勾股定理与全等三角形
证明三角形全等的五种方法
证明三角形全等的五种方法
方法一：边边边（SSS）——三条边都对应相等的两个三角形全等。
三角形具有稳定性，三条边都确定了，整个三角形都可以固定下来了。
这样就具有了唯一性，而这样的两个三边都对应相等的三角形，自然就是全等的。
但是需要注意的是三个角都相等的两个三角形不能判定全等。
方法二：边角边（SAS）——两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式是课本上直接给出的，同一个角度的有很多，但是确定了夹这个角的两条边的长短，这个就被确定下来了，这是举不出反例的。
方法三：角边角（ASA）——两角和它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式也是课本上直接给出的，一个角的边可以无限延长，两个角的夹边被确定以后，就无法延长了，另外两条边则肯定会有交点，这样肯定也能将三角形确定下来。
方法四：角角边（AAS）——两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式是由方法三角边角衍生出来的，只要记住了方法三，这个方法就很好记了。
三角形的内角和是180，如果两个角都确定了的话，另外一个角度也可以确定下来，这样三个角都是固定的了，那条对边无论如何都是夹在其中两个角中间的，所以也就形成了“角边角”。
方法五：斜边直角边（HL）——斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式是利用了勾股定理，如果两条边都知道了，那么利用勾股定理很容易就可以确定第三条边了，这样利用方法一边边边，或者是方法二边角边，都是可以得出两个三角形全等的。
但是前提必须是两个直角三角形。
勾股定理与全等三角形
第二章勾股定理与全等三角形
探索直角三角形三边的关系：
观察图中用阴影画出的3个正方形，我们可以知道两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积。
那AC+BC=AB说明，任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
那么，只要是直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方吗？
概括：
数学上可以证明，对于任意的直角三角形都有两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
如果一个直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c则有：a+b=c
例：已知一个直角三角形的一个边长为3c m，斜边长为5c m,求另一直角边的长。
、
解：在RtABC中如图所示B C=3cm AB=5cm
根据勾股定理的：AC+BC=AB
AC=√AC-BC=√25-9=4cm
答：另一直角边的长为4cm.
习题：
1.在RtABC中AB=c BC=b AC=b∠B=90
⑴已知a=6 b=10 求c.⑵已知a=5 c=12,求b.
2直角三角形的斜边比一直角边长2c m，另一直角边长为6cm求它的斜边长？
3如图所示，为了求出湖两岸的两点A B之间的距离。
一个观测者在点C设桩，是三角形AB C恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？
习题：。
等腰三角形勾股定理及全等的综合应用
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF=BD=5，
∴AF=AD-DF=12-5=7；
(2)证明：如图2，在BF上取一点H使BH=EF，
连接CF、CH
在△CHB和△AEF中，
=
∵ ∠ = ∠ = ° ，
=
∴△CHB≌△AEF(SAS)，
∴AE=CH，∠AEF=∠BHC，
∴DE⊥DP；
(2)连接PE，设DE=x,则
EB=ED=x,CE=4-x,
∵∠C=∠PDE=90°，
2
2
2
2
2
∴PC +CE =PE =PD +DE
，
2
2
2
2
∴2 +(4-x) =1 +x ，
解得：x=
．
则DE=
，
证：CD⊥BF；
2
2
2
(2)连接BE，交CD的延长线于点H，如图2，若BC =BE +CD ，试判断
CD与BE的位置关系，并证明．
解:(1)证明：在△ACD和△AFE中
=
∠ = ∠ ，
=
∴△ACD≌△AFE(SAS)，
∴∠DCA=∠EFA，
∴CD∥EF，
∵BF⊥EF，
∴CD⊥BF；
(2)解：CD⊥BE，理由如下：
延长CA到F，使AF=AC，连接EF，
∵BA⊥CF，AC=AF，
∴BC=BF，
由(1)可知CD∥EF，CD=EF，
2
2
2
∵BC =BE +CD ，
2
2
2
∴BF =BE +EF ，
勾股定理与全等三角形
1、已知:如图,△ABC中,△C=90°,D为ＡB得中点,E、Ｆ分别在AC、BC上,且ＤＥ△DF.求证:AE2+BF2=EF２。
２、如图,△ACＢ与△ECＤ都就是等腰直角三角形,∠AＣB=∠ECＤ=90°,Ｄ为AB边上一点,求证:(1)△ＡＣE≌△BＣD;(2)AD２+DB2=DＥ２.3、如图,△ABC中,AB=BC,BＥ⊥ＡC于点E,AＤ⊥BＣ于点Ｄ,∠BAD=４5°,AD与ＢE交于点Ｆ,连接ＣＦ.(１)求证:BF=2AE;ﻫ(２)若CD＝2,求AD得长、4、如图①,已知点Ｄ在ＡＢ上,△ABC与△AＤE都就是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=９0°,且M为ＥC得中点。
ﻫ)1)求证:△BMD为等腰直角三角形、(思路点拨:考虑M为EＣ得中点得作用,可以延长DM交BC于N,构造△ＣMＮ≌△EMD,于就是EＤ=ＣN=DA,即可以证明△BND也就是等腰直角三角形,且BM就是等腰三角形底边得中线就可以了。
)请您完成证明过程:(2)将△AＤE绕点Ａ再逆时针旋转90°时(如图②所示位置),△ＢＭD为等腰直角三角形得结论就是否仍成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由。
1、证明:延长EＤ到G,使DG=DE,连接ＥF、FG、CG,如图所示:△△DＦ=ＤF,△EDF=△FDG＝90°,DG=ＤＥ△△△EDＦ△△GDＦ(SAS),△△EF=FG△又△Ｄ为斜边BC中点△BD=ＤC又△△BDE=△CＤG,ＤＥ=ＤＧ△△BDE△△CDG(SＡS)△BE=ＣG,△B=△BCG △△AB△CG△△△GCA＝１80°－△A=１80°－9０°=90°在Rt△FCG中,由勾股定理得:FＧ2=ＣF2+CG2=CF2+BE2ﻫ△EF2＝ＦG２=BE2+CF２.证明:过点Ａ作AM△BC,交ＦD延长线于点M,连接ＥＭ、△AM△ＢC,△△MAE=△ACB=90°,△MAD=△B.△△AD=BD,△ADM=△BDF,△△ＡＤM△△BDF.△AM=ＢF,MD＝ＤF、又DE△DF,△EF=EM、△AE2+BＦ2=AＥ2+AM2＝EＭ2=ＥF２、２、证明:(1)∵∠ACB＝∠ECD,ﻫ∴∠ACＤ+∠ＢＣＤ=∠AＣD+∠ＡCE,ﻫ即∠BCD=∠AＣE.ﻫ∵BC=AC,DC=EＣ,∴△ACE≌△ＢCD。
三角形、勾股定理知识点-整理
全等三角形、勾股定理教案直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项2CD AD BD AC 2 AD AB BC 2 BD AB四、全等三角形1、 全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形;2、 三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；3、 全等三角形的判定定理：⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） ⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“ AAS ”; ⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”） ⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS'）;⑸ 直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 注意：对应相等意思是：例如三角形 ABC 和三角形DEF , AB 和DE 是对应边，AB=DE ;BC 和EF 是对应边，BC=EF ； AC 和DF 是对应边，AC=DF角A 和角D 是对应角，角人=角D角B 和角E 是对应角，角B=角E角C 和角F 是对应角，角。
=角F这些对应关系都可以从题目给出的三角形 XXX 和三角形yyy 中按顺序写好4、全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换; 全等变换包括一下三种：①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换;ACB 90CD AB②对称变换：将图形沿某直线翻折180 ,这种变换叫做对称变换; o③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换;同步训练:1、如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD , BC=DC, E 为AC 边上的点，BE=DE.试判断:⑴图中有哪些三角形全等？请说明理由⑵图中有哪些角相等?3、如图2,若A 吐DE BE= CF,要证△ ABF^A DEC 需补充条件.4、如图3,已知AB// CD AD// BC , E 、F 是BD 上两点,且BF = DE 则图中共有. 角形,2、如图1, AD 丄BC , D 为BC 的中点, 三角形。
勾股定理与全等三角形
1、已知：如图，△ ABC中，/ C=90° D为AB的中点，E、F分别在AC BC上，且DE丄DF.求ffi： AE2+BF2=EF2.32、如图，△ ACB和^ ECD都是等腰直角三角形，/证：(1 )△ ACE^A BCD; (2) AD2+DB2=D呂.3、如图，△ ABC 中，AB=BC BE丄AC于点E, AD丄BC 于点D,Z BAD=45°, AD 与BE交于点F,连接CF.(1)求证：BF=2AE(2)若CD= 2,求AD 的长.4、如图①，已知点D在AB上, △ ABC和^ ADE都是等腰直角三角形，/ ABC=/ ADE=90°,c1、证明：延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:•/ DF=DE / EDF=Z FDG=90 ,° DG=DE:.△ EDF^A GDF ( SAS ,•••EF=FG又••• D为斜边BC中点•••BD=DC又•/ / BDE=/ CDG, DE=DG•••△ BDE^A CDG (SAS••• BE=CG / B=/ BCG ••• AB// CG ••• / GCA=180-° A=180 -90 =90 在RtA FCG中，由勾股定理得:FG2=CF+CG=CF+BE ••• EF2=FG=Be+CF.3证明：过点A作AM // BC,交FD延长线于点M，连接EM.•/ AM // BC,••• / MAE=/ ACB=90 ,° / MAD= / B.•/ AD=BD, / ADM= / BDF, •••△ ADM^A BDF.••• AM=BF, MD=DF.又DE丄DF, ••• EF=EM.••• AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=E^.2、证明：（1）v/ ACB=^ ECD •••/ ACD+Z BCDK ACD+Z ACE 即/ BCD=^ ACE ••• BC=AC DC=EC(2)v^ ACB是等腰直角三角形,• / B=/ BAC=45度.•••/ B=/ CAE=45 •••/ DAE=^ CAE+Z BAC=45+45°90°, • AD2+AE2=DE2由（1）知AE=DB• AD2+DB2=DE23、解答：(1)证明：T AD丄BC,Z BAD=45,:.△ ABD是等腰直角三角形, /. AD=BD, •/ BE丄AC, AD 丄BC, ：•/ CAD+Z ACD=90 ,/ CBE+/ ACD=90 , ：•/ CAD=/ CBE在^ ADC和^ BDF中,/ CAD=Z CBEAD= BD/ ADC=Z BDF= 90°•: △ ADC^^ BDF (ASA),•: BF=AC •/ AB=BC BE丄AC, •: AC=2AE •: BF=2AE(2)解：•••△ ADC^^ BDF, •: DF=CD=在RtA CDF中，CF=DF+CD22=2,•/ BE丄AC,AE=EC•••AF=CF=2/. AD=AF+DF=2+團①4、解答：（1）证明：延长DM交BC于N,:EDA=Z ABC=90 ,/. DE//BC,•••/ DEM=Z MCB,在^ EMD和^ CMN中/ DEM=Z NCMEM = CM/EMD=Z NMC,.•.△ EMD" CMN, •••CN=DE=DA MN=MD ,•/ BA=BC /. BD=BN, •: △ DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线, ••• BM 丄DM，/ DBM=/ DBN=45=/ BDM ,:.△ BMD为等腰直角三角形.(2)解：△ BMD为等腰直角三角形的结论仍成立, 证明：作CN// DE交DM的延长线于N,连接BN, ：•/ E=Z MCN=4° , vZ DME=Z NMC, EM=CM,：.△ EMDW CMN (ASA),：.CN=DE=DA MN=MD , 在^ DBA和^ NBC中DA= CNZ DAB=Z BCN,BA= BC•••/ DBA=Z NBC, DB=BN, /•Z DBN=Z ABC=90 , •/△ DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线, ••• BM 丄DM , Z DBM=Z DBN=45=Z BDM ,:.△ BMD为等腰直角三角形.。
人教版先学全等三角形还是勾股定理
人教版先学全等三角形还是勾股定理全等三角形和勾股定理是数学中重要的概念，它们在几何学和三角学中有广泛的应用。
全等三角形
全等三角形是指具有相等对应边长和相等对应角度的三角形。
以下是判断三角形全等的条件：
•SSS（边边边）：三边对应相等。
•SAS（边角边）：两边夹角对应相等，且夹角的边对应相等。
•ASA（角边角）：两个角对应相等，且对应角的边对应相等。
•AAS（角角边）：两个角对应相等，且不在对应角边上的边对应相等。
勾股定理
勾股定理是三角形中一条重要的定理，将直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的数学表达式：
c2 = a2 + b2
其中，c 表示斜边的长度，a 和 b 分别表示直角边的长度。
勾股定理可应用于解决各种与三角形和直角有关的问题，例如计算三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形等。
全等三角形与勾股定理练习题
全等三角形与勾股定理练习题（一）一．填空题1．一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm ,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，S △ABC ＝30cm 2，则AB ＝ .3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
5．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
6．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
7．已知两条线段的长为5c m 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形.8．一个三角形三边之比为2:5:3,则这个三角形的形状是 . 9．将一根长为24㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是________________. 10．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿 纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________.11.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC －BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________。
12.如图，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180o 形成的，若150BAC ∠=o ，则θ∠的度数是 ． 二．选择题1、若Rt ABC V 中，90C ︒∠=且c=37,a=12，则b=（ ）A 、50B 、35C 、34D 、262、如图，平行四边形ABCD 对角线AC,BD 交于O ，过O 画直线EF 交AD 于E ，交BC 于F,，则图中全等三角形共有（ ） (A)7对 (B)6对 (C)5对 (D)4对3.如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ AC ＝DN 。
一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)答案
1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N（﹣，0）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
专题三：勾股定理与全等构造
勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45°，135°作等腰直角三角形构造全等1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。
2、如图，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.（1）若点P在△ABD外，且∠APB=45°，求PD的长；（2）若点P在△ABD内，且∠APB=135°，求PD的长.二、遇60 ，120 作等边三角形构造全等3、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为.4、如图，△ABC为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长.三、将角度分解为60 ，90 或45 的特殊角结合全等5、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=2，求PB的长。
.勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45 ，135 作等腰直角三角形构造全等1、如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1， ∠CPB=135°，求AP 的长。
解：将△CPB 绕点C 旋转，使得BC 与AC 重合，点P 与点D 是对应点，∴PC=DC ，∠DCA=∠CBP ，∴∠DCP=∠ACB=90°，∴△CDP 是等腰直角三角形，∴由勾股定理可知：DP=22， ∵PB=AD=1， ∵∠CPB=∠CDA=135°，∠CDP=45°，∴∠ADB=90°∴由勾股定理可求得：AP=3.2、如图，在△ABD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.（1）若点P 在△ABD 外，且∠APB=45°，求PD 的长；（2）若点P 在△ABD 内，且∠APB=135°，求PD 的长.解：（1）如图所示，过点A 作AH ⊥AP ，且使AH=PA=3，连接PH 、BH ，∴∠APH=∠AHP=45°，PH=222233+=+PA AH =32，∵∠HAP=∠BAD=90°，∴∠HAP+∠PAB=∠BAD+∠PAB ，即∠HAB=∠PAD ，在△AHB 与△APD 中，AH=AP ，∠HAB=∠PAD ，AB=AD ，∴△AHB ≌△APD ，∴HB=PD.∵∠APB=45°，∴∠HPB=∠APB+∠APH=90°，在Rt △HPB 中，HB=22PB PH + =224)23(+=34∴PD=HB=34.（2）如图所示，作AH ⊥AP ，且使AH=PA=3，连接PH 、BH ，∴∠APH=∠AHP=45°，PH=222233+=+PA AH =32，∴HB=PD.∵∠APB=135°，∴∠HPB=∠APB-∠APH=135°-45°=90°，∴在Rt △HPB 中， HB=22PB PH +=224)23(+=34∴PD=HB=34.二、遇60 ，120 作等边三角形构造全等3、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC 为边在△ABC 外作正△ACD ，则BD 的长为.解：以AB 为边作等边三角形AEB ，连接CE ，如图所示，∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB ，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC ，即∠EAC=∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中，AE=AB ，∠EAC=∠BAD ，AD=AC ，∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴BD=EC ，∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，∴∠EBC=120°，在△EBC 中，BC=5，EB=3，过点E 做BC 的垂线交BC 于点F ，易知∠EBF=60°，∠FEB=30°，∴EF=233，FB=23，FC=5+23=213， ∴EC 2=FC 2+EF 2=49∴BD=EC=7.4、如图，△ABC 为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD 的长.解：如图，将CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°得CE ，连接DE 、AE ，则△CDE 是等边三角形.∵△ABC 为等边三角形，△CDE 是等边三角形，∴AC=BC=AB ，∠ACB=60°，CD=EC=DE ，∠DCE=∠CDE=60°，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=BC ，∠ACE=∠BCD ，CD=EC ，∴△ACE ≌△BCD ，∴AE=BD=5，∵∠CDE=60°，∠ADC=30°，∴∠ADE=90°.∵∠ADE=90°，AD=3，AE=5，∴DE=22AD AE =4.∵DE=CD ，DE=4，∴CD=4.三、将角度分解为60 ，90 或45 的特殊角结合全等5、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=2，求PB 的长。
全等三角形与勾股定理练习题(一)
全等三角形与勾股定理练习题（一）一．填空题1．一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm ,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，S △ABC ＝30cm 2，则AB ＝ .3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
5．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
6．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
7．已知两条线段的长为5c m 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形.8．一个三角形三边之比为2:5:3,则这个三角形的形状是 . 9．将一根长为24㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是________________. 10．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿 纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________.11.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC －BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________。
12.如图，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的，若150BAC ∠=，则θ∠的度数是 ． 二．选择题1、若Rt ABC 中，90C ︒∠=且c=37,a=12，则b=（ ）A 、50B 、35C 、34D 、262、如图，平行四边形ABCD 对角线AC,BD 交于O ，过O 画直线EF 交AD 于E ，交BC 于F,，则图中全等三角形共有（ ） (A)7对 (B)6对 (C)5对 (D)4对3.如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ AC ＝DN 。
全等三角形与勾股定理专题
第一章勾股定理专题练习一．填空题1．一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm ,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ． 2．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
4．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
5．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
6．已知两条线段的长为5c m 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形.7．将一根长为24㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是________________.8．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________.9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC －BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________.10.如图，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的，若150BAC ∠=，则θ∠的度数是 ．ABCD7cmD B C A第3题ABCDAEBθABCDDCBA11．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点C A 、到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长为 .二．选择题1.如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ AC ＝DN 。
利用勾股定理解三角形—2023-2024学年八年级数学下册(沪科版)(解析版)
利用勾股定理解三角形 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。
一、勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．【典例1】如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∠CBE =45°，BE 分别交AC 、AD 于E 、F ．（1）如图1，AB =12，BC =8，求AF 的长度；（2）如图2，取BF 中点G ，若BF 2+EF 2=CG 2，求证：AF =BC ；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作DN ⊥AC 于点N ，并延长ND 交AB 延长线于点M ，请直接写出BMDM 的值． ◆知识点总结 ◆思维方法◆典例分析（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD=4，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF=4，最后由线段的差可得结论；（2）连接CF，由题意可知AD是BC的垂直平分线，可知CF=BF，∠FCB=∠FBC=45°，可得CF⊥EG，由勾股定理可得CF2+FG2=CG2，结合BF2+EF2=CG2，可得EF=FG，由G是BF的中点，可知EF=FG= BG，可得CF是EG的垂直平分线，易知CE=CG，得∠CEG=∠CGE，则∠AEF=∠CGB，由∠FDB=90°，∠FBD=45°，可知∠AFE=∠DFB=45°，继而可得∠AFE=∠CBG，利用ASA即可证明△AEF≌△CGB，即可证得结论；（3）过点B作BQ⊥MN于Q，过点D作DH⊥AB于H，连接DG，连接CF，利用等腰三角形的性质可得△NCD≌△QBD(AAS)，易知CN=BQ，DN=DQ=DH，由S△DBM=12BM⋅DH=12DM⋅BQ，得BMDM=CNDN，结合（2）中结论，可设EF=FG=BG=a，由勾股定理可得AF=BC=2√2a，CD=BD=12BC=√2a，AE=CG=CE=√5a，AC=2√5a，AD=3√2a，由S△ABC=12AC⋅NQ=12BC⋅AD可得NQ=6√55a，进而求得DN，CN的长即可求解．（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=8，∴BD=CD=12BC=4，∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理得：AD=√AB2−BD2=√122−42=√144−16=√128=8√2，∵∠CBE=45°，∠BDF=90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF=BD=4，∴AF=AD−DF=8√2−4；（2）证明：连接CF，∴CD=BD，则AD是BC的垂直平分线，∴CF=BF，∴∠FCB=∠FBC=45°，∴∠CFB=180°−∠FCB−∠FBC=90°，即CF⊥EG，∠CFE=180°−∠CFB=90°，Rt△CFG中，CF2+FG2=CG2，∵BF2+EF2=CG2，CF=BF，∴EF2=FG2，则EF=FG，∵G是BF的中点，∴FG=BG，则EF=FG=BG，∵∠FDB=90°，∠FBD=45°，∴∠DFB=45°，∴∠AFE=∠DFB=45°，即：∠AFE=∠CBG，∵CF⊥EG，EF=FG，∴CF是EG的垂直平分线，∴CE=CG，∴∠CEG=∠CGE，∴∠AEF=∠CGB，∴△AEF≌△CGB(ASA)∴AF=BC；（3）过点B作BQ⊥MN于Q，过点D作DH⊥AB于H，连接DG，连接CF，∴CD=BD，∠CAD=∠BAD，∴DN=DH，∵BQ⊥MN，DN⊥AC，则∠DNC=∠DQB=90°，∴BQ∥AC，则∠NCD=∠QBD，∴△NCD≌△QBD(AAS)，∴CN=BQ，DN=DQ=DH，∵S△DBM=12BM⋅DH=12DM⋅BQ，∴BM⋅DN=DM⋅CN，∴BM DM =CNDN，由（2）可知：EF=FG=BG，CE=CG，△AEF≌△CGB，则AF=BC，AE=CG=CE设EF=FG=BG=a，则BF=CF=2a，∴AF=BC=√BF2+CF2=2√2a，则CD=BD=12BC=√2a，AE=CG=CE=√CF2+FG2=√5a，则AC=AE+CE=2√5a，则AD=√AC2−CD2=3√2a，∵S△ABC=12AC⋅NQ=12BC⋅AD，即：2√5a⋅NQ=2√2a⋅3√2a∴NQ=6√55a，又∵DN=DQ，∴DN=12NQ=3√55a，则CN=√CD2−DN2=√55a，∴BM DM =CNDN=13．1．（2023上·江西赣州·九年级统考阶段练习）已知，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠ACB =30°，点D 为边BC 上一个动点，以AD 为边作其右侧作等边△ADE ．（1）如图1，线段AB 与线段AC 之间的数量关系为__________；（2）如图2，过点E 作EF ⊥AC 于点F ．求证：点F 是AC 的中点；（3）若AB =2．①如图3，当点D 是BC 的中点时，过点E 作EG ⊥BC 于点G ．求EG 的长；②当点D 从点B 运动到点C ，则点E 所经过的路径长__________（直接写出结果）．【思路点拨】（1）由∠B =90°，∠ACB =30°即可求解；（2）证△ABD ≌△AFE (AAS )，即可证明；（3）①作DN ⊥AC ， BC =√AC 2−AB 2=2√3，AD =√AB 2+BD 2=√7， AN =√AD 2−DN 2=52，证△ADN ≌△EDG (AAS )， 进而可求；②FH 为E 所经过的路径，当D 在B 点时，点E 恰落在AC 的中点F 处，当D 在C 点时，AH =AC ，进而可求．【解题过程】（1）解：∵∠B =90°，∠ACB =30°，∴AB =12AC ．故答案为：AB =12AC ．（2）∵△ADE 是等边三角形，∴AD =AE,∠DAE =60°，∵∠B =90°，∠ACB =30°，∴∠BAC =60°， ◆学霸必刷∴∠BAD=∠FAE，∵EF⊥AC，∴∠ABD=∠AFE，∴△ABD≌△AFE(AAS)，∴AB=AF=12AC，∴点F是AC的中点．（3）作DN⊥AC，∵AB=12AC，AB=2，∴AC=4，∴BC=√AC2−AB2=2√3，∵D是BC的中点，∴BD=CD=√3，∴AD=√AB2+BD2=√7，∵DN⊥AC，∠ACB=30°，∴DN=12CD=√32，∠CDN=60°，∴AN=√AD2−DN2=52，∵∠ADE=60°，∴∠ADN=∠EDG，∵AD=DE，∴△ADN≌△EDG(AAS)，∴EG=AN=52．如图，FH为E所经过的路径，当D在B点时，点E恰落在AC的中点F处，当D在C点时，AH=AC，∴FH=√AH2−AF2=2√3．2．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，分别以△ABC的两边AB、AC为腰向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，其中∠BAD=∠CAE=90°，BC=5．（1）如图1，连接BE、CD．若∠ACB=45°，AC=2，求CD的长；（2）如图2，M为BC的中点，连接DM，过点M作DM⊥MN，交EB的延长线于点N，连接DN，试猜想BE、BN、DN之间有何等量关系并证明你的结论．【思路点拨】（1）先根据SAS证明△ACD≌△AEB，可得CD=BE，再说明△BCE是直角三角形，然后根据勾股定理求出CE，进而求出答案即可；（2）延长NM至K，使MN=MK，连接CK，DK，设NE交AD于点O，与CD的交点为J．先根据“SAS”证明△BMN≌△CMK，可得BN=CK，∠MNB=∠CKM，进而判定CK∥NE，可说明CD⊥CK，再根据勾股定理得DK2=DC2+CK2，然后根据垂直平分线的性质得DK=DN，即可得出答案．【解题过程】（1）∵等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∴AB=AD，AC=AE，∠EAC=45°，∴∠DAB+∠DAE=∠EAC+∠DAE，即∠EAB=∠CAD，在△EAB和△CAD中，{AB=AD∠EAB=∠CADAE=AC，∴△ACD≌△AEB，∴CD=BE．∵∠ACB=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ECA=45°+45°=90°，在Rt△ACE中，AC=AE=2，∴CE=√AC2+AE2=2√2．∵BC=5，∴BE=√CE2+BC2=√(2√2)2+52=√33，∴CD=BE=√33；（2）结论：DN2=BE2+BN2．理由：如图2中，延长NM至K，使MN=MK，连接CK，DK，设NE交AD于点O，与CD的交点为J．∵△ACD≌△AEB，∴∠EBA=∠CDA，BE=CD．∵∠AOB=DOJ，∴∠OAB=∠DJO=90°，∴BE⊥CD．∵MB=MC，∠BMN=∠CMK，MN=MK，∴△BMN≌△CMK，∴BN=CK，∠MNB=∠CKM，∴CK∥NE．∵CD⊥EN，∴CD⊥CK，∴∠DCK=90°，∴DK2=DC2+CK2.∵MN=MK，DM⊥NK，∴DK=DN，∴DN2=BE2+BN2．3．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．（1）当t=3秒时，求△BPA的面积；（2）若AP平分∠CAB，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？【思路点拨】（1）根据动点的运动速度和时间先求出BP，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解；（2）作PM⊥AB于M，利用角平分线的性质分别求得BM、PM，再利用勾股定理PB2=PM2+BM2，解得PC=4√5−4，最后利用BP=2t=16−(4√5−4)，求得t的值即可；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解；本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．【解题过程】（1）解：由题意可得，BP=2t，∵t=3，AC=8，∴BP=2×3=6，∴S△BPA=12BP·AC=12×6×8=24，∴当t=3秒时，求△BPA的面积为24；（2）解：当线段AP恰好平分∠CAB时，作PM⊥AB于M，如图，∵线段AP平分∠CAB，∠ACB=90°，PM⊥AB，∴∠PAC=∠PAM，∠ACP=∠AMP=∠BMP=90°，又∵AP=AP，∴△ACP≌△AMP(AAS)，∴PC=PM，AC=AM=8，∵AB=√82+162=8√5，∴BM=AB−AM=8√5−8，在Rt△BPM中，PB2=PM2+BM2，∴(16−PC)2=PC2+(8√5−8)2，解得PC=4√5−4，∴BP=2t=16−(4√5−4)，解得t=10−2√5；（3）解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，连接PD，如图，则∠AED=∠PED=90°，∴∠PED=∠ACB=90°，∵PD平分∠APC，∴∠EPD=∠CPD，又∵PD=PD，∴△PDE≌△PDC(AAS)，∴ED=CD=3，PE=PC=16−2t，∴AD=AC−CD=8−3=5，∴AE=4，∴AP=AE+PE=4+16−2t=20−2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+(16−2t)2=(20−2t)2，解得t=5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图，同①得△PDE≌△PDC(AAS)，∴ED=CD=3，PE=PC=2t−16，∴AD=AC−CD=8−3=5，∴AE=4，∴AP=AE+PE=4+2t−16=2t−12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+(2t−16)2=(2t−12)2，解得t=11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE=CD．4．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=13，BA=5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C−A−B运动.设点P的运动时间为t(t>0)秒.（1）求斜边AC上的高线长；（2）①当P在AB上时，AP的长为__________，t的取值范围是__________.（用含t的代数式表示）；②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为__________；（3）在整个运动过程中，当△PAB是等腰三角形时t的值为__________.【思路点拨】（1）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解；（2）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知PB=PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP(HL)，推出EC=BC=12，最后利用勾股定理解Rt△AEP即可；（3）分AB=AP=5和AB=BP=5两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可；关键．【解题过程】（1）在△ABC中，∠ABC=90°，AC=13，BA=5，∴BC=√AC2−AB2=√132−52=12，如图所示，过点B作BD⊥AC于点D，S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BD，即BD=AB⋅BCAC=5×1213=6013，∴斜边AC上的高线长为6013；（2）①∵点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C−A−B运动，AC=13，∴AP=3t−AC=(3t−13)，∴AC3≤t≤AC+AB3，即133≤t≤13+53，∴133≤t≤6，故答案为：(3t−13)，133≤t≤6；②点P在∠BCA的角平分线上时，过点P作PE⊥AC于E，如图所示，∵CP平分∠BCA，∠B=90°，PE⊥，∴PB=PE.又∵PC=PC，∴Rt△BCP≌Rt△ECP(HL)，∴EC=BC=12，则AE=AC−CE=13−12=1，由（2）知AP=3t−13，∴BP=AB−AP=5−(3t−13)=18−3t，∴PE=18−3t，在Rt△AEP中，AP2=AE2+EP2，即(3t−13)2=12+(18−3t)2，解得t=265，∴点P在∠BAC的角平分线上时，t=265故答案为：265；（3）△PAB 是以AB 为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当AB =AP =5时，如图所示，则CP =AC −AP =13−5=8，∴t =CP 3=83； 当AB =BP =5时，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，如图所示，由（2）知BD =6013，AD =√AB 2−BD 2=√52−(6013)2=2513， ∵AB =BP ，BD ⊥AC ，∴AP =2AD =5013，∴CP =AC −AP =13−5013=11913， ∴t =CP 3=11939，△PAB 是以AB 为底的等腰三角形时，t 的值为136，综上，△PAB 是等腰三角形时t 的值为83或11939或136．5．（2023上·重庆南岸·八年级校考开学考试）如图，四边形ABCD中，AC=AD=AB，∠BAC=90°．（1）把△BCD沿BC翻折得到△BCE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，求证：BE=2AF；（2）在（2）的条件下，连接DE，四边形ABCD的面积为45，AD=5√2，BC=10，求DE的长．【思路点拨】BD，由折叠的性质可得：（1）作AG⊥BD于G，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ADB，BG=DG=12BE=BD，CE=CD，∠CBE=∠CBD，证明△ABF≌△BAG得到AF=BG，即可得出结论；（2）作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，延长BC交DE于H，则CH⊥DE，DH=EH，求出△ACD的面积为20，求出CN=4√2，由勾股定理可得AN=3√2，证明△ABM≌△CAN(AAS)得到BM=AN=3√2，求出△ABDBC×DH=30，求出DH=6，即可得出答案．的面积为15，得到△BCD的面积=12【解题过程】（1）证明：如图，作AG⊥BD于，，则∠AGB=90°，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∵AB=AD，AG⊥BD，BD，∠AGB=90°，∴∠ABD=∠ADB，BG=DG=12由折叠的性质可得：BE=BD，CE=CD，∠CBE=∠CBD，设∠CBE=∠CBD=x，则∠ABG=45°−x，∠ABF=45°+x，∵AF⊥BE，∴∠BFA=∠AGB=90°，∴∠BAF=90°−∠ABF=90°−(45°+x)=45°−x，∴∠ABG=∠BAF，在△ABF和△BAG中，{∠BFA=∠AGB∠BAF=∠ABGAB=BA，∴△ABF≌△BAG(AAS)，∴AF=BG，∴BE=2AF；（2）解：如图，作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，延长BC交DE于H，，由折叠的性质可得：CH⊥DE，CD，∵CE=CD，CH⊥DE，∴DH=EH，∵△ABC是等腰直角三角形，AD=AB=AC=5√2，∴△ABC的面积=12AB⋅AC=12×5√2×5√2=25，∵四边形ABCD的面积为45，∴△ACD的面积=12×AD×CN=45−25=20，∴12×5√2×CN=20，∴CN=4√2，∴AN=√AC2−CN2=√(5√2)2−(4√2)2=3√2，∵∠BAC=90°，∴∠BAM+∠ABM=∠BAM+∠CAN=90°，∴∠ABM=∠CAN，在△ABM和△CAN中，{∠AMB=∠CNA=90°∠ABM=∠CANAB=CA，∴△ABM≌△CAN(AAS)，∴BM=AN=3√2，∴△ABD的面积=12AD×BM=12×5√2×3√2=15，∴△BCD的面积=12BC×DH=45−15=30，∴12×10×DH=30，∴DH=6，∴DE=2DH=12．6．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知∠AOB=∠COD=90°，OA=OB=10，OC=OD=8（1）如图1，连接AC、BD，问AC与BD相等吗？并说明理由．（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间关系，并说明理由．（3）若△COD绕点O旋转，当∠AOC=15°时，直线CD与直线AO交于点F，求AF的长．【思路点拨】（1）根据题意可证得△AOC≌△BOD(SAS)，据此即可解答；（2）连接BD，可证得∠AOC=∠BOD，据此即可证得△AOC≌BOD(SAS)，AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据勾股定理可得CD2=2OC2，再根据等腰直角三角形的性质可证得∠CBD=90°，根据勾股定理即可证得结论；（3）过点O作OE⊥CD于点E，利用勾股定理可求得CD=8√2，根据面积公式可求得OE=4√2，再分两种情况，分别计算即可求得．【解题过程】（1）解：AC与BD相等；理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌BOD(SAS)，∴AC=BD；（2）解：结论：BC2+AC2=2OC2理由如下：如图：连接BD，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB−∠BOC=∠COD−∠BOC，即∠AOC=∠BOD在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌BOD(SAS)，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，∴∠BAO=∠ABO=45°，CD2=OC2+OD2=2OC2，∴∠CAO=∠DBO=45°，∴∠CBD=∠ABO+∠DBO=45°+45°=90°，∴BC2+BD2=CD2，∴BC2+AC2=2OC2；（3）解：如图：过点O作OE⊥CD于点E，∵∠COD=90°，OC=OD=8，∴CD=√OC2+OD2=√82+82=8√2，∵S△OCD=12OC⋅OD=12CD⋅OE，∴OE=OC⋅ODCD =8√2=4√2，如图：当点F在OA的延长线上时，∵∠DCO=45°，∠AOC=15°，∴∠F=∠DCO−∠AOC=45°−15°=30°，∴OF=2OE=8√2，∴AF=OF−OA=8√2−10；如图：当点F在线段OA上时，∵∠DCO=45°，∠AOC=15°，∴∠DFO=∠DCO+∠AOC=45°+15°=60°，∴∠FOE=90°−60°=30°，∴EF=12OF，∵OF2=EF2+OE2，∴OF2=(12OF)2+(4√2)2，解得OF=83√6，∴AF=OA−OF=10−83√6，综上，AF的长为8√2−10或10−83√6．7．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，E为AD上一点，连接BE，CE，∠BAC=∠CED=2∠BED=2x．（1）如图1，若x=45°，求证：CE=2AE（2）如图2，若x=30°，AB=AC=√7．求CE的长．（3）如图3，若x=60°，AB=AC=2√3，点Q为△ABC外一点，且∠BQA=60°,AQ=2，求线段QC的长．【思路点拨】（1）作BH⊥AD，交AD的延长线于H，证明△ACE≌△BAH(AAS)，得到BH=AE,CE=AH，即可得证；（2）在AD上取点H，使BH=EH，作BF⊥AD于F，同（1）法可得，△ACE≌△BAH(AAS)，得到CE=AH,AE= BH，在Rt△ABF中，利用勾股定理进行求解即可；（3）以AQ为边作等腰三角形AQM，使∠QAM=120°，AQ=AM，连接BM，证明△BAM≌△CAQ(SAS)，得到BM=CQ，过点A作AG⊥QM于点G，勾股定理求出BM的长，即可得解．【解题过程】（1）证明：作BH⊥AD，交AD的延长线于H，∵x=45°，∴∠BAC=∠CED=2∠BED=90°，∴∠AEC=90°，∵∠CED=∠EAC+∠ACE,∠BAC=∠EAC+∠BAE，∴∠BAH=∠ACE，∵∠AEC=∠H=90°,AB=AC，∴△ACE≌△BAH(AAS)，∴BH=AE,CE=AH，∵∠BEH=45°,∠H=90°，∴BH=EH，CE,∴AE=EH=12∴CE=2AE；（2）在AD上取点H，使BH=EH BF⊥AD于F，则∠BHE=∠AEC=120°，同（1）法可得，△ACE≌△BAH(AAS)，∴CE=AH,AE=BH，设BH=EH=AE=2x，∵∠BHF=60°，∴HF=x，BF=√3x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：(√3x)2+(5x)2=(√7)，解得：x=1（负值舍去），2∴CE=AH=4x=2；（3）解：以AQ为边作等腰三角形AQM，使∠QAM=120°，AQ=AM，连接BM，∵∠BAC=∠QAM=120°，∴∠BAC+∠CAM=∠QAM+∠CAM，即∠BAM=∠CAQ，又∵AB=AC，∴△BAM≌△CAQ(SAS)，∴BM=CQ，∵AQ=AM,∠QAM=120°，∴∠AQM=30°，∵∠BQA=60°，∴∠BQM=∠BQA+∠AQM=60°+30°=90°，过点A作AN⊥BQ于点N，∵AQ=2,∠AQN=60°，∴NQ=AN=√3∵AB=2√3,∴BN=√AB2−AN2=√(2√3)2−(√3)2=3.∴BQ=BN+NQ=3+1=4，过点A作AG⊥QM于点G，∵∠AQG=30°,AQ=2，∴AG=1，GQ=√3,∴QM=2√3∴BM=√BQ2+QM2=√42+(2√3)2=2√7，∴CQ=2√7．8．（2023下·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）定义：在△ABC，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足b2=ac+a2则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：（1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是（填“真”或“假”）命题；（2）如图1，若等腰△ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，求∠A的度数；（3）如图2，在三角形ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．①当∠A=32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由；②请证明△ABC为“和谐勾股三角形【思路点拨】（1）先假设Rt△ABC是和谐勾股三角形，得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由“和谐勾股三角形”定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，BD=AB−AD=c−a，DG=BG=12(c−a)，AG=12(a+c)，在Rt△ACG与Rt△BCG利用勾股定理分别求CG2，建立方程即可得出结论．【解题过程】（1）解：如图1，假设Rt△ABC是和谐勾股三角形，∴ab+a2=c2，在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理，∴a2+b2=c2，∴ab+a2=a2+b2，∴ab=b2∴a=b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形，即原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB=BC，AC>AB∴a=c，b>c，∵△ABC是和谐勾股三角形，∴ac+a2=b2，∴c2+a2=b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=45°，（3）①在△ABC中，∠ABC=2∠BAC，∠BAC=32°，∴∠ABC=64°，根据三角形的内角和定理得，=180°−∠ABC−∠BAC=84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，当射线经过点C，（Ⅰ）当∠BCD=∠BDC时，∵∠ABC=64°，∴∠BCD=∠BDC=58°，∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=84°−58°=26°，∠ADC=∠ABC+∠BCD=122°，∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）当∠BCD=∠ABC=64°时，∴∠BDC=52°，∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=84°−64°=20°，∠ADC=128°，∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）当∠BDC=∠ABC=64°时，∴∠BCD=52°，∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=84°−52°=32°=∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，当射线经过点B，同（Ⅰ当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD=∠A，作CG⊥AB于G，∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，∵∠B=2∠A，∴∠CDB=∠B，∴CD=CB=a，∵∠ACD=∠A，∴AD=CD=a，∴BD=AB−AD=c−a，∵CG⊥AB，∴DG=BG=12(c−a)，∴AG=AD+DG=a+12(c−a)=12(a+c)，在Rt△ACG中，CG2=AC2−AG2=b2−[12(c+a)]2，在Rt△BCG中，CG2=BC2−BG2=a2−[12(c−a)]2，∴b2−[12(c+a)]2=a2−[12(c−a)]2，∴b2=ac+a2，∴△ABC为“和谐勾股三角形”．9．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α，∠ADB=α．（1）如图1，若α=30°，则线段AD，BD，CD之间的数量关系为；（2）若α=45°，①如图2；线段AD，BD，CD满足怎样的数量关系？证明你的结论；②如图3，点E在线段BD上，且∠BAE=45°，AD=5，BD=4，则DE=．【思路点拨】（1）结论：DC2=DA2+DB2．如图1中，将△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△MAC，连接DM．首先证明△DCM是等边三角形，再证明△ADM是直角三角形即可解决问题；（2）①结论：DC2=DB2+2DA2．如图2中，作AM⊥AD交DB的延长线于M，连接CM．由△DAB≌△MAC，推出BD=CM，∠ADB=∠AMC=45°推出∠DMC=90°，推出DC2=CM2+DM2，由CM=DB，DM=√2AD，即可证明；②如图3中，在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG．则△AEG≌△AEB，∠GDE=90°，可得EB=EG，设DE=x．EB=EG=4−x，由AD=AM=5，推出DM=5√2，BM=DG=5√2−4，在RtΔDEG中，根据DG2+DE2=EG2，列出方程即可解决问题．【解题过程】（1）解：结论：DC2=DA2+DB2．理由如下：将△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△MAC，连接DM，如图1所示：∵CD=CM，∠DCM=60°，∴△DCM是等边三角形，∴DM=CD=CM，∵∠ADB=30°，∴∠DAB+∠DBA=150°，∵∠MAC=∠DBC，∴∠MAC+∠DAB=∠DBC+∠DAB=∠DBA+∠ABC+∠DAB=150°+60°=210°，∴∠DAM=360°−210°−60°=90°，∴DM2=DA2+AM2，∵AM=DB，DM=DC，∴DC2=DA2+DB2．故答案为DC2=DA2+DB2；（2）解：①结论：DC2=DB2+2DA2．理由如下：作AM⊥AD交DB的延长线于M，连接CM，如图2所示：∵∠ADM=45°，∠DAM=90°，∴∠ADM=∠AMD=45°，∴DA=AM，DM=√2DA，∵∠DAM=∠BAC，∴∠DAB=∠MAC，∵AB=AC，∴△DAB≌△MAC，∴BD=CM，∠ADB=∠AMC=45°∴∠DMC=90°，∴DC2=CM2+DM2，∵CM=DB，DM=√2AD，∴DC2=DB2+2DA2；②在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG，如图3所示：则△AEG≌△AEB，∠GDE=90°，∴EB=EG，设DE=x，则EB=EG=4−x，∵AD=AM=5，∴DM=5√2，BM=DG=5√2−4，在RtΔDEG中，由勾股定理知DG2+DE2=EG2，则(5√2−4)2+x2=(4−x)2，解得x=20√2−254，故答案为5√2−254．10．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）在△ABC中，∠B=45°，E为平面内一点，连接AE、CE．（1）如图1，若点E在线段BC上，AC=EC，AB=4√2，BE=3，求线段AC的长；（2）如图2，若点E在△ABC内部，AC=EC，∠BAE=∠ACE，求证：AE+2AB=√2BC；（3）如图3，若点E在△ABC内部，连接BE，AB=4，BC=6√2，请直接写出12EC+√52EB+EA的最小值．【思路点拨】（1）过点A作AF⊥BC于F，则可得△AFB是等腰直角三角形，由勾股定理可求得AF=BF=4，则可得EF=1，再设AC=x，则CF=CE−EF=x−1，在Rt△AFC中由勾股定理建立方程即可求解；（2）过C作CG⊥BC交BA的延长线于点G，在AG上取AH=AE，连接CH；首先可证明△AEC≌△AHC，其次再证明△ABC≌△HGC，则得GH=AB，从而由勾股定理即可证明结论成立；（3）过点B作BN⊥BE，且BN=BE，作BM⊥BC，BM=BC，连接MN；分别取BM、BN的中点D、F，连接DF，过A作AP⊥BD交DB延长线于点P，连接EF、AD、FD；证明△BEC≌△BNM，则MN=CE，由中点及中位线定理知BF=12BE，BD=12BC，DF=12MN=12CE，在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=√5 2BE；则12EC+√52EB+EA=DF+FE+AE，则当点A、E、F、D四点共线时，12EC+√52EB+EA的最小值为AD的长，由勾股定理求解即可．【解题过程】（1）解：如图，过点A作AF⊥BC于F，则∠AFB=∠AFC=90°，∴∠FAB=∠FBA=45°，∴AF=BF即△AFB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AF2+BF2=AB2=32，∴AF=BF=4，∴EF=BF−BE=1；设AC=x，则CE=AC=x，∴CF=CE−EF=x−1；在Rt△AFC中，AF2+CF2=AC2，即42+(x−1)2=x2，解得：x=172；（2）解：如图，过C作CG⊥BC交BA的延长线于点G，在AG上取AH=AE，连接CH；∵AC=CE，∴∠CAE=∠CEA；∵∠CAE+2∠CAE=180°，∠BAE+∠CAE+∠CAH=180°，∠BAE=∠ACE，∴∠CAE=∠CAH，∵AC=AC，AE=AH，∴△AEC≌△AHC(SAS)，∴CE=CH，∵CA=CE，∴CA=CH，∴∠CHA=∠CAH，∴∠CHG=∠CAB；∵CG⊥BC，∠B=45°，∴∠G=∠B=45°，∴△ABC≌△HGC(AAS)，∴GH=AB，∴BG=AB+AH+CG=AE+2AB；∵∠G=∠B=45°，CG⊥BC，∴CB=CG，由勾股定理得：BG=√2BC，∴AE+2AB=√2BC；（3）解：如图，过点B作BN⊥BE，且BN=BE；作BM⊥BC，BM=BC，连接MN；分别取BM、BN的中点D、F，连接DF；过A作AP⊥BD交DB延长线于点P，连接EF、AD；∵∠EBN=∠CBM=90°，∴∠EBC=∠NBM；∵BN=BE，BC=BM，∴△BEC≌△BNM(SAS)，∴MN=CE，∵BM、BN的中点分别为D、F，∴BF=12BE，BD=12BC，DF=12MN=12CE，在Rt△EBF中，由勾股定理得EF=√BF2+BE2=√52BE；∴1 2EC+√52EB+EA=DF+FE+AE，∴当点A、E、F、D四点共线时，12EC+√52EB+EA取得最小值，且最小值为AD的长；∵BD⊥BCP，A⊥BP，∠ABC=45°，∴∠PBA=∠PAB=45°，∴PA=PB=√22AB=2√2；∵BM=BC=6√2，∴BD=12BM=3√2，∴PD=PB+BD=2√2+3√2=5√2；在Rt△PDA中，由勾股定理得AD=√PA2+PD2=√8+50=√58，∴1 2EC+√52EB+EA的最小值为√58．11．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接BD、CE．（1）如图1，若点B、D、E在同一直线上，已知AD=2√2，BD=2，求线段BC的长度．（2）如图2，当∠ADB=90°时，过点B作BG⊥ED并交ED的延长线于点G，EG与BC交于点F，求证：DE=2FG．（3）如图3，已知若AB=4，直线BD与直线CE相交于点P，过点C作直线CH垂直于CB，点Q是直线CH上一点，直接写出AQ+PQ的最小值．【思路点拨】（1）如图1中，设AC与BE交于点O，证明△BAD≌△CAE(SAS)，推出BD=CE=2,∠ABD=∠ACE，推出∠CEO=∠BAO=90°，可得结论；（2）连接AF，过点A作AN⊥EG于点N，过点C作CM⊥EF与M，则∠CME=∠ANF=90°，依次证明△BAD≌△∠CAE(SAS)，再求出△GBD≌△MEC(AAS)，△BFG≌△CFM(AAS)，△BFG≌△FAN，即可得出结论；（3）如图3，作点A关于CH的对称点J，连接CJ，AJ，过点J作JM⊥BC交BC的延长线于点M，取BC的中点O，连接OP，OJ．求出PJ的最小值，可得结论．【解题过程】（1）解：如图1中，设AC与BE交于点O∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△BAD≌△CAE(SAS)∴BD=CE=2,∠ABD=∠ACE∵∠AOB=∠COE∴∠CEO=∠BAO=90°∵AD=AE=2√2∴DE=√2AD=4∴BE=6∴BC=√CE2+BE2=√22+62=2√10；（2）证明：如图，连接AF，过点A作AN⊥EG于点N，过点C作CM⊥EF与M，则∠CME=∠ANF=90°，∵∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE，∴∠BAD＝∠CAE，∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=45°，∴△BAD≌△∠CAE(SAS)，∴CE＝BD，∠AEC＝∠ADB=90°，∴∠BDG=180°−∠ADB−∠ADE=45°，∠DEC=∠AEC−∠AED=90°−45°=45°，∵BG⊥ED，∴∠G=90°，∴∠CME=∠G=90°，∠BDG=∠DEC=45°，CE＝BD，∴△GBD≌△MEC(AAS)，∴BG=CM，又∵∠G=∠CMF，∠BFG=∠CFM，∴△BFG≌△CFM(AAS)，∴BF=CF．∵AB=AC,∠BAC=90°，∴AF=BF=CF，AF⊥BC，∴∠AFN+∠BGG=90°，∵∠FBG+∠BFG=90°,∴∠AFN=∠FBG，∴∠G=∠ANF=90°，∴△BFG≌△FAN，∴AN=FG∵AD=AE，∠DAE=90°，AN⊥DE，∴DE=2AN=2FG．（3）解：如图3，作点A关于CH的对称点J，连接CJ，AJ，过点J作JM⊥BC交BC的延长线于点M，取BC的中点O，连接OP，OJ．∵AB=AC=4,∠BAC=90°∴BC=√2AB=4√2∴OB=OC=2√2∵CH⊥BC，A，J关于CH对称∴CJ=CA=4,∠JCH=45°∴∠JCM=45°∵JM⊥CM∴CM=JM=2√2∴OM=OC+CM=4√2∴OJ=√JM2+OM2=√(2√2)2+(4√2)2=2√10由（2）得△BAD≌△CAE∴∠ABD=∠ACE∴∠CPB=∠BAC=90°∵OB=OC∴OP=2√2∴PJ≥OJ−OP=2√10−2√2∴PJ的最小值为2√10−2√2∵A，J关于CH对称∴AQ=QJ∴AQ+PQ=QP+QJ≥PJ=2√10−2√2∴AQ+QP的最小值为2√10−2√2．12．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）如图，长方形纸片ABCD，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的点，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF．（1）如图1，点B′落在边AD上，若AE=2，则AB′=______，FB′=______；（2）如图2，若BE=2，F是BC边中点，连接B′D、FD，求△B′DF的面积；（3）如图3，点F是边BC上一动点，作EF⊥DF，将△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，连接DB′，当△DB′F是以DF为腰的等腰三角形时，请直接写出CF的长．【思路点拨】（1）根据题意，折叠的性质可得△BEF≌△B′EF，根据在Rt△AB′E中，AE=2，B′E=4，AB′=√3AE= 2√3，设BF=x，则由等面积法列式求解，可得答案；（2）延长FB′交AB于K，设KE=x，KB′=y，则∠EB′K=90°，由勾股定理可得{x2=y2+4(x+2)2+16=(y+4)2，结合面积法可得S△BEFS△FEK =BFKF=BEEK，可得y=2x−4，可得AK=23，由S△DKF=S长方形ABCD−S△AKD−S△BFK−S△DCF可得三角形面积，结合S△B′KDS△DB′F =23，从而可得答案；（3）分两种情况讨论：由△DB′F是以DF为腰的等腰三角形，当DF=DB′时，过D作DH⊥B′F于H，证明△DHF≌△DCF，可得HF=CF，易得CF=83；当DF=B′F时，同理△DHF≌△DCF，设HF=CF=n,DH= CD=6，可得DF=B′F=BF=8−n，利用勾股定理可得(8−n)2=n2+62，从而可得答案．【解题过程】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，AB=6,BC=8,AE=2，∴∠A=∠B=90°,BE=AB−AE=6−2=4，∵△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，∴△BEF≌△B′EF，∴BE=B′E=4，在Rt△AB′E中，AE=2,B′E=4，∴AB′=√3AE=2√3，设BF=B′F=x，如下图，连接AF，则由等面积法可得12AE⋅BF+12AB′⋅AB=12BF⋅BE+12AE⋅AB′，即12×2x+12×2√3×6=12×4x+12×2×2√3，解得x=4√3，∴BF=B′F=4√3．故答案为：2√3，4√3；（2）∵四边形ABCD是长方形，AB=6,BC=8,BE=2，F是BC边中点，∴AE=AB−BE=6−2=4，BF=CF=12BC=12×8=4，∵△BEF沿着EF翻折得到△B′EF，∴B′F =BF =4,BE =B′E =2,∠B =∠EB′F =90°，∴B′F =CF =4，如图2，延长FB′交AB 于K ，设KE =x ，KB′=y ，∴∠EB′K =90°，∴由勾股定理可得{x 2=y 2+4(x +2)2+16=(y +4)2 ， ∴x =2y −2，∴S △BEFS △FEK=BF KF =BE EK ， ∴44+y =2x ，即y =2x −4，∴{x =2y −2y =2x −4， 解得{x =103y =83，经检验符合题意； ∴AK =6−103−2=23， ∴S △DKF =S 长方形ABCD −S △AKD −S △BFK −S △DCF=48−12×23×8−12×163×4−12×4×6 =683； ∵B ′K B ′F =834=23， ∴S△B ′KD S △DB ′F =23，∴S △DB ′F =35S △DKF =35×683=685；（3）∵△DB′F 是以DF 为腰的等腰三角形，当DF =DB′时，如图3，过D 作DH ⊥B′F 于H ，∴B′H =FH ，由折叠可得∠BFE =∠B′FE ，且EF ⊥DF ，∴∠B′FE +∠DFB′=90°=∠BFE +∠DFC ，∴∠DFB′=∠DFC ，∵∠DHF =∠C =90°，DF =DF ，∴△DHF ≌△DCF(AAS)，∴HF =CF ，∴BF =B′F =2FH =2FC ，∴3CF =8，即CF =83，当DF =B′F 时，同理△DHF ≌△DCF(AAS)，设HF =CF =n ，DH =CD =6，∴DF =B′F =BF =8−n ，∴由勾股定理可得(8−n)2=n 2+62，解得n =74，即CF =74．综上所述，CF =83或74．13．（2023下·四川成都·八年级统考期末）在△ABC 中，AB =12AC ，点D 为直线BC 上一动点，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ．（1）如图1，连接ED 交AC 于F ，∠BAC =90°，F 为AC 中点，若BD =3√2，DF =√2，求AD 的长；（2）如图2，延长CB至点G使得BG=DB，连接AG，CE，求证：AG=CE；（3）如图3，∠BAC=120°，AB=2√7，作点E关于直线BC的对称点E′，连接BE′，EE′，当BE′最小时，直接写出线段EE′的长．【思路点拨】（1）由同角的余角相等可得∠BAD=∠EAF，由SAS可证明△BAD≌△EAF，得到BD=EF=3√2，由∠EAD= 90°，AD=AE结合勾股定理得到AD2+AD2=BD2，计算即可得到答案；（2）延长AB至H，使BH=AB，连接DH，由SAS证明△ABG≌△HBD，得到AG=DH，由SAS证明△AHD≌△ACE，得到CE=AH，从而得证；（3）取AC的中点M，连接EM并延长交BC于N，令BC与EE′相交于点O，由SAS可证明△BAD≌△MAE(SAS)，得到∠ABD=∠AME=∠CMN，由∠BAC=120°，可得∠BAH=60°，∠MNB=60°，点E的轨迹为直线EM，EM交BC于N，连接AN，再将该直线沿BC翻折可得到E′的轨迹，则AN⊥NE′，此时∠ANB=30°，作AH⊥CA 交CA的延长线于H，作AG⊥BC交BC于G，由含有30°角的直角三角形的性质以及勾股定理可得，AH=√7，AM=CM=AB=2√7，BH=√21，CH=5√7，BC=14，由等面积法可得AG=2√3，从而得到BG=4，AN=4√3，GN=6，BN=10，由对称的性质可得∠E′NB=60°，BN⊥EE′，OE′=OE，当BE′⊥E′N时，BE′最小，在△BE′N中，由含有30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及等面积法可求得OE′的长，从而得到答案．【解题过程】（1）解：∵F为AC中点，AB=12AC，∴AF=12AC=AB，∵∠BAD+∠DAF=∠BAC=90°，∠EAF+∠DAF=∠EAD=90°，∴∠BAD=∠EAF，在△BAD和△EAF中，{AD=AE∠BAD=∠EAFAB=AF，∴△BAD≌△EAF(SAS)，∴BD=EF=3√2，∴BD=EF+DF=4√2，∵∠EAD=90°，AD=AE，∴AD2+AE2=BD2，∴AD2+AD2=BD2，∴AD=4；（2）证明：延长AB至H，使BH=AB，连接DH，，在△ABG和△HBD中，{GB=DB∠ABG=∠HBDAB=HB，∴△ABG≌△HBD(SAS)，∴AG=DH，∵∠HAD+∠DAC=∠HAC，∠DAC+∠CAE=∠DAE，∠BAC=∠DAE，∴∠HAD=∠CAE，∵AB=12AC，AB=BH，∴AH=AC，在△AHD和△ACE中，{AH=AC∠HAD=∠CAEAD=AE，∴△AHD≌△ACE(SAS)，∴CE=AH，∴CE=AG；（3）解：如图，取AC的中点M，连接EM，令BC、EE′交于点O，，∵AB=12AC，∴AM=AB，∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠DAC+∠EAM=∠EAD，∠BAC=∠EAD，∴∠BAD=∠MAE，在△BAD和△MAE中，{AB=AM∠BAD=∠MAEAD=AE，∴△BAD≌△MAE(SAS)，∴∠ABD=∠AME=∠CMN，∵∠BAC=120°，∴∠ABC+∠C=60°，∠BAH=60°，∴∠MNB=∠CMN+∠C=60°，∴点E的轨迹为直线EM，EM交BC于N，连接AN，再将该直线沿BC翻折可得到E′的轨迹，则AN⊥NE′，此时∠ANB=30°，作BH⊥CA交CA的延长线于H，∵AB=2√7，∴AH=12AB=√7，AM=CM=12AC=AB=2√7，AC=2AB=4√7，∴BH=√AB2−AH2=√(2√7)2−(√7)2=√21，CH=AC+AH=5√7，∴BC=√BH2+CH2=√(√21)2+(5√7)2=14，作AG⊥BC交BC于G，∵S△ABC=12AC⋅BH=12BC⋅AG，∴12×4√7×√21=12×14×AG，∴AG=2√3，∴AN=2AG=4√3，BG=√AB2−AG2=4，∴GN=√AN2−AG2=6，∴BN=BG+GN=10，∵点E关于直线BC的对称点E′，∴∠E′NB=60°，BN⊥EE′，OE′=OE，∴当BE′⊥E′N时，BE′最小，∴E′N=12BN=5，∴E′B=√BN2−E′N2=5√3，∵S△BE′N=12E′B⋅E′N=12BN⋅OE′，∴5√3×5=10×OE′，∴OE′=5√32，∴EE′=5√3．14．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校联考期中）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB=4，E为直线AB上一动点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接AD．（1）BC=______（2）①如图1，当点E与点B重合时，AD=______．②如图2，当点E在线段AB上时，若BE=1，求AD的长度．（3）若∠ECB=15°，直接写出AD的长度．【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，由30°所对的直角边是斜边的一半，再由勾股定理得到BC=4√3，即可得到答案；（2）①利用旋转性质，证得△ABC≌△ADC(SAS)，由全等性质即可得到AD=AB=4；②在AC上截取AF= AE，如图所示，由“手拉手模型”证得△DAE≌△CFE(SAS)，则AD=CF，根据（1）中AC=8，结合已知条件即可得到答案；（3）由于E为直线AB上一动点，当∠ECB=15°，分两种情况：①E在直线BC上方；②E在直线BC下方；作图分析求解即可得到答案．【解题过程】（1）解：在Rt△ABC中，∠CAB=60°，则∠ACB=30°，∵AB=4，则AC=8，∴BC=√AC2−AB2=√82−42=4√3，故答案为：4√3；（2）解：①由（1）知∠ACB=30°，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，∴当点E与点B重合时，∠DCA=∠ACB=30°，CB=CD，在△ABC和△ADC，{CB=CD∠DCA=∠ACBAC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴AD=AB=4，故答案为：4；②在AC上截取AF=AE，如图所示：∵∠CAB=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF,∠AEF=60°，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，∴△CDE是等边三角形，∴DE=CE,∠CED=60°，∵∠AED=∠AEF−∠DEF=60°−∠DEF，∠CEF=∠CED−∠DEF=60°−∠DEF，∴∠AED=∠CEF，在△DAE和△CFE中，{AE=EF∠AED=∠CEFED=EC，∴△DAE≌△CFE(SAS)，∴AD=CF，∵AB=4，BE=1，∴AF=AE=AB−BE=4−1=3，由（1）知AC=8，∴CF=AC−AF=8−3=5，则AD=CF=5；（3）解：由题意可知，分两种情况讨论：①E在直线BC上方；②E在直线BC下方；由（1）知在Rt△ABC中，∠ACB=30°，当∠ECB=15°时，∠ACE=∠BCE=15°，即CE是∠ACB的角平分线，∴过E作EG⊥AC于G，如图所示：∴BE=BG，在Rt△AEG中，∠EAG=60°，则∠AEG=30°，设AG=x，则AE=2x，由勾股定理可得BE=EG=√AE2−AG2=√3x，∵AB=4，∴AB=AE+EB，即4=2x+√3x，解得x=8−4√3，则BE=√3x=8√3−12，当E在直线BC上方，在AC上截取=AE，如图所示：由（2）②的求解过程可知，AD=FC，当BE=8√3−12时，AF=AE=AB−BE=4−(8√3−12)=16−8√3，∴AD=FC=AC−AF=8−(16−8√3)=8√3−8；当E在直线BC下方，过D作DH⊥AC于H，如图所示：∴∠DHC=90°，由（1）知在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=4,BC=4√3,AC=8，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到CD，∠ECB=15°，∴∠ACD=60°−30°−15°=15°=∠BCE，CE=CD，在△DHC和△EBC中，{∠ACD=∠BCE=15°∠DHC=∠EBC=90°CD=EC，∴△DHC≌△EBC(SAS)，∴HC=BC=4√3,DH=BE，作点E关于直线BC的对称点I，如图所示：则DH=BE=BI，由（3）可知，BI=8√3−12，则DH=BE=BI=8√3−12，∵AH=AC−HC=8−4√3，在Rt△AHD中，∠DHA=90°，AH=8−4√3，DH=8√3−12，则AD=√AH2+DH2=16−8√3，综上所述，若∠ECB=15°，AD的长度为8√3−8或16−8√3．15．（2023下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作AB的平行线l，点P是直线l上异于点C的动点，连接AP，过点P作AP的垂线交直线BC于点D．（1）如图1，当点P在点C的右侧时，①求证：PA=PD；（提示：作PE垂直直线l交CD于点E．）②试判定线段CA，CD，CP之间有何数量关系？写出你的结论，并证明；（2）若AC=5√2，AP=13，直接写出线段BD的长．【思路点拨】（1）①过P作PE⊥l，交CD于E，由∠ACB=90°，AC=BC，AB∥l，可得∠ACP=∠ACB+∠ECP=135°，△ECP是等腰直角三角形，所以CP=EP，∠DEP=∠ECP+∠CPE=135°=∠ACP，即可证明△ACP≌△DEP(ASA)，得PA=PD；②由①知△ACP≌△DEP，△ECP是等腰直角三角形，故AC=DE，CE=√2CP，即得CD=AC+√2CP；（2）分两种情况：当P在C右侧时，过A作AH⊥l于H；当P在C左侧时，过P作PF⊥l交BD的延长线于F，分别求解即可得到答案．【解题过程】（1）①证明：过P作PE⊥l，交CD E，如图所示，，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∵AB∥l，∴∠ECP=∠ABC=45°，∴∠ACP=∠ACB+∠ECP=135°，△ECP是等腰直角三角形，∴CP=EP，∠DEP=∠ECP+∠CPE=135°=∠ACP，∵∠APD=90°=∠EPC，∴∠APC=∠EPD，∴△ACP≌△DEP(ASA)，∴PA=PD；②解：CD=AC+√2CP，由①可知：△ACP≌△DEP，△ECP是等腰直角三角形，∴AC=DE，CE=√2CP，∵CD=DE+CE，∴CD=AC+√2CP；（2）解：当P在C右侧时，过A作AH⊥l于H，如图所示，，∵∠ABC=∠BCP=45°，∠ACB=90°，∴∠ACH=45°，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC=5√2，∴AH=CH=5，在Rt△APH中，HP=√AP2−AH2=√132−52=12，∴CP=HP−CH=12−5=7，由②可知，CD=AC+√2CP，∴CD=5√2+√2×7=12√2，∴BD=CD−BC=CD−AC=12√2−5√2=7√2；当P在C左侧时，过P作PF⊥l交BD的延长线于F，如图所示，。
勾股定理和直角三角形全等的判定
勾股定理和直角三角形全等的判定知识导引本讲主要是掌握勾股定理及勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理解决简单的问题。
勾股定理是直角三角形的性质定理，直角三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，则有222c b a =+。
勾股定理是现阶段求线段长度的主要方法，如果图形缺乏执教条件，则可以通过作辅助垂线的方法构造出直角三角形，为勾股定理创造条件。
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判断三角形中哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法，利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，这中间体现了一种代数方法解几何问题的思想，即数形结合思想。
勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长度、角的大小；线段与线段。
角与角，线段与角间的关系等问题，常常用勾股定理或其逆定理来解决，因此，勾股定理及其应用是中考中考查的重要内容。
典例分析例1：如图，已知△ABC 三条边AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，AB ＝25cm ，CD⊥AB，则CD ＝ 。
例2：如图，直角三角形纸片ABC ，∠C＝90°，AC ＝6，BC ＝8，折叠△ABC 的一角，使点B 与点A 重合，展开的折痕DE ，求BD 的长。
例2—1：如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求CE 的长。
例3：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的值。
例3—1：已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上任意一点，则22AD22+，请说明理由。
BD=CD例4：《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”。
数学全等三角形教案：巧用勾股定理,发现全等三角形的潜在特性
《数学全等三角形教案：巧用勾股定理，发现全等三角形的潜在特性》数学中的全等三角形是初中阶段中比较重要的内容之一。
对于全等三角形，许多同学在初学时会有很多疑问。
本文将会介绍如何在掌握勾股定理的基础上，发现全等三角形的潜在特性，从而提高求解全等三角形的效率。
一、勾股定理的掌握勾股定理是三角形中最基本的一个定理。
很多同学在学习勾股定理时往往只是单纯地记忆公式$a^2+b^2=c^2$，而没有深入了解其妙用。
其实，勾股定理是一个非常有用的工具，通过巧妙地运用，我们可以很轻松地找到一个三角形中的角度或边长。
例如，当我们已知三角形的两边长分别为3和4时，如何求出第三边长呢？显然，我们可以直接利用勾股定理。
$c^2=a^2+b^2$，代入已知数值可得$c^2=3^2+4^2=9+16=25$，$c=\sqrt{25}=5$。
我们便成功地求出了三角形的第三边长。
勾股定理还可以用于求解三角形内角的相关问题。
例如，当我们已知直角三角形的两个锐角分别为$30^\circ$和$60^\circ$时，如何求出第三个角的度数呢？通过勾股定理，我们可以得知该直角三角形的斜边等于3的倍数，我们可以假设斜边长为3x。
而在三角形中，直角边对直角的补角之和为$90^\circ$，该直角三角形的第三个角度数为$90^\circ-(30^\circ+60^\circ)=0^\circ$。
二、全等三角形的基本概念在介绍如何巧用勾股定理发现全等三角形的潜在特性之前，我们先来了解全等三角形的基本概念。
什么是全等三角形？简单来说，如果两个三角形的对应角度相等，对应边长相等，这两个三角形就是全等三角形。
例如下图所示，三角形ABC和三角形DEF是全等三角形。
因为$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle E$，$\angle C=\angle F$，而且$AB=DE$，$BC=EF$，$AC=DF$。
因为全等三角形的对应边长和对应角度都相等，我们可以在解题时直接运用这一特点，而不需要做很多无用功。
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1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．
2、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求
证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．
3、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD= 2，求AD的长．
4、如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
且M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．
（思路点拨：考虑M为EC的中点的作用，可以延长DM交BC于N，构造△CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以证明△BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底边的中线就可以了．）请你完成证明过程：
（2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
1、证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
∵DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
又∵∠BDE=∠CDG，DE=DG
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE=CG，∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2．
证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．
2、证明：（1）∵∠ACB=∠ECD，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD．
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2．
3、解答：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
∠CAD＝∠CBE
AD＝BD
∠ADC＝∠BDF＝90°，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=
2
，
在Rt△CDF中，CF=
DF2+CD2
=2
2+
2
2
=2，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2，
∴AD=AF+DF=2+
2
4、解答：（1）证明：延长DM交BC于N，∵∠EDA=∠ABC=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MCB，
在△EMD和△CMN中
∠DEM＝∠NCM
EM＝CM
∠EMD＝∠NMC
，∴△EMD≌△CMN，
∴CN=DE=DA，MN=MD，
∵BA=BC，
∴BD=BN，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，∴BM⊥DM，∠DBM=
1
2
∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．
（2）解：△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，证明：作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，∴∠E=∠MCN=45°，
∵∠DME=∠NMC，EM=CM，
∴△EMD≌△CMN（ASA），
∴CN=DE=DA，MN=MD，
在△DBA和△NBC中
DA＝CN
∠DAB＝∠BCN，
BA＝BC
∴△DBA≌△NBC，
∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，
∴∠DBN=∠ABC=90°，
∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，∴BM⊥DM，∠DBM=
1
2
∠DBN=45°=∠BDM，
∴△BMD为等腰直角三角形．。