1.实验7-1 传染病模型2
传染病模型
提高 r0 s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s
0
忽略i0
0
群体免疫
ln s0 ln s
s0 s
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
1s
s i s ln 0
0
0
s0
i0 0, s0 1
x<<s0
x(1
1
s0
x
2s02
)0
SIR模型
x 1 ln(1 x ) 0
di i
dt i(0) i0
i(t) i0et
ti ?
若有效接触的是病人，则 不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
模型2
假设
建模
区分已感染者(病人，Infective)和易感染 者(健康人，Susceptible)
1）总人数N不变，病人和健康 人
的 比例分别为 i(t), s(t)
s0
i
x 2s (s 1 )
0
0
P1
0 s 1/ s0
s
s0 - 1/ = x 2
小, s0 1
降低s0，提高阈值1/σ降 低被传染人数比例 x
群体免疫和预防
根据对 SIR 模型的分析，当 s0 1 时传染病不会蔓延。所以 为制止蔓延；除了提高卫生和医疗水平，使阈值 1 变大以外，另一
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数为 ~ 日
, 且使接触的健康人致病
接触率
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
传染病模型
个比例就不会改变。而当阈值提高时， 减小，于
是这个比例就会降低。
ห้องสมุดไป่ตู้
群体免疫和预防
根据对模型的分析，当 s0 1/时，传染病不会
蔓延，因而制止传染病蔓延的途径有两条
1．提高卫生和医疗水平（使阈值变大）；
2．通过预防接种使群体得到免疫（降低 s）0
r0
现在有一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供一 种新型的可持久的檐槽，它包括一个横截面为半圆形(半径 为7．5厘米)的水槽和一个竖直的排水管(直径为10厘米)， 并且不管天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水．
但是房管部门还在犹豫，考虑公司的承诺能否实现，于 是想请你用数学的方法给一个详细的分析，论证它这个方案 的可行性
疾病的传染高峰期
此时 d 2I 意义： dt2
0
ln( n 1)
计算高峰期得： t0
I0 kn
1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快
的来临，这与实际情况比较符合。
2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均
人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故
1
1
（＊）
只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例
（即免疫者比例）r0 满足（＊）式，就可以制
止传染病的蔓延．
课后任务
请各位同学进行一些调查，根据模型算一 算在广州，非典型肺炎爆发的高潮大概是在何 时，与实际情况相吻合吗？根据模型请给出你 的建议。
思考题1
设某城市共有n+1人，其中一人出于某种目 的编造了一个谣言。该城市具有初中以上文化 程度的人占总人数的一半，这些人只有1/4相信 这一谣言，而其他人约有1/3会相信。又设凡相 信此谣言的人每人在单位时间内传播的平均人 数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相 信此谣言的人不传播谣言。试建立一个反映谣言 传播情况的微分方程模型。
传染病模型助力我国公共卫生事业(2)
传染病模型助力我国公共卫生事业自从人类社会诞生以来，传染病就一直伴随着我们，时不时地给人类带来严重的灾难。
我国历史悠久，饱受传染病之苦。
远的如东汉末年的黄巾起义，近的如2003年的非典、2008年的手足口病、2019年的新冠疫情，这些传染病不仅严重威胁着人民的生命安全，还给国家经济和社会稳定带来极大影响。
一、传染病模型的起源和发展传染病模型是研究传染病传播规律的数学模型，它起源于17世纪英国医生哈里森对麻疹的研究。
此后，许多科学家如牛顿、莱布尼茨、庞加莱等纷纷投入到传染病模型的研究之中。
20世纪初，我国数学家陈省身将传染病模型引入我国，并为我国传染病研究做出了巨大贡献。
传染病模型的发展经历了几个阶段：从最初的SEIR模型、SIR模型，到后来的SIS模型、MSIR模型，再到如今的多宿主、多病原体模型，传染病模型越来越精细化、多样化。
这些模型的发展为预测传染病传播趋势、制定防控策略提供了有力支持。
二、传染病模型的原理传染病模型主要包括三个基本参数：传染率、恢复率和死亡率。
传染率是指感染者与易感者接触时，将病原体传播给易感者的概率；恢复率是指感染者在经过一定时间的传染期后，战胜病原体并恢复健康的能力；死亡率是指感染者因病原体导致死亡的概率。
根据这些参数，传染病模型可以预测传染病的传播趋势，分析传染病在一定时间内的感染人数、治愈人数、死亡人数等关键指标。
通过对模型的调整和优化，可以更好地反映实际情况，为公共卫生决策提供科学依据。
三、传染病模型在我国公共卫生事业中的应用传染病模型在我国公共卫生事业中的应用取得了显著成效。
以新冠疫情为例，我国科学家在疫情初期迅速构建了新冠疫情传播模型，通过对模型参数的调整和优化，准确预测了疫情的发展趋势，为我国政府制定防控策略提供了有力支持。
在新冠疫情期间，传染病模型还被用于评估各种防控措施的效果，如社交距离、口罩使用、疫苗接种等。
通过模型模拟，科学家们可以直观地看到不同防控措施对疫情发展的影响，从而为政策制定提供科学依据。
1.实验7-1传染病模型2
河北大学《数学模型》实验实验报告一、实验目的二、实验要求1.实验7-1 传染病模型2（ SI模型）——画di/dt~ i曲线图（参考教材 p137-138）传染病模型 2（ SI 模型）：;di/dt=ki(1-i),i(0)=i其中， i(t)是第 t 天病人在总人数中所占的比例。
λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i0是初始时刻（ t=0）病人的比例。
取 k=0.1，画出 di/dt~ i 曲线图，求 i 为何值时di/dt达到最大值，并在曲线图上标注。
试编写一个 m 文件来实现。
参考程序运行结果（在图形窗口菜单选择 Edit/Copy Figure，复制图形）：[提示]1）画曲线图用 fplot 函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。
若 lims 取[xmin xmax]，则 x 轴被限制在此区间上。
若 lims 取[xmin xmax ymin ymax]，则 y 轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数 fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd(‘fun’,x1,x2)fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。
返回自变量 x 在区间 x1<x<x2 上函数取最小值时的 x 值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)4）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1,’颜色线型数据点图标’, x2,y2,’颜色线型数据点图标’,…) 说明参见《数学实验》 p225本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');3）图形的标注使用文本标注函数 text，调用格式如下：格式 1text(x,y,文本标识内容,’HorizontalAlignment’,’字符串 1’)x,y 给定标注文本在图中添加的位置。
传染病模型——精选推荐
3.12传染病模型摘要：本文是一个对传染病的研究问题。
通过把一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
建立数学模型用极限和微积分等数学方法对传染病传播规律进行研究。
关键词：传染病极限和微积分正文1 传染病〔Infectious Diseases〕是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病。
病原体中大部分是微生物，小部分为寄生虫，寄生虫引起者又称寄生虫病。
有些传染病，防疫部门必须及时掌握其发病情况，及时采取对策，因此发现后应按规定时间及时向当地防疫部门报告，称为法定传染病。
中国目前的法定传染病有甲、乙、丙3类，共37种医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到控制。
但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
在发展中国家，传染病的流行仍十分严重；即使在发达国家，一些常见的传染病也未绝迹，而新的传染病还会出现，如爱滋病（AIDS）等。
有些传染病传染很快，导致很高的致残率，危害极大，因而对传染病在人群中传染过程的定量研究具有重要的现实意义。
传染病流行过程的研究与其他学科有所不同，不能通过在人群中实验的方式获得科学数据。
事实上，在人群中作传染病实验是极不人道的。
所以有关传染病的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告中获取。
这些数据往往不够全面，难以根据这些数据来准确地确定某些参数，只能大概估计其范围。
基于上述原因，利用数学建模与计算机仿真便成为研究传染病流行过程的有效途径之一。
2问题提出上世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地区流行，被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？3 模型分析社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化。
传染病模型
模型2（SI模型） 假设条件为
1.在疾病传播期内所考察地区的总人 数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。 人群分为易感染者（Susceptible）和已感 染者（Infective）两类（取两个词的第一 个字母，称之为SI模型），以下简称健康 者和病人。时刻t这两类人在总人数中所 占比例分别记作s(t)和i(t)。 2.每个病人每天有效接触的平均人数 是常数，称为日接触率。当病人与健康 者接触时，使健康者受感染变为病人。
再设t 0时有x0有个病人，即得微分方程
dx x , dt x ( 0) x
0
(1)
方程（1）的解为
x(t ) x e
0
t
(2)
结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无 限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接 触的人群中，有健康人也有病人，而其中 只有健康人才可以被传染为病人，所以在 改进的模型中必须区别这两种人。
不同类型传染病的传播过程有其各自 不同的特点，弄清这些特点需要相当多的 病理知识，这里不可能从医学的角度一一 分析各种传染病的传播，而只是按照一般 的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时 刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 并且每天每个病人有效 接触(足使人致病) 的人数为常数 考察 t到 t t 病人人数的 增加，就有 x(t t ) x(t ) x(t )t
传染病模型
随着卫生设施的改善、医疗水平的提 高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、 天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得 到有效的控制。但是一些新的、不断变异 着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪 80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球， 至今带来极大的危害。长期以来，建立制 止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关 专家和官员关注的课题。
传染病模型在不同场景下的应用(2)
传染病模型在不同场景下的应用在过去的几十年里，传染病模型在许多不同的场景中都得到了广泛的应用。
从疫情爆发的防控，到公共卫生政策的制定，再到疫苗的研发，传染病模型都发挥了重要的作用。
让我们来看一下传染病模型在疫情爆发时的应用。
当一种新的传染病爆发时，政府和卫生部门需要迅速采取措施来控制疫情的蔓延。
传染病模型可以帮助他们预测疫情的发展趋势，确定疫情的热点地区，以及评估不同防控措施的效果。
通过这些信息，政府可以制定出更加科学合理的防控策略，从而有效地控制疫情的蔓延。
除了在疫情爆发时的应用，传染病模型还在公共卫生政策的制定中扮演着重要的角色。
公共卫生政策的制定需要考虑到许多不同的因素，如人群的流动性，医疗资源的分布，以及人们的行为习惯等。
传染病模型可以帮助政策制定者更好地理解这些因素对疫情的影响，从而制定出更加有效的公共卫生政策。
另外，传染病模型还在疫苗的研发中发挥着重要的作用。
疫苗的研发需要进行大量的实验和临床试验，而这些实验和临床试验需要依据一定的理论模型来进行。
传染病模型可以帮助研究人员更好地理解疫苗的效果和安全性，从而为疫苗的研发提供有力的理论支持。
传染病模型在许多不同的场景中都得到了广泛的应用。
从疫情爆发的防控，到公共卫生政策的制定，再到疫苗的研发，传染病模型都发挥了重要的作用。
我相信，在未来的发展中，传染病模型将继续发挥其重要的作用，为人类的健康事业做出更大的贡献。
在处理疫情爆发时，传染病模型的应用是至关重要的。
以2003年非典型肺炎（SARS）为例，当时的疫情迅速蔓延至全球多个国家和地区。
通过建立传染病模型，研究人员和公共卫生官员能够预测疫情的发展趋势，评估防控措施的效果，从而指导政府和卫生部门采取有效的应对措施。
例如，模型可以帮助确定隔离措施和疫苗接种策略的重点地区，确保资源的有效分配。
在疫情期间，我和我的团队也参与了传染病模型的构建和应用，通过不断优化模型参数，我们能够更准确地预测疫情走势，为决策者提供关键信息。
传染病模型
在
i
2
时达到）。
记
a
，可知
i ()
1
1 a
,
0 ,
a 1 a 1
i(t)
i0
1 1 a
i0
0
t
(a 1)
i(t) a 1
a 1
0
t
(a 1)
模型解释
可知 a（ a 刻画出该地区医疗条件和卫生水平）为
一个阈值，当 a 1 时，i(t) 0；当a 1时，i(t) 增减
性取决于i0
的大小，但其极限1
x s0 s
由 i0 0, s0 1, 经（8），
x
1
ln(1
x s0
)
0
x
2s0
(s0
1
)
当该地区的卫生和医疗水平不变时， 就不变，这个
比例也不变。
2、群体免疫和预防
由于当 s0
1
时不会蔓延，故降低
s0也是种手段。
由 i0
0 ， s0
1 r0
，于是 s0
1
可表示为 r0
1 1
，即通
过群体免疫使初始时刻的移出者比例r0
求出（6）的解为
（6）
i
(s0
i0 )
s
1
ln
s s0
（7）
从（5）中无法得到 s(t) 和 i(t) 的解析解，转到 s i 相平
面上讨论解的性质。
D (s,i) | s 0,i 0, s i 1
i 1
O
1/σ
0
σ
s 1
可根据（5），（7）及上图分析 s(t),i(t),r(t) 的变化情况：
1、无论s0,i0如何，i 0，即病人终将消失。
传染病模型建模
传染病模型建模1.引言在流行病学研究中，建立传染病模型是了解和预测传染病传播的重要工具。
本文档旨在提供一个详细的传染病模型建模范本，包括背景介绍、模型假设、模型建立和参数估计等内容。
2.背景介绍在这一节，我们将介绍所研究的传染病背景，包括传染病名称、传播途径、病原体特征等。
此外，还可以考虑包括疫情爆发地点、时间以及已有的相关研究成果等信息。
3.模型假设在本节中，我们将明确传染病模型所基于的假设。
这些假设可能涉及人口结构、传播途径、感染力等方面。
确保对每个假设进行明确的说明，以便其他研究人员能够理解和验证模型的可靠性。
4.模型建立在这一节中，我们将详细描述传染病模型的建立过程。
首先，可以介绍使用的数学模型类型，例如基于微分方程的传染病模型（如SIR模型）或基于Agent-Based模型等。
然后，需要明确模型的参数、初始条件和边界条件等。
5.参数估计本节将重点介绍如何估计模型中所涉及的各个参数。
可以介绍数据收集和处理的方法，并使用统计学方法（如最小二乘法、最大似然估计等）来估计参数。
此外，还可以考虑敏感性分析以评估模型参数对模型输出的影响程度。
6.模型评估在本节中，我们将通过与实际观测数据进行对比来评估模型的准确性。
可以使用拟合度指标（如R平方值）和假设检验等方法对模型进行评估。
如果模型与实际数据存在差异，可以讨论模型的改进方向。
7.模型应用在这一节中，我们将讨论如何将建立好的模型应用于实际问题中。
例如，可以使用模型预测未来的传染病爆发情况，评估控制传染病的干预措施效果等。
附件：本文档的附件包括模型建立所需的数据集、计算代码或软件包等。
确保提供清晰的文件命名和相关说明。
法律名词及注释：1.传染病：指由病原体引起并能通过直接接触、飞沫传播、空气传播等途径在人群中传播的疾病。
2.流行病学：研究人群中疾病的分布、频率和影响因素的科学。
3.疫情：指特定地区、特定时期内出现的某种传染病的发病情况。
传染病模型研究
传染病模型研究总结传染病一直危害着人类的健康，历史上传染病的一次次流行给人类生存和国计民生都带来了巨大的灾难。
人类面临着传染病长期而严峻的威胁，因此对传染病的发病机理、传染规律和控制策略的研究尤为重要。
传染病研究方法主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。
在建立传染病模型的过程当中，需要考虑到相当多的关键性因素，例如：传染率，传播的群体（感染者，未感染者，已痊愈者等），传播的途径（空气，体液等），传播的环境等等。
传播模型最开始是用于解决传染病的防控问题，这就要求建立能反映传染病传播特性的数学模型。
通过对其模型的动力学行态特征的定性、定量分析和数值模拟，来反映疾病的发展过程，揭示传染病的流行规律，并预测其变化发展的趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其预防和控制的最优策略。
而如今传染病模型作为一个重要的研究模型被广泛的应用到了社会学，工程学，计算机科学，系统工程等众多领域当中，对研究分析行业发展趋势，刨析问题找到最优模型解，具有重要意义。
经典的传染病模型建立在解微分方程的基础之上，有四个模型： 模型1（基础模型）：设时刻t 的病人人数)(t x 是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数λ，考察t 到t t ∆+病人人数的增加，就有t t x t x t t ∆=-∆+)()()(x λ模型2（SI 模型）：假设条件为：1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，既不考虑生死，也不考虑迁移。
人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人。
时刻t 这两类人在总人数中所占的比例分别记作)(t s 和)(t i ；2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。
根据假设，每个病人每天可使)(t s λ个健康者变为病人，因为病人数为)(t Ni ，所以每天共有个)()(t i t Ns λ健康者被感染，于是Nsi λ就是病人数Ni 的增加率，即有si N dt di N λ= ，)1(i i dt di -=λ模型3（SIS 模型）：假设条件为：1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，既不考虑生死，也不考虑迁移。
传染病的数学模型有哪些(二)2024
传染病的数学模型有哪些（二）引言概述：传染病是人类面临的重大公共卫生问题之一，而数学模型在传染病研究和预测中扮演着重要的角色。
本文旨在探讨传染病的数学模型，并介绍其中几种常见的模型类型和应用。
正文内容：I. 动态传染病模型1. SIR模型：介绍该模型的基本思想和假设a. 对潜伏期和感染期的描述b. 基本再生数的计算和其与传播速度的关系c. 模型的适用性和局限性2. SEIR模型：介绍该模型相较于SIR模型的改进之处a. 引入潜伏期状态的意义和影响b. 疫苗和隔离措施对模型的作用分析c. 实际应用案例分析II. 网络传播模型1. 小世界网络模型：介绍该模型的基本原理和构建方法a. 节点和边的定义和关系b. 六度分离理论及其在传染病传播中的应用c. 对抗措施的模拟实验和效果评估2. 随机网络模型：介绍该模型的基本假设和应用场景a. 随机群体中个体之间传播的特点b. 模型的构建方法和参数设定c. 模型预测在不同干预策略下的传播效果III. 空间传播模型1. 栅格模型：介绍以空间栅格为基础的传染病模型a. 栅格定义和相邻栅格之间的传播关系b. 人类活动和移动在模型中的考虑c. 模拟实验和预测效果的验证2. 代理人模型：介绍该模型的思想和应用范围a. 基于个体行为和移动规律的建模方式b. 分析社会网络对传染病传播的影响c. 模型的局限性和改进方向IV. 非线性传播模型1. SIS模型：介绍该模型相较于SIR模型的特点a. 健康和感染状态之间的转化b. 等式模型和微分方程模型的比较c. 改进和扩展的SIS模型及其应用案例2. SI模型：介绍该模型在简化传染病研究中的应用a. 仅考虑感染者和易感者的状态转化b. 模型的应用场景和方法c. 参数估计和模型优化策略V. 综合传染病模型1. 基于机器学习的传染病预测模型：介绍基于机器学习算法的预测模型a. 数据采集和特征工程的步骤b. 建模和训练的方法c. 实际应用案例和性能评估2. 基于混合模型的传染病控制策略：介绍综合多种模型的策略a. 结合动态传染病模型和空间传播模型b. 参数估计和优化方法c. 实例分析和效果评估总结：传染病的数学模型能够帮助我们理解疾病传播的规律和趋势，为公共卫生决策提供重要的依据。
传染病模型2
模型二：
用 i (t ), s(t ) 表示t时刻传染病人数和未被 传染的人数， i (0) i0 ；
假设：
(1)每个病人单位时间内传染的人数与这时 未被传染的人数成正比，即 k0 ks(t ) (2)一人得病后经久不愈，人在传染期不会死亡； (3)总人数为n，即 s(t ) i (t ) n ； 由以上假设得微分方程
第三类是包括患病死去的人、病愈后具有长期 免疫力的人以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔 离起来的人，用R(t)表示t时刻第三类人的人数。 假设疾病传染服从下列法则：
(1)在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平 N，即不考虑出生及其它原因引起的死亡以及迁入、 迁出情况。 (2)易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类人 的人数I(t)与第二类人的人数S(t)的乘积。 (3)由第一类向第三类转变的速率与第一类人 的人数成正比。
(8 8)
当t＝t。时 I(t。)＝I。，S(t。)＝S。， 记 S 即有 I ( S ) I 0 S0 S ln (8 9) S0
I ( S ) S ln S C
下面我们讨论积分曲线(8-9)的性质： 由(8-8)式知
0 I ( S ) 1 0 S 0
1)当传染病强度k或总人数n增加时，t1 都将变小， 即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。 2)如果知道了传染强度k（k由统计数据得出）， t1 即可预报传染病高峰到来的时间 ，这对于防治 传染病是有益处的。
模型二的缺点是：
当t→∞时，由(8-3)式可知 i (t )→n，即最 后人人都要生病，这显然是不符合实际情况。造 成的原因是假设(2)中假设了人得病后经久不愈。
当t≥t。时，方程(8-9)的图形如图
数学建模——传染病模型
数学建模——传染病模型数学建模——传染病模型关键词：数学建模，传染病模型，预测，疫情，发展一、引言传染病模型是数学建模中的一个重要领域，旨在通过数学方法描述和预测传染病的发展趋势。
通过建立传染病模型，我们可以了解疾病传播的机制，评估各种干预措施的效果，并为制定有效的防控策略提供决策支持。
二、传染病模型概述传染病模型是基于生物学、流行病学和数学理论建立的，主要考虑个体之间的接触方式和疾病传播的动态过程。
基本的传染病模型通常假设人群由易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类组成。
通过分析这三类人群的数量变化，可以揭示疾病传播的规律。
常见的传染病模型包括 SIR 模型、SEIR 模型等。
SIR 模型假设人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R），其中感染者与易感者接触后将传染疾病，感染后将进入康复阶段。
SEIR 模型则在 SIR 模型的基础上增加了潜伏期（E），即感染者并非立即变为易感者，而是进入潜伏期，一段时间后才具有传染性。
三、建模方法与步骤1、建立数学模型：根据传染病的基本假设，列出描述疾病传播的微分方程，确定变量及其含义。
2、参数估计：根据历史数据或实验结果，估计模型中的参数值。
这些参数包括感染率、恢复率、潜伏期等。
3、模型求解：通过求解微分方程，得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
4、模型检验：将模型的预测结果与实际数据进行比较，检验模型的准确性和可靠性。
四、案例分析以某个地区的流感疫情为例，通过建立 SIR 模型预测疫情的发展趋势。
首先，根据历史数据估计模型的参数值，包括感染率和恢复率等。
然后，通过求解微分方程得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
根据预测结果，可以评估各种干预措施的效果，如隔离、疫苗接种等。
通过比较预测结果与实际数据的差异，可以不断修正和完善模型，提高预测精度。
五、结论传染病模型是数学建模中的一个重要领域，通过建立数学模型描述和预测传染病的发展趋势。
传染病模型精选推荐(二)
传染病模型精选推荐（二）引言概述：本文将推荐几种传染病模型，这些模型在研究流行病学、疫情预测和控制策略等方面具有重要的应用价值。
这些模型的精选是基于其在模拟传染病传播过程中的准确性、合理性和可操作性。
正文：1. SIR模型- 状态定义：S（易感者）、I（感染者）、R（恢复者）。
- 假设和参数：假设人群在单位时间内的相互作用是随机的，参数包括感染率、恢复率等。
- 应用：适用于研究疾病的基本传播规律和预测疫情发展趋势。
2. SEIR模型- 状态定义：S（易感者）、E（潜伏者）、I（感染者）、R （恢复者）。
- 假设和参数：考虑了潜伏期的存在，参数包括接触率、潜伏期长度等。
- 应用：适用于分析传染病潜伏期的长度及其对疫情传播速度的影响。
3. SIS模型- 状态定义：S（易感者）、I（感染者）。
- 假设和参数：假设感染者在恢复后可再次成为易感者，参数包括感染率、恢复率等。
- 应用：适用于研究没有明显免疫期的疾病传播。
4. SI模型- 状态定义：S（易感者）、I（感染者）。
- 假设和参数：假设感染者不会恢复，参数包括感染率、传播速度等。
- 应用：适用于分析传染病在人群中的传播速度和规模。
5. SEIRS模型- 状态定义：S（易感者）、E（潜伏者）、I（感染者）、R （恢复者）、V（免疫者）。
- 假设和参数：考虑了免疫期的存在，参数包括接触率、潜伏期长度、免疫期长度等。
- 应用：适用于研究有免疫期的疾病传播以及免疫对疫情的控制作用。
总结：传染病模型在疫情研究和防控中扮演着重要角色。
SIR、SEIR、SIS、SI和SEIRS模型都是常见且常用的传染病模型。
选择合适的模型可以更准确地预测疫情发展趋势和制定控制策略。
然而，每种模型都有其适用的场景和假设，需要根据实际情况做出选择和调整。
传染病模型 (2)
传染病模型
传染病模型是一种用数学和计算机模拟来研究传染病传播过程和预测未来发展趋势的方法。
常用的传染病模型包括SIR模型、SEIR模型、SI模型等。
1. SIR模型：SIR模型划分人群为三个组成部分，分别是易感者(Susceptible, S)、感染者(Infected, I)和恢复者(Recovered, R)。
模型假设人群之间的转移是通过直接接触传播的，且感染后会产生免疫力。
该模型用于研究传染病的基本传播过程。
2. SEIR模型：SEIR模型在SIR模型的基础上加入了暴露者(Exposed, E)的概念。
暴露者是指已经感染病毒但尚未出现症状的人群。
该模型考虑了传染病的潜伏期，在研究疫情的初期或具有显著潜伏期的传染病时较为常用。
3. SI模型：SI模型是最简单的传染病模型，只考虑了易感者(S)和感染者(I)两个组成部分。
该模型没有考虑恢复者和
免疫力的概念，适用于一些无法恢复或无法获得免疫的传
染病。
传染病模型的建立需要依赖大量的数据和参数，如传染率、恢复率、潜伏期等，可以利用已有的疫情数据对模型进行
参数估计。
基于模型的分析可以帮助政府和卫生机构制定
合适的控制措施，预测疫情的发展趋势，并进行防控策略
的优化。
然而，传染病模型仍有其局限性，如对人群行为
的假设较为简单，无法精确模拟复杂的社交网络。
因此，
模型的结果需要结合实际情况进行综合分析。
传染病的病例预测模型
传染病的病例预测模型随着全球范围内传染病的不断爆发，预测病例数量的能力对于制定应对策略和有效控制疫情至关重要。
传染病的病例预测模型通过分析和建模疫情数据，可以预测未来一段时间内的病例数量。
本文将介绍传染病病例预测模型的原理和应用。
一、传染病病例预测模型的原理传染病病例预测模型的原理基于数学和统计学的方法。
它使用过去的疫情数据和相关的社会、环境因素，通过建立数学模型来预测未来的病例数量。
主要的预测模型包括时间序列模型、传染病动力学模型和机器学习模型。
1. 时间序列模型时间序列模型在预测传染病病例数量时，通过分析过去一段时间内的数据，寻找时间序列中的趋势和季节性变动。
常用的时间序列模型包括ARIMA模型、SARIMA模型等。
这些模型通过对历史数据的拟合，可以预测未来某段时间内的病例数量。
2. 传染病动力学模型传染病动力学模型主要基于流行病学理论，并考虑传染病的传播过程。
常见的传染病动力学模型包括SIR模型、SEIR模型等。
这些模型考虑了感染者的传染率、潜伏者的潜伏期、康复者的恢复率等因素，通过对这些参数的估计，可以预测未来疫情的发展趋势。
3. 机器学习模型机器学习模型包括神经网络、支持向量机、随机森林等算法。
这些模型通过训练已知的历史数据，学习数据之间的关系，并预测未来疫情的病例数量。
机器学习模型通常需要更多的数据和更强的计算能力，但在数据量足够时，可以得到更准确的预测结果。
二、传染病病例预测模型的应用传染病病例预测模型在实际应用中具有广泛的意义。
它可以帮助政府和卫生部门制定疫情控制策略，预测疫情的发展趋势，合理安排资源。
同时，传染病病例预测模型也可以帮助个人和社区做好预防措施，提前做好防范。
1. 制定疫情控制策略传染病病例预测模型可以根据预测结果，制定相应的疫情控制策略。
例如，在预测到病例数量将上升的情况下，政府可以加强宣传教育、强化社交隔离等措施。
预测模型可以提前预警，使政府采取措施应对，有效控制疫情。
传染病的数学模型
For personal use only in study and research; not for commercial use传染病模型详解2.2.2 /,SI SIS SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。
S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。
I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。
SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SI dt N I SId tN ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而得到(1)di i i dtβ=- 对此方程进行求解可得：0000(),01tti e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。
SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。
Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。
假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 2.9 所示。
数学建模实验(传染病模型)
实验二：传染病模型1、SI 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
2、SIS 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数。
即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从染病者中治愈的人与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内治愈的人不具有免疫，将再成为易感者。
3、SIR 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点、给出参数、图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从传染者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γ)(t I 。
求解过程1、SI 模型：由题目条件假设可以得到微分方程：K()()dIK S t I t dtβ=，又因为()()1S t I t +=， 令初始时刻病人的比例为0I ，则有：0()(1()),(0)dII t I t I I dtβ=-= %求平衡点,r 为有效传染率,x 病人比例 syms r xsolve('r*x*(1-x)','x') ans = 0 1 %方程求解syms i r t dsolve('Di=r*i*(1-i)','i(0)=i0','t')ans =1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0) %绘制图形r=0.5,i0=0.01 fplot('1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0)',[0,40]) fplot('1/(1-exp(-0.5*t)*(-1+0.01)/0.01)',[0,40]) function di=isf(t,i)di=0.5*i*(1-i); [t,i]=ode45(@isf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t ♓i♎♓ ♎♦图示4 SI 模型的i~t 曲线 图示5 SI 模型的di/dt~i 曲线2、SIS 模型 根据SI 模型及增加的假设条件，可得：)()()(t KI t I t KS dtdiKγβ-=，即： 0)0(),())(1)((I I t I t I t I dtdi=--=γβ 记 γβσ=， 则方程改写为 )]1([σβ---=i i i dt di%求解方程syms r b i t % b 为有效传染率,r 为治愈率dsolve('Di=b*i*(1-i)-r*i','i(0)=i0','t')ans =(b-r)/(b-exp(-(b-r)*t)*(-b+r+i0*b)/i0/(b-r)*b+exp(-(b-r)*t)*(-b+r +i0*b)/i0/(b-r)*r)%求平衡点syms x %(b=0.5,r=0.2)solve('0.5*x*(1-x)-0.2*x; ')ans =0..60000000000000000000000000000000%绘制图形function di=sisf(t,i)di=0.5*i*(1-i)-0.2*i;[t,i]=ode45(@sisf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t♓t ♓图示6 SIS 模型的i~t 曲线（σ>1） 图示7 SIS 模型的i~t 曲线（σ≤1）fplot('-0.5*x*[x-(1-1/20)]',[0,1]) fplot('-0.5*x*[x-(1-2)]',[ 0,1])i♎♓ ♎♦i♎♓ ♎♦图示8SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ>1） 图示9SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ≤1） 3、 SIR 模型模型的方程为{00()()(),(0)()(),(0)dIS t I t I t I I dtdSS t I t S S dtβγβ=-==-=function dx=sirf(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=0.5*x(1)*x(2)-0.2*x(1); %x(1)表示i,x(2)表示s dx(2)=-0.5*x(1)*x(2);[t,x]=ode45(@sirf,[0 50],[0.01 0.99]);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)),grid00.20.40.60.81s图示10 SIR模型的图形)(),(tStI图示11 SIR模型的相轨线备注：由于Matlab与Word连接不好，所绘制的图形上标的字符在Word中看不清楚。
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河北大学《数学模型》实验实验报告一、实验目的二、实验要求1.实验7-1 传染病模型2（ SI模型）——画di/dt~ i曲线图（参考教材 p137-138）传染病模型 2（ SI 模型）：;di/dt=ki(1-i),i(0)=i其中， i(t)是第 t 天病人在总人数中所占的比例。
λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i0是初始时刻（ t=0）病人的比例。
取 k=0.1，画出 di/dt~ i 曲线图，求 i 为何值时di/dt达到最大值，并在曲线图上标注。
试编写一个 m 文件来实现。
参考程序运行结果（在图形窗口菜单选择 Edit/Copy Figure，复制图形）：[提示]1）画曲线图用 fplot 函数，调用格式如下：fplot(fun,lims)fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。
若 lims 取[xmin xmax]，则 x 轴被限制在此区间上。
若 lims 取[xmin xmax ymin ymax]，则 y 轴也被限制。
本题可用fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最大值用求解边界约束条件下的非线性最小化函数 fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd(‘fun’,x1,x2)fun 必须为一个 M 文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串。
返回自变量 x 在区间 x1<x<x2 上函数取最小值时的 x 值。
本题可用x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)4）指示最大值坐标用线性绘图函数plot，调用格式如下：plot(x1,y1,’颜色线型数据点图标’, x2,y2,’颜色线型数据点图标’,…) 说明参见《数学实验》 p225本题可用hold on; %在上面的同一张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');3）图形的标注使用文本标注函数 text，调用格式如下：格式 1text(x,y,文本标识内容,’HorizontalAlignment’,’字符串 1’)x,y 给定标注文本在图中添加的位置。
’HorizontalAlignment’为水平控制属性，控制文本标识起点位于点(x,y)同一水平线上。
’字符串 1’为水平控制属性值，取三个值之一：‘left’，点(x,y)位于文本标识的左边。
‘center’，点(x,y)位于文本标识的中心点。
‘right’，点(x,y)位于文本标识的右边。
格式 2text(x,y, 文本标识内容,’VerticalAlignment’,’字符串 2’)x,y 给定标注文本在图中添加的位置。
’VerticalAlignment’为垂直控制属性，控制文本标识起点位于点(x,y)同一垂直线上。
’字符串 1’为垂直控制属性值，取四个值之一：‘middle’，’top’，’cap’，’baseline’，’bottom’。
（对应位置可在命令窗口应用确定）本题可用text(0,y,'(di/dt)m','VerticalAlignment','bottom');text(x,-0.001,num2str(x),'HorizontalAlignment','center');4）坐标轴标注调用函数 xlabel， ylabel 和 title本题可用title('SI模型di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');2.实验7-2 传染病模型2（ SI模型）——画i~t曲线图（参考教材 p137-138）传染病模型 2（ SI 模型）：;di/dt=ki(1-i),i(0)=i其中，i(t)是第t 天病人在总人数中所占的比例。
k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i0是初始时刻（t=0）病人的比例求出微分方程的解析解i(t)，画出如下所示的i~t 曲线（i(0)=0.15, k=0.2,t=0~30）。
试编写一个 m 文件来实现。
（在图形窗口菜单选择Edit/Copy Figure，复制图形）[提示]1）求解微分方程常微分方程符号解用函数 dsolve,调用格式如下：dsolve(‘equ1’,’equ2’,…,’变量名’)以代表微分方程及初始条件的符号方程为输入参数，多个方程或初始条件可在一个输入变量内联立输入，且以逗号分隔。
默认的独立变量为 t，也可把 t 变为其他的符号变量。
字符 D 代表对独立变量的微分，通常指 d/dt。
本题可用x=dsolve(‘Dx=k*x*(1-x)’,’x(0)=x0’)2) 画出 i~t 曲线（ i(0)=0.15, λ=0.2, t=0~30）用 for 循环，函数 length, eval, plot, axis, title, xlabel, ylabel3.实验7-3 传染病模型3（ SIS模型）——画di/dt~ i曲线图（参考教材 p138-139）已知传染病模型 3（ SIS 模型）：di/dt=-λ i[i-(1-1/σ )],i(0)=i其中，i(t)是第t 天病人在总人数中所占的比例。
λ是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i0是初始时刻（t=0）病人的比例。
σ是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）。
取λ=0.1，σ =1.5，画出如下所示的di/dt~ i曲线图。
试编写一个 m 文件来实现。
（在图形窗口菜单选择 Edit/Copy Figure，复制图形）[提示]用fplot函数画出di/dt~ i曲线图；在上图上用plot函数画一条过原点的水平用title, xlabel, ylabel标注。
4.实验7-4 传染病模型3（ SIS模型）——画i~t曲线图（参考教材 p138-139）已知传染病模型 3（ SIS 模型）：di/dt=-λ i[i-(1-1/σ )],i(0)=i其中，i(t)是第t 天病人在总人数中所占的比例。
λ 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。
i0是初始时刻（t=0）病人的比例。
σ 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数（接触数）。
实验要求 :求出微分方程的解析解i(t)。
取λ =0.2, σ =3, t=0~40，画出如下所示的图形。
试编写一个m 文件来实现。
其中蓝色实线为i(0)=0.2 时的i~t 曲线（第1 条）；黑色虚点线为过点（0, 1-1/σ ）的水平线（第 2 条）；红色虚线为i(0)=0.9 时的i~t 曲线（第3 条）。
[提示]图例标注可用legend('i(0)=0.2','1-1/¦σ ','i(0)=0.9');5.实验7-5 传染病模型4（ SIR模型）（参考教材p140-141）SIR 模型的方程 :di/dt=λ si-μ i i(0)=i0ds/dt=-λ si s(0)=s0实验要求：1．设λ =1，μ =0.3，i(0)=0.02，s(0)=0.98。
输入 p139 的程序，并修改程序中的[t,x]，使得输出的数据格式如下（提示：取 4 位小数，使用四舍五入取整函数 round，矩阵剪裁和拼接）：ans =Columns 1 through 60 1 2 3 4 50.02 0.039 0.0732 0.1285 0.2033 0.27950.98 0.9525 0.9019 0.8169 0.6927 0.5438Columns 7 through 126 7 8 9 10 150.3312 0.3444 0.3247 0.2863 0.2418 0.07870.3995 0.2839 0.2027 0.1493 0.1145 0.0543Columns 13 through 1820 25 30 35 40 45三、实验内容1.实验7-1 传染病模型2（ SI模型）——画di/dt~ i曲线图在matlab中建立M文件fun1.m代码如下：function y=fun(x)k=0.1;y=k*x*[1-x];Fun2.m代码如下：function y=fun(x)k=0.1;y=-k*x*[1-x];在命令行输入以下代码：fplot('fun1',[0 1.1 0 0.03]);x=fminbnd('fun2',0,1);y=0.1*x*(1-x);hold on;plot([0,x],[y,y],'-',[x,x],[0,y],'-');text(0,y,'(di/dt)m','VerticalAlignment','bottom');text(x,-0.001,num2str(x),'HorizontalAlignment','center'); title('SI模型di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');hold off2.实验7-2 传染病模型2（ SI模型）——画i~t曲线图在matlab中建立M文件fun22.m代码如下：k=0.2;x0=0.15;x=dsolve('Dx=k*x*(1-x)','x(0)=x0');tt=linspace(0,31,1001);for i=1:1001t=tt(i);xx(i)=eval(x);endplot(tt,xx)axis([0,31,0,1.1]);title('图1 SI模型i~t曲线');xlabel('t(天)');ylabel('i（病人所占比例）');在命令行输入以下代码：fun22;3.实验7-3 传染病模型3（ SIS模型）——画di/dt~ i曲线图在matlab中建立M文件fun3.m代码如下：function y=fun(x)a=0.1;b=1.5;y=-a*x*[x-(1-1/b)];在命令行输入以下代码：fplot('fun3',[0 0.4 -0.0005 0.003]);x=fminbnd('fun3',0,1);title('SIS模型di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');>> hold on>> plot([0,0.4],[0,0])4.实验7-4 传染病模型3（ SIS模型）——画i~t曲线图在matlab中建立M文件fun4.m代码如下：function y=fun(x)x=dsolve('Dx=-0.2*x*(x-(1-1/3))','x(0)=0.2');tt=linspace(0,41,1001);for i=1:1001t=tt(i);xx(i)=eval(x);endplot(tt,xx);hold on;plot([0,40],[1-1/3,1-1/3],'-k');x=dsolve('Dx=-0.2*x*(x-(1-1/3))','x(0)=0.9');tt=linspace(0,41,1001);for i=1:1001t=tt(i);xx(i)=eval(x);endplot(tt,xx,'-r');axis([0,40,0,1]);title('图1 SI模型i~t曲线(λ =0.2, σ =3)');xlabel('t(天)');ylabel('i（病人所占比例）');legend('i(0)=0.2','1-1/σ ','i(0)=0.9');在命令行输入以下代码：fun4;5.实验7-5 传染病模型4（ SIR模型）在matlab中建立M文件fun5.m代码如下：function y=fun(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';在命令行输入以下代码：>> ts=0:50;>> x0=[0.02,0.98];>> [t,x]=ode45('fun5',ts,x0);>> plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause>> plot(x(:,2),x(:,1)),grid,四、实验结果及其分析1.实验7-1 传染病模型2（ SI模型）——画di/dt~ i曲线图分析：,这时病人增加得在最快，可以认为是医院的门诊当i=1/2时di/dt达到最大值(di/dt)m量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。