等边三角形的判定方法

等边三角形的判定

等边三角形的判定嘿，同学们！今天咱们来好好聊聊等边三角形的判定。

先来讲讲我遇到的一件小事儿。

有一次，我去公园里散步，看到一群小朋友在地上用树枝画图形。

其中一个小朋友画了一个三角形，大声说：“看，我画的三角形！”另一个小朋友瞅了一眼说：“这可不是等边三角形哦。

”画三角形的小朋友就疑惑了，问：“那什么样的才是等边三角形呀？”这让我想到，咱们得把等边三角形的判定方法搞清楚。

首先，咱们来说说最基本的判定方法，如果一个三角形的三条边都相等，那它肯定就是等边三角形啦。

这就好像三个小伙伴，身高一模一样，那它们的关系肯定是平等又和谐的，这样的三角形就是等边三角形。

再来看，如果一个三角形的三个内角都相等，并且每个角都是 60 度，那它也是等边三角形哟。

想象一下，一个三角形的三个角就像三个小伙伴在分糖果，每个人都分到了一样多的 60 颗糖果，那这样的分配是不是很公平呀？这样的三角形也就成了等边三角形。

还有呢，如果一个三角形有两个内角是 60 度，那剩下的那个角肯定也是 60 度啦，这样它就是等边三角形。

这就好像在一个班级里，有两个同学都考了 60 分，那第三个同学要是和他们一样优秀，也得考 60 分，整个班级的成绩分布就很平均，这个三角形也就变得等边啦。

咱们来做几道题练练手。

比如说，有一个三角形，它的三条边分别是 5 厘米、5 厘米、5 厘米，这是不是等边三角形呢？答案当然是啦，三条边都相等嘛。

再比如，一个三角形的三个角分别是 50 度、60 度、70 度，这是等边三角形吗？显然不是呀，因为三个角的度数不一样。

总之，判断一个三角形是不是等边三角形，咱们就看看它的边是不是都相等，或者角是不是都相等且是 60 度。

掌握了这些判定方法，以后再遇到等边三角形的问题，咱们就能轻松搞定啦！就像在公园里那群小朋友，等他们学会了等边三角形的判定，下次再画三角形，就能画出标准的等边三角形啦！。

等边三角形的解题方法

CADCAB等边三角形的解题方法1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ． (1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC 与等边三角形EBC ∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°∴ ∠ACE ＝∠DCB∴在△ACE 和△DCB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB CE DCB ACE DC AC ，∴△ACE ≌△DCB(2) ∵∠ACE ≌∠DCB , ∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DF A ＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD ＝∠ACD ＝60°(3) 在△ACM 和△DCN 中, ⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠6012DCN ACM DC AC∴△ACM ≌△DCN ∴CM ＝CN又∵∠DCN ＝60°∴△CMN 是等边三角形．【变式题组】01．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小等于__________ 度 02．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQCQP BA EC BQC04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠P AB ＝∠P AC ＝22°，求∠APC 的度数【解法指导】由于∠P AB ＝∠P AC ,因而P A 平分∠BAC ,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB 边上截取；方法二：延长AC 边，又由于∠BP A ＝150°是特殊角，考虑∠BP A 的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接PD 、BD ,∵∠PBA ＝8°∠P AB ＝22°∴∠BP A ＝150°，在△ABP 和△ADP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AP AP DAP BAP AD AB ∴△ABP ≌△ADP ∴∠APB ＝∠APD ＝ 150°，BP ＝DP ,∠PBA ＝∠APD ＝8°∴∠BPD ＝60°, ∴△BPD 是正三角形 ∵∠PBC ＝30° ∴∠PBC ＝∠DBC在△PBC 和△DBC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BC DBC PBC BD BP∴△PBC ≌△DBC , ∴PC ＝CD ∴∠CPD ＝∠CDP ＝8° ∴∠APC ＝∠APD 一∠CPD ＝150°一8°＝142° 【变式题组】01．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数． 02．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．CBACBACBB【例3】如图(1)，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．(1)探究：MN 、NC 之间的关系，并加以证明;(2)若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB 中，有∠DBM ＝∠DBC ＋∠CBA ＝30°＋60°＝90°为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D 点顺时针旋转120°得到△DGC ．如图(3)．从而有MB ＝GC ．而此时恰又有△MND ≌△GND ·得MN ＝NG ＝NC ＋CG ＝NC ＋BM ．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN ＝CN 一BM解(1)关系为MN ＝BM ＋NC证明：延长AC 到G ，使CG ＝BM ，连接DG ，如图(3)∠ABD ＝∠ABC ＋∠CBD ＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD ＝90° 在△DMB 和△DGC 中； DB ＝DC ．BM ＝CG∴△DMB ≌△DGC ∴DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC ．在△MND 和△GND 中，ND 公用，DM ＝DG ，∠MDN ＝60° ∠GDN ＝∠GDC ＋∠DCN ＝∠MDB ＋∠CDN ＝60°∴△MND ≌△GND ∴ MN ＝GN ＝GC 十NC ＝BM ＋NC (2)此时．图形如图(4)，有关系式MN ＝CN —BM 理由如下：在CN 上截取GG ＝BM ．连接DG ，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD ＝∠ACD ＝90°．且Rt △DMB ≌△DGC ，得DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC 仍与(1)中情况娄似，可推得△MND ≌△GND ．就有MN ＝GN ＝NC —CG ＝NC —BM ．【变式题组】01．用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合．两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E ，F 时，(如图1)，通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；(1)D CBA(2)DCBA(3)GDBA(4)NDC(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点F 时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．02．如图．四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°求证：AC ＝BC ＋DC ．练习01．如图．△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，点E 在AC 上，且AE ＝AD ，则∠DEC ＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图第2题图02．如图，等边△ABC ，D 在AC 上，延长BC 到E ．使CE ＝CD ，若BD ＝DE ，给出下列结论：① BD 平分∠ABC ② AD ＝ 21AB ③ CE ＝ 21BC ④∠A ＝2∠E ，其中正确结论的个数是( )DCBA BD C ABC AA ．4个B 3个C 2个D 1个03．(河北)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm04．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________．05．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由．06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．07．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F(1)求证：△ACD ≌△BAE ： (2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．08．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ．求证：△ADE ≌△DFC E B A EBCB PAE B C 第3题图第4题图第5题图09．如图：△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在CA 、AB 的延长线上， AD ＝BE ．DB的延长线交EC 于F ．求证：(1)DB ＝EC ；(2) ∠BFC ＝60°10．(常德)如图1，若△ABC 与△ADE 为等边三角形，M 、N 分别是EB 、CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形．(1)当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD ＝BE 是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；(2) 当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．F E DCA(2)DBCA(1)。

等边三角形的四种判定

等边三角形的四种判定
等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

在判定一个三角形是否为等边三角形时，可以使用以下四种方法：
1. 三边相等判定法：如果一个三角形的三条边长度相等，则该三角形为等边三角形。

2. 三角形内角判定法：如果一个三角形的三个内角都为60度，则该三角形为等边三角形。

3. 高度判定法：如果一个三角形的高度长度相等，则该三角形为等边三角形。

4. 中线判定法：如果一个三角形的三条中线长度相等，则该三角形为等边三角形。

需要注意的是，以上四种判定法都是等价的，即任意一种判定法成立，则三角形为等边三角形。

同时，这四种判定法也可以相互推导，例如可以通过三边相等判定法推导出三角形内角判定法。

等边三角形的解题方法

CADCAB等边三角形的解题方法1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ． (1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC 与等边三角形EBC ∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°∴ ∠ACE ＝∠DCB∴在△ACE 和△DCB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB CE DCB ACE DC AC ，∴△ACE ≌△DCB(2) ∵∠ACE ≌∠DCB , ∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DF A ＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD ＝∠ACD ＝60°(3) 在△ACM 和△DCN 中, ⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠6012DCN ACM DC AC∴△ACM ≌△DCN ∴CM ＝CN又∵∠DCN ＝60°∴△CMN 是等边三角形．【变式题组】01．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小等于__________ 度 02．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQCQP BA EC BQC04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠P AB ＝∠P AC ＝22°，求∠APC 的度数【解法指导】由于∠P AB ＝∠P AC ,因而P A 平分∠BAC ,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB 边上截取；方法二：延长AC 边，又由于∠BP A ＝150°是特殊角，考虑∠BP A 的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接PD 、BD ,∵∠PBA ＝8°∠P AB ＝22°∴∠BP A ＝150°，在△ABP 和△ADP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AP AP DAP BAP AD AB ∴△ABP ≌△ADP ∴∠APB ＝∠APD ＝ 150°，BP ＝DP ,∠PBA ＝∠APD ＝8°∴∠BPD ＝60°, ∴△BPD 是正三角形 ∵∠PBC ＝30° ∴∠PBC ＝∠DBC在△PBC 和△DBC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BC DBC PBC BD BP∴△PBC ≌△DBC , ∴PC ＝CD ∴∠CPD ＝∠CDP ＝8° ∴∠APC ＝∠APD 一∠CPD ＝150°一8°＝142° 【变式题组】01．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数． 02．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．CBACBACBB【例3】如图(1)，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．(1)探究：MN 、NC 之间的关系，并加以证明;(2)若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB 中，有∠DBM ＝∠DBC ＋∠CBA ＝30°＋60°＝90°为了把BM ，MN ，NC 集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D 点顺时针旋转120°得到△DGC ．如图(3)．从而有MB ＝GC ．而此时恰又有△MND ≌△GND ·得MN ＝NG ＝NC ＋CG ＝NC ＋BM ．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN ＝CN 一BM解(1)关系为MN ＝BM ＋NC证明：延长AC 到G ，使CG ＝BM ，连接DG ，如图(3)∠ABD ＝∠ABC ＋∠CBD ＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD ＝90° 在△DMB 和△DGC 中； DB ＝DC ．BM ＝CG∴△DMB ≌△DGC ∴DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC ．在△MND 和△GND 中，ND 公用，DM ＝DG ，∠MDN ＝60° ∠GDN ＝∠GDC ＋∠DCN ＝∠MDB ＋∠CDN ＝60°∴△MND ≌△GND ∴ MN ＝GN ＝GC 十NC ＝BM ＋NC (2)此时．图形如图(4)，有关系式MN ＝CN —BM 理由如下：在CN 上截取GG ＝BM ．连接DG ，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD ＝∠ACD ＝90°．且Rt △DMB ≌△DGC ，得DM ＝DG ．∠MDB ＝∠GDC 仍与(1)中情况娄似，可推得△MND ≌△GND ．就有MN ＝GN ＝NC —CG ＝NC —BM ．【变式题组】01．用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形ABCD ，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合．两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 相交于点E ，F 时，(如图1)，通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；(1)D CBA(2)DCBA(3)GDBA(4)NDC(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC 、CD 的延长线相交于点F 时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．02．如图．四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°求证：AC ＝BC ＋DC ．练习01．如图．△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，点E 在AC 上，且AE ＝AD ，则∠DEC ＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图第2题图02．如图，等边△ABC ，D 在AC 上，延长BC 到E ．使CE ＝CD ，若BD ＝DE ，给出下列结论：① BD 平分∠ABC ② AD ＝ 21AB ③ CE ＝ 21BC ④∠A ＝2∠E ，其中正确结论的个数是( )DCBA BD C ABC AA ．4个B 3个C 2个D 1个03．(河北)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在A ’处，且A ’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm04．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________．05．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由．06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．07．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F(1)求证：△ACD ≌△BAE ： (2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．08．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ．求证：△ADE ≌△DFC E B A EBCB PAE B C 第3题图第4题图第5题图09．如图：△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在CA 、AB 的延长线上， AD ＝BE ．DB的延长线交EC 于F ．求证：(1)DB ＝EC ；(2) ∠BFC ＝60°10．(常德)如图1，若△ABC 与△ADE 为等边三角形，M 、N 分别是EB 、CD 的中点，易证：CD ＝BE ，△AMN 是等边三角形．(1)当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD ＝BE 是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；(2) 当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．F E DCA(2)DBCA(1)。

等边三角形的性质与判定(3种题型)-2023年新八年级数学(苏科版)(解析版)

等边三角形的性质与判定（3种题型）了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。

一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．一．等边三角形的性质（共9小题）1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC 于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC 交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2022秋•姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．3．（2022秋•常州期中）如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】由已知条件AD＝AP可知∠ADP＝∠APD，结合∠APD＝70°可得∠ADP的度数，从而得到∠P AD 的度数；根据等边三角形的性质，可以得到∠BAC＝60°，结合∠PAB＝∠BAC﹣∠PAD即可解答此题．【解答】解：∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD．∵∠ADP＝∠APD，∠APD＝70°，∴∠ADP＝70°，∠PAD＝40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠PAB＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．4．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．5．（2022秋•启东市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（）A．60°B．105°C．75°D．15°【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC＝30°（三线合一），在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．7．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故选：C．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．8．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝°．【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝85°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵∠CED＝25°，∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝85°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，故答案为：50．9．（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP．则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，即，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴r1+r2+r3＝h（定值）；（2）存在．r＝2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．二．等边三角形的判定（共6小题）10．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．11．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD ＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．12．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，进而可得出a＝b＝c，再结合a，b，c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，又∵a，b，c是三角形的三边长，∴这个三角形是等边三角形．故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方及绝对值的非负性，牢记三条边都相等的三角形是等边三角形是解题的关键．13．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．14．（2022秋•常州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，故答案为：30°．（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形．15．（2022秋•江都区校级月考）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠P AQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．【解答】解：△APQ证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．三．等边三角形的判定与性质（共9小题）16．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．【解答】解：如图所示：连接AC．∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故选：A．【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得△ABC为等边三角形是解题的关键．17．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．18．（2022秋•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．19．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为．【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．【解答】解：①当D在线段BC上，如图：∵等边△ABC的边长为5，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∵BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，∴△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝4；②当D在线段CB的延长线上，如图：同法可得：△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝BC+BD＝6；综上：DE的长为：4或6；故答案为：4或6．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．20．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s时，△PBQ第一次为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．21．（2022秋•泰州月考）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．22．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．23．（2022秋•启东市校级月考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A 满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A 是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，∠B＝＝50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，故答案为：60°．（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．24．（2022秋•铜山区校级月考）已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．求证：（1）AE＝DB；（2）△CMN为等边三角形．【分析】（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•梁溪区期中）下列命题不正确的是（）A．等腰三角形的底角不能是钝角B．等腰三角形不能是直角三角形C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．【解答】解：本题可采用排除法；A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．即答案选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，要求学生在学习过程中要对所学过的知识进行总结和复习，以便灵活的运用所学的知识．2．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC ≌△ABD，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．3．（2022秋•射阳县校级月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），按此方法，若点C的坐标为（2，m，m﹣2），则m＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），得到经过该点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左，上，下，即可解答．【解答】解：由题意得：点C的坐标为（2，4，2），∴m＝4，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，规律型：数字的变化类，找出题中的规律是解题的关键．4．（2022秋•扬州期中）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解答】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．5．（2022秋•邗江区月考）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB 于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）6．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，则BC＝6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°．7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝．【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD ＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。

等边三角形

等边三角形的性质及判定知识点：1. 等边三角形的定义：的三角形叫等边三角形。

2. 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于。

3. 等边三角形的判定：（1）三个角都的三角形是等边三角形；（2）都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的是等边三角形。

4. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的等于的一半。

基础练习：1. 已知等腰△ABC中, AB=AC, ∠B=60°, 则∠A=度.2. 如图, 在等边三角形ABC中, BE和CD分别是AC、AB边上的高, 求∠BFC的度数.3. 已知, 如图, 延长△ABC的各边, 使得BF=AC, AE=CD=AB, 顺次连接D, E, F, 得到△DEF为等边三角形.求证: (1) △AEF≌△CDE; (2) △ABC为等边三角形.4. 如下图, 已知在△ABC中, AB=BC, ∠B=120°, AB的垂直平分线交AC于点D, 交AB于点E. 若AC=6 cm, 则AD= cm.5. 如图, 在△ABC中, AB=AC, AE⊥AB交BC于E, ∠BAC=120°, AE=3 cm, 求BC的长.拓展练习：1. 如下图, △ABC中, ∠C=90°, ∠ABC=60°, BD平分∠ABC, 若AD=6, 则CD= .2. 如下图, 在△ABC中, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于E, 且DE=3 cm,∠B=30°, 则BC= cm.3. 如下图所示, 在等腰△ABC中, ∠BAC=120°, 若EM和FN分别垂直平分AB和AC, 垂足分别为E、F, M、N都在BC边上, 且EM=FN=2, 则BC的长度为( )A. 6B. 8C. 10D. 124. 如图, 在等边△ABC中, 点D, E分别在边BC, AB上, 且BD=AE, AD与CE交于点F.(1) 求证: AD=CE;(2) 求∠DFC的度数.5. 已知：如下图，△ABC是等边三角形，D为AC上任一点，∠ABD=∠ACE，BD=CE，求证：△ADE是等边三角形．。

等边三角形的性质和判定

等边三角形的性质和判定
等边三角形也称为等腰三角形，是三角形中最基本的一种形状，
它的三个边都是等长的。

因为只有三条边，一般只需要判断三个边长
是否相等就可以是否是等边三角形。

等边三角形有着独特的性质，其中最重要的是它的三个内角都是
相等的，这代表等边三角形的三条边的本质是等边的，即它的三个角
都是相等的。

另外，等边三角形只有两个外角是相等的，而另外一个
外角则是一个直角。

根据上述性质，可以通过测量等边三角形的3边长度，来判断它
是否是一个等边三角形。

如果三边形长度都相等，则这个三角形就是
一个等边三角形。

同时，我们可以求出等边三角形的其它性质，比如它的三角形角
度和周长。

此外，我们还可以通过以上方法计算出等边三角形的面积：将三角形三边长度分别记为a，b，c，那么根据海伦-克拉斯定理可以
得出等边三角形的面积为：面积=〖△〗√=〖a*b*c〗√，3s其中s为三边的一半周长。

由以上性质可以看出，等边三角形的相关性质十分简单，只需要
测量三边长度就可以判断它是否是一个等边三角形，同时也可以计算
出它的其它性质，如内外角和周长面积等，用来研究三角形在实际应
用中的特性和特点。

等边三角形的判定和性质

证明:因为∠ABE+∠CBE=60°,∠CAD+∠ADC=60°,∠EBC=∠DAC,所以 ∠ABE= ∠ADC.因为CE∥AB,所以∠BEC=∠ABE.所以∠BEC=∠ADC.因为 BC=AC,∠EBC= ∠DAC,所以△BCE≌△ACD.所以CE=CD,∠BCE=∠ACD,即 ∠ECD=∠ACB=60°.所以△CDE是等边三角形.
【变式】直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点.用反证法证明时,我们可先
假设AB,CD相交于两个交点O与O′, 那么过O,O′两点就有两条直线,这与
“过两点有且只有一条直线
”矛盾,所以假设不成立,则原命题成立.
1.(2018福建)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD 上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( A ) (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
等边三角形的判定方法的选择 (1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定; (2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定; (3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可.
【变式】如图,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC, CE∥AB. 求证:△CDE是等边三角形.
知识点二等边三角形的有关性质【例2】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作 EF ⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠B=60°.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B= 60°.因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,所以∠F=90°-∠EDC=30°. (2)因为∠ACB=60°,∠EDC=60°,所以△EDC为等边三角形.所以ED=DC=2,因为∠DEF=90°,∠F=30°,所以DF=2DE=4.

证明等边三角形的方法

证明等边三角形的方法证明一个三角形是等边三角形主要有以下几种方法:三边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

下面通过具体的例题来说明这三种判定方法的应用.例1 如图1，已知等腰△ABC，BA=BC，BD⊥AC，延长BC至E，CE=CD，BD=CE.求证：△ABC是等边三角形.分析：根据已知△ABC是等腰三角形，要证明其为等边三角形，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以只要证明其中的一个内角为30°即可.证明：∵CE=CE，∴∠CDE=∠CED，∵BD=ED，∴∠DBE=∠DEB，∵∠DCB=∠CDE+∠CED=2∠E=2∠DBC，图1又BD⊥AC，∴∠DCB+∠DCB=90°，∴3∠DBC=90°，∠DBC=30°，∴∠DCB=60°，∴△ABC为等边三角形.例2 如图2，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.分析：根据△ABC是等边三角形可得∠A=∠B=∠C=60°，根据DE//BC可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，这样可通三个角都相等的三角形是等边三角形来证明.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，图2∴∠A=∠ADE=∠AED=60°，∴△ADE是等边三角形.例3 如图3，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形△DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？请证明你的结论.分析：要判断△DEF是不是等边三角形，根据已知条件，只要判断D、F、E三个角是否都相等.由△ABC是等边三角形，DF//AB可以得到∠BAC=∠ACF=60°，∠ABC=∠BCD=60°，同样的方法可以得到∠FAC=∠EAB=60°，∠ABE=∠DBC=60°，这样可得∠E=∠D=∠F=60°，从而可得△DEF是等边三角形，△ACF，△BCD，△EBA都是等边三角形.解：△DEF是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，图3 ∴∠BAC=∠ABC=∠CBA=60°，∵AB//DF，∴∠ACF=∠ BAC =60°，∠DCB=∠ABC=60°，同样的方法根据AC//DE，BC//EF，可得到∠ABE=∠DBC=60°，∠BAE=∠CAF=60°，∴∠E=∠F=∠D=60°，∴△DEF是等边三角形.根据三个角都相等的三角形是等边三角形可知△AFC，△CDB，△BEA都是等边三角形.。

判定三角形形状的十种方法

判定三角形形状的十种方法判断三角形形状是几何学中的一个基本问题，目的是确定给定三个边长的三角形是等边、等腰、直角、锐角、钝角还是不规则三角形等。

下面将介绍十种常见的方法来判定三角形的形状。

1.边长判断法：通过比较三个边长的大小关系，可以快速判断三角形的形状。

-若三个边长相等，则为等边三角形。

-若任意两个边长相等，则为等腰三角形。

-若三个边长均不相等，则为不规则三角形。

2.角度判断法：通过测量三个角的大小，可以判断三角形的形状。

-若三个角均为90度，则为直角三角形。

-若三个角均小于90度，则为锐角三角形。

-若三个角中有一个大于90度，则为钝角三角形。

3.角边关系法：通过边长和角度的关系，可以判断三角形的形状。

-若一个角为90度，且其他两个角中的一个为45度，则为45-45-90直角三角形。

-若一个角为90度，且其他两个角相等，则为30-60-90直角三角形。

4.海伦公式法：海伦公式可以判断给定三个边长的三角形面积，并进一步判断其形状。

-若三角形的面积计算结果为零，则三个点共线，为退化三角形。

-若三角形的面积计算结果大于零，则为常规三角形。

5.直角判断法：判断三角形是否为直角三角形，可以通过勾股定理或余弦定理来判断。

-若满足勾股定理（c²=a²+b²），则为直角三角形。

6.等腰判断法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过边长关系和角度关系来判断。

-若两边边长相等，则两边对应的两个角也相等。

若两个角相等，则为等腰三角形。

7.等边判断法：判断三角形是否为等边三角形，可以通过边长关系来判断。

-若三个边长相等，则为等边三角形。

8.角平分线法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过角平分线的性质来判断。

-若一个角的角平分线与对边相等，则为等腰三角形。

9.角度和法：若三个角相加等于180度，说明是一个三角形。

通过角度和可以进一步判断其形状。

-若三个角不相等，且和为180度，则为不规则三角形。

《等边三角形》重点

《等边三角形》重点关键信息项：1、等边三角形的定义及性质定义：＿___________________________性质 1：＿___________________________性质 2：＿___________________________性质 3：＿___________________________2、等边三角形的判定方法判定 1：＿___________________________判定 2：＿___________________________判定 3：＿___________________________3、等边三角形与其他三角形的关系与等腰三角形的关系：＿___________________________与直角三角形的关系：＿___________________________ 4、等边三角形的周长和面积计算周长计算公式：＿___________________________面积计算公式：＿___________________________11 等边三角形的定义等边三角形，又称正三角形，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为 60°。

111 等边三角形的性质性质 1：等边三角形的三条边长度相等。

性质 2：等边三角形的三个内角大小相等，均为 60°。

性质 3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。

性质 4：等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。

性质 5：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。

112 等边三角形的判定方法判定 1：三边相等的三角形是等边三角形。

判定 2：三个内角都相等的三角形是等边三角形。

判定 3：有一个内角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。

12 等边三角形与其他三角形的关系121 与等腰三角形的关系等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形。

等边三角形的性质与判定解析

等边三角形的性质与判定解析等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

在本文中，我们将探讨等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等边三角形。

一、等边三角形的性质1. 三边相等：等边三角形的最显著特征是其三条边的长度相等。

三边均相等意味着等边三角形的内角也是相等的，每个角都是60度。

2. 内角相等：由于等边三角形的三边相等，根据三角形内角和的性质可知，等边三角形的每个内角都是60度。

3. 对称性：等边三角形具有一定的对称性质。

如果我们以其中一个顶点为中心，以该顶点与另外两个顶点连线的垂直平分线为轴进行旋转，等边三角形将重合于原位置。

二、判定等边三角形1. 通过边长判断：判定一个三角形是否为等边三角形最直观的方法是通过测量三条边的长度。

如果三边的长度均相等，则可以确定该三角形为等边三角形。

2. 通过角度判断：等边三角形的每个内角都是60度，因此我们可以通过测量三个内角来判断一个三角形是否为等边三角形。

如果三个内角的测量结果均为60度，则可以确定该三角形为等边三角形。

3. 通过对称性判断：根据等边三角形的对称性质，我们可以通过观察三角形的对称性来判断其是否为等边三角形。

如果三角形具有明显的对称性，并且边长相等，那么可以确定该三角形为等边三角形。

三、等边三角形的应用1. 建筑设计：等边三角形具有稳定性较好的特点，因此在建筑设计中经常使用等边三角形的原理来构建稳定的结构，如建筑物的支撑结构或者桥梁的支撑墩设计等。

2. 数学几何题：在解决一些数学几何问题时，等边三角形的性质常常被应用。

通过利用等边三角形的特点，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。

3. 图形设计：等边三角形具有简洁美观的特点，常出现在图案、LOGO设计等各类艺术设计中，赋予作品一种稳定和和谐的感觉。

四、总结等边三角形是一种特殊的三角形，其三边长度相等，每个内角均为60度。

判断一个三角形是否为等边三角形可以通过测量边长、测量角度以及观察对称性来确定。

三角形的分类与判断方法

三角形的分类与判断方法三角形是我们数学中最基本的几何图形之一，它由三条边组成。

根据边长和角度的不同关系，我们可以将三角形进行分类。

本文将介绍三种常见的分类方式，并详细说明判断方法。

一、按照边长分类1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

我们可以通过测量三条边的长度来判断一个三角形是否为等边三角形。

若三条边的长度都相等，则可以判定为等边三角形。

2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

我们同样可以通过测量三条边的长度来判断一个三角形是否为等腰三角形。

若两条边的长度相等，则可以判定为等腰三角形。

3. 普通三角形普通三角形是指三条边的长度都不相等的三角形。

若三条边的长度都不相等，则可以判定为普通三角形。

二、按照角度分类1. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。

我们可以通过测量三个角的度数来判断一个三角形是否为直角三角形。

若其中一个角为直角，则可以判定为直角三角形。

2. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角为钝角（大于90度）的三角形。

同样，我们可以通过测量三个角的度数来判断一个三角形是否为钝角三角形。

若其中一个角为钝角，则可以判定为钝角三角形。

3. 锐角三角形锐角三角形是指三个角都为锐角（小于90度）的三角形。

若三个角都为锐角，则可以判定为锐角三角形。

三、按照边长和角度综合分类在实际应用中，我们常常根据三角形的边长和角度综合判断其分类。

以下是一些常见的三角形分类：1. 等边直角三角形若一个三角形既是等边三角形又是直角三角形，我们可以判定它为等边直角三角形。

2. 等腰锐角三角形若一个三角形既是等腰三角形又是锐角三角形，我们可以判定它为等腰锐角三角形。

3. 普通钝角三角形若一个三角形既不是等边三角形又不是等腰三角形，且其中一个角为钝角，我们可以判定它为普通钝角三角形。

综上所述，根据边长和角度的不同，我们可以准确地判断三角形的分类。

通过测量边长和角度的大小，运用判断方法，我们能够轻松地对三角形进行分类。

等边三角形判定条件

等边三角形判定条件1. 嘿，你知道吗？三边相等那肯定就是等边三角形啦！就像三根一样长的小木棍搭起来的形状，这多明显呀！比如用三根一样长的吸管摆一摆，不就是个等边三角形嘛！2. 要是三个角都相等，那也能判定是等边三角形哟！这就好像三胞胎一样，每个都一样，那就是等边三角形啦！像三个 60 度的角组成的图形，不就是等边三角形嘛！3. 有一个角是 60 度的等腰三角形，嘿，这也能是等边三角形呢！就好比有个特别标志的等腰三角形，一下子就升级成等边三角形啦！比如一个等腰三角形，顶角是 60 度，那它就是等边三角形呀！4. 难道你不觉得，当看到一个三角形，它的三条边长度毫无差别，那就是等边三角形呀！这就跟一模一样的三胞胎没啥区别呀！像用三根一样长的铁丝弯成的三角形，肯定就是等边三角形啦！5. 哇塞，要是三个角相等，那不就是等边三角形在向我们招手嘛！就像三个好朋友一样，关系铁得很，那就是等边三角形呀！比如量角器量出来三个角都一样的三角形，就是等边三角形嘛！6. 你想想看，当一个三角形有着独特的标志，比如一个角 60 度的等腰三角形，这不是明摆着是等边三角形嘛！这就好像人群中一眼认出的特别的人一样！像有个等腰三角形，底角是 60 度，那它就是等边三角形啊！7. 嘿呀，三边相等，这是等边三角形最直接的判定啦！这多简单易懂呀，就像一眼能看出谁是最特别的那个！比如三根等长的木条组成的三角形，那就是等边三角形嘛！8. 哎呀，三个角相等就是等边三角形呀，这不是显而易见嘛！就像三个一样可爱的小精灵组成的图形，那肯定是等边三角形啦！像三个都是 70 度的角组成的三角形，不就是等边三角形嘛！9. 你说神奇不神奇，一个角 60 度的等腰三角形也能是等边三角形哟！这就像一个隐藏的惊喜等你发现！比如有个等腰三角形，其中一个角是 60 度，那它就是等边三角形呀！10. 总之，三边相等、三个角相等、一个角 60 度的等腰三角形，这些都是等边三角形的判定条件呀！这就好像是打开等边三角形大门的钥匙一样！像用同样长度的绳子围成的三角形，或者角度都一样的三角形，那肯定是等边三角形呀！我的观点结论：等边三角形的判定条件其实并不复杂，只要记住这些特点，就能轻松判断啦！。

如何证明三角形的等边性质

如何证明三角形的等边性质三角形的等边性质是指三个边长相等的三角形。

在几何学中，证明一个三角形是等边的方法有很多，下面将介绍其中几种常见的证明方法。

方法一：利用等腰三角形性质等腰三角形是指两边相等的三角形。

如果能证明一个三角形是等腰的，并且另外两个边也相等，那么这个三角形就是等边的。

假设有一个三角形ABC，首先可以假设AB=AC，然后证明BC=AB或BC=AC。

可以通过构造垂直平分线来证明。

由于AB=AC，所以点D为线段BC的垂直平分线上的点，且BD=DC。

根据勾股定理，有BD²=AB²-AD²，DC²=AC²-AD²。

由于AB=AC，所以BD²=DC²，可得BD=DC。

因此，BC=BD+DC=2BD=2DC=AB=AC，所以三角形ABC是等边的。

方法二：利用三角形内角和的性质三角形内角和是指三个内角的度数和等于180°。

如果能证明一个三角形的三个内角的度数相等，那么这个三角形就是等边的。

假设有一个三角形ABC，首先可以通过角平分线构造内角平分线，将三角形分成两个等腰三角形。

假设角BAC的内角平分线与BC相交于点D。

由于AD是角BAC的内角平分线，所以∠BAD=∠DAC。

由于∠BAC=180°-∠BAD-∠DAC，所以∠BAC=180°-2∠BAD。

同理可得∠BCA=180°-2∠DAC。

将两个等式相加可得∠BAC+∠BCA=180°-2∠BAD+180°-2∠DAC，即∠BAC+∠BCA=360°-2(∠BAD+∠DAC)=360°-2×180°=0°。

因为角的度数不可能小于0°，所以∠BAC+∠BCA=0°，即∠BAC=0°，∠BCA=0°。

因此，三角形ABC 的三个内角的度数均为60°，证明了三角形ABC为等边三角形。

等边三角形的特征与计算方法

等边三角形的特征与计算方法等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

它具有一些特征和计算方法，让我们来了解一下。

一、特征1. 边长相等：等边三角形的三条边长度完全相等，即AB=BC=AC。

2. 内角相等：由于等边三角形的三边相等，所以它的三个内角也完全相等，即∠A=∠B=∠C=60°。

3. 对称性：等边三角形具有三角形的对称性质，即以三个顶点为中心旋转120°时，可以得到三个顶点。

二、计算方法1. 周长计算：由于等边三角形的三边长度相等，所以它的周长可以通过任意边长乘以3来计算，即周长=边长×3。

2. 面积计算：对于等边三角形，它的面积可以通过以下公式计算：面积=（边长的平方×√3）÷4。

3. 内角计算：由于等边三角形的三个内角相等且都为60°，所以可以通过判断任意一个内角是否等于60°来验证是否为等边三角形。

三、实际应用等边三角形常常出现在日常生活和建筑设计中，具有一些特殊作用和应用。

1. 构建均衡形状：等边三角形是一种均衡的形状，因此在建筑设计中经常使用等边三角形来构建均衡和稳定的结构。

2. 装饰和艺术设计：等边三角形在装饰和艺术设计中也有广泛应用，它具有简洁、大方的外观，给人以美的享受。

3. 数学研究和几何学：等边三角形是几何学中的重要研究对象之一，研究等边三角形可以深入了解三角形的一些性质和规律。

总结：等边三角形具有边长相等、内角相等和对称性等特征。

我们可以通过计算周长、面积和判断内角是否为60°来确定是否为等边三角形。

等边三角形在建筑设计、装饰和数学研究等方面有着重要的应用和意义。

通过深入了解等边三角形的特征和计算方法，我们可以更好地理解和应用这一特殊的三角形形状。

等边三角形的角度数

等边三角形每个角都是60度。

等边三角形是三边相等的三角形，而且它的三个内角都是相等的。

根据计算得出，等边三角形每个内角的度数：180°÷3=60°，因为锐角三角形的三个角都是大于0小于90度，所以等边三角形一定都是锐角三角形。

等边三角形的判定方法：
1、三边相等的三角形是等边三角形定义。

2、三个内角都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。

4、两个内角为60度的三角形是等边三角形。

等边三角形的性质：
1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

2、等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。

3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。

4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。

5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。

6、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。