高斯定理和安培环路定理
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B dl
L
I
Biblioteka Baidu2
L 4a cos1 cos 2 dl
2 2 2a
0 I
a
0 I
4a
2
0 2I
2
L
0 I
1
例 求无限长均匀密绕载流直螺线管的磁场．
安培环路定理的应用：
例：无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 r R B d l 0I
I
r
l
l 与 I 成右螺旋
l
B dl 0 I
没闭合曲线L不包围电流I，L在垂直于导线的平面内，如图 示．
B1
d
d l1
B2
d l2
B1
0I
2 π r1
， B2
0I
2 π r2
I
r1
r2
l
0I B 1 d l1 B 2 d l 2 d 2π B 1 d l1 B 2 d l 2 0
l
I
R R
L
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2 π rB 0 I
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B
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B
2 π r l B d l 0 π R 2 I
I
.
dI
dB
0r
R
2
2
I
B
0 Ir
2π R
2
B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B
0 Ir
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
讨论 (1) 积分回路方向与电流方向呈右手螺旋关系 满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0
(2) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想 的一段载流导线不成立
例如 图中载流直导线, 设 θ 1 θ 2 / 4 则 L 的环流为:
对于有限曲面
m
B dS
S
dS
对于闭合曲面 规定
磁力线穿入 磁力线穿出
m B dS
B
m 0 m 0
dS
由于磁感线都是闭合曲线 ，因此 对于闭合曲面，有多少条磁感线 进入闭合曲面，就一定有多少条 磁感线穿出闭合曲面。
B
m
B dS 0 (磁高斯定理)
§6.2
1. 规定
磁场的高斯定理与安培环路定理
一. 磁感应线
(1) 方向：磁力线切线方向为磁感应强度 B 的方向 (2) 大小：垂直 B 的单位面积上穿过的磁力线条数为磁感 应强度 B 的大小
B dN dS
直线电流的磁力线
圆电流的磁力线
通电螺线管的磁力线
I
I
I
I
2. 磁力线的特征
1、每一条磁力线都是环绕电流的闭合曲线，都与闭 合电路互相套合，磁力线是闭合回线。
I
B
o
l
R
dl
B dl I
L 0
设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I不 成右螺旋）
I
B
o
R
回路绕向化为逆时针时，则
dl
l
0I l B d l 2 π
0
2π
d 0I
d
dl
B
对任意形状的回路
0I 0I B dl rd d 2π r 2π
B dl μ 0 Ii
L
内
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
安培环路定理
n B dl 0 Ii i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
2、任意两条磁力线在空间不相交。 3、磁力线与电流方向之间可以用右手定则表示。
二.磁通量
磁场的高斯定理
静电场： e E dS qi / 0 S 磁 场： B dS ?
B dN dS
d B dS BS cos
m
通过面元的磁力线条数 —— 通过该面元的磁通量
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
2π R 0I
2
r R,
I
B
2π r
0I
2π R
B
R
o R
r
例 求无限长圆柱面电流的磁场分布。 解 系统有轴对称性，圆周上各点的 B 相同
r R 时过圆柱面外P 点做一圆周
R
P
r
B cos dl B dl B 2r 0 I
L L
L
I
B
0 I
2r
dB dB '
S
S
电流产生的磁感应线既没有起始 点，也没有终止点， 在国际单位制中，Φ 的单位是Wb
二. 安培环路定理 在稳恒电流的磁场中，磁感应强度B沿任意闭合路径的线积 分(亦称环流)等于路径所包围的电流的代数和的μ0倍．其数 学表示式为:
L
B dl 0
L
I
通过无限长载流直导线所产生的磁场这一特例来推导这一 定理． 下面分几种情况讨论：
B d l 0
l
• 推广到一般情况
I1 ~ I k
—— 在环路 L 中
In
I2 I1
Ii
Ik
I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外
P
L
I k 1
则磁场环流为
B dl
L
L
Bi dl
环路上各点的 磁场为所有电 流的贡献
L
k k Bi dl 0 I i 0 0 I i ( L内） i 1 i 1
L
I
Biblioteka Baidu2
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2
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1
例 求无限长均匀密绕载流直螺线管的磁场．
安培环路定理的应用：
例：无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路 r R B d l 0I
I
r
l
l 与 I 成右螺旋
l
B dl 0 I
没闭合曲线L不包围电流I，L在垂直于导线的平面内，如图 示．
B1
d
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B2
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B1
0I
2 π r1
， B2
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I
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B
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I
B
0 Ir
2π R
2
B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B
0 Ir
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
讨论 (1) 积分回路方向与电流方向呈右手螺旋关系 满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0
(2) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任意设想 的一段载流导线不成立
例如 图中载流直导线, 设 θ 1 θ 2 / 4 则 L 的环流为:
对于有限曲面
m
B dS
S
dS
对于闭合曲面 规定
磁力线穿入 磁力线穿出
m B dS
B
m 0 m 0
dS
由于磁感线都是闭合曲线 ，因此 对于闭合曲面，有多少条磁感线 进入闭合曲面，就一定有多少条 磁感线穿出闭合曲面。
B
m
B dS 0 (磁高斯定理)
§6.2
1. 规定
磁场的高斯定理与安培环路定理
一. 磁感应线
(1) 方向：磁力线切线方向为磁感应强度 B 的方向 (2) 大小：垂直 B 的单位面积上穿过的磁力线条数为磁感 应强度 B 的大小
B dN dS
直线电流的磁力线
圆电流的磁力线
通电螺线管的磁力线
I
I
I
I
2. 磁力线的特征
1、每一条磁力线都是环绕电流的闭合曲线，都与闭 合电路互相套合，磁力线是闭合回线。
I
B
o
l
R
dl
B dl I
L 0
设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I不 成右螺旋）
I
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回路绕向化为逆时针时，则
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0
2π
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B
对任意形状的回路
0I 0I B dl rd d 2π r 2π
B dl μ 0 Ii
L
内
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
安培环路定理
n B dl 0 Ii i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
2、任意两条磁力线在空间不相交。 3、磁力线与电流方向之间可以用右手定则表示。
二.磁通量
磁场的高斯定理
静电场： e E dS qi / 0 S 磁 场： B dS ?
B dN dS
d B dS BS cos
m
通过面元的磁力线条数 —— 通过该面元的磁通量
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内，电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路（ L 与 I 成右螺旋）
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
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P
B0
例 无限大平面电流的磁场．有一无限大的导体平面，均匀地 流着自下而上的面电流．设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B．
2π R 0I
2
r R,
I
B
2π r
0I
2π R
B
R
o R
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例 求无限长圆柱面电流的磁场分布。 解 系统有轴对称性，圆周上各点的 B 相同
r R 时过圆柱面外P 点做一圆周
R
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L L
L
I
B
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2r
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S
电流产生的磁感应线既没有起始 点，也没有终止点， 在国际单位制中，Φ 的单位是Wb
二. 安培环路定理 在稳恒电流的磁场中，磁感应强度B沿任意闭合路径的线积 分(亦称环流)等于路径所包围的电流的代数和的μ0倍．其数 学表示式为:
L
B dl 0
L
I
通过无限长载流直导线所产生的磁场这一特例来推导这一 定理． 下面分几种情况讨论：
B d l 0
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• 推广到一般情况
I1 ~ I k
—— 在环路 L 中
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I2 I1
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I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外
P
L
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则磁场环流为
B dl
L
L
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环路上各点的 磁场为所有电 流的贡献
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