平面向量的应用-课件
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人教A版数学《平面向量的应用》精品系列-ppt1
6.4平面向量的应用2-山东省枣庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件( 共33张P PT)
解：不妨设|F1|=|F2| ，由向量的 平行四边形法则，力的平衡以 及直角三角形的知识，可以知道
|G| |F1|=
2cos 2
6.4平面向量的应用2-山东省枣庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件( 共33张P PT)
当
co
s
2
1 2
,
即θ=120º时， |F1|=|G|
6.4平面向量的应用2-山东省枣庄市第 八中学 人教版 高中数 学新教 材必修 第二册 课件( 共33张P PT)
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探究二：
生活中常遇到两根等长的绳子
OA (0, a), BA (c, a),OC (c,0), BC (2c,0) ．
因为 BB,CC ′都是中线，
所以 BB ' 1 (BC BA) (3c , a ) ，
,
2
22
同理 CC ' ( 3c , a ) ． 22
因为 BB CC ，
所以 9 c2 a 2 0 , a2 9c2 ． 44
人教A版数学《平面向量的应用》精品 系列-p pt1
向量也可以坐标运算，那么本题可以如何建立直角坐标系，设 点的坐标转化为向量的坐标进行运算呢？
解:如图建立平面直角坐标系,设 B(a, 0), D(b, c) ,则 C(a b, c)
AB (a,0), AD (b,c),
AC (a b,c), DB (a b, c)
| AB | a,| AD | b2 c2 , | AC | (a b)2 c2 ,| DB | (a b)2 c2
《平面向量应用举例》高一年级下册PPT课件
第二章 平面向量
[解析] 以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)， 则A→C＝(3，－4)． ∵点 M 是边 AC 上靠近点 A 的一个三等分点， ∴A→M＝31A→C＝(1，－43)，
8
∴M(4，3)，
第二章 平面向量
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线 段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a· b＝0(或 x1x2＋y1y2＝0)
_______________________________.
a· b cosθ＝|a ||b|
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.
第二章 平面向量
∴B→M＝(4，8)．
3
假设在 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM， 设B→P＝λB→M，且 0<λ<1， 即B→P＝λB→M＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)， ∴C→P＝C→B＋B→P＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)． ∵PC⊥BM，∴C→P· B→M＝0，
第二章 平面向量
[解析] A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j， (1)F1所做的功 W1＝F1· s＝F1· A→B ＝(i＋j)· (－13i－15j)＝－28； F2 所做的功 W2＝F2· s＝F2· A→B ＝(4i－5j)· (－13i－15j)＝23. (2)因为 F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 所做的功 W＝F· s＝F· A→B ＝(5i－4j)· (－13i－15j)＝－5.
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
《平面向量的应用》平面向量及其应用PPT(第一课时余弦定理)
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3．在△ABC 中，若(a－ccos B)b＝(b－ccos A)a，判断△ABC 的形状．
解析：由余弦定理，原式可化为 (a－c·a2＋2ca2c－b2)b＝(b－c·b2＋2cb2c－a2)a， 整理得，(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 故 a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2， 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
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知识点二 余弦定理的推论 预习教材，思考问题 在△ABC 中，已知三条边，如何求出其三个内角？
[提示] 可将余弦定理中的三个公式变形为 cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2，在结合三角形内角和定理求解．
(2)把 b＝3，c＝3 3，B＝30°代入 b2＝a2＋c2－2accos B，可得 32＝a2＋(3 3)2－
2a·3 3·cos 30°，即 a2－9a＋18＝0，解得 a＝6 或 a＝3.
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已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边的夹角，还是其中 一边的对角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一 边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三条边．
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[教材提炼] 知识点一 余弦定理 预习教材，思考问题 (1)已知一个三角形的两条边及其它们的夹角，这个三角形的大小、形状能完全确定 吗？
第二十七讲 平面向量的应用课件.ppt
答案 －14
评析 本题考查平面向量加减法的几何运算、平面向量的 数量积运算，考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思 想等数学思想方法．
3．将 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移，则 平移后所得图像的解析式为( )
A．y＝2cosx3＋π4－2 B．y＝2cosx3－π4＋2 C．y＝2cosx3－1π2－2 D．y＝2cosx3＋1π2＋2
解析 函数 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移后所得图像解析式为 y＝2cos13x＋π4＋π6－2＝2cos13x＋π4－2，所以选 A.
答案 A
4．若直线 2x－y＋c＝0 按向量 a＝(1，－1)平移后与圆 x2
＋y2＝5 相切，则 c 的值为( )
A．8 或－2
B．6 或－4
②通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
【典例 1】 如图，正方形 OABC 两边 AB，BC 的中点分 别为 D 和 E，求∠DOE 的余弦值．
[分析] 把∠DOE 转化为向量夹角．
[解] 解法一：O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋12A→B，
O→E＝O→C＋C→E＝O→C＋12C→B，
2．向量应用的分类概述 (1)应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和 不等式为背景的一种向量描述，它需要掌握向量的概念及基 本运算，并能根据题设条件构造合适的向量，利用向量的 “数”、“形”两重性解决问题． (2)平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背 景的一种向量描述，它需要根据向量的运算性质将向量问题 转化为三角函数的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．
＝0 且 2(a·b)＝|a|·|b|，则由向量 a·b，c 构成的三角形的三个内
评析 本题考查平面向量加减法的几何运算、平面向量的 数量积运算，考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思 想等数学思想方法．
3．将 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移，则 平移后所得图像的解析式为( )
A．y＝2cosx3＋π4－2 B．y＝2cosx3－π4＋2 C．y＝2cosx3－1π2－2 D．y＝2cosx3＋1π2＋2
解析 函数 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移后所得图像解析式为 y＝2cos13x＋π4＋π6－2＝2cos13x＋π4－2，所以选 A.
答案 A
4．若直线 2x－y＋c＝0 按向量 a＝(1，－1)平移后与圆 x2
＋y2＝5 相切，则 c 的值为( )
A．8 或－2
B．6 或－4
②通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
【典例 1】 如图，正方形 OABC 两边 AB，BC 的中点分 别为 D 和 E，求∠DOE 的余弦值．
[分析] 把∠DOE 转化为向量夹角．
[解] 解法一：O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋12A→B，
O→E＝O→C＋C→E＝O→C＋12C→B，
2．向量应用的分类概述 (1)应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和 不等式为背景的一种向量描述，它需要掌握向量的概念及基 本运算，并能根据题设条件构造合适的向量，利用向量的 “数”、“形”两重性解决问题． (2)平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背 景的一种向量描述，它需要根据向量的运算性质将向量问题 转化为三角函数的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．
＝0 且 2(a·b)＝|a|·|b|，则由向量 a·b，c 构成的三角形的三个内
《平面向量的应用》平面向量及其应用 PPT教学课件 (第二课时正弦定理)
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同理，过点 C 作与C→B垂直的单位向量 m，可得sinc C＝sinb B. 因此sina A＝sinb B＝sinc C. 在钝角三角形中的这个边角关系也成立．
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知识梳理 正弦定理
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法二：由sina A＝cobs B＝cocs C 得sina A＝cobs B＝cocs C，① 把 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 代入①， 得 2R＝2Rtan B＝2Rtan C， ∴tan B＝tan C＝1， 又 0°<B<180°，0°<C<180°， ∴B＝C＝45°，A＝90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．
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[教材提炼] 知识点一 正弦定理 预习教材，思考问题 (1)在△ABC 中，若 A＝30°，B＝45°，AC＝4，你还能直接运用余弦定理求出边 BC 吗？
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2．在△ABC 中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则 b＝( )
A．5 2
B．10 2
C．10 6
D．5 6
解析：由正弦定理sina A＝sinb B得 b＝assiinnAB＝10s×insi4n5°30°＝5 2.
答案：A
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3．在△ABC 中，若 A＝30°，a＝2，b＝2 3，则此三角形解的个数为( )
平面向量的应用优秀课件
又 c d , c d 0 2 而 c d [ a ( x 3 )b ] [ y a x b ] 2 2 2 2 y a ( x x 3 )a b x ( x 3 )b y x 3x
圆在 y 轴正半轴上的焦点
, 已知 PF 与
FQ 共线 , 且 PF MF 0 . 求四边形 PMQN 的面积的最小值 和最大值 .
[解析] 如图 , 又条件知 MN 和 PQ 是椭
圆的两条弦
, 相交于焦点
F ( 0 ,1 ), 且 PQ
MN , 直线 PQ 、 MN 中至少有一条存 在斜率 , 不妨设 PQ y P 的斜率为 k , 又 PQ 过 M 点 F ( 0 ,1 ), 故 PQ 方程 Q 为 y kx 1 . 将此代1 , c cos sin 1 2 2 (bc)( bc) b c 0 (bc) (bc).
[解]
2 2 b 1 , c cos sin 1 2 2 (bc)( bc) b c 0 (bc) (bc).
2 2 2 2 2
双曲线方程可化为 2 x y 2a 设直线方程为 y x m , y xm 由 2 得： 2 2 2 x y 2a 2 2 2 x 2 mx m 2 a 0 4 m 4(m 2a ) 0
2 2 2
直线一定与双曲线相交 . 设 P ( x 1 , y 1 )、 Q ( x 2 , y 2 ), 则 x1 x 2 2 m , x1 x 2 m 2a
平面向量的应用
第一课时：
平面向量在代数、三角及平面几何上的应用
《平面向量及其应用——平面向量基本定理及坐标表示》数学教学PPT课件(5篇)
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不 能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
若 AD 是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，则以{a，b}为基
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
故B→A＝B→P＋P→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得2λ＋λ＋2μμ＝＝22，，
解得μλ＝＝2323，. 所以A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， 所以 AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．如图在矩形 ABCD 中，若B→C＝5e1，D→C＝3e2，则O→C＝( )
A.12(5e1＋3e2)
B.12(5e1－3e2)
C.12(3e2－5e1)
D.12(5e2－3e1)
解析：选 A.O→C＝12A→C＝12(B→C＋A→B)
＝12(B→C＋D→C)＝12(5e1＋3e2)．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不 能作为基底的是( )
A．2e1，3e2 C．e1，5e2 答案：B
B．e1＋e2，3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
若 AD 是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，则以{a，b}为基
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
故B→A＝B→P＋P→A＝B→P－A→P＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2. 而B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理， 得2λ＋λ＋2μμ＝＝22，，
解得μλ＝＝2323，. 所以A→P＝23A→M，B→P＝23B→N， 所以 AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
1．如图在矩形 ABCD 中，若B→C＝5e1，D→C＝3e2，则O→C＝( )
A.12(5e1＋3e2)
B.12(5e1－3e2)
C.12(3e2－5e1)
D.12(5e2－3e1)
解析：选 A.O→C＝12A→C＝12(B→C＋A→B)
＝12(B→C＋D→C)＝12(5e1＋3e2)．
栏目 导引
《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (向量的加法运算)
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探究三 向量加法的实际应用
[例 3] 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长
江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为
向东 6 km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解析：设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按 南偏东 55°的方向飞行 800 km， 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600 (km)， 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
→ 因为 tan ∠CAB＝|B→C|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.
|AB| 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约ห้องสมุดไป่ตู้ 68°.
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向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的 相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量． (2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题 转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
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1．如图，已知 a、b，求作 a＋b. 解析： ①A→C＝a＋b ②A→C＝a＋b
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探究二 向量加法的运算律 [例 2] (1)化简下列各式： ①A→B＋B→C＋C→D＋D→A； ②(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M. (2)如图，四边形 ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD， CD＝2AB，E 为 CD 的中点．试求： ①A→B＋A→E；②A→B＋A→C＋E→C； ③C→D＋A→C＋D→B＋E→C.
平面向量应用举例PPT课件
化的主要手段是向量的坐标运算.( )
(4)在△ABC中，若
则△ABC为钝角三角形.( )
AB AC，
AB BC＜0，
【解析】( 1)正确 .因为
有相同 的起点 A，故 A，B， C三点 共线， 故正确.
(2)正确. 解析几 何中的 坐标、 直线平 行、垂 直、长 度等问 题可利 用向量 的共线 、数量 积、模 等知识 解决， 故正确.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【解析】 选B.由 题意可 知，
则CM CB
CM CB＝(CA＋1 AB) CB 3
＝CA CB＋1 AB CB 3
＝0＋1 3 2 3cos45＝3. 3
BM＝2MA，
4.在△ABC中，已知向量 满足 则△ABC为( )
(A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3( 单位： 牛顿) 的作用 而处于平衡状态，已知F1,F2成60°角， 且F1,F2的大小 分别 为2和4，则F3的大小为( ) 【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所 以|F3|= 选D.
A6B2C2 5D2 7
②用含θ 的关系 式表示m,n，然 后转化 为三角 函数的 最值问 题
求解.
| BC BA | 2
【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos θ)，b=(-1,2cos θ)， ∵a⊥b， ∴a·b=0， ∴-1+2co s2θ=cos 2θ= 0，故 选C.
2① | BC BA |2 | AC |2 ( 2cos 1)2 ( 2sin 1)2
AB AC且AB,AC
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：/ke j ia n/dili/
历史课件：/ke j ia n/lishi/
)
(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ×
)
(3)向量的模是一个正实数．(× )
手抄报：/shouchaobao/
P P T课件：/ke j ia n/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．向量的有关概念
P P T模板：/m oba n/
PPT素材：/sucai/
P P T背景：/be ij ing/
PPT图表：/tubiao/
PPT下载：/xiazai/
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：/ziliao/
个人简历：/j ia nli/
PPT图表：/tubiao/
PPT下载：/xiazai/
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：/ziliao/
个人简历：/j ia nli/
试卷下载：/shiti/
教案下载：/j ia oa n/
手抄报：/shouchaobao/
P P T课件：/ke j ia n/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
《平面向量的概念》平面向量及其应用 PPT教学课件
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知识梳理
名称 大小 方向
零向量 0
任意的
单位向量 1 规定了方向
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知识点五 向量的关系 预习教材，思考问题 (1)向量由其模和方向所确定．对于两个向量 a，b，就其模等与不等，方向同与不同 而言，有哪几种可能情形？
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探究三 相等向量与共线向量 [例 3] 如图，四边形 ABCD 为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交 点，从中选取两个交点作为向量，则与A→C平行且长度为 2 2的向量个数有________ 个．
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[解析] 如图所示，满足与A→C平行且长度为 2 2的向量有A→F，F→A， E→C，C→E，G→H，H→G，→IJ，→JI共 8 个．
[答案] 8
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相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是 同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向 与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终 点的向量． 提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量.
[自主检测] )
B．拉力 D．压强
解析：拉力既有大小又有方向，是向量，其余均是数量．
答案：B
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2．下列说法正确的是( ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为 1 的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
11《平面向量的应用》平面向量及其应用 PPT教学课件 (第四课时余弦定理、正弦定理应用举例)
解析：如图，在 A 处望 B 处的仰角 α 与从 B 处望 A 处的俯角 β 是内错角，根据水平 线平行，得 α＝β.
答案：B
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3．如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯
塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，则
在△BCD 中，∠BDC＝120°，∠DBC＝30°，
由正弦定理 sin
B∠CBDC＝sin
D∠CDBC得
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DC＝BCsi·nsin∠∠BDDCBC＝40s×ins1in203°0°＝403 3 (m)． ∴甲楼高为 20 3 m，乙楼高为403 3 m.
答案：20 3 m
40 3 3m
∴AB＝ 46a.
答：蓝方这两支精锐部队之间的距离为
6 4 a.
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探究二 求高度问题 [例 2] 在平地上有 A、B 两点，点 A 在山坡 D 的正东，点 B 在山坡 D 的东南，而 且在 A 的南偏西 15°，且距 A 为 150 2 m 的地方，在 A 处测山坡顶 C 的仰角为 30°， 求山坡的高度．
必修第二册·人教数学A版
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3．甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60°的方向，两船相距 a 海里，乙船正 向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的 3倍，则甲船应沿________方向行驶才能追 上乙船．
解析：如图，设到点 C 甲船追上乙船，甲船追上乙船所用的 时间为 t 小时，乙船的速度为 v 海里/小时． 则 BC＝vt，AC＝ 3vt，∠ABC＝120°， ∴在△ABC 中，由正弦定理sin B∠CCAB＝sin A∠CABC得
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
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4
t
当t
4
4
2 时， k
t2
4
7
取最大值
。
t
4
例4 已知 a( 3,1),b(1, 3),且存在实数k和t,
使得：xa(t2 23)2b, ykatb,
且 x y , 求：k t 2 的最大值。
t
变式：已知向量 a(cos,sin),b(cos,sin),且 a , b
满足关系 kab 3akb（, k 为正实数）
（1）求将a 与b 的数量积表示为关于 k 的函数 f ( k )
（2）求函数 f ( k )的最小值及取得最小值时a 与b 的夹角
四、向量在平面解析几何中的应用
例5.若直线2xyc0按向量 a(1,1)平移
后与圆 x2 y2 5 相切，则c的值是（ A）
（A)8或-2,（B)6或-4（, C)4或-6,（D)2或-8
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月28日星期 日2021/2/282021/2/282021/2/28
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/282021/2/28Februar y 28, 2021
2
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) k a b与 a 3b 垂直？
解（：1）k a b=k(1,2)+(-3,2=) (K-
a 3b=(1,2)-3(-3,2) =3(,120k,+42) )
ka b a 3 b (k a b )(a 3 b ) 0
得：10(k-3)-4(2k+2)=0解得: K=9.
K=9 k a b与 a 3b 垂直。
时
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) k a b与 a 3b 垂直？
（2）k a b 与 a 3b 平行？
平行时，它们是同向还是反向？
解：由题意得：10(2k+2)+4(k-3)=0解. 得：k 1
证明： 设 a (x 1 ,y 1 ),b (x 2 ,y 2 ) m a n b ( m x 1 n x 2 ,m y 1 n y 2 )
f ( m a n b ) ( m x 1 n x 2 , 2 m y 1 2 n y 2 m x 1 n x 2 ) m f( a ) ( m x 1 ,2 m y 1 m x 1 ) n f( b ) ( n x 2 ,2 n y 2 n x 2 ) f( m a n b ) m f( a ) n f( b )
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/282021/2/282021/2/28Feb-2128-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/282021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021
解析：平移后的直线方程为：2xy3c0
由 d r 得 c 3 5 , 得c=8或-2
5
变式：已知直线 axbyc0与圆o
x2 y2 1 相12 交于A,B两点，且AB 3,
则 O AO B_______
例6.已知点 H(3,0), 点P 在 y 轴上，点Q在x
轴的正半轴上，点M直线PQ上，且满足：
x1 x2y1 y2 x12y12 x22y22
2.用向量法处理垂直
a b ab0x1x2y1y20
3.用向量法处理平行 a （ b b 0 ) 有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 a b
x1y2x2 y10
4.用向量法处理向量的模：
2
a
a
2
二、基础应用
例1.已知 a 与 b 是非零向量，且 abab
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/282021/2/282021/2/282021/2/28
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
例4 已知 a( 3,1),b(1, 3),且存在实数k和t,
使得：xa(t2 23)2b, ykatb,
且 x y , 求：k t 2 的最大值。
解：
t
t23
3(t23)
x( 3 ,1
)
2
2
y( 31t,k 3t)
2
2
由 x y , 及其充要条件可得：k t (t 2 3)
kt2 3t2 t1(t 2)2 7
求 a 与 a b 的夹22
2
由 b a b ，得 ba ba 2 a b b
2
∴ 2a b a
22
2
22
2
∴ a b a 2 a b b 2 a a 3 a
∴ ab 3a
∴ cos a (a b)
2
a a b
a2 1 2
2
a
3
a ab a 3 a a 3 a
HPPM0,PM3MQ, 2
当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程。
五、小结
1.向量的基本知识点 2.向量在代数中的应用 3.向量在平面解析几何中的应用
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021 5:48:16 PM
k 1 时 k a b 与 a 3b 平行
3
3
此时 kab1(a3b)
3
k a b与 a 3b 反向.
三、向量在代数中的应用
例3. 已知向量 u (x, y)与 v(x,2yx)
的对应关系记作 v f (u)
求证：对于任意向量 a , b 及常数 m , n
恒有f(m a n b ) m f(a ) n f(b )
高考数学复习 强化双基系列课件
12《平面向量 －平面向量的应用》
1. 知识精讲: 掌握向量的概念、坐 标表示、运算性质，做到融会贯通， 能应用向量的有关性质解决诸如平 面几何、解析几何等的问题.
一、知识回顾
设向量 a(x1, y1) 与 b(x2,y2)的夹角为
1.用向量法求角
cos
ab
ab