导数小题中构造函数的技巧

导数小题中构造函数的技巧

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。（一）利用)(x f 进行抽象函数构造

1、利用)(x f 与x 构造；常用构造形式有x x f x xf )(),(；这类形式是对v

u

v u ,⋅型函数导数计算的推广及应用，我们对v

u

v u ,

⋅的导函数观察可得知，v u ⋅型导函数中体现的是“+”法，v

u

型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当

导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造v u ⋅型，当导函数形式出现

的是“－”法形式时，优先考虑构造v

u

，我们根据得出的“优先”原则，看一看

例1，例2.

【例1】)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0

0)4(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集为____________

【解析】可以推出

【例2】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0)1(=f ，当0

0)()('>-x f x xf 恒成立，则不等式0)(>x f 的解集为________________

x f x xf )

(),

(是比较简单常见的)(x f 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.

我们根据得出的结论去解决例3题

【例3】已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)()(2'x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是___________

【变式提升】设函数)(x f 满足x x f x x f x ln 1)(3)(2'3+=+，且e

e f 21)(=，则0>x 时，)(x f （）A 、有极大值，无极小值

B 、有极小值，无极大值

【例4】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在)0,(-∞上有0)2()2(2'<+x f x xf ，且0)2(=-f ，则不等式0)2(

('x F

（2）利用)(x f 与x e 构造；

)(x f 与x e 构造，一方面是对u

v u ,

⋅函数形式的考察，另外一方面是对x x e e =)(的考察.所以对于)()('x f x f ±类型，我们可以等同x

x f x xf )

(),(的类型处理，“+”法优先考虑构造x e x f x F ⋅=)()(，“-”法优先考虑构造x e

x f x F )

()(=.

【例5】已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，导函数)('x f 满足)()('x f x f <对于R x ∈恒成立，则（

）

A 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f >>

B 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f ><

C 、)

0()2014(),0()2(20142f e f f e f <>D 、)

0()2014(),0()2(20142f e f f e f <<【解析】构造同样x

x x f x f e )(),

(是比较简单常见的)(x f 与x

e 之间的函数关系式，如果碰

我们根据得出的结论去解决例6题.

【例6】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,0)(2)('=>-f x f x f ，则不等式

x e x f 2)(>的解集为___________

【解析】构造

【变式提升】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,04)(2)('-=>--f x f x f ，则不等式2)(2->x e x f 的解集为___________

【例7】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：

()()(1)[]0x f x f x '-->，()22(2)x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（

）

（A）)0()1(f f <（B）)0()2(2f e f >（C）)

0()3(3f e f >（D）)

0()4(4f e f <【解析】构造

（3）利用)(x f 与x x cos ,sin 构造.

x x cos ,sin 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一

起看看常考的几种形式.

根据得出的关系式，我们来看一下例8

【例8】已知函数()y f x =对于任意的(,)22

x ππ

∈-

满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式

不成立的是（）

A、(()

34

f ππ

<(()

34

f ππ

-<-

C、(0)()

4f π

3

f f π

<【解析】构造

【变式提升】定义在)2

,0(π

上的函数，函数)('x f 是它的导函数，且恒有