大学物理矢量运算
《大学物理》矢量运算
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。 表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示 。
A A A0
（3） A B Ax B x A y B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为 W F s Fcos s
3．矢量的叉乘
矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称为矢积（叉积）
大小: C ABsin
C A B
垂直于A 、 B 组成的平面， 方向: 指向用右手螺旋法则确定。
位移、速度等 的合成
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？ 2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
4. 矢量叉乘的右手螺旋法则如何操作？
5. 已知： a与b 夹角为45 ， a 6, b 2 2 , 求 a 2b a 3b
2 2 Ax Ay Az2
Az
z
k
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
4．矢量合成的解析法
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
y 已知 A、B，（如图）求 A B 、B 用平行四边形法则合成 C 解：先将 A A C A B 然后将 A、B 正交分解，其解析式为 O A Ax i Ay j B Bx i B y j
大学物理矢量代数
Ax dAx , Ay dAy ,
Az dAz
A Axi Ay j Azk
8
矢量代数基本知识
1
矢量代数的基本知识
标量：只有大小， 例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量：既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速
z
度、角速度、电场强度等。
1、矢量的两种表示方式： 几何表示
A
o
y
——有指向的线段。
x
2
解析表示（直角坐标系）
A Axi Ay j Azk
Байду номын сангаас
AB
结论：两个矢量叉乘得到
B
的结果仍然是一个矢量。
注意 A B B A
A
7
（4）矢量的求导
dA dt
d dt
( Axi
Ay
j
Azk )
d dt
( Axi )
d dt
( Ay
j)
d dt
( Azk )
dAx
i
dAy
j
dAz
k
dt dt dt
（5）矢量的积分
先对矢量的各分量分别进行积分，再 对得到的各分量值进行矢量合成。
那么 A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
请问： A dA与 AdA是否相等 ?
6
矢量的叉乘
A
是
B |
A与
A
B
|| B | sin
的夹角，
是一个单位矢量。
并且的跟方矢向量：垂A 直、B于形由成A右、手B 螺所旋构关成系的：平面，
大学物理矢量运算公式(二)2024
大学物理矢量运算公式（二）引言概述：矢量运算在大学物理中起着重要的作用，它涉及到向量的加减法、点积、叉积等运算。
在本文中，我们将深入探讨大学物理中的矢量运算公式，包括向量的加法和减法、点积的定义和计算、叉积的定义和计算等内容。
理解这些公式不仅对于解决物理问题具有重要意义，也有助于加深对矢量概念的理解。
正文内容：I. 向量的加法和减法1. 向量的加法原理a. 同向向量的加法b. 反向向量的加法2. 向量的减法原理a. 原理解释b. 向量减法的计算方法3. 向量加法和减法的性质a. 加法的交换律b. 加法的结合律c. 减法的性质II. 点积运算1. 点积的定义和意义b. 几何意义和物理意义2. 点积的计算方法a. 分量法计算b. 对易性和非对易性3. 点积的性质a. 交换律和结合律b. 点积与向量的长度和夹角的关系III. 叉积运算1. 叉积的定义和意义a. 定义解释b. 叉积与向量垂直的性质2. 叉积的计算方法a. 分量法计算b. 右手法则3. 叉积的性质a. 反对称性和非交换性b. 叉积与向量的长度和夹角的关系IV. 矢量运算公式的应用1. 应用于力学问题b. 飞行器问题2. 应用于电磁学问题a. 磁场问题b. 电场问题V. 矢量运算公式的扩展1. 多维空间中的矢量运算a. 三维空间中的矢量运算b. 更高维度空间中的矢量运算2. 张量运算与矢量运算的关系a. 张量的定义和性质b. 张量与向量的关系总结：本文介绍了大学物理中的矢量运算公式，包括向量的加法和减法、点积的定义和计算、叉积的定义和计算等内容。
理解这些公式对于解决物理问题具有重要的意义，并且可以加深对矢量概念的理解。
同时，我们还探讨了矢量运算公式在力学和电磁学问题中的应用，以及矢量运算的拓展和与张量的关系。
深入理解和掌握这些公式，将有助于提高物理学习的效果。
大学物理矢量基础(一)2024
大学物理矢量基础（一）引言:矢量是描述物理量的重要工具，它有大小和方向，可以用来表示力、速度、加速度等物理量。
掌握矢量的基础知识对于学习大学物理至关重要。
本文将介绍大学物理中关于矢量的基础知识，包括矢量的定义、表示以及矢量运算，以便读者更好地理解并应用矢量概念于物理学。
正文：一、矢量的定义和性质：1. 矢量的定义及其与标量的区别；2. 矢量的性质：大小、方向和代表的物理量；3. 矢量的分类：自由矢量和固定矢量；4. 矢量的表示方法：箭头、加粗和小写斜体字母。
二、矢量的坐标表示：1. 极坐标和直角坐标系的介绍；2. 矢量在直角坐标系中的表示方法；3. 矢量的坐标分量及其计算方法；4. 矢量的单位矢量表示及其定义；5. 矢量的分解和合成。
三、矢量的运算：1. 矢量的加法及其几何意义；2. 矢量的减法及其几何意义；3. 矢量的数乘及其几何意义；4. 矢量的数量积及其几何意义；5. 矢量的向量积及其几何意义。
四、矢量的运算定律：1. 矢量的交换律和结合律；2. 矢量的分配律和数量积的交换律；3. 矢量的数量积和向量积的分配律；4. 矢量的向量积和数量积的混合积；5. 应用运算定律解决物理问题的例子。
五、矢量的应用：1. 矢量运算在力学中的应用；2. 矢量运算在电磁学中的应用；3. 矢量运算在热学中的应用；4. 矢量运算在光学中的应用；5. 矢量运算在其他学科中的应用。
总结：通过本文的介绍，我们了解了大学物理中关于矢量的基础知识。
我们学习了矢量的定义和性质，以及矢量的坐标表示和运算。
我们还了解了矢量的运算定律和应用示例。
矢量的基础知识是学习物理学的重要基石，它可以帮助我们更好地理解和分析物理现象。
希望本文对读者的物理学习有所帮助。
大学物理矢量运算公式(一)2024
大学物理矢量运算公式（一）引言概述:
大学物理中，矢量运算是一门重要的基础课程。
矢量运算公式是在处理矢量量的运算过程中所使用的关键工具。
本文将介绍大学物理矢量运算公式的一些基本概念和常见公式，以帮助读者更好地理解和应用矢量运算。
正文内容:
一、矢量的表示和性质
1. 矢量的定义和表示方法
2. 矢量的加法和减法运算
3. 矢量的数量积和矢量积定义及其性质
4. 矢量的分解和合成
5. 矢量的单位化和模长计算
二、矢量的坐标表示
1. 直角坐标系和矢量的坐标表示
2. 极坐标系和矢量的坐标表示
3. 球坐标系和矢量的坐标表示
三、矢量的运算公式
1. 矢量的加法和减法公式
2. 矢量的数量积公式和性质
3. 矢量的矢量积公式和性质
4. 矢量的混合积公式和性质
5. 矢量的分解和合成公式
四、应用举例
1. 矢量运算在力学中的应用
2. 矢量运算在电磁学中的应用
3. 矢量运算在波动学中的应用
4. 矢量运算在光学中的应用
5. 矢量运算在热学中的应用
五、矢量运算的常见错误和注意事项
1. 矢量运算中常见的错误类型
2. 矢量运算中需要注意的细节
3. 矢量运算的常见问题及解答
4. 矢量运算的常见应用技巧
5. 矢量运算的进一步深入学习建议
总结:
本文概述了大学物理矢量运算公式的基本概念和常见公式，包括矢量的表示和性质、矢量的坐标表示、矢量的运算公式、应用举例以及矢量运算的常见错误和注意事项。
矢量运算公式在物理学中有着广泛的应用，通过学习和掌握这些公式，读者可以更好地理解和应用矢量运算。
对于进一步深入学习，本文还提出了建议。
学习大学物理必备数学知识
r
r
r
自矢矢 量量的BAr 的 末端末画端出画矢出量矢量 ，CBr，则再从就Cr矢是量 和A的Ar 始端的Br到合
矢量。
4
利用矢量平移不变性： r
d
A r
c
r
C
r
B a
r
B b
A
图4 两矢量相加的平行四边形法则
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向：
r
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
r B
•
r dA
dt
dt
dt
(4)
d
rr A B
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
26
2、矢量的积分：
设
r A
和
r B
均在同一平面直角坐标系内，且
r dB
Ar，
则有：dBr
r Adt
dt
r B
r Adt
r Axi
Ay
r j
dt
r
r
Axdt i Aydt j
r
的模，用符号 A 表示。
A
图1 矢量的图像表示
2
2、矢量平移的不变性：
r
r
把矢量 A在空间平移，则矢量 A的大小和方向都不
会因平移而改变。
r
r
A
A
r A
图2 矢量平移
3
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
r
c
理论力学(矢量运算基本知识)
ai = i aix+ jaiy + kaiz 则有: Rx= aix
4.矢量的矢积 (1)定义: c = a × b
R = ai Rz= aiz
Ry= aiy
c
c a b sin a b
b a
6
(2)直角坐标中的解析表示
i a b ax bx
j ay by
k az bz
y
xE+2xA= c1
xB+(xB - xA) = c2
xC+(xC - xB) = c3
C
E
xD - xC =c4
D
x
18
对上述各式微分得:
2 dxB - dxA = 0 dxD - dxC = 0
dxE + 2 dxA = 0
2 dxC - dxB = 0
8dxD = -d xE
8vD= - vE 8aD= - aE aE = 2 vE =10 aE = 2
18 5
14
二.绪论
1.理论力学的研究对象
(1)机械运动
(2)质点,质点系,刚体和多刚体系统
(3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的 3.理论力学的研究方法 4.理论力学的学习方法
15
例题2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块A和B
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块A的加速度. 解:
理 论 力一.矢量运算的基本知识 1.单位矢量 2.矢量的加法 3.矢量的标积 4.矢量的矢积 5.矢量的导数
2
二.绪论
1. 理论力学的研究对象 2. 理论力学的学习目的 3. 理论力学的研究方法 4. 理论力学的学习方法
大学物理矢量运算
chap0 矢量代数0.1矢量与标量一．标量定义：只有大小，没有方向的量。
表示：数字（可带正负号）。
加法：代数和。
二．矢量定义：既有大小，又有方向的量。
表示：0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量沿A A v:0 2）有向线段 矢量的方向方向矢量的模）矢量的大小长度:(:加法：平行四边形法则或三角形法则。
0.2矢量的合成与分解一．矢量的合成Av Av v C v B v Bv Cv Av Bv Cv Dv Ev 说明：)(B A B A vv v v −+=−BA C v v v +=BA C v v +=DC B A E v v v v v +++=A v Bv Cv Bv −Av Cv Bv二．矢量的分解把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。
1．矢量的分解Ø一般一个矢量有无穷多种分解法Av Cv B v A v xA v yA v CB A v v v +→yx A A A v v v +→2．矢量的正交分解z三．矢量和（差）的正交分量表示k A j A i A A z y x v vv v ++=v vv v k B j B i B B z y x ++=k B A j B A i B A B A z z y y x x v vv v v )()()(±+±+±=±0.3矢量的乘积定义：一.矢量乘以标量Am B v v=二.矢量的标积定义：性质：1）A B B A v v v v ⋅=⋅v θψcos AB B A =⋅=vv )],([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：zz y y x x B A B A B A B A ++=⋅vv 1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v三.矢量的矢积定义：==×=大小：)],([sin B A AB S BA S vv v v v θθ性质：⊥⊥满足右螺旋定则方向：,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(3）B A B A v v v v //0↔=×4）0=×A A v v矢量的标积的正交分量表示：0.4矢量函数的导数与积分一.矢量函数矢量A v与变量t 之间存在一定的关系，如果当变量t 取定某个值后，矢量A v有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则A v称为t 的矢量函数，即：)(t A A v v =二.矢量函数的导数定义tt A t t A t Adt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v vv −+==→→zv xy)(t A A v v =)('t t A A ∆+=v)()(t A t t A A v v v −+=∆∆O1）dtBd dt A d B A dt d vv v v ±=±)(2）dtAd m A dt dm A m dt d vv v +=)(B d A d d v v v v v v 性质三.矢量函数的积分定义v v v v B d v v，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt=则B v称为A v 的积分，记为：∫=dt A B v v性质1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(2）dt A m dt A m ∫∫=vv )( 常量）=m (3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅vv v v )(常量）=C r (r 矢量函数积分的正交分量表示k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×vv v v )(常量）=C (例题0-1 两矢量：k j i a v v v v−+=34，k j i b v v v v 543+−=，通过矢量运算求：求：（1）以a v 、b v为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；例0-2 两矢量函数：j i t a v v v2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。
矢量运算公式范文
矢量运算公式范文矢量运算是对矢量进行运算的数学方法，包括矢量的加法、减法、数与矢量的乘法（数量积）、矢量与矢量的乘法（矢量积）等。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，矢量运算被广泛应用。
下面将介绍一些常见的矢量运算公式：一、矢量的加法和减法：矢量的加法：对于两个矢量A和B，它们的加法可以表示为：C=A+B加法满足交换律：A+B=B+A加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)矢量的减法：对于两个矢量A和B，它们的减法可以表示为：C=A-B减法可以看作加法的反向操作：A-B=A+(-B)其中，-B表示B的反向矢量，即将B的大小保持不变，方向取反。
二、数与矢量的乘法（数量积）：数与矢量的乘法是将一个数与一个矢量各分量相乘。
假设有一个矢量A和一个数k，则数与矢量的乘法可以表示为：B=kA乘法满足交换律：kA=Ak乘法满足结合律：(kl)A = k(lA)三、矢量与矢量的乘法（矢量积）：矢量与矢量的乘法有两种形式，一种是叉乘（也称为矢量积或外积），另一种是点乘（也称为数量积或内积）。
1.叉乘：对于两个矢量A和B，它们的叉乘可以表示为：C=A×B矢量的叉乘满足右手法则：-若A和B的夹角θ小于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由A转向B；-若A和B的夹角θ大于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由B转向A；-若A和B的夹角θ等于180度，则C等于0。
2.点乘：对于两个矢量A和B，它们的点乘可以表示为：C=A•B点乘的结果是一个标量。
点乘的计算方法有两种：-一种是将两个矢量的各分量分别相乘，然后相加：C=A₁*B₁+A₂*B₂+...+An*Bn- 另一种是使用矢量的模和夹角公式：C = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，表示矢量A的模，B，表示矢量B的模，θ表示A和B的夹角。
以上是矢量运算的一些基本公式，它们在物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛的应用。
矢量的运算法则
矢量的运算法则矢量是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
矢量的运算法则是研究矢量之间的运算规律的一种数学方法，它包括矢量的加法、减法、数量积和向量积等运算。
首先，我们来看一下矢量的加法。
矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的加法运算可以表示为A + B = C，其中C是A和B的和矢量。
在几何上，矢量的加法可以用平行四边形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从起点到终点的线段就是它们的和矢量。
接下来是矢量的减法。
矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的减法运算可以表示为A B = D，其中D是A减去B得到的差矢量。
在几何上，矢量的减法可以用三角形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从第二个矢量的终点到第一个矢量的终点的线段就是它们的差矢量。
除了加法和减法，矢量还有数量积和向量积两种运算。
数量积又称点积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值得到一个标量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的数量积可以表示为A·B= |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角。
数量积的几何意义是A在B方向上的投影乘以B的模长。
最后是向量积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的正弦值得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的向量积可以表示为A×B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角，n是一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。
向量积的几何意义是A和B所在平面上的一个新的垂直矢量。
矢量的运算法则在物理学和工程学中有着广泛的应用。
比如在力学中，矢量的加法和减法可以用来求解物体的位移和速度；在电磁学中，矢量的数量积和向量积可以用来求解电场和磁场的分布。
大学物理_矢量
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
rA
o
rB
y
x 注意到矢量有大小和方向两个属性，因此其微分：
dA dA 0 dA0 A A dt dt dt
。举例：直线运动和圆周运动。
圆周运动
考虑在圆周运动情况下，单位 矢量 A0 对时间的变化率 d A0 的 dt 大小和方向，注意到：
A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k ) ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
注意到如下关系：
i i j j k k 1 i j j k k i 0
v
r
v r
角速度矢量
的方向
矢量微分的应用：加速度 (Acceleration )
加速度是反映速度变化的物理量 z
t1时刻，质点速为
v1
v1
t2时刻，质点速度为
v2
x
v2
o y
t时间内，速度增量为：
v v2 v1
v a t
v1
v2
o x
rA r B
y
r
B
r rB rA 为在此时间内的位移矢量，当t→0时，
可得该位移矢量的微分：dr lim( rB rA ) ，此时位移 t 0 矢量的微分方向为A点处轨道的切线方向。
dr r lim v 位移矢量对时间的变化率为速度矢量： dt t 0 t z v 速度的方向为轨道上质 A 点所在处的切线方向。 B r 在直角坐标系中：
5、熟悉质点运动的一般描写。
大学物理：矢量 (VECTOR)
dt t0
t
一个矢量既有大小又有方向
A AAˆ
因此： dA dA Aˆ A dAˆ
dt dt
dt
物理教研室，药大
显然可以区分为三种情况： 矢量的大小变化，矢量的方向不变 矢量的方向变化，大小不变 矢量的大小和方向都发生变化
能否找到一个坐标系，不论上面的那种情况发生， 都可以归咎为矢量的分量的大小发生变化吗？
物理教研室，药大
因为有如下关系：
ii j j k k 1 i j jk k i 0
A B ( Ax i Ay j Az k ) (Bx i By j Bz k ) Ax Bx Ay By Az Bz
物理教研室，药大
同样因为有 如下关系：
ii j j k k 0 i j k, j k i,k i j
• m>0: 与A同向; • m<0: 与A反向; • m=0: 零矢量 • m=-1: mA = -A,其中,-A表示一个与A大小相等方向相反的矢量
• 性质:
– 分配律:(associative law)
( )A A A (A B) A B
– 交换律:(commutative law)
3) 两个矢量的夹角
cos A B
AB
4) 性质：
交换律(commutative law): 分配律(distributive law): 结合律(associative law):
AB B A ( A B) C AC B C ( A B) A (B), 为实数
物理教研室，药大
例3.
t2 t1
( Axi
Ay
j
Azk )dt
(
t2 t1
Axdt)i
(
矢量的运算法则
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRd a
体元：
dV R2 sin dRd d
工程电磁场
在不同旳坐标系中，梯度旳计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
工程电磁场
主要旳场论公式
1. 两个零恒等式
(1) () 0 任何标量场梯度旳旋度恒为零。
(2) ( F ) 0
任何矢量场旳旋度旳散度恒为零。
工程电磁场
2. 拉普拉斯算子 2 ()
在直角坐标系中：
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
在圆柱坐标系中：
2
1 r
(r )
r r
( )
( A) A A
(A) A A
(A B) (A)B (B )A A( B) B( A)
(A B) B A A B (A B) A B B A (B )A (A)B
球坐标系中：
F
1 R2
(R2FR ) R
1
R sin
(F sin )
1
R sin
F
正交曲线坐标系中：
F
1
Fu1h 2 h 3
( Fu2
h1h3
)
(Fu3 h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
工程电磁场
旋度公式：
F
Fz y
Fy z
aˆx
Fx z
Fz x
aˆ y
大学物理矢量
在二维情况下:
Y
A Axi Ay j
Ay
tg Ay
Ax
O Ax
X
如果A Axi Ay j 和 B Bxi By j , 则有:
C Cxi Cy j B A (Ax Bx )i (Ay By ) j
显然:
Cx Ax Bx
Cy Ay By
第1章 运动的描述
矢量的加法: 两个矢量相加
j
k
k
0
i j k, jk i,k i j
i a b ax
j ay
k
az (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
bx by bz
第1章 运动的描述
若
a a(t)
b b(t)
d
(a b)
da
db ;
dt
dt dt
一、位置矢量 运动方程 位移
1 位置矢量 确定质点P某一时刻在
坐位标置系矢里 量的, 简位称置位的矢物r理.量称
y
y
j
r
*P
r xi yj zk
式中i 、j 、k 分别为x、y、z
z
o
k
x
i
z
x
方向的单位矢量.
第1章 运动的描述
1-2 运动的描述
r 位矢 的值为
r r x2 y2 z2
z
x
或分量式 y y(t)
z z(t) 称为运动方程
注：
运动方程包含了质点运动的全部 信息，是运动学的核心。
第1章 运动的描述
1-2 运动的描述
从中消去参数 t 得轨迹方程
f (x, y, z) 0
例如：
常用的一些矢量运算公式
常用的一些矢量运算公式矢量运算是研究矢量的数学运算方法和规律的一个分支。
在物理学、工程学和计算机图形学等领域，矢量运算经常被用于描述和计算各种物理量。
以下是一些常用的矢量运算公式。
1.矢量加法矢量加法是指两个矢量相加得到一个新的矢量。
设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的矢量和C的坐标为(C1,C2,C3)。
矢量加法公式为：C=A+B=(A1+B1,A2+B2,A3+B3)2.矢量减法矢量减法是指一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的矢量差C的坐标为(C1,C2,C3)。
矢量减法公式为：C=A-B=(A1-B1,A2-B2,A3-B3)3.点乘点乘是指两个矢量之间的乘积得到一个标量。
设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的点乘结果为：A·B=A1B1+A2B2+A3B34.叉乘叉乘是指两个矢量之间的乘积得到一个新的矢量。
设两个矢量A和B，它们的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的叉乘结果为：A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)5.矢量模长矢量的模长表示向量的长度或大小。
设一个矢量A，它的坐标为(A1,A2,A3)，则它的模长结果为：A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)6.单位矢量单位矢量是模长为1的矢量，通常用于表示方向。
设一个非零矢量A，它的坐标为(A1,A2,A3)，则它的单位矢量U的坐标为：U=A/，A，=(A1/，A，,A2/，A，,A3/，A，)7.矢量投影矢量投影是指一个矢量在另一个矢量上的投影，得到一个与原矢量垂直的新矢量。
设一个矢量A投影到B上的矢量为C，则矢量C的坐标为：C=(A·B/，B，^2)B8.向量夹角向量夹角是指两个矢量之间的夹角。
矢量运算公式大全
矢量运算公式大全一、矢量加法。
1. 平行四边形法则。
- 对于两个矢量→A和→B，以这两个矢量为邻边作平行四边形，那么它们的合矢量→C=→A+→B就是平行四边形的对角线（以→A和→B的起点为共同起点的那条对角线）。
- 设→A=(A_x,A_y)，→B=(B_x,B_y)，则→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y +B_y)（在直角坐标系下）。
2. 三角形法则。
- 把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点的矢量就是这两个矢量的和矢量。
即→C=→A+→B，先画→A，再从→A的终点开始画→B，→C就是从→A的起点指向→B的终点的矢量。
- 在空间直角坐标系中，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，那么→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y + B_y,A_z + B_z)。
二、矢量减法。
1. 定义。
- 矢量减法是矢量加法的逆运算，→A-→B=→A+(-→B)，其中-→B是→B的反矢量，其大小与→B相同，方向相反。
2. 三角形法则。
- 同样可以用三角形法则来计算矢量减法。
把→A和-→B首尾相接，从-→B 的起点指向→A的终点的矢量就是→A-→B。
- 在直角坐标系下，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，则→A-→B=(A_x - B_x,A_y - B_y,A_z - B_z)。
三、矢量的数乘。
1. 定义。
- 设→A是一个矢量，k是一个实数（标量），则k→A是一个矢量，其大小| k→A|=| k||→A|。
- 当k>0时，k→A与→A方向相同；当k < 0时，k→A与→A方向相反；当k = 0时，k→A=→0。
2. 在直角坐标系中的表示。
- 如果→A=(A_x,A_y,A_z)，那么k→A=(kA_x,kA_y,kA_z)。
四、矢量的点积（数量积）1. 定义。
- 对于两个矢量→A和→B，它们的点积→A·→B=|→A||→B|cosθ，其中θ是→A和→B之间的夹角(0≤slantθ≤slantπ)。
大学物理简明教程矢量基础知识(一)2024
大学物理简明教程矢量基础知识（一）引言概述：大学物理中，矢量是一项至关重要的基础知识。
矢量有着广泛的应用，涉及许多物理概念和问题的描述与解决。
本文将简明扼要地介绍大学物理中的矢量基础知识，包括矢量的定义、性质和运算法则等内容。
正文内容：一、矢量的概念与表示1. 矢量的定义和特征2. 矢量的表示方法：坐标表示法和矢量符号表示法3. 矢量的单位与方向二、矢量的性质与运算法则1. 矢量的相等与相反2. 矢量的相加与相减3. 矢量的数量积和向量积4. 矢量的分解与合成5. 矢量的平行与垂直三、矢量的运算与坐标表示1. 矢量的加法与减法的坐标表示2. 矢量的数量积与向量积的坐标表示3. 矢量的分解与合成的坐标表示4. 矢量的平行与垂直的坐标表示5. 矢量在平面直角坐标系和空间直角坐标系中的表示四、矢量在运动学中的应用1. 位移矢量和位移量的概念2. 瞬时速度和平均速度的矢量表达3. 加速度的矢量表示4. 矢量运动图解与问题解答5. 矢量运动的相对性与相对速度五、矢量在力学中的应用1. 力矢量的概念与表示2. 合力与分解力的矢量分析3. 不同几何形状物体上的力矢量分析4. 牛顿第二定律的矢量表达5. 平衡力的矢量图解与问题解答总结：本文简明扼要地介绍了大学物理中的矢量基础知识，包括矢量的概念、表示方法、性质和运算法则等内容。
通过对矢量在运动学和力学中的应用进行阐述，读者能够更好地理解大学物理中的矢量概念及其实际应用。
掌握这些基础知识，对于进一步学习和理解物理学中的其他概念和问题具有重要的指导作用。
最新 大学物理-矢量和矢量运算
♦ 二、矢量的解析表示
A = A i + Ay j + A k x z
大 小
2 2 A = Ax + Ay + A2 z
Y
Ay
A
O Z
Az AX
X
cosα =
Ax A Ay A A z A
夹 角
cos β = cosγ =
♦ ♦
三、矢量的模和单位矢量 矢量的大小称为矢量的模， 矢量的大小称为矢量的模，记做
A
A= A +A +A
2 x 2 y
2 z
若
A =1
则 称为
方向上的单位矢量。 A 方向上的单位矢量。
♦
四、矢量的加减法 若
A = Axi + Ay j + A k z
B = Bxi + By j + Bzk
则
A± B = ( Ax ± Bx )i + ( Ay ± By ) j + ( Az ± Bz )k
六、矢量的矢积（叉乘） 矢量的矢积（叉乘）
C = A×B
其大小为
C = ABsinθ
方向： 方向：右手定则
注意顺序： 注意顺序： A× B = −(B× A)
（1）当两个矢量平行时 ）
θ =0
sinθ = 0
A× B = 0
（2）当两个矢量垂直时 ）
θ=
π
2
sin θ =1
A× B = AB
i ×i = j × j = k × k = 0 i × j =k j ×k = i k ×i = j
∫ A(t)dt = (∫ A (t)dt)i +(∫ A (t)dt) j
矢量的运算法则
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
工程电磁场
V A (BC) C (A B) B (C A)
注意：先后轮换次序。 推论：三个非零矢量共面的条件。
h BC
A C
A(BC) 0
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
aˆn
A B A B
aˆx aˆy aˆz A B 2 6 3 15aˆx 10aˆy 30aˆz
4 3 1
| A B | 152 (10)2 302 35
aˆn
1 7
(3aˆx
2aˆ y
6aˆz
)
工程电磁场
例3： 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a 和 b ，
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
aˆx aˆy 0, aˆx aˆx 1, 有两矢量点积：
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
三个向量连续叉乘如何计算,大学物理矢量叉乘运算公式二
三个向量连续叉乘如何计算，大学物理矢量叉乘运算公式二矢量叉乘法则？矢量当中的运算要遵守特殊的法则。
矢量加法大多数情况下可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
a-b=a+(-b)。
矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可以构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积1、矢量的叉乘是向量积；2、矢量的叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直；3、叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。
向量叉乘公式是什么？向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘是一种在向量空间中向量的二元运算。
与点积不一样，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
其应用也十分广泛，一般应用于物理学光学和电脑图形学中。
两个向量a和b的叉积写作a×b。
模长：（在这里θ表示两向量当中的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。
）方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵循右手定则。
（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方式是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不能超出180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。
）向量积|c|=|a×b|=|a||b|sina，b即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
*运算结果c是一个伪向量。
这是因为在不一样的坐标系中c 可能不一样。
期望我能帮你解疑释惑。
叉乘，也叫向量的外积、向量积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
chap0 矢量代数
0.1矢量与标量
一．标量
定义：只有大小，没有方向的量。
表示：数字（可带正负号）。
加法：代数和。
二．矢量
定义：既有大小，又有方向的量。
表示：
0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量
沿A A v
:0 2）有向线段 矢量的方向
方向矢量的模）
矢量的大小长度:(:
加法：平行四边形法则或三角形法则。
0.2矢量的合成与分解
一．矢量的合成
A
v A
v v C v B v B
v C
v A
v B
v C
v D
v E
v 说明：)(B A B A v
v v v −+=−
B
A C v v v +=B
A C v v +=D
C B A E v v v v v +++=A v B
v C
v B
v −A
v C
v B
v
二．矢量的分解
把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。
1．矢量的分解
Ø一般一个矢量有无穷多种分解法
A
v C
v B v A v x
A v y
A v C
B A v v v +→y
x A A A v v v +→
2．矢量的正交分解
z
三．矢量和（差）的正交分量表示
k A j A i A A z y x v v
v v ++=
v v
v v k B j B i B B z y x ++=
k B A j B A i B A B A z z y y x x v v
v v v )()()(±+±+±=±
0.3矢量的乘积
定义：
一.矢量乘以标量
A
m B v v
=
二.矢量的标积
定义：性质：
1）A B B A v v v v ⋅=⋅
v θ
ψcos AB B A =⋅=v
v )]
,([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(
3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：
z
z y y x x B A B A B A B A ++=⋅v
v 1
=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v
三.矢量的矢积
定义：
==×=大小：
)],([sin B A AB S B
A S v
v v v v θθ性质：
⊥⊥满足右螺旋定则方向：
,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×
2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(
3）B A B A v v v v //0↔=×
4）0=×A A v v
矢量的标积的正交分量表示：
0.4矢量函数的导数与积分
一.矢量函数
矢量A v
与变量t 之间存在一定的关系，如果当变
量t 取定某个值后，矢量A v
有唯一确定的值（大小和
方向）与之对应，则A v
称为t 的矢量函数，即：
)(t A A v v =
二.矢量函数的导数
定义
t
t A t t A t A
dt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v v
v −+==→→z
v x
y
)
(t A A v v =)
('t t A A ∆+=v
)
()(t A t t A A v v v −+=∆∆O
1）dt
B
d dt A d B A dt d v
v v v ±=±)(
2）dt
A
d m A dt dm A m dt d v
v v +=)(
B d A d d v v v v v v 性质
三.矢量函数的积分
定义
v v v v B d v v
，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt
=
则B v
称为A v 的积分，记为：
∫=dt A B v v
性质
1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(
2）dt A m dt A m ∫∫=v
v )( 常量）=m (
3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅v
v v v )(常量）=C r (
r 矢量函数积分的正交分量表示
k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫
∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×v
v v v )(常量）=C (
例题0-1 两矢量：k j i a v v v v
−+=34，k j i b v v v v 543+−=，
通过矢量运算求：
求：（1）以a v 、b v
为两邻边所作的平行四边形
两对角线的长度；
例0-2 两矢量函数：j i t a v v v
2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。
求：（1）?=t 时b a v
v ⊥；
0.5场和波
❖场其实是一个广义范畴。
❖数学概念，场就是具有某种性质的空间比如无旋场，无散场，它并没有实际的存在形式
❖物理概念，场是物质的一种存在形式场被赋予了物质的意义，具有物质的基本性质
❖在物理学上，场主要是指电磁场，是一种物质
波是在空间上分布的幅度和方向随时间变化的场，本质上波是一种特殊形式的场。
因此有波必然有场存在，但是并不是所有的场都能形成波。
比如在一个静止电荷周围产生的静电场，就不能认为是波。
0.6散度、旋度和梯度
1、散度
τ
τ∆⋅=∫
→∆S
S d A A div v v v
lim
物理意义：包围单位体积闭合面的通量。
2、旋度
n
)A rot S
l d A c
s v
v v v ⋅=∆⋅∫
→∆(lim
物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，
与面元的取向无关。
z
y x n n e z
u e y u e x u e l u u gradu v
v v v ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=∇=3、梯度
标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影
保守场：场强沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零无旋场：旋度为零的矢量场叫做无旋场。
标量场的梯度场是无旋场，如静电场。
无散场：散度为零的矢量场叫做无散场。
矢量场的旋度场是无散场，如恒定磁场。