==.∴二面角B﹣CD﹣O的正弦值为.21.已知函数是f(x)的导数.(1)当a=1时,令h(x)=f'(x)﹣x+lnx,h'(x)为h(x)的导数,证明:h'(x)在区间存在唯一的极小值点;(2)已知函数在上单调递减,求a的取值范围.【分析】(1)把a=1代入后,先求出函数h(x)的解析式,然后对其求导,结合导数与单调性及极值的关系可证;(2)结合函数单调性与导数的关系及函数的性质,零点判定定理进行求解即可.解:(1)a=1时,h(x)=lnx﹣sin x,x>0,,令g(x)=,则,当x时,g′(x)单调递增,且g′(1)<0,>0,故g′(x)在(0,)上有唯一的零点,设为a,当x∈(0,a)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,故g(x)在(0,)上有唯一的极小值点即h′(x)在(0,)上有唯一的极小值点,(2)设k(x)=x﹣sin x,x≥0,k′(x)=1﹣cos x≥0,所以k(x)在(0,+∞)上单调递增,k(x)≥k(0)=0,即x≥sin x,从而sin2x≤2x,因为在上单调递减,所以m(x)=2ax﹣sin2x﹣≤0在上恒成立,令p(x)=m′(x)=2a﹣2cos2x﹣4x2,则p′(x)=4sin2x﹣8x=4sin2x﹣4×(2x)≤0,所以m′(x)在上单调递减,m′(x)max=2a﹣2,当a≤1时,m′(x)≤0,m(x)在上单调递减,m(x)≤m(0)=0,符合题意;当a>1时,m′(x)在上单调递减,且m′(0)=2a﹣2>0,所以一定存在,当0≤x<x0时,m′(x)>0即m(x)在[0,x0)上单调递增,m(x0)>m(0)=0与题意不符合,舍去.故a的范围(﹣∞,1].(二)选考题:共10分,请考生在22/23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).点p(x0,y0)在曲线C上,点Q(m,n)满足.(Ⅰ)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,求动点Q的轨迹C的极坐标方程;(Ⅱ)点A、B分别是曲线C上第一象限,第二象限上两点,且满足,求的值.【分析】(Ⅰ)推导出x2+y2=1(x≠﹣1),,从而=1,(m≠﹣2),由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程.(Ⅱ)ρ2=,设A(ρ1,θ1),B(),=,==,由此能求出.解:(Ⅰ)∵曲线C的参数方程为(t为参数).点p(x0,y0)在曲线C上,∴x2+y2=()2+()2=1,∵∈(﹣1,1],∴x≠﹣1,∴x2+y2=1(x≠﹣1),∵点Q(m,n)满足.∴,∴=1,(m≠﹣2),∴动点Q的轨迹C的极坐标方程为:3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12.(﹣π<θ<π).(Ⅱ)ρ2=,设A(ρ1,θ1),B(),=,==,∴=+=+=.[选修4-5不等式选将]23.已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解.(1)求实数m的最大值t;(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=t.证明a3b+b3c+c3a≥3abc【分析】(1)去绝对值,化为分段函数,可得函数的最大值,再分类讨论即可求出m 的取值范围,可得t的值;(2)要证a3b+b3c+c3a≥3abc,只要证++≥3,根据基本不等式即可证明.解:(1)f(x)=|x+1|﹣|x﹣3|=,∴当m≥3时,f(x)的最大值为4,关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解等价于f(x)max=4≥|m﹣2|+m,当m≥2时,上述不等式转化为4≥m﹣2+m,解得2≤m≤3,当m<2时,上述不等式转化为4≥﹣m+2+m,解得m<2,综上所述m的取值范围为m≤3,故实数m的最大值t=3;证明:(2)根据(1)可得a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3,要证a3b+b3c+c3a≥3abc,只要证++≥3,∵+++(a+b+c)=(+a)+(+b)+(+c)≥2+2+2=2(a+b+c),∴++≥3,那么a3b+b3c+c3a≥3abc.。

东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(简答)

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2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R ( ) A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=,1+i z是实数,那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( )A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面,直线α⊂m ,下列命题中正确的是( ) A.若βα⊥,则β∥m B.若βα⊥,则β⊥m C.若β∥m ,则βα∥ D.若β⊥m ,则βα⊥4.大约在20世纪30年代,世界上许多国家都流传着这样一个题目:任取一个正整数n ,如果它是偶数,则除以2;如果它是奇数,则将它乘以3加1,这样反复运算,最后结果必然是1,这个题目在东方称为“角谷猜想”,世界一流的大数学家都被其卷入其中,用尽了各种方法,甚至动用了最先进的电子计算机,验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的,但却给不出一般性的证明,例如取13=n ,则要想算出结果1,共需要经过的运算步数是( )A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===(注:e 为自然对数的底数),则下列关系正确的是( )A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中,DC BD 21=,则AC AD ⋅=( ) A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,⊥ED 平面ABCD ,⊥FC 平面ABCD ,22==FC ED ,则四面体BEF A -的体积为( )A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后,其图像关于y 轴对称,则=ϕ( )A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ,则椭圆的离心率取值范围为( )A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ,满足)1()1(x f x f -=+,当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ,则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为( )A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵,记n b 为数阵从左至右的n 列,从上到下的n 行共2n 个数的和,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为( )A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线上,且 12021=∠PF F ,21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ,则=PA ( )A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调,则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ,),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-,则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222,当 时(从①②③④中选出一个作为条件),函数有 .(从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论,只填出一组即可) ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知c a C b +=2cos 2(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2=a ,D 为AC 的中点,且3=BD ,求c . 18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC C B A -111中,⊥1BB 平面ABC ,BC AB ⊥,2=AB ,1=BC ,31=BB ,D 是1CC 的中点,E 是AB 的中点.(Ⅰ)证明:DE ∥平面11BA C ;(Ⅱ)F 是线段1CC 上一点,且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31,求二面角A BA F --1的余弦值. 19.(本小题满分12分)为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联,某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本,调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状,A 症状:入睡困难;B 症状:醒的太早;C 症状:不能深度入睡或做梦,得到的调查数据如下: 数据1:出现A 症状人数为8.5万,出现B 症状人数为9.3万,出现C 症状人数为6.5万,其中含AB 症状同时出现1.8万人,AC 症状同时出现1万人,BC 症状同时出现2万人,ABC 症状同时出现0.5万人;数据2:同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人,没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.(Ⅰ)依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少?(Ⅱ)根据以上数据完成如下列联表,并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”?参考数据如下:参考公式:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.(本小题满分12分)已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切,与定圆⊙:F 41)1(22=+-y x 相外切.(Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程C ;(Ⅱ)过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、(MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线,垂足记为11N M 、,直线l 交x 轴于点A ,记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、,且31224S S S =,证明:直线MN 过定点.21.(本小题满分12分)已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=). (Ⅰ)设)(x f '为函数)(x f 的导函数,求函数)(x f '的单调区间; (Ⅱ)若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值,求实数a 的取值范围.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x (其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2:ϕ得到曲线C ,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程;(Ⅱ)设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点,求MN 的最小值.23.[选修4-5:不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f (Ⅰ)求不等式9)(>x f 的解集;(Ⅱ)过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解,求实数m 的取值范围.答案: 一、选择题1B ;2B ;3D ;4A ;5B ;6A ;7B ;8D ;9C ;10C ;11D ;12B 二、填空题13.177; 14。

东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题 (含评分细则)

东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题 (含评分细则)

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R Y ( ) A.),3()1,(+∞--∞Y B.),3[]1,(+∞--∞Y C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞Y 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=,1+i z是实数,那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( )A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面,直线α⊂m ,下列命题中正确的是( ) A.若βα⊥,则β∥m B.若βα⊥,则β⊥m C.若β∥m ,则βα∥ D.若β⊥m ,则βα⊥4.大约在20世纪30年代,世界上许多国家都流传着这样一个题目:任取一个正整数n ,如果它是偶数,则除以2;如果它是奇数,则将它乘以3加1,这样反复运算,最后结果必然是1,这个题目在东方称为“角谷猜想”,世界一流的大数学家都被其卷入其中,用尽了各种方法,甚至动用了最先进的电子计算机,验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的,但却给不出一般性的证明,例如取13=n ,则要想算出结果1,共需要经过的运算步数是( )A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===(注:e 为自然对数的底数),则下列关系正确的是( )A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中,21=,则⋅=( ) A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,⊥ED 平面ABCD ,⊥FC 平面ABCD ,22==FC ED ,则四面体BEF A -的体积为( )A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后,其图像关于y 轴对称,则=ϕ( )A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+,则椭圆的离心率取值范围为( )A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ,满足)1()1(x f x f -=+,当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ,则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为( )A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵,记n b 为数阵从左至右的n 列,从上到下的n 行共2n 个数的和,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为( )A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线上,且ο12021=∠PF F ,21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ,则=PA ( )A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调,则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ,),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-,则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222,当 时(从①②③④中选出一个作为条件),函数有 .(从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论,只填出一组即可) ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知c a C b +=2cos 2(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2=a ,D 为AC 的中点,且3=BD ,求c . 18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC C B A -111中,⊥1BB 平面ABC ,BC AB ⊥,2=AB ,1=BC ,31=BB ,D 是1CC 的中点,E 是AB 的中点.(Ⅰ)证明:DE ∥平面11BA C ;(Ⅱ)F 是线段1CC 上一点,且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31,求二面角A BA F --1的余弦值. 19.(本小题满分12分)为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联,某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本,调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状,A 症状:入睡困难;B 症状:醒的太早;C 症状:不能深度入睡或做梦,得到的调查数据如下: 数据1:出现A 症状人数为8.5万,出现B 症状人数为9.3万,出现C 症状人数为6.5万,其中含AB 症状同时出现1.8万人,AC 症状同时出现1万人,BC 症状同时出现2万人,ABC 症状同时出现0.5万人;数据2:同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人,没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.(Ⅰ)依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少?(Ⅱ)根据以上数据完成如下列联表,并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”?参考数据如下:参考公式:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.(本小题满分12分)已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切,与定圆⊙:F 41)1(22=+-y x 相外切.(Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程C ;(Ⅱ)过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、(MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线,垂足记为11N M 、,直线l 交x 轴于点A ,记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、,且31224S S S =,证明:直线MN 过定点.21.(本小题满分12分)已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=). (Ⅰ)设)(x f '为函数)(x f 的导函数,求函数)(x f '的单调区间; (Ⅱ)若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值,求实数a 的取值范围.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x (其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2:ϕ得到曲线C ,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程;(Ⅱ)设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点,求MN 的最小值.23.[选修4-5:不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f (Ⅰ)求不等式9)(>x f 的解集;(Ⅱ)过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解,求实数m 的取值范围.一模答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBDABABDCCDB13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解析:(Ⅰ)由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++,……………………………….2分又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,……………………………….4分 得2cos sin sin 0B C C +=,因为0C π<<,所以sin 0C ≠,所以1cos 2B =-.因为0B π<<,所以23B π=.……………………………….6分 (Ⅱ)因为D 为AC 的中点,所以2BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r,……………………………….8分所以22()(2)BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r,即2212a c ac ++=,……………………………….10分 因为2a =,解方程2280c c --=,得4c =.……………………………….12分 18.解析:(I )连结1AB 交1A B 于O ,连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=Q 1//OE BB ,……………………………….1分 又1112DC BB =,1DC //1BB , 1//OE DC ∴,因此,四边形1DEOC 为平行四边形,即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄Q 面面DE ∴//平面11C BA (II )建立空间直角坐标系B xyz -,如图 过F 作1FH BB ⊥,连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥Q 面面 111,,AB BC BC BB AB CBB C ⊥∴⊥Q I 面 111111,,AB BAA B BAA B CBB C ⊂∴⊥Q 面面面111,,FH CBB C FH BB ⊂⊥Q 面11111,BAA B CBB C BB =I 面面11FH BAA B ⊥面,即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角,……………………………….7分 记为θ,11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中,222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==u u u r u u u rBA B C OH设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =u r,120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u r u u u r ur u u u r ,取2,(3,2,4)y m ==--u r 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =r,……………………………….10分|cos ,|m n <>=u r r ……………………………….11分 因此,二面角1F BA A --的余弦值……………………………….12分19. 解析:设A ={出现A 症状的人}、B ={出现B 症状的人}、C ={出现C 症状的人}(card 表示有限集合元素个数) 根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====I I I I I ,所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++-+++⎡⎤⎣⎦U U I I I (9)分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .……………………………….12分20.解析:(Ⅰ)设(),P x y ,P e 半径为R ,则11,22R x PF R =+=+,所以点P 到直线1x =-的距离与到()1,0F 的距离相等,故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分 (Ⅱ)设()()1122,,M x y N x y 、,则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n --=12124,40y y t y y n +==-<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅Q 、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅-=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.……………………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.……………………………….12分21.解析:(Ⅰ)()()ln 1f x x ax '=+-令()()()ln 1h x f x x ax '==+-, ()11h x a x '=-+;.……………………………….1分 1o 当0a ≤时,()0h x '>,()'f x ∴在()1,-+∞上递增,无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2o 当0a >时,令()1011h x x a'>⇒-<<-, 令()101h x x a'<⇒>- 所以,()'f x 在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增,在11,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减; (5)分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当0a ≤时,()'fx ∴在()0,+∞上递增,()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增,无最大值,不合题意;.……………………………….6分 1o 当1a ≥时,()1101h x a a x '=-<-≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减,()()''00f x f ∴<=,()f x ∴在()0,+∞上递减,无最大值,不合题意;.……………………………….8分2o 当01a <<时,110a->,由(Ⅰ)可知()'fx 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;.……………………………….9分 设()1ln g x x x =--,则()1x g x x-'=; 令()001g x x '<⇒<<;令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减,在()1,+∞单调递增; ()()10g x g ∴≥=,即ln 1x x ≤-由此,当0x >时,1≤<ln x <所以,当0x >时,()()12h x ax a x <<+=-. 取241t a =-,则11t a >-,且()20h t <-=. 又因为()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭,所以由零点存在性定理,存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使得()00h x =;.……………………………….11分当()00,x x ∈时,()0h x >,即()0f x '>;当()0,x x ∈+∞时,()0h x <,即()0f x '<;所以,()f x 在()00,x 上单调递增,在()0,x +∞上单调递减,在()0,+∞上有最大值()0f x .综上,01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时用2B ..铅笔..在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

2020东北三校一模理科数学

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哈尔滨师大附中 2020年高三第一次联合模拟考试 东北师大附中 理 科 数 学辽宁省实验中学注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=<--=11,0322x x B x x x A ,则=)(B A R Y C.A ),3()1,(+∞--∞Y .B ),3[]1,(+∞--∞Y .C ),3[+∞ .D ),1[]1,(+∞--∞Y2. 已知复数),(R b a bi a z ∈+=,1+i z是实数,那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为.A 0=+b a.B 0=-b a .C 02=-b a .D 02=+b a3. 已知βα,是两个不同的平面,直线α⊂m ,下列命题中正确的是.A 若βα⊥,则β//m .B 若βα⊥,则β⊥m .C 若β//m ,则βα// .D 若β⊥m ,则βα⊥4. 大约在20世纪30年代,世界上许多国家都流传着这样一个题目:任取一个正整数n ,如果它是偶数,职责除以2;如果它是奇数,则将它乘以3加1,这样反复运算,最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”,世界一流的大数学家都被其卷入其中,用尽了各种方法,甚至动用了最先进的电子计算机,验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的,但却给不出一般性证明,例如取13=n ,则要想算出结果1,共需要经过的运算步骤是.A 9 .B 10 .C 11 .D 125. 已知e c e b a πlog log 3ln 3===,,,则下列关系正确的是.A c a b << .B a b c << .C a c b <<.D c b a <<6. 已知边长为3的等边ABC ∆,DC BD 21=,则=⋅AC AD.A 6.B 9 .C 12 .D 6-7. 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,⊥ED 平面ABCD ,⊥FC 平面ABCD ,22==FC ED ,则四面体BEF A -的体积为.A 31 .B 32.C 1.D 34 8. 已知函数)(x f x x 2cos 32sin +=的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位后,其图象关于y 轴对称,则=ϕ.A 12π .B 6π .C 3π .D 125π 9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线c a x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ,则椭圆的离心率取值范围为.A )1,21[.B )1,22[.C )1,215[- .D ]22,0( 10. 已知定义在R 上的函数)(x f ,满足)1()1(x f x f -=+,当),1[+∞∈x 时,⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[)21(2)3,1[21)(x xf x x x f ,则函数)(x f 的图象与函数⎩⎨⎧<-≥=1)2ln(1ln )(x x x xx g 的图象在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为 .A 5.B 6 .C 7 .D 911. 已知数列{}n a 的通项公式为22+=n a n ,将这个数列中的项摆成如图所示的数阵,记n b 为数阵从左至右的n列,从上到下的n 行共2n 个数的和,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为.A 20201011.B 20202019.C 20212020.D 2021101012. 已知双曲线1322=-y x 的左右焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线上,且ο12021=∠PF F ,21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ,则=PA.A 55 .B 552 .C 553 .D 5122125431432321-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题纸相应位置上. 13. 近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大,动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)2020年高三第一次联合模拟考试理数学 含评分细则

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)2020年高三第一次联合模拟考试理数学 含评分细则

东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<−−=x x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R ( ) A.),3()1,(+∞−−∞ B.),3[]1,(+∞−−∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞−−∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=,1+i z是实数,那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( )A.0=+b aB.0=−b aC.02=−b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面,直线α⊂m ,下列命题中正确的是( ) A.若βα⊥,则β∥m B.若βα⊥,则β⊥m C.若β∥m ,则βα∥ D.若β⊥m ,则βα⊥4.大约在20世纪30年代,世界上许多国家都流传着这样一个题目:任取一个正整数n ,如果它是偶数,则除以2;如果它是奇数,则将它乘以3加1,这样反复运算,最后结果必然是1,这个题目在东方称为“角谷猜想”,世界一流的大数学家都被其卷入其中,用尽了各种方法,甚至动用了最先进的电子计算机,验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的,但却给不出一般性的证明,例如取13=n ,则要想算出结果1,共需要经过的运算步数是( )A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===(注:e 为自然对数的底数),则下列关系正确的是( ) A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.c b a <<6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中,DC BD 21=,则AC AD ⋅=( ) A.6 B.9 C.12 D.6−7.如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,⊥ED 平面ABCD ,⊥FC 平面ABCD ,22==FC ED ,则四面体BEF A −的体积为( )A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后,其图像关于y 轴对称,则=ϕ( )A.12π B.6π C.3π D.125π9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ,则椭圆的离心率取值范围为( )A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[− D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ,满足)1()1(x f x f −=+,当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈−∈−−=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ,则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<−≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[−上所有交点的横坐标之和为( )A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵,记n b 为数阵从左至右的n 列,从上到下的n 行共2n 个数的和,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为( )A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=−y x 的左、右焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线上,且 12021=∠PF F ,21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ,则=PA ( )A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数x x ae e x f −+=)(在]1,0[上不单调,则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ,),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=−,则n a = .16.已知函数b x a x x f −−−−=13)()(222,当 时(从①②③④中选出一个作为条件),函数有 .(从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论,只填出一组即可) ①21−≤a ②2523<<a ③02,1<<−=b a ④249,1−<<−=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知c a C b +=2cos 2(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2=a ,D 为AC 的中点,且3=BD ,求c . 18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC C B A −111中,⊥1BB 平面ABC ,BC AB ⊥,2=AB ,1=BC ,31=BB ,D 是1CC 的中点,E 是AB 的中点.(Ⅰ)证明:DE ∥平面11BA C ;(Ⅱ)F 是线段1CC 上一点,且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31,求二面角A BA F −−1的余弦值. 19.(本小题满分12分)为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联,某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本,调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状,A 症状:入睡困难;B 症状:醒的太早;C 症状:不能深度入睡或做梦,得到的调查数据如下: 数据1:出现A 症状人数为8.5万,出现B 症状人数为9.3万,出现C 症状人数为6.5万,其中含AB 症状同时出现1.8万人,AC 症状同时出现1万人,BC 症状同时出现2万人,ABC 症状同时出现0.5万人;数据2:同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人,没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.(Ⅰ)依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少?(Ⅱ)根据以上数据完成如下列联表,并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”?参考数据如下:参考公式:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=20.(本小题满分12分)已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:−=x l 相切,与定圆⊙:F 41)1(22=+−y x 相外切.(Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程C ;(Ⅱ)过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、(MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线,垂足记为11N M 、,直线l 交x 轴于点A ,记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、,且31224S S S =,证明:直线MN 过定点.21.(本小题满分12分)已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈−++=).(Ⅰ)设)(x f '为函数)(x f 的导函数,求函数)(x f '的单调区间; (Ⅱ)若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值,求实数a 的取值范围.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x (其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2:ϕ得到曲线C ,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程;(Ⅱ)设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点,求MN 的最小值.23.[选修4-5:不等式选将] 设函数32)(−++=x x x f (Ⅰ)求不等式9)(>x f 的解集;(Ⅱ)过关于x 的不等式23)(−≤m x f 有解,求实数m 的取值范围.东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BDABABDCCDB二、填空题13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨−≥⎪−−⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解析:(Ⅰ)由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++,……………………………….2分 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,……………………………….4分 得2cos sin sin 0B C C +=,因为0C π<<,所以sin 0C ≠,所以1cos 2B =−.因为0B π<<,所以23B π=.……………………………….6分 (Ⅱ)因为D 为AC 的中点,所以2BA BC BD +=,……………………………….8分 所以22()(2)BA BC BD +=,即2212a c ac ++=,……………………………….10分 因为2a =,解方程2280c c −−=,得4c =.……………………………….12分 18.解析:(I )连结1AB 交1A B 于O ,连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=1//OE BB ,……………………………….1分 又1112DC BB =,1DC //1BB , 1//OE DC ∴,因此,四边形1DEOC 为平行四边形,即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分(II )建立空间直角坐标系B xyz −,如图过F 作1FH BB ⊥,连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥面面 111,,AB BC BC BB AB CBBC ⊥∴⊥面 111111,,AB BAA B BAA B CBBC ⊂∴⊥面面面111,,FH CBBC FH BB ⊂⊥面11111,BAA B CBBC BB =面面11FH BAA B ⊥面, 即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角,……………………………….7分 记为θ,11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中,222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =,120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取2,(3,2,4)y m ==−− 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =,……………………………….10分4|cos ,|291m n <>=⋅……………………………….11分 BC1A 1B 1C D OFHxyz因此,二面角1F BA A −−的余弦值……………………………….12分19. 解析:设A ={出现A 症状的人}、B ={出现B 症状的人}、C ={出现C 症状的人}(card 表示有限集合元素个数) 根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====,所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++−+++⎡⎤⎣⎦()=8.5+9.3+6.5 1.8120.520−+++=.……………………………….4分得患病总人数为20万人,比例大约为20%.……………………………….6分.……………………………….9分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .………………………….12分B20.解析: (Ⅰ)设(),P x y ,P 半径为R ,则11,22R x PF R =+=+,所以点P 到直线1x =−的距离与到()1,0F 的距离相等,故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分(Ⅱ)设()()1122,,M x y N x y 、,则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n −−=12124,40y y t y y n +==−<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅−=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.…………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………….12分21.解析:(Ⅰ)()()ln 1f x x ax '=+−令()()()ln 1h x f x x ax '==+−, ()11h x a x '=−+;.……………………………….1分 1当0a ≤时,()0h x '>,()'f x ∴在()1,−+∞上递增,无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2当0a >时,令()1011h x x a '>⇒−<<−, 令()101h x x a'<⇒>− 所以,()'f x 在11,1a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增,在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;.……………………………….5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当0a ≤时,()'f x ∴在()0,+∞上递增,()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增,无最大值,不合题意;.……………………………….6分 1当1a ≥时,()1101h x a a x '=−<−≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减,()()''00f x f ∴<=,()f x ∴在()0,+∞上递减,无最大值,不合题意;.……………………………….8分 2当01a <<时,110a−>, 由(Ⅰ)可知()'f x 在10,1a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增,在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;.……………………………….9分设()1ln g x x x =−−,则()1x g x x−'=; 令()001g x x '<⇒<<;令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减,在()1,+∞单调递增;()()10g x g ∴≥=,即ln 1x x ≤−由此,当0x >时,1<ln x <所以,当0x >时,()()12h x ax a x <<+=−.取241t a =−,则11t a >−,且()20h t <−=. 又因为()1100h h a ⎛⎫−>= ⎪⎝⎭,所以由零点存在性定理,存在011,x t a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭,使得()00h x =;.……………………………….11分当()00,x x ∈时,()0h x >,即()0f x '>;当()0,x x ∈+∞时,()0h x <,即()0f x '<;所以,()f x 在()00,x 上单调递增,在()0,x +∞上单调递减,在()0,+∞上有最大值()0f x .综上,01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时用2B ..铅笔..在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

东北三省三校2020届高三第一次联合模拟考试-理科数学答案

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1 一模答案 一、选择题 题号 123456789 10 11 12 答案 B B D A B A B D C C D B二、填空题13. 717 14. (1,e 2) 15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩16.①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解析:(Ⅰ)由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++,……………………………….2分 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,……………………………….4分得2cos sin sin 0B C C +=,因为0C π<<,所以sin 0C ≠,所以1cos 2B =-.因为0B π<<,所以23B π=.……………………………….6分(Ⅱ)因为D 为AC 的中点,所以2BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ,……………………………….8分 所以22()(2)BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ,即2212a c ac ++=,……………………………….10分因为2a =,解方程2280c c --=,得4c =.……………………………….12分18.解析:(I )连结1AB 交1A B 于O ,连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=Q 1//OE BB ,……………………………….1分又1112DC BB =,1DC //1BB ,1//OE DC ∴,因此,四边形1DEOC 为平行四边形,即1//ED OC ……………………………….2分 111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄Q 面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分 (II )建立空间直角坐标系B xyz -,如图 过F 作1FH BB ⊥,连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥Q 面面 111,,AB BC BC BB AB CBB C ⊥∴⊥Q I 面 111111,,AB BAA B BAA B CBB C ⊂∴⊥Q 面面面 111,,FH CBB C FH BB ⊂⊥Q 面11111,BAA B CBB C BB =I 面面11FH BAA B ⊥面,B C 1A 1B 1CD O F H xy z。

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哈尔滨师大附中 2020年高三第一次联合模拟考试 东北师大附中 理 科 数 学辽宁省实验中学注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=<--=11,0322x x B x x x A ,则=)(B A R Y C.A ),3()1,(+∞--∞Y .B ),3[]1,(+∞--∞Y .C ),3[+∞ .D ),1[]1,(+∞--∞Y2. 已知复数),(R b a bi a z ∈+=,1+i z是实数,那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为.A 0=+b a.B 0=-b a .C 02=-b a .D 02=+b a3. 已知βα,是两个不同的平面,直线α⊂m ,下列命题中正确的是.A 若βα⊥,则β//m .B 若βα⊥,则β⊥m .C 若β//m ,则βα// .D 若β⊥m ,则βα⊥4. 大约在20世纪30年代,世界上许多国家都流传着这样一个题目:任取一个正整数n ,如果它是偶数,职责除以2;如果它是奇数,则将它乘以3加1,这样反复运算,最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”,世界一流的大数学家都被其卷入其中,用尽了各种方法,甚至动用了最先进的电子计算机,验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的,但却给不出一般性证明,例如取13=n ,则要想算出结果1,共需要经过的运算步骤是.A 9 .B 10 .C 11 .D 125. 已知e c e b a πlog log 3ln 3===,,,则下列关系正确的是.A c a b << .B a b c << .C a c b <<.D c b a <<6. 已知边长为3的等边ABC ∆,DC BD 21=,则=⋅AC AD.A 6.B 9 .C 12 .D 6-7. 如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,⊥ED 平面ABCD ,⊥FC 平面ABCD ,22==FC ED ,则四面体BEF A -的体积为.A 31 .B 32.C 1.D 34 8. 已知函数)(x f x x 2cos 32sin +=的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位后,其图象关于y 轴对称,则=ϕ.A 12π .B 6π .C 3π .D 125π 9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线c a x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ,则椭圆的离心率取值范围为.A )1,21[.B )1,22[.C )1,215[- .D ]22,0( 10. 已知定义在R 上的函数)(x f ,满足)1()1(x f x f -=+,当),1[+∞∈x 时,⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[)21(2)3,1[21)(x xf x x x f ,则函数)(x f 的图象与函数⎩⎨⎧<-≥=1)2ln(1ln )(x x x xx g 的图象在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为.A 5.B 6 .C 7 .D 911. 已知数列{}n a 的通项公式为22+=n a n ,将这个数列中的项摆成如图所示的数阵,记n b 为数阵从左至右的n列,从上到下的n 行共2n 个数的和,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为.A 20201011.B 20202019.C 20212020.D 2021101012. 已知双曲线1322=-y x 的左右焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线上,且ο12021=∠PF F ,21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ,则=PA.A 55 .B 552 .C 553 .D 5122125431432321-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题纸相应位置上. 13. 近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大,动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力。

假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为0085,充放电循环次数达到2500次的概率为0035,若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为__________ 14. 已知函数)(x f xxaee -+=在]1,0[上不单调,则实数a 的取值范围为______________15. 数列{}n a 满足,则),2(2)12(1*21N n n S S a a n n n ∈≥=-=,,则=n a ______________16. 已知函数)(x f b x a x ----=13)(222,当__________时(从①②③④中选出一个作为条件),函数有___________,(从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论,只填出一组..即可) ○121-≤a ○22523<<a ○302,1<<-=b a ○40,249,1=-<<-=b b a 或○54个极小值点 ○61个极小值点 ○76个零点 ○84个零点 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题:60分 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知c a C b +=2cos 2 (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2=a ,D 为AC 的中点,且3=BD ,求c .18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC C B A -111中,⊥1BB 平面ABC ,BC AB ⊥,3,1,21===BB BC AB ,D 是1CC 的中点,E 是AB 的中点。

(Ⅰ)证明://DE 平面11BA C ;(Ⅱ)F 是线段1CC 上一点,且直线AF 与平面11A ABB 所成角的余弦值31,求二面角A BA F --1的余弦值。

19.(本小题满分12分)为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联,某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本,调查了他们每周是否 至少三个晚上出现了三种失眠症状,A 症状:入睡困难;B 症状:醒的太早;C 症状:不能深度入睡或做梦,得到的调查数据如下:数据1:出现A 症状人数为8.5万人,出现B 症状人数为9.3万人,出现C 症状人数为6.5万人,其中含AB 症状同时出现1.8万人,AC 症状同时出现1万人,BC 同时出现2万人,ABC 同时出现0.5万人;数据2:同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人,没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人。

(Ⅰ)依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少?(Ⅱ)根据以上数据完成如下列联表,并根据所填列联表判断能否有0095的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联?”参考数据如下:参考公式:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.(本小题满分12分)已知以P 动点为圆心的○•P 与直线相切,与定圆○•41)1(:22=+-y x F 相外切。

(Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程C ;(Ⅱ)过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M ,(MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线,垂足记为11,N M ,直线l 交x 轴于点A ,记11,,ANN AMN AMM ∆∆∆的面积分别为321,,S S S 且31224S S S =,证明:直线MN 过定点21.(本小题满分12分)已知函数)(x f )(21)1ln()1(2R a x ax x x ∈--++= (Ⅰ)设)(x f '为函数)(x f 的导函数,求函数)(x f '的单调区间; (Ⅱ)若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值,求实数a 的取值范围。

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,做答时用2B 铅笔在答题卡上把所做题目的题号涂黑本题满分10分 22. [选修4-4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2:ϕ得到曲线C 。

以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ (Ⅰ)求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程;(Ⅱ)设N M ,分别为曲线C 和曲线D 上的动点,求MN 的最小值。

23.[选修4-5:不等式选讲]函数)(x f 32-++=x x (Ⅰ)求不等式9)(>x f 的解集;(Ⅱ)若关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解,求实数m 的取值范围。

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