天体运动中的向心加速度与重力加速度知识讲解

天体运动中的向心加速度与重力加速度
天体运动中的向心加速度与重力加速度
钦州市第二中学吴展红
在学习了天体运动之后，很多同学认为重力加速度就与向心加速度是一回事，即向心加速度就等于重力加速度，重力就等于向心力，从而出错。

其实不然，下我们从力与运动的关系来分析这个问题。

万有引力定律：是物体间相互作用的一条定律，1687年为牛顿所发现。

任何物体之间都有相互吸引力，这个力的大小与各个物体的质量成正比例，而与它们之间的距离的平方成反比。

如果用M、m表示两个物体的质量，r表示它们间的距离，则物体间相互吸引力为F= GMm/r2，G称为万有引力常数，其值约为6.67×10-11
单位N·㎡ /kg2。

为英国物理学家、化学家亨利·卡文迪许通过扭秤实验测得。

万有引力定律的发现和提出，使我们认识到自然界中存在的一种基本作用，更重要的是把其应用于天体的运动以及航天技术的研究当中，从而开创了人类探索宇宙奥妙的新纪元。

万有引力与航天这章内容比较晦涩难懂，公式比较多学生容易混淆，万有引力公式与圆周运动公式相结合，得出一系列的公式。

如何能在繁杂的公式中找出其中的奥秘，关键还是要搞清楚万有引力与航天的规律。

欲解决此类问题，现归纳以下几条依据：
在地球上的物体：
（1）考虑地球的自转：重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。

重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。

如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F也不断变化，因而地球表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化。

其中G为万有引力常量，M为地球的质量，m为地面物体的质量，R为地球半径，r为随着纬度的变化物体距离轴线的长度。

（万有引力向量=重力向量+向心力向
量）
GMm/R2 =mg+ mw2r
因为同一个物体的W相等，随着纬度的增加r越来越小，但是万有引力GMm/R2不变，mg越来越大即：随着纬度的增加，重力加速度g越来越大。

因此在南北极重力加速度最大，在赤道附近最小。

向心加速度：
GMm/R2 =mg+ ma g>> a=w2r
=mg+ mw2r =(2π/T)2r
=mg+ m(2π/T)2r = V2/r
=mg+ mV2/r
重力加速度>>向心加速度
相关公式的推导：GMm/R2 =mg+ mV2/r 或 GMm/R2 =mg+ m(2π/T)2r
（2）忽略地球的自转：在赤道处R=r，物体的万有引力分解的两个分力f向和mg刚好在一条直线上, 则有F=mg+f向，所以，mg=F-f向=GMm/R2-mw2R
因地球自转角速度很小，GMm/R2＞＞mw2R所以GMm/R2≈mg，(一般情况下不考虑自转带来的影响，认为重力等于万有引力，只有在南北极时物体不随地球自转GMm/R2
=mg)
“GM=gR2”通常称为黄金代换式，在解题时经常用到。

假设地球自转加快，即mg=GMm/R2-mw2R知物体的重力将变小.当GMm/R2 =mw2R 时，mg=0此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度w=GM/R3，比现在地球自转角速度要大得多。

地球附近的近地卫星：
通常把高度在500千米以下的航天器轨道称为低轨道，500千米~2000千米高的轨道称为中轨道。

中、低轨道合称为近地轨道（又称顺行轨道）。

近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径（这一点很重要）即：近地卫星：转动半径(R+h)≈地球半径R
GMm/（R+h ）2 = ma → GMm/R 2 = ma = mw 2(R+h) → = mw 2R
= mV 2
/(R+h) → = mV 2
/R = m(2π/T)2
(R+h) → = m(2π/T)2
R （1）轨道半径(R+h)≈R；运行速度h)
(R +=GM
v =
h)(R +g =7.9km∕s，是所有卫星的
最大绕行速度；
（2）运行的周期为T=85min ，是所有卫星最小周期；
（3）向心加速度a =g ≈9.8m∕s 2，是所有卫星的最大加速度。

（4）向心加速度a =g=w 2
R=V 2
/R=(2π/T)2
R=GM/R 2
角速度3
R GM =
ω
周期GM
R T 3
2π=
重力加速度=向心加速度
人造卫星在离地面h 的高空中运行，它处于一种完全失重状态，其重力0=G ，则重力加
速度0=g 。

但卫星受到了它与地球之间的万有引力万F ，此万F
完全来提供卫星绕地球做
圆周运动所需的向心力。

由公式
ma h R Mm
G r Mm G
F =+==22)
(万得到卫星做圆周运动的向心
加速度
2)(h R GM
a +=
，方向指向地球的球心。

现在我们设想一下，如果某一时刻，卫星的
速度为零，那么想一下，此时的卫星具有的加速度是多少？
假如卫星的环绕速度变为零，但它受到的万有引力不变，仍然与它绕地球做圆周运动时受到的万有引力一样，只不过。

此时的万有引力扮演的角色发生了改变，卫星做圆周运动时，
万
F 完全用来向心力，而当
=环绕v 时，
万
F 全部用来提供卫星的重力，所以卫星的
重力加速度2)(h R GM
g +=
，方向与万F 同向，即指向球心。

也可以从另外途径来证明此结
果。

当卫星的环绕速度为零时，它受到的重力：
2')(h R Mm
G
mg += （1）
又因为在地球表面，我们可以得到：
2R Mm
G
mg = （2）
从以上（1）（2）两式，得到
g h R R g 2
2
'
)(+= （3） 在上文中，我们已得到2
gR GM =，代入（3）式，得：
2')(h R GM
g +=
，方向指向球心。

由此得到同样的结果。

根据以上的分析，对于同一颗卫星，在同一位置的两种不同状态下，其向心加速度和重力加速度是一样的，不但大小一样，而且方向也一样。

地球远地卫星：
距离地球比较远，距离地球的高度不可以忽略，卫星距离地心r=R+H
GMm/（R+ H ）2 = ma → GMm/r 2 = ma = mw 2(R+ H ) → = mw 2r
= mV 2
/(R+ H ) → = mV 2
/r = m(2π/T)2
(R+ H ) → = m(2π/T)2
r
向心加速度a= w 2
r 周期GM
r T 3
2π=
=V 2/r 角速度3r
GM
=ω =(2π/T)2r = GM/r 2
地球同步卫星：
即地球同步轨道卫星，又称对地静止卫星，是运行在地球同步轨道上的人造卫星。

所谓同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为h=36000 km ，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相
等，即23时56分4秒，卫星在轨道上的绕行速度约为3.1公里/秒，等于地球自转的角速度。

在地球同步轨道上布设3颗通讯卫星，即可实现除两极外的全球通讯。

（1） 线速度
s m h R GM v /1007.3)(3
⨯=+=； （2） 角速度
s rad h R v /1024.7)(5-⨯=+=ω； （3） 周期s h T 4
1064.824⨯==；
（4） 向心加速度2
2
/22.0)(s m h R GM a =+=；
（5） 轨道半径
m GM T h R r 7
2
23
102.44⨯==
+=π；
（6） 对地高度m h 7
106.3⨯=；
以后我们在分析这类问题时，首先要明确研究的是地球表面随地球自转的物体还是上升到空中成为地球的卫星的物体，重力加速度是否等于向心加速度，要分类讨论。

严谨的学习态度，才是学习物理的金钥匙。