第二章材料的结构
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材料科学基础_第2章_固体材料的结构
(2)不透明，具有金属光泽； (3)具有较高的强度和良好的延展性； (4)正的电阻温度系数。
4
共价键
原子间不产生电子的转移，借共用电子对产生的力结合， 如金刚石，单质硅，SiC 特点： 1.饱和性：电子必须由（8－N）个邻近原子共有；
2.具有方向性：氧化硅四面体中硅氧键为109°
3. 脆性：外力作用，原子间发生相对位移，键将被 破坏
配位数与致密度 配位数 CN=12 致密度 k=0.74
25
体心立方结构(特征）
体心立方晶格密排面
26
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
体心立方晶格（间隙及堆垛方式）
间隙: 也是两种，为八面体和四面体间隙， 八面体间隙位于晶胞六面体每个面的中心和每个棱的 中心由一个面上四个角和相邻两个晶胞体心共6个原围成， 即数量为6。大小为rB=0.154R(在<100>) 或rB=0.633R (在<110>) 。
配位数： CN=8 致密度： k=0.68
31
密排六方晶格原子位置
32
密排六方晶格晶胞原子数
33
密排六方晶格密排面
34
密排六方晶格原子配位数
35
密排六方晶格(间隙及堆垛方式）
• 间隙: 较为复杂，如图2.34 八面体间隙rB=0.414R 有 6 个 四面体间隙rB=0.225R 有 12 个
图1 Cl和Na离子保持r0的距离
图2 NaCl 晶体
9
•
分子键（范德华力)
以若静电吸引的方式使分子或原子团连接在一起的。
特点：除高分子外，键的结合不如化学键牢固，无饱和性， 无方向性。
氢键： 分子间特殊作用力
表达为：X—H—Y 特点：具有饱和性和方 向性，可存在于分子内 或分子间。氢键主要存 在于高分子材料内。
4
共价键
原子间不产生电子的转移，借共用电子对产生的力结合， 如金刚石，单质硅，SiC 特点： 1.饱和性：电子必须由（8－N）个邻近原子共有；
2.具有方向性：氧化硅四面体中硅氧键为109°
3. 脆性：外力作用，原子间发生相对位移，键将被 破坏
配位数与致密度 配位数 CN=12 致密度 k=0.74
25
体心立方结构(特征）
体心立方晶格密排面
26
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
体心立方晶格（间隙及堆垛方式）
间隙: 也是两种，为八面体和四面体间隙， 八面体间隙位于晶胞六面体每个面的中心和每个棱的 中心由一个面上四个角和相邻两个晶胞体心共6个原围成， 即数量为6。大小为rB=0.154R(在<100>) 或rB=0.633R (在<110>) 。
配位数： CN=8 致密度： k=0.68
31
密排六方晶格原子位置
32
密排六方晶格晶胞原子数
33
密排六方晶格密排面
34
密排六方晶格原子配位数
35
密排六方晶格(间隙及堆垛方式）
• 间隙: 较为复杂，如图2.34 八面体间隙rB=0.414R 有 6 个 四面体间隙rB=0.225R 有 12 个
图1 Cl和Na离子保持r0的距离
图2 NaCl 晶体
9
•
分子键（范德华力)
以若静电吸引的方式使分子或原子团连接在一起的。
特点：除高分子外，键的结合不如化学键牢固，无饱和性， 无方向性。
氢键： 分子间特殊作用力
表达为：X—H—Y 特点：具有饱和性和方 向性，可存在于分子内 或分子间。氢键主要存 在于高分子材料内。
材料科学基础第二章+材料的结构
a
b
（200）、（333）等是否存在？ 具有公因子的晶面不存在
过坐标原点O
c
a
O
b
O’
截距 -1 1/4 （01-4）
c
a （100）
b
c
a
（200） b
（3）晶面族和晶向族
(hkl)与[uvw]分别表示的是一组平行的晶向和晶面。
[110]
(100)
简单立方(12) 体心立方(13) 面心立方(14)
Fe, Cr, Cu, Ag, V
14种Bravais点阵
1. 三斜Triclinic ：简单三斜(1)
a b c, 90o
2. 单斜Monoclinic ： 简单单斜(2) 底心单斜(3)
a b c, 90o
dhkl2[(h/a)2+(k/b)2+(l/c)2] =cos2+cos2+cos2 直角坐标系
cos2+cos2+cos2 =1
对于常见晶系，晶面间距dhkl为：
dhkl dhkl dhkl
1 (h)2 (k )2 ( l )2 abc
abc 90
abc 90
简单六方(8)
简单菱方(9) 简单四方(10) 体心四方(11)
Mg, Zn
Cd, Ni, As 90%以上的 金属具有立
As, Sb, Bi 方晶系和六 方晶系
-Sn, TiO2
abc 90
Draw the plane （100）
c
a （100）
b
材料科学基础_第二章-合金的相结构
间隙化合物的熔点、硬度较高，也是强化相。
(2) TCP相 TCP相（topologically close-packed phase）的特点： ①由配位数为12、14、15、16的配位多面体堆垛而成；②呈层状 结构。
TCP相类型：①Lavs相 AB2型 镁合金、不锈钢中出现
②σ相 AB型或AxBx型 有害相
b.间隙化合物 间隙化合物的晶体结构比较复杂。其表达式有如下类型： M3C、M7C3、M23C6、M6C。间隙化合物中金属元素M常被其 它金属元素所代替形成化合物为基的固溶体（二次固溶体）。
在H、N、C、B等非金属元素中,由于H和N的原子半径很小,与所 有过渡族金属都满足rX/rM<0.59,所以过渡族金属的氢化物、氮化物 都为间隙相；而硼原子半径rB/rM>0.59较大, rB/rM>0.59，硼化物 均为间隙化合物；而碳原子半径处于中间,某些碳化物为间隙相,某些 为间隙化合物。
4.超结构—有序固溶体
超结构（super structure/lattice）类型： 有序化条件：异类原子之间的相互吸引大于同类原 子间 有序化影响因素：温度、冷却速度和合金成分
5.金属间化合物的性质及应用（P56） （1）——（7）
CuAu有序固溶体的晶体结构
2.4 离子晶体
离子晶体有关概念 1.离子晶体(ionic crystal) ：由正、负离子通过离子键按
相分类:固溶体和中间相(金属间化合物)
固溶体——
中间相——
中间相可以用分子式来大致表示其组成。
合金相的性质由以下三个因素控制:
（1）电化学因素(电负性或化学亲和力因素)
电负性——
（2）原子尺寸因素 △r=（rA－rB)/rA 中间相。 △r越小，越易形成固溶体
(2) TCP相 TCP相（topologically close-packed phase）的特点： ①由配位数为12、14、15、16的配位多面体堆垛而成；②呈层状 结构。
TCP相类型：①Lavs相 AB2型 镁合金、不锈钢中出现
②σ相 AB型或AxBx型 有害相
b.间隙化合物 间隙化合物的晶体结构比较复杂。其表达式有如下类型： M3C、M7C3、M23C6、M6C。间隙化合物中金属元素M常被其 它金属元素所代替形成化合物为基的固溶体（二次固溶体）。
在H、N、C、B等非金属元素中,由于H和N的原子半径很小,与所 有过渡族金属都满足rX/rM<0.59,所以过渡族金属的氢化物、氮化物 都为间隙相；而硼原子半径rB/rM>0.59较大, rB/rM>0.59，硼化物 均为间隙化合物；而碳原子半径处于中间,某些碳化物为间隙相,某些 为间隙化合物。
4.超结构—有序固溶体
超结构（super structure/lattice）类型： 有序化条件：异类原子之间的相互吸引大于同类原 子间 有序化影响因素：温度、冷却速度和合金成分
5.金属间化合物的性质及应用（P56） （1）——（7）
CuAu有序固溶体的晶体结构
2.4 离子晶体
离子晶体有关概念 1.离子晶体(ionic crystal) ：由正、负离子通过离子键按
相分类:固溶体和中间相(金属间化合物)
固溶体——
中间相——
中间相可以用分子式来大致表示其组成。
合金相的性质由以下三个因素控制:
（1）电化学因素(电负性或化学亲和力因素)
电负性——
（2）原子尺寸因素 △r=（rA－rB)/rA 中间相。 △r越小，越易形成固溶体
材料科学基础第2章
晶胞示意图
晶胞大小和形状表示方法
晶胞大小和形状表示方法为：
晶胞的棱边长度ａ、ｂ、ｃ（称为点阵常数、晶格常 数(lattice constants/parameters))； 棱边的夹角为α、β、γ（称为晶轴间夹角）。 选取晶胞的原则： 1、应反映出点阵的高度对称性 2、棱和角相等的数目最多 3、棱边夹角为直角时，直角数目最多 4、晶胞体积最小
晶面指数（hkil）其中i=-（h+k）
晶向指数 [uvtw] 其中t=-（u+v）
六方晶系按两种晶轴系所得的晶面指数和晶向 指数可相互转化：
六方晶系的晶向（面）指数示意图
六方晶系的一些晶向（面）指数
4.晶带
晶带——所有平行或相交于同一直线的晶面构成一个 晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为共 带面。 晶带定理：同一晶带上晶带轴[uvw]和晶带面（hkl） 之间存在以下关系：hu+kv+lw=0 通过晶带定理可以求晶向指数或晶面指数。 a) 求两不平行的晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）的晶 带轴。 b) 求两个不平行的晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]所决定 的晶面。
面心立方八面体间隙面心立方Biblioteka 面体间隙面心立方四面体间隙
面心立方四面体间隙
面心立方原子堆垛顺序
面心立方晶体的 ABCABC 顺序密堆结构
2.体心立方晶格(特征）
原子排列:晶胞八个顶角和晶胞体心各有一个原子 点阵参数:a=b=c，α=β=γ=90º 晶胞中原子数:n=8×1/8＋1=2个 3 原子半径: 4R 3a, R a
三种典型金属晶体结构刚球模型
三种典型金属晶体结构晶胞原子数
原子半径与晶格常数
三种典型金属晶格密排面的堆垛方式
材料科学基础I 第二章 (固体材料的结构)
3.电负性因素 电负性因素
溶剂、溶质原子的电负性相差越大，化学亲和力越大， 溶剂、溶质原子的电负性相差越大，化学亲和力越大， 溶解度越小。因为容易形成化合物。 溶解度越小。因为容易形成化合物。
4.电子浓度因素 电子浓度因素
电子浓度——合金中价电子数与原子数之比。 合金中价电子数与原子数之比。 电子浓度 合金中价电子数与原子数之比
1重量质量百分数ab二元合金为例100babwbmmmcmb元素b的重量质量ma元素a的重量质量2原子mol百分数100bababnnncnb元素b的原子数na元素a的原子数m合金中某元素的质量gm某元素的原子mol质量量gna阿伏加得罗常数6021023anmmn?3互换关系jnijwjiwiaimcmccjnajjaiiwicmcmc1caii元素的原子分数cwii元素的质量分数mii元素的mol质量g固溶体合金中的相分为
C wB =
B
m A + mB
× 100%
mB——元素 的重量 质量 元素B的重量 质量) 元素 的重量(质量 mA——元素 的重量 质量 元素A的重量 质量) 元素 的重量(质量
(2)原子 原子(mol)百分数 原子 百分数
nB C aB = × 100% n A + nB
nB——元素 的原子数 元素B的原子数 元素 nA——元素 的原子数 元素A的原子数 元素 m——合金中某元素的质量 合金中某元素的质量(g) 合金中某元素的质量 M——某元素的原子 某元素的原子(mol质量 量(g) 质量)量 某元素的原子 质量 NA——阿伏加得罗常数 阿伏加得罗常数6.02×1023 阿伏加得罗常数 × (3)互换关系 互换关系
固溶体
金属晶体(溶剂 中溶入了其它元素 溶质)后 就称为固溶体。 金属晶体 溶剂)中溶入了其它元素 溶质 后，就称为固溶体。 溶剂 中溶入了其它元素(溶质
第二章 材料的结构(含答案)
第二章材料的结构(含答案)一、填空题（在空白处填上正确的内容）1、内部原子按一定规律排列的物质叫________。
答案：晶体2、金属晶体在不同方向上具有不同性能的现象叫________。
答案：各向异性3、常见的金属晶格类型有________、________、________三种。
答案：体心立方、面心立方、密排六方4、常见的金属晶格类型有三种，α-Fe、Cr、W、Mo、V的晶格属于________。
答案：体心立方5、表示晶体中原子排列的空间格子叫做________，组成空间格子的最基本的几何单元叫做________。
答案：晶格、晶胞6、实际金属结构中的点缺陷包括________、________和________；它们可使金属的强度________。
答案：间隙原子、置换原子、空位、提高7、工程材料的结合键有________、________、________和________四种。
答案：离子键、共价键、金属键、分子键8、三种常见金属晶格类型为________、________和________。
答案：体心立方晶格、面心立方晶格、密排六方晶格；9、按溶质原子在溶剂晶格中所处的位置不同，固溶体可分为________和________两种。
答案：置换固溶体、间隙固溶体10、面心立方晶格中，晶胞的原子数为________，致密度为________。
答案：4、0.7411、位错分为两种，它们是________和________；多余半排原子面的是________位错。
答案：刃型位错、螺型位错、刃型位错12、相是指金属或合金中成分________，结构________，并由________与其它部分分开的均匀组成部分。
答案：相同、相同、界面13、合金中成分、结构和性能相同的组成部分称为________。
答案：相14、按其几何形式的特点，晶格缺陷可分为________、________和________。
答案：点缺陷、线缺陷、面缺陷15、体心立方晶格中，晶胞的原子数为________，原子半径与晶格常数的关系为________，致密度为________。
材料的结构
一、晶向指数的确定
确定用三指数表示晶向指数[uvw]的步骤： (1)以某一结点为原点，建立以晶轴a，b，c 为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位 分别是晶胞边长a，b，c，确定待标晶向上任 意两点的坐标。 (2)末点坐标减去始点坐标，得到沿该坐标系 各轴方向移动的点阵参数的数目x,y,z。 (3)将这三个值x，y，z化成一组互质整数， 加上方括号即为所求得的晶向指数[uvw]，如 某一数为负值，则将负号标 所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距 虽然不同，但它们是成比例的，其倒数也仍 然是成比例的，经简化可以得到相应的最小 整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面 指数相同，或者三个符号均相反。可见，晶 面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表 着一组相互平行的晶面。
三、晶面族和晶向族的表示 在晶体中，具有等同条件而只是空间位向 不同的各组晶面（即这些晶面的原子排列情 况和晶面间距等完全相同），可归并为一个 晶面族，用{hkl}表示。例如，立方晶体中某 些晶面族所包括的等价晶面为： {100}=(100)+(010)+(001) 3个等价面 {110}=（110）+（110）+（101）+（101） +（011）+（011） 共6个等价面 {111}=（111）+（111）+（111）+（111） 共4个等价面
bcc
2.面心立方结构（fcc）
面心立方结构的缩写为fcc（face-centered cubic）， 其晶胞结构如图2-13所示。属于此类结构的金属有： Al，-Fe，Ni，Pb，Pd，Pt，贵金属以及奥氏体不锈 钢等。
图2-13 fcc晶胞结构
fcc
3.密排六方结构（hcp）
材料化学第2章高分子材料的结构
X
CH2
C n
H
有不对称碳原子，所以有旋光异构。
注：对高分子来说，关心不是具体构型（左旋或 右旋），而是构型在分子链中的异同，即：
全同（等规）、间同或无规。
34
c
aC b
高分子链上有 取代基的碳原子 可以看成是不对
d
R RR R R
称碳原子
HHHH
将锯齿形碳链 H 排在一个平面上，
RH
RH
取代基在空间有 不同的排列方式。
以大分子链中的重复单元数目表示，记作 DP
注：重复单元与结构单元的异同：
5
(1) 由一种结构单元组成的高分子
一个高分子如果是由一种单体聚合而成，其重复单 元与结构单元相同。
例如：聚苯乙烯
n CH2 CH 聚合
CH2-CH-CH2-CH-CH2-CH
缩写成
CH2 CH n
n 表示重复单元数，也称为链节数, 在此等于聚合度
(6) 单体单元（monomer unit）: 与单体的化学组成完全相同只是化学结构不同的 结构单元。
4
(7) 聚合度(degree of polymerization): 聚合物分子中，结构单元的数目叫聚合度。 聚合度是衡量高分子大小的一个指标。
有两种表示法：
以大分子链中的结构单元数目表示，记作 xn
2.6 高分子材料的结构
前言 一、定义
1. 高分子化合物 是指分子量很高并由共价键连接的一类化合物 . 又称：高分子化合物、大分子化合物、高分子、
大分子、高聚物、聚合物 Macromolecules, High Polymer, Polymer
分子量：一般高达几万、几十万，甚至上百万， 范围在104～106
第二章 材料的组成结构与性能
当
r
续固溶体。
当
r1 r2 0.15 r1
时，溶质与溶剂之间可以形成连
r
形成有限型固溶体， 而不是充分必要条件。
当
r1 r2 15% ~ 30% 时，溶质与溶剂之间只能 r 这是形成连续固溶体的必要条件， 1
固 溶体或不能形成 固溶体，而容易形成中间相或化合 物。因此Δr愈大，则溶解度愈小。
铁、铬、锰三种金属属于黑色金属，其余的所有金
属都属于有色金属。有色金属又分为重金属、轻金
属、贵金属和稀有金属等四类。
（2）金属合金 金属合金是指由两种或两种以上的
金属元素或金属元素与非金属元素构成的具有金属
性质的物质。如青铜是铜和锡的合金，黄铜是铜和
锌的合金，硬铝是铝、铜、镁等组成的合金。二元
合金、三元合金。 2、无机非金属材料的化学组成 从化学的角度来看，无机非金属材料都是由金属元 素和非金属元素的化合物配合料经一定工艺过程制
长石的过渡，其密度及折光率均递增。通过测定未知组
成固溶体的性质进行对照，反推该固溶体的组成。
固溶体化学式的写法
以CaO加入到ZrO2中为例，以1mol为基准，掺入 xmolCaO。
形成置换式固溶体：
CaO Ca Oo V
ZrO 2 '' Zr
O
空位模型
x
x
x
则化学式为：CaxZrl~xO2-x 形成间隙式固溶体：
2、无限固溶体（连续固溶体、完全互溶固溶体），
是由两个 ( 或多个 ) 晶体机构相同的组元形成的，
任一组元的成分范围均为0～100%。
Cu-Ni 系、Cr-Mo 系、Mo-W系、Ti-Zr系等 在室温下都能无限互溶，形成连续固溶体。 MgO-CoO 系统， MgO 、 CoO 同属 NaCl 型结 构，rCo2+= 8nm ，rMg2+= 8nm ，形成无限固溶体，
r
续固溶体。
当
r1 r2 0.15 r1
时，溶质与溶剂之间可以形成连
r
形成有限型固溶体， 而不是充分必要条件。
当
r1 r2 15% ~ 30% 时，溶质与溶剂之间只能 r 这是形成连续固溶体的必要条件， 1
固 溶体或不能形成 固溶体，而容易形成中间相或化合 物。因此Δr愈大，则溶解度愈小。
铁、铬、锰三种金属属于黑色金属，其余的所有金
属都属于有色金属。有色金属又分为重金属、轻金
属、贵金属和稀有金属等四类。
（2）金属合金 金属合金是指由两种或两种以上的
金属元素或金属元素与非金属元素构成的具有金属
性质的物质。如青铜是铜和锡的合金，黄铜是铜和
锌的合金，硬铝是铝、铜、镁等组成的合金。二元
合金、三元合金。 2、无机非金属材料的化学组成 从化学的角度来看，无机非金属材料都是由金属元 素和非金属元素的化合物配合料经一定工艺过程制
长石的过渡，其密度及折光率均递增。通过测定未知组
成固溶体的性质进行对照，反推该固溶体的组成。
固溶体化学式的写法
以CaO加入到ZrO2中为例，以1mol为基准，掺入 xmolCaO。
形成置换式固溶体：
CaO Ca Oo V
ZrO 2 '' Zr
O
空位模型
x
x
x
则化学式为：CaxZrl~xO2-x 形成间隙式固溶体：
2、无限固溶体（连续固溶体、完全互溶固溶体），
是由两个 ( 或多个 ) 晶体机构相同的组元形成的，
任一组元的成分范围均为0～100%。
Cu-Ni 系、Cr-Mo 系、Mo-W系、Ti-Zr系等 在室温下都能无限互溶，形成连续固溶体。 MgO-CoO 系统， MgO 、 CoO 同属 NaCl 型结 构，rCo2+= 8nm ，rMg2+= 8nm ，形成无限固溶体，
材料科学基础第二章
y
[111]
x
[111]
例：画出晶向
[112 ]
2.立方晶系晶面指数
晶面指数的确定方法
（a)建立坐标系，结点为原点， 三棱为方向，点阵常数为单位 （原点在标定面以外，可以采 用平移法）； (b)晶面在三个坐标上的截距a1 a2 a3 ； (c)计算其倒数 b1 b2 b3 ； (d)化成最小、整数比h：k：l ； 放在圆方括号(hkl)，不加逗号， 负号记在上方 。
3.六方晶系晶面和晶向指数
三指数表示六方晶系晶面和晶向的缺点：晶体学上等价的 晶面和晶向不具有类似的指数。 例：
晶面指数
(11 0)
（100）
[010] [100]
从晶面指数上不能明确表示等同晶面，为了克服这一缺点， 采用a1、a2、a3及c四个晶轴， a1、a2、a3之间的夹角均 为120º ，晶面指数以（hkil）表示。 根据立体几何，在三维空间中独立的坐标轴不会超过三 个可证明 ： i= - (h+k) 或 h+k+i=0
六方晶系
d hkl
h k l a b c
2 2 2
d hkl
a h2 k 2 l 2
1 l c
2
4 h 2 hk k 2 3 a2
注：以上公式是针对简单晶胞而言的，如为复杂晶胞， 例如体心、面心，在计算时应考虑晶面层数增加的影 响，如体心立方、面心立方、上下底（001）之间还有 一层同类型晶面，实际
[1 00 ]
[0 1 0]
[010]
[1 00]
y
[100]
x
[00 1]
第2章 材料中的晶体结构
b. 已知两不平行晶向[u1v1w1]和[u2v2w2 ]，由其决定的 晶面指数(hkl)为：
h v1 w 2 v 2 w 1 , k w 1u 2 w 2 u 1, l u 1 v 2 u 2 v1
补充
cos
2
(对于立方晶系)
两个晶面（h1k1l1）与（h2k2l2）之间的夹角φ
h h
1 2
k k
1 2
2
2
ll
1
2 2 2
(h1
k
2 1
l1 )
(h 2
k
l
2 2
)
两个晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]之间的夹角θ
cos
2
u u
1
2
vv
1 2
2
w w
1 2
2
(u 1
v
2 1
w1)
(u 2
v
2 2
w
2 2
)
晶面（hkl）与晶向[uvw]之间的夹角ψ
晶向指数用[uvtw] 来表示。其中 t =－（u＋v）
120° 120°
晶面指数的标定
1.求晶面与四个轴的截距
2.取倒数
3.再化成简单整数
4.用圆括号括起来（h k i l）
六方系六个侧面的指数分别为：
(1 1 00),(01 1 0),(10 1 0),(1 100),(0 1 10),(1 010)
(210)
(012)
(362)
注意
选坐标原点时，应使其位于待定晶面以外，防止 出现零截距。 已知截距求晶面指数，则指数是唯一的；而已知 晶面指数，画晶面时，这个晶面就不是唯一的。
第二章材料中的晶体结构
TiO2
体心四方
1个正离子 2个负离子
6
3
八面体 VO2, NbO2, MnO2, SnO2, PbO2, …
7. MgAl2O4(尖晶石)晶型
8.Al2O3(刚玉)晶型
第四节 共价晶体的结构
一、共价晶体的主要特点 1. 共价键结合，键合力通常强于离子键 2. 键的饱和性和方向性，配位数低于金属和离 子晶体 3. 高熔点、高硬度、高脆性、绝缘性
(2) 求投影．以晶格常数为单位，求待定 晶向上任一阵点的投影值。
(3) 化整数．将投影值化为一组最小整数。
(4) 加括号．［uvw］。
2.晶面指数及其确定方法
1) 晶面指数 — 晶体点阵中阵点面的 方向指数。 2) 确定已知晶面ห้องสมุดไป่ตู้指数。
(1) 建坐标．右手坐标，坐标轴为晶胞 的棱边，坐标原点不能位于待定晶面内。
cph
a=b≠c
a 2r
5. 致密度 — 晶胞中原子体积占总体积的分数
bcc
fcc
cph
3 0.68
8
2 0.74
6
2 0.74
6
6. 间隙 — 若将晶体中的原子视为球形，则相 互接触的最近邻原子间的空隙称为间隙。
间隙内能容纳的最大刚性球的半径称为
间隙半径 rB。 间隙大小常用间隙半径与原子半径 rA之
比 rB / rA 表示。
1) 面心立方结构晶体中的间隙 正八面体间隙：位于晶胞各棱边中点及体心位置.
一个晶胞中共有4个.
rB / rA 0.414
正四面体间隙：位于晶胞体对角线的四分之一处. 一个晶胞中共有8个.
rB / rA 0.225
2) 体心立方结构晶体中的间隙 扁八面体间隙：位于晶胞各棱边中点及面心处. 一个晶胞中共有6个. rB / rA 0.155
大学材料科学基础第二章材料中的晶体结构
反过来： U = u - t; V = v - t; W = w
4．晶面间距（Interplanar crystal spacing）
两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间 距，用dhkl表示,面间距计算公式见(1-6)。 通常，低指数的面间 距较大，而高指数的 晶面间距则较小 晶面间距愈大，该晶 面上的原子排列愈密 集；晶面间距愈小， 该晶面上的原子排列 愈稀疏。
晶体结构 = 空间点阵 + 结构单元
如：Cu, NaCl, CaF2有不同的晶体结构， 但都属于面心立方点阵。 思考题：空间点阵与布拉菲点阵。
三、 晶向指数与晶面指数
（Miller Indices of Crystallographic Directions and Planes） 在晶体中，由一系列原子所组成的平面称 为晶面，原子在空间排列的方向称为晶向。 晶体的许多性能都与晶体中的特定晶面和晶 向有密切关系。为区分不同的晶面和晶向， 采用晶面和晶向指数来标定。
5．晶带 (Crystal zone) 所有平行或相交于同一直线的晶面构 成一个晶带，此直线称为晶带轴。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l） 之间存在以下关系： hu + kv + lw = 0 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为 晶带轴的晶带，律应用举例
1 晶胞中原子数 (Number of Atoms in Unit Cell)
一个晶胞内所包含的原子数目。 体心立方晶胞：2个。 面心立方晶胞：4个。 密排六方晶胞：6个。
2 原子半径 r 与点阵常数 a 的关系
严格的说，原子半径并不是一个常数，它 随外界条件（温度）、原子结合键、配位数而 变，在理论上还不能精确地计算原子半径。 定义为晶胞中原子密排方向上相邻两原子 之间平衡距离的一半，用点阵常数表示。
4．晶面间距（Interplanar crystal spacing）
两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间 距，用dhkl表示,面间距计算公式见(1-6)。 通常，低指数的面间 距较大，而高指数的 晶面间距则较小 晶面间距愈大，该晶 面上的原子排列愈密 集；晶面间距愈小， 该晶面上的原子排列 愈稀疏。
晶体结构 = 空间点阵 + 结构单元
如：Cu, NaCl, CaF2有不同的晶体结构， 但都属于面心立方点阵。 思考题：空间点阵与布拉菲点阵。
三、 晶向指数与晶面指数
（Miller Indices of Crystallographic Directions and Planes） 在晶体中，由一系列原子所组成的平面称 为晶面，原子在空间排列的方向称为晶向。 晶体的许多性能都与晶体中的特定晶面和晶 向有密切关系。为区分不同的晶面和晶向， 采用晶面和晶向指数来标定。
5．晶带 (Crystal zone) 所有平行或相交于同一直线的晶面构 成一个晶带，此直线称为晶带轴。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l） 之间存在以下关系： hu + kv + lw = 0 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为 晶带轴的晶带，律应用举例
1 晶胞中原子数 (Number of Atoms in Unit Cell)
一个晶胞内所包含的原子数目。 体心立方晶胞：2个。 面心立方晶胞：4个。 密排六方晶胞：6个。
2 原子半径 r 与点阵常数 a 的关系
严格的说，原子半径并不是一个常数，它 随外界条件（温度）、原子结合键、配位数而 变，在理论上还不能精确地计算原子半径。 定义为晶胞中原子密排方向上相邻两原子 之间平衡距离的一半，用点阵常数表示。
材料结构第二章
第二章晶体中的点缺陷由于原子（或离子、分子）的热运动以及晶体的形成条件、冷热加工过程中各种因素的影响，实际晶体中的原子排列不可能规则、完整，常存在各种与理想的点阵结构发生偏差的区域，即晶体缺陷。
晶体缺陷对晶体的性能如屈服强度、断裂强度、塑性、电阻率、磁导率等有很大的影响，另外晶体缺陷还与扩散、相变、塑性变形、再结晶、氧化、烧结等过程有着密切关系。
因此，研究晶体缺陷具有重要的理论与实际意义。
根据晶体缺陷的空间几何特征，可以将它们分为三类：(1) 点缺陷：其特征是在三维空间的各个方面上尺寸都很小，尺寸范围约为一个或几个原子尺度，故又称零维缺陷，如空位、间隙原子、置换原子；(2) 线缺陷：其特征是在两个方向上尺寸很小，另外一个方向上尺寸较大，也称一维缺目，如各类位错；(3) 面缺陷：其特征是在一个方向上尺寸很小，另外两个方向上尺寸较大，也称二维缺陷，如晶界、相界、表面等。
在实际晶体中，这三类缺陷经常共存，它们互相联系、互相制约，在一定条件下还能互相转化，从而对晶体的性能产生复杂的影响。
下面将针对这三类晶体缺陷分别进行讨论。
§2.1 点缺陷的类型及组态点缺陷是最简单的晶体缺陷，它是在晶格结点及其邻近的微观区域内原子的排列偏离理想的点阵结构的一种缺陷。
晶体中的基本点缺陷主要包括空位、间隙原子（间隙型溶质原子和杂质原子）、置换原子（置换型溶质原子和杂质原子）。
一、点缺陷的类型、形成及组态在实际晶体中，位于晶格结点上的原子并非静止不动的，而是以其平衡位置为中心作热振动。
原子的热振动能量是有起伏涨落的。
当某一原子具有足够大的热振动能量而使振幅增大至一定限度时，就能够克服周围原子对它的束缚，离开其原来的平衡位置，在点阵中形成空的结点，即形成了空位。
离开平衡位置的原子有三个去处：一是迁移到晶体表面的正常结点位置上而使晶体内部留下空位，称为肖脱基（Schottky ）空位，如图2-1a 所示；二是挤入点阵的间隙位置，而在晶体中同时形成数目相等的空位和间隙原子，则称为弗兰克尔（Frenkel ）缺陷，如图2-1b 所示；三是跑到其它晶体缺陷处而使空位消失或使空位移位。
材料科学基础第2章
菱方 Rhombohedral a=b=c, α=β=γ≠90º
四方（正方）Tetragonal a=b≠c, α=β=γ＝90º
立方 Cubic a=b=c， α=β=γ＝90º
简单菱方
简单四方 体心四方
简单立方 体心立方 面心立方
简单三斜
简单单斜
底心单斜
简单正交
体心正交
底心正交
面心正交
简单六方
回转对称轴（n）1，2，3，4，6
宏观对称性 元素 对称面（m）
对称中心（i） 回转 — 反演轴 1，2，3，4，6
微观对称性
元素
滑动面 螺旋轴
a，b，c，n，d 21；31，32；41，43，42；61，65，62，64，63
点群（point group）—晶体中所有点对称元素的集合 根据晶体外形对称性，共有32种点群 空间群（space group）—晶体中原子组合所有可能方式 根据宏观、微观对称元素在三维空间的组合，可能存在 230种空间群（分属于32种点群）
原子半径（atomic radius） R
配位数（coordination number）
致密度（Efficiency of space filling）
N
K
nv
n 4 R3
3
VV
轴比（axial ratio） c/a
堆垛（Stacking） 密排结构（close-packed crystal structure） 最密排面(close-packed plane of atoms) fcc {1 1 1} ABCABCABC······ hcp{0 0 0 1} ABABABAB······
晶系
三斜Triclinic a≠b≠c ，α≠β≠γ
材料科学基础-2
[111 ]
[ 1 11]
[1 1 1]
[1 1 1]
[11 1 ]
[1 1 1]
[1 1 1]
[1 1 1]
例：在一个面心立方晶胞中画出[012]、[123] 晶向。
晶面：通过空间点阵中任一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面，称为晶面 晶面指数：表示晶体中点阵平面的指数，由晶面 与三个坐标轴的截距值所决定。 晶面指数的标定步骤： 建坐标：所定晶面不应通过原点； 求截距：求出待定晶面在三个坐标轴上的截距， 如果该晶面与某坐标轴平行，则其截距为∞； 取倒数：取三个截距值的倒数； 化整并加圆括号：将三个截距的倒数化为最小 整数h、k、l，并加圆括号，即（hkl），如果截距 为负值，则在负号标注在相应指数的上方。
正交
三、晶向指数与晶面指数(Miller指数)
晶向：空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中原子排列的 方向，称为晶向，即空间点阵中任意两阵点的连接矢量。 晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数。 晶向指数的确定步骤：
z
[ 1 11]
[112] • 建立坐标系； • 确定坐标值：在待定晶向上确定 [1 1 1] [1 1 0] 距原点最近的一个阵点的三个坐标值； • 化整并加方括号：将三个坐标值化为最小 [001] [111] 整数u、v、w,并加方括号。如有负值，在 [010] o 该数值上方标负号。 [100] [110]
• 在立方晶系中，具有相同指数的晶面和晶向 必定相互垂直。不适合其它晶系。 如： [121] (121) 即：晶向 [121] 为晶面 (121)的法向量。 ★ 因此，晶面指数可作为向量进行运算。
例：在一个面心立方晶胞中画出(102)、 (223) 晶面。
六方晶系的晶向指数和晶面指数
[ 1 11]
[1 1 1]
[1 1 1]
[11 1 ]
[1 1 1]
[1 1 1]
[1 1 1]
例：在一个面心立方晶胞中画出[012]、[123] 晶向。
晶面：通过空间点阵中任一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面，称为晶面 晶面指数：表示晶体中点阵平面的指数，由晶面 与三个坐标轴的截距值所决定。 晶面指数的标定步骤： 建坐标：所定晶面不应通过原点； 求截距：求出待定晶面在三个坐标轴上的截距， 如果该晶面与某坐标轴平行，则其截距为∞； 取倒数：取三个截距值的倒数； 化整并加圆括号：将三个截距的倒数化为最小 整数h、k、l，并加圆括号，即（hkl），如果截距 为负值，则在负号标注在相应指数的上方。
正交
三、晶向指数与晶面指数(Miller指数)
晶向：空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中原子排列的 方向，称为晶向，即空间点阵中任意两阵点的连接矢量。 晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数。 晶向指数的确定步骤：
z
[ 1 11]
[112] • 建立坐标系； • 确定坐标值：在待定晶向上确定 [1 1 1] [1 1 0] 距原点最近的一个阵点的三个坐标值； • 化整并加方括号：将三个坐标值化为最小 [001] [111] 整数u、v、w,并加方括号。如有负值，在 [010] o 该数值上方标负号。 [100] [110]
• 在立方晶系中，具有相同指数的晶面和晶向 必定相互垂直。不适合其它晶系。 如： [121] (121) 即：晶向 [121] 为晶面 (121)的法向量。 ★ 因此，晶面指数可作为向量进行运算。
例：在一个面心立方晶胞中画出(102)、 (223) 晶面。
六方晶系的晶向指数和晶面指数
第2章金属材料的组织结构
在正温度梯度下，晶体生长以平面状态向前推进。
均匀长大
实际金属结晶主要以树枝状长
大。因为存在负温度梯度，且晶核
棱角处散热好，生长快，先形成一
次轴，一次轴产生二次轴…，树枝
间最后被填充。
负温度梯度
树枝状长大
树枝状长大的实际观察(定向凝固)
二、晶粒大小及其控制
1、晶粒度 表示晶粒大小的尺度
总长度。
= S/V(cm/cm3或1/cm2)
金属的位错密度为104~1012/cm2；
位错对性能的影响：
金属的塑性变形主要由位错 运动引起，因此阻碍位错运动是 强化金属的主要途径。
减少或增加位错密度都可以
提高金属的强度。
金属晶须
退火态
(105-108/cm2)
加工硬化态
(1011-1012/cm2)
光学金相显示的纯铁晶界
多晶体示意图
⑵ 晶体缺陷
晶格的不完整部位称晶体缺陷。
实际金属中存在着大量的晶体缺陷，按形状可分三类,
即点、线、面缺陷。
① 点缺陷 ：空间三维方向上尺寸都很小的缺陷。
空位：晶格中某些缺排原子的空结点。 间隙原子：挤进晶格间隙中的原子。可以是基体金属原子，
也可以是外来原子。 置换原子：取代原来原子位置的外来原子称置换原子。
中。因而高温下晶粒过大、过小都
不好。
的晶 关粒 系大
小 与 金 属 强 度
s= i+Kd-1/2
单晶叶片
2.1.3 金属的同素异构转变
物质在固态下晶体结构随温度变化的现象称同素异
构转变。 同素异构转变属于相变之一—
固态相变。
纯铁的同素异构转变
均匀长大
实际金属结晶主要以树枝状长
大。因为存在负温度梯度，且晶核
棱角处散热好，生长快，先形成一
次轴，一次轴产生二次轴…，树枝
间最后被填充。
负温度梯度
树枝状长大
树枝状长大的实际观察(定向凝固)
二、晶粒大小及其控制
1、晶粒度 表示晶粒大小的尺度
总长度。
= S/V(cm/cm3或1/cm2)
金属的位错密度为104~1012/cm2；
位错对性能的影响：
金属的塑性变形主要由位错 运动引起，因此阻碍位错运动是 强化金属的主要途径。
减少或增加位错密度都可以
提高金属的强度。
金属晶须
退火态
(105-108/cm2)
加工硬化态
(1011-1012/cm2)
光学金相显示的纯铁晶界
多晶体示意图
⑵ 晶体缺陷
晶格的不完整部位称晶体缺陷。
实际金属中存在着大量的晶体缺陷，按形状可分三类,
即点、线、面缺陷。
① 点缺陷 ：空间三维方向上尺寸都很小的缺陷。
空位：晶格中某些缺排原子的空结点。 间隙原子：挤进晶格间隙中的原子。可以是基体金属原子，
也可以是外来原子。 置换原子：取代原来原子位置的外来原子称置换原子。
中。因而高温下晶粒过大、过小都
不好。
的晶 关粒 系大
小 与 金 属 强 度
s= i+Kd-1/2
单晶叶片
2.1.3 金属的同素异构转变
物质在固态下晶体结构随温度变化的现象称同素异
构转变。 同素异构转变属于相变之一—
固态相变。
纯铁的同素异构转变
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晶面或晶向称密
排面或密排方向。
三种常见晶格的密
密
排排面和密排方向Fra bibliotek底面对角线
六
方
六方底面
晶
格
面 心 立 方 晶 格
体 心 立 方 晶 格
体心立方(110)面 面心立方(111)面 密排六方底面
面心立方晶格与密排六方晶格密排面的堆垛顺序 密排六方晶格的堆垛顺序为ABABAB… 面心立方晶格的堆垛顺序为ABCABCABC…
Fe-C间隙固溶体
① 置换固溶体 溶质原子占据溶剂晶格某些结点位置所形成的固溶体. 溶质原子呈无序分布的称无序固溶体，呈有序分布的
称有序固溶体。
黄铜置换固溶体组织
② 间隙固溶体 溶质原子嵌入溶剂晶格间隙所形成的固溶体。 形成间隙固溶体的溶质元素是原子半径较小的非
金属元素，如C、N、B等，而溶剂元素一般是过 渡族元素。 形成间隙固溶体的一 般规律为r质/r剂<0.59。 间隙固溶体都是无序 固溶体。
合金是指由两种或两种 以上元素组成的具有金 属特性的物质。
组成合金的元素可以是 全部是金属，也可是金 属与非金属。
组成合金的元素相互作 用可形成不同的相。
黄铜 Al-Cu两相合金
所谓相是指金属或合金中凡
单相 合金
成分相同、结构相同，并与
其它部分有界面分开的均匀
组成部分。
显微组织实质上是指在显微 镜下观察到的金属中各相或 各晶粒的形态、数量、大小 和分布的组合。
金属的位错密度为104~1012/cm2
位错对性能的影响：金属的 塑性变形主要由位错运动引 起，因此阻碍位错运动是强 化金属的主要途径。
减少或增加位错密度都可以 提高金属的强度。
金属晶须
退火态
(105-108/cm2)
加工硬化态
(1011-1012/cm2)
电子显微镜下的位错
透射电镜下钛合金中的位错线(黑线)
① 点缺陷 空间三维尺寸都
很小的缺陷。
空位 间隙原子 置换原子
a. 空位：晶格中某些 缺排原子的空结点。
b. 间隙原子：挤进晶 格间隙中的原子。可 以是基体金属原子， 也可以是外来原子。
体心立方的四面体和八面体间隙
c. 置换原子： 取代原来原子位置的外来原 子称置换原子。
点缺陷破坏了原子的平衡状 态，使晶格发生扭曲，称晶
Nb-Hf-W plate with an electron beam weld
晶界：晶粒之间的交界面。 晶粒越细小，晶界面积越大。 多晶体：由多晶粒组成的晶体结构。
光学金相显示的纯铁晶界
多晶体示意图
⑵ 晶体缺陷 晶格的不完整部
位称晶体缺陷。 实际金属中存在
着大量的晶体缺 陷，按形状可分 三类, 即点、线、 面缺陷。
④ 固溶体的性能 随溶质含量增加，固溶体的强度、
硬度增加，塑性、韧性下降—称作 固溶强化。
产生固溶强化的原因：溶质原子使 固溶体合金成分与性能关系 晶格发生畸变及对位错的钉扎作用.
与纯金属相比，固溶体的强度、硬 度高，塑性、韧性低。但与金属化 合物相比，其硬度要低得多，而塑 性和韧性则要高得多。
⑴晶面指数 表示晶面的符号称
晶面指数。 其确定步骤为：
① 确定原点，建立坐标系，求出所求晶面在三个 坐标轴上的截距。
② 取三个截距值的倒数并按比例化为互质的整数, 加圆括弧，形式为（hkl）。
例一.求截距为、1、晶面的指数 截距值取倒数为0、1、0，加圆括 弧得（010）
例二.求截距为2、3、晶面的指数 取倒数为1/2、1/3、0, 化为互质整 数加圆括弧得（320）
三斜
⑸ 原子半径：晶胞中原子 密度最大方向上相邻原子 间距的一半。
⑹ 晶胞原子数：一个晶胞 内所包含的原子数目。
⑺ 配位数: 晶格中与任一原子 距离最近且相等的原子数目.
⑻ 致密度：晶胞中原子本身 所占的体积百分数。
3、立方晶系晶面、晶向表示方法
晶体中各方位上的 原子面称晶面。
各方向上的原子列 称晶向。
立 方 晶 系 常 见 的 晶 向
<111>
[111] Z
[111]
[111]
[111]
Y X
说明： ① 在立方晶系中，指数
相同的晶面与晶向相 互垂直。 ② 遇到负指数，“-”号 放在该指数的上方。
③ 晶向具有方向性， 如[110]与[-11-0]方
[110] Z
(221)
X
向相反。
[110]
⑴ 体心立方晶格
体心立方晶格
体心立方晶格
体心立方晶格的参数
体心立方晶格
晶格常数：a(a=b=c)
原子半径：r 3 a 4
原子个数：2 配位数： 8 致密度：0.68 常见金属：-Fe、Cr、W、Mo、V、Nb等
⑵ 面 心 立 方 晶 格
面心立方晶格
面心立方晶格
面心立方晶格的参数
第二章 材料的结构
一、晶体结构的基本概念 二、金属的晶体结构
1、纯金属的晶体结构 2、实际金属的晶体结构 3、合金的晶体结构
物质由原子组成。
原子的结合方式和排列
金 属
方式决定了物质的性能。
键
原子、离子、分 子之间的结合力 称为结合键。
它们的具体组合 状态称为结构。
C60
一、晶体结构的基本概念
面心立方晶格的原子堆垛
2、实际金属的晶体结构 ⑴ 单晶体与多晶体
单晶体：其内部晶格方位完 全一致的晶体。
多晶体：
纯铁组织
晶粒：实际使用的金属材料
是由许多彼此方位不同、外
晶
形不规则的小晶体组成，这
粒 示
意
些小晶体称为晶粒。
图
变形金属晶粒尺寸约1~100m, 铸造金属可达几mm。
铅 锭沿 宏晶 观断 组口 织
{110}
Z
（011）
（110） （011） （101）
（101）
Y （110）
X
立 方 晶 系 常 见 的 晶 面
立方晶系常见的晶向为：
100 : [100]、[010]、[001]
110 : [110]、[101]、[011]、[110]、[101]、[011]
111 : [111]、[111]、[111]、[111]
高分辨率电镜下的刃位错 （白点为原子）
电子显微镜下的位错观察
③ 面缺陷—晶界与亚晶界 晶界是不同位向晶粒的过度部位，宽度为5~10个
原子间距，位向差一般为20~40°。
亚晶粒是组成晶粒的尺寸 很小，位向差也很小(10’ ~2 )的小晶块。
亚晶粒之间的交界面称亚 晶界，可看作位错壁。
位
错
面心立方晶格 晶格常数：a
原子半径：r 2 a
4 原子个数：4 配位数： 12 致密度：0.74 常见金属： -Fe、Ni、Al、Cu、Pb、Au等
⑶ 密排六方晶格
密排六方晶格
密排六方晶格的参数
密排六方晶格
晶格常数：底面边长 a 和高 c，
c/a=1.633
原子半径：r 1 a
2 原子个数：6 配位数： 12 致密度：0.74 常见金属： Mg、Zn、 Be、Cd等
③ 固溶体的溶解度 溶质原子在固溶体中极限浓度.
溶解度有一定限度的固溶体称 有限固溶体。组成元素无限互 溶的固溶体称无限固溶体。
Cu-Ni无限固溶体
组成元素原子半径、电化学性
固 溶
体
相近，晶格类型相同的置换固
溶体，才可能形成无限固溶体.
化 合
物
间隙固溶体都是有限固溶体。
Cu-Zn有限固溶体
⑷ 三种常见晶格的密排面和密排方向
单位面积晶面上 的原子数称晶面 原子密度。
单位长度晶向上 的原子数称晶向 原子密度。
密排 数 密排方 数 面量 向 量
体心立方 {110} 6 <111> 4 晶格
面心立方 {111} 4 <110> 6 晶格
密排六方 六方 1 底面对 3
晶格 底面
角线
原子密度最大的
称作晶向族或晶面族。分别用{hkl}和<uvw>表示。
例如{112}、{123}
立方晶系常见的晶面为：
{100} : (100)、(010)、(001)
{110} : (110)、(101)、(011)、(110)、(101)、(011)
{111} : (111)、(111)、(111)、(111)
[221]
Y
二、金属的晶体结构
正离子
1、纯金属的晶体结构
金属原子是通过正离子与自 由电子的相互作用而结合的， 称为金属键。
金属原子趋向于紧密排列。
价电子云
金属键示意图
具有良好的导热性、导电性、延展性及金属光泽。
常见纯金属的晶格类型有体心立方(bcc)、面心立方 (fcc)和密排六方(hcp)晶格。
例一、已知某过原点晶向上一点的坐标为1、1.5、 2，求该直线的晶向指数。
将三坐标值化为最小整
[234]
数加方括弧得[234]。
例二、已知晶向指数为 [110], 画出该晶向。
找出1、1、0坐标点，连 接原点与该点的直线即
[110]
所求晶向。
⑶ 晶面族与晶向族 (hkl)与[uvw]分别表示的是一组平行的晶向和晶面。 指数虽然不同，但原子排列完全相同的晶向和晶面
例三.画出（112）晶面
取三指数的倒数1、1、1/2, 化成互 质整数为2、2、1，即为X、Y、Z三 坐标轴上的截距
⑵ 晶向指数 表示晶向的符号称晶向指数。其确定步骤为：
① 确定原点，建 立坐标系，过原 点作所求晶向的 平行线。
② 求直线上任一 点的坐标值并按 比例化为互质整 数，加方括弧。 形式为[uvw]。