如何构造函数解题

构造函数解不等式

构造函数解不等式构造函数是数学中常用的一种方法，用于解不等式。

不等式是数学中常见的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系。

构造函数解不等式的过程可以帮助我们找到不等式的解集，从而求解各种实际问题。

本文将介绍构造函数解不等式的方法，并通过具体例子来说明其应用。

我们来了解一下构造函数的概念。

构造函数是一种将数学关系转化为函数关系的方法。

通过构造函数，我们可以将不等式转化为函数的形式，并通过函数的性质来求解不等式。

构造函数的基本思路是将不等式中的未知数表示为函数的自变量，并通过对函数的性质进行分析，来确定不等式的解集。

接下来，我们来看一个简单的例子来说明构造函数解不等式的方法。

假设我们要求解不等式2x-3<5。

首先，我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=2x-3。

然后，我们可以通过分析函数f(x)的性质来求解不等式。

由于2x-3是一个线性函数，其图像是一条直线，斜率为2，截距为-3。

我们知道直线的上方表示函数值大于直线上的点，直线的下方表示函数值小于直线上的点。

因此，不等式2x-3<5的解集是x的取值范围使得函数值小于5的区间。

根据函数f(x)的性质，我们可以得到解集为x<4。

上述例子展示了构造函数解不等式的基本思路和方法。

下面，我们来看一些更复杂的例子，以进一步说明构造函数解不等式的应用。

例子1：解不等式x^2-4<0我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=x^2-4。

然后，我们可以通过分析函数f(x)的性质来求解不等式。

由于x^2-4是一个二次函数，其图像是一个抛物线，开口向上，顶点为(0,-4)。

我们知道抛物线的上方表示函数值大于抛物线上的点，抛物线的下方表示函数值小于抛物线上的点。

因此，不等式x^2-4<0的解集是x的取值范围使得函数值小于0的区间。

根据函数f(x)的性质，我们可以得到解集为-2<x<2。

例子2：解不等式1/(x-1)>0我们可以将不等式转化为函数的形式，即f(x)=1/(x-1)。

构造函数解题的三个类型

构造函数解题的三个类型构造函数解题的三种类型构造函数解题是高考命题的热点之一。

根据笔者对近年高考题的研究，构造函数解题主要可以分为以下三种类型。

类型1：整体构造一个函数。

这是最常见的构造方法，在高考题中应用最为广泛。

例如，解不等式810/(3(x+1)x+1)-x^3-5x>0，可以构造函数f(x)=x^3+5x，求出f(x)在实数范围上为增函数，从而得到原不等式的解集为{x|x<-2或-1<x<1}。

类型2：构造两个函数。

这种类型的题目较少，但需要较强的技巧。

例如，对于函数f(x)=2x^2+(x-m)|x-m|-x，若对于一切x∈[1,2]都成立，求实数m的取值范围。

可以构造函数g(x)=(x-m)|x-m|和h(x)=2x^2-x，从而得到f(x)=g(x)+h(x)。

因为g(x)在实数范围上为增函数，h(x)在x∈[1,2]上为增函数，因此f(x)在x∈[1,2]上也为增函数。

通过计算f(1)，可以得到m的取值范围为(-∞,2]。

类型3：局部构造一个函数。

这种类型的题目难度较大，通常需要在前一问中证明需要构造的函数具有某种性质，然后利用这一性质进行构造。

例如，对于函数f(x)=(lnx-1)，是否存在实数x∈(0,e]，使得曲线y=f(x)在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由。

可以构造函数g(x)=lnx-1，从而得到g'(x)=1/x。

因为g'(x)在x∈(0,1)上为负，在x∈(1,e]上为正，所以g(x)在x∈(1,e]上为增函数。

因此，如果存在x∈(0,e]，使得曲线y=f(x)在点x=x处的切线与y轴垂直，则必有f'(x)=-1/x与y轴平行，从而矛盾。

因此，不存在这样的x。

已知函数$f(x)=a+\ln x-1$，$g(x)=(\ln x-1)e^x+x$，其中$e$为自然对数的底数。

1) 求函数$f(x)$在区间$(0,e]$上的最小值。

高中数学6种构造函数法

高中数学6种构造函数法1、几何体构造法：几何体构造法是高中数学中常见的构造函数，即根据给定的条件，从原点出发，通过叠加若干条定义运算，利用实际工具画出题目要求构造的图形或者要求构造的几何体。

例如：根据给定的定义三角形ABC，在其外接圆上构造一个直角，使得构造出的四边形的一条边和三角形的一条边等长。

2、用线段构造法：用线段构造法是高中数学中常见的构造函数，是根据给定的条件，几何体和直线的位置，及题目要求的其他条件，按照一定的步骤和规律来画出要构造的几何体或其他东西。

例如：依据给定的线段AB，在其上端点A处构造一个半径等于原线段AB一半长度的圆，使得线段AB的端点A和圆的交点坐标相同；并在构造出的圆上构造一个到线段AB 端点B距离等于原线段AB一半长度的直线段。

3、从原点构造法：从原点构造法是高中数学中常见的构造函数，是指从某一原点出发，根据给定的情况，经过若干步的构造，建立若干定义关系，确定一个几何体的形状和大小，并与给定的几何体完全相同或满足给定条件的几何体。

例如：在原点构造一个半径等于原点O到给定点A的距离的圆，从这个圆上构造与 OA 相等的直线段，在这个直线段依次画上给定的点B、C。

4、标准图形构造法：标准图形构造法是在高中数学中学习的构造函数，即根据给定的它定义的图形和要求画出的图形之间的规律，采用实际的工具画出要求的图形。

例如：构造出与正方形相等的长方形(15cm×20cm)，方法为：在一根边长15cm的尺子上划分出4等分点，然后再在另一根尺子上划分出5等分点，将它们相互链接，即可构造出长方形。

5、参数方程构造法：参数方程构造法是高中数学中学习的构造函数，即根据给定的参数条件所决定的几何体的特征，可利用参数方程的技巧，根据参数条件用参数方程来求出构造出几何体的函数，并且利用函数求出相应的构造过程，或者利用参数方程既定的几何图形，求出给定点的位置。

例如：求出构造出半径为 2 的半圆的函数，可以用参数方程 x = 2cos t，其中x 为构造出的半圆的横坐标，t 为角度参数。

构造函数证明不等式的八种方法

构造函数证明不等式的八种方法一、移项法构造函数1例：1、已知函数 f (x) ln( x 1) x ，求证：当x 1时，但有x x1 ln( 1)1 x2、已知函数f1x 2(x) ae x2（1）若 f (x) 在R 上为增函数，求 a 的取值范围。

（2）若a=1，求证：x 0时，f (x) 1 x二、作差法构造函数证明12例：1、已知函数 f x x ln x( )223g( x) x 的图象下方。

3，求证：在区间(1,) 上，函数 f (x) 的图象在函数思想：抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题- 1 -2、已知函数 f (x) n ln x 的图象在点 P( m , f ( x)) 处的切线方程为 y=x ，设ng( x) mx2ln x ，（1）求证：当 x 1时， g(x) 0恒成立；（2）试讨论关于 x的方x n32 2程g xxex txmx( )根的个数。

x3、换元法构造函数证明例：1、证明：对任意的正整数n ，不等式ln( 1 n1) 1 2n1 3n，都成立。

2、证明：对任意的正整 n ，不等式 ln( 1 n1)1 2n1 3n都成立。

3 23、已知函数 f (x) ln( ax 1) x x ax ，（1）若2 3为 yf ( x) 的极值点，求实数a的值；（2）若 y f (x) 在[1, ) 上增函数，求实数 a 的取值范围。

（3）若 a=-1 时，方程fb3(1 x) (1 x)有实根，求实数 b 的取值范围。

x- 2 -4、从条件特征入手构造函数证明例 1 若函数y f (x) 在R 上可导且满足不等式xf '(x) f ( x) 恒成立，且常数a,b 满足a b，求证：af (a) bf (b)5、主元法构造函数例 1.已知函数 f (x) ln(1 x) x ，g(x) xln x ，（1）求函数 f (x) 的最大值；（2）设a b0 a b，证明：0 g(a) g( b) 2g( ) (b a) ln 226、构造二阶导数函数证明导数的单调性例1：已知函数 f1x 2( x) ae x2，（1）若 f ( x) 在R 上为增函数，求 a 的取值范围；（2）若a=1，求证：x 0时，f (x) 1 x7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）1 x1 1例1：证明当x 0 时，x e 2(1 x)- 3 -8、构造形似函数例1：证明当b a e，证明 b b aa2、已知m、n 都是正整数，且 1 m n ，证明：(1 n n mm) (1 ) 思维挑战21、设a 0 ，f ( x) x 1 ln x 2a ln x ，求证：当x 1时，恒有x ln 2 ln1 2 x a x2 x a x122、已知定义在正实数数集上的函数 f ( x) x 2ax2 2 ，其中a 0，，g (x) 3a ln x b5 2 2且b a 3a ln a2，求证： f (x) g(x)3、已知函数 fx(x) ln(1 x) ，求证：对任意的正数a、b恒有1 xln a ln b 1ba4、f (x) 是定义在(0, ) 上的非负可导数，且满足xf ( ) ( ) 0，对任意正数a、b ，' x f x若a b，则必有（）A. af (x) bf (a)B. bf (a) af (b)C. af (a) f (b)D. bf (b) f (a)- 4 -。

运用构造函数法解答导数问题的步骤

导数问题的难度较大，对同学们的数学抽象思维能力和运算能力有着较高的要求.导数与函数之间的联系紧密，所以在解答导数问题时，通常要根据已知条件来构造合适的函数模型，利用函数的图象、性质来求得问题的答案.这就是构造函数法.运用构造函数法解答导数问题的步骤为：1.仔细研究题目中给出的关系式的结构特征；2.灵活运用幂函数的求导公式(x n)′=nx n-1、指数函数的求导公式(a x)′=a x ln a（特例(e x)′=e x，(e nx)′=ne nx(n∈N*,n≥2)）、对数函数的求导公式(log a x)′=1x ln a（特例(ln x)′=1x）、三角函数的求导公式(sin x)′=cos x,(cos x)′=-sin x等，对已知关系式中的部分式子进行求导或积分；3.根据导数的运算法则(u±v)′=u′±v′，(uv)′=u′v+uv′，(u v)′=u′v-uv′v2将目标式或已知关系式进行变形，并将变形、化简后的式子构造成新函数模型；4.根据导函数与函数的单调性之间的关系判断出函数的单调性；5.根据函数的单调性求函数的极值，比较函数式的大小.把导数问题转化为函数问题来求解，可以达到化繁为简、化难为易的目的.例1.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，且xf′(x)+3f(x)>0，那么不等式(x+2021)3f(x+2021)+27f(-3)>0的解集是（）.A.(-2024,+∞)B.(-2022,-2021)C.(-∞,-2022)D.(-2024,-2021)解：在不等式xf′(x)+3f(x)>0的两边同乘以x2，可得x3f′(x)+3x2f(x)>0，即x3f′(x)+(x3)′f(x)>0，得(x3f(x))′>0.设函数g(x)=x3f(x)，则g′(x)>0，所以g(x)在(-∞,0)上单调递增.而(x+2021)3f(x+2021)+27f(-3)>0可变形为(x+2021)3f(x+2021)>(-3)3f(-3)，即g(x+2021)>g(-3).可得-3<x+2021<0，解得-2024<x<-2021.故选D.先根据指数函数的求导公式(x3)′=3x2以及导数的运算法则(uv)′=u′v+uv′将xf′(x)+3f(x)>0变形，即可化简不等式；再构造出函数g(x)=x3+f(x)，探讨其单调性，便可根据函数的单调性求得问题的答案.例2.已知函数f(x)是R上的可导函数，且(x-1)⋅(f′(x)-f(x))>0，f(2-x)=f(x)e2-2x，那么一定正确的是（）.A.f(1)<f(0)B.f(2)>ef(0)C.f(3)>e3f(0)D.f(4)<e4f(0)解：将不等式(x-1)(f′(x)-f(x))>0变形，可得(x-1)∙e x f′(x)-(e x)′f(x)(e x)2>0，即(x-1)∙(f(x)e x)′>0，设函数g(x)=f(x)e x，易知：当x>1时，g′(x)>0；当x<1时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.将f(2-x)=f(x)e2-2x变形，可得f(2-x)e2-x=f(x)e x，即g(2-x)=g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称.根据函数g(x)的单调性、对称性可得g(0)=g(2)<g(3)，即f(0)e0<f(3)e3，因此e3f(0)<f(3).故选C.我们以指数函数的求导公式(a x)′=a x ln a为切入点，根据导数的运算法则(u v)′=u′v-uv′v2，构造商式函数g(x)=f(x)e x，即可根据其单调性和对称性求得问题的答案.备考指南54例3.已知函数f (x )是定义在(1,+∞)上的可导函数，对∀x ∈(1,+∞)均有f '(x )ln x >1+ln x xf (x )恒成立，则（）.A.12f (2)>3f (4)>f (8)B.3f (4)>12f (2)>f (8)C.f (8)>3f (4)>12f (2)D.f (8)>12f (2)>3f (4)解：在f ′(x )ln x >1+ln x xf (x )的两边同乘以x ，移项可得f ′(x )x ln x -(1+ln x )f (x )>0，再变形得f ′(x )ln x -(x ln x )′f (x )(x ln x )2>0，得(f (x )x ln x )′>0，显然该不等式对∀x ∈(1,+∞)恒成立.设函数g (x )=f (x )x ln x，则g ′(x )>0，所以函数g (x )在(1,+∞)上单调递增.所以g (2)<g (4)<g (8)，即f (2)2ln 2<f (4)4ln 4<f (8)8ln 8，变形得f (2)2ln 2<f (4)8ln 2<f (8)24ln 2，可得f (8)>3f (4)>12f (2).故选C.根据已知条件和对数函数的求导公式(log a x )′=1x ln a，得到(x ln x )′=1+ln x ，便可根据导数的运算法则(uv )′=u ′v +uv ′和(u v )′=u ′v -uv ′v 2，将不等式进行变形、化简，进而构造出函数g (x )=f (x )x ln x，利用函数的单调性即可解题.例4.已知函数f (x )是定义在(-π2,π2)上的可导函数，且f ′(x )cos x +f (x )sin x >0恒成立，那么下列不等式不成立的是（）.A.2f (π3)<f (π4)B.2f (-π3)<f (-π4)C.f (0)<2f (π4) D.f (0)<2f (π3)解：将f ′(x )cos x +f (x )sin x >0变形，得f ′(x )cos x -f (x )(cos x )′(cos x )2>0，即(f (x )cos x )′>0，设g (x )=f (x )cos x，得g ′(x )>0，所以函数g (2)在(-π2,π2)上单调递增.因为-π2<-π3<-π4<0<π4<π3<π2，所以f (-π3)cos(-π3)<f (-π4)cos(-π4)<f (0)cos 0<f (π4)cos π4<f (π3)cos π3，化简得2f (-π3)<2f (-π4)<f (0)<2f (-π4)<2f (π3)，所以A 选项不正确.故本题选A.由f ′(x )cos x +f (x )sin x >0的结构特征，可联想到三角函数的求导公式(cos x )′=-sin x 以及导数的运算法则(uv )′=u ′v +uv ′，将不等式进行变形、化简，便可构造出新函数g (x )=f (x )cos x.例5.设定义在R 上的函数f (x )是连续可导函数，对任意的x ∈R 都有f (x )+f (-x )=2x 2.当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )<2x .若不等式f (2-a )-f (a )≥4-4a 成立，则实数a 的取值范围是（）.A.(0,1]B.[1,2)C.(-∞,1]D.[1,+∞)解：当x ∈(0,+∞)时，根据不等式f ′(x )<2x ，可得f ′(x )-2x <0，再变形得f ′(x )-(x 2)′<0，即(f (x )-x 2)′<0.设函数g (x )=f (x )-x 2，则g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,+∞)上单调递减.因为对任意的x ∈R 都有f (x )+f (-x )=2x 2，所以g (x )+g (-x )=f (x )-x 2+f (-x )-(-x )2=0，所以函数g (x )是R 上的奇函数.因为f (x )是连续函数，所以函数g (x )在R 上单调递减.不等式f (2-a )-f (a )≥4-4a 可变形为f (2-a )-(2-a )2≥f (a )-a 2，即g (2-a )≥g (a ).由函数g (x )的单调性可知2-a ≤a ，解得a ≥1.故选D.根据已知条件f ′(x )<2x ，可知需要利用指数函数的求导公式(x 2)′=2x 以及导数的运算法则(u ±v )′=u ′±v ′，将不等式变形并化简，进而构造函数g (x )=f (x )-x 2，分析其函数的单调性、奇偶性，即可解题.对于本题，还可以将f (x )+f (-x )=2x 2变形为f (x )-x 2+f (-x )-(-x )2=0，再根据f (x )-x 2与f (-x )-(-x )2的结构特征构造函数g (x )=f (x )-x 2.导数问题侧重于考查一些常见的求导公式与导数的四则运算法则(u ±v )′=u ′±v ′，(uv )′=u ′v +uv ′，(u v )′=u ′v -uv ′v2的灵活应用.导数问题较为复杂，同学们不仅要灵活运用导数和函数知识，还需培养数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力，才能轻松解题.（作者单位：甘肃省河州中学教育集团附属中学）备考指南55。

微专题常用构造函数的四种方法 2023高考数学二轮复习课件

目录
所以 H(x0)＞H1e，即－x02－x0＋1＞－e12－1e＋1，而－e12－1e＋1＞1e，所以－x02－x0＋1＞1e，即 F(x)min＝F(x0)＞1e＝G(x)max. 故当x＞0时，F(x)＞G(x)恒成立，所以f(x)＞g(x)成立，得证． |技法点拨| 由本例知，将问题转化为证明 xln x＋x2＋1＞exx，构造双函数，即设 G(x) ＝exx(x＞0)，求导判断其单调性，求解最大值，再设 F(x)＝xln x＋x2＋1，求导判断其单调性，求解最小值，从而可证明不等式．
目录
|技法点拨| 与ex和ln x相关的常见同构模型
(1)aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b，构造f(x)＝xln x(或aea≤bln b⇔aea≤(ln b)eln b，构造g(x)＝xex)；
(2)
ea a
＜
b ln b
⇔
ea ln ea
＜
b ln b
，
构
造
f(x)
＝
x ln x
目录
lnx－1a在 x∈12，1上恒成立．令 g(x)＝x－lnx－1ax∈12，1，则 g′(x)＝ x－x－1a－1a 1，又 x∈12，1，a＞2，所以 x－1a－1＜0，x－1a＞0，即 g′(x)＜0，故 g(x)在12，1上单调递减，所以 ln a≤g(x)min＝g(1)＝1－ln1－1a，故 ln a＋ ln1－1a≤1，即 ln(a－1)≤1，可得 a≤e＋1.综上，2＜a≤e＋1，故 a 的最大值为 e＋1.故选 A．
目录
|技法点拨| 构造新函数的方法
题目中出现含f(x)，f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新函数，然后再逆用单调性等解决问题． (1)对于f′(x)＞a，构造h(x)＝f(x)－ax＋b； (2)对于xf′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造h(x)＝xf(x)；一般地，对于xf′(x)＋nf(x)＞ 0(＜0)，构造h(x)＝xnf(x)； (3)对于 xf′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造 h(x)＝f（xx）；一般地，对于 xf′(x)－nf(x) ＞0(＜0)，构造 h(x)＝f（xxn）；

构造函数解不等式

构造函数解不等式我们需要明确什么是构造函数。

构造函数是一种特殊的函数，它的定义域和值域都是实数集。

通过构造函数，我们可以将不等式转化为函数的形式，从而更加直观地进行分析和解决问题。

在解不等式时，我们常常需要考虑不等式的根、极值点和函数的变化趋势。

构造函数可以帮助我们清晰地展示这些信息，从而更好地理解不等式的解集。

接下来，我们将通过几个具体的例子来说明构造函数解不等式的过程和方法。

例1：解不等式x^2-3x<2我们可以构造函数f(x)=x^2-3x-2。

通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为-1和2，且在-1和2之间的区间内函数值都小于0。

因此，不等式的解集为(-1,2)。

例2：解不等式x^2-4x>5我们可以构造函数g(x)=x^2-4x-5。

通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为-1和5，且在-1和5之外的区间内函数值都大于0。

因此，不等式的解集为(-∞,-1)∪(5,∞)。

通过上述例子，我们可以看到构造函数的方法可以帮助我们直观地分析不等式的解集。

不仅如此，构造函数还可以帮助我们解决更加复杂的不等式问题。

例3：解不等式x^3-3x^2+2x>0我们可以构造函数h(x)=x^3-3x^2+2x。

通过分析函数的图像，我们可以发现它与x轴的交点为0、1和2，且在0和1之间的区间内函数值都小于0，在1和2之间的区间内函数值都大于0。

因此，不等式的解集为(0,1)∪(2,∞)。

通过上述例子，我们可以看到构造函数的方法在解决高次不等式时也同样有效。

通过构造函数，我们可以更加清晰地理解不等式的解集。

除了以上的例子，构造函数还可以应用于更加复杂的不等式问题，如绝对值不等式、分式不等式等。

通过构造函数，我们可以将这些复杂的不等式转化为函数的形式，从而更好地解决问题。

构造函数是解不等式的一种有效方法。

通过构造一个特定的函数，我们可以直观地分析不等式的解集。

构造函数不仅适用于简单的一元不等式，还适用于高次不等式和复杂的不等式问题。

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。

导数小题中构造函数的技巧

导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

（一）利用)(x f 进行抽象函数构造1、利用)(x f 与x 构造；常用构造形式有x x f x xf )(),(；这类形式是对vuv u ,⋅型函数导数计算的推广及应用，我们对vuv u ,⋅的导函数观察可得知，v u ⋅型导函数中体现的是“+”法，vu型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造v u ⋅型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造vu，我们根据得出的“优先”原则，看一看例1，例2.【例1】)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0<x 时，0)()('<+x xf x f ，且0)4(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集为____________【解析】可以推出【例2】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0)1(=f ，当0<x 时，有0)()('>-x f x xf 恒成立，则不等式0)(>x f 的解集为________________x f x xf )(),(是比较简单常见的)(x f 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.我们根据得出的结论去解决例3题【例3】已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)()(2'x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是___________【变式提升】设函数)(x f 满足x x f x x f x ln 1)(3)(2'3+=+，且ee f 21)(=，则0>x 时，)(x f （）A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值【例4】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在)0,(-∞上有0)2()2(2'<+x f x xf ，且0)2(=-f ，则不等式0)2(<x xf 的解集为___________.('x F（2）利用)(x f 与x e 构造；)(x f 与x e 构造，一方面是对uv u ,⋅函数形式的考察，另外一方面是对x x e e =)(的考察.所以对于)()('x f x f ±类型，我们可以等同xx f x xf )(),(的类型处理，“+”法优先考虑构造x e x f x F ⋅=)()(，“-”法优先考虑构造x ex f x F )()(=.【例5】已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，导函数)('x f 满足)()('x f x f <对于R x ∈恒成立，则（）A 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f >>B 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f ><C 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f <>D 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f <<【解析】构造同样xx x f x f e )(),(是比较简单常见的)(x f 与xe 之间的函数关系式，如果碰我们根据得出的结论去解决例6题.【例6】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,0)(2)('=>-f x f x f ，则不等式x e x f 2)(>的解集为___________【解析】构造【变式提升】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,04)(2)('-=>--f x f x f ，则不等式2)(2->x e x f 的解集为___________【例7】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：()()(1)[]0x f x f x '-->，()22(2)x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）（A）)0()1(f f <（B）)0()2(2f e f >（C）)0()3(3f e f >（D）)0()4(4f e f <【解析】构造（3）利用)(x f 与x x cos ,sin 构造.x x cos ,sin 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.根据得出的关系式，我们来看一下例8【例8】已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（）A、(()34f ππ<(()34f ππ-<-C、(0)()4f π<D、(0)2()3f f π<【解析】构造【变式提升】定义在)2,0(π上的函数，函数)('x f 是它的导函数，且恒有x x f x f tan )()('<成立，则（）A、)(2(3ππf f >B、1sin (2)1(πf f <C、)()(2ππf f >D、)()(3ππf f <（二）构造具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.【例9】]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是（）A、βα>B、22βα>C、βα<D、0>+βα【解析】构造【变式提升】定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对21)(,'<∈∀x f R x 则不等式21log )(log 22+>x x f 的解集为_________.【例10】等比数列}{n a 中，21=a ，48=a ，函数))...()(()(821a x a x a x x x f ---=，则=)0('f （）A 、62B 、92C 、122D 、152('x f【例11】已知实数c b a ,,满足1112=--=-d cb e a a ，其中e 是自然对数的底数，那么22)()(d bc a -+-的最小值为()c-1【变式提升】已知实数b a ,满足0ln 522=--b a a ，R c ∈，则22)()(c b c a ++-【课后作业】设函数)(x f 在R 上的导函数)('x f ，在),0(+∞上x x f 2sin )('<，且R x ∈∀，有x x f x f 2sin 2)()(=+-，则以下大小关系一定正确的是（）A、)34()65(ππf f <B、)()4(ππf f <C、34(65(ππ-<-f f D、)(4(ππ->-f f构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。

构造函数证明不等式的八种方法

构造函数证明不等式的八种方法下面将介绍构造函数证明不等式的八种常见方法：1.特殊赋值法：这种方法通过为变量赋特殊的值来构造函数，使得不等式成立。

例如，对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2，当a=2，b=1时，即f(2)>f(1)，从而得到a^2>b^22.梯度法：这种方法通过构造一个变化率为正（或负）的函数来推导出不等式。

例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x-a)^2-(x-b)^2，当x>(a+b)/2时，即f'(x)>0，从而得到a^2>b^23.极值法：这种方法通过构造一个函数的极大值（或极小值）来证明不等式。

例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2-b^2，当x=a时，f(x)>0，从而得到a^2>b^24.差的平方法：这种方法通过构造一个差的平方形式的函数来证明不等式。

例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x+a)^2-(x+b)^2，当x>(a+b)/2时，即f(x)>0，从而得到a^2>b^25.相似形式法：这种方法通过构造一个与要证明的不等式形式相似的函数来证明不等式。

例如对于不等式(a+b)^4 > 8(ab)^2，可以构造函数f(x) = (x+1)^4- 8(x-1)^2，令x = ab，当x > 1时，即f(x) > 0，从而得到(a+b)^4 > 8(ab)^26.中值定理法：这种方法通过应用中值定理来证明不等式。

例如对于不等式f(a)>f(b)，可以构造函数g(x)=f(x)-f(b)，当a>b时，存在c∈(b,a)，使得g'(c)>0，从而得到f(a)>f(b)。

7.逼近法：这种方法通过构造一个逼近函数序列来证明不等式。

例如对于不等式a > b，可以构造一个逼近函数序列f_n(x) = (a+x)^n - (b+x)^n，当n 趋近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x)^n - (b+x)^n = ∞，从而得到a > b。

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数，并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。

下面就列举八种常用的构造函数法证明不等式的方法。

1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x 和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

以上就是八种常用的构造函数法证明不等式的方法。

在实际证明过程中，需要注意选择合适的函数，并结合函数的性质进行分析，以确定不等式的成立情况。

此外，还需要注意构造的函数在给定范围内是否满足所要求的性质，以确保证明的正确性。

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。

高等数学构造函数技巧

高等数学构造函数技巧构造函数技巧是高等数学中非常重要的一种问题解决方法。

很多数学问题都可以通过构造函数的方法得到解决。

本文将详细介绍构造函数技巧的相关知识。

一、什么是构造函数在高等数学中，构造函数指的是通过已知函数构造出新的函数。

常见的构造函数方法有数列的递推法、函数的复合法、函数的反函数法、拉格朗日插值等。

二、数列的递推法数列的递推法是构造函数的一种常见方法。

在数列中，每一项都可以通过前面的项推导出来。

例如斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，……这个数列中，第一个和第二个数都是1，后面的每一项都是前面两项的和。

可以通过递推公式来表示：$F_1=1,F_2=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n\ge 3)$通过这个递推公式，就可以构造出斐波那契数列。

在实际问题中，也可以通过递推法来解决一些问题，例如概率问题、组合问题等。

三、函数的复合法函数的复合法是通过将多个已知函数进行复合，构造出一个新的函数。

例如，已知函数$y=f(x)$和$z=g(y)$，则可以将函数$z=g(f(x))$构造出来。

另外，函数的复合法还可以用来证明一些解析式之间的等式。

例如，要证明$\tan\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}$，可以通过函数的复合法来证明。

四、函数的反函数法在一些函数中，反函数的存在和性质可以帮助我们解决问题。

例如，对于单调函数$f(x)$，反函数$f^{-1}(x)$可以帮助我们将$x$转换为$y$，进而解决问题。

例如，已知函数$y=\sin x$，求$x=1$对应的$y$值。

可以将函数变形为$x=\sin^{-1}y$，然后求出$x$的解。

另外，函数的反函数还可以帮助我们求出一些函数的导数。

例如，对于非常规函数$y=\sqrt{x^2+1}$，可以通过函数的反函数法来求出导数：$y^2=x^2+1$$\frac{dy^2}{dx}=2x$$\frac{dy^2}{dx}=2\sqrt{x^2+1}\cdot\frac{d\sqrt{x^2+1}}{dx}$五、拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过已知点的坐标来构造出整个函数的方法。

构造函数解不等式问题的四种策酪

构造函数解不等式问题的四种策酪解不等式问题的四种常用策略如下：策略一：移项法移项法是解不等式问题的最基本的策略之一、它的基本思想是通过移动项的位置，使不等式中只剩下一个未知数，从而能够直观地找到不等式的解集。

具体步骤如下：1. 合并同类项，将不等式转化为形如 ax + b < c 或 ax + b > c 的形式。

2. 移动常数项，将不等式转化为形如 ax < c 或 ax > c 的形式。

3.移动系数项，将不等式转化为形如x<c/a或x>c/a的形式。

4.根据不等式的不同性质（大于或小于号），确定解集的范围。

策略二：乘法法则乘法法则是解不等式问题的另一种常用策略。

它的基本思想是通过对不等式两边同乘一个正数或负数，改变不等式的方向，从而求得不等式的解集。

具体步骤如下：1.找到合适的乘法因子，使得乘法后的不等式中的未知数的系数为12.根据乘法因子的正负性，确定解集的范围。

策略三：绝对值法绝对值法是解不等式问题的一种常用策略，特别适用于含有绝对值符号的不等式。

它的基本思想是通过分析绝对值的取值范围，将不等式转化为多个子不等式，并通过求解子不等式来确定不等式的解集。

具体步骤如下：1.将不等式中的绝对值表达式拆分成两种情况，即绝对值为正和绝对值为负。

2.分别解这两个不等式，并根据解的情况确定解集的范围。

策略四：容斥原理容斥原理是解不等式问题的一种复杂但强大的策略，特别适用于多个不等式的交集或并集问题。

它的基本思想是通过使用排除的方法，将多个不等式的解集通过运算得到问题的最终解集。

具体步骤如下：1.将不等式问题转化为多个不等式的交集或并集问题。

2.使用容斥原理，逐步排除不符合条件的解集，最终得到问题的解集。

这四种策略在解不等式问题时可以相互结合使用，根据具体问题的特点和要求选择合适的策略。

通过灵活运用这些策略，可以更加高效地解决各种不等式问题。

高考数学构造函数求解技巧

高考数学构造函数求解技巧在高考数学中，构造函数法是一种常用的解题技巧，特别适用于一些求解问题的情况。

通过构造一个特定的函数，可以将问题转化为一个函数方程，从而简化问题的求解过程。

下面将介绍一些高考数学中常见的构造函数求解技巧。

1. 构造满足条件的函数在某些情况下，可以通过构造一个满足题目条件的函数来求解问题。

首先，分析题目所给出的条件，确定函数的性质。

然后，根据题意构造一个函数，使得它满足所给条件。

最后，通过对所构造的函数进行分析，可以得到问题的解。

例如，某高考题目要求解一个三次方程f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中已知f(1) = 2、f(2) = 1、f(3) = 10。

我们可以构造一个临时的函数g(x) = f(x) - 2x + 1，然后根据g(1) = 0、g(2) = -1、g(3) = 7得到一个新的方程g(x) = 0。

通过求解这个方程，我们可以得到f(x)的解。

2. 构造递推关系递推关系是指某一项与它前面的几项之间有一定的关系，通过这种关系可以逐步求解出其他项。

在高考数学中，递推关系常常用于求解数列或数列的性质。

例如，某高考题目给定数列{an}的递推关系an = an-1 + 2n，且a1 = 2。

我们可以构造一个函数f(x) = x^2，然后计算f(1)、f(2)、f(3)等值，得到数列{f(n)}的项。

通过观察数列{f(n)}的递推关系f(n) = f(n-1) + 2n，我们可以得出an = a1 + 2(1+2+...+n-1)的结论，从而求解出数列{an}。

3. 构造利用对称性的函数在一些关于对称性的问题中，我们可以通过构造一个满足对称性的函数来求解问题。

例如，某高考题目给定一个圆O，点A、B、C、D分别位于圆上，且AC和BD交于E，要求证明AE=BE。

我们可以构造一个函数f(x) = PA - PB，其中P为圆O上的任意一点，A、B、C、D为圆上的四个点。

构造函数法求解不等式问题

构造函数法求解不等式问题步骤一：根据不等式的形式，构造函数。

根据不等式的形式，我们可以构造一个合适的函数，该函数满足不等式的性质。

根据不等式的类型，我们可以构造线性函数、二次函数、指数函数等。

构造的函数应当包含不等式的解集，因此我们需要考虑函数值的正负、函数的增减性质等。

步骤二：找出函数的零点和关键点。

找到函数的零点和关键点对于确定函数的性质和解集至关重要。

函数的零点是指函数等于零的点，而关键点是函数的最值点和拐点。

步骤三：利用函数的性质来确定不等式的解集。

根据函数的图像和性质，利用函数的增减性质和函数值的正负来确定不等式的解集。

通过观察函数的图像，我们可以确定不等式的解集是一个区间，或者是两个区间的并集。

以下为几个实例，展示了如何使用构造函数法求解不等式问题。

实例一：$x^2-3x-4<0$首先，我们构造函数$f(x) = x^2 - 3x - 4$。

然后，我们需要找出函数$f(x)$的零点和关键点。

通过求解方程$f(x) = 0$，我们可以得到$x = -1$和$x = 4$是函数的零点，而$x = \frac{3}{2}$是函数的关键点。

接下来，我们观察函数的图像。

通过求导函数$f'(x)$，我们可以确定函数$f(x)$在$x < -1$时是递减的，在$-1 < x < \frac{3}{2}$时是递增的，而在$x > \frac{3}{2}$时又是递减的。

根据函数$f(x)$的性质和函数值的正负，我们可以得出不等式的解集是$x \in (-1, \frac{3}{2})$。

实例二：$2^x-8<0$首先，我们构造函数$f(x)=2^x-8$。

然后，我们需要找出函数$f(x)$的零点和关键点。

通过求解方程$f(x)=0$，我们可以得到$x=3$是函数的零点，而$x=0$是函数的关键点。

接下来，我们观察函数的图像。

由于指数函数$2^x$是递增的，函数$f(x)$在$x>0$时是递增的，而在$x<0$时是递减的。

导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引

导数压轴题十种构造方法大全以及解题方法导引方法一等价变形，转化构造方法导读研究函数的性质是高考压轴题的核心思想，但直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变形，通过恒等变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。

方法导引例1 已知函数f(x)=a e x (a ∈R )，g(x)=lnx x+1.（1）求函数g(x)的极值；（2）当a ≥1e 时，求证：f(x)≥g(x). 解析:（1）由g (x )=ln x x+1，得g ′(x )=1−ln x x 2，定义域为(0,+∞).令g ′(x )=0，解得x =e ，列表如下：结合表格可知函数g (x )的极大值为g (e )=1e +1，无极小值. （2）要证明f (x )≥g (x )，即证ae x ≥ln x x+1，而定义域为(0,+∞)，所以只要证axe x −ln x −x ≥0，又因为a ≥1e，所以axe x −ln x −x ≥1exe x −ln x −x ，所以只要证明1e xe x −ln x −x ≥0.令F (x )=1e xe x −ln x −x ，则F ′(x )=(x +1)(e x−1−1x )，记ℎ(x )=e x−1−1x ，则ℎ(x )在(0,+∞)单调递增且ℎ(1)=0，所以当x ∈(0,1)时，ℎ(x )<0，从而F ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x )>0，从而F ′(x )>0，即F (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，F (x )≥F (1)=0. 所以当a ≥1e 时，f (x )≥g (x ).例2已知a ∈R ，a ≠0，函数f (x ) =e ax -1-ax ，其中常数e =2.71828.（1）求f (x ) 的最小值；（2）当a ≥1时，求证:对任意x >0 ，都有xf (x ) ≥ 2ln x +1-ax 2. 解析：（1）因为()1ax f x eax -=-，则()()11ax f x a e -'=-，()210ax f x a e -'=>'故()f x '为R 上的增函数，令()0f x '=，解得1x a= 故当()1,,0x f x a ⎛⎫∈-∞< '⎪⎝⎭，()f x 单调递减；当()1,,0x f x a ⎛⎫∈+∞>'⎪⎝⎭，()f x 单调递增，则()10min f x f a ⎛⎫==⎪⎝⎭故函数()f x 的最小值为0.（2）证明：要证明xf (x ) ≥ 2ln x +12ax - 等价于证明121ax xe lnx -≥+由（1）可知：10ax e ax --≥，即1ax e ax -≥ 因为0x >，故12ax xe ax -≥ 故等价于证明221ax lnx ≥+即()2210,0,ax lnx x --≥∈+∞令()221g x ax lnx =--，即证()()0,0,g x x ≥∈+∞恒成立.又())21122g x ax x x+-=-='令()0g x '=，解得x =故当(),0x g x⎛'∈< ⎝，()g x 单调递减；当(),0x g x⎫∈+∞>'⎪⎭，()g x 单调递增；故()2g x g lna≥== 有因为1a ≥，故0lna ≥ 故()0g x lna ≥≥即证.即对任意x >0 ，都有xf (x ) ≥ 2ln x +1-ax 2. 方法二：构造常见典型函数方法导读常见典型函数主要包括xlnx ，x/lnx ，lnx/x ; xe x ,xe x ,e x /x 等，通过变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果。

构造函数解题的途径和技巧_陈亮

ｘ的取值范围是（）
（Ａ）（－ ∞，－１）∪ （０，１）．
（Ｂ）（－１，０）∪ （１，＋ ∞）．
（Ｃ）（－ ∞，－１）∪ （－１，０）．
（Ｄ）（０，１）∪ （１，＋ ∞）．（２０１５年全国卷 Ⅱ）
解记函数ｇ（ｘ）＝ｆｘ（ｘ），
则
ｇ′（ｘ）＝ｘｆ′（ｘｘ）－２ｆ（ｘ），
因为当ｘ＞０时，ｘｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ）＜０，
构造法广泛应用于中学的数学竞赛和高考
中，具有较强的灵活性和创造性．如何构造一个
合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题，
学生往往难于下手．本文结合所学函数知识及
数学问题的背景，举例说明用函数构造法解题
ｆ（ｘ）＞０．
综上所述，使得ｆ（ｘ）＞０成立的ｘ的取值 · １７ ·
《数理天地》高中版
数学中的思想和方法
２０１９年第１１期
范围是（－ ∞，－１）∪ （０，１），故选（Ａ）．
单调性和最值，分析、推理、证明，过程简洁明
注涉及不等式证明或恒成立问题，常依快，注意一定要转化过程中的等价性．
时，
由 ①、②，得
ｓｉｎ２ｘ＜２ｘ．ｋ ≤１．
又“ｋ ≤１”是“ｋ（ｘ）的最小值只能是
ｍｉｎ｛ｆ（６），ｆ（７）｝＝ｍｉｎ｛－４８，－４９｝
②
＝－４９．
故ｎＳｎ的最小值为－４９．注数列是一种特殊的函数，常利用函数的
思想解决数列的最值问题有较好的效果．此题在
据题设条件（如ｘｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ）＜０），恰当构造函

导数中的构造函数(最全精编)

1、利用 f (x ) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x ),f (x ) ；这类形式是对u ⋅ v , u型数导数计算的推广及应用，我们对u ⋅ v , u的导函数观察可得知， u ⋅ v 型导函数中体现的是“ + ”法， u型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优先考虑构造u ⋅ v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造 u，我们根据得出的“优先”原则，看一看例 1，例 2.【例 1】 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，当 x < 0 时， f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，且 f (-4) = 0 ，则不等式 xf (x ) > 0 的解集为【解析】构造 F (x ) = xf (x ) ，则 F ' (x ) = f (x ) + xf ' (x ) ，当 x < 0 时，f (x ) + xf ' (x ) < 0 ，可以推出 x < 0 ， F ' (x ) < 0 ， F (x ) 在(-∞,0) 上单调递减.∵ f (x ) 为偶函数， x 为奇函数，所以 F (x ) 为奇函数， ∴ F (x ) 在 (0,+∞) 上也单调递减. 根据 f (-4) = 0 可得F (-4) = 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x ) > 0 的解集为(-∞,-4) ⋃ (0,4) .❀❀❀思路点拨：出现“ + ”形式，优先构造 F (x ) = xf (x ) ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

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