高等代数论文

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大学高等代数的论文

等价无穷小性质的理解、延拓及应用
【摘要】等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1
解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
3 等价无穷小无可比拟的作用
以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：
原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx
=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越变越复杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例：
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44 (∵ tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)

高等代数教学中的一些想法的论文

高等代数教学中的一些想法的论文高等代数教学中的一些想法的论文一、引言高等代数[1]是理工科大学生的基础课, 对数学系的学生尤其重要.它的教学质量的高低直接关系到理工科大学生的专业基础和后继课程的学习, 提高其教学质量对培养高层次人才具有重要意义[2].高等代数包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧式空间、双线性函数与辛空间等内容, 对理工科的大学生来说课程内容量多, 教学课时紧, 理解难度较大, 学生普遍感觉学习比较吃力.笔者近年来主要在数学系从事高等代数的教学工作, 针对学生在学习这门课程中存在的上述问题, 总结归纳了几个方面, 期望对学生的学习和同行教师的教学有所帮助, 共同改进和提高高等代数的教学质量.二、具体问题 (注:本文中的教材均指参考文献[1], 以后不再详细赘述)1. 关于"阶梯形矩阵"的理解和运用.教材P72给出了"阶梯形矩阵"的文字定义, 但学生普遍反映该定义较抽象, 理解难度较大, 笔者建议学生可同时参看另一本书[3]给出的相关内容.在[3]中不仅给出了"阶梯形矩阵"具体数学表达式的定义, 还给出了什么是"阶梯头", 以及一类特殊的阶梯形矩阵---约化阶梯形矩阵(也称为行最简形) .实践证明, 学生若理解阶梯头的概念和约化阶梯形矩阵, 对其解题帮助甚多.对此类问题, 可用两种方法求解.分析:方法1是教材上给出的传统解法, 也是大多数教师在讲解第三章内容时所用的方法;方法2是笔者将方法1解答过程中得到的阶梯形矩阵利用初等行变换进一步化为约化阶梯形矩阵, 进而求解方程组.表面上看, 两种方法复杂程度相当, 实际上方法2比方法1快捷, 因为化为约化阶梯形矩阵以后, 每个阶梯头都是1, 该列其余所有的元素均为0, 因此与原方程组等价同解的方程组(如上述方程组(*) ) 就非常容易求解, 其解一目了然.[4]2. 教材P188给出引理:对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵, 对A作一初等列变换就相当于在A的'右边乘上相应的n×n的初等矩阵, 我们不妨简记为"左乘行变, 右乘列变", P191给出定理6:n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积:A=Q1Q2…Qm,利用该引理和定理6, 笔者给出教材P180定理4的另一种简单证明方法.定理4 A是一个s×n矩阵, 如果P是s×s可逆矩阵, Q是n×n可逆矩阵, 那么证明:因为P是可逆矩阵, 根据定理6, 它能表成一些初等矩阵的乘积:根据引理, 矩阵X1X2…XmA (即PA) 相当于对矩阵A作m次的初等行变换, 由于初等变换不改变矩阵的秩, 故秩 (A) =秩 (P A) .另一个等式可同样证明.3. 分块矩阵的分块原则.教材第三章第五节讲到了"矩阵的分块", 但是并没有很直接地说明相关问题, 比如是否对每一个矩阵的计算都适合用分块的方法, 以及分块时如何去进行.首先需要明确:并不是所有的矩阵都适合用分块的方法去计算.总结讲解高等代数的相关书籍, 我们会发现下面的规律:对于一般矩阵而言, 只有将其分块以后能分出诸如零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵等特殊的子矩阵, 我们一般才考虑用分块的方法去计算.这样的例子有很多, 如教材P181所给的例子:按照教材上的分块方法, 矩阵A分成的四个子矩阵中, 包括两个2级单位矩阵和一个2级零矩阵.当然上述规律也不尽然, 对一些特别的矩阵, 可能分块以后并没有上面提到的一些特殊子矩阵, 但是实践证明也较适用分块的方法.读者可参看教材P203第28题, 对于矩阵A,本题要求用两种方法求逆矩阵, 一是初等变换, 二是矩阵分块.读者通过用两种方法分别计算可知, 本题用第二种方法较为简便.4. 向量组的极大线性无关组P125:定义13一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组, 如果这个部分组本身是线性无关的, 并且从这向量组中任意添加一个向量(如果还有的话) , 所得的部分向量组都线性相关.齐次线性方程组的基础解系P142:定义17齐次线性方程组(1) (见教材P141) 的一组解η1, η2, …, ηt称为它的基础解系, 如果 (1) (1) 的任一个解都能表成η1, η2, …, ηt 的线性组合; (2) η1, η2, …, ηt线性无关.线性空间的一组基P249:定义6在n维线性空间V中, n个线性无关的向量ε1, ε2, …, εn称为V的一组基.设α是V中任一向量, 于是ε1, ε2, …, εn, α线性相关, 因此α可以被基ε1, ε2, …, εn线性表出:α=a1ε1+a2ε2+…anεn.三者的区别与联系:区别是很明显的, 无须多言.联系在于:齐次线性方程组的任一个解本质上都是一个解向量, 因此从定义上可看出, 齐次线性方程组的一个基础解系即是它所有解构成的解向量组的一个极大线性无关组.同样的道理可知, 线性空间的一组基也为该空间中所有向量组成向量组的一个极大线性无关组.又向量本质上为矩阵, 故对三者的各类求解问题, 虽然表面差别很大, 但实质都是考察矩阵的行 (列) 初等变换、化为阶梯形矩阵、秩、找出极大线性无关组等问题, 殊途同归.具体例子请参看教材P271第17题.5. 对矩阵秩r的全面理解.教材P134定理6:一矩阵的秩为r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零, 同时所有r+1级子式全为零.这里补充注意两个问题:(1) 对该矩阵A而言, 其所有的k (≤r-1) 级子式均不全为零.因为由行列式按一行展开的公式可知, 如果矩阵A的k (≤r-1) 级子式全为零, 则矩阵A的k+1级子式全为零, 从而A的所有级数大于k的子式全为零.显然r≥k+1, 故A的所有级数为r的子式全为零, 与定理条件"有一个r级子式不为零"相矛盾.(2) 同 (1) 分析可知, 若矩阵A的k+1级子式全为零, 则A的所有级数大于k+1的子式也必然全为零, 从而可以说:此时, A的所有级数大于k的子式全为零.综合以上两点, 可将定理6换一种定义说法, 即:一矩阵的秩为r的充分必要条件为矩阵的非零子式的最高级数为r级.三、总结高等代数是理工科大学生一门非常重要的专业基础课.本文总结了高等代数教学过程中几个容易被忽视而对整个知识体系的理解又非常关键的问题, 旨在帮助学生们更好地把握整个代数知识框架的脉络, 同时也期望为从事这门课程教学的教师同行们提供积极的教学参考.参考文献[1]北京大学数学系前代数小组.高等代数[M].第4版.北京:高等教育出版社, 2013.[2]张华民, 殷红彩.高等代数教学中的几点思考[J].安庆师范学院学报:自然科学版, 2014, 20 (1) :90-93.[3]陈维新.线性代数[M].第2版.北京:科学出版社, 2005.[4]张盛祝, 蔡礼明, 胡余旺.高等代数内容、方法及典型问题[M].北京:中国石化出版社, 2014.。

高等代数论文

高等代数论文矩阵在生产生活方面的应用指导老师李思泽运输1512 崔粲 15251169知行1501 徐鹏宇 15291200目录【摘要】 (2)【关键词】 (2)【Abstract】 (2)【Key words】..................................... 错误!未定义书签。

【实际应用举例】 (3)1. 计算网络中的流 (3)1.1 交通流分析 (3)1.2 程序运行代码 (5)1.3 程序运行截图 (8)1.4 程序运行代码（2） (9)1.5程序运行截图（2） (13)2.电路分析 (13)2.2程序运行代码 (15)2.3 程序运行截图 (18)【论文总结】...................................... 错误!未定义书签。

【参考文献】...................................... 错误!未定义书签。

摘要近二十年来，随着计算机技术的蓬勃发展，利用计算机的符号计算系统对代数中可计算问题形成了计算代数这个新的方向，本文主要通过对于矩阵的应用实例来说明代数在实际生活中的应用。

随着科学技术的发展，数学也越来越贴近我们的生活，可以说是息息相关。

我们在学习数学知识的同时，也不能忘记将数学知识应用于生活。

在学习高等代数的过程中，我们发现代数在生活和实践中都有不可缺少的的位置。

本篇论文中，我们就对代数中的矩阵在交通流量分析，电路分析的应用进行了探究并编写了相关程序。

【关键词】高等代数，矩阵，实际，应用，电路分析，交通流AbstractIn recent twenty years, with the rapid development of computer technology, using computer symbol computing system of algebra computational problems form the computational algebra in this new direction. This paper mainly through the matrix of the application examples to illustrate the application of algebra in real life. With the development of science and technology, mathematics is more and more close to our life, it can be said that it is closely related to the development of science and technology. At the same time, we can not forget to apply mathematical knowledge to life. In the course of learning advanced algebra, we found that the algebra has an indispensable position in life and practice. In this thesis, we study the application of the matrix in theanalysis of the traffic flow and the application of the circuit analysis.【Key words】Higher algebra，Practical，Matrix，Application，Circuit analysis,Traffic flow【实际应用举例】1.计算网络中的流在这一部分中，我们将介绍网络以及确定网络中流量的方法，网络的一个应用就是如图所示的单行道系统网络包括分支和节点，对于图1所示的单行道网络，分支是道路，节点是交叉路口，我们假定对于一个网络，进入一个节点的总流等于离开该节点的总流。

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向量组线性相关的证明方法内容提要向量组的现行相关性是高等代数理论中的一块基石，在它的基础上我们可以衍生出许多其他理论，所以熟练地掌握判定向量组线性相关的方法可以更好地帮助我们理解其他理论的知识。

本文从理解向量组线性相关性的定义入手，论述了若干证明向量组线性相关的方法，例如利用线性相关的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解等知识判定向量组线性相关性的判定，并且比较了不同种证明方法的适用范围和条件。

向量组线性相关性的证明理论在现实生活当中有着广泛的应用。

因此学好这一块的理论知识，掌握证明方法是很重要的。

第一章绪论线性相关性的理论在数学专业许多课程中都有体现，如解析几何，高等代数和常微分方程中等等，它是线性代数理论当中的基本概念，它与向量空间和子空间的概念有着密切的联系，同时在解析几何以及常微分方程中有广泛的应用，因此掌握向量组线性相关性这个概念有着十分重要的意义，也是解决问题重要的理论依据。

向量组的线性相关和线性无关可以推广到函数组的线性相关和线性无关。

在线性代数中，向量组的线性相关性占到了举足轻重的作用。

它可以将线性代数中的矩阵，行列式，二次型的知识联系起来，如果能熟练掌握线性相关性则能更好地理解线性代数当中的其他知识，，理清线性代数的框架，做到融会贯通。

本文主要研究的是向量组的线性相关性的判定方法，从定义和性质下手，熟悉了一些重要的理论，熟悉了定义我们就能更好地把握线性相关性的本质。

而本文的第三章就并提出了几种线性相关性的证明方法，比较了不同种证明方法的适用范围和优势劣势，并给出了详细地证明过程和例题，从而更加深入地理解线性相关性的理论知识。

最后是关于这部分理论的展望和本文参考的具体文献。

第二章向量组线性相关性的定义和性质2.1.1线性相关的概念定义1设m 21,,,ααα 是F 上向量空间V 的m 个向量.如果存在F 中一组不全为零的数,,,,21m k k k 使得0m 2211=+++αααm k k k （1）那么就称向量m 21,,,ααα 线性相关.如果不存在不全为零的数,,,,m 21k k k 使(1)式成立,或者说,只有当0m 21====k k k 时,(1)式才成立,那么就称m 21,,,ααα 线性无关.定义 2 若向量组A 中每一个向量i α(t i ,,2,1 =)都可由向量组B ={s ββ,,1 }线性表示,则称A 可由B 线性表示.若两个向量组可互相线性表示,则称这两个向量组等价.性质1 向量组的等价具有1)反射性；2)对称性；3)传递性.定义 3 设向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{s ααα,,,21 }的部分组.称{r i i i ααα,,,21 }是{s ααα,,,21 }的极大无关组,如果1)向量组{r i i i ααα,,,21 }线性无关；2){s ααα,,,21 }中的任意1+r 个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的.定义 4 向量组{s ααα,,,21 }的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 记为秩(s ααα,,,21 ).性质2 向量组{r αα,,1 }线性无关⇔秩{r αα,,1 } =r .向量组{r αα,,1 }线性相关⇔{r αα,,1 }秩<r .2．1.2线性相关的性质性质(1) 含零向量的向量组必线性相关,即{s αα,,,01 }线性相关.性质(2) 一个向量组若有部分向量线性相关,则此向量组线性相关.性质(3) 若一个向量组线性无关,则它的每个非空部分向量组也线性无关. 性质(4) {α}线性相关0=⇔α.性质(5) {βα,}线性相关λβα=⇔)(P ∈λ.性质(6) n P 中单位向量组线性无关.性质(7) 向量组i α=),,,(21in i i a a a ),,2,1(s i =线性相(无)关⇔齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111s sn n n s s s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a（2）有(无)非零解.性质(8) 设向量组{r ααα,,,21 }线性无关,而向量组{r ααα,,,21 ,β}线性相关,则β一定可由r ααα,,,21 唯一的线性表示.性质(9) 向量组{r ααα,,,21 }(r 2≥)线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性组合.性质(10) 设s ααα,,,21 是向量空间V 中的向量,A 是t s ⨯矩阵,B 是r t ⨯矩阵.则有((s ααα,,,21 )A )B =(s ααα,,,21 )AB （3）性质(11) 设向量组{p γγγ ,,21}可以由向量组{t βββ,,,21 }线性表示,向量组{t βββ,,,21 }可以由向量组{s ααα,,,21 }线性表示,则向量组{p γγγ ,,21}可以由向量组{s ααα,,,21 }线性表示.性质(12) 设向量组{r ααα,,,21 }线性无关,且可由向量组{s βββ,,,21 }线性表示.则s r ≤.必要时对向量组{s βββ,,,21 }中的元素重新排序,使得用r ααα,,,21 替换s βββ,,,21 后,所得向量组},,,,,{121s r r ββααα +与{s βββ,,,21 }等价. 性质(13) (1)若向量组{t βββ,,,21 }可由向量组{s ααα,,,21 } 线性表示,并且s t >,则向量组{t βββ,,,21 }线性相关;(2) 设向量组{t βββ,,,21 }线性无关,t s <,则向量组{t βββ,,,21 }不能由含s 个向量的向量组线性表示.性质(14) 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.性质(15) 任意1+n 个n 维向量必线性相关.性质(16) 若{s ααα,,,21 }和{t βββ,,,21 }是两个等价的线性无关的向量组,则t s =,且存在s 阶可逆矩阵A 使得(s ααα,,,21 )=(t βββ,,,21 )A （4）性质(17) 设向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{s ααα,,,21 }的一个部分组,则{r i i i ααα,,,21 }是极大线性无关组的充要条件为1)向量组{r i i i ααα,,,21 }线性无关;2)每一个j α(s j ,,2,1 =)都可由r i i i ααα,,,21 线性表示.性质(18) 向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价.性质(19) 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.性质(20) 两个等价的向量组有相同的秩.性质(21)设向量组(s ααα,,,21 )线性无关,A 是一个t s ⨯矩阵,令(t βββ,,,21 )=(s ααα,,,21 )A ,则 A R t =),,,(21βββ .性质(22)如果向量函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间b t a ≤≤上线性相关,则它们的朗斯基行列式0)(=t W .性质(23) 如果向量函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间d t ≤≤c 上线性无关,则它们的朗斯基行列式0)(≠t W .第三章向量组线性相关性的证明方法3.1定义法这是判定向量组线性相关的基本方法.定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组,也适用于分量已经给出的具体向量组.其定义是,设m 21,,,ααα 是F 上向量空间V 的m 个向量.如果存在F 中一组不全为零的数,,,,m 21k k k 使得0m 2211=+++αααm k k k ,那么就称向量m 21,,,ααα 线性相关,否则称它是线性无关的. 例1设有两个n 维向量组,,,s 12 ααα、,,,s 12 βββ，若存在两组不全为零的数12,,,s k k k ；12,,,s λλλ ，使111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-= 0ααββ；则．证明111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-= ααββ0，111111()()()()s s s s s s k k λλ-++-+++++= αβαβαβαβ0，所以1111,,,,,s s s s --++ αβαβαβαβ线性相关．例2 设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组x A k 0=有解向量α,且01≠-αk A .证明向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.证明设有实数,,,21k λλλ 使得0121=+++-αλαλαλk k A A (9) 则有)(1211=+++--αλαλαλk k k A A A . （10）从而011=-αλk A 由于01≠-αk A ,所以,01=λ.把01=λ代入(*)式再左乘2-k A 可得012=-αλk A ,由01≠-αk A ,得02=λ.类似可证得043====k λλλ故向量组ααα1,,,-k A A 线性无关.我们还可以利用向量组内向量之间的线性关系判定.即向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关的充要条件是向量组A 中至少有一个向量可由其余线性表示.比如例1,取1k =3k =1,2k =4k =-1,则1β=2β-3β+4β,即1β可由2β,3β,4β三个向量线性表示,所以向量组1β,2β,3β,4β线性相关.3.2根据齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组,需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时也就应用了齐次线性方程组的解进行了线性相关性的判定.于是我们可以利用结论[1]进行判定.结论[1] 向量组i α=),,,(21in i i a a a ),,2,1(m i =线性相(无)关⇔齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111m mn n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a （11）有(无)非零解.例3[7] 证明向量组1α=(2,1,0,5),2α=(7,-5,4,-1),3α=(3,-7,4,-11)线性相关.证明以1α,2α,3α为系数向量的齐次线性方程组是1x 1α+2x 2α+3x 3α=0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+=--=++0115044075037232132321321x x x x x x x x x x x （12）利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵转化为阶梯型矩阵,即→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110110110751242404401717075111154403727511115440751372 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000110751 由行阶梯型矩阵可知,()R A =32<.即齐次线性方程组有非零解,所以向量组1α,2α,3α线性相关.3.3利用矩阵的秩进行判定结论[5] 设向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是由m 个n 维列向量所组成的向量组,则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵A =(12,,m ααα⋅⋅⋅)的秩的大小来进行判定.即(i) 当R(A )= m 时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性无关的.(ii) 当R(A )<m 时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性相关的.例4 设1α=T )1,1,1(,2(1,2,3)T α=,3(1,3,5)T α=问向量组1α,2α,3α是否线性相关.解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000210111420210111531321111A3)(<A R ,所以向量组1α,2α,3α线性相关.例5[4] 试讨论n 维单位向量组的相关性.解因为),,,(21n e e e E =的行列式01≠=E , 即n E R =)(,所以,n 维单位向量组线性相关.利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同,但实质上是一样的,都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵,从而求出向量组的秩,即系数矩阵的秩,然后再作出判定.3.4利用行列式值进行判定行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进行判定的向量组,也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定.结论 [3] 若向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅ 是由m 个m 维列向量所组成的向量组,且向量组A 所构成的矩阵A =(12,,m ααα⋅⋅⋅),即A 为m 阶方阵,则(i) 当A =0时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性相关的.(ii) 当A ≠0时,则向量组A :12,,m ααα⋅⋅⋅是线性无关的.例6设向量组4321,,,αααα线性无关,判断向量组12,αα+23,αα+34,αα+ 41αα-是线性相关还是线性无关.解设存在4个数4321,,,k k k k ,使得)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ,（13）拆项重组为 0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ,（14）由4321,,,αααα线性无关知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=-000043322141k k k k k k k k (15)由于系数行列式021100011000111001≠=- （16）所以,齐次线性方程组(1)只有零解,即04321====k k k k .因此向量组14433221,,,αααααααα-+++线性无关.3.5反证法在有些题目中,直接证明结论常常比较难,但从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件相悖的结果,近而得出结论.例7[5] 设向量组12,,,m ααα 中任一向量i α不是它前面1i -个向量的线性组合,且i α≠0,证明向量组12,,,m ααα 线性无关.证明 (反证法)假设向量组12,,,m ααα 线性相关,则存在不全为零的数21,k k m k ,使得11k α+22m m k k αα++ =0 (17)由此可知,0=m k ,否则由上式可得112211------=m m m m m m k k k k k k αααα ,（18）即m α可由它前面1m -个向量线性表示,这与提设矛盾,因此0=m k , 于是(17)式转化为1k 1α+22k α+ +11m m k α--=0.类似于上面的证明,同样可得01221=====--k k k k m m ,这与m k k k ,,,21 不全为零的假设矛盾,因此,向量组12,,,m ααα 线性无关.3.6 数学归纳法有些题中,我们还可以利用数学归纳法,如下例. 例8[9] 设线性无关的向量组r γγγ ,,21①可由向量组t βββ,,,21 ②线性表示,且t r ≤,则可从{t βββ,,,21 }中选出)(m t -个向量组)(21,,,m t j j j -βββ , 使得向量组m γγγ ,,21,)(21,,,m t j j j -βββ ③与向量组②等价.证明:用数学归纳法(1)当1=r 时,有t r ≤,由于∑==tj j j k 11βγ,且01≠γ,则t k k k ,,,21 不全为0,在②中,设01≠k t t k k k k k ββγβ12121111---= ,故t r ββ,,,11 与t βββ,,,21 等价 (2)设1-=s r 时结论成立,推证s r =时结论成立. 由于121,,-s γγγ ,t βββ,,,21 与向量组②等价,而s γ又可由向量组t βββ,,,21 线性表示故有tt s s s s s h h h h h βγγγγγ++++++=-- 112211 , （19）而题设s γγγ,,,21 线性无关,必有t s s h h h ,,,1 +不全为0,设0≠s h ,则 t s t s s s s s s s s s s h h h h h h h h h ββγγγβ-+-+--=++-- 1111111 （20）因此,s γγγ,,,21 ,t β与121,,,-s γγγ ,t s ββ,, 等价,由上分析可知,当t s ≤,s r =时结论成立.由数学归纳法知命题成立.3.7利用线性微分方程组的相关理论判定结论[8] 一组1-n 次可微的纯量函数)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关的充要条件是向量函数⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---)()()(,,)()()(,)()()()1()1(222)1(111t x t x t x t x t x t x t x t x t x n mmm n n (21) 线性相关.证明：事实上,如果)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关,则存在不全为零的常数m c c c ,,,21 使得0)()()(2211=+++t x c t x c t x c m m .将上式对t 微分一次,二次,…,1-n 次,得到,0)()()(,0)()()(,0)()()()1()1(22)1(1122112211=+++=''+''+''='+'+'---t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c n m m n n m m m m（22）即有,0)()()()()()()()()()1()1(2222)1(1111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---t x t x t x c t x t x t x c t x t x t x c n mm m m n n (23)这就是说,向量函数组(22)式是线性相关的.反之,如果向量函数(22)线性相关,则存在不全为零的常数使m c c c ,,,21 得(23)成立,当然有0)()()(2211=+++t x c t x c t x c m m ,这就表明)(,),(),(21t x t x t x m 线性相关.例9若函数)(,),(),(21t x t x t x m 在区间b t a ≤≤上线性相关,则它们的朗斯基行列式0)(=t W .证明据结论[8] 和纯量函数朗斯基行列式的概念知，存在一组不全为零的常数m c c c ,,,21 ，使得,0)()()()()()()()()()1()1(2222)1(1111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'---t x t x t x c t x t x t x c t x t x t x c n mm m m n n （24）上式可以看成是关于m c c c ,,,21 的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是)](,),(),([21t x t x t x W m ，于是由线性代数理论知，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必为零，即0)(=t W .结束语以上归纳了判断向量组线性相关性的几种方法,只要我们熟练掌握并能灵活的运用,将会在研究线性方程组解之间的关系,或者说研究线性方程组解的结构问题时带来很大的方便.参考文献[1]刘仲奎等.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005.[2]北京大学数学力学系几何和代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:人民教育出版社,2003.[3]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出社,2005.[4]王品超.高等代数新方法[M].北京:中国矿业大学出版社,2002.[5]王萼方.高等代数题解[M].北京:北京大学出版社,2002.[6]邱森.高等代数[M].武汉:武汉大学出版社,2008.[7]西北工业大学高等代数编写组.高等代数[M].北京:科学出版社,2008.[8]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.[9]栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报，2002,(2):61-62.致谢在本次论文设计过程中,白永强老师对该论文从选题、构思到最后定稿的各个环节都给予细心指引与教导,使我得以最终完成毕业论文设计.在学习中,老师渊博的专业知识、深厚的学术素养、严谨的治学态度、精益求精的工作作风、诲人不倦的高尚师德对我影响深远,也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作,使我终身受益.在此,谨向陈老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！这四年中还得到众多老师的关心、支持和帮助.在此,向他们表示我深深的谢意！最后,向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位老师表示衷心地感谢！。

高等代数课程论文（示例）

⾼等代数课程论⽂（⽰例）⾼等代数有关理论的⼏何描述探讨信息与计算科学04-01班⽑维东内容摘要：⾸先通过对线性空间理论的基本阐述,重点讨论了线性空间元素向量的运算、相关性和向量内积的⼏何意义。

其次分析了线性⽅程组的解在⼏何上如何⽤线或者⾯的关系来表⽰,并⽤实例说明解的情况与⼏何图形的关系,并对解得关系进⾏了图形描述;再通过矩阵对实际计算机图形中的变化进⾏研究,得出图形变化后的坐标矩阵；最后，通过对⼆次型的基本概念与基本理论的阐述,重点讨论了正定⼆次型、负定⼆次型，并通过具体的实例给出了分类问题的⼏何描述,与此同时,分析并列举了⼆次型标准型在⼆次曲⾯分类上的应⽤，由此得到了常见的⼏种⼆次曲⾯标准⽅程,并对典型⽅程给出了图形描述。

在问题的研究中，采⽤理论分析与实例应⽤相结合,充分发挥数学应⽤软件的优势,将代数理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。

关键字：线性空间;向量;矩阵；⼆次型;⼏何描述1 导⾔对于在数学内容上是否应将代数与⼏何统⼀处理, ⼈们对此有不同的意见和做法。

从国内来看, 在许多院校试⾏了将线性代数与解析⼏何统⼀的课程改⾰，有的将线性代数与解析⼏何统⼀课程作为⾼等院校理⼯、经管、数学专业学科的教材，也有⼀些⾼校将线性代数与解析⼏何作为不同的学科分开教学。

从国际来看, 早已出现了⼤量将线性代数与解析⼏何统⼀在⼀个学科内的教材。

对于是否统⼀的问题各⼈持有不同的观点:反对代数与⼏何统⼀的⼀些⼈认为, 这是在消灭⼏何,⽽历史上忽视⼏何的做法起码在教学上效果不好;赞同代数与⼏何统⼀的⼈认为, 代数与⼏何本来就是统⼀的，⼈为的割裂使学⽣不能从整体上理解数学,迄今为⽌分裂代数与⼏何的做法起码在实践上的效果并不好，⼜由于理论数学分⽀, 如代数⼏何、解析数论、拓扑结构等都是代数与⼏何的统⼀体,因此在学习的初级阶段, 让学⽣更⾃觉地体会⼏何与代数的统⼀性是必要的。

代数与⼏何是两门相互依赖、紧密相联的学科。

由于代数学科概念的⾼度抽象性、定理的⾼度概括性和⼏何学科的具体直观性，使“数”“形”结合问题受到越来越多的关注。

高等代数论文

线性变换的分析及应用摘要由于线性变换是线性代数中最基本概念之一，其理论具有深刻的意义，而在各个领域的应用也发挥着重要的作用，线性变换也是一种较好的变量代换，合理应用线性变换，既优化了解题过程，提高了解题速度，也增强了解题的灵活性。

所以对线性变换进行分析与应用是非常有必要的。

本文主要在系统的总结并分析线性变换的理论知识的同时，例举线性变换在欧式变换中的应用，并进行研究与分析，用MATLAB对其中的应用实例予以分析，并构造出了相应的模型。

关键词：线性变换，线性代数，欧氏变换，MATLABIn this paperDue to the linear transformation is one of the most basic concept in linear algebra and its theory has profound significance, and in all areas of application also play an important role, linear transformation is also a good variable substitution, reasonable application of linear transformation, optimization, solving both increase about the rate, and enhance the flexibility of understanding. So it is necessary to analyze the linear transformation and application of. In this paper, we summarize and analyze the linear transformation of the system theory knowledge, at the same time presented linear transformation in the application of Europe type transformation, and carry on research and analysis of MATLAB application example to analysis of them, and the corresponding results are obtained.Keywords: linear transformation, linear algebra, Euclidean transform, MATLAB一、绪论1.1 选题背景线性代数（Linear Algebra ）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，线性间，线性变换和有限维的线性方程组。

数学学年论文毕业论文高等代数思想方法在数学分析中的应用

高等代数思想方法在数学分析中的应用摘要：本文主要目的是通过用典型的高等代数方法来解决数学分析问题，就数学分析与高等代数的联系进行初步的探讨.关键词：极值；二次型；特征值；不等式；重积分.0.引言高等代数与数学分析是大学数学系的两门重要的专业基础课，它们讨论的问题以及解决问题的方法不尽相同，但是它们之间又有很密切的联系.本文的目的是通过用高等代数的思想方法来解决数学分析中的一些典型问题，就它们的联系进行初步的探讨，从而建立知识框架，提高解决高等数学问题的综合能力.1.高代思想方法在极限﹑导数﹑连续方面的应用极限是数学分析研究问题的基础和工具，可导性与连续性是数学分析研究对象函数的基础性质.而高等代数与它们有着密切的联系，因此在解法上有了相互的交叉与渗透.通过下面三个典型例题来说明这一点.例1.［1］已知A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11n x n x ,I 是二阶单位阵，求：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞→→I A x n n x 1lim lim 0 分析：)(1I A x n -是一个二阶方阵，且含有两个变量x 和n .为了求得此极限，首先要把A 化成简单形式，再对ij a （j i ,=1,2），分别进行讨论.解令⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos k A ，其中()nxarctg n x k =+=θ,12，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθn n n n k A ncos sin sin cos . 当1,→∞→n k n 有时，又因为x x n x n n x narctg n n n n sin lim sin lim sin sin lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→θ同理有，x n n cos cos lim =∞→θ 所以，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-∞→1cos sin sin 1cos lim x x x x I A n n 故 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞→→I A x n n x 1lim lim 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110 例2.设A 是n 方阵，其中ij a =ij ,(j i ,=1,2,… n),f(x)=I -Ax (I 表示n 阶单位阵)，试计算)0(f '.分析：本题是典型的数学分析与高等代数相结合的问题，以行列式给出多项式)(x f ，求其在x=0时的导数，该值就是行列式展开式中一次项的系数.解 )(x f =I Ax -是关于x 的次数不大于n 的多项式，设)(x f =∑=nj j j x b 1则11,)0(b b f 其中='是行列式展开式中x 的一次项的系数和.对于I Ax -这个n 阶行列式，展开式中含x 的一次幂的项只可能是主对角线上的各元素乘积这一项，即含于()∏=-ni ii x a 11中，所以()()()()()61211111121111++-=-=-=-=-=-∑∑n n n i a b n ni n ni ii n例3. 设A 是n 阶正定矩阵，a 为实数，b 是非零实数列向量，设线性方程组b X aI A =+)(的解=X X (a),证明)()(a X a =Φ是[)+∞,0上的严格递减函数. （其中)(a X 表示向量)(a X 的长度）分析：首先要明确)(a Φ是用含参数a 的向量的长)(a X 来定义的，而)(a X 是线性方程b X aI A =+)(的解.由A 的正定性，知存在正交阵U 使得UAU 为对角形，且对角线上的元素都是正实数，应该由此入手来讨论.证明因为是正A 定矩阵，存在正交阵，使得U⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='nAU U λλλ21 用U A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U '代入线性方程组：B X aI A =+)(. 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a a a U n λλλ21B X U =' 则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a a a n λλλ21B U X U '='. 作变量代换)(,,2,1'==='=n c c c C X Y UB C X U Y 。

高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文

高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用，其理由是从初等数学到高等数学，在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别．其实这是一种误解，正因为有这样的区别，才使我们从中学数学的解题思维定式中走出来，用一种更深远的眼光来看中学数学问题．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．下面就来探讨一些高等代数知识在中学数学解题中的应用．初等数学中的某些问题看起来比较复杂，甚至难以下手，但用线性相关的方法却显得比较简单，通过从多方面多角度的思考能提高分析问题解决问题的能力．2.1求代数式的取值范围初等数学中某些线性相关问题，若采用一般的初等解题方法不相关地去看待，则会使计算繁难，且容易出错;利用高等数学中线性相关的思想方法来处理，则会使问题简单明了，易于解决．运用线性相关知识研究函数性质的问题，研究对象常以复合函数的形式出现，解决这一类型的问题往往采用新旧结合，或以新方法解决旧问题．2.2解决某些二元不定方程例3利有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，丙1件，共需315元，若购甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？答:甲乙丙各购1件，共需105元．中学数学中有很多题涉及到了对一些因式的分解，虽然中学数学中有很多方法可以解决．但对于某些问题如果构造与之对应的行列式，然后用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果．3.1应用于因式分解从上面两个例子可以看出，解此类数学问题的关键是构造行列式，以行列式为桥梁，把原型变形为不同的行列式，再利用行列式的性质加以解题．利用矩阵的性质和定理，可以很好的解决某些数列问题．在此例题中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，轻而易举地求出了通项公式．从上例可知，使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间，特别是构造内积运算，并找到两个合适的向量．高等代数在中学数学解题中的应用远不止上述几个方面，但通过上述问题的解决不难看出高等代数完全可以作为一种工具来解决中学数学中的问题，从而为解决中学数学问题提供了别开生面的思路．但我们也要了解高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通．只有我们掌握好高等代数的课程，才能将它更好的用于将来所从事的中学数学教学工作中．内容仅供参考。

高等代数的应用论文

代数在经济管理中的应用目录摘要 (3)问题提出 (4)实际应用举例 (4)论文总结 (10)参考文献 (11)【摘要】科学技术的发展使我们的生活水平有了很大的提高，也促进了整体的经济水平和管理层次的提升。

我们所学的知识源于生活，同时这些知识也最终会服务于生活，在高等代数的学习过程中，我们发现代数在经济管理中有着很多用途，为经济管理等方面的计算提供了便利。

本篇论文中，我们就对代数在经济学和管理学方面的应用进行了探究。

【关键词】高等代数，经济管理，实际，应用【Abstract】The development of science and technology not only make our living standard greatly improved, but also promote the whole economic level and management level. We learned lots of knowledge from life, at the same time this knowledge will eventually serve in life. In the learning process of the advanced algebra, we found that the algebra in economic and management has many uses. It provide Economic and management convenience. In this thesis, we do research on the algebra about the economics and management.【Key words】Advanced Algebra, Economic and management, Practical, Application【问题提出】学习高等代数已经两个学期，马上就要结束这门课程了。

高等代数论文

数量对合矩阵的性质胡清孝（数学与应用数学系指导老师：杨忠鹏）摘要：讨论了复数域上n 阶数量对合矩阵性质，特别是两个数量对合矩阵A 和B 的关于秩的性质问题，给出了这些矩阵的和、差的秩的等式；利用已有的一些幂等矩阵的性质和幂等矩阵的秩的等式，得出了两斜对合矩阵的换位子AB BA -可逆性的几个充要条件。

关键词：数量对合矩阵斜对合矩阵秩等式幂等矩阵可逆Abstract: We discuss the properties of scalar-involutiry matrices over the comlex filed, and we estabnlish several rankequalities for two scalar-involutiry matrices.In particular,we obtain new formulas for the rank of the difference,the sum of scalar-involutiry matrices.We also obtain some equivalent conditions of nonsingular srew-involutiry matrices.Keywords: scalar-involutiry matrices srew-involutiry matrices rank equalities idempotent matricesnonsingularity1 引言及预备定理幂等矩阵和对合矩阵是矩阵论中，两类最基本的矩阵, Yongge Tian 等在参考文献[1]-[8]中对幂等矩阵的性质和秩的等式都作了深刻的研究。

本文在它们的基础上，讨论数量对合矩阵的性质。

以下介绍必要符号和预备定理：用m nC⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合；E 表示单位矩阵；用A *表示A 的伴随矩阵,用1A -表示A 的逆，()r A 表示矩阵A 的秩。

高等代数论文

正交变换与群问题探（莆田学院数学系02级1班林月娥、连涵生）[摘要]主要探讨：（i ）正n 边形保形运动的存在情况及分类；（ii ）保形运动构成一个群；（iii ）运用到南开大学2004年研究生入学考试试题第5题。

[关键词] 正n 边形；正交变换；保形运动；群说明：以下我们用①2R 表示平面运动的标准度量；②k ρ表示图形绕中心旋转，01k n ≤≤-；③k π表示沿对称轴翻转，01k n ≤≤-；④ n D 表示由k ρ和kπ的所有正交变换的集合；⑤实线表示图形原来位置，虚线表示图形运动后位置。

⑥ 以下均以正方形代表正n 边形来作图。

1、引言南开大学2004年研究生入学考试试题第5题如下：给定2R标准度量。

求出2R 中所有保持下列正方形（其中A ＝（1,1），B ＝（-1，1），C ＝（-1，-1），D ＝（1，-1））整体不变（即正方形四条边上的点经过变换后仍落在这四条边上）的正交变换[1]。

（如图（1））上述试题所涉及的正交变换的更一般情况：定义1: 平面上对称图形经过某些运动后仍能回到自身图形的运动，称为保形运动。

（即保持原来图形的形状不变又保持原来图形所在的位置不变。

）我们首先讨论一般的正n 边形的保形运动的存在情况及分类。

因为这些保形运动对于正交变换的乘法运算构成一个群，所以由这些结果可以解答并证明[1]。

由此我们还可得到[1]的进一步结论。

2．保形运动的存在情况及分类定义2：正交变换就是保持点之间的距离不变的变换[2]。

几何的形式，M.chasles 定理[3]平面的运动有且只有下列三种：(a)沿任一给定向量的平移; (b)以任意点为中心的旋转;(c)绕某一直线作翻摺后再沿该直线上的一个向量作一平移（包括作纯翻摺的情况）。

由M.chasles 定理，对于一个给定的正n 边形，适当选取坐标系，不妨选其中心为坐标原点O ，则它在平面上的保形运动的存在情况可通过以下分析得到：（1）由M.chasles 定理的(a)，我们可以通过简单的正n 边形沿某一个定向量平移知平移后图形不可能回到自身上去。

高等代数论文

莆田学院毕业论文题目n阶行列式的计算方法学生姓名张文才学号510401424专业数学与应用数学班级数学054指导教师陈梅香二00九年五月十日目录0引言 (1)1常见一般阶行列式计算方法 (1)1.1定义法 (1)1.2利用行列式的性质 (2)1.3化三角行列式 (3)1.4按行列式某行或某列展开 (4)1.5升阶法 (5)1.6递推方法 (6)1.7数学归纳法 (7)1.8范德蒙行列式 (8)1.9拉普拉斯定理 (8)1.10辅助行列式法 (9)1.11析因法 (10)2一些计算阶抽象行列式的方法 (11)2.1利用行列式性质 (11)2.2利用正交矩阵的性质 (12)2.3利用方阵的特征值的性质及矩阵相似 (12)结束语 (13)致谢 (13)参考文献 (13)n 阶行列式的计算方法张文才（莆田学院数学系指导教师：陈梅香）摘要：行列式的计算是大学高等代数的重要内容之一，也是学习的一个难点。

本文第一部分主要探讨常见一般n 阶行列式计算方法，第二部分讨论一类n 阶抽象行列式的计算方法。

关键词:行列式矩阵计算方法Abstract ：Computing the determinant is an important part of advanced algebra in university, and is also thedifficulty in learning. In the first part, calculation methods of the n-order determinant were discussed; second is the methods of computing a class of n-order abstract determinant.Keywords ：determinant matrix calculation method0 引言一般n 阶行列式的计算问题是数学系高等代数教学的一个重要内容，同时也是一个难点。

高等代数现行教材概况论文

高等代数现行教材概况摘要：高等代数的重要性从其作为理工科及数学专业学生所必学的科目就可以看出。

并且，在教学过程中教材是教学的外在依托，所以对其教材的研究是很重要的。

在此，通过本文的工作，对现行的高等代数教材进行收集，分析其教材的发展现状，比较部分教材，得出教材发展的主线。

关键词：高等代数教材收集教材比较一、高等代数的发展及现状历史上对初等代数的研究在以最简单的一元一次方程的基础上又分为两个方向，其一是讨论二元及三元的一次方程组，其二是研究二次以上及可以转化为二次的方程组，顺着这两个方向继续往前走，代数学在研究任意多个未知数的一次方程组（或者说是线型方程组）的同时，也在研究次数更高的一元方程组。

至此，初等代数演变为高等代数。

所以，高等代数作为代数学发展到高级阶段的产物，虽包括了许多分支，但其内容主要还是多项式理论和线性代数两个部分。

其中，线性代数是重要部分。

线性代数到了20世纪才成为数学的一个独立分支，刚开始的线性问题不过是对线性方程组的求解，随着对线性方程组和变量的线性变换问题研究的深入，德国数学家雅克比在1841年建立了行列式的系统理论。

“从此，行列式和矩阵论，二次型和线性变换理论，不变量理论迅速发展起来。

这些现代工具现在统一叫做线性代数学。

”[1]而且在当代的学术界中，数学学科的发展速度越来越快，其高等代数的内容也在不断扩大，在许多数学的分支学科中都可以看到高等代数的身影。

“同时它也是理论物理和理论化学不可缺少的代数基础知识，而且随着计算机的快速发展，代数的方法已可以运用到多个领域，例如现代科学、技术、经济、管理等，其重要性和实用性尤其是在计算机、通讯、电子等科学领域日渐显现。

”[2] “同时，我们也知道教材是体现教学内容和教学方法的知识载体，是进行教学的基本工具，也是深化教育教学改革，全面推进素质教育，培养创新人才的重要保证，更是反映教学、科研水平的重要成果，教材建设是高校建设的重要组成部分。

高等代数课程论文

摘要：线性方程组的求解在高等代数学的是一个很重要组成分，因此对于对线性方程组解的广泛应用于数学与其他科学领域，因此对于线性方程组有解的判别定理和线性方程组解的结构我们必须进行认真的研究，搞清楚他们之间的关系。

本文对线性方程组的解和判定进行了全面的分析与研究。

关键字：线性方程组；解结构；矩阵；解的判定目录线性方程组解的判定与结构 .............................. 错误!未定义书签。

引言 (1)1 线性方程组解的判别定理 (1)2 齐次线性方程组的解的结构 (2)3 一般线性方程组的解的结构 (3)致谢 (7)参考文献： (7)引言线性方程组是线性代数的主要内容，包括线性方程组有解性的判定、消元法解线性方程组和线性方程组解的结构以及他们的基础解系。

它与矩阵、向量还有行列式、方程组、秩、克拉默法则的内容密切相关，与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广，对此本论文紧紧围绕线性方程组与解的结构进行展开，这也对我们以后学习线性方程组的解结构与解判别定理有很大帮助。

下面我就分几大板块来介绍关于线性方程解的判定与结构。

1 线性方程组解的判别定理线性方程组是否有解，我们有没有其他办法来解决？当然有，那就是通过用系数矩阵和增广矩阵的秩来进行刻划，下面我们对此介绍几个相关的定理：定理 1 线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，即秩（A ）=秩（A ＇）。

证明线性方程组（1）有解，就是说β可以经向量组12,,n ααα线性表出，由此立即推出，向量组12,,n ααα与向量组12,,,n αααβ等价，因而有相同的秩。

这两个向量组分别是矩阵A 与A ＇的列向量组，因此矩阵A 与A ＇有相同的秩定理2若线性方程组AX=b 有满足秩（A ）=秩（A ＇）=r ，则当r=n 时，线性方程组有解且只有唯一解；当r<n 时，线性方程组有无穷多解。

高等代数论文终稿

高等代数小论文任课老师：李思泽小组成员：王勤龙任和谭添关键词:算子加权权重向量矩阵乘法规范化，问题背景：随着一年一度的高校保送生考试到来，许多具有保送生资格的高三学子都在积极地准备着各大高校的保送生考试。

这一考试也受到社会各界人士越来越多的关注。

问题提出：现北京交通大学拟向北京市选拔8名理科保送生资格的高三学生，具体的选拔办法与程序如下:(一)公开考试：考试科目有：阅读与写作、理科数学和自然科学类，每科从高到低分为A/B/C/D4个等级。

(二)面试考核：面试按照一定的标准，面试专家组队对每位同学综合能力的考察给出一个等级评分，从高到低分为A/B/C/D4个等级。

（笔试和面试具体结果如下表1-1所示。

）(三)由面试领导小组综合专家组的意见、笔试成绩以及各专业侧重的不同科目的程度进行综合排名，然后根据排名依次分配到各个专业。

北京交通大学拟将选拔的8名高三学生安排到所属的7个专业，并且要求每个专业录取一名学生。

（专业要求如下表1-2所示。

）考虑考生意愿，择优按需录取，试帮助招生领导小组设计一种录取分配方案。

（考生意愿如下表1-3所示。

）表1-2对每个专业进行统计注：表中数字1,2,3分别代表该专业是该考生的第几个志愿，0代表该考生没有填该专业的志愿。

此类问题属于对于悬着对象进行综合评价问题，处理这种问题有多种方法，在这里我们选用了不确定多属性决策方法中的基于有序加权平均算子OWA和加权算术平均算子WAA的综合决策方法。

我们先介绍哦这两个算子。

OWA ：R nR ，w=（W 1,W 2,….,W n ）,(W i ∈[0,1], Wi n i=1=1)是一组加权向量，则OWA W （a1，a2，a3，…. a n ）= W i n i=1b i其中，b i 是一组数据（a1,a2，…a n ）中的第i 大的元素。

OWA 算子中权重向量W 的第i 个分量W i 体现出的是数据（a1，a2，a3…..an ）经过排序后的第i 个分量位置上的数据重要性。

高等代数论文

有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论聂晓柳(数学与应用数学系指导教师:杨忠鹏)摘要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向.关键词：幂等矩阵对合矩阵换位子矩阵的秩可逆性Abstract ：In this paper, we mainly study the rank equalities for the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. Using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempotent matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block Gaussian elimination. Besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. And we also propose some problems for further work in the future.Key words ： Idempotent matrix Involutory matrix Communicator Rank equality Invertibility0、符号说明及引言幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成局部,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看[1-11,14-17].为了后面的写作方便，首先进行符号说明.用m n C ⨯表示复数域C 上的所有m n ⨯矩阵组成的集合; n C 表示复数域C 上所有n 维列向量组成的集合, E 表示n 阶单位矩阵，()r A 表示矩阵A 的秩。

高等代数教学论文

高等代数教学中的几点感悟文宋雪丽摘要在大学数学课程中，高等代数是其中一门十分重要的科目。

结合教学实践，谈了一些感悟。

关键词内容；概念；方法高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。

由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。

由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。

因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。

结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。

一、尽量与中学数学内容相联系高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。

例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。

高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。

在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。

高等代数中介绍一元次方程根的定义、复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元次方程根的特点、有理数一元次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。

高等代数中有元一次线性方程组的行列式解法克拉默法则和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。

通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。

不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。

因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。