三角形四心的向量表示
向量与三角形四心的关系
向量与三角形四心的关系三角形中的“四心”的向量表示向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。
作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。
使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。
一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。
在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。
一、线共点问题。
解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。
=例1、用向量法求证：△ABC 的三条高共点.分析：得BC 与AC 边上的高AD 与BE 交于H ，连接CH ，只要证明CH ⊥AB 即可。
因此，关键是选好基向量. 设l =，m =，n =，则 由⊥，⊥得 ()()()⎩⎨⎧=-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅000l m n l n m n l n l 即由此得 ∴CH ⊥AB ，同理，BC AH ⊥得证。
类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。
(2)三角形的三条中线交与一点。
二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若-=+，则点O 是△ABC 的重心。
分析：利用-=+及加法的平行四边形法则可证。
拓展：若()AC AB OA OP ++=λ，λ∈(0，+∞)，则点P 的的轨迹一定是△ABC 的_______心。
(重心)例3、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若·=·=·，则点O 是△ABC 的垂心。
分析：·=·得·==0，∴OB ⊥AC 同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB 可证。
拓展1：已知O 是△ABC 平面上一定点，若=+λ⎫⎛+C AC B AB cos cos ，λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的_______心。
平面向量与三角形“四心”
解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA 121平面向量与三角形“四心”◎胡建勋刘健( 永吉实验高中132200)平面向量是高中数学的重要工具之一，它不仅可以把几何问题转化为代数问题求解，也可以把代数问题转化为几何问题求解． 它与高中数学的许多模块( 三角函数，平面解析几何，立体几何，数列，不等式等) 都有紧密联系． 借助平面向量研究三角形“四心”问题更会起到意想不到的效果． 本文仅从几个方面加以说明，以餐读者．一、“三角形四心”的向量表示1． 三角形重心的向量表示→ → →G 是△ABC 重心 GA + GB + GC = 0 若 D ，E ，F 分别为→ → → → → →AB ，BC ，CA 中点则CG = 2 GD ( 或AG = 2 GE ，BG = 2GF ) 2． 三角形外心的向量表示 →→ →O 是 △ABC 外 心，==OB OC ( → →→ → →→ → →→OA + OB )·AB = ( OB + OC )·BC = ( OA + OC ) ·AC = 0．3． 三角形内心的向量表示 (→ → )→ →I 是 △ABC 内 心IA ·= IB ·( → → ( →→= IC·= 0．4． 三角形垂心的向量表示H 是 △ABC→→ → → → →垂心 HA ·BC = HB ·AC = HC ·AB→ → → → → →HA·HB = HB·HC = HC·HA ．二、“三角形四心”相关问题 1．“三角形四心”的判定解题策略 利用向量运算化简题干中的向量等式，再据“三角形四心”的向量表示判定． 例，(→→)1 点 O 为 △ABC 所在平面内一点OA + OB ·→ ( → →) → ( → →) →AB = OB + OC ·BC = OA + OC ·OB = 0，则 O 是△ABC() ．A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心→解析 设 D 为 AB→ →边中点，( OA + OB ) = 2 OD ，由→ →→ → →( OA + OB )·AB = 0，∴ OD·AB = 0，O 在 AB 垂直平分线上，同理 O 应在 BC ，AC 垂直平分线上．∴ O 是△ABC 外心． 应选 B ．例 2 点 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足→2 +OA BC → 2 = OB → 2 + AC → 2 = OC → 2 +AB →2 ，则 O 是 △ABC的( ) ． A ． 重心 B ． 外心 C ． 内心 D ． 垂心解析由→2 +→2 = → 2 +→ 2得，OABC OB AC → → → →→ → →→→ ( AC － BC ) ( AC + BC ) + ( OB － OA ) ( OB + OA ) =0， AB( → →) →( → →)AC + BC + AB OB + OA = 0．→ →2 AB·OC = 0，则 O 是△ABC 中 AB 边的高上，同理 O 应在△ABC 中 AC ，BC 边的高上， ∴O 是△ABC 垂心． 应选 D ．2．“三角形四心”与动点轨迹解题策略: 探究动点经过特殊点问题，首先据题干给出的向量等式，利用向量运算化简后，结合向量运算的几何意义，判定动点轨迹特征． 例 3 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所→ →( → → )，则 P 点轨在平面内一动点，若OP = OA + λ 迹一定通过△ABC 的() ．A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心( → → )解析由若+ →OP = OA + λ→→AP =→→→→分别为→，→同向的单位向λ量，AP 与∠A 平分线所在直线共线， ∴ P 过△ABC 内心，应选 C ．例 4 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所( → →) ( → →)在平面内一动点，若 OP － OA · AB － AC = 0，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心解析→ → → → → →→ →AB － AC = CB ，OP － OA = AP ，又∵ ( OP － OA )·( → →)AB － AC= 0，→ →→ →∴ AP·CB = 0，AP ⊥BC ． ∴ P 在过 A 点且垂直于 BC 的垂线上，点 P 轨迹过 △ABC 的垂心应选 D ．例 5 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所→ →→→，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的() ． A ． 重心 B ． 外心C ． 内心 D．垂心→ → →→得:解析由OA = OP + λ+→→，→ →= λ= 0．→ →∴ PA ⊥BC ．∴ P 在过 A 点且垂直于 BC 的直线上，( 转下页)数学学习与研究 2016. 9解题技巧与方法122 JIETI JIQIAO YU FANGFA数列{ n2 }和 S n 的新求法◎郑晶晶 ( 永嘉县东瓯街道办事处消防办，浙江温州 325100) 【摘要】介绍数列{ n2}和 S n的新求法．【关键词】数列; 初等数学= 4 + 4 + 4 + 4笔者在文中介绍了数列{ n2}和 S n的新求法．其很好的= 3 + 3 + 3 = 2 + 2展现了数学之美且易懂．= 1．即: T n + S n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］一式: n2 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n － 3) + ( 2n － 1) +［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］= 2 + 4 + 6 + 8 + … + ( 2n － 2) + 2n － n=［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］·2 － n．+［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］得到三式:( n2 + n) /2 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n +［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］(在这里我们把等号的右边部分看作数列{ n( n + 1) /2}其+［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］．和 T n．(上共有( n + 1)个［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］相T n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］+ 加)［1 + 2 + 3 + … + ( n － 1)］所以容易得出T n + S n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］·( n + 1) + ( 1 + 2 + 3 + 4) = n·( n + 1) /2·( n + 1)+ ( 1 + 2 + 3) =［n·( n + 1)2］/2．+ ( 1 + 2) 又因为 T n为数列{ n( n + 1) /2}和，+ 1．因为 n( n + 1) /2 = ( n2 + n) /2，二式: n2 = n + n + n + … + n + n．(此处共有 n 个 n 相所以 Tn=［n( n + 1) /2 + S ］/2．加) 所以 T n + S n =［n( n + 1) /2 + S n］/2 + S n．所以所以［n( n + 1) /2 + S n］/2 + S n =［n·( n + 1)2］/2．S n = n + n + n + … + n + n．(此处共有 n 个 n 相加) 最后得出 S n = n( n + 1) ( 2n + 1) /6．= n + n + n + … + n(此处共有 n － 1 个 n － 1 相加)( 接上页)∴ P 在 BC 边高上，应过△ABC 的垂心，应选 D．→例 6 在△ABC 中，动点 M →2 －→2 →满足AC AB = 2 AM·BC，则点 M 一定通过△ABC 的( ) ．A．重心B．外心C．内心→2－→2D．垂心→ →→→解析由 AC AB = 2 AM · BC 得: ( AC － AB )→ →→→( AC + AB) = 2 AM·BC→→→→→→设 D 为 BC 中点，AC + AB = 2 AD，2 BC·AD = 2 AM·→ → →BC，BC·MD = 0．M 点应在 BC 的垂直平分线上．应选B．3．“三角形四心”的应用解题策略: 利用向量法解决有关“三角形四心”相关问题，首先确定一组基底，再根据“三角形四心”的向量表示，用向量线性运算，模的运算，向量数量积运算等简化( 经常利用正弦定理和余弦定理) 题干条件．例 7 G 是△ABC 的重心，AB，AC 的边长为 2 和 1，→→) ．∠BAC = 60°，则AG·BG等于(A．8 B．－1099C．5 －槡3 D．－5 + 槡39 9→ 1 → →解析AG = ( AB + AC)，3→ 1 →→ 1 →→BG = ( BC + BA) = ( AC － 2 AB)．3 3→ → 1 →→ 1 →→AG·BG = ( AB + AC) ×( AC － 2 AB)3 31 →2 →→→2)8= ( AC － AB·AC － 2 AB = －．9 9→例 8 O 是外接圆半径为 1 的△ABC 外心，且满足了 3 →→→→OA + 4 OB + 5 OC = 0，则OA·BC =→→→→→→解法 1 →→→OA·BC = OA ( OC － OB) = ，OA ·OC － OA ·→= →= →，OB又∵OA OB OC→→→3 OA +4 OB +5 OC = 0，∴ 9 → 2 →→→= 25 → 2OA + 12 OA·OB + 16 OB OC→→→→→→ 2 →→OA·OB = 0，3 OA + 5 OC = － 4 OB，9 OA + 30 OA·→ 2 = 16 → 2OC + 25 OC OB→ → 3 → → 3∴ OA·OC = －，∴ OA·BC = －．5 5→→解法 2 →→→→由 3 OA + 4 OB + 5 OC = 0，则以 3 OA，4 OB，5 →→OC为边可构成一个边长为3，4，5 的三角形，OA ·BC =→·→cos ∠AOC －→·→cos ∠AOB = cos OA OC OA OB∠AOC － cos∠AOB．∵ cos∠AOB = ，cos∠AOC = －3 →→ 3，∴ OA·BC = －．5 5数学学习与研究2016. 9。
三角形“四心”的向量表示及运用2
三角形“四心”的向量表示及运用示例平面向量有一非常优美的结论:已知O 为△ABC 内一点,则=0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅,称为平面向量的“奔驰定理”.本文给出平面向量“奔驰定理”的一种证明,并给出O 在△ABC 外的结论,在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例.一、两个定理定理1:设O 是△ABC 内一点,且S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0证:如图,设→OA ＝－→OA '.过A '作OC 的平行线交OB 于B ',过A '作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA '＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △A 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以－→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □定理2:设O 是△ABC 外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧,若S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→证: 过A 作OC 的平行线交OB 于B ',过A 作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA ＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □ 特别:当点O 在△ABC 的某一边上,不妨设O 在BC 边上(不与B ,C 重合).则相当于k 1＝0,上面定理仍然成立.二、三角形的“四心”及其向量表示 1.三角形的重心(1)定义:三条边上的中线的交点 (2)设O 是△ABC 的重心,则①设D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则AO :OD ＝BO :OE ＝CO :OF ＝2:1②→OA ＋→OB ＋→OC ＝→0 证:重心必在三角内.1:1:1::31=⇒===AOB AOC BOC ABC AOB AOC BOC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆结合定理1可得结论. □注:还有其他证明方法,此处不表.③点O 的坐标为(x A ＋x B ＋x C 3,y A ＋y B ＋y C3)④推论1: D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则→AD ＋→BE ＋→CF ＝→0 推论2:P 是△ABC 所在平面内任意一点,则O 是△ABC 的重心⇔→PO ＝13(→P A ＋→PB ＋→PC )2.三角形的外心(1)定义:三角形外接圆的圆心,即三边中垂线的交点(2)O 是△ABC 的外心⇔|→OA |＝|→OB |＝|→OC |(或222OC OB OA ==)(3)O 是△ABC 的外心,则sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 证:S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB当O 在△ABC 内时, 有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理1有sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 当O 在△ABC 外(不妨设点A 和点O 位于直线BC 两侧)时,有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝－sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理2有－(－sin 2A )·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0, 即sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 □3.三角形的内心(1)定义:三角形内切圆的圆心,即三个角的角平分线的交点 (2)设△ABC 的角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c . 若O 是△ABC 的内心.则a →OA ＋b →OB ＋c →OC ＝→证:内心O 一定在△ABC 内部.设内切圆半径为r 则S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝12ar :12br :12cr ＝a :b :c由定理1可得结论 □4.三角形的垂心(1)定义:三角形三条高线的交点(2)若O 是△ABC (非直角三角形)的垂心,则tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→0 证:当△ABC 为锐角三角形,即O 在△ABC 内部时先证S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC因为∠BOD ＝∠AOE ,∠AOE ＋∠OAE ＝90° 所以∠BOD ＋∠OAE ＝90°, 同理∠COD ＋∠OAF ＝90°, 所以∠BOC ＋∠A ＝180° 所以sin ∠BOC ＝sinA同理sin ∠AOC ＝sinB ,sin ∠AOB ＝sinC .所以S △BOC S △AOC ＝12OB ·OCsin ∠BOC 12OA ·OCsin ∠AOC ＝OBsinA OAsinB ＝OBcosA ·tanAOA cosB ·tanB＝OBcos ∠BOF ·tanA OAcos ∠AOF ·tanB ＝OF ·tanA OF ·tanB ＝tanAtanB同理S △BOC S △AOB ＝tanAtanC所以S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC ,由定理1有tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→当△ABC 为钝角三角形,即O 在△ABC 外部时.结合定理2可得结论. □三、例题1.O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足 →OP ＝→OA ＋λ(→AB |→AB |＋→AC |→AC |),λ∈[0,＋∞),则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心 已知O 是△ABC 所在平面上的一点, 若cb a PCc PB b PA a PO ++++= (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点),则O 点是△ABC 的( )A . 外心B . 内心C . 重心D . 垂心2.O 是△ABC 所在平面内的一点,且OA ·(→AB |→AB |－→AC |→AC |)＝OB ·(→BA |→BA |－→BC |→BC |)＝OC ·(→CA |→CA |－→CB |→CB |)＝→0 则O 是△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心3.若动点P 满足)|||(|AC AB AB AC AP ⋅+⋅=λ,R λ∈,则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A . 重心B . 内心C . 垂心D . 外心4.O 是△ABC 所在平面内的一点,且→OA ·→OB ＝→OB ·→OC ＝→OC ·→OA ,则O 是△ABC 的( ) A . 重心 B . 垂心 C . 外心 D . 内心5.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[sin ||sin ||(+∞∈+=λλCAC AC BAB AB OA OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心6.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[cos ||cos ||(2+∞∈+++=λλCAC ACB AB AB OC OB OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心7.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心8.设G 为△ABC 的重心,0||32||2||3=++GC AB GB CA GA BC ,则ACBC BCAB ⋅的值为9.H 是斜三角形ABC 的垂心,A =45°,BACC AB AH tan tan +=λ,λ=________10.若△ABC 外接圆的圆心为O ,半径为4,022=++AC AB OA ,则CA 在CB 方向上 的投影为( )22.7.15.4.D C B A11.在△ABC 中,D 为三角形所在平面内的一点,且AC AB AD 2131+=;则 =ACDBCD S S △△（ ）32.21.31.61.D C B A12.P 是△ABC 所在平面上一点,满足AB PC PB PA 2=++.若S △ABC =6,则 △P AB 的面积等于（ ）A .4B .3C .2D .113.△ABC 内一点O 满足032=++OC OB OA ,直线AO 交BC 于点D ,则（ ） 05.05.023.032.=+=-=+=+OD OA D OD OA C DC DB B DC DB A14.△ABC 内接于以O 为圆心,半径为1的圆,且0543=++OC OB OA ,则 △ABC 的面积为（ ）23.56.65.1.D C B A15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2acosB =2c ﹣b ,若O 是 △ABC 外接圆的圆心,且AO m AC BCAB C B =⋅+⋅sin cos sin cos ,则m =。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故C tan B tan A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为AB是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r ，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0 是 AABC 的重心O OA + OB + dc = 0; 若 0 是AABC 的重心，则 == S AAOB =故 O X + 6B +OC = 0.P G = i -4- 评刀-4- A 。
) =G 为 AABC 的重心.2. 0 是 AABC 的垂心» dA OB = OB OC = OC OA .若。
是AABC (非直角三角形)的垂心，则S △HOC ： S^Aoc ： S DB = tan A ：tan B ： tan C故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 63.0是AABC 的外心o IOAI=IOBI=IOCI (或。
^七而七成?)若 0 是 AABC 的外心则 S ABOC ： S 印疝 S^OB =sinZBOC ：sinZAOC ：sinZAOB =sin2A: sin2B: sin2C故 sin2AOA + sin2BOB + sin2COC = 6 4. 0 是内心AABC 的充要条件是I ABI AC ， IBAI IBCI ICAI ICBI■ . . —♦ —* —*引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB ,BC ,CA 的单位向量为勺弟2夹3,则刚才。
是AABC 内心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0。
若。
是AABC 的内心，则°ABOC ：^AAOC 5 °A.XOB故 aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + sinBOB + sinCOC = 6.| AB | PC+ \BC\PA+\CA\PB = QO P 是 AABC 的内心；向量"（辎 + 等）（膈°）所在直线过即。
的内心（是ZBAC 的角平 |AB| |AC| 分线所在直线）；（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1.、是*上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 矛=函+人（雪+里K（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心T R解析：因为端是向量布的单位向量设屈与京方向上的单位向量分别为6和。
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1.0是的重心；若0是的重心，则故；为的重心.2.0是的垂心；若0是（非直角三角形）的垂心，则故3.0是的外心（或）若0是的外心则故4. 0是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记的单位向量为，则刚才0是内心的充要条件可以写成，0是内心的充要条件也可以是。
若0是的内心，则故；是的内心；向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）；xx 例（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P 点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，贝卩知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2. H是厶ABC所在平面内任一点，点H是厶ABC的垂心.由,同理，.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））例3.（xx）P 是厶ABC所在平面上一点，若，则P是厶ABCF（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析: 由. 即贝S所以P为的垂心.故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是厶ABC所在平面内一点，=0点G是厶ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE贝S CE=GB BE=GCBGCE平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0,故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略））例5. P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心.证明••*是厶ABC的重心/• =0=0,即由此可得. （反之亦然（证略））例6 若为内一点, ,则是的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：由得，如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，贝卩，由平行四边形性质知,,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则A BC A OB A OC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++uu u r uu r uu r uu u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222O C O B O A ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA ||BC ||BA |AC|AB |=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A O B A O C B O C ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u r u u r u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠uu u r uu u ruu u r uu u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴++=0⇒++=0，即++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=uu u r uu u r uuu r，由平行四边形性质知12OE OD =uu u r uuu r ，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形四心向量结论
三角形四心向量结论
三角形四心向量结论：
1、三角形有四个中心：重心，质心，内心，中心。
2、重心：三角形的重心是三角形两条边的交点，即三边的重心线的交点，是三边的平分线的交点，也就是三条边的中点。
3、质心：三角形的质心是三角形的三条边的重心，也就是三边的向量矢量的重心，以及三角形的面积重心。
4、内心：内心是三角形三个内角的公共点，是三角形的垂心，也叫外心，但是它不是三角形三边的重心。
5、中心：中心是三角形三个顶点的共同中点，它在三边上，也就是三条边的向量矢量中点。
它是三边中等分线的交点，也是三角形三条边的垂心。
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
三角形的“四心”的向量关系
三角形的“四心（重心，垂心，外心，内心）”的向量关系1．O 为ABC 的外心222OA OB OC ⇔==证明： O 为ABC 的外心||||||OA OB OC ⇔==222OA OB OC ⇔==。
2. O 为ABC 的重心0OA OB OC ⇔++=证明：O 为ABC 的重心211()[()()323OA AB AC OB OA OC OA ⇔=-∙+=--+-化简即得0OA OB OC ++=。
3．O 为ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔== 证明：O 为ABC 的垂心,,OA BC OB CA OC AB ⇔⊥⊥⊥0,0,0()0,()0,()0OA BC OB CA OC AB OA OC OB OB OA OC OC OB OA ⇔===⇔-=-=-=OA OB OB OC OC OA ⇔==4. O 为ABC 的内心0a O A b O Bc O C ⇔++=（其中,,a b c 为ABC 的三边长：||,||,||BC a CA b AB c ===）证明：O 为ABC 的内心（设D 为角A 平分线与对边的交点）||||||,||||||OA AB DC BD OB B OA A DO BD AC AB ⇔∠∠⇔==平分，平分（||||||||||||||||DC BD DC BD ac b AC AB AC AB +===++,应用了合比定理）OA b c a DO +⇔= ()()DO a DA a b ca b c OA b c DA b c b c OA OA++⇔=⇔=⇔++=+++又()()()BD cbBD cDC b AD AB c AC AD b c AD bAB c AC bDC =⇔=⇔-=-⇔+=+故()()()()a b c OA bAB cAC b OB OA c OC OA ++=-+=---- 得证做题中常见的结论①在△ABC 中，AB AC +一定过BC 边的中点，即通过△ABC 的重心。
三角形四心的向量应用
→
2
3
|AB| |AC| 2
形．故选 D.
→ →
→
→
→
→
→
→
→
7.已知向量OP1，
OP2，OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1，
求证：△P1P2P3 是正三角形．
证明
→
→
→
→
→
1
由已知条件可得OP1＋OP2＝－OP3，两边平方，得OP1·OP2＝－ .
2
→
→
→
→
1
同理OP2·OP3＝OP3·OP1＝－ .即∠P1OP2＝∠P2OP3＝∠P1OP3＝120°，
O,N,P 依次是△ABC 的
外心 ,
重心 , 垂心 .
解析 由||=||=||知 O 为△ABC 的外心;
由 + + =0 知 N 为△ABC 的重心;
因为·=·,所以(-)·=0,
所以·=0,所以⊥,即 CA⊥PB,
同理 AP⊥BC,CP⊥AB,所以 P 为△ABC 的垂心.
角形各顶点(1)O是△ABC的重心⇔OA＋OB＋OC＝0；
→ → → → → →
(2)O是△ABC的垂心⇔OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；
→
→
→
→
→
→
(3)O是△ABC的外心⇔|OA|＝|OB|＝|OC|(或OA2＝OB2＝OC2)；
→
→
→
→
→
||
+
||
,即=λ
||
+
分别表示平行于和的单位向量,故
||
三角形“四心”向量形式的结论及证明
三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。
它们的位置可以用向量的形式来描述。
本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。
1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。
证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。
而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。
因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。
根据向量加法的性质，可以得到上述结论。
2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。
用O表示外心。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。
其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。
证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。
根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。
根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。
三角形四心向量公式总结
三角形四心向量公式总结三角形四心向量公式是一种重要的数学理论，它可以用来计算三角形形状的几何特征，以及三角形的内部关系。
这种理论在很多方面都有着重要的应用，它可以用来解答一些几何问题，比如求解三角形面积，求解三角形内切圆半径，以及求解三角形外接圆半径等。
三角形四心向量公式基本上是由十六世纪意大利数学家拉罗什欧几里得提出的。
他利用这个公式求解了三角形几何特性。
根据这个公式，可以计算出三角形内心、外心、重心和旋心的坐标。
三角形四心向量公式的主要思想是将一个三角形内部的三个点都映射到一个三维向量空间中。
这个向量空间的x、y、z坐标的值分别是点PA、PB、PC的x、y、z坐标的值。
然后将三维空间中的三个点投影到二维空间中，这样就可以求得三角形的三个内心、外心、重心和旋心的坐标。
一个三角形的内心是三角形内部的垂心，也就是三条边的共线中点；而外心是三角形外部的垂心，也就是外接圆的圆心；重心是三角形内部的重心，也就是三条边的重心；而旋心是三角形外部的旋转中心，也就是外接圆的圆心。
三角形四心向量公式的优点非常明显，它可以求解三角形的内心、外心、重心和旋心的坐标，并且这一求解过程非常简单，只需计算三个点的三维坐标，然后将它们投影到二维空间中即可。
此外，三角形四心向量公式还可以用于计算多边形的几何特性。
它可以用来计算多边形的质心、最大质点、最小质点、外接圆等。
对于给定的多边形，可以利用这一公式求解出多边形的重心、内切圆、外接圆等。
三角形四心向量公式也有一些不足之处。
例如，它只能用于计算几何点的三维坐标，因此不能直接用于计算三角形的面积或求解三角形外接圆的半径。
这意味着需要对计算结果进行一定的转换才能得到更多有用的信息。
总之，三角形四心向量公式是一种重要的数学理论，它可以用来求解三角形的内心、外心、重心和旋心坐标，以及多边形的质心、最大质点、最小质点、外接圆等。
它的优点就在于求解过程非常简单，只需计算三个点的三维坐标，然后将它们投影到二维空间中即可。
三角形“四心”向量表示
三角形 【2 】四心的向量问题三角形重心.垂心.外心.心坎向量情势的充要前提的向量情势 一．常识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心,则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是心坎ABC ∆的充要前提是|CB ||CA |OC |BC ||BA |OB AC|AB |OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使前提变得更简练.假如记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则适才O是ABC∆心坎的充要前提可以写成0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆心坎的充要前提也可所以0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心坎,则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心坎;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠地点直线过ABC ∆的心坎(是BAC ∠的角等分线地点直线); 二．典范(一)．将平面向量与三角形心坎联合考核 例1．O 是平面上的必定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 知足OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹必定经由过程ABC ∆的（）（A ）外心（B ）心坎（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 偏向上的单位向量分离为21e e 和, 又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的根本性质知AP 等分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 等分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新鲜.生疏”,起首AB是什么？没见过！想想,一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简略的根本常识,如向量的加减法.向量的根本定理.菱形的根本性质.角等分线的性质等,若十分熟习,又能敏捷地将它们迁徙到一路,解这道题一点问题也没有.(二)将平面向量与三角形垂心联合考核“垂心定理”例2．H 是△ABC 地点平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥,BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 地点平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的（D ） A ．外心B ．心坎C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评：本题考核平面向量有关运算,及“数目积为零,则两向量地点直线垂直”.三角形垂心界说等相干常识.将三角形垂心的界说与平面向量有关运算及“数目积为零,则两向量地点直线垂直” 等相干常识奇妙联合.(三)将平面向量与三角形重心联合考核“重心定理” 例4．G 是△ABC 地点平面内一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证实 作图如右,图中GE GC GB =+贯穿连接BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0, 得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=,故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5．P 是△ABC 地点平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证实CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CGBG AG ++=0,即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点,0OA OB OC ++= ,则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．心坎B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-,如图以OB.OC 为相邻双方构作平行四边形,则OB OC OD +=,由平行四边形性质知12OE OD =,2OA OE=,同理可证其它双方上的这共性质,所所以重心,选D.点评：本题须要扎实的平面几何常识,平行四边形的对角线互相等分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点,所分这比为21λ=.本题在解题的进程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相等分及三角形重心性质等相干常识奇妙联合.(四)．将平面向量与三角形外心联合考核 例7若O 为ABC ∆内一点,OA OB OC==,则O 是ABC ∆ 的（ ）CA ．心坎B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的界说知O 到ABC ∆的三极点距离相等.故O 是ABC ∆ 的外心 ,选B. 点评：本题将平面向量模的界说与三角形外心的界说及性质等相干常识奇妙联合. (五)将平面向量与三角形四心联合考核例8．已知向量1OP ,2OP ,3OP 知足前提1OP +2OP +3OP =0,|1OP |=|2OP |=|3OP |=1,求证△P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下）,温习参考题五B 组第6题） 证实 由已知1OP +2OP =-3OP ,双方平方得1OP ·2OP =21-,同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-,∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3,从而△P1P 2P 3是正三角形.反之,若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中间,则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 地点平面内一点,1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中间.例9．在△ABC 中,已知Q.G.H 分离是三角形的外心.重心.垂心.求证：Q.G.H 三点共线,且QG:GH=1:2.【证实】：以A 为原点,AB 地点的直线为x 轴,树立如图所示的直角坐标系.设A(0,0).B （x 1,0）.C(x 2,y 2),D.E.F 分离为AB.BC.AC 的中点,则有：212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--，212(,)BC x x y =- 2212422142()0()AH BCAH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-212223221232()()0222()22QF ACx x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321=3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y即=3QH QG ,故Q.G.H 三点共线,且QG ：GH =1：2【注】：本例假如用平面几何常识.向量的代数运算和几何运算处理,都相当麻烦,而借用向量的坐标情势,将向量的运算完整化为代数运算,如许就将“形”和“数”慎密地联合在一路,从而,许多对称.共线.共点.垂直等问题的证实,都可转化为闇练的代数运算的论证.例10．若O.H 分离是△ABC 的外心和垂心. 求证 OC OB OA OH ++=.证实 若△ABC 的垂心为H ,外心为O ,如图. 连BO 并延伸交外接圆于D ,贯穿连接AD ,CD .∴AB AD ⊥,BC CD ⊥.又垂心为H ,BC AH ⊥,AB CH ⊥, ∴AH ∥CD ,CH ∥AD ,∴四边形AHCD 为平行四边形,∴OC DO DC AH +==,故OC OB OA AH OA OH ++=+=.有名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心.重心.垂心的地位关系：（1）三角形的外心.重心.垂心三点共线——“欧拉线”;（2）三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.“欧拉定理”的向量情势显得特殊简略,可简化成如下的向量问题. 例11．设O .G .H 分离是锐角△ABC 的外心.重心.垂心.求证 OHOG 31=证实 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++=按垂心定理 OC OB OA OH ++=由此可得 OHOG 31=.补充演习1．已知A.B.C 是平面上不共线的三点,O 是三角形ABC 的重心,动点P 知足OP =31 (21OA +OB21+2OC ),则点P 必定为三角形ABC 的（B ）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M,则OM OB OA 2=+,由OP =31 (21OA+OB 21+2OC )可得3MC OM OP 23+=,∴MC MP 32=,即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点,且点P 不过重心,故选B.2．在统一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ知足关系式： 2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA ＝2OC＋2AB ,则Ｏ为ABC ∆的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心2．已知△ABC 的三个极点A.B.C 及平面内一点P 知足：0PA PB PC ++=,则P 为ABC ∆的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心3．已知O 是平面上一 定点,A.B.C 是平面上不共线的三个点,动点P 知足：)(AC AB OA OP ++=λ,则P 的轨迹必定经由过程△ABC 的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心4．已知△ABC,P 为三角形地点平面上的动点,且动点P 知足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=,则P 点为三角形的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心5．已知△ABC,P 为三角形地点平面上的一点,且点P 知足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=,则P 点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心G A BCMN G图16．在三角形ABC 中,动点P 知足：CP AB CB CA •-=222,则P 点轨迹必定经由过程△ABC 的： （ B ） Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心7.已知非零向量AB →与AC →知足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC→|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与知足(||||AB AC AB AC +)·=0,即角A 的等分线垂直于BC,∴ AB=AC,又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12,∠A=3π,所以△ABC 为等边三角形,选D ．8.ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m = 19.点O 是三角形ABC 地点平面内的一点,知足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的（B）（A ）三个内角的角等分线的交点（B ）三条边的垂直等分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点10. 如图1,已知点G 是ABC ∆的重心,过G 作直 线与AB,AC 双方分离交于M,N 两点,且AM xAB =,AN y AC =,则113x y +=.证 点G 是ABC ∆的重心,知GA GB GC ++=O ,得()()AG AB AG AC AG -+-+-=O ,有1()3AG AB AC =+.又M,N,G 三点共线（A 不在直线MN 上）, 于是消失,λμ,使得(1)AG AM AN λμλμ=++=且,有AG x AB y AC λμ=+=1()3AB AC +,得113x y λμλμ+=⎧⎪⎨==⎪⎩,于是得113x y +=。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0 是AABC 的重心 O OA+OB + OC=0=AAOe = AAOB若0 是AABC 的重心，则“g AAX一故OA+OB + OC = 0；PC = 4-(戸N + RS + OG 为A4BC的心.ABoe △ABC2. 0 是AABC的垂心o OA OB =OB OC = OC・OA ；若0是AABC （非宜角三角形）的垂心，则^ABOC：S MO"S DB = tan A：taii B：taii C 故tan AOA + tan BOB + tan COC= 03. 0 是AABC的外心o lOAimOBITOCI (或dX? =OB^ =OC^)若0 是AABC 的外心则'ABOC：S^OB = sinZBOCtsinZAOC ：slnZAOB = $ln2A ; sIn2B:sln2C故sInZAOA + slnlBOB + sInZCOC =CAI CAI ICBI4. 0是内心AABC的充要条件是6^"珞-篦川页务-壬引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记而,，不的单位向量为引，则刚才0是IBCIAABC 内心的充要条件可以写成OA. (Cj+63)= OB.(e,+€2)= 00.(62+63) = 0AABC内心的充要条件也可以是aOA + bOB+cOC = 0 。
若o是AABC的内心，则S QM； S4WB = 3： bj c故aOA + b 而 + cOC = OsSsInAOA + sInBOT + sInCOC = 0I丽1疙+|5?1莎+1乙5lP5 = 6oP是AABC的内心;向助鴿+ 所在直线过WC的内心（是ZBAC的角平广n分线所在直线）;（一）将平面向量与三角形内心结合考査例1. 0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP = OA + 2(AB AC —+）,A € [0,4-3）JOO P点的轨迹一定通过M3C的（）A Cl（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心4 R解析：因为A"_是向量廳的单位向量设廳与疋方向上的单位向量分别为勺和又AB "OP-OA = AP,则原式可化为川>=久2|+勺），由菱形的基本性质知AP平分Z3AC,那么在MBC中，AP平分ZBAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考査“垂心定理”例2. 〃是△磁所在平面内任一点，HA H B^HB HC^HC HA O点〃是△磁的垂心.由蔽帀=帀汞0帀蔽-丽=0 0市益-oo丽丄衣,同理花丄而，HA±^•故〃是△磁的垂心•（反之亦然（证略））例3.（湖南）P是△ABC所在平面上一点，若PA・PB = PB、PC = P CPA,则P是ZkABC的（D ）D.垂心A.外心B.内心C.重心解析：由莎•而=而•尢得莎而一而药=0.即PB・（PA — PC）=（X即PB・C4 = 0则PB丄（X同理PA丄BUPC丄AB所以P为MBC的垂心•故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考査“重心定理”例4. G是△磁所在平面内一点，刃+而+云=0o点G是△磁的重心.线. 证明作图如右，图中^ + GC = GE连结朋和⑦ 则d包，庞曲70 磁F为平行四边形=>e是％的中点，Q为％边上的中将而+云=52代入方+而+炭=0,得^ + ^=0=> ^ = -GE = -2GD,故G是△磁的重心•（反之亦然（证略））例5. P是△磁所在平面内任F G是△磁的重心。
第7讲 平面向量的奔驰定理与四心问题(解析版)
第7讲 平面向量的奔驰定理与四心问题【考点分析】考点一：三角形四心的概念：①重心：各边中线的交点，重心将中线长度分成2：1．①内心：各角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． ①外心：各边中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． ④垂心：各边上高线的交点，高线与对应边垂直． 考点二：三角形四心的向量表示： ①内心：三角形的内心在向量AB AC ABAC+所在的直线上.0AB PC BC PC CA PB ⋅+⋅+⋅=⇔P 为ABC △的内心. ①外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC △的外心.①垂心：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔P 为ABC △的垂心. ④重心：0PA PB PC ++=⇔P 为ABC △的重心. 考点三：重心坐标公式已知ABC △的顶点11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，则①ABC 的重心坐标为123123()33x x x y y y G ++++，. 考点四：奔驰定理奔驰定理：0321=++OC OB OA λλλ，则AOB △、AOC △、BOC △的面积之比等于321::λλλ 证明：如图，令112131OA OA OB OB OC OC λλλ===，，，即满足1110OA OB OC ++=11121AOB A OB S S λλ=△△，11131AOC A OC S S λλ=△△，11231BOC B OC S S λλ=△△，故321::::AOB AOC BOC S S S λλλ=△△△.考点五：三角形四心与奔驰定理的关系①O 是ABC △的重心：::1:1:10BOC COA A0B S S S OAOB OC =⇔++=△△△．①O 是ABC △的内心：::::0B0C COA AOB S S S a b c OA OB OC =⇔++=△△△．①O 是ABC △的外心：0::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△． ④O 是ABC △的垂心：0::tan :tan :tan tan tan tan 0B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△． 【题型目录】题型一：四心的向量表示 题型二：奔驰定理的应用 【典型例题】题型一： 四心的向量表示【例1】已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PA PC ==，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心【解析】解：因为且||||||OA OB OC ==，所以0到顶点A ，B ，C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心． 由PA PB PB PC PA PC ==得()0PA PC PB -=，即AC PB ，所以AC PB ⊥． 同理可证AB PC ⊥，所以P 为ABC ∆的垂心．若0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +==，所以2||||NE CN =， 所以N 是ABC ∆的重心． 故选：C ．【例2】已知M 点在ABC 所在的平面内，满足()(|si |||n sin AB ACOM OA AB B AC Cλλ=++∈R)，则动点M 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．内心 B ．垂心 C ．外心 D ．重心||sin ||sin AB B AC C =，由,AB AC 表示出AM 即可判断作答令ABC 边BC 上的高为h ，则有||sin ||sin AB B AC C h ==，令边BC 的中点为则2AB AC AD +=， 因此，2()()AB AC AB AC AD h h h AM OM OA hλλλ+=-=+==，即//AM AD ， 所以动点M 的轨迹一定通过ABC 的重心. D【例3】设O 为ABC ∆的外心，若OA OB OC OM ++=，则M 是ABC ∆的（ ） A ．重心（三条中线交点） B ．内心（三条角平分线交点） C ．垂心（三条高线交点） D ．外心（三边中垂线交点）【答案】C【解析】设AB 的中点为D ，根据题意可得OD AB ⊥，由题中向量的等式化简得CM AB ⊥，即CM 在AB 边的高线上．同理可证出AM 在BC 边的高线上，故可得M 是三角形ABC 的垂心． 【详解】在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==， ①OA OB OC OM ++=， ①OA OB OM OC +=-，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CM OD =， ①CM AB ⊥，可得CM 在AB 边的高线上． 同理可证，AM 在BC 边的高线上，故M 是三角形ABC 两高线的交点，可得M 是三角形ABC 的垂心， 故选：C【点睛】本题给出三角形中的向量等式，判断点M 是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．【例4】已知点O 是ABC ∆所在平面内的一定点，P 是平面ABC 内一动点，若1,(0,)2OP OA AB BC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心由12AB BC AD +=，12OP OA AB BC λλ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，知OP OA AD λ=+，，故点P 的轨迹一定经过①ABC 的重心． 的中点， ①12AB BC AD +=，12OP OA AB BC λλ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，①OP OA AD λ=+， 即AP AD λ=①点P 的轨迹是射线AD ， ①AD 是①ABC 中BC 边上的中线，点P 的轨迹一定经过故选：A ．【点睛】本题考查三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【例5】点O 为ABC 所在的平面内，给出下列关系式： ①0OA OB OC ++=；①0AB A OA AB C AC ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪⎝-⎭且0BC BA OB BC BA ⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎝⎭； ①()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=.则点O 依次为ABC 的（ ）A ．内心、重心、垂心B ．重心、内心、垂心C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心 AB AB和AC AC，从而得出点的平分线上，这就涉及三角形的内心；第三条可以推导出OA OB +和AB 垂直，从而和三角形的外心由于()2OA OB OC OD =-+=-，其中的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点（靠近O 为ABC 的重心； AC AC，AB AB，分别表示在边AC 和AB 上取单位向量AC '和AB '，它们的差是向量B C ''，当0AB A OA AB C AC ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪⎝-⎭，即OA 的平分线上，同理由0BC BA OB BC BA ⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎝⎭，在ABC ∠的平分线上，故O 为ABC 的内心；①OA OB +是以OA ，OB 为边的平行四边形的一条对角线的长，而AB 是该平行四边形的另一条对角线的长，()0OA OB AB +⋅=表示这个平行四边形是菱形，即OA OB =，同理有OB OC =，故O 为ABC 的外. 故选：C【点睛】本题考查利用向量的方法去研究三角形的内心，外心，重心的性质，属于有一定难度的综合题。