11西南大学-通信原理-第十一章 差错控制编码
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通信原理樊昌信版第11章差错控制编码1
发 能够发现错误的码 应答信号
编码器和缓 冲存储器 双 向 信 重发控制 道
收
解码器
信 源
输出缓冲 存储器
收 信
指令产生器
正确时输出 错误时删除
者
19
6、自动要求重发(ARQ)系统
①停止等待ARQ系统
停顿时间
Tw 发送端： 1
TI
2
ACK ACK
3
NAK
3
接收端：
1
2
3
发现错误
20
发端在Tw时间内送出一个码组； 收端收到后检查。 如果未发现错误，则发回一个认可信号 (ACK) 给发送端，发送端收到ACK信号再发 下一个码组 若检测到错误，则发回一个否认信号(NAK)， 发送端收到NAK信号后重发前一码组，并再 次等候ACK信号或NAK信号 发送两个码组之间有停顿时间TI，影响了传 输效率。半双工状态。
34
6、码距和检纠错能力的关系
一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这 种编码的检错和纠错能力。 为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1
0 A 1 2 3
e
d0
B
汉明距离
35
A、B都为许用码；
A e dmin
1
B
A发生e个错；
B不能靠在球面上，否 则收到B无法判断是否 为错码；
dmin≥e+1
37
A t
1 t dmin
B
A、B都为许用码； A、B都发生t个错； dmin≥2t+1
纠正t个错码 为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求 最小码距:
d0 e t 1
(e t )
38
0 A
1
编码器和缓 冲存储器 双 向 信 重发控制 道
收
解码器
信 源
输出缓冲 存储器
收 信
指令产生器
正确时输出 错误时删除
者
19
6、自动要求重发(ARQ)系统
①停止等待ARQ系统
停顿时间
Tw 发送端： 1
TI
2
ACK ACK
3
NAK
3
接收端：
1
2
3
发现错误
20
发端在Tw时间内送出一个码组； 收端收到后检查。 如果未发现错误，则发回一个认可信号 (ACK) 给发送端，发送端收到ACK信号再发 下一个码组 若检测到错误，则发回一个否认信号(NAK)， 发送端收到NAK信号后重发前一码组，并再 次等候ACK信号或NAK信号 发送两个码组之间有停顿时间TI，影响了传 输效率。半双工状态。
34
6、码距和检纠错能力的关系
一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这 种编码的检错和纠错能力。 为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1
0 A 1 2 3
e
d0
B
汉明距离
35
A、B都为许用码；
A e dmin
1
B
A发生e个错；
B不能靠在球面上，否 则收到B无法判断是否 为错码；
dmin≥e+1
37
A t
1 t dmin
B
A、B都为许用码； A、B都发生t个错； dmin≥2t+1
纠正t个错码 为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求 最小码距:
d0 e t 1
(e t )
38
0 A
1
通信原理-第11章-差错控制编码要点
5
5
有错码组
6 ACK t
t
① 数据按分组发送。每发一组数据后, 发端等待收端的确认(ACK)答 复，然后再发下一组数据。
② 图中第3组接收数据有误，收端发回一个否认(NAK)答复。这时， 发送端将重发第3组数据。
③ 系统工作在半双工状态，时间没有得到充分利用，传输效率较低。
9
11.1 概述
2、拉后ARQ系统
的海明码
数据位 m 第4 第 第2 第1
解：（1)写出编码格式
位3位 位
1000001→100s8000s41s2s1
位
（2）写出数据位的位置编码，如右表所示 （3)计算各检验位
P3＝1
30
01
1
s1= p3p5p7p9p11 ＝ 0
p5 ＝0 5 0 1 0 1
s2= p3p6p7p10p11＝0
直到正确接收为止。
发端无需加入差错控制码元， 1. 检错重发 收端将收到的码元转发回发 2. 前向纠错 端，发端将它和原发送码元 3. 反馈校验 逐一比较。若不同，则出错， 4. 检错删除
发端重发。
能纠正错码。
与检错重发区别在 于收端发现错码后， 立即将其删除，不
要求重发。 7
11.1 概述
三、差错控制编码：常称为纠错编码
➢将计算得到的 r1 、r2、r3、r4按 高到低的位序排列成： r4 r3 r2 r1
S1= p3p5p7p9p11 S2= p3p6p7p10p11 S4= p5p6p7 S8= p9p10p11
r4 r3 r2 r1 0101
出错码位置 5
结论：p5位出错
6
11.1 概述
一、信道分类：从差错控制角度
通信原理 第十一讲 差错控制编码
(0,0,0) (0,0,1) (1,0,1)
(1,0,0)
码距与检错
检出e个错码，最小码距d0≥e+1
(0,1,0) (0,1,1) (1,1,1)
(1,1,0)
e A B d0
(0,0,1)
(0,0,0)
(1,0,0)
(1,0,1)
7
码距与纠错
纠正t个错码，最小码距d0≥2t+1
t A
t B d0
考察偶数监督码，an-1@an-2@…@a0=0 接收端计算：S= an-1@an-2@…@a0 a0是监督位， an-1 an-2 … a1 是信息位 若S=0，无错；S＝1，有错 S的代数关系式称作监督关系式，S称作校正子 S为1位，只能指示有错或没错，不能指出错误位置 （纠错） 所以一位监督位只能表示“有错”或“没错”两种信息
10001 ⊕ 11001 01000
信息码 监督码
11001 ⊕ 01001 10000
信息码 监督码
信息码组有奇数个 “1”，校验码组取合成 码组，全为“0”，无误 码
信息码组有偶数个 “1”，校验码组取合成 码组反码10111，4个 “1”，误码在信息码“0” 位置
信息码组有奇数个 “1”，校验码组取合成 码组10000，4个“0”， 误码在监督码“1”位置
前向纠错FEC( Forward Error Correct)：
发送端发送能纠正错误的编码，在接收端根据接收到 的码和编码规则，能自动纠正传输中的错误。 特点是不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能 力的提高，编译码设备复杂。
3.
混合方式：
结合前向纠错和ARQ的系统，在纠错能力范围内，自 动纠正错误，超出纠错范围则要求发送端重新发送。 它是一种折中的方案。
(1,0,0)
码距与检错
检出e个错码，最小码距d0≥e+1
(0,1,0) (0,1,1) (1,1,1)
(1,1,0)
e A B d0
(0,0,1)
(0,0,0)
(1,0,0)
(1,0,1)
7
码距与纠错
纠正t个错码，最小码距d0≥2t+1
t A
t B d0
考察偶数监督码，an-1@an-2@…@a0=0 接收端计算：S= an-1@an-2@…@a0 a0是监督位， an-1 an-2 … a1 是信息位 若S=0，无错；S＝1，有错 S的代数关系式称作监督关系式，S称作校正子 S为1位，只能指示有错或没错，不能指出错误位置 （纠错） 所以一位监督位只能表示“有错”或“没错”两种信息
10001 ⊕ 11001 01000
信息码 监督码
11001 ⊕ 01001 10000
信息码 监督码
信息码组有奇数个 “1”，校验码组取合成 码组，全为“0”，无误 码
信息码组有偶数个 “1”，校验码组取合成 码组反码10111，4个 “1”，误码在信息码“0” 位置
信息码组有奇数个 “1”，校验码组取合成 码组10000，4个“0”， 误码在监督码“1”位置
前向纠错FEC( Forward Error Correct)：
发送端发送能纠正错误的编码，在接收端根据接收到 的码和编码规则，能自动纠正传输中的错误。 特点是不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能 力的提高，编译码设备复杂。
3.
混合方式：
结合前向纠错和ARQ的系统，在纠错能力范围内，自 动纠正错误，超出纠错范围则要求发送端重新发送。 它是一种折中的方案。
通信原理(第7版)-第11章差错控制编码
曹丽娜
例
解 根据偶数监督规则：
编出的码字应为 ： 11011
若收到 10011，检测结果为：1 0 0 1 1 1---存在错码
若收到 00011，检测结果为：0 0 0 1 1 0---认为无错
可见，奇偶监督码 不能 检出 偶数 个错码。
西安电子科技大学 通院
曹丽娜
11.4.2 二维奇偶监督码（方阵码）
改写为：
a6 a5 a4 a2 0 a6 a5 a3 a1 0 a6 a4 a3 a0 0
1a61a51a40a31a20a10a00 1a61a50a41a30a21a10a00 1a60a51a41a30a20a11a00
表示成如下矩阵形式：
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简记为 或
监督矩阵
西安电子科技大学 通院
曹丽娜
G 和H 的关系
西安电子科技大学 通院
曹丽娜
校正子与错误图样
设发送码组为一个n列的行矩阵 A， 接收码组的行矩阵 B
A a n 1 a n 2 a 1 a 0 B b n 1 b n 2 b 1 b 0
D点
10-4
10-5
可见：能节省功率 2 dB
——称为编码增益
10-6
西安电子科技大学 通院
2PSK调制
编 码 A• 前 •
B• 编 码C
•后 • D
信噪比 (dB)
曹丽娜
—— 付出的代价是带宽增大。 因此，纠错码主要应用于功率受限而带宽不太受限的信道中。
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曹丽娜
传输速率RB 和 信噪比Eb/n0的关系
曹丽娜
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曹丽娜
§11.2
通信原理第11章差错控制编码分析
接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端， 并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重 发。
发
数据信息 数据信息
收
图11.1-6 信息反馈法
第11章 差错控制编码
11.1
概述
收端把收到的数据序列全部经反向信道送回发
端，发端比较发出和送回的数据序列，从而发 现有否错误，如果有错误，发端将数据序列再 次传送，直到发端没有发现错误。
编码二： 消息A----“00”；消息B----“11” 最小码距2 若传输中产生一位错码，则变成“01”或“10”， 收端判决为有错（因“01”“10”为禁用码组），但 无法确定错码位置，不能纠正，该编码具有检出 一位错码的能力。 这表明增加一位冗余码元后码具有检出一位错 码的能力
第11章 差错控制编码
11.1
概述
差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性 前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。 差错控制编码是在信息序列上附加上一些监督 码元，利用这些冗余的码元，使原来不规律的或 规律性不强的原始数字信号变为有规律的数字信 号。例如奇偶校验。 差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输过 程是否发生错误，或进而纠正错误。
11.2
差错控制编码的基本原理
（2）最小码距与检错和纠错能力的关系
一个码能检测e个错码，则要求其最小码dmin≥e+1
一个码能纠正t个错码，则要求其最小dmin≥2t+1 一个码能纠正t个错码，同时能检测e个错码，则要
求其最小码距
dmin≥e+t+1 (e>t)
第11章 差错控制编码
11.2
11.1
概述
（1）检错重发法（ARQ） Automatic Repeat reQuest 收端在接收到的信码中发现错码时，就通 知发端重发，直到正确接收为止。例如奇偶 校验。 检错重发方式只用于检测误码，能够在接 收单元中发现错误，但不一定知道该错误码 的具体位置。 需具备双向信道。
差错控制编码
一．差错控制编码是什么？差错控制编码是指在实际信道上传输数字信号时，由于信道传输特性不理想及加性噪声的影响，所收到的数字信号不可避免地会发生错误。
为了在已知信噪比的情况下达到一定的误比特率指标，首先应合理设计基带信号，选择调制、解调方式，采用频域均衡和时域均衡，使误比特率尽可能降低，一但若误比特率仍不能满足要求，则必须采用信道编码，即差错控制编码。
差错控制编码的基本做法是：在发送端被传输的信息序列上附加一些监督码元，这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束）。
接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输过程中发生差错，则信息码元与监督码元之间的关系将受到破坏，从而可以发现错误，乃至纠正错误。
研究各种编码和译码方法正式差错控制编码所要解决的问题。
扩展资料：常用的差错控制编码方法有：奇偶校验、恒比码、矩阵码、循环冗余校验码、卷积码、Turbo码。
1、奇偶校验奇偶校验是一种校验代码传输正确性的方法。
根据被传输的一组二进制代码的数位中“1”的个数是奇数或偶数来进行校验。
采用奇数的称为奇校验，反之，称为偶校验。
采用何种校验是事先规定好的。
通常专门设置一个奇偶校验位，用它使这组代码中“1”的个数为奇数或偶数。
若用奇校验，则当接收端收到这组代码时，校验“1”的个数是否为奇数，从而确定传输代码的正确性。
2、恒比码恒比码一般指定比码。
定比码是指一组码中1和0的码元个数成一定比例的一种编码。
换言之，它是选用比特序列中1和0码元之比例为定值，所以又称为恒比码。
定比码是一种常用的检错码。
3、矩阵码矩阵码属二维条码的一种，是将图文和数据编码后，转换成一个二维排列的多格黑白小方块图形。
矩阵式二维条形码是以矩阵的形式组成，在矩阵相应元素位置上，用点(Dot)的出现表示二进制的“1”，不出现表示二进制的“0”，点的排列组合确定了矩阵码所代表的意义。
其中点可以是方点、圆点或其它形状的点。
矩阵码是建立在电脑图像处理技术、组合编码原理等基础上的图形符号自动辨识的码制，已较不适合用“条形码”称之。
北京理工大学《通信原理》第11章-差错控制编码
但是这种码不能发现一个码组中的两个错码，因为发生两
个错码后产
检错和纠错
上面这种编码只能检测错码,不能纠正错码。例如，当接收码 组为禁用码组“100”时，接收端将无法判断是哪一位码发生了 错误，因为晴、阴、雨三者错了一位都可以变成“100”。
要能够纠正错误，还要增加多余度。例如，若规定许用码组只 有两个：“000”（晴），“111”（雨），其他都是禁用码组， 则能够检测两个以下错码，或能够纠正一个错码。
例如：“000”（晴），“001”（云），
“010”（阴），“011”（雨），
“100”（雪），“101”（霜），
“110”（雾），“111”（雹）。
其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将变 成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
12
第11章差错控制编码
若在上述8种码组中只准许使用4种来传送天气，例如：
若码组A中发生两位错码，则其位置不会超出以O点为圆 心，以2为半径的圆。因此，只要最小码距不小于3，码 组A发生两位以下错码时，
不可能变成另一个准用 码组，因而能检测错码 的位数等于2。
0123
A
B 汉明距离
e
d0
19
第11章差错控制编码
同理，若一种编码的最小码距为d0，则将能检测(d0 - 1)个错码。 反之，若要求检测e个错码，则最小码距d0至少应不小于( e + 1)。
N － 码组的总位数，又称为码组的长度（码长）， k － 码组中信息码元的数目， n – k ＝ r － 码组中的监督码元数目，或称监督位数目。
16
第11章差错控制编码
分组码的码重和码距
码重：把码组中“1”的个数称为码组的重量，简称码重。 码距：把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组
通信原理-纠错编码
=d(r,c i
)log
1
p -
p
+
n
log(1-
p)
n
log(1-
p)
为常数，log
p 1-
p
为负数。最大化
log
P(r
|c i
)等效为最小化汉明距离d(r,ci
)。
第11章 纠错编码：信道编码的译码
25
纠错码的性能估计
通过比较在一定条件下，编码与不编码相比 误码率改善的多少来评估纠错码的性能。
(c+d)v=cv+dv。
第11章 纠错编码：线性分组码
28
例：
全体n重矢量集合{a1 a2… an|ai{0,1}}构成
一个线性空间。 系数为实数R且次数少于n的全体多项式
{fn1xn1 + fn2xn2 +…+ f1x + f0 | fiR}组成 一个线性空间。
第11章 纠错编码：线性分组码
纠错编码发展中的重要事件(续)
1982年Ungerboeck提出网格编码调制。 1993年Berrou等提出Turbo码。 1963年Gallager提出LDPC码，Mackay等人在
1995年重新发现LDPC码。
关于本章的教材
建议以北邮《通信原理》、重邮《通信原理》 (蒋青、于秀兰等编)或重邮《信息论与编码》 (于秀兰等编)等教材中“信道编码”章节为主，本 课程教材第11章为参考。
23
对于无记忆信道，序列的似然函数为各码元 似然函数之积：
n
P(r | c ) = P(r | c )
i
j ij
j =1
对数似然函数
ån
log P(r | c ) = log P(r | c )
通讯原理差错编码控制
1
阴
10
1
雨
11
0
许用码组：有效信息码组 禁用码组：非信息码组
结论：只能检测出 1 位错
码，但不能纠正。
错1位
接收码组
判别
001、010、100
010、001、111
100、111、001
111、100、010
错2位
接收码组
011、110、101 000、101、110 110、000、011 101、000、011
上错码的能力
编码 1) 规则：2)
当信息位中有奇数个“1”时，监督位是信息位的重复。 当信息位中有偶数个“1”时，监督位是信息位的反码。
例：若信息码为 1 1 0 0 1
10001
则正反码为 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1
100010111
译码 1）将接收码组中信息码和监督码对应按0位模2 加，得 规则： 合成码组
汉明码
确定监督码元位数 r
∵ 分组码( n , k ) 共需 n+1 个状态描述无错及 n 个有错事
∴ 件2r 1 n 为提高编码效率， r 取最小值
确定监督关系表
例：已知( 7 , 4 )码，r = 3 23 8 n 1 ∴ 共有3个监督方程，构成 3个校正子 S1 S2 S
S1 S2 S3 000 001
010 100 001 111
11.4.2 一般线性分组码的编码原理（矩阵方程）
思路：确定编码矩阵方程，构造生成矩阵
例：汉明码的监督方程为
a6 a5 a3 a2 0 a5 a4 a3 a1 0 a6 a5 a4 a0 0
自动请求重发系统（ARQ）
自动请求重发系统（ARQ）
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5、循环码的生成多项式、生成矩阵、编码和译码；
6、卷积码的矩阵、多项式和图形描述方法。
西南大学电子信息工程学院
3
电路与通信教研室
高渤
学习目标
通信原理【第十一章 差错控制编码】
Southwestern University
重点
1、概念： 差错控制的基本原理；码重、汉明距离、最小距离的概念
和确定；纠检能力与之间的关系；汉明码的概念及其有关参数； 卷积码的描述方法和约束度N的含义。
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9
电路与通信教研室
高渤
第一节
通信原理【第十一章
概
述
Southwestern University
差错控制编码】
三、差错控制原理举例——自动要求重发（ARQ）系统
1、停止等待ARQ系统
发送码组
1 1
2
2
3
ACK
3
NAK
4
ACK
5
ACK
5
NAK
6
ACK t
ACK 接收码组
3
有错码组
3
4
5
有错码组
5 t
发送一组数据后发端等待收端的确认（ACK）答复，再发 送下一组数据；若收到否认（NAK）答复，则重发。系统工作 在半双工状态，时间没有得到充分利用，传输效率较低。
西南大学电子信息工程学院 10 电路与通信教研室 高渤
第一节
通信原理【第十一章
概
述
Southwestern University
循环码 卷积码 Turbo码 低密度奇偶检验码 网格编码调制
电路与通信教研室 高渤
纠错编码的性能 简单的实用编码 线性分组码
西南大学电子信息工程学院
学习目标
通信原理【第十一章 差错控制编码】
Southwestern University
学习要点
1、差错控制方式和编码分类； 2、最小码距与纠检错能力； 3、几种常用的简单编码； 4、线性分组码的生成（G）、监督（H）和纠错（S）；
1、编码效率。 2、汉明码。 3、校验接收码组B是否出错的方法。 4、多项式运算规则。
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5
电路与通信教研室
高渤
学习内容
通信原理【第十一章 差错控制编码】
第十一章
差错控制编码 Southwestern University
1 2 3 4 5
概 述 纠错编码的基本原理
6 7 8 9 7 10 5
含弘光大
继往开来
通信原理
主讲教师：高 渤 gaobo@
西南大学电子信息工程学院 电路通信教研室
学习内容
通信原理【第十一章 差错控制编码】
第十一章
差错控制编码 Southwestern University
1 2 3 4 5
概 述 纠错编码的基本原理
6 7 8 9 7 10 5
2
西南大学电子信息工程学院
8
电路与通信教研室
高渤
第一节
通信原理【第十一章
概
述
Southwestern University
差错控制编码】
3）编码效率（简称码率） ：
设编码序列中信息码元数量为k，总码元数量为n，则比值k/n 就是码率。 4）冗余度： 监督码元数（n-k） 和信息码元数 k 之比（n-k）/ k 。 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高传输 可靠性。
识别。显然，这种系统需要双工信道。
西南大学电子信息工程学院 11 电路与通信教研室 高渤
第一节
通信原理【第十一章
概
述
Southwestern University
差错控制编码】
3、选择重发ARQ系统
重发码组 重发码组
发送数据
1
2
3
4
5
6
7
5
8
9 10 11
ACK5
9 12 13 14
ACK9
ACK1
差错控制编码】
2、拉后ARQ系统
重发码组 发送数据 重发码组
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9 10 11 9 10 11 12
NAK9
ACK1 接收数据
NAK5
ACK5
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9 10 11 9 10 11 12
有错码组
有错码组
发送端连续发送数据组，接收端对于每个接收到的数据组 都发回确认（ACK）或否认（NAK）答复。 在这种系统中需要对发送的数据组和答复进行编号，以便
差错控制编码】
2、差错控制编码：常称为纠错编码。 1）监督码元： 除反馈校验外，都是在接收端识别有无错码。所以在发送
端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元，称为监督码
元。不同的编码方法，有不同的检错或纠错能力。 2）多余度： 指增加的监督码元多少。例如，若编码序列中平均每两个 信息码元就添加一个监督码元，则这种编码的多余度为1/3。
接收数据
NAK5
NAK9
1
2
3
4
5
6
7
5
8
9 10 11
有错码组
9 12 13
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有错码组
只选择重发出错的数据组，因此进一步提高了传输效率。
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电路与通信教研室
高渤
第一节
通信原理【第十一章
概
述
Southwestern University
差错控制编码】
4、ARQ的主要优点（和前向纠错方法相比）：
2、计算： 码率的计算；线性分组码的、编码、校正子和纠错；循环 码编码和译码过程；给出卷积码编码器，能写出其输入和输出 的关系；给定输入信码，得到输出卷积码序列。
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电路章 差错控制编码】
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难点
1）监督码元较少即能使误码率降到很低，即码率较高； 2）检错的计算复杂度较低； 3）检错用的编码方法和加性干扰的统计特性基本无关，能适应 不同特性的信道。 5、ARQ的主要缺点： 1）需要双向信道来重发，也不能用于一点到多点的通信系统。 2）因为重发而使ARQ系统的传输效率降低。 3）在信道干扰严重时，可能反复重发造成事实上的通信中断。
1、随机信道：错码的出现是随机的。
2、突发信道：错码是成串集中出现的。 3、混合信道：既存在随机错码又存在突发错码。 二、差错控制技术 1、差错控制技术 一般分为：检错重发、前向纠错、反馈校验、检错删除。
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通信原理【第十一章
概
述
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循环码 卷积码 Turbo码 低密度奇偶检验码 网格编码调制
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纠错编码的性能 简单的实用编码 线性分组码
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通信原理【第十一章
概 述
差错控制编码】
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一、信道分类
从差错控制角度看，按加性干扰引起的错码分布规律的不 同，信道可以分为三类：