关于广义判别式及其应用点滴.许兴华
第5章 判别分析_1
'
def
2W ( X )
其中
W ( X ) ( X X * )' S 1 ( X (1) X ( 2) ) 1 (1) * X ( X X ( 2) ) 2
则判别准则还可以写为:
判 X G1 , 当W ( X ) 0时 判 X G2 , 当W ( X ) 0时
(2) < (1) ) , 令
(x )
(1) 2
2 1
(x )
( 2) 2
2 2
(1) 2 ( 2) 1 x 1 2
def
*
判 X G1 , x * 而按这种距离最近的判别准则为: 判 X G2 , x *
因只有一个指标,这时判别函数为:Y=Y(x)=x.此例中 * =79,因
表5.1 盐泉的特征数值 K· 3/Cl Br· 3/Cl K· 3/ 盐 10 10 10 (X1) (X2) (X3) 13.85 22.31 28.82 15.29 28.79 2.18 3.85 11.40 3.66 12.10 8.85 28.60 20.70 7.90 3.19 12.40 16.80 15.00 2.79 4.67 4.63 3.54 4.90 1.06 0.80 0.00 2.42 0.00 3.38 2.40 6.70 2.40 3.20 5.10 3.40 2.70 7.80 12.31 16.18 7.50 16.12 1.22 4.06 3.50 2.14 5.68 5.17 1.20 7.60 4.30 1.43 4.43 2.31 5.02
判别分析是用于判别样品所属类型的一种统计分析方
法,是根据表明事物特点的变量值和它们所属的类,求出判
化和未标准化的典则判别函数提供的...
判别分析运用于服务提供商选择研究：以中国电信互联星空项目为例北京邮电大学硕士学位论文判别分析运用于服务提供商选择研究:以中国电信互联星空项目为例姓名:崇静申请学位级别:硕士专业:项目管理指导教师:郑文富20080603判别分析运用于服务提供商选择研究以中国电信互联星空项目为例摘要互联星空是中国电信运营宽带增值业务的一个平台,通过聚合的内容为广大宽带用户提供互联网宽带服务。
.随着互联星空的发展与壮大,互联星空的数量曾逾千家。
作为电信增值业务价值链中的一环,如何对进行科学、有效的管理成为了价值链管理的重点之一。
合作共赢是增值业务价值链所要达到的目标,然而,低质不仅占用了电信的合作资源,而让运营商存在着客服、安全等多方面的风险。
如何清理低质,找到优质,即如何对进行科学的分类与评价是本文将要研究的问题。
目前各大运营商普遍采用积分评价体系对进行考核,中国电信也在采用类似方法。
本文通过研究互联星空的业务考核数据,以及其与综合评比后的分类结果之间关系,采用判别分析方法,建立对进行分类的数学模型,找到通过业务数据,不经过综合评比即可正确分类的方法。
本研究以互联星空的真实业务数据为基础,先通过逐步判别法筛选出了考核指标与评选分类相关的个指标,之后建立了评比分类的数学模型,该模型函数对数据的正确判断率达.%。
通过研究主要得到下面两个结论:从考核指标中筛选出了个指标与评比分类最为相关。
由此分析,优质普通具有个主要特征,一是有稳步发展的忠实客户群,二是能够提供优秀的售后服务支持。
区分优质,不仅要依据交易额的多少进行判别,更重要的是提供的服务能吸引更多的用户,能够培养出忠实的客户群,“人气一本身就体现了价值。
构建了评比分类的典型判别函数。
应用该数学模型,即使不对进行大范围的综合评比,也能将其分类,还可将此研究方法应用到运营商全业务,对全网进行分类与管理。
通过对本文研究得到的数学模型的分析,总结出优质的特质是优秀的服务与创建忠实用户群,业务收入并不是最重要的指标。
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
半环上矩阵的广义逆
半环上矩阵的广义逆何兴月;廖祖华【摘要】研究了加法幂等除半环上一类特殊的上三角矩阵的广义逆.利用数学归纳法,给出此类特殊的上三角矩阵的元素间的关系.在此基础上,证明了此类特殊的上三角矩阵类中每一个矩阵都是正则矩阵以及存在{2}-广义逆.%The generalized inverses of a kind of upper triangular matrices over additively - idempotent division semiring are studied. The relationships between the entries of this kind upper triangular matrices are given by mathematical introduction. On this basis,each matrice of this kind upper triangular matrices is regular matrice and the existence of j 2} -generalized inverse is proved.【期刊名称】《江南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(010)005【总页数】3页(P624-626)【关键词】半环;正则矩阵;加法幂等的除半环;数学归纳法【作者】何兴月;廖祖华【作者单位】江南大学理学院,江苏无锡214122;江南大学理学院,江苏无锡214122【正文语种】中文【中图分类】O153.1半环的研究始于19世纪末，概念是由Dedekind于1894年在《代数数论》中提出来的，众多学者对此作了大量的研究。
这不仅使得半环理论在数学内部得到了巨大的发展，同时还使它在计算机科学中得到了广泛的应用。
目前半环已经成为理论计算机科学中最重要的代数结构之一［1］。
迄今为止已有不少关于半环理论及应用的专著［2-6］。
模式识别Pattern Recognition
b2
... bN
T
这样，可以将所有的等式改写成一个线性方程组
a y n y n a bn , n 1,..., N
T T
T y1 y11 T y 2 y21 Y ... ... T yN yN 1
y12 y22 ... yN 2
T
X1 w0 u1 T X 2 w X1
T
N u 2 N1 u1 T N X 2 N2 u2 T
u1T T X1
u 2 T u1 X 2 T u2
X1 w0 u1T T X 2 w X1
2 T 1 2 T 2
N 2 d
矩阵 Y 可以表示成：
T 1 (x1 ) 1 T ... y1 1 T 1 (x1 ) T y2 u1 N1 Y 2 T ... 1 (x1 ) u 2 T y 1 ... N 2 T 1 (x N 2 )
T (x1 ) 1 1 T (x 2 ) X1 ... 1 T (x ) N 1
N 1 d
相应地，设ω2 类的样本集为
X 2 {x , x , ..., x }
2 1 2 2 2 N2
写成矩阵形式为：
(x ) (x ) X2 ... 2 T (x ) N 2
J s (a) a Y Ya 2a Y b b b
T T T T T
a J s (a) 2Y Ya 2Y b
T T
a J s (a) 2Y Ya 2Y b
《判别分析》课件
在金融领域的应用
信用评分
利用判别分析模型，通过借款人 的特征和历史表现，预测其未来 违约风险，为金融机构提供信贷
决策依据。
市场风险评估
判别分析用于评估金融市场风险 ，通过分析市场数据和变量，预 测市场走势，帮助投资者做出合
理决策。
投资组合优化
利用判别分析对投资组合进行优 化，通过评估不同资产的风险和 回报，为投资者提供最佳资产配
对判别分析的未来展望
改进算法
针对判别分析的假设严格问题，未来研究可以尝试改进算法，放宽 假设条件，使其更适用于实际数据。
结合其他技术
可以考虑将判别分析与其它机器学习算法相结合，如神经网络、支 持向量机等，以提高分类性能和泛化能力。
拓展应用领域
随着大数据时代的到来，判别分析在各个领域的应用越来越广泛，未 来可以进一步拓展其应用领域，解决更多实际问题。
在市场营销中，判别分析可用于市场 细分，根据消费者的购买行为、偏好 和需求等因素，将市场划分为不同的 细分市场，帮助企业制定更加精准的 市场策略。
广告投放优化
通过判别分析对广告投放效果进行评 估和优化，基于历史数据和实时监测 数据，分析不同广告渠道和创意的表 现，提高广告投放的效率和效果。
06 判别分析的案例分析
金融领域的判别分析案例
信用风险评估
利用判别分析对银行客户进行信用风险评估，根据客户的历 史表现和其他相关信息，预测其未来违约的可能性，帮助银 行制定更加精准的信贷政策。
股票市场预测
通过判别分析对股票市场走势进行预测，基于历史数据和市 场信息，构建预测模型，以指导投资者进行投资决策。
1. 单变量判别函数
基于单个特征的判别函数。
2. 多变量判别函数
判别分析理论部分
判别分析一、理论部分（一）判别分析概述判别分析产生于20世纪30年代，是利用已知类别的样本建立判别模型，为未知类别的样本判别的一种统计方法。
近年来，判别分析在自然科学、社会学及经济管理学科中都有广泛的应用。
1.什么是判别分析所谓的判别分析是根据观测到的某些指标对所研究的对象进行分类的一种多元统计分析方法。
判别分析在主要目的是识别一个个体所属类别的情况下有着广泛的应用。
潜在的应用包括预测产品的成功或失败，决定学生是否别录取，按职业兴趣对学生分组，确定某人信用风险的种类，预测一个公司是否成功。
这些都可以通过判别分析来实现。
2.判别分析的特点判别分析的特点是根据已掌握的、历史上每个类别的若干样本的数据信息，总结出客观事物分类的规律性，建立判别公式和判别准则。
当遇到新的样本点时，只要根据总结出来的判别公式和判别准则，就能判别该样本点所属的类别。
3.判别分析用用的领域判别分析的应用领域非常广泛，例如：（1）用户和非用户；（2）经常购买者和非经常购买者；（3）新用户、流失用户和忠实用户；（4）忠诚用户和非忠诚用户；（5）新产品早期使用者和后期使用者；（6）消费者心目中喜欢的品牌和不喜欢的品牌；（7）消费者对我们的品牌和竞争品牌的不同属性偏好；（8）偏好图；（9）市场细分；（10）新产品开发等；4.判别分析与聚类分析的比较判别分析和聚类分析是不同的，很多人不知道两者的区别，为更好阐明两者的区别在此做出比较：聚类分析指将物理或抽象对象的集合分组为由类似的对象组成的多个类的分析过程。
（1）基本思想不同聚类分析的基本思想。
我们所研究的样品或指标( 变量) 之间存在程度不同的相似性( 亲疏关系) , 于是根据一批样品的多个观测指标, 具体找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量, 以这些统计量作为划分类型的依据。
把一些相似程度较大的样品( 或指标) 聚合为一类, 把另外一些相似程度较大的样品( 或指标) 又聚合为另一类; 关系密切的聚合到一个小的分类单位, 关系疏远的聚合到一个大的分类单位, 直到把所有的样品(或指标)聚合完毕。
人工智能第3章(确定性推理1-图盲目搜索)
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浅析判别式在解题中的应用
浅析判别式在解题中的应用毕业论文题目浅析判别式在解题中的应用学院数学科学学院专业数学与应用数学班级数学1102学生张义学号20110921216指导教师蒋琴会二〇一五年五月二十五日摘要判别式法是一种技巧层次的解题方法，是把题设中的条件转化为一个方程，或者能通过条件构造出合适的函数，最终运用判别式来求解的思想方法. 本文讨论了一元二次方程的判别式在一元二次方程根的情况、含参数的一元二次方程、二次函数、二次曲线及证明不等式等方面的应用；研究了三角函数判别法在代数、方程、函数以及在解析几何中的应用；介绍了一元三次方程判别式的一些应用. 利用判别式可以将问题简单化，在方程、函数等有着广泛的应用. 通过应用判别式的思想把方程、函数、不等式联系起来，其核心是能否构造出合适的方程或函数. 本文主要的研究方法是通过举例子来阐述，从而归纳总结出判别式的解题思路和一般步骤.关键词：判别式；方程；函数；应用- I- IIABSTRACTDiscriminant is a skillful level of problem-solving approach, is to set the conditions in question transformed into an equation, or can be constructed condition suitable function, eventually using discriminant to solve the problem. We discuss a quadratic discriminant of a quadratic equation root in the case, the application contains the parameters of a quadratic equation, quadratic function, quadratic and prove inequality etc. I study the trigonometric discrimination law in algebra, equations, functions, and applications in analytic geometry, which introduced some applications of a cubic equation discriminant. These can simplify complex issues with discriminant equation, where the function was widely used in. By applying the idea of the discriminant equations, functions, inequalities linked to its core is the ability to construct a suitable equation or function. The main method we use is to illustrate some examples to the points, which summarize the discriminant problem-solving ideas and general procedures.Key words：Discriminant；Equation；Function；Application-目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1前言 (1)1.1研究背景 (1)1.2研究的意义和目的 (1)1.3 主要的研究方法 (1)2 一元二次方程的判别式 (2)2.1 一元二次方程判别式定理 (2)2.2 一元二次方程判别式的应用 (2)2.2.1 在一元二次方程中的应用 (2)2.2.2 在二次函数中的应用 (3)2.2.3 在求极值中的应用 (5)2.2.4 在二次曲线中的应用 (7)2.2.5 在二次不等式的应用 (8)-3 一元三次方程的判别式 (13)3.1 一元三次方程判别式定理 (13)3.2 一元三次方程判别式的应用 (18)4 三角判别式 (20)4.1 三角判别式定理 (20)4.2 三角判别式的应用 (20)4.2.1三角判别式在代数中的应用 (20)4.2.2三角判别式在方程中的应用 (21)4.2.3三角判别式在函数中的应用 (21)4.2.4三角判别式在解析几何中的应用 (21)结论 (23)参考文献 (24)致谢 (25)-- 11 前言1.1 研究背景一元二次方程的求根公式是中国最早发现的,在古代,我国数学家赵爽对古代著名的《周髀算经》注释时,写到“其信弦为广、袤合、令勾、股见者自乘为其实.”董国玉，卢静解释这句话的意思是“阐述了二次方程的求解过程”，可见参考文献[1]. 注释时赵爽研究方程时用到的求根公式和现在基本类似. 在古埃及的草纸文书中涉及了关于二次方程的简单解法，所以判别式很自然广泛的应用在解一元二次方程中.对于一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的判别式在中学数学用途广泛，判别式可直接判断出方程根的情况，若我们知道了方程根的情况,就可以得到系数之间的关系. 当涉及到系数与根之间的问题，或者可以转换成系数与根的问题，我们都可以使用判别式的方法来思考，把这种利用判别式来解数学中的问题的方法叫做“判别式法”.1.2 研究的意义和目的判别式是数学解题中的一种常用方法，判别式一般用于判断一个方程根的情况，而且可以根据方程的根，从而确定方程中一些参数的取值范围和联系，可以通过方程作为桥梁，来解决有关一些函数的问题或解决不等式一些问题，进而有效的把方程、函数、不等式联系起来，从而把复杂困难的问题变的有规律可寻，提高了对问题的理解题能力, 以及对于具体问题的分析能力.1.3 主要的研究的方法（1）例题讲解法：通过例题更好的揭示判别式的规律，根据题目中的条件或结论的不同可以从多个方向，多层次的去思考问题，从而更好地理解判别式的规律.（2）构造函数法：杨辉, 马菊意在文[2]中研究了判别式时介绍了通过对命题的条件、结论特点分析，能够合理构想、组合，以条件重新组合来构造函数，在应用函数解释条件与结论的联系，最终得到所需的结果.- 22 一元二次方程判别式的应用2.1 一元二次方程判别式定理一元二次方程判别式定理:在实数范围内,一元二次方程02=++c bx ax ）（0≠a 判别式记为，ac b 42-=∆ (1) 当0>∆时,方程有2个不相等实数根； (2) 当0=∆时,方程有2个相等实数根；(3) 当0<∆时,方程无实根,但有2个共轭复数根.注：当0<∆时,荣延俊在文[3]中探究了di c +与di c -）（0≠d 是一对共轭复数,若其都是方程的根,则我们称它们为共轭复数根.2.2 一元二次方程判别式的应用2.2.1 在一元二次方程中的应用温双琴在研究一元二次方程根的情况时, 介绍了有关一元二次方程问题或转化为一个一元二次方程的问题, 应用判别式可以解答所需的问题,可见参考文献[4].(1) 判断根的情况.例1 不解方程，判断下列一元二次方程有无实数根. (1) 010342=+-x x . (2) .04252=++x x 解 (1) 因为，10,34,1=-==c b a，）（08101434422>=⨯⨯--=-=∆ac b 所以方程有个不相等的实数根. (2) 因为，4,2,5===c b a，0784542422<-=⨯⨯-=-=∆ac b- 3所以方程无实根, 但有2个共轭复数根. (2) 确定方程中的参数的关系.例2 已知一元二次方程042=++bx ax 有两个相等的实数根, 求、a b 关系. 解 因为042=++bx ax是一个一元二次方程, 所以.0≠a又因为此方程有实数根, 所以，0=∆即为,0442=⨯-a b162b a =, 综上所述0≠a 且.162b a =(3) 判断参数的取值范围.例3 已知关于x 的方程0142=++x ax 有实数根, 求a 的取值范围.分析: 对于一个含有参数的方程,先判断它是一个什么样的方程,在讨论二次项系数是否为零,肖云瑞在文[5]中写到二次项系数是否为零应分情况讨论,然后在根据判别式来求出参数的取值.解 当，0≠a 一元二次方程有实数根,则，0416≥-=∆a由上式得；4≤a当0=a 时方程显然有实数根, 综上所述a 的取值范围是.4≤a 2.2.2 在二次函数中的应用形如02=++c bx ax (0≠a )是一元二次方程的形式,而形式为c bx ax y ++=2 (，a ，b c 为常数,0≠a )是二次函数的一般式.它们在形式上几乎相同,差别只有一元二次方程的表达式等于零,而二次函数的表达式等于y ,这种形式上的类似使得它- 4们之间的关系非常密切.主要是因为当二次函数中的变量y 取零时,二次函数就变成一元二次方程.可以看出,许多一元二次方程中的性质应用在二次函数中. (1) 求二次函数解析式.解 设所求二次函数)(x f 解析式为)0(2)21()(2>--=a x a x f ,化简得，)0(48)(2>-+-=a a ax ax x f 不妨设所求函数与x 轴的两个交点的横坐标为,1x ,2x 则，1x 2x 是所求函数等于零的两个不相等的实数根， 由韦达定理得121=+x x ,，a a x x 4821-=于是由题意得21221214)(x x x x x x -+=- 281=--=aa ,由此解得4=a ,即所求二次函数的解析式为.244)(2--=x x x f注：忽培明在文[6]中介绍了韦达定理及其应用.韦达定理 对于一个一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )有,ab x x -=+21，a cx x =21.(2) 函数交点的问题.研究函数交点问题时,其实可转化为方程是否有几个根,在文章[7]介绍了抛物线- 5与直线交点问题.例5 当m 为何值时,抛物线22)12(m x m x y +-+=与x 轴有两个交点.解 由题意得1414)12(22+-=⨯⨯--=∆m m m ,因为抛物线与x 轴有两个交点,所以0>∆,即014>+-m ,解得41<m , 所以当41<m 时抛物线22)12(m x m x y +-+=与x 轴有两个交点. 2.2.3 在求极值的应用在数学分析书中介绍了极值定理[8]：极值定理 设f 在点0x 连续，在某邻域0U ）（δ;0x 上可导.)(i 若当）（00,x x x δ-∈时0≤'）（x f ,当）（δ+∈00,x x x 时0≥'）（x f ,则f 在点0x 取得极小值,可以用min y 表示.)(ii 若当）（00,x x x δ-∈时0≥'）（x f ,当）（δ+∈00,x x x 时0≤'）（x f ,则f 在点0x 取得极大值,可以用m ax y 表示.对于二次函数c bx ax y ++=2）（0≠a ,当ab x 2-=时,y 有极值.我们把c bx ax y ++=2可以写成一个关于x 的一元二次方程的形式，02=-++y c bx ax 因为x 是实数,而有实数根的充要条件是.0≥∆ (1) 有理整函数极值.例6 已知函数)(x f y =满足方程,0122=-++x y yx求)(x f y =的极值.解 原方程可化为- 6，0)1()1(2=++-y x y 因为x 是实数,则0)1)(1(4≥+--=∆y y ,解得11≤≤-y ，显然可以看出,当1=y 时,方程变为0)11()11(2=++-x ,上式显然不成立,所以1=y 不是)(x f y =的极值， 于是)(x f y =只有极小值1min -=y ,无极大值. (2) 求有理分函数的极值.例7 求函数形如c bx ax x ax y ++++=22γβ的极值,贺光明在文[9]中归纳了一般步骤. )(i 把显函数cbx ax x ax y ++++=22γβ的形式化为隐函数的形式； )(ii 由于x 是实数,则用判别式可有0≥∆； )(iii 将y 值代入方程,求出对应的极值.目的：构造相关函数,转化成判别式的知识,进而解决问题. (3) 求多元函数的极值.例8 当)86lg(2++-=m mx mx y 的值域为R ,求m 的取值范围.解 要使上述函数的值域为R ,必须有862++-m mx mx 能取到大于零的一切值,因此⎩⎨⎧≥∆>.0,0m 所以解得m 的取值范围为1>m .- 7例9 令)0()22()(),(22≠++-=y yx y x y x F ,求),(y x F 的最小值是多少.分析 这是一个多元函数,在《多元函数极值的判别方》[10]中介绍了把原函数整理成一个二次函数,把一个未知数看成参数,应用判别式来确定函数的取值.解 令)0()22()(22≠++-=y yx y x T ,把上式化为04)22(45222=-++-+T yy x y y x , 则0)4(5)22(222≥-+--=∆T yy y y ,整理得，1688816522=+≥++≥yy T 当且仅当42=y 时,得，516min =T即),(y x F 的最小值是516.2.2.4 在二次曲线中的应用 (1) 二次曲线之间的位置关系.李永根老师在文[11]中介绍了二次曲线的定义和性质. 二次曲线 在平面上,由二元二次方程022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a (其中221211,,a a a 不全为零)所表示的曲线,叫做二次曲线.例 10 已知抛物线与椭圆的方程分别为m mx y 522+=,124322=+y x .当m 为何实数时,抛物线与圆相切,相交,相离.- 8解 联立抛物线方程和椭圆方程,整理得0)35(4832=-++m mx x ,其判别式为)35(48642--=∆m m ,当0=∆时,抛物线与椭圆相切,即43=m 或3=m ；当0>∆时,抛物线与椭圆相交,即3>m 或43<m ； 当0<∆时,抛物线与椭圆相离,即33<<m .- 9研究二次不等式在文[12]介绍了讨论二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 0>y 或0<y 的自变量x 的取值范围,其本质当于回归到二次函数中研究. (1) 不等式的证明.例12 已知：x ,y ,z 是实数,且满足等式0782=+--x yz x ,06622=+-++x yz z y ,求证：91≤≤x . 证 由题意得782+-=x x yz ,662-+=+x yz z y ）（，上式整理得，（222)1(6678)-=-++-=+x x x x z y即为，2)1(-±=+x z y因为,t 和z 是方程0)78()1(22=+-+-x x t x t的两个根,由于t 是实数，所以，0)78(4)1(22≥+---=∆x x x解得91≤≤x .(2) 不等式的有关极值.例13 已知1x 和2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x (k 为实数)的两个实根,求证2221x x +的最大值为19.解 由韦达定理得，19)5(22221++-=+k x x 由此得到5=k 时,最大值为19. (3) 三角不等式的证明.- 10例 14 已知：10≤≤θ,求证)cos(arcsin )arcsin(cos θθ>.证 因为10≤≤θ,所以，02)]2(arcsin[sin )arcsin(cos >-=-=θπθπθ又因为，01)(arcsin sin 1)cos(arcsin 22≥-=-=θθθ下面证明，212θθπ->- 为此构造一个关于θ的二次函数，442)1()2()(22222-+-=---=ππθθθθπθf这是一个关于θ的二次函数,由于二次项系数大于零,，084424-222<+-=-⋅⋅=∆πππ所以对所有θ,恒有0)(>θf ,即，（222)1()2θθπ->- 再由，01,022>->-θθπ得，212θθπ->- 即)cos(arcsin )arcsin(cos θθ>.陈英飞在文[13]中介绍了不等式通过构造函数,应用函数性质来解决不等式证明.- 11(4) 柯西-施瓦茨不等式.柯西-施瓦茨不等式定理若n a a a ,...,21和n b b b ,...,21是任意实数,则有)(121221∑∑∑===≤nk k nk k nk k k b a b a ）（）（，此外,如果某个0≠i a ,则上式中的等号当且仅当存在一个实数x 使得对于每一个n k ,,2,1 =都有0=+k k b x a 成立.分析 在数学分析中有柯西-施瓦茨不等式的证明[14],其实也可以用判别式的方法证明.证 当n a a a ,...,21全为零时,命题显然成立.当n a a a ,...,21不全为零时,令，∑=-=ni i i b x a y 12)(即，∑∑∑===+-=ni i ni i i ni i b x b a x a y 121122)2()(这是关于x 的一元二次函数. 由于012>∑=ni i a ,0≥y 恒成立,所以判别式0≤∆,即，0)(4)2(121221≤⋅+∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a 化简得，）（）（)(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a等号是存在x 使得0=+i i b x a ),,2,1(n i =时成立. 例15 已知实数a ,b ,c ,d ,e ,满足等式8=++++e d c b a ,，1622222=++++e d c b a- 12求证5160≤≤e . 分析 这题用一般的证法比较困难,但是利用了柯西-施瓦茨不等式来证明较为方便.证 由于221111）（）（⋅+⋅+⋅+⋅=+++d c b a d c b a)1111(22222222++++++≤）（d c b a）（22224d c b a +++=,因为e d c b a -=+++8,2222216e d c b a -=+++,所以)16(4822e e -≤-）（.解得.5160≤≤e可以看出,一元二次方程判别式用途广泛,若能在解题时准确的应用,会给人简单明快的感觉,在解题过要注意使用条件和本质,有时应分情况讨论，要避免误用、漏用.通过对判别式的性质和特点,有效地构造一个一元二次方程或二次函数,使得问题简单化,体现了数学知识的交叉与迁移.- 133 一元三次方程判别式的应用3.1 一元三次方程判别式的定理文[14]中介绍了可以把一个标准的一元三次方程化为下面式子,),(,03R q p q px x ∈=++其判别式记为，）（32)3(2p q D +=(1) 当0>D ,方程有一个实数根和一对共轭虚数根； (2) 当0=D ,方程有三个实数根，且其中两个相等； (3) 当0<D ,方程有三个不相等的实数根. 首先，我们都知道方程013=-x 的三个根可以写为- 14- 15- 16- 17- 18则, (1) 当0>∆,方程有一个实数根,一对共轭虚数根； (2) 当0=∆,方程有三个实数根,且其中两个相等； (3) 当0<∆,方程有三个不相等的实数根. 3.2 一元三次方程判别式应用例 16 判断一元三次方程0463=+-x x 根的虚实, 并解方程.解 因为6-=p ,4=q ,，）（04276442743232<-=-+=+=∆p q 即方程有三个实数根- 19，i p q q y 222742323+-=++-= 由于，）（i i 2213+-=+ 则，i y +=11 即，1=m ，1=n 所以，i z -=11 于是方程有三个实根为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=--=--===.313,31322321n m x n m x m x ，例17 已知函数13)(3--=ax x x f ,0≠a .若)(x f 在1-=x 处能取得极值,直线m y =与)(x f y =的图像有三个不同的交点,试求m 的取值范围. 解 因为)(x f 在1-=x 处取得极值,所以033)1(=-='a f ,得1=a ,即题目中的函数为13)(3--=x x x f ,由于直线m y =与)(x f y =的图像有三个不同的交点， 构造函数，m x x x g ---=13)(3 转化成关于)(x g 的图像与x 轴有三个不同的交点的问题, 即方程0133=---m x x 有三个不同的实数根, 由判别式定理可知- 20一元三次判别式的应用,这与前面的方法有相似的地方,都是用判断方程根的情况,来构造函数解决问题.一元三次方程式在复数域比较明显，更加全面理解一元三次方程,更好的研究其性质.4 三角函数判别式的应用4.1 三角函数判别式的定理三角函数判别式的定理在文[15]介绍了有关三角方程成立的条件.在实数范围内,三角方程0c cos sin =++x b x a (b a ,不同时为零)有解的条件是122≤+ba c ,其判别式为，222c b a -+=∆- 21(1) 当0>∆,方程有两个不同的实数根； (2) 当0=∆,方程有一个实数根； (3) 当0<∆,方程无实数根.k xy=, 则02cos 5sin 5=--k k θθ,由方程有解,得0)2()5()5(222≥---+=∆k k ,解得55≤≤-k ,即x y 的最大值为5.4.2.2三角判别式在方程中的应用例19 设关于x 的方程k xx x x =++++cos 3sin 21cos sin 23恒有实数根, 求实数k 的取值范围.解 原方程可化为0)3(sin )22(cos )13(=-+-+-k x k x k ,由题意知上式方程恒有解,则0)3()13()22(222≥---+-=∆k k k ,解得0≥k 或13-≤k .- 224.2.3三角判别式在函数中的应用三角函数判别式在函数中用途广泛,杨丽迈,蔡刚介绍了把一般形式的三角函数转化为0cos sin =++c x b x a 形式进行求解,可见参考文献[16]. 例20 求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最大值.解 因为题目中的函数可化为22cos 2sin ++=x x y ,上式转化为022cos 2sin =-++）（y x x ,由题意知x 的方程有解,则0)2(11222≥--+=∆y ,解得2222+≤≤-y ,所以22max +=y .4.2.4三角判别式在解析几何中的应用例21 设圆的方程满足：(1)截y 轴所得弦长为2,(2)被x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为1:3.在满足条件的所有圆中,求圆心到直线l ：02=-y x 的距离最小的圆的方程.解 设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-,由题意得122+=a r , 222b r =,联立消去r 得1222=-a b ,故可令- 23θsec 2=b ,θtan =a ,又设圆心),(b a 到直线l 的距离为d ,则θθθθcos 52sin 5sec 2tan 52-=-=-=b a d令，θθcos 52sin -=t上式可化为02cos 5sin =--θθt ,因为方程有解,则0)2()5(1222≥---+=∆t ,解得5555≤≤-t ,故d 取55,从而所求圆的方程为()21)1(22=-+-y x 或()21)1(22=+++y x .三角函数判别式的应用与前二者应用类似, 都是通过构造合适方程或者函数，应用判别式解决实际问题，三角函数判别式的运用更加广泛, 可以结合三角函数的性质和特点 ,进行数形结合, 有助于提高我们灵活处理问题和解决问题的能力. .结 论本文主要介绍了一元二次方程判别式法、一元三次方程判别式法、三角函数判别式法及其应用. 通过了例题来阐述判别式法在方程中的应用，利用了判别式法在解题时起到由复杂到简单、由难到易的效果，其中点明所注意的事项、步骤和使用条件.首先，一元二次方程判别式是中学数学中的一个重要知识之一，它不仅能够判断出一元二次方程根的情况，而且在函数值域中、取值范围中、不等式证明中，有着重要的应用. 还有判别式对于判断解析几何中各曲线的位置关系、求极值的应用也特别重要，只要熟练掌握这些方面的应用，就可以提高解题能力和对知识的综合应用能力.其次，一元三次判别式的应用，这与一元二次方程判别式的应用有相似的地方，都是根据方程根的情况，合理有效构造函数，从而解决问题. 一元三次方程是在复数域上研究的，这样更加全面理解一元三次方程，更好的研究它的性质.最后，三角函数判别式的运用与前二者应用类似, 都是通过构造合适方程或者函数，应用判别式解决实际问题，三角函数判别式的运用更加广泛, 可以结合三角函数的性质和特点 ,进行数形结合, 有助于提高我们灵活处理问题和解决问题的能力，由此在遇到这种问题时应特别注意、观察和思考.本文主要是通过例题列举、构造函数的方法来探讨判别式的应用，可以从所举的例子可以看到，对于一些方程根问题，一方面要防止漏用或误用“判别式”，另一方面要灵活应用，只要是真正的理解和熟悉“判别式”的性质，才可以正确、合理有效解决问题. 从题目所给的条件，恰当的构造函数，在应用函数的知识解题，在于方程、函数、不等式之间的相互转化，体现了数学知识的相互交叉，由复杂困难转化为简单明了，使得判别式法应用灵活自如.本文探讨了一元二次方程判别式在方程、函数、几何等方面的一些应用，一元三次判别式的应用，三角函数判别式的应用. 在解题过程中，进行了分析说明，指出了在应用判别式解题时应该注意的一些问题. 再者能否合理有效构造适合的函数是本文的核心所在.本文对于判别式的应用还不够系统、全面，而且本文中出现判别式的方法仅仅是一小部分，并不能代表所有的判别式在数学中的的应用，高次的判别式是我们将来研究的方向.参考文献[1] 董国玉, 卢静. 赵爽与《周髀算经》[J]. 沈阳: 辽宁省档案学会, 2014, 5:128-129- 24[2] 杨辉, 马菊意. 构造函数法在数学解题中的应用[J]. 安阳: 安阳大学学报(综合版), 2002, 6:99- 100[3] 荣延俊. 共轭复数的一个充要条件[J]. 监利:监利县龚场中学学报, 1994, 1:12-13[4] 温双琴. 例谈一元二次方程根与系数的关系[J]. 合肥: 初中生必读, 2013, 11:26-28[5] 肖云瑞. 关于判别式法的讨论[J]. 宜宾: 宜宾师专学报, 1994, 2:38-41[6] 忽培明. 浅谈一元二次方程根的判别式与韦达定理的结合应用[J]. 石河子:课程教育研究, 2014, 4:134[7]Hinden. 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运用类比思维方法于数学教学之中.许兴华
运用类比思维方法于数学教学之中（ 530021广西南宁三中 许兴华）2011/1/1关键词:类比思维,合情推理,数学教学,发现,新结论.数学家G ·波利亚说：“类比是一个伟大的引路人.”在数学的教学与研究中，类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法.它是大自然中各种事物之间的一种相似：当两个对象系统中某些对象间的关系存在一致性或者某些对象间存在同构关系，或者一对多的同态关系时，我们便可对这两个对象系统进行类比，从而可以从一个对象系统得到的某些结果去猜测和发现另一系统的相应的新结果；在我们分析问题解决问题的过程中则可以利用一个较简单的类比问题的解答方法或结果，去找到原问题的解决方法.在我们平时的学习与生活中处处充满着类比.可以说，类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径.学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法，教师在教学过程中则应努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力.如果A ，B 是两个在某些方面类似的事物，从A 具有某些性质推想B 也有类似的性质，这种思维叫做类比思维.如学生在学不等式的加减移项法则时，应用等式的加减移项法则作为类比就比较容易理解这些问题.但这种类比却又容易造成以后乘除移项的失误.有些学生根据“同向不等式可以相加”、“正数的同向不等式可以相乘”，根据类比推理得出“同向不等式可以相减”、“正数的同向不等式可以相除”这样的错误结论来.这也说明类比的结果不一定正确.类比推理只是一种可能性的合情推理，而不是一种必然性的正确推理；要得到正确的结论，我们还必须经过严格的证明才行.一.运用类比方法温故知新类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，也是人们联想的思维工具.在学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而温故知新.如在学习三棱锥的体积时，教师应引导学生与三角形的面积进行类比：因为三角形的底边长a 对应三棱锥的底面积S ，三角形底边上的高h 对应三棱锥的底面S 上的高H ，而二维空间里的三角形的面积公式ah A 21=，所以由类比方法推测，三维空间里的三棱锥的体积应为SH V 31=.证明三角形面积公式可以把三角形补成一个平行四边形，三角形的面积是平行四边形的面积的一半.类似地，要求三棱锥的体积，应把它补全成一个三棱柱，然后再分割成三个等体积的三棱锥，这就是课本上的方法——如果我们教师运用类比的方法引导学生进行思考，那么他们对这种方法的理解就会毫无困难.另外，梯形的中位线公式)(21b a L +=,可以与台体的中截面面积公式)(21210S S S +=进行类比，这样可以加深学生的记忆.在不等式的学习中，我们有①22b a +≥2ab （a 、b ∈R ），这是大家熟悉的，证明也相当容易.特别地，②a+b ≥),(2+∈R b a ab .运用类比方法，我们与学生进行讨论：是否也有 ③a 3+b 3+c 3≥3abc （a 、b 、c ∈R ）？经探索，我们发现这是个假命题（例如a ＜0，b ＜0，c=0时不真！），只有当a 、b 、c 都为非负实数时才成立.尽管课本上用“配方法”给出了一种证明，我们现在的问题是：能否应用刚刚学过的②式证明？又如何证明呢？[思考一]∵a 3+b 3=(a+b)(a 2+b 2－ab)≥(a+b)(2ab －ab)=(a+b)ab,同理可得:b 3+c 3≥(b+c)bc ，a 3+c 3≥(a+c)ac∴2(a 3+b 3+c 3)≥(a+b)ab+(b+c)bc+(a+c)ac 即2(a 3+b 3+c 3 )≥a(b 2+c 2)+b(a 2+c 2)+c(a 2+b 2)≥6abc∴a 3+b 3+c 3≥3abc.[思考二]设A=)(31333c b a ++ , 则A ＞0 , 4A=a 3+b 3+c 3+A, 所以 4333333333333)(21)22(214A c b a A c b a A c b a A c b a A ≥+≥+++=+++= 从而A 4≥a 3b 3c 3A , ∴A ≥abc 即 a 3+b 3+c 3≥3abc.以上是通过换元后,由于与公式②进行类比,别出心裁地采用了“公式法”进行证明，达到了“出奇制胜”的良好效果.通过类比，还可以将以上结论推广为n 个正数的情形.二.通过类比发现新结论和编制数学命题数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出来的.事实上，在平面几何和立体几何中，通过类比推广，可以得到一系列相近或相似的结论：（1）三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于它们对应边的平方比.(1')棱锥被平行于它底面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于它们的对应高(或对应侧棱)的立方比.把勾股定理进行类比推广，可以得到以下各定理：i ）在Rt △ABC 中，C=90°，则a 2+b 2=c 2 .ii ）长方体的对角线的平方等于从它的一个端点出发的三条棱的平方和,即.2222c b a l ++=.iii)在以D-ABC 为三直三面角的四面体ABCD 中,第四个面的面积的立方等于三直三面角的三个面的面积的立方和,即3332313S S S S ++=.iv ）长方体的一条对角线与它的一个端点出发的三条棱所成的角分别为α、β、Υ，则 cos 2α+cos 2β+cos 2Υ=1.v ）长方体的一条对角线与它相邻的三个面所成的角分别为α、β、Υ，则cos 2α+cos 2β+cos 2Υ=2.运用类比方法，是编制数学新命题的一个主要工具.例如，由公式a+b ≥2ab (a 、b ∈R +）, a+b+c ≥33abc （a 、b 、c ∈R +），可编制以下命题：1.设ab ＞0 , 求证：ba ab +≥2 . 2.设a 、b 、c ∈R +，求证：))((ca b c a b a c c b b a ++++≥9. 在上式中,令,,,z a c y c b x b a ===,则有 3.设x 、y 、z ∈R +，求证：)111)((zy x z y x ++++≥9. 在上式中,令x= a+b , y = b+c , z = c+a , (a 、b 、c ∈R +)，得 (2a+2b+2c) (ac c b b a +++++111)≥ 9 .即 ⇔≥+++++++++++29a c c b a c b c b a b a c b a 23≥+++++c b a a c b b a c 于是可得到新命题,这就是北京市的一个数学竞赛题:4.设a 、b 、c ∈R+，求证：23≥+++++c b a a c b b a c . 运用类比方法,可将以上命题推广为:5.设a i ＞0(i=1,2,…,n) , n ≥2 , 且a 1+a 2+…+ a n =S , 求证: (1).12211-≥-++-+-n n a S a a S a a S a n n (2) .1221-≥-++-+-n n a S S a S S a S S n 三.通过类比发现解题的思维方向类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法,也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法.这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用，教学中应引起足够的重视.1.在立体几何中,这样的一个问题曾难倒了部分学生:“求证:正四面体A-BCD 内的任意一点P 到各个面的距离之和等于常数.”其实,只要与平面几何的问题类比：“求证:等边三角形内的任意一点P 到三角形的三边的距离之和等于常数.”由于平几中该命题的证明可采用“面积法”，类似地，这个立几问题应采用“体积法”，于是问题迎刃而解.2.事实上，当我们遇到一个较为生疏的难题而又无从下手的时候，如果能构造一个类似的熟悉问题，从这个熟悉问题的解答过程中得到启发，那么就很有可能悟出原问题的解法.下面的这个问题是非常典型的:“设A={1，2，3，4，5}，从A 到B 的映射中，满足：f （1）≤f （2）≤f （3）≤f （4）≤f （5）的映射一共有多少个？”乍看起来，有些学生感到这个问题好象无从下手.你见过一个类似的问题吗？启发学生进行对比联想：“方程x+y+z+u=100总共有多少组正整数解？”这个问题你是怎么解决的？立即有学生想到：相当于用三块隔板将100个排成一列的相同的小球分成四部分，每部分至少有一个球，有多少种方法？显然是有3100C 种方法.由此，从A 到B 的映射，共分为三类：①五对一的映射有13C 个；②五对二的映射，先把1、2、3、4、5用隔板分成两部分，这两部分再分别与6、7、8中选出两个元素对应，共有23C 14C 个；③五对三的映射，先把1、2、3、4、5用两块板分成三部分，分别对应6、7、8三个元素，共有24C 个.因此这样的映射总共有21个.问题获解.类比思维在数学知识延伸和拓广过程中常借助于比较、联想用作启发诱导以寻求思维的变异和发散.在归纳知识系统时又可用来串联不同层次的类似内容，以帮助理解和记忆.在解决数学问题时，无论是对于命题本身或解题思路方法，都是产生猜测、获得命题的推广和引伸的原动力.因此，类比方法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法，其思维作用包含着整理性和探索发现性两个方面.在数学教学中引导学生运用类比思维进行数学学习与探索过程中，我们通常还要结合与之非常类似的“见微知著联想法则”.见微知著联想法则也就是：一看到新问题的假设与结论，已知或未知，或一看到反拐弯转化出来的中间结果或猜想中间法，与某公式，定理，定理之外的基本问题，或解决的老问题有某些相同的成分或相同的结构，甚至仅仅有类似之处，就立即回想其解法，考虑移植的可能性，并立即作出快速的反应，就按此方法试一试，从而走出一条“由尝试走向成功”的道路.数学发展史上大胆的类比，令人惊奇的类比，天天在进行着：曲与直的类比，有限与无限的类比，数与式的类比，数与形的类比，平面与空间的类比……一般来说，差别愈大的对象间的类比，风险也愈大，那么自然地，导致重大发现的可能性也愈大.世界著名的数学家华罗庚在他的《从孙子的神奇妙算谈起》这本著名的小册子中，运用类比的方法，作出了令人惊奇的发现.在数学的应用中只有有限个数据，怎样从这有限个数据出发来确定描述客观事物的函数？这是一门叫做“插入法”的学问.在高等数学中，是用“拉格朗日插值公式”来解决的.怎样用初等方法简单地推导这个公式？华罗庚经过大量的研究，通过类比的方法，使插值问题求解成功.接着，他联想到具有类似结构的许多问题：多项式的神奇妙算，多变数的内插法，一次同余式组的求解，线性不定方程等，都可类似处理.在成功地解决这些问题之后，他把它们的基本思想概括成一个重要原则，这就是著名的华罗庚“合成原则”或称为“孙子——华原则”.总而言之，类比大体可分为如下几个阶段：①知识积累：对系统A 有比较系统的研究；对系统B 有了初步的研究，还有待深入.②发现A、B两系统拟同构：利用见微知著联想，突然认出B的某些属性在结构上与A的某些属性类似.于是原以为没有联系的两系统A、B之间便有了相当程度的拟同构关系.③试图扩大A、B之间的类似程度：盯住尚未参与对比的属性P，竭力找出类似的B的属性P'.④为此，先在A、B的元素间建立对应关系——实际上相当于由系统A到系统B的映射法则.⑤利用这个映射法则，把A的P“翻译”成B的P'.⑥找出P'的证明，或找反例推倒它，进而修改或补充一些题设，使P'为真并给出证明——至此，新知识终于诞生了！通过类比，人们把自然数加法法则，算律推广到整数，有理数，实数，复数；通过类比，人们从线段的性质推测出直线的性质，把有限个自然数的性质推广到所有的自然数；通过类比，人们把正方形面积概念“顺理成章”地推到三角形、一般四边形、多边形和曲边封闭图形；应用类比，人们把平面图形的研究引向三维空间，甚至高维空间.类比的成功激励着人们，人们运用类比策划着，争取着更多的、更大的成功！[参考文献]1. 许兴华,《数学美育的初步认识与实践》,北京《数学通报》,2001第11期2.马忠林,郑毓信,《数学方法论》,广西教育出版社,1996.12.（附:个人简历)许兴华,男,1963年生,中学高级教师,曾任上思中学副校长,1998年调入南宁三中。
线性判别分析新方法分析与其应用
承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。
对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：垒亟鱼日期：趟！ｌ南京航空航天大。
学硕士学位论文第一章绪论１．１模式识别概述模式识别技术诞生于２０世纪２０年代，随着４０年代计算机的出现，５０年代人工智能的兴起，模式识别在６０年代初迅速发展成一门学科【ｌ“Ｊ。
臼前，模式识别理论和技术已经成功地应用于工业、农业、国防、科研、公安、生物医学、气象、天文学等许多领域，如信件分检、指纹识别、生物医学的细胞或组织分析、遥感图片的机器判读、系统的故障诊断、具有视觉的机器人、以及文字与语言的识别等等，并且现在正扩展到许多其它领域。
１．１１模式和模式识别模式识别的研究内容是，用计算机模拟人的识别能力，提出识别具体对象的基本理论与实川技术。
为了满足模式识别这一学科研究的需要，即能让机器执行和完成识别任务，必须将关于分类识别对象的有用的信息输入计算机中，应对分类识别埘象进行科学的抽象，建立它的数学模型，用以描述和代替识别对象。
因此，可以对模式和模式识别做如下定义：模式是对感兴趣的对象的定量的或结构的描述：模式类是具有某些共同特性的模式的集合：模式识别就是根据研究对象的特征或属性，利用以计算机为中心的机器系统运用一些分析算法认定它的类别，系统应使分类识别的结果尽可能她符合实际。
从本质上讲，模式识别可以说是数据处理及信息分析，主要包括三部分核心的理论与技术㈣：（１）特征提取与选择：（２）学习训练算法；（３）分类与识别算法。
模式识别 (4)
5
− g ( x) = 0
5
g g g
1 2 3
x
+
2
g
−
1
( x ) = 0
( x ) > 0 ( x ) < 0 ( x ) < 0
IR 1
1
IR 4
ω
ω
2
2
g 1( x ) < 0 g 2( x ) > 0 g 3( x ) < 0
1
IR
ω
− +
+
2
g3 (x) = 0
w 为参数， x1 , x 2为坐标向量
在两类别情况，判别函数 g (x) 具有以下性质：
> 0, X ∈ ω 1 g i ( x) = < 0, X ∈ ω 2 g ( x ) = 0 , X 不定
这是二维情况下判别由判别边界分类。情况如图：
x2
+ −
ω
2
1
ω
g ( x ) = w1 x1 + w2 x2 + w3
T
当 g1(x) =WTX=0 为判别边界 。当n=2时，二维 情况的判别边界为一直线。当n=3时，判别边界 为一平面，n>3时，则判别边界为一超平面。
(二) 多类问题
对于多类问题，模式有 ω1 ,ω2 , … , ωm 个类别。可分三种情 况： 第一种情况：每一模式类与其它模式类间可用单个判别平 面把一个类分开。这种情况，M类可有M个判别函数，且 具有以下性质：
g 另外一种表示方法： ( x) = W X
T
W = ( w1 , w2 ,..., wn , wn +1 )T 为增值权向量， X＝( x1 , x2 ,..., xn，xn +1 )T 为增值模式向量。
M08A31 判别式及其应用
第三十一节 一元二次方程的判别式及其应用【知识要点】1．一元二次方程的根的判别式的概念2.不解方程，判断方程根的情况对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，其根的情况与判别式的关系是： ⇔>∆0⇔=∆0⇔<∆0⇔≥∆0【典型例题】例1 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2－5x+3=0；（2）x 2x+2=0；（3）3x 2+2=4x ；（4）mx 2+（m+n ）x+n=0（m ≠0，m ≠n ）．例2 方程012)1(2=++-mx x m 根的判别式的值为4，求m 的值．例3 已知关于x 的方程0)2(4122=+--m x m x ．（1）有两个不相等的实根，求m 的范围；（2）有两个相等的实根，求m 的值，并求出此时方程的根；（3）有实根，求m 的最大整数值．例 4 已知c b a ,,分别是ABC ∆的三边长，当0>m 时，关于x 的一元二次方程02)()(22=--++ax m m x b m x c 有两个相等的实数根．求证：ABC ∆是直角三角形．例5 已知c b a ,,是三角形的三边长，求证：方程0)(222222=+-++c x a c b x b 没有实数根。
例 6 已知关于x 的一元二次方程0222=-++m x x ①有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；并利用你所得的结论，任取m 的一个数值代入方程①，并用配方法求出此时方程的两个实数根．例7 已知关于x 的方程（n －1）x 2+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．（1）求证：关于y 的方程m 2y 2－2my －m 2－2n 2+3=0 ②必有两个不相等的实数根；（2）如果方程①的一个根是－12，求方程②的根．例8 当k 取什么整数时，方程()()072136122=+---x k x k 有两个不相等的正整数根？【大展身手】1．下列方程无实数根的是（ ）A 、31)8(2=-x xB 、005.06.02.02=++y yC 、0122232=+-x x D 、)13(492-=x x 2．下列方程中有两个不同实数根的是（ ） A 、010092=+-x x B 、05752=+-x xC 、0924162=+-y y D 、04322=-+x x 3．如果关于x 的方程022=-+k x x 没有实数根，那么k 的取值范围是（ ）A 、1-≥kB 、1≤kC 、1>kD 、1-<k4．下列方程有实数根的是（ ）A 、0122=++x xB 、012=--x xC 、01062==-x xD 、0122==-x x 5．在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，若c a 与异号，则方程（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、没有实数根D 、无法确定6.已知一直角三角形的三边为c b a ,,，︒=∠90B ，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为：（ ）A 、有两个相等的实数根B 、有两个不相等的实数根C 、没有实数根D 、根的情况无法确定7．一元二次方程042=++c x x 有两个相等实根，那么c 为（ ）A 、4>cB 、4<cC 、4=cD 、其他值8．方程)0(012≠=++a bx ax 中，根的判别式是（ ）A 、b b 42-B 、bC 、a b -D 、不存在 9．不解方程，判定方程x x 249162=+的根的情况是（ ）A 、有两个不相等实根B 、有两个相等实根C 、没有实数根D 、有一个根为110．若06)4(22=+--x kx x 没有实数根，则k 的最小整数值是（ ）A 、2B 、1C 、-1D 、不存在11．当k 不小于41-时，)2(0)12()2(2≠=+---k k x k x k 的根的情况是（ ） A 、有两个不相等的实数根 B 、有两个相等的实数根C 、有两个实数根D 、以上都不正确12．方程ax a x =+2有等根时，实数a 的可能数值的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、大于213．若方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值为（ ）A 、0，1B 、0，1，2C 、1D 、1，2，314.m 取何值时，方程012)2(2=-++x x m 有两个不相等的实根？15．已知关于x 的方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数根，求k 取值范围．16．已知c b a ,,是ABC ∆的三边长，且方程0)1(2)1(22=--++x c bx x a 两根相．两根相等，试判断这个三角形的形状．。
广义变分不等式组和非扩张映射对的Wiener-Hopf方程技巧
广义变分不等式组和非扩张映射对的Wiener-Hopf方程技巧邱洋青【摘要】将含松弛共强制映射的广义变分不等式组和非扩张映射对转化为广义非线性Wiener-Hopf方程组,构造新的迭代算法,证明广义变分不等式组解集和非扩张映射对积集公共解的存在性及迭代序列的强收敛性.【期刊名称】《上海第二工业大学学报》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】4页(P291-294)【关键词】Wiener-Hopf方程技巧;松弛共强制映射;迭代算法;非扩张映射【作者】邱洋青【作者单位】上海第二工业大学理学院,上海201209【正文语种】中文【中图分类】O177.91将变分不等式转化为算子方程,最终化为不动点问题,是求解变分不等式普遍使用的方法,其中之一是将变分不等式转化为Wiener-Hopf方程[1-9]。
设H是实Hilbert空间,C⊂H为非空闭凸子集,C(H)是H中所有非空紧子集的全体,Ai:C×C→H是非线性映射,Bi:H×H → C(H)是集值映射,i=1,2。
寻找(x,y)∈C×C,w1∈B1(x,y),w2∈B2(x,y),使得式(1)称为广义变分不等式组,它的解记为SVI(C,Ai,Bi)。
又设S1,S2:C→C是2个非扩张映射,它们的不动点集的积集记为F(S1)×F(S2)。
设SVI(C,Ai,Bi)∩(F(S1)×F(S2))非空,本文将Wiener-Hopf方程技巧用于求解广义拟变分不等式组解集和非扩张映射对不动点积集的公共解问题,是文献[1-9]中主要结果的整合、改进和推广。
若A1=A2=A,B1=B2=B,则式(1)化为:找x∈C,w∈B(x)使得它是由Noor[1]引进并研究的。
定义1[5,10]设X是自反Banach空间,T :X →X∗是单值映射,如果存在2个常数α,β＞0,使得其中D(T)表示T的定义域,G(T)表示T的图,则称T为(α,β)-松弛共强制的。
基于功效散度和成对约束的半监督聚类算法
本点属于同一类簇，灰色小三角形代表样本点 xj，黑色小三角形 代表样本点 xk·xj 和 xk 属于同一类簇 cluster1，即存在正关联约束 关系。
在聚类分析领域，可以利用交叉熵刻画样本对之间的成对约束信息，并且以此来构造聚类分析方 法［30-34］。李晁铭等［34］用样本交叉熵描述样本自信息与成对约束信息，提出了基于成对约束的交叉熵半 监督聚类算法（Cross-Entropy Semi-supervised Clustering Based on Pairwise Constraints，CE-sSC）。CEsSC 算法是 MEC 算法在半监督学习领域中的一种推广形式。
收稿日期：2018-11-29 作者简介：向思源（1994-），女，湖南株洲人，广东工业大学硕士研究生。
通信作者：金应华（1982-），男，安徽望江人，广东工业大学讲师，博士。
第4期
向思源等：基于功效散度和成对约束的半监督聚类算法
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MEC 算法为基础，加入成对约束对应隶属度的惩罚项，用它表示成对约束的信息。现有文献中，已有多 种基于成对约束的半监督聚类方法，例如竞争凝聚态算法［17］、基于贝叶斯先验理论的概率方法［18-19］、基 于谱分解的聚类方法［26-29］等。
出了一类新的半监督聚类算法（PD-sSC），并把表示成对约束样本信息（外部信息）的相对熵项推广到了功效散
浅谈一元二次方程根的判别式及其应用
浅谈一元二次方程根的判别式及其应用作者：牛祥华来源：《都市家教·下半月》2010年第07期【摘要】一元二次方程是初中数学的重要内容,根的判别式的运用是这部分的一个难点,理解概念并熟练运用是每个学生必须掌握的。
本文旨在分析知识并从多个方面对根的判别式应用加以解析,从而熟练掌握并且运用该部分内容。
【关键字】一元二次方程判别式应用一元二次方程是一个等式,是一个只含有一个未知数且最高项次数是2次的整式方程。
其根的判别式及其应用是一元二次方程考题中出现较多也是较难的一部分,常出现在填空选择题和综合型的解答题中,是初中数学的重要内容。
对一元二次方程根的判别式的知识点及其应用的分析,不仅锻炼了学生的思维,同时体现了以提高学生综合素质为重点的基础教育改革的最终目标,有利于培养学生主动探索的精神。
一、一元二次方程根的判别式基本概念一元二次方程的基本形式是:ax2+bx+c=0(a≠0),由于可以将这个方程配方成为(x+b2a)2=b2-4ac,因此,根据平方根的意义,将Δ=b2-4ac记为这个一元二次方程根的判别式,利用根的判别式Δ的代数值可以判断一元二次方程根的情况,在ax2+bx+c=0(a≠0)中,若Δ>0,则原方程有两个不相等的实数根;若Δ=0,则原方程有两个相等的实数根;若Δ并且这个推断是充要条件,即从根的分布情况可以相应的推导出判别式Δ的代数值是大于、小于还是等于0。
此处应该说明的是:(1)在使用根的判别式进行判断时,必须将方程化为标准形式ax2+bx+c=0,同时注意a≠0;(2)若题中指定为方程有实数根,即表示根的判别式Δ=b2-4ac≥0。
二、根的判别式的具体应用一元二次方程根的判别式主要用来判断方程根的分布情况,在题目中的应用也非常广泛,以下从几个方面具体分析它的应用:(1)不通过解方程,判断根的分布情况例1 不解方程,判断方程3x2+5x+2=0根的情况分析:题目规定不需要求解方程的准确根,只对根的情况进行大致判断,由此知必是通过根的判别式Δ的代数值进行判断,由知识点即得。
基于广义似然比的泊松过程变点识别
用phase I找到的受控数据来控制过程质量。
要取得良好的控制效果，以使过程质量达到理想的水平，我们必须寻找一个有效快速的变点识别方法[9]来挑选出受控数据以方便phase II的质量过程控制。
国内外目前研究的变点识别方法主要应用在正态分布假设的过程中，但是虽然正态分布假设条件下变点识别的成果居多，对于Poisson分布假设条件下变点识别的成果却少之又少，且正态分布下的研究的过程数据多是从参数已知的分布偏移到参数未知的过程，对于偏移前后参数均未知的过程的研究却很少，基于以上背景，本文提出一种基于广义似然比(generalized likelihood ratio)的Poisson过程变点识别方法，并将此方法从单变点识别领域的应用拓展到双变点及多变点识别的领域。
之后通过得出的变点来获得SPC过程中phase I的受控数据，并利用这些受控数据在phase II中监控过程数据。
1.1.2 研究意义企业要在激烈的市场竞争中生存和发展，仅靠方向性的战略性选择是不够的。
残酷的现实告诉我们，任何企业间的竞争都离不开“产品质量”的竞争，没有过硬的产品质量，企业终将在市场经济的浪潮中消失。
而产品质量作为最难以控制和最容易发生的问题，往往让供应商苦不堪言，小则退货赔钱，大则客户流失，关门大吉。
进行有效的过程控制是确保产品质量和提升产品质量，促使企业发展、赢得市场、获得利润的核心[10]。
而正确而又效率的变点识别方法是过程控制能够有条不紊的进行的保证。
在质量科学研究领域，过程监控和异常诊断一直都是难点问题，在基于Poisson分布下的参数偏移的变点识别这一方面的研究成果更是少之又少，本文的研究是对现有研究成果的补充，对进行Poisson分布监控与异常诊断的后续研究有巨大的促进作用，同时随着计算机技术在企业中的广泛应用，利用此研究可以快速检测出异常部件，从而尽可能的减少企业的损失，最终实现企业的快速发展。
1.1.3 研究目标本文主要研究的目标是解决Poisson过程中参数发生偏移的变点识别和受控数据寻找问题，首先利用数学上的广义似然比（GLR）理论建立统计变量，建立与之相关的模型并求出过程中参数发生偏移的点（change point），之后以求出的变点为分界，分别得到变点前后数据参数的极大似然估计，比较较小参数的估计值与实际过程参数是否相近（因为在实际过程中，参数较小的过程数据一般是稳态的），如果相近，则说明这部分数据是受控的，反之，则失控。
基于广义回归神经网络的无黏性土管涌判定研究
基于广义回归神经网络的无黏性土管涌判定研究薛新华;杨兴国【摘要】分析了现在广泛采用的判定管涌破坏手段的不足之处.在分析广义回归神经网络的基本原理和算法基础上,建立了无黏性土管涌判别的广义回归神经网络模型.以前人试验结果作为对比,采用特征粒径和孔隙率作为判别指标,对土样的渗透破坏形式进行判别.计算结果表明,该模型的管涌渗流破坏形式判定结果与前人试验结果完全一致,该方法为无黏性土管涌渗流破坏形式的判别提供了新的研究思路.【期刊名称】《人民长江》【年(卷),期】2012(043)001【总页数】4页(P42-44,90)【关键词】管涌;广义回归神经网络;无黏性土;流土【作者】薛新华;杨兴国【作者单位】四川大学水力学与山区河流开发保护国家重点实验室,四川成都610065;四川大学水利水电学院,四川成都610065;四川大学水力学与山区河流开发保护国家重点实验室,四川成都610065;四川大学水利水电学院,四川成都610065【正文语种】中文【中图分类】TU441堤基管涌是堤防工程中的重大灾害，它的发生常常导致堤防失稳、坍塌甚至溃坝事故，造成重大人员财产损失。
D.Van Zyl曾对管涌产生的过程进行了详细的描述［1］，即管涌首先开始于土中性质突变的局部，如细粒、容重较轻的颗粒和裂缝分布的地方，土体表面的颗粒先移动形成空隙，随后空隙渐渐扩大，并且向下移动，逐渐形成不规则的管状通道。
它发生的部位可在渗流溢出处，也可在土体内部。
随着砂粒的不断析出流失，孔洞直径逐渐增大，深度也逐渐向堤身或堤基土内部不断延伸增大。
一旦与土体内部的已有孔洞连通，就迅速发展为管道内集中涌水析土的现象，其严重后果是堤下土体内渗水通道塌陷，造成提防不均匀沉降和整体失稳。
许多水工建筑物的破坏和失事都是由于管涌破坏造成的［2］。
以1998年长江流域性大洪水为例，长江干流堤防出现险情698处，其中管涌险情366处，占52.4%;洞庭湖区堤防出现较大险情626处，其中管涌险情343 处，占 54.8%［3］。
广义线性判别函数
4.6 广义线性判别函数前几节研究了线性判决函数的理论和分类方法，它们的优点是简单易行。
但是实际应用中却常常遇到非线性判决函数，如果能将非线性函数转化为线性判决函数，那么线性判决函数的理论和分类方法的应用将会更加广泛。
实际上，非线性判别函数是可以转变成线性函数的，也就是转成广义线性判决函数。
1.广义线性判别函数的概念如：有一个判决函数)(x g ，为非线性的，如下图所示：图中，a 、b 为两类的分界点。
可以用式子：))(()(b x a x x g --=描述。
并且，判决规则为： 若：a x <或b x >, 0)(>x g ，则1w x ∈。
b x a <<，0)(<x g ，则2w x ∈。
下面对)(x g 进行非线性变换：令21x y =，x y =2，则)(x g 作为判决函数可写成：()g x =()()x a x b --()2x x a b ab =-++32211)(w y w y w y g ++=其中：ab w b a w w =+-==321),(,1因此，通过非线性变换，非线性判决函数)(x g 转变成了线性判决函数)(y g 。
同时，特征空间也由一维的x 空间，映射成二维的y 空间。
也就是，在执行非线性变换的过程中，特征空间维数的增长往往不可避免。
在y 的特征空间里，区分直线为：0)(21=++-ab y b a y ，如下图：区分直线把y 空间线性地划分为两个类型区域1w 和2w ，判决规则为：若0)(>y g ，则1w y ∈，也就是1w x ∈0)(<y g ，则2w y ∈，也就是2w x ∈对样本x 的测量值：① 先进行非线性变换，x y x y ==221, ② 计算)(x g 之值，ab y b a y x g ++-=21)()( ③ 判决类别下面讨论非线性判决函数的一般形式： 把非线性判决函数写成一般形式，就是：12211)(....)()()(+++++=d d d w x f w x f w x f w x g其中，)(x f i （d i ,...,2,1=）是x 的单值实函数，且存在非线性关系，x 是k 维的。