曲线与方程(教案)

龙文教育个性化辅导授课案教师:娇学生: 日期: 星期: 时段: 课题曲线与方程学情分析教学目标与考点分析1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．利用直接法或定义法求轨迹方程．3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质．教学重点难点正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程。

教学过程<基础梳理>1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．四个步骤对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为：①设点：即设出弦的两端点坐标；②代入：即代入圆锥曲线方程；③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开；④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．五种方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．<双基自测>1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系，∵f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0，∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．答案 C2．(2012·质检)方程x2＋xy＝x的曲线是( )．A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析方程变为x(x＋y－1)＝0∴x＝0或x＋y－1＝0.故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.答案 C3．(2012·月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )．A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x ，4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0. 答案 D4．(2012·模拟)若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线． 答案 D5．(2011·)曲线C 是平面与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．解析 设动点M (x ，y )到两定点F 1，F 2的距离的积等于a 2，得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2， ∵a ＞1，故原点坐标不满足曲线C 的方程，故①错误．以－x ，－y 分别代替曲线C 的方程中的x 、y ，其方程不变，故曲线C 关于原点对称，即②正确．因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确． 答案 ②③考点一 直接法求轨迹方程【例1】►已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，如图所示．由动点P 向⊙O和⊙O ′所引的切线长相等，求动点P 的轨迹方程．[审题视点] 由已知条件找出等量关系，直接写出P点坐标满足的等式化简即得轨迹方程．解设P(x，y)，由圆O′的方程为(x－4)2＋y2＝6，及已知|AP|＝|BP|，故|OP|2－|AO|2＝|O′P|2－|O′B|2，则|OP|2－2＝|O′P|2－6.∴x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，∴x＝32，故动点P的轨迹方程是x＝32.直接法求曲线方程的一般步骤：(1)建立恰当的坐标系，设动点坐标(x，y)；(2)列出几何等量关系式；(3)用坐标条件变为方程f(x，y)＝0；(4)变方程为最简方程；(5)检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性．【训练1】如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M 的轨迹方程．解设点M的坐标为(x，y)，∵M是线段AB的中点，∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．∴PA→＝(2x－2，－4)，PB→＝(－2,2y－4)．由已知PA→·PB→＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，即x＋2y－5＝0.∴线段AB中点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.考向二定义法求轨迹方程【例2】►一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．[审题视点] 由曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．解如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|＝R＋2.①当动圆与圆O2相切时，有|O2M|＝10－R.②将①②两式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12>|O1O2|，∴动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆．∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，∴圆心轨迹方程为x236＋y227＝1，轨迹为椭圆．在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量围．【训练2】已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M到两定点C2、C1的距离的差是常数2，且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．考向三参数法、相关点法求轨迹方程【例3】►已知抛物线y2＝4px(p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．[审题视点] 设出m点的坐标(x，y)后，直接找x，y的关系式不好求，故寻求其他变量建立x，y 之间的联系．解设M(x，y)，直线AB方程为y＝kx＋b.由OM⊥AB得k＝－xy.由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0.所以x1x2＝b2 k2.消去x，得ky2－4py＋4pb＝0.所以y1y2＝4pbk.由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，所以4pbk＝－b2k2，b＝－4kp.故y＝kx＋b＝k(x－4p)．把k＝－xy代入，得x2＋y2－4px＝0(x≠0)．即M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0(x≠0)．在一些很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式的情况下，往往借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝x(t)，再通过一些条件消掉t就间接找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．【训练3】如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P 的轨迹方程．解设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则N点的坐标为(2x－x1，2y－y1)．∵点N在直线x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2，①又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2.∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0，②由①、②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.又Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x 21－y 21＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋12y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋32y －12＝1， 整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0，这就是所求动点P 的轨迹方程．规解答18——如何解决求曲线的方程【问题研究】 曲线与方程是解析几何的一条主线，虽然高考对曲线与方程的要求不是很高，但在高考中也经常会有一些试题是以建立曲线方程作为切入点命制的．从近几年的高考试题中可以发现，无论客观题还是主观题都有曲线与方程的命题点．【解决方案】 首先，要深入理解求曲线的轨迹方程的各种方法及其适用的基本题型，注意参数法和交轨法的应用．其次，求出轨迹方程时要注意检验，多余的点要扣除，而遗漏的点要补上，再次，要明确圆锥曲线的性质，选相应的解题策略和拟定具体的解题方法，如参数的选取，相关点变化的规律及限制条件等．【示例】►(2011·天津)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a ＞b ＞0) 为动点，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．第(1)问设出焦点坐标，根据|PF 2|＝|F 1F 2|列出等式，解方程即可求得；第(2)问根据题意设出A ，B 两点坐标，代入关系式AM →·BM →＝－2即可求得点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c ，整理，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(4分)(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .(6分)不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B ()0，－3c .设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )．(8分)由AM →·BM →＝－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2， 化简得18x 2－163xy －15＝0.(10分)将y ＝18x 2－15163代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x ＞0.所以x ＞0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x ＞0)．(12分)代入法求曲线方程的难点是建立x ，y ，x 0，y 0所满足的两个关系式，这需要根据问题的具体情况，充分利用已知条件列出关系式，一般需要找到两个互相独立的条件建立两个方程，通过这两个方程所组成的方程组用x ，y 表达x 0，y 0.总结：1曲线与方程的概念；2求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。