《大学物理》矢量运算精品PPT课件
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《大学物理学》矢量课堂ppt
合矢量的大小的方向cos四矢量合成的解析法在直角坐标系任一矢量都可沿坐标轴方向分解的大小的方向五矢量的乘积1
矢
一、矢量和标量
量
1.矢量：有大小和方向的物理量。 A A 大小：A 或 A A A 方向：用单位矢量 e A表示。即：
A eA A
eA 1
2.标量：只有大小的物理量。
在直角坐标系中， , j , k 是恒矢量，则 i
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k dA dAx dAy dAz 导数 i j k dt dt dt dt
2.导数的运算规则 （1）恒矢量的导数为零。
dC 0 dt
2.矢量的标积
设 A, B 为任意两个矢量，它们的夹角为
则它们的标积定义为
A B AB cos
B
B cos
A
根据标积的定义，可以得出下列结论：
（1）当
0 时，cos 1,
A B AB
A B 0
2
所以
时，即 （2）当
3.矢量的性质： 只要矢量的大小，方向不变，则 这个矢量不变。这是矢量平移不变性。 A 是 A的负矢量。大小相等方向相反。
二、矢量的模和单位矢量
在直角坐标系，单位矢量为：i , j , k
A Ae A
三、矢量的加法和减法
1.矢量的加法：满足平行四边形法则，或 三角形法则。 B C B sin
2.积分运算规则
f ( x)dx f ( x) C kf ( x)dx k f ( x)dx C A B dx Adx Bdx
矢
一、矢量和标量
量
1.矢量：有大小和方向的物理量。 A A 大小：A 或 A A A 方向：用单位矢量 e A表示。即：
A eA A
eA 1
2.标量：只有大小的物理量。
在直角坐标系中， , j , k 是恒矢量，则 i
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k dA dAx dAy dAz 导数 i j k dt dt dt dt
2.导数的运算规则 （1）恒矢量的导数为零。
dC 0 dt
2.矢量的标积
设 A, B 为任意两个矢量，它们的夹角为
则它们的标积定义为
A B AB cos
B
B cos
A
根据标积的定义，可以得出下列结论：
（1）当
0 时，cos 1,
A B AB
A B 0
2
所以
时，即 （2）当
3.矢量的性质： 只要矢量的大小，方向不变，则 这个矢量不变。这是矢量平移不变性。 A 是 A的负矢量。大小相等方向相反。
二、矢量的模和单位矢量
在直角坐标系，单位矢量为：i , j , k
A Ae A
三、矢量的加法和减法
1.矢量的加法：满足平行四边形法则，或 三角形法则。 B C B sin
2.积分运算规则
f ( x)dx f ( x) C kf ( x)dx k f ( x)dx C A B dx Adx Bdx
《大学物理矢量》课件
VS
加速度的合成
当物体同时参与两个运动，且这两个运动 的加速度共同产生与物体实际加速度相同 的效果时，这两个加速度称为合加速度。 合加速度的计算通过平行四边形法则或三 角形法则进行。
05
总结与展望
矢量在物理中的重要性
描述物理现象
矢量是描述物理现象的重要工具 ，如速度、力、加速度等都是矢 量，它们可以完整地描述物体的
理解矢量运算规则
矢量运算包括向量的加法、减法、数乘、向量的点乘、叉乘等，需 要理解这些运算的规则和几何意义，才能更好地应用矢量。
实践应用
通过解决实际问题，如力的合成与分解、速度和加速度的计算等，将 所学知识应用于实践，加深对矢量的理解。
对未来学习的展望
深入学习矢量理论
矢量理论在数学和物理中具有广泛的应用，可以深入学习 矢量的性质、定理和证明等，为未来的学习和研究打下坚 实的基础。
详细描述
矢量具有独立性，即矢量的数值与其参考系的选择无关。矢量具有可加性，即两个矢量相加得到一个 新的矢量。矢量还具有传递性，即对于三个矢量A、B和C，有A+B+C=A+(B+C)。此外，矢量还具有 分解和投影等性质。
02
矢量的运算
矢量的加法
矢量加法
将两个矢量首尾相接，形成一个 新的矢量。
三角形法则
矢量的表示方法
总结词
矢量可以用箭头表示，箭头的长度代表矢量的大小，箭头的指向代表矢量的方向 。
详细描述
在物理学中，通常用箭头表示矢量。箭头的长度代表矢量的大小，箭头的指向代 表矢量的方向。在数学和物理学中，常用黑体字母来表示矢量，例如A、B、C等 。
矢量的基本性质
总结词
矢量具有独立性、可加性和传递性等基本性质。
《大学物理矢量》课件
《大学物理矢量》课件1. 引言矢量是描述物体运动状态和相互作用的重要物理量。
在大学物理课程中，矢量理论是基础且核心的内容，对于深入理解物理现象和解决实际问题具有重要意义。
本课件旨在介绍矢量的基本概念、性质和运算规则，并通过实例分析，帮助学生掌握矢量在物理学中的应用。
2. 矢量的基本概念2.1 矢量的定义矢量是具有大小和方向的物理量。
在物理学中，矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
例如，位移、速度、加速度、力等都是矢量。
2.2 矢量的表示矢量的表示方法有多种，如符号表示、坐标表示和分量表示等。
符号表示是用箭头和字母表示矢量的方法，如箭头表示速度v。
坐标表示是用坐标系表示矢量的方法，如直角坐标系中的矢量可以表示为(r, θ)。
分量表示是将矢量分解为各个坐标轴方向上的分量，如直角坐标系中的矢量可以表示为(vx, vy, vz)。
2.3 矢量的性质（1）可加性：两个矢量相加，遵循平行四边形法则或三角形法则。
（2）标量乘法：矢量与标量相乘，结果仍为矢量。
（3）数乘：数乘矢量，结果仍为矢量。
（4）方向：矢量的方向由其分量决定。
（5）单位矢量：单位矢量是大小为1的矢量，方向与所表示的矢量相同。
3. 矢量的运算规则3.1 矢量加法矢量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。
平行四边形法则指的是，两个矢量的和等于以这两个矢量为邻边的平行四边形的对角线。
三角形法则指的是，两个矢量的和等于以这两个矢量为邻边的三角形的第三边。
3.2 矢量减法矢量减法可以看作是矢量加法的逆运算。
即a b = a + (-b)，其中(-b)表示与b大小相等、方向相反的矢量。
3.3 矢量数乘矢量数乘是指将矢量与标量相乘。
数乘矢量的结果仍为矢量，其大小为原矢量的大小与标量的乘积，方向与原矢量相同。
3.4 矢量的点积和叉积矢量的点积（又称内积、标积）定义为a·b = -a--b-cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
大学物理第一章矢量分析 ppt课件
6
（2）标量乘矢量
（3）矢量的标积（点积）
两矢量的标量积也称为点积(本书称为标积)。
定义一个矢量在另一矢量上的投影与另一矢 B
量模的乘积，结果为标量。
θ
A
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
（4）矢量的矢积（叉积）
亦称叉积，结果仍为一个矢量，用矢量C表示，C的大小 为A和B组成的平行四边形的面积，方向垂直与矢量A和B构成 的平面且A、B和C三者符合右手螺旋法则。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
16
4. 坐标单位矢量之间的关系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
17
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
梯度在该方向上的投影。 • 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
梯度运算的基本公式：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
24
例1.3.1 设一标量函数 ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量
场。试求：
(1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向
的单位矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
33
同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
34
散度的表达式： 直角坐标系
圆柱坐标系
球坐标系
大学物理矢量PPT课件
把 [a,b] 分 成 n个 小 y 区 间[ xi 1, xi ]， 长 度 为 xi xi xi1;
在每个[ xi1, xi ] 上
任 取 一 点 i，
o
x1
a
xi1 i xi
xn1
b
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
Ax
O Ax
X
如果A Axi Ay j 和 B Bxi By j , 则有:
C Cxi Cy j B A (Ax Bx )i (Ay By ) j
显然:
C x Ax Bx
C y Ay By
第1章 运动的描述
矢量的加法: 两个矢量相加
C AB
AB
矢量的减法: 两个矢量相减
C' A B A (B)
差矢量方向：
减数终端→被减数终端
第1章 运动的描述
A
C
B
C'
A
B
矢量的内积
a
b
ab
（点乘、标乘）：
0, cos 1, a b ab
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
在每个[ xi1, xi ] 上
任 取 一 点 i，
o
x1
a
xi1 i xi
xn1
b
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
Ax
O Ax
X
如果A Axi Ay j 和 B Bxi By j , 则有:
C Cxi Cy j B A (Ax Bx )i (Ay By ) j
显然:
C x Ax Bx
C y Ay By
第1章 运动的描述
矢量的加法: 两个矢量相加
C AB
AB
矢量的减法: 两个矢量相减
C' A B A (B)
差矢量方向：
减数终端→被减数终端
第1章 运动的描述
A
C
B
C'
A
B
矢量的内积
a
b
ab
（点乘、标乘）：
0, cos 1, a b ab
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
第1章 运动的描述
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
《大学物理矢量》课件
《大学物理矢量》PPT课 件
想深入了解物理矢量，掌握坐标系下矢量运算和微积分，本课件是你的不二 选择。
第一章：引言
矢量的定义和分类
向量和标量的区别， 矢量的种类及用途。
矢量的加法与减法
矢量和标量的加减方法，矢量夹角余弦定理。
矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
第二章：物理矢量
1
知识点总结
总结各章的重点和难点，归纳矢量的基本知识。
提出问题和展望
对矢量的未来发展和最新成果进行介绍，提出学术问题和需求。
第四章：平面矢量问题
平面矢量的几何意义
平行四边形面积公式，平行线斜 截式公式等几何应用。
平面矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示 法及其转化。
Hale Waihona Puke 平面矢量的运算平移、旋转、翻折、变形等平面 矢量的运算。
第五章：空间矢量问题
1
空间矢量的几何意义
空间矢量坐标系的表示法，空间直线斜截式与空间面点法式公式。
2
空间矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
3
空间矢量的运算
平移、旋转、翻折、变形等空间矢量的运算。
第六章：矢量的微积分与场论
1 矢量的微积分运算
矢量场的导数，散度和旋度等运算。
2 矢量场的概念与表示
矢量场的概念与表示方法。
结束语
矢量的应用
矢量在物理学，工程学，图形图像学，机器人等方面的应用。
位移、速度、加速度等基本物理量的矢量特征
矢量在平面直角坐标系下表示
2
物理定律的矢量形式
动量定理、角动量定理等定律的矢量形式。
3
物理问题的矢量分析方法
想深入了解物理矢量，掌握坐标系下矢量运算和微积分，本课件是你的不二 选择。
第一章：引言
矢量的定义和分类
向量和标量的区别， 矢量的种类及用途。
矢量的加法与减法
矢量和标量的加减方法，矢量夹角余弦定理。
矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
第二章：物理矢量
1
知识点总结
总结各章的重点和难点，归纳矢量的基本知识。
提出问题和展望
对矢量的未来发展和最新成果进行介绍，提出学术问题和需求。
第四章：平面矢量问题
平面矢量的几何意义
平行四边形面积公式，平行线斜 截式公式等几何应用。
平面矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示 法及其转化。
Hale Waihona Puke 平面矢量的运算平移、旋转、翻折、变形等平面 矢量的运算。
第五章：空间矢量问题
1
空间矢量的几何意义
空间矢量坐标系的表示法，空间直线斜截式与空间面点法式公式。
2
空间矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
3
空间矢量的运算
平移、旋转、翻折、变形等空间矢量的运算。
第六章：矢量的微积分与场论
1 矢量的微积分运算
矢量场的导数，散度和旋度等运算。
2 矢量场的概念与表示
矢量场的概念与表示方法。
结束语
矢量的应用
矢量在物理学，工程学，图形图像学，机器人等方面的应用。
位移、速度、加速度等基本物理量的矢量特征
矢量在平面直角坐标系下表示
2
物理定律的矢量形式
动量定理、角动量定理等定律的矢量形式。
3
物理问题的矢量分析方法
《矢量运算》课件
总结词
矢量加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C) 。
详细描述
交换律和结合律是矢量加法的基本性质，它们表明矢量的加法不依赖 于其排列顺序。
数乘运算
总结词
数乘运算是矢量运算中的一种运算，它表示矢量与实数的 乘积。
总结词
数乘运算满足分配律，即k(A+B)=kA+kB。
详细描述
描述物体速度变化快慢的物理量，包括大 小和方向。加速度可以通过速度的变化量 与时间的比值来定义，也可以通过速率和 方向来描述。加速度是矢量，具有方向性 。通过研究速度和加速度的关系，可以深 入理解物体运动的变化规律和动力学问题 。
06
矢量在数学中的拓展
向量场
向量场是由一组向量构成 的数学结构，这些向量定 义在某个空间或流形上。
内积的定义与性质
总结词
内积是矢量的一种运算，表示两个矢量之间的点乘。
详细描述
内积定义为两个矢量A和B的内积，记作A·B，等于A的模长与B的模长之积与它 们之间夹角的余弦的乘积。内积的结果是一个标量，与矢量的方向无关，只与 矢量的长度和夹角有关。内积具有交换律和分配律。
外积与内积的应用
总结词
外积和内积在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
力的分解
将一个力分解为两个或多个分力的过程。力的分解有多种方 法，如正交分解和任意分解。通过力的分解可以更深入地理 解力的作用效果和力的作用方式。
运动的合成与分解
运动的合成
当物体同时参与两个或多个运动时，其合运动可以通过运动的合成来描述。运动的合成包括速度的合 成和加速度的合成。通过运动的合成可以确定合速度的大小和方向，以及合加速度的大小和方向。
矢量加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C) 。
详细描述
交换律和结合律是矢量加法的基本性质，它们表明矢量的加法不依赖 于其排列顺序。
数乘运算
总结词
数乘运算是矢量运算中的一种运算，它表示矢量与实数的 乘积。
总结词
数乘运算满足分配律，即k(A+B)=kA+kB。
详细描述
描述物体速度变化快慢的物理量，包括大 小和方向。加速度可以通过速度的变化量 与时间的比值来定义，也可以通过速率和 方向来描述。加速度是矢量，具有方向性 。通过研究速度和加速度的关系，可以深 入理解物体运动的变化规律和动力学问题 。
06
矢量在数学中的拓展
向量场
向量场是由一组向量构成 的数学结构，这些向量定 义在某个空间或流形上。
内积的定义与性质
总结词
内积是矢量的一种运算，表示两个矢量之间的点乘。
详细描述
内积定义为两个矢量A和B的内积，记作A·B，等于A的模长与B的模长之积与它 们之间夹角的余弦的乘积。内积的结果是一个标量，与矢量的方向无关，只与 矢量的长度和夹角有关。内积具有交换律和分配律。
外积与内积的应用
总结词
外积和内积在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
力的分解
将一个力分解为两个或多个分力的过程。力的分解有多种方 法，如正交分解和任意分解。通过力的分解可以更深入地理 解力的作用效果和力的作用方式。
运动的合成与分解
运动的合成
当物体同时参与两个或多个运动时，其合运动可以通过运动的合成来描述。运动的合成包括速度的合 成和加速度的合成。通过运动的合成可以确定合速度的大小和方向，以及合加速度的大小和方向。
《大学物理学》PPT课件
5
a b ab ab
三.标量积(点积、数量积、内积)
a b a b cos abcos
a axi ay j azk b bxi by j bzk
a b axbx ayby azbz
6
a b abcos
四.矢量积(向量积、叉积、外积) c
ab c
c ab absin
从起点A到终点B的有向线
段AB=r, 称为质点在时间t内
的位移。
zC
A
•
S
而A到B的路径长度S, 称
为路程。
r(t)
r • B
(1)位移是位置矢量r 在时间 o t内的增量:
r(t+t)
y
r r(t t) r(t)
x
图1-2
15
在直角坐标系中，若t1、t2时刻的位矢分别为r1和 r2 ,则这段时间内的位移为
19
质点的(瞬时)速度:
lim r dr
(1-9)
t0 t dt
质点的(瞬时)速率:
=
lim
t0
S t
dS dt
(1-12)
这表明,质点在t时刻的速度等于位置矢量r 对时间 的一阶导数; 而速率等于路程S对时间的一阶导数。
20
lim r dr
(1-9)
t0 t dt
=
lim
t0
S t
r r2 r1 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
在x轴方向的位移为
r ( x2 x1 )i
注意：坐标的增量x = x2-x1是位移，而不是路程!
16
(2)位移和路程是两个不同的概念。 位移代表位置变化，是矢量，在图1-2中，是有向
a b ab ab
三.标量积(点积、数量积、内积)
a b a b cos abcos
a axi ay j azk b bxi by j bzk
a b axbx ayby azbz
6
a b abcos
四.矢量积(向量积、叉积、外积) c
ab c
c ab absin
从起点A到终点B的有向线
段AB=r, 称为质点在时间t内
的位移。
zC
A
•
S
而A到B的路径长度S, 称
为路程。
r(t)
r • B
(1)位移是位置矢量r 在时间 o t内的增量:
r(t+t)
y
r r(t t) r(t)
x
图1-2
15
在直角坐标系中，若t1、t2时刻的位矢分别为r1和 r2 ,则这段时间内的位移为
19
质点的(瞬时)速度:
lim r dr
(1-9)
t0 t dt
质点的(瞬时)速率:
=
lim
t0
S t
dS dt
(1-12)
这表明,质点在t时刻的速度等于位置矢量r 对时间 的一阶导数; 而速率等于路程S对时间的一阶导数。
20
lim r dr
(1-9)
t0 t dt
=
lim
t0
S t
r r2 r1 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
在x轴方向的位移为
r ( x2 x1 )i
注意：坐标的增量x = x2-x1是位移，而不是路程!
16
(2)位移和路程是两个不同的概念。 位移代表位置变化，是矢量，在图1-2中，是有向
大学物理知识课件：矢量知识
坐标系中x、y、z 方向 的单位矢量
j
Az
o k
i
Ax
x
z Ax Ay Az是矢量在ox，oy，oz轴
上分量的大小
大学物理补充知识
在自然坐标系中 F F Fn
矢量
F P
F
Fn
大学物理补充知识
矢量
(4) 矢量相等
大小相等,方向相同的矢量相等
A
B
如果两矢量大小相等,方向相反
五、 矢量的标积和矢积 1、矢量的标积
A B A B cos
矢量
B
A
V S (h cos )
=S h
h
S
大学物理补充知识
矢量
2、矢量的矢积
C AB
C
大小
C A B s in
方向 A B （右手螺旋法则）
B
A
右手四指从 A经小于180角转向B时，右手拇指的
可写成
C A B A ( B )
三末角端形作法 一： 矢从 量一 即点为画C。矢量 A和 B。自 B末端向 A
C
A
AC
B
B
B
大学物理补充知识
矢量
总结：矢量合成与分解的几何法
几个矢量合成相加为一个
A
合矢量
y
一个矢量也可分解任意 数目的分矢量
见第一章速度和加速度公式推导
大学物理补充知识
矢量
y
或 大小
C
C
j
Az
o k
i
Ax
x
z Ax Ay Az是矢量在ox，oy，oz轴
上分量的大小
大学物理补充知识
在自然坐标系中 F F Fn
矢量
F P
F
Fn
大学物理补充知识
矢量
(4) 矢量相等
大小相等,方向相同的矢量相等
A
B
如果两矢量大小相等,方向相反
五、 矢量的标积和矢积 1、矢量的标积
A B A B cos
矢量
B
A
V S (h cos )
=S h
h
S
大学物理补充知识
矢量
2、矢量的矢积
C AB
C
大小
C A B s in
方向 A B （右手螺旋法则）
B
A
右手四指从 A经小于180角转向B时，右手拇指的
可写成
C A B A ( B )
三末角端形作法 一： 矢从 量一 即点为画C。矢量 A和 B。自 B末端向 A
C
A
AC
B
B
B
大学物理补充知识
矢量
总结：矢量合成与分解的几何法
几个矢量合成相加为一个
A
合矢量
y
一个矢量也可分解任意 数目的分矢量
见第一章速度和加速度公式推导
大学物理补充知识
矢量
y
或 大小
C
C
大学物理运动学第一章第四节曲线运动方程的矢量形式课件
y
yR
o xx
4、速度分量式
vx
dx dt
d dt
(R cos
t)
R sin
t
vy
dy dt
d dt
(R sin
t)
R cos
t
v
vx2
v
2 y
R
5、速度矢量式
v
dr dt
vxi
vy
j
R sin t i cos t j
6、加速度分量式
vx R sin t vy R cos t
ax
dvx dt
R 2
cos
t
ay
dvy dt
R 2
sin
t
a a
ax2
a
2 y
R 2
7、加速度矢量式
a
(R
2
cos
t)i
(R
2
sin
t)
j
2 R cos ti R sin tj
2r
二、抛体运动方程的矢量形式
1）可将抛体运动分解为沿 x 和 y 两个方向的独立运
动。
初速度沿x轴和y轴的分量分别是：
v0x v0 cos , v0y v0 sin y
加速度沿x轴和y轴的分量分别是：
ax 0,
则速度为：
ay g
v0 v0 x
O
v0 y
高等教育大学教学课件
《矢量运算》课件
电磁学和计算机图形学。
理论之间的联系，以加深
程领域中的实际应用案例，
对几何概念的理解。
激发学生对矢量运算的兴
趣。
3
矩形法则
适用于将两个矢量放在一个共同起点，然后将它们的头尾相连形成一个矩形，这 两个矢量的和就是这个矩形的对角线。
Hale Waihona Puke 矢量的减法运算负矢量的概念
每个矢量都有一个相反的矢量，称为负矢量。减去一个矢量等于加上它的负矢量。
矢量减法的公式
使用矢量加法的概念，我们可以将减法转化为加法，求得两个矢量的和。
矢量积
简介
本课程将详细介绍矢量的基本概念及分类，以及矢量运算中的加法和减法。 通过平行四边形法则、三角形法则和矩形法则，我们将帮助您理解矢量的加 法运算。
矢量的加法运算
1
平行四边形法则
利用平行四边形的性质，我们可以通过将两个矢量头尾相接，得出它们的和。
2
三角形法则
将两个矢量首尾相连，得到一个三角形，那么这两个矢量的和就是这个三角形所 对应的对角线。
《矢量运算》PPT课件
# 矢量运算 PPT课件 ## 简介 - 矢量的概念及分类 - 矢量的加法、减法运算 ## 矢量的加法运算 - 平行四边形法则 - 三角形法则 - 矩形法则 ## 矢量的减法运算 - 负矢量的概念 - 矢量减法的公式 ## 矢量积 - 叉积与其性质 - 叉积的应用：求平面面积 ## 矢量间的夹角 - 向量点积
1
叉积与其性质
介绍矢量积的概念和计算公式，以及其在几何和物理中的重要性。
2
叉积的应用：求平面面积
通过计算两个矢量的叉积，我们可以求解形成的平行四边形或三角形的面积。
矢量间的夹角
学习如何计算矢量之间的夹角，包括向量点积、余弦定理和弧度制及其转换。
最新大学物理-矢量和矢量运算
A x 2A 01y 2单A 击z 2此
处
添
加
文
本
具
体内 A
ห้องสมุดไป่ตู้
容
X
Y cos Ax A
02
单
击
此
处
添
加
文
本O具
体
内
容
AX
Z
Az
夹 角
cos A y
A
cos Az A
若
A
AA x 2A y 2A z 2
则 称为 方向A上的单1位矢量。
1. 矢量的模和单位矢量
○ 矢 量 的 大 小称为矢量 的模，记做 A
A B ( A x i A y j A z k ) (Bxi ByjBzk)
AxBx AyBy AzBz
矢量的矢积（叉乘）
CA B
01
CA 注意s顺B 序i：n
02 03
方向：右手定则
A 其大B 小为 (B A )
当两个矢量平行时
0s i 0 n A B 0
矢量函数的积分
A(t)Ax(t)i Ay(t)jAz(t)k
t
t
t
0
A(t)dt( 0 t
Ax(t)dt)i
(
0
Ay(t)dt)j
( 0 Az(t)dt)k
1
3
0c o 1s A B A
B 输 入 标 题 当两个矢量垂
（点乘）
B 直时
当两个矢量平
行时
4
输入标题
A
c os 0
A B 0
2
由于直角坐标系的单位
A
矢量具有正交性，即：
iij jkk1 i jjkki 0
《大学物理》矢量运算ppt课件
平行四边形法则 ①平移使起点重合 ②作平行四边形 ③从起点O作对角线
就是合矢量
A
O
C
Asin BAcos
C A B
大小:
C A2B22AB cos
方向：arctB a A n sAic nos
最新课件
4
矢量加法的其他法则
（1）多矢量相加时，可依次相加。
A A B C E C F
最新课件
17
作业5 、已知 a6,b22,
a 与 求b 夹 a 角 4 2 b ， 5 a 为 3 b
解：
a 2 b a 3 b
a a 3 a b 2 a b 6 b b a a a b 6 b b
a 2 acbo 4 s 5 6 b 2
量值都是标量、方向沿x、y、z，在同一坐标轴上的分矢量就可
用代数法则运算（可用正、负的数值表示分矢量，只有两个指
向），从而使问题简化。
若 AAA0，A 则 0叫A 做 方向单 上位 的， 矢量
其大 A0小 1，方A 最向 新的 课件与 方向一致。 7
3. 矢量的正交分解（坐标表示）
在直角坐标系中，常用 i、j、k
最新课件
14
矢量的非法运算
1 A
ln B
C
eD
A2B1c5m 1c0m 2B
*矢量与标量不能相等 ！！！
最新课件
15
Thinking
一条小船从A地向东航行50 km到达B地, 又从B地向北偏东30°航行30 km到达C地。
这个过程的总效果相当于？？？
相当于小船从A地出发沿直线到达C地
C
位移、速度等
大小 C Cx2 Cy2
方向
C arctan
就是合矢量
A
O
C
Asin BAcos
C A B
大小:
C A2B22AB cos
方向：arctB a A n sAic nos
最新课件
4
矢量加法的其他法则
（1）多矢量相加时，可依次相加。
A A B C E C F
最新课件
17
作业5 、已知 a6,b22,
a 与 求b 夹 a 角 4 2 b ， 5 a 为 3 b
解：
a 2 b a 3 b
a a 3 a b 2 a b 6 b b a a a b 6 b b
a 2 acbo 4 s 5 6 b 2
量值都是标量、方向沿x、y、z，在同一坐标轴上的分矢量就可
用代数法则运算（可用正、负的数值表示分矢量，只有两个指
向），从而使问题简化。
若 AAA0，A 则 0叫A 做 方向单 上位 的， 矢量
其大 A0小 1，方A 最向 新的 课件与 方向一致。 7
3. 矢量的正交分解（坐标表示）
在直角坐标系中，常用 i、j、k
最新课件
14
矢量的非法运算
1 A
ln B
C
eD
A2B1c5m 1c0m 2B
*矢量与标量不能相等 ！！！
最新课件
15
Thinking
一条小船从A地向东航行50 km到达B地, 又从B地向北偏东30°航行30 km到达C地。
这个过程的总效果相当于？？？
相当于小船从A地出发沿直线到达C地
C
位移、速度等
大小 C Cx2 Cy2
方向
C arctan
矢量的运算PPT课件
矢量加法：服从平行四边形法则，合矢量是平行四边形的对角线。
A
B
C 记为 C A B
C
A
对矢量加法有：交换率
AB B A
B
也可以用三 角形表示。
结合率 (A B) C A (B C)
矢量的减法： A B A (B)
定义为：加上 B 矢量的负矢量。
A
AB
B
2
第2页/共16页
矢量的模：矢量的大小称为矢量的模，记为
r
或r
单位矢量: 模为 1 的矢量称为单位矢量，用于表示方向。常用
r0 表示。
矢量相等：两矢量大小相等，方向相同，则两矢量相等。（即
A
使他们不再同一起点上。）
记为
BA
B
负矢量： 一矢量的负矢量与该矢量大小相等，方向相反。
A
记为
B A
B
1
第1页/共16页
矢量与数量相乘：记为
C mA
定义为： C = | m | A （即C的模为A的m倍） 当m大于0时, C与A方向相同。 当m小于0时，C与A方向相反。
利用上述乘法的定义，任意一个矢量都可以表示为该矢量的
模与该矢量方向上的单位矢量的乘积。
r rr0
r
任意矢量的单位矢量也可 以表示为：
r0
r
其中r是该矢量的模，而括号中的 项是r方向上的单位矢量。
r0 cos i sin j
在已知x及y的情况下
r x2 y2
tg y
x
例1、设矢量
r (6i 8 j)m
写出该矢量的模和单位矢量，并用图表示该矢量。
5
第5页/共16页
Y
利用矢量的解析表示法，设两矢量
矢量的运算法则24页PPT
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
矢量的运算法则 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
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表示：粗体字母A 或
A ，其大小用 A 或
A 表示 。
A
A A A0
A0 叫做单位矢量；
A
也叫做模。
1单位
矢量相等 ：大小相等、方向相同的两矢量相等。
矢量平移后保持不变。
二、矢量的加减法（几何法）
1．矢量的加法
已知：A 、B ，求 A B
A
平行四边形法则
①平移使起点重合 ②作平行四边形 ③从起点O作对角线 就是合矢量
在直角坐标系中，常用 i 、j、k
y Ay
A
表示x、y、z 方向的单位矢量。
A Ax Ay Az Ax i Ay j Az k
Az
j
O k
γ
β
α
i
Ax x
Ax= A cos、Ay= A cos、Az= A cos
z
A
Ax2
A
2 y
Az2
cos2 cos2 cos2 1
4．矢量合成的解析法
指向用右手螺旋法则确定。
i j k
A B Ax Ay Az
Bx By Bz
讨论：
B
A
（1）结合律 A ( B C) A B A C
（2） A B (B A)
（3） 力矩定义： M r F
A A 0
Fsin r
r
F
的方向
r
F
五、矢量的导数和积分
1.矢量的导数
如图，当 A1 (t ) t A2 (t t ) 对应A
2．矢量解析法
把矢量在特定坐标系中分解成沿坐标轴的分矢量，分矢量的
量值都是标量、方向沿x、y、z，在同一坐标轴上的分矢量就可
用代数法则运算（可用正、负的数值表示分矢量，只有两个指
向），从而使问题简化。
若A A A0，则A0叫做A方向上的单位矢量，
其大小 A0 1，方向与A的方向一致。
3. 矢量的正交分解（坐标表示）
O
C A B
大小: C A2 B 2 2 AB cos
方向：
arctan
B
Asin Acos
C
B Acos
Asin
矢量加法的其他法则
（1）多矢量相加时，可依次相加。
A ABC EC F
E
A
B
F
B F
c
c
（2）多边形法则： 平移后首尾相接。
（3）交换律 结合律 A B B A A (B C) (A B) C
矢量的非法运算
1
A ln B
C
A 2B 15cm
eD
10cm 2B
*矢量与标量不能相等 ！！！
Thinking
一条小船从A地向东航行50 km到达B地, 又从B地向北偏东30°航行30 km到达C地。
这个过程的总效果相当于？？？
相当于小船从A地出发沿直线到达C地
C
位移、速度等
A
B
的合成
2．矢量的减法
A B A (-B)
C AB B
A
B
矢量减法规律（自己总结）
矢量减法规律：
起点相同的两个矢量的差，就是从减矢量的 末端指向被减矢量的末端的矢量。
三、矢量合成的解析法（矢量投影 ，代数运算，问题简化）
1．矢量的合成和分解
已知两个以上矢量求合矢量叫做矢量合成，反之叫矢量分解。 注：当一矢量分解为两分矢量时，有无限多组解，若先限定了两矢量的 方向，则解答才是唯一的。因此，常将一矢量进行正交分解。
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
已知
A、B，（如图）求
A B
y
解：先将 A、B用平行四边形法则合成 C
C A B
然后将 A、B 正交分解，其解析式为
A
α
A Ax i Ay j
B Bx i By j
O
Bx
C
B
Ax
故 C A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
补充知识：矢量运算
目的及要求:
1．掌握矢量、矢量运算法则；
3．从矢量角度深刻理解并掌握 速度、加速 度、力、场强等概念及其计算。
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。
表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
(由图 可得出)
而
C Cxi Cy j
所以 Cx Ax Bx C y Ay B y
大小 C
C
2 x
C
2 y
方向 arctan C y
Cx
Ay
By
x
四、矢量的乘法
物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。
F
如图： W Fcos s
θ
s
1. 矢量的数乘
B mA
大小 mA
方向 m 0, B与A的方向一致；否则相反。
)d
t
B
x
(
t
)d
ti
By (t)d tj
Bz (t)d tk
Ax i Ay j Az k
Reviewing
1、矢量定义
不对！有
2、矢量表示法 方向且方
4536、、、、矢共零零量线矢矢相矢量量等量无方具向方有123对长 的大方矢矢向、、、方 或 非零向大吗小向量量一度 矢向 相 零的A矢方为a 相相叫（矢？小a为 量B相 反 矢量量向任同同相或量零为和同的量且的等同意
y
当△t→0时，有
ΔA dA
A1 (t )
A
lim
Δt0 Δt dt
可以证明
dA
dAx
i
dAy
j
dAz
k
O
A2 (t t )
x
dt dt dt dt z
2.矢量的积分
若
dA dt
B(t )
Bx
(t)i
By
(t )
j
Bz
(t ) k
•环流 A dl
•通量 A ds
则
ห้องสมุดไป่ตู้
A
B(t
（2）特别注 意： A A A2 0 （3） A B Ax Bx Ay B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为
W F s Fcos s
3．矢量的叉乘 矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称 为矢积（叉积）
c
大小: C ABsin
C A B
方向:
垂直于A 、B 组成的平面，
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？
2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
45求.. 矢已a量知：叉2b乘a与的 a右b夹手3角螺b 旋为法45则，如何a操作6？,
b
2
2,
6. 矢量的解析表示法给矢量运算带来什么好处？ 试举例说明（比如加减、乘法、微分及积分等）。
2．矢量的点乘 标积
两个矢量相乘得到一个标量的乘法叫点乘，其乘积称为标积（点积）
A B AB cos
式中θ为两矢、量
A、
B的夹角。
A
B
等于B
在
A
方向上的分量 →
B cos
与A 的模的乘积或等于 A
在
B
方向上
的分量 A cos 与 B 的模的乘积。
讨论：
AB BA
（1）标积满足交换律、分配律 A( B C) A B A C