勾股定理与全等三角形

1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．

2、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求

证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．

3、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；

（2）若CD= 2，求AD的长．

4、如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，

且M为EC的中点．

（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．

（思路点拨：考虑M为EC的中点的作用，可以延长DM交BC于N，构造△CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以证明△BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底边的中线就可以了．）请你完成证明过程：

（2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立若成立，请证明：若不成立，请说明理由．

1、证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：

∵DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG

又∵D为斜边BC中点

∴BD=DC

又∵∠BDE=∠CDG，DE=DG

∴△BDE≌△CDG（SAS）

∴BE=CG，∠B=∠BCG

∴AB∥CG

∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°

在Rt△FCG中，由勾股定理得：

FG2=CF2+CG2=CF2+BE2

∴EF2=FG2=BE2+CF2．

证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．∵AM∥BC，

∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．

∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，

∴△ADM≌△BDF．

∴AM=BF，MD=DF．

又DE⊥DF，∴EF=EM．

∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．

2、证明：（1）∵∠ACB=∠ECD，

∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，

即∠BCD=∠ACE．

∵BC=AC，DC=EC，

∴△ACE≌△BCD．

（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45度．

∵△ACE≌△BCD，

∴∠B=∠CAE=45°

∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2．

由（1）知AE=DB，

∴AD2+DB2=DE2．

3、解答：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，

∠CBE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠CBE，

在△ADC和△BDF中，

∠CAD＝∠CBE

AD＝BD

∠ADC＝∠BDF＝90°，

∴△ADC≌△BDF（ASA），

∴BF=AC，

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AC=2AE，

∴BF=2AE；

（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=

2

，

在Rt△CDF中，CF=

DF2+CD2

=2

2+

2

2

=2，

∵BE⊥AC，AE=EC，

∴AF=CF=2，

∴AD=AF+DF=2+

2

4、解答：（1）证明：延长DM交BC于N，∵∠EDA=∠ABC=90°，

∴DE∥BC，

∴∠DEM=∠MCB，

在△EMD和△CMN中

∠DEM＝∠NCM

EM＝CM

∠EMD＝∠NMC

，∴△EMD≌△CMN，

∴CN=DE=DA，MN=MD，

∵BA=BC，

∴BD=BN，

∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，∴BM⊥DM，∠DBM=

1

2

∠DBN=45°=∠BDM，

∴△BMD为等腰直角三角形．

（2）解：△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立，证明：作CN∥DE交DM的延长线于N，连接BN，∴∠E=∠MCN=45°，

∵∠DME=∠NMC，EM=CM，

∴△EMD≌△CMN（ASA），

∴CN=DE=DA，MN=MD，

在△DBA和△NBC中

DA＝CN

∠DAB＝∠BCN，

BA＝BC

∴△DBA≌△NBC，

∴∠DBA=∠NBC，DB=BN，

∴∠DBN=∠ABC=90°，

∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，∴BM⊥DM，∠DBM=

1

2

∠DBN=45°=∠BDM，

∴△BMD为等腰直角三角形．