链接高考：导数的概念及运算

导数的概念与运算
【考纲解读】
1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景． （2）理解导数的几何意义． 2．导数的运算
（1）能根据导数定义，求函数x y x
y x y x y x y c y ======,1,,,,3
2的导数．
（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
（3）基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：
()0C '=（C 为常数）
， 1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1
();()ln (0,1);(ln );
1
(log )log (0,1)
n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x x
x e a a x -+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且
法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='
±
法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='
法则3：)0)(()()
()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为：
1. 导数是历年来高考重点内容之一，导数的运算及几何意义的考查，经常以选择题与填空题的形式出现，还常在解答题中用导数来解决函数问题，在考查导数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力。

2. 高考将会继续保持稳定，坚持考查导数的运算及几何意义，命题形式会更加灵活。

【要点梳理】 1.导数的概念
(1)f(x)在x=x 0处的导数就是f(x)在x=x 0处的瞬时变化率，记作:0/|x x y =或f /(x 0),即
f /(x 0)=000()()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆.
(2)当把上式中的x 0看作变量x 时, f /(x)即为f(x)的导函数,简称导数,即
''()y f x ==0()()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆.
2.导数的几何意义:函数f(x)在x=x 0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率k= f /(x 0),切线方程为'000()()y y f x x x -=-.
3.基本初等函数的导数公式
1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1
();()ln (0,1);(ln );
1
(log )log (0,1)
n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x x
x e a a x -+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且
4.两个函数的四则运算法则 若u(x),v(x)的导数都存在,则 法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='
±
法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='
法则3：)0)(()()
()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u .
【例题精析】
考点一 导数的概念及几何意义
例1.（全国卷文科13）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________
1.（江西卷文科4)曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）
A.1
B.2
C.e
D.1
e
例2. (全国2卷理数10）若曲线1
2
y x -=在点12,a a -⎛
⎫ ⎪⎝⎭
处的切线与两个坐标围成的
三角形的面积为18，则a =（ ）
（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8
2． (江西卷文科4)若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0
【课时作业】
1．（山东省济南一中高三上学期期末）设曲线1
1
x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2
B ． 2-
C ． 1
2
-
D.
12
2．(宁夏卷文科4)曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（ ） （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ 【答案】A
【解析】232y x '=-，所以1
1x k y ='
==，所以选A ．
3．（全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ）
(A) 1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 【答案】A 【解析】∵
2x y x a
a
='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =.
4. (宁夏卷3）曲线
2
x
y
x
=
+
在点（-1，-1）处的切线方程为(
)
A.y=2x+1
B.y=2x-1
C. y=-2x-3
D.y=-2x-2
5．（辽宁卷文科12）已知点P在曲线
4
1
x
y
e
=
+
上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
(A)[0,
4
π
) (B)[,)
42
ππ
(C)
3
(,]
24
ππ
(D)
3
[,)
4
π
π
【答案】D
【解析】
2
44
1
212
x
x x
x
x
e
y
e e e
e
'=-=-
++++
，
1
2,10
x
x
e y
e
'
+≥∴-≤<，即1tan0
α
-≤<，
3
[,)
4
π
απ
∴∈.
6．(福建省福州市高中毕业班质量检查理科)函数)
(
)
(3R
x
ax
x
x
f∈
+
=在1
=
x处有极值，则曲线)
(x
f
y=在原点处的切线方程是___ __.
1．（重庆卷文科3)曲线32
3
y x x
=-+在点（1，2）处的切线方程为( ) A．31
y x
=-B．35
y x
=-+
C．35
y x
=+D．2
y x
=
【答案】A
【解析】由导数的几何意义知：切线的斜率为3，所以切线方程为31
y x
=-. 2．（山东卷文科4)曲线211
y x
=+在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15
3．(全国卷理科8)曲线y=2x
e-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
(A)1
3
(B)
1
2
(C)
2
3
(D)1
【答案】A
【解析】：2
'2x
y e-
=-，2
k=-，切线方程为22
y x
-=-
由
2
3
222
3
x
y x
y x
y
⎧
=
⎪
=
⎧⎪
⎨⎨
=-+
⎩⎪=
⎪⎩
得则
121
1.
233
S=⨯⨯=故选A.
4．（湖南卷文科7)曲线
sin1
sin cos2
x
y
x x
=-
+
在点(,0)
4
M
π
处的切线的斜率为
（）
A．
1
2
-B．
1
2
C．
2
2
-D．
2
2
5．(广东卷理科12)曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为.
【答案】210
x y
-+=
【解析】因为'2
31
y x
=-,所以切线的斜率为2，故所求的切线方程为210
x y
-+=. 6．(山东卷文科22)已知函数ln
()(
e x
x k
f x k
+
=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()
y f x
=在点(1,(1))
f处的切线与x轴平行.求k的值.。