等边三角形的性质和判定

解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A＝30° 可得 2BC＝AB, 2DE＝AD ∴BC＝1/2 ×7.4＝3.7m 又 AD＝1/2 AB ∴DE＝1/2 AD＝1/2 ×3.7＝1.85m 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是 1.85m.
1 如图,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交 BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.
E
C
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ 证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵ DE∥BC， ∴ ∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. B ∴ ∠A =∠ADE =∠AED. ∴ △ADE 是等边三角形. D A
A M C D B
2 如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线 MN交BC于M,交AB于N, M 求证:CM=2BM
B N A
C
2、在Rt△ABC 中， 如果∠BＣＡ＝ ９0° ， ∠A＝ 30 °，CD 是高， （1）BD=1，则BC、AB各等于多少； （2）求证：BD=1/2BC=1/4AB C 解（1）由已知可求得 ∠BＣD= 30 ° 于是在Rt△ADC 与Rt△BDC A D B 中用本定理得BC=2，AB=4 （2）在Rt△ADC 与Rt△BDC运用本定理 BD=1/2BC BC=1/2AB ∴ BD=1/2BC=1/4AB
探索星空：探究性质三
3、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?
A
B
C
等边三角形的性质
1 .三条边相等 2.等边三角形的内角都相等,且等于60 °
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平
分线都三线合一.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
A
（选择）
１、下列四个说法中，不正确的有（Ｂ ） （A）0个（B）1个（C）2个（D）3个 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。
Ｃ） ２、等边三角形的对称轴有（ （A）1条（B）2条（C）3条（D）4条 ３、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（Ａ） （A）3条（B）6条（C）9条（D）7条
B
细心观察，概括归纳
判定等边三角形的方法： 从边的角度：等边三角形的定义； 从角的角度：等边三角形的两条判定定理．
等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形．
等边三角形的判定方法:

1.三边相等的三角形是等边三角形.
•2.三个内角都等于60 °（或三个内 角都相等）的三角形是等边三角形.
两底角相等 （等边对等角）
相等 每个角都等于60°
是（三线合一） 一条对称轴
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
图形 边 角 轴对称图形
等腰 三角形
等边 三角形
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
两底角相等 （等边对等角）
相等 每个角都等于60°
是（三线合一） 一条对称轴
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、 丙三家农户去种植,如果∠C＝90°∠A＝ 30°,要使这三家农户所得土地的大小和 形状都相同,请你试着分一分,在图上画出 来. A
┓
C
B
请你说一说这节课的收获和体 验让大家与你一起分享 ？
教师寄语
愿你用勤奋的汗水 浇灌智慧的花朵
C
E
动脑思考，变式训练
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？ 证明： ∵ △ABC 是等边三角形， E ∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵ DE∥BC， ∴ ∠B =∠D，∠C =∠E． ∴ ∠EAD =∠D =∠E． ∴ △ADE 是等边三角形． B D
B
C
B
C
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形； 区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形 只有两条.
探索星空：探究性质一
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?
∵ AB=AC=BC
B A
∴ ∠A=∠B=∠C(在同一个 三角形中等边对等角) ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60°
…
知识回顾
名 称 等 腰 三 角 形 图 形
A
性
质
判
定
两腰相等 等边对等角
两边相等 等角对等边
B
C
三线合一
轴对称图形
等边三角形: 三条边都相等的三角形. (正三角形) 等边三角形是特殊的等腰三角形.
创设情境，导入新知
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合 你画的图形说出它们有什么区别和联系？ A A
A
C
这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴 ,将此图变成四个等边三角形.
提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么 想想里面吧.
等边三角形的性质:
名 称
等 边 三 角 B 形
图 形
性 三条边都相等
质
A
三个角都相等，且都为60°
C
三线合一 轴对称图形，有三条对称轴
等边三角形的判定:
名 称
等 边 三 角 B 形
图形 边 角 轴对称图形
等腰 三角形
等边 三角形
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
两底角相等 （等边对等角）
？
是（三线合一） 一条对称轴
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
图形 边 角 轴对称图形
等腰 三角形
等边 三角形
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
图 形
判
定
三条边都相等的三角形
A
三个角都等于60°的三角形
C
有一个角等于60°的等腰
三角形
将两个含有30°的直角三角板如图摆放在 一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直 角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
A
B
C
D
∵△ABC与△ADC关于AC轴对称 ∴AB＝AD △ABD是等边三角形 又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝1/2AB A 你还能用其他 方法证明吗?
B C A
细心观察，探索性质
等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 符号语言： 在△ABC 中， ∵ ∠A=∠B =∠C ， ∴ △ABC 是等边三角形． A C
B
细心观察，探索性质
已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵ ∠A =∠B，∠B =∠C ， ∴ BC =AC， AC =AB． ∴ AB =BC =AC． ∴ △ABC 是等边三角形． A C
是（三线合一） 三条对称轴
百度文库
细心观察，探索性质
问题 等边三角形除了用定义（即用边）来判定以 外，能否利用角来判定呢？ 思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等 边三角形？
思考2
形？
一个等腰三角形满足什么条件是等边三角
三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三 角形．
探索星空：探究判定一
1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形? ∵ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ AB=AC=BC (在同一个三 角形中等角对等边) ∴ △ABC是等边三角形
C
细心观察，探索性质
等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等 于60°. A 符号语言： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠B =∠C =60°． B
C
探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什 么? A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角 的平分线都三线合一。（ 所有的高线，角平分 线，中线的长度相等。）
C
细心观察，探索性质
已知：△ABC 是等边三角形 求证：∠A =∠B =∠C =60°．
证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BC =AC，BC =AB． ∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ． ∴ ∠A =∠B =∠C ． ∵ ∠A +∠B +∠C =180°， B ∴ ∠A =60°． ∴ ∠A =∠B =∠C =60°． A
B
探索星空：探究判定二
2、有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形?
A
当顶角为60°时，两个底角各为60°. 当底角为60°时，顶角为60°.
B
C
细心观察，探索性质
等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 符号语言： 在△ABC 中， ∵ BC =AC，∠A =60°， ∴ △ABC 是等边三角形． A C
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
在直角△ABC中 ∵∠A＝30° ∴AC＝2BC
┓ B
C
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
B
D A E C
探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别
得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？ （1）在边AB，AC，分别截取AD=AE （2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上 A （3）过边AB上D点，作DE∥BC，交 AC于E点 D E
B
C
动脑思考，例题解析
例1 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分 别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形. 证明： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠B =∠C =60°． ∵ DE∥BC， ∴ ∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴ ∠A=∠ADE =∠AED． D ∴ △ADE 是等边三角形． B 追问 本题还有其他证法吗？ A
•3.有一个内角等于60 °的等腰三角 形是等边三角形.
例4
等边三角形ABC的周长等于21㎝， 求：（1）各边的长； （2）各角的度数。 B C 解：（1）∵AB＝BC＝CA， 又 ∵AB＋BC＋CA＝21㎝（已知） ∴AB＝BC＝CA＝21/3＝7（㎝） （2）∵AB＝BC＝CA，（已知） ∴∠A ＝∠B＝∠C＝60° （等边三角形的每个内角都等于60°）