专题03 三角函数、三角恒等变换与解三角形-备战高考数学二轮复习之重点专题考前回扣
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相关公式：(1)l＝ |α|r . (2)S＝12lr＝__12_|α_|r_2_.
பைடு நூலகம்
6.利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y. (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x. (3)yx叫做 α 的正切，记作 tan α，即 tan α＝yx(x≠0). 7.同角三角函数的基本关系
考前回扣
回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形
回归教材 1.终边相同角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ _{_β_|β_＝__α_＋___k_·3_6_0_°_，__k_∈__Z__}__，即任一与角α终边相同的角，都可以表示 成角α与整数个周角的和. 2.几种特殊位置的角的集合 (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：_{_α_|α_＝__k_·_3_6_0_°，__k_∈__Z__}__. (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：_{_α_|α_＝__1_8_0_°_＋__k_·_3_6_0_°，__k_∈__Z__}___. (3)终边在x轴上的角的集合：_{α__|α_＝__k_·1_8_0_°_，__k_∈__Z__}__. (4)终边在y轴上的角的集合：{_α_|_α_＝__9_0_°_＋__k·_1_8_0_°_，__k_∈__Z_}___. (5)终边在坐标轴上的角的集合：_{_α_|α_＝__k_·_9_0_°，__k_∈__Z__}__.
时，需把ω的符号化为正值后求解.
4.三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)
的图象时，平移量为
φ
ω
，而不是φ.
5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是
否满足“大边对大角”，避免增解.
谢谢！
[2kπ，π＋ 2kπ](k∈Z)
对 对称轴 __x_＝__π2_＋__k_π_(_k∈__Z__)__ _x_＝__k_π_(_k_∈__Z_)_
称 对称 性 中心
__(_k_π_，__0_) _(k_∈__Z__)
_π2_＋__k_π_，__0_(_k_∈__Z_) ___k_2π_，__0__(k_∈__Z_)____
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝± 1－cos2α.
(2)商的关系：csoins αα＝tan αα≠kπ＋2πk∈Z.
8.三种三角函数的图象和性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x
图象
定义域 值域
__R__
R
_{x_|_x_≠__π2_＋__kπ__，__k∈__Z__}
S△ABC＝12bcsin A＝_12_a_c_s_in__B__＝__12_a_b_si_n_C___.
易错提醒
1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判
断函数值的符号.
2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.
3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0
――横―坐――标―变―纵―为―坐原―― 标来―不―的―变ω――ω―>―0―倍―→y＝sin(ωx＋φ)
―纵――坐――标―变―横―为坐―原―标―来―不的―变―A―A―>―0――倍→y＝Asin(ωx＋φ). 10.准确记忆六组诱导公式 对于“k2π±α，k∈Z”的三角函数值与 α 角的三角函数值的关系口诀： 奇变偶不变，符号看象限.
9.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)“五点法”作图 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π2，π，32π，2π，求出相应的 x 的值与 y 的值， 描点、连线可得.
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点 作为解题突破口.
(3)图象变换
y＝sin x―向――平左―移―φ―|>φ―0|个―或―单―向位―右―长―φ度―<―0→ y＝sin(x＋φ) 1
[－1,1] (有界性) [－1,1] (有界性)
_R___
零点
最小正 周期 奇偶性
_{_x_|_x_＝__kπ_，__k_∈__Z__}_ {x|x＝π ＋kπ，k∈Z} _{x_|_x_＝__k_π_，__k∈__Z__} 2
__2_π_
_2_π__
__π_
_奇___函数
_偶___函数
_奇___函数
tan α＋tan β tan(α＋β)＝_1_－__ta_n__α_ta_n__β_，
tan α－tan β tan(α－β)＝_1_＋__ta_n_α__ta_n_β__.
(2)二倍角公式： sin 2α＝ 2sin αcos α ， cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝2cos2α－1＝ 1－2sin2α ，
3.1弧度的角
在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示.
4.角度制与弧度制的换算 π
(1)1°＝___1_8_0_ rad.
(2)1 rad＝__1_π8_0__°_.
5.扇形的弧长和面积
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对 l
值是|α|＝__r__.
增区间 －π2＋2kπ ， 2π＋2kπ
单
(k∈Z)
_[－__π_＋__2_k_π_，_____ _－__π2_＋__kπ___，___π2_＋__k_π
_2_k_π_](_k_∈__Z_)_
_(_k_∈__Z_)_____
调
性 减区间 _π2_＋__2_k_π_，____32_π_＋_2_k_π___ (_k_∈__Z_)____
b
c
A＝__si_n_B___＝___si_n__C__＝2R(2R
为△ABC
外接圆的直径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
13.余弦定理及其推论、变形 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .
2tan α
tan 2α＝__1_－__t_a_n_2α___.
1－cos 2α
1＋cos 2α
(3)降幂公式：sin2α＝ 2 ，cos2α＝______2______.
(4)辅助角公式：
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 tan φ＝ba.
12.正弦定理及其变形
a sin
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
推论：cos A＝____2_b_c____，cos B＝____2_a_c____，cos C＝_____2_a_b______.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
a2＋b2－c2＝2abcos C.
14.面积公式
11.三角恒等变换 (1) cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β ， cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ， sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β ， sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，
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6.利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y. (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x. (3)yx叫做 α 的正切，记作 tan α，即 tan α＝yx(x≠0). 7.同角三角函数的基本关系
考前回扣
回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形
回归教材 1.终边相同角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ _{_β_|β_＝__α_＋___k_·3_6_0_°_，__k_∈__Z__}__，即任一与角α终边相同的角，都可以表示 成角α与整数个周角的和. 2.几种特殊位置的角的集合 (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：_{_α_|α_＝__k_·_3_6_0_°，__k_∈__Z__}__. (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：_{_α_|α_＝__1_8_0_°_＋__k_·_3_6_0_°，__k_∈__Z__}___. (3)终边在x轴上的角的集合：_{α__|α_＝__k_·1_8_0_°_，__k_∈__Z__}__. (4)终边在y轴上的角的集合：{_α_|_α_＝__9_0_°_＋__k·_1_8_0_°_，__k_∈__Z_}___. (5)终边在坐标轴上的角的集合：_{_α_|α_＝__k_·_9_0_°，__k_∈__Z__}__.
时，需把ω的符号化为正值后求解.
4.三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)
的图象时，平移量为
φ
ω
，而不是φ.
5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是
否满足“大边对大角”，避免增解.
谢谢！
[2kπ，π＋ 2kπ](k∈Z)
对 对称轴 __x_＝__π2_＋__k_π_(_k∈__Z__)__ _x_＝__k_π_(_k_∈__Z_)_
称 对称 性 中心
__(_k_π_，__0_) _(k_∈__Z__)
_π2_＋__k_π_，__0_(_k_∈__Z_) ___k_2π_，__0__(k_∈__Z_)____
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝± 1－cos2α.
(2)商的关系：csoins αα＝tan αα≠kπ＋2πk∈Z.
8.三种三角函数的图象和性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x
图象
定义域 值域
__R__
R
_{x_|_x_≠__π2_＋__kπ__，__k∈__Z__}
S△ABC＝12bcsin A＝_12_a_c_s_in__B__＝__12_a_b_si_n_C___.
易错提醒
1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判
断函数值的符号.
2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.
3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0
――横―坐――标―变―纵―为―坐原―― 标来―不―的―变ω――ω―>―0―倍―→y＝sin(ωx＋φ)
―纵――坐――标―变―横―为坐―原―标―来―不的―变―A―A―>―0――倍→y＝Asin(ωx＋φ). 10.准确记忆六组诱导公式 对于“k2π±α，k∈Z”的三角函数值与 α 角的三角函数值的关系口诀： 奇变偶不变，符号看象限.
9.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)“五点法”作图 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π2，π，32π，2π，求出相应的 x 的值与 y 的值， 描点、连线可得.
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点 作为解题突破口.
(3)图象变换
y＝sin x―向――平左―移―φ―|>φ―0|个―或―单―向位―右―长―φ度―<―0→ y＝sin(x＋φ) 1
[－1,1] (有界性) [－1,1] (有界性)
_R___
零点
最小正 周期 奇偶性
_{_x_|_x_＝__kπ_，__k_∈__Z__}_ {x|x＝π ＋kπ，k∈Z} _{x_|_x_＝__k_π_，__k∈__Z__} 2
__2_π_
_2_π__
__π_
_奇___函数
_偶___函数
_奇___函数
tan α＋tan β tan(α＋β)＝_1_－__ta_n__α_ta_n__β_，
tan α－tan β tan(α－β)＝_1_＋__ta_n_α__ta_n_β__.
(2)二倍角公式： sin 2α＝ 2sin αcos α ， cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝2cos2α－1＝ 1－2sin2α ，
3.1弧度的角
在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示.
4.角度制与弧度制的换算 π
(1)1°＝___1_8_0_ rad.
(2)1 rad＝__1_π8_0__°_.
5.扇形的弧长和面积
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对 l
值是|α|＝__r__.
增区间 －π2＋2kπ ， 2π＋2kπ
单
(k∈Z)
_[－__π_＋__2_k_π_，_____ _－__π2_＋__kπ___，___π2_＋__k_π
_2_k_π_](_k_∈__Z_)_
_(_k_∈__Z_)_____
调
性 减区间 _π2_＋__2_k_π_，____32_π_＋_2_k_π___ (_k_∈__Z_)____
b
c
A＝__si_n_B___＝___si_n__C__＝2R(2R
为△ABC
外接圆的直径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
13.余弦定理及其推论、变形 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .
2tan α
tan 2α＝__1_－__t_a_n_2α___.
1－cos 2α
1＋cos 2α
(3)降幂公式：sin2α＝ 2 ，cos2α＝______2______.
(4)辅助角公式：
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 tan φ＝ba.
12.正弦定理及其变形
a sin
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
推论：cos A＝____2_b_c____，cos B＝____2_a_c____，cos C＝_____2_a_b______.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
a2＋b2－c2＝2abcos C.
14.面积公式
11.三角恒等变换 (1) cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β ， cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ， sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β ， sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，