曲线与方程的教学设计
曲线与方程教案
曲线与方程教案
教案标题：曲线与方程
教案目标：
1. 了解曲线与方程的基本概念和关系；
2. 掌握曲线与方程之间的相互转化方法；
3. 学会利用曲线图解和方程表示解决实际问题。
教案内容：
一、引入与导入
1. 准备一些简单的曲线图形，如直线、抛物线等，并与学生讨论曲线的特征和方程的关系。
2. 引导学生思考曲线与方程之间的关系，并提出探究的问题：“何为曲线的方程？如何通过给定的曲线图形确定方程？”
二、学习活动
1. 理论学习：
a. 讲解曲线与方程的定义和基本概念。
b. 介绍常见曲线的特征和对应方程的形式。
c. 解释如何通过给定的曲线图形确定方程，并举例进行说明。
2. 实例演练：
a. 给出一些曲线图形，要求学生写出对应的方程，并互相交流、比较答案。
b. 给出一些方程，要求学生画出对应的曲线图形，并互相交流、比较结果。
3. 拓展应用：
a. 提供一些实际问题，要求学生通过曲线图形解决问题，并
用方程表示结果。
b. 小组合作，设计一个实际问题，并用曲线和方程解决问题，然后分享给全班。
三、巩固与拓展
1. 布置相关作业，要求学生进一步巩固并展开所学内容。
2. 提供更多的曲线与方程的相关资料供学生自主学习和拓展。
3. 搜集一些有趣的曲线图形和对应的方程，与学生分享。
教案总结：
通过本节课的学习，学生理解了曲线与方程之间的关系，掌握了确定曲线方程和绘制曲线图形的方法，并能够运用所学知识解决实际问题。
同时，通过拓展应用和自主学习，学生对曲线与方程的理解和应用也得到了拓展和巩固。
入门必备的曲线和方程教案设计
入门必备的曲线和方程教案设计。
一、教学目的1.了解曲线和方程的定义，理解曲线在数学中的应用；2.掌握直线和二次曲线的标准形式，并会根据实际情况变形；3.理解曲线的性质，了解曲线的参数方程及其应用；4.了解方程组的基础知识，学会用消元法解决初等方程系统；5.能够熟练应用所学知识，解决实际问题。
二、教学重难点1.曲线和方程的定义；2.直线和二次曲线标准形式及其变形；3.曲线的性质及参数方程的应用；4.方程组的基础知识和消元法的应用。
三、教学方法1.视频授课结合课堂互动；2.以实际问题为背景设计练习；3.课后布置作业。
四、具体教学内容1.曲线和方程的定义曲线：是指在平面上任何一个点坐标满足特定的条件，这就成为一条曲线。
方程：是指把斜率、截距，以及特定的点、角度、甚至是曲率等要素都挤入一个表达式中。
2.直线和二次曲线标准形式及其变形标准形式是指把一个方程式变成特定的形式，这样方程的特征和性质会更加容易观察和理解。
直线和二次曲线是最常见的曲线类型，它们的标准方程式分别为：直线：y = kx + b；二次曲线：y = ax2 + bx + c。
直线和二次曲线都可以进行变形，方程的系数也可能为负数或小数，但以上标准式是初学者应当熟练掌握的基础。
3.曲线的性质及参数方程的应用曲线的性质是指曲线在不同条件下的表现，对于初学者而言，最基本的曲线性质有以下几种：(1) 对称轴：对称轴，顾名思义，就是使曲线左右对称的一条直线。
对称轴可以是水平线或垂直线，也可以是一个斜线。
对于二次曲线，对称轴一般为垂直线，方程为x = -b/2a。
(2) 最高点和最低点：对于开口向上的二次曲线，最高点为其顶点；对于开口向下的二次曲线，最低点为其顶点。
最高点和最低点的坐标可以通过求二次函数的导函数为零来求得。
(3) 零点：在曲线上从下往上，或从左往右数，第一个为零的点就是曲线的零点。
对于二次曲线，零点可以通过求根公式(ax2 + bx + c = 0)来求得。
曲线与方程教案
曲线与方程教案一、教学目标1. 了解曲线的基本概念和性质；2. 掌握曲线的方程的求法；3. 能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容1. 曲线的基本概念和性质（1）曲线的定义曲线是指平面上的一条不断变化的线条，可以是直线、圆、椭圆等等。
（2）曲线的性质曲线有很多性质，其中比较重要的有：• 曲线的长度：曲线的长度是指曲线上所有点的连线的长度之和； • 曲线的斜率：曲线的斜率是指曲线在某一点的切线的斜率；• 曲线的凸性：曲线的凸性是指曲线在某一点的切线与曲线的交点在曲线的上方或下方。
2. 曲线的方程的求法（1）直线的方程直线的方程可以表示为 y =kx +b 的形式，其中 k 是直线的斜率，b 是直线的截距。
（2）圆的方程圆的方程可以表示为 (x −a )2+(y −b )2=r 2 的形式，其中 (a,b ) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
（3）椭圆的方程椭圆的方程可以表示为(x−a )2a 2+(y−b )2b 2=1 的形式，其中 (a,b ) 是椭圆的中心的坐标。
3. 应用实例（1）例题一已知一条直线的斜率为 2，截距为 3，求该直线与 x 轴、y 轴的交点坐标。
解：直线与 x 轴的交点坐标为 (32,0)，与 y 轴的交点坐标为 (0,3)。
（2）例题二已知一个圆的圆心坐标为 (2,3)，半径为 4，求该圆的方程。
解：该圆的方程为 (x −2)2+(y −3)2=16。
（3）例题三已知一个椭圆的中心坐标为 (2,3)，长轴长度为 6，短轴长度为 4，求该椭圆的方程。
解：该椭圆的方程为 (x−2)29+(y−3)24=1。
三、教学方法本教案采用讲授、练习、讨论等多种教学方法，注重理论与实践相结合，注重学生的主动参与和思考。
四、教学评价本教案注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，能够提高学生的数学素养和综合能力，是一份优秀的教学资源。
曲线和方程教学设计
曲线和方程一、教材分析（一）教材所处的地位及作用曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础。
这正体现了几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响。
曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃。
本节教材中把曲线看成是动点的轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何表示，方程看做曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法。
由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。
求曲线的方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一。
（二）教学目标1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程，画出方程所表示的曲线；能解决与曲线交点有关的问题，了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点。
2、在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法。
3、培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神。
确定以上三个教学目标的依据是：(1)此前，学生已有了用方程（或函数形式）表示的曲线的感性认识，在教学中应充分发挥这些感性认识的作用。
但由于曲线和方程的概念比较抽象，由直观表象到抽象的概念仍有相当难度，因而对学生理解上可能遇到的困难应予以足够的估计，不能停留在一知半解或死记硬背的基础上。
这里的“领会”反映在学生的学习行为上，即要求学生能答出曲线与方程间必须东满足的两个关系，才能称作“方程的曲线”和“曲线的方程”，两者缺一不可，并能借助实例进一步明确这二者的区别，求曲线的轨迹方程以及解决与曲线有关的问题是本节的重点，要求能熟练地掌握。
曲线和方程教案1
课题:曲线和方程(1:教学目标1知识与技能目标(1 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；(2初步领会曲线的方程” 与方程的曲线”的概念;(3学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化形”与数”一致并相互转化的思想方法。
2、教学重点曲线的方程”与方程的曲线”的概念。
3、教学难点曲线的方程”与方程的曲线”的概念的理解:教学过程例1:画出方程0=-y x表示的直线y(1 (2方程（数量类比方程2x y =与如图所示的抛物线。
这条抛物线是否与这个二元方程2x y =也能建立这种对应关系呢？推广:那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？这就是今天这节课的内容：曲线和方程。
（板书课题现在请同学们思考这样的问题：方程0(=F 的解与曲线C 上的点的坐标具备怎样的关系,就能用方程0 , (= yF 表示曲线C ,同时曲线C 也表示着方程0(=F , 为什么要具备这些条件?例2:用下列方程表示如图所示的曲线 C ,对吗?为什么?(1 0-y(2 02=-y(3 0-yx（学生思考，回答(1 (2 (3这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义:在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程0(=f 的实数解建立了如下关系:(1 曲线上的点的坐标都是方程的解;(2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
2(1(<====>F例3:下列各题中，图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系（1还是关系（2?曲线C为ABC ?的中线AO曲线C是到坐标轴距离相等的点组成的直线方程0=x 方程0=-y x曲线C是过点（4, 1的反比例函数图象方程xy 4=例4:解答下列问题, 并说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系? (1 点2, 52(, 4, 3(--B A 是否在方程为2522=+y x 的圆上? (2 已知方程为2522=+y x 的圆过点, 7(m C ,求m 的值。
高中数学《曲线与方程》公开课优秀教学设计
《曲线与方程》是高中数学的核 心内容之一，对于理解数学的本 质和解决实际问题具有重要意义
。
随着新课程改革的推进，高中数 学课程更加注重学生的主体性和
探究性学习。
《曲线与方程》课程目标
01
02
03
知识与技能
掌握曲线与方程的基本概 念、性质和应用，能够运 用所学知识解决相关问题 。
过程与方法
通过探究、合作、交流等 学习方式，培养学生的数 学思维和解决问题的能力 。
05
学生学情分析与应对策略
学生学情分析
知识基础
学生已掌握直线与方程的基本知识，对解析几何有初步认识。
认知能力
学生具备了一定的抽象思维和逻辑推理能力，但处理复杂问题的 能力有待提高。
学习态度
学生对数学的兴趣和重视程度参差不齐，需要激发其内在学习动 力。
针对不同层次学生的教学策略
针对基础薄弱的学生
资源分享
建立教学资源库，定期更新并分享优质课件 、教案、习题等教学资源。
经验交流
鼓励成员之间分享教学经验、教学方法和教 学心得，促进共同成长。
互助互学
建立互助互学机制，鼓励成员之间互相帮助 、互相学习、共同进步。
成果展示
定期举办教学成果展示活动，展示团队成员 的优秀教学成果和创新能力。
THANKS
公开课可以激发教师的创新意识，推 动教学改革的深入进行。
02
教学内容与方法
教学内容梳理
曲线的基本概念
包括曲线的定义、分类和性质，以及 曲线在坐标系中的表示方法。
方程的基本概念
包括方程的定义、分类和解法，以及 方程与曲线之间的关系。
曲线与方程的对应关系
详细阐述如何通过方程来表示曲线， 以及如何通过曲线来求解方程。
2.1曲线与方程 教学设计 教案
2.1曲线与方程教学设计教案第一篇：2.1曲线与方程教学设计教案教学准备1. 教学目标[1]了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 [2]初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义 [3]强化“形”与“数”一致并相互转化的思想2. 教学重点/难点教学重点：理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程式曲线的方程3. 教学用具多媒体设备4. 标签教学过程教学过程设计1 复习引入【师】在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线，请思考下面问题：【板演/PPT】思考1 直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？思考2 到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？思考3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？【生】学生思考交流 2 新知介绍[1]结合具体实例，引入曲线方程和方程曲线概念【师】：引导学生发言总结【板演/PPT】答 y＝±x. 理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．【师】思考下面问题：思考4 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？思考5 判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2. 【生】思考总结【板演/PPT】解 (1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝x02＋y02＝r2.两边开平方取算术平方根，得的解，则y0＝，即；＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都，是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝而应是y＝±. (2)①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2 【师】引导学生交流思想总结曲线方程的概念【板演/PPT】曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．【师】引导学生深入理解定义，从充要条件来理解这个定义【板演/PPT】定义中的两个条件是判定一个方程是否为所定曲线的方程，一条曲线是否为所定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．【板演/PPT】从集合角度理解为：定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程 [2]概念应用【师】下面我们看屏幕上的例题【板演/PPT】例1：若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( )．A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点. 【师】从定义入手，考虑充要条件【生】思考回答【板书/PPT】解析∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，∴A，B，C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A，B，C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．【师】规律方法(1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系．(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明两个条件同时成立．【师】为了深刻的理解方程与曲线，我们来看下列一个问题【板书/PPT】[例2] 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正．【生】分析各个方程所表示的曲线是否与图中图象符合【板书/PPT】解：不对，应为y=x 【师】引导学生反思总结【板书/PPT】反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．【板书/PPT】【师】引导学生思考【板书/PPT】方法点拨 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．解：带入验证知P点在此方程所表示的曲线上，Q点不在。
曲线与方程的教学设计
设计意图
引入部分
前面学习了解析几何中的直线、抛物线、椭圆、双曲线的定义以及方程，并用方程结合图像对他们的性质进行研究。今天我们来学习，一般地，曲线与方程有什么关系呢？
按某种规律运动
点 曲线
坐一一
标一一
系对对
应应
数对 的制约条件方程
总结五种曲线和方程特点
特一
殊般
到
曲线与方程关系
用框架图揭示曲线与方程的本质关系，使学生充分理解曲线与方程的概念。
《曲线和方程》教学设计
一、教学分析
1．教材地位
曲线的方程和方程的曲线是解析几何的最基本的概念，是坐标法的基础。
2．教学重点难点
重点：求曲线的轨迹方程
难点：曲线与方程对应关系的理解
二、教学目标
1.结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系.
2．了解求曲线方程的步骤并会求简单曲线的方程.
三、教学过程
新课部分
1.曲线与方程的概念
一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程F(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上；
那么曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线；方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程。
注：曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程
①建系设点
பைடு நூலகம்②找关系（等式）
③坐标化（代数化）
④化简
⑤检验
课堂练习
1.设 两点的坐标是 ， ,若动点 满足 ,求动点 的轨迹方程。
学生完成
教师点拨
指出验证的条件限制
双重性
例题辨析
曲线与方程 精品教案
曲线与方程【教学目标】1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
2．在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
3．通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。
【教学重难点】1．重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。
2．难点：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。
【教学方法】1．引导探索、发现规律。
通过学生观察坐标系中的曲线和方程之间的关系，来得出曲线和方程的概念，这能充分调动学生的主动性和积极性。
2．尝试指导法，以学生为主体，以训练为主线。
这样更能突出重点、解决难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高。
【教学过程】1．承上启下，提出课题师：我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。
下面看一个具体的例子：例1：画出方程0-yx表示的直线=y（1） （2）借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系。
类比方程2x y =与如图所示的抛物线。
这条抛物线是否与这个二元方程 2x y =也能建立这种对应关系呢？ （按照例1的分析方式的得出答案是肯定的。
曲线与方程教案
曲线与方程教案一、概述曲线与方程是高中数学中的一个重要的内容，它是研究数学对象（点、直线、圆等）的位置关系的一种方法。
在现实生活中，曲线与方程可以应用于各种问题的求解，例如物体的运动轨迹、电路的分析等。
二、教学目标1. 理解曲线与方程的基本概念和特点；2. 掌握一些常见曲线的方程；3. 能够通过方程确定曲线的位置和性质；4. 运用曲线与方程解决实际问题。
三、教学内容及教学步骤第一节曲线与方程的基本概念1. 引入：以一个物体的运动轨迹为例，由此导出曲线与方程的概念；2. 定义：介绍曲线与方程的基本概念，包括曲线、方程、坐标系等；3. 特点：讨论曲线与方程的一般特点，包括连续性、唯一性等。
第二节常见曲线与方程1. 直线的方程：介绍直线的一般方程和特殊情况的方程，如平行于坐标轴的直线等；2. 抛物线的方程：介绍抛物线的一般方程和特殊情况的方程，如开口方向、对称轴等；3. 圆的方程：介绍圆的一般方程和特殊情况的方程，如半径、圆心等；4. 椭圆的方程：介绍椭圆的一般方程和特殊情况的方程，如长轴、短轴等；5. 双曲线的方程：介绍双曲线的一般方程和特殊情况的方程，如焦点、渐近线等。
第三节方程与曲线的应用1. 方程与实际问题的转化：通过实际问题，让学生将问题转化为方程；2. 解方程求解问题：通过解方程，求解实际问题；3. 应用练习：让学生自己设计一些实际问题，并通过方程解决。
四、教学方法与手段1. 概念讲解法：通过讲解的方式介绍曲线与方程的基本概念和特点；2. 例题演示法：通过示例演示如何确定曲线的方程和解决实际问题；3. 合作学习法：让学生小组合作，共同解决实际问题，并归纳总结。
五、教学重点和难点1. 重点：直线、抛物线、圆、椭圆和双曲线的方程及其性质；2. 难点：方程与实际问题的转化。
六、教学评价与反思1. 评价方法：通过观察学生的思维、解题过程、课堂表现和小组讨论等方法进行评价；2. 反思：根据学生的反馈和评价结果，及时调整教学方法和教学内容，以提高教学效果。
曲线与方程教案
曲线与方程教案曲线与方程教案教学目标：1. 理解曲线和方程之间的关系；2. 能够根据给定的方程，画出相应的曲线；3. 掌握常见曲线的方程及其特点。
教学内容：1. 曲线的定义：曲线是指在平面上由一系列点连接而成的连续图形。
2. 方程的定义：方程是指数、代数、函数或者几何等方面的等式或不等式。
3. 曲线与方程的关系：方程可以表示曲线的几何特征，曲线是方程的图形解。
教学步骤：Step 1: 引入新知识执教教师可以使用简单的例子来引入曲线与方程之间的关系，比如以一元一次方程为例，通过给定方程y = 2x + 3，可以让学生画出与之对应的曲线并分析其几何特征。
Step 2: 曲线的方程与特征讲解常见曲线的方程及其特征：- 一次函数曲线：y = kx + b，斜率k决定曲线的斜率方向和变化趋势，截距b决定曲线的位置；- 二次函数曲线：y = ax² + bx + c，二次函数曲线的开口方向和大小由二次项的系数a决定；- 平方根函数曲线：y = √x，平方根函数曲线是一条从原点开始向右上方的开口曲线；- 绝对值函数曲线：y = |x|，绝对值函数曲线以y轴为对称轴，开口形状像字母V；- 正弦函数曲线：y = sinx，正弦函数曲线是一条周期性的波浪线。
Step 3: 案例演示与讲解以具体的曲线及其方程为例讲解如何绘制这些曲线，强调方程中的各个参数对曲线的影响，如斜率对曲线的倾斜程度，二次函数曲线的开口方向等。
Step 4: 练习与巩固开展练习活动，让学生根据给定的方程，画出相应的曲线，并分析其特征，如方程y = x² - 4x + 3对应的曲线的开口方向、顶点坐标等。
Step 5: 拓展应用引导学生思考如何利用方程来解决实际问题，如使用曲线方程来分析某种现象的趋势或者预测未来的发展方向。
Step 6: 总结与评价总结曲线与方程的关系，并评价本节课的学习情况。
可以通过提问或小测验的方式进行学生知识的巩固和检测。
数学《曲线与方程》教案
数学《曲线与方程》教案【教学目标】1.了解和掌握一次函数和二次函数的图像、性质和应用。
2.掌握一次方程和二次方程的基本知识、解题方法和应用。
3.掌握实际问题应用中解方程的方法。
【教学重点】1.掌握一次函数和二次函数的图像、性质和应用。
2.掌握一次方程和二次方程的基本知识、解题方法和应用。
3.掌握实际问题应用中解方程的方法。
【教学难点】1.一次函数和二次函数的图像、性质和应用的综合应用。
2.实际问题应用中解方程的方法。
【教学过程】一、引入新课教师可引导学生通过问答、引入故事等方式，调动学生的学习兴趣，引入新的知识领域。
二、概念的讲解和探究1.一次函数(1)定义：函数y=kx+b(x∈R)称为一次函数，其中k,b均为常数，k为非零实数。
(2)一次函数的图像：一次函数图像是由一条直线组成，图像有倾斜的趋势，当斜率k>0时，图像从左向右上升，k<0时，图像从左向右下降。
截距b为函数图像在y轴上的截距。
(3)应用：一次函数常常代表一种线性关系，如速度、距离、重量、价格等。
2.二次函数(1)定义：函数y=ax^2+bx+c(x∈R)称为二次函数，其中a,b,c为常数，且a≠0。
(2)二次函数的图像：二次函数图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，当a>0时，图像开口朝上；a<0时，图像开口朝下。
顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))（f(x)=ax^2+bx+c）。
(3)应用：二次函数常常在抛物线问题中使用，如炮弹的运动、神经元的发放等等。
三、基本解法的演示1.一次方程的解法(1)基本初等变形法：对等式两边进行加、减、乘、除等运算，化简方程，将未知数分离出来。
(2)解题步骤：Step1：用合适的字母表示未知数。
Step2：列出等式。
Step3：对等式进行变形。
Step4：将未知数分离出来。
Step5：检验解。
2.二次方程的解法(1)配方法：当方程右侧项不为0时，可以采用配方法将方程化为平方差的形式，从而求得方程的解。
高中数学曲线和方程教案
主题：曲线和方程目标：学生能够理解和应用曲线和方程的概念，能够绘制和分析各种曲线图形。
教学内容：1. 方程的基本概念2. 一元一次方程3. 一元二次方程4. 曲线的基本概念5. 直线的方程和性质6. 圆的方程和性质7. 椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质8. 曲线的应用教学步骤：第一课：方程的基本概念1. 引入方程概念，让学生认识到方程在现实生活中的重要性2. 教授方程的定义和基本术语3. 讲解方程的解的概念和思维方式第二课：一元一次方程1. 讲解一元一次方程的定义和性质2. 演示如何求解一元一次方程3. 练习一元一次方程的相关题目第三课：一元二次方程1. 讲解一元二次方程的定义和性质2. 演示如何求解一元二次方程3. 练习一元二次方程的相关题目1. 引入曲线的概念，让学生认识到曲线在数学中的重要性2. 讲解曲线的定义和基本分类3. 演示如何绘制各种曲线图形第五课：直线的方程和性质1. 讲解直线的方程和性质2. 演示如何通过方程求解直线的相关问题3. 练习直线方程的相关题目第六课：圆的方程和性质1. 讲解圆的方程和性质2. 演示如何通过方程求解圆的相关问题3. 练习圆的方程的相关题目第七课：椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质1. 讲解椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质2. 演示如何通过方程求解这些曲线的相关问题3. 练习椭圆、抛物线、双曲线的方程的相关题目第八课：曲线的应用1. 讲解曲线在现实生活中的应用2. 演示如何通过曲线方程解决实际问题3. 练习应用题目课堂互动：1. 学生提出问题，老师解答并引导学生思考2. 老师布置课后作业和练习题，及时纠正学生的错误3. 小组合作解题，促进学生之间的交流和合作评估方式：1.2. 课后练习题和考试成绩3. 口头回答问题和解题思路的清晰度教学资源：1. 教科书及相关参考书籍2. 多媒体教学设备3. 课堂板书和示范绘图教学反思与改进：1. 结合学生实际情况，及时调整教学内容和方式2. 引导学生自主学习和解决问题的能力3. 关注学生的学习动态和进度，及时纠正错误和强化重点知识总结：通过本课程的学习，学生将掌握曲线和方程的基本概念和应用技能，从而提高数学素养和解决实际问题的能力。
数学教案-曲线和方程
数学教案－曲线和方程一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够： - 理解曲线和方程的关系 - 掌握曲线和方程的基本术语和概念 - 能够在具体问题中应用曲线和方程进行求解二、教学重点•曲线和方程的定义和特点•曲线的分类和方程的形式•利用曲线和方程解决实际问题的能力三、教学内容1. 曲线和方程的关系•曲线是由方程所描述出来的图形，方程是用来表示曲线的数学符号表达式。
•曲线和方程是密不可分的，通过曲线可以找到方程，通过方程可以绘制出曲线。
2. 曲线的分类•根据曲线所在的平面，可以分为二维曲线和三维曲线。
•根据曲线的形状，可以分为直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线等。
3. 方程的形式•一元方程：只含有一个未知数的方程，如x^2 + 3x - 2 = 0。
•二元方程：含有两个未知数的方程，如x + y = 5。
•多元方程：含有多个未知数的方程，如2x + 3y + 4z = 10。
4. 利用方程解决实际问题•实际生活中，许多问题可以通过建立方程来求解。
•例如，求解一个矩形的面积可以通过方程A = l * w来表示，其中A表示面积，l表示长，w表示宽。
四、教学方法•理论讲解结合实际问题，引导学生思考曲线和方程的关系。
•分组讨论，让学生通过小组合作解决实际问题，激发学生的学习兴趣。
•利用电子白板和计算机软件展示曲线和方程的图形，提高学生对于知识的直观理解。
五、教学步骤1. 导入新知识•引导学生回顾前几次课的内容，复习曲线和方程的定义和特点。
2. 讲解曲线和方程的关系•通过示意图展示曲线和方程之间的联系，让学生理解曲线是由方程所描述出来的。
3. 分组讨论•将学生分成小组，每个小组解决一个实际问题。
•通过建立方程，并利用方程求解实际问题。
4. 汇报和讨论•每个小组介绍他们的解决方案，并进行讨论和分享。
•教师引导学生总结各组的解决方法，形成全局性的认识。
5. 实际应用练习•提供多个实际问题，让学生独立解决，并将解题过程记录下来。
数学教案-曲线和方程
数学教案－曲线和方程教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．（5）进一步理解数形结合的思想方法．教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的的代数方程由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．（3）初步掌握求曲线方程的方法．（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．教学重点、难点：求曲线的方程．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．学生思考并回答．教师强调．2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．【问题】如何根据已知条件，求出曲线的方程．【实例分析】例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为①分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．设是线段的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得这说明点的坐标是方程的解．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点的坐标是方程①的任意一解，则到、的距离分别为所以，即点在直线上．综合（1）、（2），①是所求直线的方程．至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．让我们用这个方法试解如下问题：例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．求解过程略．【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件的点的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合由距离公式，点适合的条件可表示为①将①式移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．【练习巩固】题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．根据条件，代入坐标可得化简得①由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？【作业】课本第72页练习1，2，3；【板书设计】§7．6 求曲线的方程坐标法：解析几何：基本问题：（1）（2）例1：例2：求曲线方程的步骤：例3练习：小结：作业：。
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曲线与方程的教学设计上海曹杨二中桂思铭一、内容和内容解析曲线与方程为选修2-1的内容，它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数算式）间的一一对应关系;同时，介绍了求解曲线方程的一般方法，并要求学生能通过方程来处理一些简单的几何问题，如根据已知条件确定方程中的参数，求动点的轨迹方程等问题.学生在这本节内容学习之前，已经有了直线方程及圆方程的相关知识，在这里进一步研究曲线与方程的关系有着承上启下的作用，学生可以根据已经验通过教师的引导进行一般的归纳总结，用已有经验来加深对定义的认识，廓清曲线与方程之间的关系，进而能更深入理解解析几何的本质，同时也为后继圆锥曲线的学习奠定一个基础.二．目标和目标解析教学目标：理解曲线的方程、方程的曲线的概念；能根据给出的条件求曲线的方程；经历对曲线方程定义的归纳理解过程，体会数学思维的严谨，借助于技术强化数形结合的思想方法.上述教学目标具体体现在:（1）能辨析给出的方程是否是某个曲线的方程;（2）给出一些熟悉的曲线的部分图像后能确定变量的取值范围;（3）掌握求曲线方程的基本流程;（4）能利用曲线方程的定义求解轨迹方程;（5）能对照求曲线方程的步骤来反思自己的求解过程.教学的重点和难点在于学生对曲线与方程的概念的理解和掌握.三．教学问题诊断新课标教材将这部分内容作为选修内容，之前的学习为学生提供了曲线与方程的具体事例(直线及圆),学生知道直线和圆的问题可以通过方程来研究处理,如判断两条直线的位置关系;求直线的交点;直线和圆的位置关系等,但可能经过了一个阶段学生记忆中留下的只是一些具体的解题的方法和知识,并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建新的知识，这需要教师通过一些事例去激活学生的思维.另外,在前面学习的直线和圆的过程中,学生遇到的问题往往是求得的直线或圆就是一条完整的直线或一个完整的圆,不需要去深究求得的方程是否会混入不在曲线上的点的问题,而进入到一般的曲线的研究过程,学生自然会在这方面出现这样或那样的问题,所以我们在教学中,要强调新授知识和已有知识间的区别和联系,让学生感到新学的内容既不是一个全新的内容,又与以往的内容又有一定的区别,这有助于联系的看问题,完善学生的认知结构,帮助学生掌握好本节内容.四．教学支持条件分析为了能很好地帮助学生理解、反思学习内容,体会新学的知识的要义,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解分析问题,所以，借助于动态几何的软件来加强几何直观十分必要，同时这也可以帮助学生验证其演算结果的正确与否,体会曲线与方程的定义.五．教学过程设计(一)概念的导入1．通过投影呈现几个教材内容的片断,为新课的学习作一些必要的铺垫.片断1数学2第三章中直线与方程的章头语：……通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。
……建立直线方程.然后通过方程,研究直线的有关性质…….片断2第四章圆与方程的章头语……建立圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系.片断3数学2中第97页的思考栏目（1）平面直角系中的每一条直线都可以用一个关于、的二元一次方程来表示吗？（2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线吗？2.请同学们结合对上述片断的观察回答从中可以得出哪些主要信息?(从上述片断中可以提炼出这样一些观点:①解析几何主要是通过方程来研究几何问题;②我们可以用建立起二元方程和直线间的一一对应关系;③片断3也提供了怎样来建立方程和曲线联系的途径;④更一般的,可以对建立曲线的方程来研究曲线的几何性质.)3.指出今天我们要学习的内容,板书标题曲线与方程4.为了帮助学生给曲线的方程下定义,进一步提供以下问题:(1)写出表示下列图形(实线部分)的方程(2)作下列方程所表示的图形(i); (ii)5.结合对前面问题的观察分析,请你来给曲线的方程下个定义.6.一般地,在直角坐标系中,如果某曲线(看作点的集合或某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.7.证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是.(1)要求学生分析明确要证明轨迹方程为需要从曲线满足的方程和方程所对应的曲线这两个方面来考虑问题;(2)教师展示证明过程,帮助学生规范证明的书写,体会解决问题的过程.(二)求曲线的方程1.对什么是求曲线的方程作一些简单的阐述(结合前面的问题来讲解,明确求曲线的方程实际上是做什么工作，要注意哪些问题)2.通过投影显示例2的内容,请学生阅读例2,学习解题的方法, 并对照例2的解题步骤,写出求曲线方程的一般步骤.3.例3.已知一条直线和它上方的一点,点到的距离是2,一条曲线也在的上方,它上面每一点到的距离减去到的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.(1)请学生建立直角坐标系,并要求学生说明这样建立坐标系的理由;(2)要求学生写出曲线的方程,(3)通过几何软件,验证方程的解所对应的点在曲线上,特别提醒学生要仔细审题,要有放过来验证的思考,不要轻易地断定反过去结论也成立,要有理性的思考.(三)巩固练习1.完成教科书第37页上的练习1.2,请学生谈谈这两个题主要帮助你加深了对哪些问题的认识?2.完成习题3,并结合几何的分析说明方程的解所对应的点一定在曲线上。
六．目标检测设计已知曲线的方程为，并且曲线经过点，两点，（1）求曲线的方程；（2）若在的正半轴上存在一点，过点的直线交曲线，于，两点，求，的中点的轨迹方程.希望能通过这个问题能检查学生对本节内容的掌握情况，因（2）的结果需要有分类讨论的过程，学生可能会出现问题，教师可顺势提出问题，回扣曲线与方程的定义，完成小节工作，同时也为学生的回家作业作了一个铺垫.回家作业习题2.1 的所有题目“曲线与方程”的教学反思上海曹杨二中桂思铭一、对教学设计的再思考本内容包含“曲线与方程”和“求曲线的方程”。
前一小节引入“曲线的方程”和“方程的曲线”概念,并通过概念的简单应用，使学生初步理解概念；后一小节给出求轨迹方程的一般步骤和方法，通过求轨迹方程帮助学生进一步理解、掌握曲线方程的概念.在先前的教学设计中，主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程”“圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生已有的认知基础，有利于学生主动构建概念。
我认为这样的设计对学生理解概念、发展能力都有积极意义，但做好这一点必须有充足的时间让学生进行归纳、思考、总结. 从实际的教学情况来看,在概念的引入上是比较成功的,学生在课堂中的表现和教学设计的预设比较一致,这是设计中值得肯定的一面.先前的设计的不足主要是没有充分重视轨迹方程的求解过程.要完整地体现教材的编写意图,在重视概念形成发展过程的同时还需要重视习题内容的处理.我们来看教材中的一个习题(37页练习3):如图,已知点的坐标是,过点的直线与轴交于点,过点与直线垂直的直线与轴交于点.设点是线段的中点，求点的轨迹方程.这个问题的解答途径主要有两种:（1）用和有公共的斜边这一特性,得出点到定点及的距离相同,得出所求的轨迹就是线段的垂直平分线,因此可以利用例2的方法来求解;（2）引入一个参数,设直线的斜率为,然后根据已有的知识将点的坐标用来表示,最后消去参数.这两种方法学生都比较陌生,前一种解法的“平面几何味道”很浓,有一个转化的过程;后一种解法主要是用参数方程的思想,学生没有接触过,没有可以模仿的例题,独立解决有困难,需要教师的铺垫与归纳.同样，学生独立完成教科书上的习题也有一定的难度。
因此，课堂教学中，通过例题有效地帮助学生体会到“曲线与方程”中蕴含的数学思想和方法是非常重要的任务.鉴于上述分析,应将求轨迹方程的方法列入教学的重点和难点,但一个课时无法完成教学任务，需要增加一个课时.二、对教学设计的调整基于上面的思考，现将教学设计作一个调整，将本节内容改成两节课完成，两节课的内容安排如下：第一课2.1.1曲线与方程的全部内容加上2.1.1求曲线的方程例2;第二课例3结合作业分析,归纳几种主要的求轨迹方程的方法.下面是修改后的教学设计：（一）课前预习在上课前一天布置学生复习回顾下列内容，并思考：从中可以归结出哪些观点？片断1数学2第三章中直线与方程的章头语：……通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。
……建立直线方程.然后通过方程,研究直线的有关性质…….片断2第四章圆与方程的章头语……建立圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系.片断3数学2中第97页的思考栏目（1）平面直角系中的每一条直线都可以用一个关于、的二元一次方程来表示吗？（2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线吗？(二)概念导入1．通过投影呈现上述片断，让学生回答从中可以得出哪些主要信息?(从上述片断中可以提炼出观点:①解析几何主要是通过方程来研究几何问题;②二元一次方程和直线间具有一一对应关系;③片断3也提供了建立方程和曲线联系的途径;④更一般的,可以先建立曲线的方程，通过方程来研究曲线的几何性质.)2.指出今天我们要学习的内容,板书标题“曲线与方程”。
3.为了帮助学生给曲线的方程下定义,进一步提供以下问题:(1)写出表示下列图形(实线部分)的方程：(2)作下列方程所表示的图形：(i); (ii).(通过具体问题体会“纯粹性”和“完备性”。
教学中可根据学生的回答情况，通过追问的方式，在上述两点上帮助学生深入理解。
)4.结合对前面问题的观察分析,请学生给曲线的方程下个定义：一般地,在直角坐标系中,如果某曲线(看作点的集合或某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.5.证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是.(1)先用信息技术展示“与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹”，再引导学生分析，明确解题任务——要证明轨迹方程为，就是要证明两个命题：轨迹上的点的坐标满足方程，并且方程的解为坐标的点都在轨迹上;(2)教师展示证明过程,帮助学生规范证明的书写,体会解题过程.(三)求曲线的方程1.对什么是求曲线的方程作简单讲解(结合前面的问题来讲解,明确求曲线的方程是要做什么工作，要注意哪些问题)。
2.通过投影显示例2的内容,请学生阅读例2,学习解题的方法(这里将直线看作点的轨迹), 并对照例2的解题步骤,写出求曲线方程的一般步骤.(四)巩固练习1.完成教科书第37页上的练习1.2,请学生谈谈这两个题主要帮助自己加深了对哪些问题的认识?2.阅读37页上的练习3,教师用几何软件作轨迹图形(线段的垂直平分线)然后帮助学生形成解题的方法.(设计说明：前面已分析了学生解这个问题的困难所在,先用软件作图的目的在于启发学生的思维,帮助学生形成解题策略,有了轨迹可以启发学生用平面几何的知识将问题进行转化,同时也可以对解题中为什么要引入参数,如何引入参数作一些必要的说明,让学生掌握解题的方法。