高斯定理和安培环路定理

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高斯定理和环路定理

高斯定理和环路定理高斯定理和环路定理是电磁学中两个重要的基本定律。

它们描述了电场和磁场的分布和变化规律，是理解电磁现象的基础。

本文将对高斯定理和环路定理进行详细介绍。

一、高斯定理高斯定理又称为高斯电场定理，它是描述电场分布的基本原理之一。

高斯定理表明，电场通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内部电荷的代数和与真空介电常数的乘积。

具体来说，如果一个闭合曲面内部有正电荷和负电荷，那么通过这个曲面的电场通量将等于正电荷和负电荷的代数和除以真空介电常数。

高斯定理的数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示曲面上的电场通量，Q表示曲面内部的电荷总量，ε0为真空介电常数。

高斯定理的应用非常广泛。

例如，在计算电场分布时，可以通过选择适当的高斯曲面来简化计算。

通过高斯定理，可以快速得到电场在各个位置的大小和方向。

高斯定理也被用于推导其他电场分布的公式，如电偶极子和球壳电场的公式。

二、环路定理环路定理又称为安培环路定理，它是描述磁场分布的基本原理之一。

环路定理表明，磁场沿着一个闭合回路的线积分等于该回路内部电流的代数和乘以真空磁导率。

具体来说，如果一个闭合回路内部有电流通过，那么沿着这个回路的磁场线积分将等于电流的代数和除以真空磁导率。

环路定理的数学表达式为：∮B·dl = μ0I其中，∮B·dl表示回路上的磁场线积分，μ0为真空磁导率，I表示回路内部的电流。

环路定理的应用也非常广泛。

例如，在计算磁场分布时，可以通过选择适当的环路来简化计算。

通过环路定理，可以快速得到磁场在各个位置的大小和方向。

环路定理也被用于推导其他磁场分布的公式，如长直导线和环形线圈的磁场公式。

三、高斯定理与环路定理的关系高斯定理和环路定理是电磁学中两个基本定理，它们描述了电场和磁场的分布与变化规律。

虽然它们描述的是不同的物理量，但在某些情况下，它们是相互关联的。

例如，在静电场中，高斯定理可以推导出库仑定律，即电荷间的相互作用力与它们之间的距离成反比。

2、磁场的高斯定理和安培环路定理

L
B dl o I i
L

S
B dS 0 j dS

S
B 0 j
安培环路定理的物理意义磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈，通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L

6-4稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理

L L
r2
r1 O
P
B2r
0 NI 0 NI r2 r1 r B 2r
B = m0 nI
4. 无限大载流导体薄板的磁场分布
无限大载流薄板看作无限长载流导线密排：导线中电流强度 I；单位长度导线匝数n 分析对称性
dB
I
磁力线如图作积分回路如图
ab、cd与导体板等距
若认为电流为-I 则结果可写为
B dl 0 I
L
B dl B (d l d l// )
L L
L L
如果闭合曲线不在垂直于导线的平面内：
I
dr
L
dr dr//
B cos 90 dl B cos dl//
度 B 的大小。
1.长直圆柱形载流导线内外的磁场设圆柱电流呈轴对称分布，导线可看作是无限长的，磁场对圆柱形轴线具有对称性。
B
I
r
I
Q
B d l B 2 r
R
r
B
P
当 rR
B2r 0 I 0 I B 2 r
B
长圆柱形载流导线外的磁场与长直载流导线激发的磁场相同！
b
a
.........
c
d
B 0 nI 2
板上下两侧为均匀磁场
讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。通有相反方向的电流。求磁场分布。已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数n
B 0 nI 2
0 B 0 nI 两板外侧两板之间

o
R
r
当 r R ，且电流均匀分布在圆柱形导线表面层时当 r R ，且电流均匀分布在圆柱形导线截面上时

磁介质中的高斯定理和安培环路定理

由
求 H；求 B；
B
0 由 M js
由
M H
求 M；
求 js；求 Is；
I s js L 或由 I s ( r 1)I c
求 Is；
9
例1：长直螺线管半径为 R ，通有电流 I，线圈密度为 n , 管内插有半径为 r ,相对磁导率为 r 磁介质，求介质内和管内真空部分的磁感应强度 B 。 R 解：由螺线管的磁场分布 B r a 可知，管内的场各处均匀 b H 一致，管外的场为0； 1.介质内 c I d 作 abcda 矩形回路。部回路内的传导电流代数和为： I c nab I
H dl
在环路上应用介质中的环路定理：
ab bc cd
H dl H dl H dl H dl
da
∵在bc和da段路径上 H dl , cos 0
10
bc
H dl H dl 0
L
(
L
B
0
M ) dl I
L
L
L
B H M
0
3

0 H d l I
L
(
B
M ) dl I
L
定义：磁场强度
B H M
0
L
L
磁介质中的环路定理
H的环流仅与传导电流 I 有关,与介质无关。(当 I相同时，尽管介质不同， H 在同一点上也不相同，然而环流却相同。因此可以用它求场量 H ，就象求D那样。
3.明确几点： H 是一辅助物理量，描述磁场的基本物理量仍然 ①. 是 B。是为消除磁化电流的影响而引入的， H B 和H 的名字张冠李戴了。

磁场的高斯定理和安培环路定理

L
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁感强度值, 感强度值,是由闭合路径内外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于磁场中的磁感强度的环流一般不为零,所以磁场是非保守场非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.

12磁场的高斯定理和安培环路定理解读

穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
4
2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。磁力线穿出闭合面为正通量，磁力线穿入闭合面为负通量。

2
B

磁通量单位：韦伯，Wb

2
ˆ n
Байду номын сангаас
B
5
3.磁场中的高斯定理定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
15
例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求：（1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过螺线管截面的磁通量。 I
解：在管内作环路半径为 r的圆环，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B 2r 0 NI B 2r

磁场中的高斯定理和安培环路定理

规定：
与L 绕向成右旋关系与L 绕向成左旋关系
Ii 0 Ii 0
例如：
Ii I1 2I2
(穿过L )
注意：

L
B dl
0 Ii
(穿过L)
B:
与空间所有电流有关

B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关

穿过 L的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1.导出：可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用：以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向与电流成右旋关系。
B 0I 2r
练习：同求轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1

r

R2 ,
B

0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2.长直载流螺线管的磁场分布
已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性管内磁力线平行于管轴管外靠近管壁处磁场为零

dl

0I
2π
2π
0
d

0I
对任意形状的回路
B dl
0I
rd

0I
d
2π r
2π

07磁场的高斯定理和安培环路定理

I
r L
B
7
安培环路定理为我们提供了求磁感应强度的另一种方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有方法。但利用安培环路定理求磁感应强度要求磁场具有高度的对称性。利用安培环路定理求磁感应强度的关健：利用安培环路定理求磁感应强度的关健：根据磁场分布的对称性，选取合适的闭合环路。场分布的对称性，选取合适的闭合环路。 3、选取环路原则 (1)环路要经过所研究的场点。环路要经过所研究的场点。环路要经过所研究的场点 (2)环路的长度便于计算；环路的长度便于计算；环路的长度便于计算 r r (3)要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环路大小相等，要求环路上各点方向一致，方向一致， r r µ0 ∑ I I 写成 B = 目的是将: B ⋅ dl = µ0 目的是将
3
2、磁通量
dΦm
r B
磁通量: 通过任一曲面的磁力线的条数。磁通量通过任一曲面的磁力线的条数。 1）穿过一面元的磁通量dΦ m ）
r r d Φ m = B ⋅ dS 单位：韦伯，Wb 单位：韦伯，
2）穿过某一曲面的磁通量）
dS
S
Φm = ∫
S
r r d Φ m = ∫ B ⋅ dS = ∫ BdScosθ
a
b
r B
d
c
r B外 = 0
r cr r d r r ar r r r b r B ⋅ dl = ∫a B ⋅ dl + ∫b B ⋅ dl + ∫c B ⋅ dl + ∫d B ⋅ dl ∫ r r r c r a r r Q B ⊥ d l , cosθ = 0 ∫b B ⋅ dl = ∫d B ⋅ dl = 0, r d r r B = µ0nI B 螺线管外：螺线管外：外 = 0, ∫ B ⋅ dl = 0

磁场的高斯定理和安培环路定理

. . . . . . . . ..
第4节
. . . .. . .. B . ∮H ·dl = 2rH = NI . . . . . H = NI/2r， r . . . . R 1 . . B = o NI/2r . . R 2 . . .. . 环管截面 r R， . .. . . ... B o NI/2R = o n I 解：1、环管内：
第八章
I
R
r B
R
r
第4节
第八章
直线电流的磁力线
I
I B
第4节
例8-5 求通电螺绕环的磁场分布。设环管的轴线半径为 R，环上均匀密绕 N 匝线圈，线圈中通有电流 I，管内磁导率为 o 。
第八章
I
I
. . . . . . ..
. . . .. . .. . . R1 R2
..
. . . ...
第八章
第4节
第八章
通电螺线管的模型
I
第4节
思考题：如果通电螺线管的磁力线如下所示，图中环路积分 ∮H ·dl = ？
第八章
I
L
I
二、磁场的安培环路定理 1、真空中根据闭合电流产生的磁场公式，即安培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B 沿闭合回路 L 的积分，即环流为： ∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流 I 的代数和。物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第八章
I
R
o dS
B
Io
r
第4节
2、r＞R ∮H ·dl =∮H dl = 2rH ΣIo = I H = I /2r ，B = oI /2r 上式表明，从导线外部看，磁场分布与全部电流 I 集中在轴线上相同。 μ I B H 2 πR I μ 0I 2 R π 2 πR 0 r 0

13-3磁场的基本特征高斯定理和安培环路定理

B 0I0I 0I 8R1 4R1 8R2

36
例8 通电导体的形状是：在一半径为R的无限长
的导体圆柱内，在距柱轴为 d 远处，沿轴线方
向挖去一个半径为 r 的无限长小圆柱。如图。
导为体J内均匀通过电流，电流密度
J
求：小圆柱空腔内一点的磁感强度
分析：由于挖去了一个小圆柱，使得电流的分布失去了对轴线的对称性，所以无法整体用安培回路定理求解。
例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。
解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I
圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的
圆为安培环路
L B d l 2 π r B0
I
dl ''
B 0I
r R
2 πr
B
dB
dl '
rBdl0IR r2 2 B2 π 0R Ir2 rR
由安环定理有 2πrB0 Ii
i
30
解得
2πrB0 Ii
i
0 Ii
B i 2πr
若场点在圆柱内，即 r < R
包围的电流为 Ii Jπr2
i
则磁感强度为 B0Jπr2 0Jr
2πr 2
若写成矢量式为
B

0
Jr
2
J I S
IR
J
r
B
31
解得
特殊形状电流产生的
fI
场的叠加，即
B B a b B b c B c d B d e B ef
R1 R2
eI
b
I
由毕萨拉定律得到各电流的磁感强度分别是
Bbc

1 0I

磁场的高斯定理和安培环路定律

0I
是否成立？？？
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I
2π
d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解：取垂直纸面向里为法
B
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框的

磁场的高斯定理和安培环路定理.

第二4节、磁场的安培环路定理
第八章
1、真空中
根据闭合电流产生的磁场公式，即安
培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B
沿闭合回路 L
∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式
中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流
I 的代数和。
物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第4节
第八章
电流正负符号按右手螺旋定则：
电流方向与 L 的绕行方向符合右手螺
旋关系时，此电流为正，否则为负。
举例说明：
+I I
+ I1 + I2
- I3
L
第24、节有磁介质
第八章
∮L B ·dl =μoΣI = μoΣIo +μoΣI’
式中ΣIo 和ΣI’ 分别是穿过安培环路 L 的自由电流和束缚电流的总和。
其中 n = N/2R 为螺绕环单位长度的匝数。
2、环管外：ΣIo = 0，H// = 0，B// = 0 此式说明密绕螺绕环外部无磁场。
第特4节例：当
R

第八章
时，即为无限长螺线管。
因此，长直螺线管内磁感应强度公式为：
B = o n I 此式表明，理想长直螺线管内部的磁感应强
注意：螺绕环和螺线管的外部磁场为零的结论是在假定它们由许多不相连的圆环密集排列组成的模型下得出的。实际上圆环以螺旋线形式相连形成螺绕环和螺线管，沿螺绕环和螺线管有一电流分量通过，即等效一圆电流和长直载流导线，因此它们的外部磁场不为零。但相比内部磁场而言，则相对很小。
2π R
μ 0I
2π R
第八章
I R
r

磁场中的高斯定理及安培环路定理

P
r B
则 B dN -磁感应线密度
dS
2. 几种典型的磁感应线
I
直线电流
圆电流
载流长螺线管
3. 磁感应线特性
磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点；磁感应线不相交。
二. 磁通量(magnetic flux)
1. 定义通过磁场中任一给定面的
磁感线数目称为通过该面的磁通量，用表示。 2. 磁通量的计算 ① 磁场不均匀，S 为任意曲面
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
Ñ B dl μ0 NI
l
B 0 NI
2 r
Amperian loop
B
o R1 R2 r
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动，在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
因而，同静电场中利用高斯定理确定已知电荷分布的电场分布一样，需要满足一定的对称性。
例题1 ：
已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布
解：首先分析对称性
电流分布——轴对称
I
磁场分布——轴对称
R
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
l
P
dS2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
B 0I 2 x
方向：
I
a
阴影部分通过的磁通量为:
rr B dS

磁场的高斯定理和安培环路定理

L
I
dϕ v
dB
v v B ⋅ dl = Brdϕ v v µ0I ∫L B⋅ dl = ∫L rdϕ = µ0I
2 r π
在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。垂直平面内的任一回路。
v v I B ⋅ dl = Brdϕ v v µ0I ∫L B⋅ dl = ∫L rdϕ = µ0I
2 r π
6
3. 安培环路定理的应用例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。：求无限长载流圆柱体磁场分布。圆柱体轴对称，解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I 圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的圆为安培环路
v v Q∫ B⋅ dl = 2πrB = µ0 ∑I
L
v dB
dl'
2πr v r Ir 2 ∴ ∫ B ⋅ dl = µ0 2 r R
为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
o dl ' ' a
b
结果：结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都
13
ab bc cd da
无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：
r r ∫ B ⋅ dl = Bab ⇒ Bab = µ 0nab I
∴B = µ0nI
9
其方向与电流满足右手螺旋法则。其方向与电流满足右手螺旋法则。
v v 表达式 ∫ B⋅ dl = µ0 ∑Ii
L i
符号规定：符号规定：穿过回路 L 的电流方向与 L 的环绕方向服从右手关系的，为正，否则为负。手关系的，I 为正，否则为负。

11-4磁场的高斯定理和安培环路定理

单根导线产生的磁场

所有电流的总场
L

L
Bn dl 0 I n
B1 dl 0 I1
L Bn1 dl 0 Bnk dl 0
L
任意回路
L
B dl 0 I i
i
穿过回路的电流
7
在理解这个定理时，应注意以下几个问题（1）定理中的B是安培环路L上任意一点的磁感应强度，它是由空间所有电流共同产生的。定理中的 Ii则是安培环路L所包围的电流的代数和。（2）矢量B的环路积分不恒等于零，说明稳恒磁场不是保守力场，而是有旋场，所以在磁场中不能引入势能(标量势)的概念。（3）定理只适用于稳恒电流的磁场。由于稳恒电流是闭合的，所以对于不闭合的有限长的载流导线，安培环路定理不适用；
dl ' o dl ' ' 做 PO 垂线，取对称的长直电流元，其合磁场方向平行于电流平面。无数对称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。
电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点
B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 16
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平面等分。ab和cd 与电流平
B dl 0
根据安培环路定理，该安培环路一定包围电流。由此可得结论：磁感应线总是与产生它的电流回 10 路套连在一起的。
3. 安培环路定理的应用例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I
圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的圆为安培环路
B dl 2πrB 0 I
8
边长为2a的正方形闭合回路 CDEFC，所通电流为I。现仅讨论CD段，取中心处于其中点且与其垂直的半径为r的圆为安培环路，CD段所激发的磁场在圆上各点的磁感应强度为 0 Ia BCD 2r (a 2 r 2 )1/ 2 BCD的方向与圆周相切，与电流的方向成右螺旋关系。沿此圆周的环路积分为 0 Ia BCD dl 2 2 1/2 0I

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场是无源场磁场是无源场比较静电场稳恒磁场磁感应线闭合成环，无头无尾不存在磁单极。磁感应线闭合成环，或两端伸向不存在磁单极（？）高斯定理环路定理
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考：如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I

n
B内 0nI
外

B
I //

0 //
I B 2r
练习：半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求：内部 B ?
已知：
解：

R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献；对 LB dl 无贡献

磁场的高斯定理和安培环路定理

§2-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 垂直于电流元平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于零。即，通过任意闭合曲面的通量都等于零。
由叠加原理，在整个电流回路形成的
磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量
L Bn dl 0In ,
L Bnk dl 0
任意回路
¸¸
n
B dl L
0
Ii
i1
穿过回路的电流
闭合路径包围的电流为电
流密度沿所包围的曲面的
¸
Ii
j dS
S
i
积分安培环路定理说明磁场不是保守场，不存在标
量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分
重要的性质。
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题。
设 I1 , I 2 , … , I n电流过回路L，In 1 , I n 2 , … , I n k
电流不穿过回路L。令 B1 , B2 , … , Bn k 分别为单根
导线
I1
,
I
2
,
L
…
¸ B1
,
In
dl
பைடு நூலகம்
k产生的磁场，则有
¸
0I1 ,
L Bn1
dl
0
¸ #¸
# 所有电流的总¸ 场 ¸
小结
应用环路定理求解磁感应强度的步骤：
(1)根据通电电流产生的磁场的对称性，选择合适的闭合曲线L，并规定计算方向；
(2)计算磁感应强度的环流以及通过曲线L 所包围的平面的电流的代数和；

高斯定理和安培环路定理

r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
l
I
R R
L
r
2 π rB 0 I
0 r R
2 π rB
B
0I
2π r
B
2 π r l B d l 0 π R 2 I
I
.
dI
dB
0r
R
2
2
I
B
0 Ir
2π R
2
B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B
0 Ir
B dl μ 0 Ii
L
内
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
安培环路定理

n B dl 0 Ii i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和.
回路绕向化为逆时针时则对任意形状的回路设闭合回路l为圆形回路l与i不成右螺旋安培环路定律恒定电流的磁场中磁感应强度沿一闭合路径l的线积分等于路径l包围的电流强度的代数和的环路上各点的磁场为所有电流的贡献安培环路定理一闭合路径的积分的值等于乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和

磁场中的高斯定理和安培环路定律

写成
L Bdl cos B dl 0 I
B 0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向
与环路方向一致， B // dl , cos 1 22
或 Bdl , cos 0
环路要经过所研究的场点。
五、解题方法
1.场对称性分析； 2.选取环路； 3.确定环路内电流的代数和 I ； 4.应用环路定理列方程求解。
2.环流
Bdl
只与环路内的电流有关，
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
Bdl 0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若
B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
16
例2：利用安培环路定律计算载流无限长直导线外一点的磁感应强度。
由于环路上各点的 B 大小相等；且 B // dl ；θ=0
B dl
L
0 I 2r
2r
0 I
B
Ir
L
I 向下时为负值。
13
当L B环 d路l 为任0 意I形左状边时=：右边定理成立I。
LB dl LBdlcos
由于 Bdlcos Brd
2 0I rd
0 2r
0I
d r
L
θ
B
dl
当电流不在环路内时
r
选择如图所示的环路
b c d a
B dl ( )B dl
a
b
c
d
24
其中
c a
B dl B dl 0,
m dm B dS
/2
n
规定闭合面的外法线方向为正