包 络 定 理

求偏导数，特别注意它们是 g 和 h 在保持 x1 和 x2 于其最优值不变的条件下对 a 的导 数。包络定理的证明为一直接的计算。微分恒等式（2） ，得
dM g dx1 g dx 2 g da x1 da x 2 da a
运用一阶条件（1）进行替代，得
dM h dx1 h dx 2 g da x1 da x 2 da a
这就是所求的结果。 以效用极大化为例， MaxU
u( x1, x2)
s.t. P1x1 P 2 x 2 M
MaxL u ( x1, x 2) ( P1 x1 P 2 x 2 M )
直接套用包络定理，就得到：
L* L* u * L* u * * ， * x1* ， * x 2* M P1 P1 P 2 P 2 L* L* u * L* u * * * * 证明： ， x1 ， * x 2* M P1 P1 P 2 P 2

x1* u* x 2* u* * * P1) * P 2) ( ( ( P1 x1* P 2 x 2* M ) * x1* * x1* P1 x1 P 2 x 2 P1
最后一个等式利用到了一阶条件。
L* u * 同理可证： * x 2* P 2 P 2
M (a) f ( x(a ), a )
对恒等式两边求微分，我们有
dM ( a ) f ( x ( a ), a ) x( a ) f ( x( a ), a ) da x a a
由于 x (a)是能够使 f 最大化的 x 值，我们知道
f ( x ( a ), a ) 0 x
把它代入上面的表达式，我们有
记之为
dM ( a ) f ( x( a ), a ) da a dM (a ) f ( x(a ), a) da a
x x ( a )*
换句话说，值函数关于参数的全导数，等于在最优点求导的偏导数。这就是包络定理 的最简洁形式。为什么会这样呢？当 a 变化时，有两个结果：a 的变化直接影响 f, a 的变化 影响 x 然后影响到 f。但如果 x 是最优选择，x 的微小变化对 f 没有影响，所以间接效果消 失了，只剩下直接效果。 以利润最大化问题为例，厂商在价格既定条件下的利润最大化的优化问题为：
包络定理
1. 假设 f (x, a) 是 x 和 a 的一个函数。其中 a 解释为决定于所研究问题之外的一个参数 （外生变量） ，x 解释为我们所希望研究的变量（内生变量） 。对于每一个不同的 a 值，都 会有不同的 x 的最优选择。我们再定义（最优的）值函数，M (a) = f（x (a), a） 。它告诉我 们，对于不同的 a 值，f 的最优值是什么。在经济学中，我们通常对在参数 a 变化时最优值 如何变化感兴趣。于是，有了计算这一变化的简化方法。根椐定义，我们有
L* u ( x1* ( P1, P 2, M ), x 2* ( P1, P 2, M )) * ( P1, P 2, M ) ( P1 x1* ( P1, P 2, M )1 P 2 x 2* ( P1, P 2, M ) M )
L* u* x1* u* x 2* * x1* x 2* * * * P2 1) ( P1x1 P 2 x 2 M ) ( P1 M x1 M x 2 M M M M
h( x1, x 2, a ) 0
（1）
这些条件决定最优选择函数 ( x1( a ), x 2( a )) ，该函数又决定极大值函数
M ( a ) g ( x1( a ), x 2 ( a ), a )
（2）
包络定理给出了在极大化问பைடு நூலகம்中值函数关于一个参数的导数的公式
dM (a) L( x, a) g ( x1, x2, a) h( x1, x 2, a) da a x x ( a ) a a x x ( a ) x x(a )
* Q * K * Q * L* K * L* * P P Q r w K P L P P P P * * * * K Q L Q r) w) Q* Q* （最后一个等号是因为代入了一阶条件） (P (P K L P P
现在看到，最优选择函数必须恒满足约束 a 求微分，我们有
（3）
h( x1( a ), x 2( a ), a ) 0 。对这一恒等式关于
（4）
h dx1 h dx 2 h 0 x1 da x 2 da a
将（4）代入（3） ，得
dM h g da a a
以成本最小化为例：
M in C rK w L
K ,L
s.t q q ( K , L )
Min rK wL (q ( L, K ) q )
K , L ,
直接套用包络定理，就得到：
L* L* C * L* C * * ， L* K* 和 w w r r q
Max ( K , L) PQ ( K , L) wL rK
我们可以把利润函数看作是值函数， P , w 和 r 是外生参数，则最优利润对外生参数
* Q* ， 求导，就等于目标函数的偏导数在最优选择处取值，则直接可以得到 p
* * L* ， K * 这就是说所谓的 Hotelling Lemma。 w r
2. 考虑如下形式的一个参数化的极大化问题
M (a) max g ( x1, x 2, a)
x1, x 2
s.t.
h( x1, x 2, a) 0
这一问题的拉格朗日函数为：
L g ( x1, x 2, a ) h( x1, x 2, a )
F.O.C
g h 0 x1 x1 g h 0 x 2 x 2
x1* u * x 2* u * * ( ( ( p1 x1* p 2 x 2* M ) * * * P1) * P 2) M x1 M x 2 M
最后一个等式利用到了一阶条件。
L* u * u * x1* u* x 2* * x1* x 2* * * * P2 ( P1 x1 P 2 x 2 M ) ( x1 * P1 ) P1 P1 x1 P1 x 2 P1 P1 P 2 P1
以上的结果就是所谓的 Shephard Lemma。
以支出最小化为例：
Min e P1 x1 P 2 x 2
x1, x 2
s.t. U ( x1, x 2) u
x1, x 2,
Min L P1 x1 P 2 x 2 u ( x1, x 2) u
直接套用包络定理，就得到：
e( p1, p 2; u ) e( p1, p 2; u ) h1( p1, p 2; u ) 和 h 2( p1, p 2; u ) p1 p 2
直接证明。
Max ( K , L) PQ ( K , L) wL rK
F.O.C
PQk r 0 K
PQL w 0 得到 K * K (r , w; P ) 和 L* L( r , w; P ) L
* = (K * , L* ) PQ ( K (r , w, P ), L (r , w, P )) rK (r , w, P ) wL (r , w, P )