向量与三角形四心的一些结论

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向量与三角形内心、外心、重心、垂心

向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB λλλλλλ=++ 1.定理：如图，设OP 则，且(记忆:交叉分配系数)=()OA OBAP BPλ+2.若M是OP上的任意一点，则OM (记忆:分母对应分配系数)应用1:（1）中线:（2）高线:（3）角平分线:（4）中垂线:应用2.四线上的动点表示:(1)中线上的动点:()AB AC λ+ 或()||sin ||sin AB ACAB B AC Cλ+(2)高线上的动点:()cos cos AB ACAB B AC Cλ+,(3)角平分线上的动点:()AB ACAB AC λ+ (4)中垂线上的动点:()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++ ,三、四心与向量的结合1.BOC AOC AOB O ABC S OA S OB S OC ∆∆∆∆++=定理：设是内任意一点，则（记忆：拉力平衡原则）应用:（1）O 是ABC ∆的重心.⇔b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=1:1:1⇔OA OB OC ++=（2）O 为ABC ∆的垂心.⇔Ctan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆⇔0OC C tan OB B tan OA A tan =++（3）O 为ABC ∆的内心.⇔c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=sin :sin :sin A B C⇔0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或⇔0aOA bOB cOC ++=（4）O 为ABC ∆的外心⇔⇔0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：2.四心的向量表示：（1）O 是ABC ∆的重心.⇔1()3P O P A P B P C =++（2）O 为ABC ∆的垂心.⇔OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅（3）O 为ABC ∆的内心.⇔(()()0AB AC BC BA CA CBOA OB OC AB AC BC BA CA CB∙-=∙-=∙= （4）O 为ABC ∆的外心⇔==四．典型例题：一、与三角形“四心”相关的向量问题题1：已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心题2：已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题3：已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的A.重心B.垂心C.外心D.内心题4：已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.重心B.垂心C.外心D.内心题5：已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.重心B.垂心C.外心D.内心题6：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足(||||AB CA OA AB CA ⋅+ =(||BA OB BA ⋅+||CB CB )=(||||BC CA OC BC CA ⋅+=0，则O 点是△ABC 的()A.垂心B.重心C.内心D.外心题7：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++=0,则O 点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++(其中P 为平面上任意一点),则O 点是△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O点是△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题10：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+=22||||OC AB +，则O 点是△ABC 的()A.垂心 B.重心C.内心D.外心题11：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅ =()OB OC BC +⋅=()OC OA CA +⋅=0，则O 点是△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++=0，则O 点是△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++(其中P 是△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心题14：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，OH=()m OA OB OC ++ ，则实数m =____________.二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知非零向量AB与AC 满足()||||AB AC BC AB AC +⋅=0且12||||AB AC AB AC ⋅=，则△ABC 为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形题16：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则△ABC 一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形题17：已知△ABC，若对任意t R ∈，||BA t BC - ≥||AC，则△ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定题18：已知a ,b,c 分别为△ABC 中∠A,∠B,∠C 的对边，G 为△ABC 的重心，且a GA b GB c GC ⋅+⋅+⋅=0,则△ABC 为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形三、与三角形面积相关的向量问题题19：已知点O 是△ABC 内一点，23OA OB OC ++=0,则：(1)△AOB 与△AOC 的面积之比为___________________；(2)△ABC 与△AOC 的面积之比为___________________；(3)△ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________.四、向量的基本关系(共线)题20：如图，已知点G 是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA =a ,CB =b ,CP =m a ,CQ =n b ,则11m n+=_____.练习．O 为ABC ∆平面上一定点，该平面上一动点p 满足{|(sin ABM P OP OA C ABλ==++sin )0}ACB ACλ> ，，则ABC ∆的（）一定属于集合M .（A）重心（B）垂心（C）外心（D）内心GABC MPQ。

向量与三角形的四心

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321yy y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图 OC OB OA ++2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=⋅=-⇔⋅=⋅ ⊥⇔ 同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心. 证明：b c 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴b ACc AB+平分BAC ∠,(λ=∴AO b c +)，令c b a bc++=λ ∴c b a bc ++=（b ACc AB+) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA aB CDB CD（4==⇔O 为ABC ∆的外心。

典型例题：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心中点. 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的2=+ ∴λ2+=+=AD AP λ2=∴ AP ∴//AD∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：分别为方向上的单位向量，+平分BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足. +⋅+B CDC+=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：λ=+，则λ的值为（）A ．2B ．23 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，=++，则=⋅( )A ．21B ．0C ．1D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（）A ．0B ．23C ．45D ．34 4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+ 222+=+，则O 是ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC→| =12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。

三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二．例(一)．将平面向量与三角形心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）BCHA图6（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

与三角形四心相关的向量结论

与三角形“四心”相关的向量结论濮阳市华龙区高中张杰随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。

平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。

本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。

希望在得出结论的同时，能引起一些启示。

问题：设点0在ABC 内部，且有OA 3OB OC 0 ,贝U BOC 与AOC 的面积的比值是说明：此结论说明当点 0在 ABC 内部时，点0把 ABC 所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。

uuu uuu uuur r应用举例：设点0在 ABC 内部，且40A OB 0C 0,则 ABC 的面积与 OBC 的面积之比是:A . 2： 1B . 3: 1C . 4： 3D . 3： 2分析：由上述结论易得：S BOC : S COA : S AOB 4:1:1，所以S ABC :S OBC 6:4 3:2，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。

引申：设O 点在 ABC 内部，且角A, B,C 所对应的边分别为a,b,c结论1：若O 为 ABC 重心，则OA OB OC 0分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC 的面积三等分. 结论2 :0为ABC 内心，贝U aOA bOBcOC 0分析：内心在三角形的内部，且易证S A BOC : S A COA : S A AOB = a: b :C结论3:0为 ABC 的外心，贝U sin 2AOAsin 2BOB sin 2COC 0分析：易证 S ^BOC : S A COA : S A AOB =sin2A : sin2B : sin2C.分析：OA 30B 0C 0 设 3OB OD ，则 OA OD OC 0 ,则点O 为 ADC 的重心•••• S DOCSCOA SAODACD -而 SBOC11COD — SAOC ，3 3…SBOC ： SCOA结论： <8，弘・， f设 0 点在 ABC 内部，若 mOA nOB rOC 0 m,n,r R ，则 S BOC : S COA : S AOB m:n:r 证明:已知0点在 ABC 内部，且mOA nOB rOC Om,n,r R设：mOA OD, nOBOE,rOC OF ,则点 0DEF 的重心,又 SBOC丄SEOF ，nrS1 S S 1 SSAOC SDOF ， S AOBSDOE ，mrmn• S BOC : S COA : S A OBm: n: r探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。

三角形“四心”向量形式的结论及证明

三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。

它们的位置可以用向量的形式来描述。

本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。

1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。

证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。

而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。

因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

根据向量加法的性质，可以得到上述结论。

2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。

用O表示外心。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。

其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。

证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。

根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。

根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。

「必修四向量」三角形“重心、垂心、内心、外心”向量结论与证明

「必修四向量」三角形“重心、垂心、内心、外心”向量结论
与证明
一、三角形的重心、垂心、内心、外心的定义
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、三角形的四心与向量的结合的结论和性质
•三角形重心的性质:
•三角形四“心”向量形式的充要条件
三角形四心的向量结论与证明
三角形四心的向量结论的经典例题解析。

向量与三角形内心、外心、重心、垂心

向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。

高三数学一轮复习课件之三角形“四心”的相关向量结论

考点探究
【重心】：若 O 为△ABC 重心
（1） SBOC : SCOA : SAOB 1:1:1；
（2）OA OB OC 0 ；
A
O
B
C
考点探究 A
（3）
，P 为平面内任意一点； O
B
C
（4）动点 P 满足OP OA (AB AC) ， (0， ) ，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的重
（5）sin 2A• OA sin 2B • OB sin 2C • OC 0 .
满足OP OB OC
2
AB AB cos B
AC
AC
cos C
， (0， ) ，则动点 P
的轨
迹一定通过△ABC 的外心；
考点探究
（3）若 OA OB AB OB OC BC OA OC AC 0 ，则O 是△ABC 的外心；
（4） S△BOC : S△COA : S△AOB sin 2 A : sin 2B : sin 2C ；
方法点拨
考点探究
【四心的概念】 (1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2：1，重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
三角形“四心”的相关向量结论
方法点拨
奔驰定理如图，已知 P 为△ ABC 内一点，则有 S△PBC·P→A＋S△PAC·P→B＋S△PAB·P→C＝0．
推论：已知 P 为△ ABC 内一点，且 xP→A＋yP→B＋zP→C＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋

向量与四心，你不得不知的那些公式结论

向量与四心，你不得不知的那些公式结论
向量问题作为高考中的一个主要考点，主要有两部分一是立体几何空间向量法，建系套通用公式即可；二是平面几何内容，考察向量数量积、模、夹角等内容，平面内容又喜爱和三角形结合在一起，对于一些给出的公式能快速判断这个点的位置也是我们考生需要掌握的技能。

这里将三角形的重心、内心、外心、垂心与向量结合进行了归纳。

课后准备一些真题供大家自行检测。

这里对于三角形的奔驰定理没有涉及，后面我会通过手写几道真题和将此内容通过微头条发出。

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谢谢大家！我是魔都数学老师小周。

三角形”四心”的向量表示汇总

文_
教育教学
46三角形的重心，外心，内心，垂心这四心与
向量之间有着密切的联系。

下面对三角形四心的向
量表示进行总结并证明。

一、三角形重心的向量表示
点P 为△ABC 的重心
⇔(D 为BC 中
点)
⇔
证明：
D 为BC 中点
P 为△ABC
的重心
注：点P 为△ABC
的重心的
另一种证法：
“充分性”：已知点P 为△ABC 的重心
以PB,PC 为邻边作平行四边形PBEC，对角线PE 交BC 于D ∵平行四边形PBEC 对角线互相平分∴∵点P 为△ABC
的重心“必要性”：反之亦成立∴点P 为△ABC 的重心二、三角形外心的向量表示1.点P 为△ABC 的外心.2.点O 为△ABC
的外心证明：设D 为AB 中点，E 为BC 中点，F 为AC 中点O 是△ABC
的外心同理，三、三角形内心的向量表示1.若，则点P 的轨迹经过△ABC 的内心。

证明：∵，分别为,方向上的单位向量∴点P 在∠BAC 的角平分线上∴点P 的轨迹经过△ABC 的内心2.
若,则O 为△ABC 的内心。

证明：设则E 在∠BAC 的外角平分线上∴O 在∠BAC 的角平分线上同理O 在∠ABC 的角平分线上, 也在∠ACB 的角平分线上（作者单位：四川省雅安市雅安中学）参考文献[1]王波《也谈三角形四心的统一表达形式》数学通讯.2010年第8期三角形”四心”的向量表示汇总
陆竞怡。

三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.
4、练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的( B)
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点
分析：取AB边的中点M，则，
由=(++2)可得3，
即O是△ABC所在平面内一点，
++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
∴AB=AC，又=，∠A=，所以△ABC为等边三角形.
9.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= 1
10.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的(B)
(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点
(C)三条中线的交点(D)三条高的交点
11.如图1，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则。
例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）
（A）外心（B）内心
（C）重心（D）垂心
事实上如图设都是单位向量
易知四边形AETF是菱形故选答案B
例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（）

向量与三角形四心的一些结论

【一些结论】：以下皆是向量1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3 若P是△ABC的心坎 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就暗示AP向量|AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经由△ABC 心坎6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经由垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经由重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角等分线的交点【以下是一些结论的有关证实】1.O是三角形心坎的充要前提是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,延伸CO交AB于D,依据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线,向量OC与向量DA.DB不共线,所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的等分线,同理可证其它的两条也是角等分线.须要性：已知O是三角形心坎,设BO与AC订交于E,CO与AB订交于F,∵O是心坎∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE过A作CO的平行线,与BO 的延伸线订交于N,过A作BO的平行线,与CO的延伸线订交于M,所以四边形OMAN是平行四边形依据平行四边形轨则,得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC地点平面上的一个定点,动点P知足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|B C| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},依据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,即AP•BC=0,P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)) OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线依据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D,∴点P 过三角形重心.4.OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)OP=OA+λ(ABcosC/|AB |+ACcosB/|AC|)AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP•BC=λ(AB•B C cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]=0,所以向量AP与向量BC垂直,P 点的轨迹过垂心.5.OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|) OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AB/|AB|.AC/|AC|各为AB.AC偏向上的单位长度向量,向量AB与AC的单位向量的和向量,因为是单位向量,模长都相等,组成菱形,向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线,易知是角等分线,所以P点的轨迹经由心坎。

三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）

三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ，得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ．二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ；扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心．证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =；又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕．四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之．五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证）测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点）进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一），知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ．解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27．解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ．解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=，则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ，故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27．解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差；由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差；联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21．解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23．如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线，得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ，求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形．证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21；则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。

三角形四心的向量公式及证明

三角形四心的向量公式及证明在我们的数学世界里，三角形可是个相当重要的角色。

而三角形的“四心”——重心、外心、内心和垂心，更是藏着许多有趣的秘密，特别是它们与向量公式之间的奇妙关系。

先来说说重心。

重心是三角形三条中线的交点。

假设三角形的三个顶点分别是 A(x₁,y₁) 、B(x₂,y₂) 、C(x₃,y₃) ，那么重心 G 的坐标就是 ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3) 。

这背后的向量公式是这样的：若有向量 \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\) ，则点 G 就是重心。

给大家举个小例子吧，我曾经在课堂上给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别好奇地问我：“老师，这重心在生活中有啥用啊？”我笑着回答他：“你想想看啊，假如我们要做一个三角形的风筝，要让它飞得稳，重心的位置就得找好，不然它可就歪歪扭扭飞不起来啦！”这一下，同学们都恍然大悟，对重心的理解也更深刻了。

再聊聊外心。

外心是三角形三边中垂线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。

若点 O 是外心，那么 \(|\overrightarrow{OA}| =|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|\) 。

说到外心，我想起有一次带学生们在操场上做数学实践活动。

我们用绳子和标杆模拟画出三角形，然后一起找它的外心。

同学们兴致勃勃，七嘴八舌地讨论着，那场面别提多热闹了。

接着是内心。

内心是三角形三条内角平分线的交点，也就是内切圆的圆心。

若点 I 是内心，\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{IA} +\overrightarrow{b}\overrightarrow{IB} +\overrightarrow{c}\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\) （其中 a、b、c 是三角形三边的长度）。

三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下:一．知识点总结 1)O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2)O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++３)Ｏ是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==（或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++４)O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线);二．范例(一).将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A ，B,C 是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ )（Ａ）外心(B)内心(C)重心（D ）垂心解析:因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 平分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么?没见过!想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明[1]2

现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |OC |BC ||BA |OB AC|AB |(OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r rABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二．范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心BCHA图6解析：因为ABAB 是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。